Определение условий и разработка методов описания процессов в сложных динамических объектах эквивалентными моделями не выше третьего порядка
Визначено умови, при виконанні яких процеси в складних динамічних об’єктах можна еквівалентно описувати диференціальними рівняннями не вище третього порядку. Запропоновано методи опису таких процесів моделями, еквівалентними за частотою зрізу і за критичною частотою. Запропоновано обчислювальну форм...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208076 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Определение условий и разработка методов описания процессов в сложных динамических объектах эквивалентными моделями не выше третьего порядка / А.Б. Мокин, В.Б. Мокин, Б.И. Мокин, И.А. Чернова // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 2. — С. 37-49. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208076 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Мокин, А.Б. Мокин, В.Б. Мокин, Б.И. Чернова, И.А. 2025-10-19T09:49:54Z 2016 Определение условий и разработка методов описания процессов в сложных динамических объектах эквивалентными моделями не выше третьего порядка / А.Б. Мокин, В.Б. Мокин, Б.И. Мокин, И.А. Чернова // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 2. — С. 37-49. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208076 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v48.i3.90 Визначено умови, при виконанні яких процеси в складних динамічних об’єктах можна еквівалентно описувати диференціальними рівняннями не вище третього порядку. Запропоновано методи опису таких процесів моделями, еквівалентними за частотою зрізу і за критичною частотою. Запропоновано обчислювальну форму для оцінювання похибки еквівалентування лінійного динамічного об’єкта високого порядку. The conditions under which the processes in complex dynamic objects can be described by equivalent differential equations with order not higher than third are determined. The methods for describing such processes by models which are equivalent in cut-off frequency and critical frequency are considered. Сomputing for error estimation of equivalenting of linear dynamic object of high order is performed. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем Определение условий и разработка методов описания процессов в сложных динамических объектах эквивалентными моделями не выше третьего порядка Визначення умов і розробка методів опису процесів у складних динамічних об'єктах еквівалентними моделями не вище третього порядку Determining the conditions and designing the methods for description of processes in complex dynamic objects by equivalent models with order not higher than third Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Определение условий и разработка методов описания процессов в сложных динамических объектах эквивалентными моделями не выше третьего порядка |
| spellingShingle |
Определение условий и разработка методов описания процессов в сложных динамических объектах эквивалентными моделями не выше третьего порядка Мокин, А.Б. Мокин, В.Б. Мокин, Б.И. Чернова, И.А. Проблемы динамики управляемых систем |
| title_short |
Определение условий и разработка методов описания процессов в сложных динамических объектах эквивалентными моделями не выше третьего порядка |
| title_full |
Определение условий и разработка методов описания процессов в сложных динамических объектах эквивалентными моделями не выше третьего порядка |
| title_fullStr |
Определение условий и разработка методов описания процессов в сложных динамических объектах эквивалентными моделями не выше третьего порядка |
| title_full_unstemmed |
Определение условий и разработка методов описания процессов в сложных динамических объектах эквивалентными моделями не выше третьего порядка |
| title_sort |
определение условий и разработка методов описания процессов в сложных динамических объектах эквивалентными моделями не выше третьего порядка |
| author |
Мокин, А.Б. Мокин, В.Б. Мокин, Б.И. Чернова, И.А. |
| author_facet |
Мокин, А.Б. Мокин, В.Б. Мокин, Б.И. Чернова, И.А. |
| topic |
Проблемы динамики управляемых систем |
| topic_facet |
Проблемы динамики управляемых систем |
| publishDate |
2016 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Визначення умов і розробка методів опису процесів у складних динамічних об'єктах еквівалентними моделями не вище третього порядку Determining the conditions and designing the methods for description of processes in complex dynamic objects by equivalent models with order not higher than third |
| description |
Визначено умови, при виконанні яких процеси в складних динамічних об’єктах можна еквівалентно описувати диференціальними рівняннями не вище третього порядку. Запропоновано методи опису таких процесів моделями, еквівалентними за частотою зрізу і за критичною частотою. Запропоновано обчислювальну форму для оцінювання похибки еквівалентування лінійного динамічного об’єкта високого порядку.
The conditions under which the processes in complex dynamic objects can be described by equivalent differential equations with order not higher than third are determined. The methods for describing such processes by models which are equivalent in cut-off frequency and critical frequency are considered. Сomputing for error estimation of equivalenting of linear dynamic object of high order is performed.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208076 |
| citation_txt |
Определение условий и разработка методов описания процессов в сложных динамических объектах эквивалентными моделями не выше третьего порядка / А.Б. Мокин, В.Б. Мокин, Б.И. Мокин, И.А. Чернова // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 2. — С. 37-49. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT mokinab opredelenieusloviiirazrabotkametodovopisaniâprocessovvsložnyhdinamičeskihobʺektahékvivalentnymimodelâminevyšetretʹegoporâdka AT mokinvb opredelenieusloviiirazrabotkametodovopisaniâprocessovvsložnyhdinamičeskihobʺektahékvivalentnymimodelâminevyšetretʹegoporâdka AT mokinbi opredelenieusloviiirazrabotkametodovopisaniâprocessovvsložnyhdinamičeskihobʺektahékvivalentnymimodelâminevyšetretʹegoporâdka AT černovaia opredelenieusloviiirazrabotkametodovopisaniâprocessovvsložnyhdinamičeskihobʺektahékvivalentnymimodelâminevyšetretʹegoporâdka AT mokinab viznačennâumovírozrobkametodívopisuprocesívuskladnihdinamíčnihobêktahekvívalentnimimodelâmineviŝetretʹogoporâdku AT mokinvb viznačennâumovírozrobkametodívopisuprocesívuskladnihdinamíčnihobêktahekvívalentnimimodelâmineviŝetretʹogoporâdku AT mokinbi viznačennâumovírozrobkametodívopisuprocesívuskladnihdinamíčnihobêktahekvívalentnimimodelâmineviŝetretʹogoporâdku AT černovaia viznačennâumovírozrobkametodívopisuprocesívuskladnihdinamíčnihobêktahekvívalentnimimodelâmineviŝetretʹogoporâdku AT mokinab determiningtheconditionsanddesigningthemethodsfordescriptionofprocessesincomplexdynamicobjectsbyequivalentmodelswithordernothigherthanthird AT mokinvb determiningtheconditionsanddesigningthemethodsfordescriptionofprocessesincomplexdynamicobjectsbyequivalentmodelswithordernothigherthanthird AT mokinbi determiningtheconditionsanddesigningthemethodsfordescriptionofprocessesincomplexdynamicobjectsbyequivalentmodelswithordernothigherthanthird AT černovaia determiningtheconditionsanddesigningthemethodsfordescriptionofprocessesincomplexdynamicobjectsbyequivalentmodelswithordernothigherthanthird |
| first_indexed |
2025-11-25T21:04:33Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:04:33Z |
| _version_ |
1850544080097902592 |
| fulltext |
© А.Б. МОКИН, В.Б. МОКИН, Б.И. МОКИН, И.А. ЧЕРНОВА, 2016
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 37
УДК 517.977
А.Б. Мокин, В.Б. Мокин, Б.И. Мокин, И.А. Чернова
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСЛОВИЙ
И РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ
ОПИСАНИЯ ПРОЦЕССОВ В СЛОЖНЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТАХ ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ
МОДЕЛЯМИ НЕ ВЫШЕ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Введение
В шестидесятых годах прошлого столетия известный советский ученый,
академик А.Ю. Ишлинский [1] высказал гипотезу, что движение динамического
объекта, описываемое дифференциальным уравнением порядка, выше третьего,
т.е. дифференциальным уравнением вида
,3,... 11
1
1
nKxy
dt
dy
a
dt
yd
a
dt
yd
a
n
n
nn
n
n (1)
в диапазоне изменения координат движения можно без внесения существенных
ошибок эквивалентно описать дифференциальным уравнением порядка, не выше
третьего, т.е. дифференциальным уравнением
xKy
dt
dy
a
dt
yd
a
dt
yd
a 312
2
23
3
3 (2)
или
,212
2
2 xKy
dt
dy
a
dt
yd
a (3)
или даже
xKy
dt
dy
a 11 . (4)
При этом академик А.Ю. Ишлинский в работах [1, 2] в качестве эквивалент-
ных моделей таких сложных динамических объектов, какими являются баллисти-
ческие ракеты с гироскопическими устройствами и интеграторами ускорений в
системе управления, использовал только дифференциальные уравнения второго
порядка. Важно отметить также и то, что ученый в своих работах не приводит
оценок погрешностей эквивалентирования, оставляя это на будущее. С тех пор эта
гипотеза академика А. Ю. Ишлинского «кочует» по монографиям и научным стать-
ям в области технической кибернетики как аксиома, дойдя и до нынешнего вре-
мени, например, в работах [3, 4], авторы которых, как и академик Ишлинский, в
качестве эквивалентных моделей сложных динамических объектов также исполь-
зуют дифференциальные уравнения второго порядка.
И именно такое увлечение многими авторами эквивалентированием матема-
тических моделей сложных динамических объектов дифференциальными уравне-
ниями второго порядка, сдвигающими реальную критическую частоту динамического
объекта в бесконечность, что существенно искажает описание процессов, проте-
кающих в таких объектах на границе устойчивости, обусловило наше желание
60
1956 2016
38 ISSN 0572-2691
отыскать необходимые и достаточные условия, при выполнении которых гипотеза
А.Ю. Ишлинского справедлива вообще и справедлива при использовании диффе-
ренциальных уравнений второго порядка в частности, а также желание дать
оценку погрешностям эквивалентирования — это и составляет сущность по-
становки задачи в нашей работе, для которой выражениями (1)–(4) задаются ис-
ходные предпосылки.
Следует отметить, что отдельные подзадачи этой задачи нами были решены
в [5–7], а в данной работе решения этих подзадач увязаны между собой и на их
основе получено решение поставленной задачи в целом, которое было представ-
лено в нашем докладе на Международной конференции по автоматическому
управлению «АВТОМАТИКА–2015», тезисы которого изложены в работе [8].
Определение условий, при соблюдении которых процессы в сложных
динамических объектах высокого порядка, допускающих линеаризацию,
можно описывать эквивалентными моделями не выше третьего порядка
Если преобразовать дифференциальные уравнения, (1)–(4) по Лапласу [9] при
нулевых начальных условиях и определить передаточные функции W1(p), W2(p),
W3(p), W4(p) объектов, которые осуществляют преобразование входного сигнала )(tx
в выходной ),(ty т.е. получить эти передаточные функции в виде:
,
1
)(
1
1
1
pa
K
pW (5)
,
1
)(
1
2
2
2
2
papa
K
pW (6)
,
1
)(
1
2
2
3
3
3
3
papapa
K
pW (7)
1...
)(
1
1
1
papapa
K
pW
n
n
n
n
, (8)
то, как показано в работах авторов [5–7], при подаче на вход объекта с передаточной
функцией (5), т.е. объекта первого порядка единичного входного сигнала
,0,0
,0,1
)(1)(
t
t
ttx (9)
для реакции )(ty справедливы условия
,0)0( y
(10)
,0)( ty (11)
а при подаче этого же сигнала на вход объекта второго порядка с передаточной
функцией (6) справедливы условия
.0)0( y (12)
,0)( pty (13)
где аргумент pt — одна из координат точки перегиба графика реакции ).(ty
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 39
Таким образом, для того чтобы для эквивалентного описания движения
сложного динамического объекта на временной оси использовать дифференци-
альное уравнение первого порядка (4), необходимо одновременное выполне-
ние условий (10), (11), а для того чтобы для эквивалентного описания движения
сложного динамического объекта на временной оси использовать дифференци-
альное уравнение второго порядка (3), необходимо одновременное выполнение
условий (12), (13).
Во всех иных случаях, как показано в работах [5–7], для эквивалентного опи-
сания движения сложного динамического объекта на временной оси необходимо
использовать дифференциальное уравнение третьего порядка (2).
Условия, которые мы рассмотрели выше, необходимы для эквивалентного
описания движения динамических объектов дифференциальными уравнениями не
выше второго порядка. А для получения необходимых условий эквивалентирова-
ния динамических объектов дифференциальными уравнениями третьего порядка,
а также для получения достаточных условий эквивалентирования динамических
объектов дифференциальными уравнениями не выше третьего порядка перейдем
к рассмотрению логарифмических частотных характеристик эквивалентируемых
и эквивалентных объектов — амплитудной (ЛАЧХ) )(L и фазовой (ЛФЧХ)
)( [9], которые для динамического объекта, движение которого в общем случае
описывается дифференциальным уравнением n-го порядка (1), ориентировочно
можно представить так, как показано на рис. 1.
1 0,1 0,01 10
100 10
3
cr
cut
)(
)(
)(L
)(lg20 A
1 0,1 0,01 10
100 10
3
cr
cut
)(
)(
)(L
)(lg20 A
а б
Рис. 1
Напомним, что для передаточных функций (5)–(7)
,3,2,1,)()()()()(
)(
ieAjQRpWjW ij
iiijpii (14)
),()()( 22 iii QRA ,
)(
)(
)(
i
i
i
R
Q
arctg (15)
),(lg20)( ii AL )(i (16)
и в выражениях (16) для ЛАЧХ и ЛФЧХ приращения круговой частоты откла-
дываются на частотной оси в декадах.
Как известно [9], для ЛАЧХ и ЛФЧХ характерны две частоты — частота
среза cut и критическая частота cr , которые определяются из уравнений:
,0)( cutL (17)
)( cr (18)
и имеют графическую интерпретацию, представленную на рис. 1.
40 ISSN 0572-2691
В соответствии с критерием Найквиста [9], если, как показано на рис.1, a,
,crcut (19)
то устойчивый динамический объект, для которого выполняется условие (19),
останется устойчивым и после замыкания его единичной отрицательной обратной
связью, т.е. в таком объекте характер процессов до его замыкания единичной
отрицательной обратной связью и после замыкания не изменяется.
Если же, как показано на рис. 1, б,
,crcut (20)
то динамический объект, устойчивый в разомкнутом состоянии, для которого выпол-
няется условие (20), становится неустойчивым после замыкания его единичной
обратной связью, т.е. в таком объекте характер процессов до его замыкания единич-
ной обратной связью и после замыкания изменяется. Поэтому только в случае выпол-
нения условия (19) для динамического объекта высокого порядка для описания его
движения можно использовать эквивалентные модели в виде (4) и (3), поскольку для
первой, как известно [9], справедливо неравенство
),,0[,
2
)(1
(21)
а для второй — неравенство
).,0[,)(2 (22)
Если же для динамического объекта высокого порядка выполняется усло-
вие (20), то для описания его движения нельзя использовать эквивалентные моде-
ли (4), (3), а необходимо использовать эквивалентную модель (2), поскольку толь-
ко для нее справедлива система неравенств
),,(,)(
],,0[,)(
3
3
cr
cr
(23)
с которой совпадает неравенство (20) в окрестности критической частоты .cr
Вполне очевидно, что все рассмотренные выше условия также относятся
к числу необходимых при решении задачи эквивалентирования.
А теперь перейдем к определению условий, достаточных для решения задачи
эквивалентирования. Из рис. 1 видно, что для динамического объекта n-го порядка
справедлива система неравенств
).,(,0)(
],,0[,0)(
cut
cut
L
L
(24)
Верхнее неравенство из системы (24) свидетельствует о том, что на частотах
до частоты среза динамический объект ведет себя как усилитель, для которого
справедливо неравенство
,1)( A (25)
а нижнее неравенство из системы (24) свидетельствует о том, что при значениях
частоты, больших частоты среза, динамический объект ведет себя как фильтр, для
которого справедливо неравенство
.1)( A (26)
Из изложенного выше следует, что при синтезе эквивалентной математической
модели для динамического объекта, который функционирует в режиме преобразо-
вателя входного сигнала в выходной без необходимости его замыкания единичной
обратной связью, обязательно необходимо учитывать условия (25), (26), которые
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 41
являются достаточными для динамических объектов этого класса. А при синтезе
эквивалентной математической модели для динамического объекта, управление
которым будет осуществляться с использованием единичной обратной связи,
достаточными становятся условия (20), (23).
Метод описания процессов в сложных динамических объектах,
которые допускают линеаризацию и работают в режиме прямой
передачи сигнала, математическими моделями не выше
третьего порядка, эквивалентными по частоте среза
Выше определены условия, при соблюдении которых процессы в динамических
объектах, допускающих линеаризацию и описывающихся дифференциальными
уравнениями высоких порядков, т.е. дифференциальными уравнениями вида (1),
в диапазоне изменения координат движения могут быть эквивалентно (без внесения
существенных погрешностей) описаны дифференциальными уравнениями не выше
третьего порядка, т.е. дифференциальными уравнениями вида (2) или вида (3),
или даже вида (4).
В связи с тем, что для линейного динамического объекта высокого порядка,
который функционирует в режиме передачи сигнала со входа на выход, при его
эквивалентировании необходимо обеспечить одинаковый характер решений,
полученных с помощью основной математической модели (1) и эквивалентной
модели из множества (2)–(4) как в частотной области усиления сигналов, так и в ча-
стотной области их фильтрации, то и графики ЛАЧХ )(L основной модели (1)
и графики асимптотических ЛАЧХ ),(1 L ),(2 L )(3 L эквивалентных моде-
лей (2)–(4) должны начинаться с одной и той же точки при наименьшем началь-
ном значении 0 частоты , в которой
),()()()( 0302010 LLLL (27)
и проходить через одну и ту же точку на частоте среза ,cut т.е. иметь ориенти-
ровочный вид, показанный на рис. 2.
1
0,1 0,01
10
10 10
4
0
cut
)(L
lg
)(
1
L )(
*
2
L )(
2
L )(
*
3
L )(
3
L )(L
10
9
10
7
10
8
10
6
10
5
100 1
2 3 4 5 6 7 9
д
дБ
Рис. 2
Для дальнейшего решения задачи примем, что у нас есть возможность подать
на вход динамического объекта, эквивалентную математическую модель которого
мы синтезируем, единичный ступенчатый сигнал (9), реакция на который позволяет
определить, какие из условий (10)–(13) выполняются, и есть возможность экспери-
42 ISSN 0572-2691
ментально снять амплитудную )(A и фазовую )( частотные характеристики
объекта в виде последовательностей ,...,,2,1),(),( NsA ss с помощью
стандартного комплекта приборов, который серийно выпускается и включает в себя
генератор синусоидальных сигналов, двойной пиковый вольтметр и частото-
мер–фазометр и дополняется устройствами сопряжения этих приборов со входом
и выходом динамического объекта. А к логарифмическим частотным характе-
ристикам объекта нам помогают перейти соотношения (16). Имея ЛАЧХ )(L ,
из уравнения (17) легко находим частоту среза cut динамического объекта.
Из рис. 2 следует, что наклон последнего прямолинейного отрезка графика
асимптотической ЛАЧХ, который пересекает частотную ось в точке cut для
объекта с моделью первого порядка (4) равен 20 дБ на декаду, для объекта с моделью
второго порядка (3) равен 40 дБ на декаду, а для объекта третьего порядка (2)
равен 60 дБ на декаду.
Затем, воспользовавшись соотношениями (14)–(16), найдем, что
);(arctg)(
),1lg(10lg20)(lg20)(
11
22
1111
a
aKAL
(28)
;
1
arctg)(
),)1lg((10lg20)(lg20)(
2
2
1
2
22
1
22
2222
a
a
aaKAL
(29)
.
1
arctg)(
),)()1lg((10lg20)(lg20)(
2
2
3
31
3
23
31
22
2333
a
aa
aaaKAL
(30)
В соответствии с общепринятым подходом в теории идентификации [10]
в качестве критериев эквивалентирования также воспользуемся стандартными
критериями наименьших квадратов — в данном случае относительно эксперимен-
тально снятой ЛАЧХ высокоразмерного объекта ,...,,2,1),( NsL s и ЛАЧХ эк-
вивалентных моделей ),(),(),( 321 LLL т.е. функционалами
,3,2,1,))()(( 2
1
iLL sis
N
s
i (31)
подставляя в которые выражения для )(),(),( 321 LLL , взятые из соотноше-
ний (28)–(30), получим:
,))1lg(10lg20)(( 222
11
1
1 ss
N
s
aKL
(32)
,)))1((lg10lg20)(( 222
1
22
22
1
2 sss
N
s
aaKL
(33)
223
31
22
23
1
3 )))()1((lg10lg20)(( ssss
N
s
aaaKL
. (34)
Далее, в соответствии со стандартной процедурой метода наименьших квад-
ратов (МНК) в случае, если в качестве эквивалентной математической модели
выбираем дифференциальное уравнение (4), то должны были бы взять частные
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 43
производные от 1 по неизвестным коэффициентам ,, 11 aK приравнять эти про-
изводные к нулю и, решив полученную систему двух уравнений относительно
двух неизвестных ,, 11 aK определить численные значения этих двух неизвестных
коэффициентов.
Аналогично в случае, если в качестве эквивалентной математической модели
выбираем дифференциальное уравнение (3), то согласно процедуре МНК должны
были бы взять частные производные от 2 по неизвестным коэффициентам
,,, 212 aaK приравнять эти производные к нулю и, решив полученную систему
трех уравнений относительно трех неизвестных ,,, 212 aaK определить числен-
ные значения этих трех неизвестных коэффициентов.
Если же в качестве эквивалентной математической модели выбираем диф-
ференциальное уравнение (2), то в соответствии с процедурой МНК должны
были бы взять частные производные от 3 по неизвестным коэффициентам
,,,, 3213 aaaK приравнять эти производные к нулю и, решив полученную систему
четырех уравнений относительно четырех неизвестных ,,,, 3212 aaaK определить
численные значения этих четырех неизвестных коэффициентов.
В этом случае получим модели процессов в динамических объектах, решения
которых будут отражать реальные процессы в среднеквадратическом смысле, не
совпадая со значениями реальных процессов на концах диапазонов, которые в ча-
стотной области будут задаваться частотами 0 и ,cut и для которых выполнение
выведенных выше достаточных условий при эквивалентировании обязательно.
Отсюда следует, что при эквивалентировании математической модели ли-
нейного динамического объекта высокого порядка математической моделью (4),
которая содержит только два неизвестных параметра: ,, 11 aK для их определения
необходимо иметь систему, состоящую только из двух уравнений, которую мож-
но составить и без взятия частных производных от выражения (40), а воспользо-
вавшись граничными условиями (27), (17), поскольку из выражения (27) в связи
с малостью 0 следует, что
10 lg20)( KL , (35)
а из выражения (17) следует, что
.0lg20lg20lg20 11 cutaK (36)
Решая систему уравнений (35), (36), получаем
.10
1
,10 20
)(
1
20
)(
1
0 oL
cut
L
aK
(37)
Однако при эквивалентировании математической модели линейного динами-
ческого объекта высокого порядка математической моделью (3), которая содер-
жит три неизвестных параметра: 211 ,, aaK , для их определения нужно иметь си-
стему из трех уравнений, которую составить, воспользовавшись только гранич-
ными условиями (27), (17), уже не удастся, поскольку эти граничные условия
позволяют составить только два уравнения:
20 lg20)( KL , (38)
,0lg40lg20lg20 22 cutaK (39)
из которых получим
.10
1
,10 20
)(
22
20
)(
2
00
L
cut
L
aK (40)
44 ISSN 0572-2691
Что же касается третьего неизвестного параметра ,1a то в этом случае для его
определения необходимо брать частную производную по нему от выражения (33)
и получить, приравняв эту производную к нулю, в дополнение к уравнениям (49)
еще и третье уравнение, нелинейное, но с одним неизвестным 1a , имеющее вид
0
)2(1)2(1
10
lg)(
42
2
2
2
2
1
2
42
2
2
2
2
1
2
2
1
ii
i
ii
i
N
i aaaaaa
K
L , (41)
для решения которого после подстановки в него соотношений (40) в пакетах при-
кладных программ Mathcad и Matlab заложена стандартная процедура.
Что же касается эквивалентирования математической модели линейного ди-
намического объекта высокого порядка математической моделью (2), которая со-
держит четыре неизвестных параметра: ,,,, 3211 aaaK то для их определения
нужно иметь систему четырех уравнений, которую составить, воспользовавшись
только граничными условиями (27), (17), также не удастся, поскольку эти гранич-
ные условия дают только два уравнения:
,lg20)( 30 KL (42)
,0lg60lg20lg20 33 cutaK (43)
из которых следует, что
.10
1
,10 20
)(
33
20
)(
3
00
L
cut
L
aK (44)
Относительно еще двух неизвестных параметров: ,, 21 aa то в этом случае
для их определения необходимо брать две частные производные по ним от
выражения (34) и получить, приравняв эти производные к нулю, в дополнение
к уравнениям (44) еще два уравнения:
62
3
4
31
2
2
2
2
2
1
2
3
1 )2()2(1
10
lg)(
sss
s
N
s aaaaaa
K
L
,0
)2()2(1 62
3
4
31
2
2
2
2
2
1
4
3
2
1
sss
ss
aaaaaa
aa
(45)
62
3
4
31
2
2
2
2
2
1
2
3
1 )2()2(1
10
lg)(
sss
s
N
s aaaaaa
K
L
,0
)2()2(1 62
3
4
31
2
2
2
2
2
1
4
2
2
sss
ss
aaaaaa
a
(46)
решая которые после подстановки в них соотношений (44) как систему двух не-
линейных уравнений с двумя неизвестными по стандартной процедуре в пакете
прикладных программ (ППП) Mathcad или MATLAB, получим в дополнение
к уже найденным ранее с помощью выражений (44) численным значениям пара-
метров 33, aK также численные значения параметров ., 21 aa
Метод описания процессов в сложных динамических объектах,
которые допускают линеаризацию, математическими моделями
не выше третьего порядка, эквивалентными по критической частоте
Выше определены условия, которых необходимо придерживаться при синтезе
эквивалентной математической модели для линейного динамического объекта
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 45
высокого порядка, и показано, что в случае эквивалентирования этого объекта
в задаче управления с замыканием единичной обратной связью и критической ча-
стотой cr , меньшей частоты среза cut этого объекта, т.е. при выполнении не-
равенства ,crcut минимальный порядок эквивалентной модели этого объекта,
процессы в котором адекватно описываются дифференциальным уравнением n-го по-
рядка (1), равняется трем, т.е. эквивалентной математической моделью этого
объекта может быть дифференциальное уравнение не ниже третьего порядка вида (2).
Напомним, что критическая частота cr динамического объекта и его часто-
та среза cut определяются из уравнений (17), (18), в которых ориентировочные
ЛФЧХ объекта )( и ЛАЧХ этого объекта при эквивалентировании по критиче-
ской частоте могут иметь вид, показанный на рис. 3.
Покажем, как синтезировать эквивалентную математическую модель вида (2),
чтобы она с допустимой погрешностью описывала процесс в линейном динамиче-
ском объекте высокого порядка, который адекватно описывается математической
моделью (1), при условии, что справедливо неравенство (20).
В эквивалентной математической модели (2) неизвестны четыре параметра:
,,,, 3321 Kaaa для определения которых необходимо иметь связанную систему
четырех уравнений, в которых именно эти параметры неизвестны.
1
0,1 0,01 10 1000
0
cr
)(L
lg
rad),(
)(
3
L
)(L
100 1
2 3 4 5
д
дБ
2
2
3
)(
)(
3
Рис. 3
Воспользовавшись соотношениями (14)–(16), можно показать, что логариф-
мические частотные характеристики эквивалентной математической модели (2)
имеют вид
,
1
arctg)(
2
2
3
31
3
a
aa
))()1lg((10lg20)( 23
31
22
233 aaaKL . (47)
46 ISSN 0572-2691
Как следует из рис. 3, на малой частоте 0 при использовании левого гра-
ничного условия, обусловленного необходимостью обеспечения равных коэффи-
циентов описания динамического объекта и его эквивалентной модели в устано-
вившемся режиме, справедливо равенство
,lg20)( 30 KL (48)
отсюда
.10 20
)(
3
0
L
K (49)
А теперь посмотрим, что нам дает использование правого граничного
условия, заданного равенством (18), подставляя в которое выражение для
)(3 , будем иметь
,
1
arctg
2
2
3
31
cr
crcr
a
aa
(50)
отсюда
.2
31 craa (51)
Таким образом, из четырех уравнений, необходимых для определения чис-
ленных значений параметров 3321 ,,, Kaaa эквивалентной модели (2), имеем два,
которые задаются соотношениями (49) и (51).
Для составления еще двух уравнений сначала сформируем функционал
,)))()1(lg(10lg20)((
))()((
22322
3
22
23
1
2
3
1
SScrSS
N
S
SS
N
S
L
aaKL
LL
(52)
затем найдем частные производные от функционала (52) по 2a и 3a и приравняем
каждую из них нулю. В результате получим два нелинейных уравнения относи-
тельно неизвестных параметров 2a и 3a :
,0
)()1(
)1(
)))()1((lg10lg20)(((
2322
3
22
2
22
2
2322
3
22
23
1
SScrS
SS
SScrSS
N
S
aa
a
aaKL
(53)
,0
)()1(
)(
)))()1((lg10lg20)((
2322
3
22
2
232
2322
3
22
23
1
SScrS
SScr
SScrSS
N
S
aa
aaKL
(54)
решая которые совместно после подстановки в них выражений (49), (51) c помощью
стандартной процедуры ППП Mathcad или Matlab, определим численные значения
этих параметров. Подставляя найденное из системы уравнений (53), (54) зна-
чение параметра 3a в выражение (51), определим и численное значение парамет-
ра ,1a чем и завершается решение задачи эквивалентирования линейного динами-
ческого объекта высокого порядка математической моделью (2), два из четырех
параметров которой находятся из граничных условий на частотной оси, а два дру-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 47
гих определяются путем применения МНК к квадратичному функционалу, сфор-
мированному из ЛАЧХ объекта и его эквивалентной модели в частотной области
динамического объекта, ограниченной критической частотой ,cr в которой N дис-
крет частотного спектра определяется из выражения ,0
crN в котором —
выбранный интервал дискретизации.
Сравнивая между собой алгоритм определения параметров эквивалентной
модели, которой предлагается описывать процессы в динамическом объекте вы-
сокого порядка, базирующийся на использовании частоты среза и расчетных со-
отношениях (45), (46), с алгоритмом, базирующимся на использовании критиче-
ской частоты и расчетных соотношениях (53), (54), видим, что при одном и том
же третьем порядке модели численные значения этих параметров будут отличаться.
А это еще одно доказательство того, что синтезировать эквивалентные математи-
ческие модели необходимо с учетом как характера процессов в динамическом
объекте высокого порядка, так и с учетом характера задачи, возложенной на него.
Оценка погрешности эквивалентирования
Погрешность эквивалентирования моделями (2)–(4) линейного динамическо-
го объекта высокого порядка в частотной области можно записать так:
,3,2,1),()()())()((
)()()()()()()(
ijXjWjXjWjW
jXjWjXjWjYjYjY
ii
iii
(55)
отсюда
,3,1
,)())(sin)()(sin)(())(cos)(
)(cos)(()()()()()(
)(
)()(
i
eAAAjA
AeAeAjWjWjW
i
i
j
iiii
j
i
j
ii
(56)
,)()(cos)()(2)()()( 22 iiii AAAAA
(57)
,
)(cos)()(cos)(
)(sin)()(sin)(
arctg)(
ii
ii
i
AA
AA
(58)
),()()( XAY ii (59)
где )(X — АЧХ входного сигнала динамического объекта.
Используя равенство Парсеваля [11], средний квадрат погрешности ,)(tyi
который характеризует ее среднюю мощность, можно определить из выражения
,))((
1
)( 2
0
dYty ii (60)
подставляя в которое выражение (59) и заменяя интеграл суммой значений в точках
дискретизации спектра, получим
)).())()(cos()()(2)()((()( 222
1
ssississis
m
s
i XAAAAty
(61)
Здесь — интервал дискретизации по частоте, max — верхняя частота полосы
пропускания динамического объекта, а количество дискрет m находится из выражения
.0max
m (62)
48 ISSN 0572-2691
Наибольшим средний квадрат погрешности )(tyi будет при отработке динами-
ческим объектом ступенчатого входного сигнала (9), для которого
.
11
)( 2
j
e
j
jX
(63)
Подставляя )(X из (63) в (61), имеем
.
1
)))()(cos()()(2)()(()(
2
22
1 s
sississis
m
s
i AAAAty
(64)
По аналогии среднюю мощность )(ty выходного сигнала )(ty динамическо-
го объекта как его реакцию на входной единичный ступенчатый сигнал (9) можно
представить в виде
2
2
1
2
1
2
0
1
)())()(())((
1
)(
s
s
m
s
ss
m
s
AXAdYty
. (65)
С учетом выражений (64) и (65) относительный средний квадрат погрешности
эквивалентирования ,)(tyi выраженный в процентах, можно представить как
.3,1%,100
)(
)(
)(
i
ty
ty
ty i
i (66)
Оценивая рассчитанный по выражению (66) относительный средний квадрат
погрешности эквивалентирования и будем принимать решение, удовлетворяет нас
выбранная эквивалентная модель линейного динамического объекта высокого
порядка или нет.
Заключение
В настоящей работе определены условия, при выполнении которых процессы
в линейных динамических объектах высоких порядков можно эквивалентно опи-
сывать линейными дифференциальными уравнениями не выше третьего порядка.
Установлено, при каких условиях линейные динамические объекты высоких по-
рядков можно эквивалентно описывать моделями первого и второго порядков,
а при каких его необходимо осуществлять в классе моделей третьего порядка.
Предложен метод описания процессов в линейных динамических объектах,
работающих в режиме прямой передачи сигнала, математическими моделями не
выше третьего порядка, эквивалентными по частоте среза, а также метод синтеза
математической модели третьего порядка, эквивалентной по критической частоте.
Показано, что эквивалентные математические модели линейного динамиче-
ского объекта, синтезированные с использованием частоты среза и критической
частоты, отличаются, что служит еще одним доказательством того, что синтези-
ровать эквивалентные математические модели необходимо с учетом как характе-
ра процессов в динамическом объекте высокого порядка, так и характера выпол-
няемой этим объектом задачи.
Для оценки погрешности эквивалентирования линейного динамического
объекта высокого порядка выбранной эквивалентной математической моделью
предложено использовать относительный средний квадрат погрешности эквива-
лентирования, для которого составлена вычислительная форма.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 49
О.Б. Мокін, В.Б. Мокін, Б.І. Мокін, І.О. Чернова
ВИЗНАЧЕННЯ УМОВ І РОЗРОБКА МЕТОДІВ
ОПИСУ ПРОЦЕСІВ У СКЛАДНИХ ДИНАМІЧНИХ
ОБ’ЄКТАХ ЕКВІВАЛЕНТНИМИ МОДЕЛЯМИ
НЕ ВИЩЕ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ
Визначено умови, при виконанні яких процеси в складних динамічних об’єктах
можна еквівалентно описувати диференціальними рівняннями не вище третього
порядку. Запропоновано методи опису таких процесів моделями, еквівалент-
ними за частотою зрізу і за критичною частотою. Запропоновано обчислюваль-
ну форму для оцінювання похибки еквівалентування лінійного динамічного
об’єкта високого порядку.
A.B. Mokin, V.B. Mokin, B.I. Mokin, I.A. Chernova
DETERMINING THE CONDITIONS AND DESIGNING
THE METHODS FOR DESCRIPTION OF PROCESSES
IN COMPLEX DYNAMIC OBJECTS BY EQUIVALENT
MODELS WITH ORDER NOT HIGHER THAN THIRD
The conditions under which the processes in complex dynamic objects can be de-
scribed by equivalent differential equations with order not higher than third are
determined. The methods for describing such processes by models which are equiva-
lent in cut-off frequency and critical frequency are considered. Сomputing for error es-
timation of equivalenting of linear dynamic object of high order is performed.
1. Ишлинский А.Ю. Механика гироскопических систем. — М.: Изд-во АН СССР, 1963. — 213 с.
2. Ишлинский А.Ю. Инерциальное управление баллистическими ракетами. Некоторые теоре-
тические вопросы. — М.: Наука, 1968. — 143 с.
3. Волковский А.Ю. Дискретное управление процессами поддержания климатических условий
в животноводческом комплексе // Научный журнал КубГАУ. — 2011. — № 68(04). — С. 1–16.
4. Шилин А.Н., Крутякова О.А. Цифровое моделирование электротехнических и электронных
устройств. — М.: Академия естествознания, 2014. — 131 с.
5. Мокін О.Б., Мокін В.Б., Мокін Б.І. Визначення умов, за яких рух динамічних об’єктів з
порядком математичних моделей, вищим трьох, можна описувати еквівалентними моделями
з порядком, не вищим трьох // Вісник Вінницького політехнічного інституту. — 2014. —
№ 4. — С. 7–15.
6. Метод ідентифікації процесів в багатовимірних динамічних об’єктах, що допускають ліне-
аризацію, математичними моделями не вище третього порядку, еквівалентними за часто-
тою зрізу / О.Б. Мокін, В.Б. Мокін, Б.І. Мокін, І.О. Чернова // Наукові праці Вінницького
національного технічного університету. — 2014. — № 3. — С. 1–10. — http://praci.vntu.edu.ua/
article/view/3751.
7. Ідентифікація еквівалентної за критичною частотою математичної моделі мінімального
порядку для багатовимірного динамічного об’єкта / О.Б. Мокін, В.Б. Мокін, Б.І. Мокін,
І.О. Чернова // Вісник Вінницького політехнічного інституту. — 2014. — № 5. — С. 9–14.
8. Mokin B.I., Chernova I.O. Equivalent to the critical frequency mathematical model of minimum order
for a complex dynamic object // Материалы ХХІІ международной конференции по автоматиче-
скому управлению АВТОМАТИКА–2015. — Одесса, 2015. — С. 12–13.
9. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы. — М.: Машиностроение,
1977. — 464 с.
10. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. — М.: Наука, 1984. — 320 с.
11. Бабак В.П., Хандецький В.С., Шрюфер Е. Обробка сигналів. — Київ: Либідь, 1999. — 496 с.
Получено 09.11.2015
|