Игровые задачи для систем с переменным запаздыванием
Розглянуто ігрову задачу зближення траекторії квазілінійного конфліктно-керованого процесу з циліндричною термінальною множиною за наявності змінного запізнення. Методом розв’язувальних функцій отримано достатні умови зближення в класі квазі- та стробоскопічних стратегій. Наведено приклад задачі пер...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208079 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Игровые задачи для систем с переменным запаздыванием / Я.И. Бигун, Е.А. Любарщук, И.М. Черевко // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 2. — С. 79-90. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860178185571794944 |
|---|---|
| author | Бигун, Я.И. Любарщук, Е.А. Черевко, И.М. |
| author_facet | Бигун, Я.И. Любарщук, Е.А. Черевко, И.М. |
| citation_txt | Игровые задачи для систем с переменным запаздыванием / Я.И. Бигун, Е.А. Любарщук, И.М. Черевко // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 2. — С. 79-90. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглянуто ігрову задачу зближення траекторії квазілінійного конфліктно-керованого процесу з циліндричною термінальною множиною за наявності змінного запізнення. Методом розв’язувальних функцій отримано достатні умови зближення в класі квазі- та стробоскопічних стратегій. Наведено приклад задачі переслідування з квазілінійним запізненням у динаміці втікача.
Game problem of approach for quasilinear conflict-controlled process with variable time-delay is considered. Based on the method of resolving functions we derive sufficient conditions for quasi- and stroboscopic strategies. An example of problem pursuit with quasilinear time-delay is provided.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:00:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Я.И. БИГУН, Е.А. ЛЮБАРЩУК, И.М. ЧЕРЕВКО 2016
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 79
УДК 517.977
Я.И. Бигун, Е.А. Любарщук, И.М. Черевко
ИГРОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ
С ПЕРЕМЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Введение
Для моделирования динамики многих механических, биологических, эко-
номических, а также физических процессов недостаточно использования обыкно-
венных дифференциальных уравнений. Более адекватным является использование
дифференциально-разностных или дифференциально-функциональных уравнений.
Исследованию дифференциально-разностных уравнений посвящены моногра-
фии Р. Беллмана и К. Кука [1], А. Халаная [2], Л.Э. Эльсгольца и С.Б. Норкина [3]
и многих других. Основы теории дифференциально-функциональных уравнений
рассмотрены в работах Н.Н. Красовского [4] и Дж. Хейла [5], значительный
вклад в ее развитие принадлежит Пермской школе дифференциально-функци-
ональных уравнений во главе с профессором Н.В. Азбелевым [6] и др.
В работе [7] предложена общая схема метода разрешающих функций для
локальной задачи сближения с фиксированным временем. При этом существенно
использовалась возможность представить решение дифференциально-функци-
онального уравнения вида
,,>),(),()(=)(
0
n
s xttfstdstxtx R
(1)
с помощью явной формулы [2, p. 366]
.),()(),(),()(),()(=)(
dtXfdtXsdsxtXxtx
ts
s (2)
Здесь ),( tX — матрица, ее строки для >t — решения однородной сис-
темы ,(1) удовлетворяющей условиям:
1) ,0),( tX для ;< t
2) ,=),( EX E — единичная матрица.
Предполагается, что элементы матрицы ),( st в уравнении (1) удовлет-
воряют условиям: ),( stij определены для ,t непрерывные по t, равно-
мерно по s и 0),(=),( tst ijij для .0s Также существуют функции ,>)( tij
,0>)(tVij ограниченные для 0t такие, что 0),( stij для )(ts ij и
,)(),(0=
)(=
tVst ijij
s
tijs
где, как обычно, )(=
= sfs
s
означает полную вариацию
функции f на промежутке .],[
Для получения представления (2) для решения уравнения (1) предпола-
гается, что .<)(sup= ,, tijtji В работе [8] изучались дифференциально-раз-
ностные уравнения с переменным запаздыванием вида
;),())(()(=)( ttgttBxtAxtx
(3)
.=)(,0,=)( 0xxx
60
1956 2016
80 ISSN 0572-2691
Здесь g — локально суммируемая функция, )(t — измеримая неотрицательная
функция и .0
nx R Решение задачи (3) определяется явной формулой
,,)(),()(),(=)(
tdgtCxtCtx
t
(4)
где функция двух переменных C (функция Коши), определенная на множестве
,}:),{(= stst — решение задачи (3) при 0=)(tg и .1=),( C
Большое прикладное значение теории дифференциальных игр объясняет интерес
исследователей к этой области. Фундаментальные результаты теории дифферен-
циальных игр получены в работах Р. Айзекса, Л.С. Понтрягина, Н.Н. Красовского,
Б.Н. Пшеничного, Е.Ф. Мищенко, Р.В. Гамкрелидзе, Ю.С. Осипова, А.Б. Куржанского,
В.М. Кунцевича, А.А. Чикрия, П.Б. Гусятникова и их учеников [9–12].
Существует несколько подходов к решению дифференциальных игр пресле-
дования. Один из них связан с правилом экстремального прицеливания Н.Н. Кра-
совского. Этот подход использовался для решения дифференциально-разностной
задачи преследования в работах Ю.С. Осипова, А.Б. Куржанского [13]. Решение
игровой задачи сводится к последовательному выбору экстремальных управлений,
сохраняющих траекторию процесса на некотором специальном множестве позиций.
Наряду с правилом экстремального прицеливания Н. Н. Красовского более
простым для решения конкретных задач является первый прямой метод Л.С. Понт-
рягина [10]. Данный подход использовался для решения линейных дифферен-
циальных игр преследования с запаздыванием в работе М.С. Никольского [14].
Мощным методом при решении задач преследования, которые описываются
функционально-дифференциальными уравнениями, является аппарат разрешаю-
щих функций [15–18]. Этот подход для дифференциально-разностных игр сближения
с постоянным запаздыванием использован в работе Л.В. Барановской [19].
В данной публикации для дифференциальных игр сближения с переменным
запаздыванием развит метод разрешающих функций А.А. Чикрия. Этот метод
позволяет использовать технику многозначных отображений и их селекторов для
получения содержательных результатов. Разрешающая функция, как правило,
бóльший положительный корень квадратного уравнения, становится удобной при
решении конкретных примеров.
Схема метода разрешающих функций
Рассмотрим задачу преследования, которая описывается системой линейных
функционально-дифференциальных уравнений с переменным запаздыванием
;),,())(()(=)( stvuttBztAztz (5)
.=)(;<0,=)( 0zszsz
Здесь ,nz R A и B — nn -постоянные матрицы, непрерывная функция
.),[:)( Rst Блок управления задается функцией ,:),( nVUvu R
которая считается непрерывной по совокупности переменных на прямом
произведении непустых компактов .)(),( nn KVKU RR
Цилиндрическое терминальное множество имеет вид [15]
,= 0
* MMM (6)
где 0M — линейное подпространство из ,nR а M — непустой компакт из
ортогонального дополнения L к 0M в пространстве .nR
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 81
Для задачи преследования (6)(5), рассматривается локальная задача
сближения с фиксированным временем.
Управления игроков URtu :)( и VRtv :)( — измеримые функции
времени. Цели игроков противоположны. Если первый игрок )(u старается
вывести траекторию процесса (5) на терминальное множество за кратчайшее
время, то второй )(v пытается избежать встречи или максимально оттянуть
момент попадания траектории на множество .*M
Определение 1. Предположим, что игра будет закончена в момент времени Т,
если для произвольных управлений убегающего игрока )(tv существует до-
пустимое управление преследователя ,)(tu при котором решение уравне-
ния (5) попадает на терминальное множество в момент времени Т.
Примем сторону первого игрока и сориентируемся на выбор противником
измеримой функции из V в качестве управления. Считаем, что игра происходит
на интервале времени .][0, T Тогда управление первого игрока выбираем на
основе информации о начальном положении 0z и )(tv в виде измеримой
функции
,)(],[0,)),(,(=)( 0 UtuTtvzutu t (7)
где ]}[0,:)({=)( tssvvt — предыстория управления второго игрока до
момента .t Такое управление реализует квазистратегию.
Пусть — ортопроектор, действующий из nR в .L Положив
,}:),({=),( UuvuvU рассмотрим многозначные отображения
),,(),(=),,( vUstCvstW
,0),,,(=),(
tvstWstW
Vv
определенные на множествах V и соответственно, где ,0}:),{(= stst
),( stC — матричная функция Коши из представления решения .(4)
Условие 1 (условие Понтрягина). Отображение ),( stW на множестве .
Так как матричная функция ),( stC измерима по t и суммируема по s для
каждого Rt в силу предположений о параметрах процесса ,(5) то можно
сделать вывод, что при любом фиксированном 0>t многозначное отображение
),,( vstW измеримо по s на интервале ][0, t и замкнуто по ., Vvv Тогда
согласно [20] ),( stW — измеримое по ][0, ts замкнутозначное отображение.
Из условия Понтрягина и теоремы измеримого выбора [20] вытекает, что при
любом 0t существует хотя бы один измеримый по s селектор
.),(),,(),(),,( ststWstst
Пусть Г — совокупность таких селекторов многозначного отображения
.),( stW Зафиксируем некоторый элемент ),( и положим
.),(),(=)),(,,(
0
00 dsstzstCzt
t
(8)
Рассмотрим многозначное отображение
}))],(,,([)],(),,([:0{=),,( 0 ztMstvstWvstA (9)
82 ISSN 0572-2691
и его разрешающую функцию
.,),()},,,(:{sup=),,( Vvstvstvst A (10)
Несложно показать, что так как ),(),,(0 stvstW для всех ,0, tsVv
то при Mzt )),(,,( 0 функция =),,( vst при всех .],[0, Vvts Если
же ,)),(,,( 0 Mzt то функция (10) принимает конечные значения.
Введем множество
1}.))(,,(inf:0{=)),(,(
0
0
dssvsttzT
t
Vv
(11)
Если ,)),(,,( 0 Mzt то =),,( vst для ,],[0, Vvts и в этом случае
значение интеграла в соотношении (11) естественно положить равным , тогда
соответствующее неравенство выполнено автоматически. В случае, когда
неравенство в фигурных скобках в (11) не выполняется при всех ,0>t полагаем,
что .=),(,( 0 zT
Теорема 1. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (5), (6) выполнено
условие Понтрягина, coMM = и для начального состояния 0z и некоторого
селектора ,),( .)),(,( 0 zTT Тогда траектория процесса (5) может
быть приведена из начального состояния 0z на терминальное множество *M в
момент Т с помощью управления (7).
Доказательство. Пусть VTsv ][0,:)( — произвольная измеримая
функция. Рассмотрим случай .)),(,,( 0 Mzt
Для этого введем контрольную функцию 0.,))(,,(1=)(
0
tdssvsTth
t
Она
непрерывна, не возрастает и .1=(0)h Из определения времени T следует, что
существует такой момент ,<0)),((= ** Ttvtt что .0=)( *th
Разобъем процесс преследования на два временных участка: активный ][0, *t
и пассивный ,],[ * Tt где *t — момент переключения с одного закона выбора
контруправления на другой, зависящий от предыстории управления убегающего.
На первом из них работает собственно метод разрешающих функций. Когда в
момент *t интеграл от разрешающей функции станет равным единице, то процесс
преследования переключим на первый прямой метод Понтрягина.
Определим следующий закон выбора управления преследователя. Введем
многозначное отображение
),(),(),(:{=),(1 sTvusTCUuvsU
))]}.,(,,()[,,( 0 zTMvsT (12)
В силу теоремы об обратном образе отображение ),(1 vsU BL -измеримо,
а значит, согласно теореме измеримого выбора [20] в этом многозначном
отображении существует хотя бы один BL -измеримый селектор .),(1 vsu
Управление преследователя на интервале )[0, *t положим равным
.))(,(=)( 11 svsusu
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 83
На пассивном участке ],[ * Tt аккумулировать разрешающую функцию больше
не имеет смысла, поэтому здесь разрешающая функция полагается равной нулю:
],,[0,=),,( * TtsvsT
а управление преследователя выбираем в соответствии с прямым методом Л.С. Понт-
рягина.
Рассмотрим отображение
,],,[0},=),(),(),(:{=),( *2 VvTtssTvusTCUuvsU
которое является BL -измеримым и его селектор ),(2 vsu тоже BL -измеримый.
Управление преследователя на интервале ),[ * Tt положим равным
.))(,(=)( 22 svsusu (13)
Пусть .)),(,,( 0 MzT Тогда управление преследователя на интервале
)[0, T выберем в виде (13). Таким образом, определен закон управления
преследователя для любых возможных ситуаций. Покажем, что при этом
траектория процесса (5) в момент Т попадет на множество *M при любых
управлениях убегающего.
Из формулы Коши (4) для системы (5) следует представление
.))(),((),(),(=)(
0
0 dssvsusTCsTCzTz
T
(14)
Проанализируем сначала случай .)),(,,( 0 MzT Для этого прибавим и
вычтем из правой части равенства (14) вектор .),(
0
dssT
T
Тогда, используя закон
выбора управления преследователем (7), получаем выражение
,)],())(),((),([]),(),([=)(
*
0
*
0
0 dssTsvsusTCdssTsTCzTz
tt
,))(,,()))(,,())(1,(,,()(
*
0
*
0
0 MdssvsTdssvsTzTTz
tt
в котором учтено равенство .],[0,=))(,,( * TtssvsT Но так как )( ncoKM R
и учитывая, что ,1=))(,,(
*
0
dssvsT
t
имеем ,=))(,,(
*
0
MMdssvsT
t
а значит,
.)( MTz
Пусть .)),(,,( 0 MzT Тогда, учитывая закон управления преследователя
из представления (14) , будем иметь включение .)( *MTz
Теорема доказана.
Модификация метода разрешающих функций
в классе стробоскопических стратегий
Ранее рассматривался конфликтно-управляемый процесс, где преследователь
использовал квазистратегию. Интерес представляет также случай, когда для
реализации гарантированного времени можно ограничиться контруправлением.
84 ISSN 0572-2691
Как и ранее, считаем, что игра (6)(5), происходит на интервале ][0, T и управ-
ление преследователя выбираем в виде
.)(],[0,)),(,(=)( 0 UtuTttvzutu (15)
Рассмотрим многозначное отображение
0,),,,(=),(
stvstst
Vv
AA (16)
и его разрешающую функцию
.),()},,(:0{sup=),( ststst A (17)
Так как ),,(0 vstA для всех ,0, tsVv то при Mzt )),(,,( 0
функция =),,( vst при всех .],[0, Vvts Если же ,)),(,,( 0 Mzt то
функция (17) принимает конечные значения.
Введем множество
1}.),(:0{=)),(,(
0
0 dssttz
t
(18)
Если ,)),(,,( 0 Mzt то =),,( vst для ,],[0, Vvts в этом случае
значение интеграла в соотношении (18) естественно положить равным ,
тогда соответствующее неравенство выполнено автоматически. В случае, когда
неравенство в фигурных скобках в (18) не выполняется при всех ,0>t полагаем,
что .=),(,( 0 z
Теорема 2. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (6)(5), выполнено
условие Понтрягина, coMM = и для начального состояния 0z и некоторого
селектора ,),( .)),(,( 0 z Тогда траектория процесса (5) может
быть приведена из начального состояния 0z на терминальное множество *M
в момент с помощью управления 15.
Доказательство. Пусть Vsv ][0,:)( — произвольная измеримая функ-
ция. Рассмотрим случай .)),(,,( 0 Mzt
Для этого введем контрольную функцию
0,,),(1=)(
0
tdssth
t
которая непрерывна, не возрастает на ][0, и .1=(0)h Поэтому существует
такой момент ,<0, ** tt что .0=)( *th
Опишем способ управления преследователем на интервале .)[0, *t Введем
многозначное отображение
))]}.,(,,()[,(),(),(),(:{=),( 01 zMssvusCUuvsU (19)
В силу теоремы об обратном образе отображение ),(1 vsU BL -измеримо,
следовательно, согласно теореме измеримого выбора [20] в этом многозначном
отображении существует хотя бы один BL -измеримый селектор .),(1 vsu
Управление преследователя на интервале )[0, *t положим равным
.))(,(=)( 11 svsusu
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 85
На участке ],[ * Tt «накапливать» разрешающую функцию больше не имеет
смысла, поэтому здесь разрешающая функция полагается равной нулю:
].,[0,=),( * Ttss
Рассмотрим отображение
,],,[0},=),(),(),(:{=),( *2 VvTtssvusCUuvsU
которое также является )( BL -измеримым и его селектор ),(2 vsu тоже )( BL -из-
меримый.
Управление преследователя на интервале ),[ * Tt положим равным
)).(,(=)( 22 svsusu (20)
Пусть .)),(,,( 0 MzT Тогда управление преследователя на интервале )[0,
выберем в виде (20). Покажем, что при этом траектория процесса (5) в момент
попадет на множество *M при любых управлениях убегающего. При
MzT )),(,,( 0 из формулы Коши (14) с использованием закона выбора
управления преследователем (19), (20) получим
,),()),())(1,(,,()(
*
0
*
0
0 Mdssdsszz
tt
в котором учтено равенство .],[0,=),( * Ttss Поскольку )( ncoKM R и учи-
тывая, что ,1=),(
*
0
dss
t
имеем .=),(
*
0
MMdss
t
Следовательно, .)( Mz
Пусть .)),(,,( 0 Mz Ввиду закона управления преследователя из
представления (14) немедленно следует включение .)( *Mz
Теорема доказана.
Пример
Рассмотрим конфликтно-управляемый процесс взаимодействия одного
преследователя и одного убегающего, который при 1=0tt описывается
системой дифференциальных уравнений с запаздыванием вида
,),()(=)( nxtutxtx R (21)
.),())((=)( nytvttyty R
Рассмотрим случай линейного запаздывания .
2
=)(
t
t Терминальное множество
*M имеет вид }=:),(={ yxyxz (точная поимка). Тогда, очевидно, :{= 2nzL R
.}=),,(= xyyxz Ортопроектор задается матрицей .
2
1
=
nn
nn
EE
EE
Запишем
для 0 st систему уравнений (21) в матричном виде:
),()())(()(=)( tvtuttBztAztz (22)
,1,=)( sz
где ,
00
0
=
nE
A .
0
00
=
nE
B
86 ISSN 0572-2691
Области управлений определим как
,1,:
0
=
uu
u
U nR .1,:
0
=
vv
v
V nR
Найдем матрицу Коши ,),( stC удовлетворяющую условиям:
1) ;1,
2
[1)],([=1)],(
t
CBtCAtC
2) ;1=1,1,=1),( sC
3) .=1)(1, 2nEC
Уравнение из первого условия запишем так:
n
n
n E
tCtC
tCtCE
E
tCtC
tCtC
1),(1),(
1),(1),(
00
0
=
1),(1),(
1),(1),(
2221
1211
2221
1211
.
1),
2
(1),
2
(
1),(1),(
=
1),
2
(1),
2
(
1),
2
(1),
2
(
0
00
2221
1211
2221
1211
nn
n
Et
C
t
C
tCtC
E
t
C
t
C
t
C
t
C
E
С учетом начального условия имеем:
;e=1),(
1.=1)(1,
1),,(=1),(
1
11
11
1111
ttC
C
tCtC
;0=1),(
0.=1)(1,
1),,(=1),(
12
12
1212
tC
C
tCtC
0.=1),(
0.=(1,1)
,1,
2
=1),(
21
21
2121 tC
C
t
CtC
Начальную задачу с переменным запаздыванием :
2
=)(
t
t
1.=1)(1,
,1,
2
=1),(
22
2222
C
t
CtC
решим методом шагов.
Для точки 1== 0tt имеем начальное множество <
2
{}{= 00
t
ttEt
,1,
2
1
=},< 00
ttt где .11),(22 tC
Таким образом, на первом шаге имеем задачу Коши
,1=1)(1,
2],[1,1,=1),(
22
22
C
ttC
отсюда следует, что ttC =1),(22 при .2][1,t
На втором шаге имеем следующую задачу Коши:
,2=1)(2,
4],[2,,
2
=1),(
22
22
C
t
t
tC
отсюда
4
1=1),(
2
22
t
tC при .4][2,t
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 87
Аналогично получаем
483
1
=1),(
3
22
t
ttC при .8][4,t
Этот процесс можно естественным образом продолжать на произвольный
промежуток значения ,t где рассматривается игровая задача.
Таким образом, n
t
E
tC
tC
1),(0
0e
=1),(
22
1
при .1t
Выберем селектор 0)( t и проверим выполнение условия Понтрягина.
Для линейного процесса VtCUtCtW 1),(1),(=1),(
*
имеем
,e
2
1
=
e
e
2
1
=
0
1
,1)(0
0e
11
11
2
1
=1),( 1
1
1
22
1
t
t
t
n
t
E
tC
UtC
1).,(
2
1
=
1),(
1),(
2
1
=
1
0
1),(0
0e
11
11
2
1
=1),( 22
22
22
22
1
tC
tC
tC
E
tC
VtC n
t
Таким образом, 1),(tW — шар пространства L с центром в нуле и радиуса
.1)),(e(
2
1
= 22
1 tCl t Так как 01),(e 22
1 tCt при ,1t имеем 1),(tW
при ,1t следовательно, условие Понтрягина выполнено.
Положим
.
(1)1),((1)e
(1)1),((1)e
2
1
=
(1)
(1)
1),(0
0e
11
11
2
1
=1),(=1),,(
2
022
1
0
1
2
022
1
0
1
2
0
1
0
22
1
00
ztCz
ztCz
E
z
z
tC
ztCzt
t
t
n
t
Определим норму :
.(1)1),((1)e
2
1
=(1))1),((1)e(
4
1
(1))1),((1)e(
4
1
=
2
022
1
0
1
22
022
1
0
122
022
1
0
1
ztCz
ztCzztCz
t
tt
Тогда разрешающая функция будет иметь вид
=
(1)1),((1)e
(1)1),((1)e
2
1
1),(e
2
1
max=)1,,(
2
022
1
0
1
2
022
1
0
1
1
ztCz
ztCz
vtCSvt
t
t
t
.e
2
1
(1)1),((1)e
(1)1),((1)e
2
1
1),(max 1
2
022
1
0
1
2
022
1
0
1
S
ztCz
ztCz
vtC t
t
t
Теперь имеем
.e
2
1
=
(1)1),((1)e
(1)1),((1)e
2
1
1),( 1
2
022
1
0
1
2
022
1
0
1
t
t
t
ztCz
ztCz
vtC
88 ISSN 0572-2691
Тогда
.
,1),(
),1)(e
2
1
(,1),(,1)),(,,1)((,1)),(,,1)((
=),1,(
2
0
2222
0
2
00
zt
vtCztztvtCztvtC
vt
t
Обозначим .(1))1),((1)e(
2
1
=)( 2
022
1
0
1 ztCzt t Минимум функции
достигается на векторе
)(
)(
=
t
t
v
и равен
.
(1)1),((1)e
1),(e
=
)(2
1),(
2
1
e
2
1
)(2)()(1),(
=min
2
022
1
0
1
22
1
2
2
22
22222
2222
ztCz
tC
t
tCttCttC
t
t
t
Из определения разрешающей функции 1}))(,,,,(inf:0{inf 0
0
dsvzstt
t
следует, что минимальным значением будет
.1)),(e(=(1)1),((1)e 22
0
2
022
1
0
1 drrCztCz r
t
t
(23)
Рассмотрим при t левую часть равенства (23):
.(1)e
(1)e
(1)1),(
1(1)e=(1)1),((1)e 1
0
1
1
0
1
2
0221
0
12
022
1
0
1 z
z
ztC
zztCz t
t
tt
Используя размышления, аналогичные описанным в [19], несложно показать,
что правая часть равенства (23) при t эквивалентна .1e t Таким образом,
при t имеем
1.
(1)e
1
ln=1,
(1)e
1
=e1,e=(1)e
1
0
1
0
11
0
1
z
t
z
z ttt
Определив управление преследователя в виде
,1),(1),,()1,,(=1),( 0 vTCzTvTUTC
получим
).(
1),(
1),(
2
1
(1)1),((1)e
(1)1),((1)e
2
1
(1)1),((1)e
0),(e
=)(
e
e
2
1
22
22
2
022
1
0
1
2
022
1
0
1
2
022
1
0
1
22
1
1
1
sv
TC
TC
zTCz
zTCz
zTCz
TC
su
T
T
T
T
T
T
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 89
Таким образом, управление преследователя запишем
).(e,1)((1)),1)(
(1)e(e
(1),1)((1)e
,1)(e
=)(
1
22
2
022
1
0
11
2
022
1
0
1
22
1
svTCzTC
z
zTCz
TC
su
T
TT
T
T
(24)
Следовательно, на интервале )[0, *t имеем
.)(
e
1),(
(1)1),((1)e
(1)1),((1)e
1
e
1),(
=)(
1
22
2
022
1
0
1
2
022
1
0
1
1
22 sv
TC
zTCz
zTCzTC
su
TT
T
T
На интервале ],[ * Tt получаем
).(
e
1),(
=)(
1
22 sv
TC
su
T
(25)
Используя теперь законы управления преследователя из представлений (24)
и (25), получаем, что траектория процесса (22) в момент Т попадет на терминаль-
ное множество при любых управлениях убегающего, а значит , произойдет
поимка.
Заключение
Предложена схема метода разрешающих функций для дифференциально-
разностных игр в классе квази- и стробоскопических стратегий. Конфликтно-
управляемый процесс описывается системой дифференциально-разностных урав-
нений с переменным запаздыванием. Для каждого класса упомянутых стратегий
получены достаточные условия разрешимости задачи сближения за некоторое
гарантированное время. Возможность реализации предложенной схемы
иллюстрируется на модельном примере.
Я.Й. Бігун, Є.А. Любарщук, І.М. Черевко
ІГРОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ СИСТЕМ
ЗІ ЗМІННИМ ЗАПІЗНЕННЯМ
Розглянуто ігрову задачу зближення траекторії квазілінійного конфліктно-керо-
ваного процесу з циліндричною термінальною множиною за наявності змінного
запізнення. Методом розв’язувальних функцій отримано достатні умови збли-
ження в класі квазі- та стробоскопічних стратегій. Наведено приклад задачі
переслідування з квазілінійним запізненням у динаміці втікача.
Ya.I. Bigun, E.A. Liubarshchuk, I.M. Cherevko
GAME PROBLEMS FOR SYSTEMS WITH
VARIABLE TIME-DELAY
Game problem of approach for quasilinear conflict-controlled process with variable
time-delay is considered. Based on the method of resolving functions we derive
sufficient conditions for quasi- and stroboscopic strategies. An example of problem
pursuit with quasilinear time-delay is provided.
90 ISSN 0572-2691
1. Беллман Р., Кук. К. Дифференциально-разностные уравнения. — М. : Мир, 1967. — 548 с.
2. Halanay A. Differential equations: Stability, oscillations, time lags. — New York; London, —
Academic Press, 1966. — 528 p.
3. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с
отклоняющимся аргументом. — М. : Наука, 1971. — 296 с.
4. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М. : Гостехиздат,
1959. — 212 с.
5. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М. : Мир, 1984. —
421 с.
6. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными произ-
водными. — Пермь : Изд-во Пермского университета, 2001. — 230 с.
7. Liubarshchuk I., Althöfer I. The problem of approach in differential-difference games // Inter-
national Journal of Game Theory. — 2015. — 44. — P. 1–12.
8. Малыгина В.В., Чудинов К.М. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с
несколькими переменными запаздываниями // Изв. вузов. Математика. — 2013. — № 6. —
С. 25–36.
9. Isaacs R. Differential games: a mathematical theory with applications to warfare and pursuit,
control and optimization. — New York : John Wiley & Sons, 1965. — 416 p.
10. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды: В 3-х т. — М. : Наука, 1988.
11. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. — М. : Наука, 1970. — 420 с.
12. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. — М. : Наука,
1974. — 456 с.
13. Осипов Ю.С. Дифференциальные игры систем с последействием // ДАН СССР. — 1971. —
196, № 4. — С. 779–782.
14. Никольский М.С. Линейные дифференциальные игры преследования при наличии
запаздывания // Там же. — 1971. — 197, № 5. — С. 1018–1021.
15. Чикрий А.А. Конфликтно-управляемые процессы. — Киев : Наук. думка, 1992. — 384 с.
16. Чикрий А.А. Об одном аналитическом методе в динамических играх сближения // Труды
Математического института им. В.А. Стеклова РАН. — 2010. — 271. — С. 76–92.
17. Пилипенко Ю.В., Чикрий А.А. Колебательные конфликтно-управляемые процессы //
Прикладная математика и механика. — 1993. — 57, № 3. — С. 3–14
18. Чикрий А.А., Чикрий Г.Ц. Групповое преследование в дифференциально-разностных
играх // Диф. уравнения. — 1984. — № 5. — C. 802–810.
19. Chikrii A., Baranovskaya L. A type of controlled systems with delay // J. Cybernetics and
computing technology. Complex control systems. — 1995. — № 107. — P. 3–11.
20. Aubin J., Frankowska H. Set-valued analysis. — Boston; Basel; Berlin : Birkhäuser, 1990. —
461 p.
Получено 22.01.2016
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208079 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:00:56Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бигун, Я.И. Любарщук, Е.А. Черевко, И.М. 2025-10-19T10:01:11Z 2016 Игровые задачи для систем с переменным запаздыванием / Я.И. Бигун, Е.А. Любарщук, И.М. Черевко // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 2. — С. 79-90. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208079 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v48.i4.30 Розглянуто ігрову задачу зближення траекторії квазілінійного конфліктно-керованого процесу з циліндричною термінальною множиною за наявності змінного запізнення. Методом розв’язувальних функцій отримано достатні умови зближення в класі квазі- та стробоскопічних стратегій. Наведено приклад задачі переслідування з квазілінійним запізненням у динаміці втікача. Game problem of approach for quasilinear conflict-controlled process with variable time-delay is considered. Based on the method of resolving functions we derive sufficient conditions for quasi- and stroboscopic strategies. An example of problem pursuit with quasilinear time-delay is provided. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений Игровые задачи для систем с переменным запаздыванием Ігрові задачі для систем зі змінним запізненням Game problems for systems with variable time-delay Article published earlier |
| spellingShingle | Игровые задачи для систем с переменным запаздыванием Бигун, Я.И. Любарщук, Е.А. Черевко, И.М. Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений |
| title | Игровые задачи для систем с переменным запаздыванием |
| title_alt | Ігрові задачі для систем зі змінним запізненням Game problems for systems with variable time-delay |
| title_full | Игровые задачи для систем с переменным запаздыванием |
| title_fullStr | Игровые задачи для систем с переменным запаздыванием |
| title_full_unstemmed | Игровые задачи для систем с переменным запаздыванием |
| title_short | Игровые задачи для систем с переменным запаздыванием |
| title_sort | игровые задачи для систем с переменным запаздыванием |
| topic | Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений |
| topic_facet | Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208079 |
| work_keys_str_mv | AT bigunâi igrovyezadačidlâsistemsperemennymzapazdyvaniem AT lûbarŝukea igrovyezadačidlâsistemsperemennymzapazdyvaniem AT čerevkoim igrovyezadačidlâsistemsperemennymzapazdyvaniem AT bigunâi ígrovízadačídlâsistemzízmínnimzapíznennâm AT lûbarŝukea ígrovízadačídlâsistemzízmínnimzapíznennâm AT čerevkoim ígrovízadačídlâsistemzízmínnimzapíznennâm AT bigunâi gameproblemsforsystemswithvariabletimedelay AT lûbarŝukea gameproblemsforsystemswithvariabletimedelay AT čerevkoim gameproblemsforsystemswithvariabletimedelay |