Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов с терминальной функцией платы

Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов с терминальной функцией платы

Досліджено метод розв’язувальних функцій стосовно теорії конфліктно-керованих процесів з термінальною функцією плати. Запропоновано модифіковану схему методу, що забезпечує закінчення гри за певний гарантований час в класі стробоскопічних стратегій без додаткових умов. Показано результати порівняння...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Проблемы управления и информатики
Datum:2016
1. Verfasser: Раппопорт, И.С.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Schlagworte:
Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208171
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов с терминальной функцией платы / И.С. Раппопорт // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 3. — С. 49-58. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208171
record_format dspace
spelling Раппопорт, И.С.
2025-10-20T14:04:49Z
2016
Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов с терминальной функцией платы / И.С. Раппопорт // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 3. — С. 49-58. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
0572-2691
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208171
517.977
10.1615/JAutomatInfScien.v48.i5.70
Досліджено метод розв’язувальних функцій стосовно теорії конфліктно-керованих процесів з термінальною функцією плати. Запропоновано модифіковану схему методу, що забезпечує закінчення гри за певний гарантований час в класі стробоскопічних стратегій без додаткових умов. Показано результати порівняння гарантованих часів цих схем методу розв’язувальних функцій з першим прямим методом Понтрягіна.
Досліджено метод розв’язувальних функцій стосовно теорії конфліктно-керованих процесів з термінальною функцією плати. Запропоновано модифіковану схему методу, що забезпечує закінчення гри за певний гарантований час в класі стробоскопічних стратегій без додаткових умов. Показано результати порівняння гарантованих часів цих схем методу розв’язувальних функцій з першим прямим методом Понтрягіна.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Проблемы управления и информатики
Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений
Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов с терминальной функцией платы
Метод розв`язувальних функцій у теорії конфліктно-керованих процесів з термінальною функцією плати
Resolving-functions method in the theory of conflict-controlled processes with terminal payoff function
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов с терминальной функцией платы
spellingShingle Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов с терминальной функцией платы
Раппопорт, И.С.
Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений
title_short Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов с терминальной функцией платы
title_full Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов с терминальной функцией платы
title_fullStr Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов с терминальной функцией платы
title_full_unstemmed Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов с терминальной функцией платы
title_sort метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов с терминальной функцией платы
author Раппопорт, И.С.
author_facet Раппопорт, И.С.
topic Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений
topic_facet Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений
publishDate 2016
language Russian
container_title Проблемы управления и информатики
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Метод розв`язувальних функцій у теорії конфліктно-керованих процесів з термінальною функцією плати
Resolving-functions method in the theory of conflict-controlled processes with terminal payoff function
description Досліджено метод розв’язувальних функцій стосовно теорії конфліктно-керованих процесів з термінальною функцією плати. Запропоновано модифіковану схему методу, що забезпечує закінчення гри за певний гарантований час в класі стробоскопічних стратегій без додаткових умов. Показано результати порівняння гарантованих часів цих схем методу розв’язувальних функцій з першим прямим методом Понтрягіна. Досліджено метод розв’язувальних функцій стосовно теорії конфліктно-керованих процесів з термінальною функцією плати. Запропоновано модифіковану схему методу, що забезпечує закінчення гри за певний гарантований час в класі стробоскопічних стратегій без додаткових умов. Показано результати порівняння гарантованих часів цих схем методу розв’язувальних функцій з першим прямим методом Понтрягіна.
issn 0572-2691
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208171
citation_txt Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов с терминальной функцией платы / И.С. Раппопорт // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 3. — С. 49-58. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT rappoportis metodrazrešaûŝihfunkciivteoriikonfliktnoupravlâemyhprocessovsterminalʹnoifunkcieiplaty
AT rappoportis metodrozvâzuvalʹnihfunkcíiuteorííkonflíktnokerovanihprocesívztermínalʹnoûfunkcíêûplati
AT rappoportis resolvingfunctionsmethodinthetheoryofconflictcontrolledprocesseswithterminalpayofffunction
first_indexed 2025-11-25T22:49:34Z
last_indexed 2025-11-25T22:49:34Z
_version_ 1850574372854562816
fulltext © И.С. РАППОПОРТ, 2016 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 49 УДК 517.977 И.С. Раппопорт МЕТОД РАЗРЕШАЮЩИХ ФУНКЦИЙ В ТЕОРИИ КОНФЛИКТНО-УПРАВЛЯЕМЫХ ПРОЦЕССОВ С ТЕРМИНАЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ ПЛАТЫ Введение Предлагается метод решения игровых задач управления динамическими про- цессами с терминальной функцией платы, который заключается в систематиче- ском использовании идей двойственности Фенхеля–Моро [1] применительно к общей схеме метода разрешающих функций [2]. Сущность предлагаемого метода заключается в том, что разрешающую функцию удается выразить через сопря- женную к функции платы и, используя инвалютивность оператора сопряжения для выпуклой замкнутой функции, получить гарантированную оценку терминаль- ного значения функции платы, которая представляется через значение платы в начальный момент и интеграл от разрешающей функции. Работа является развитием идей [2–7], примыкает к исследованиям [8–13] и указывает новые возможности приложения выпуклого анализа к теории кон- фликтно-управляемых процессов. Постановка задачи, общая схема метода Рассмотрим конфликтно-управляемый процесс, эволюция которого описыва- ется равенством ,))(),((),()()( 0   dvuttgtz t .0t (1) Здесь ,)( nRtz  функция ),(tg ,: nRRg  измерима по Лебегу [14] и ограни- чена при ,0t матричная функция ),,(  t ,0t измерима по ,t а также суммируема по  для каждого .Rt Блок управления задается функцией ),,( vu ,: nRVU  которая считается непрерывной по совокупности пере- менных на прямом произведении непустых компактов U и ,V ,m ,l n — нату- ральные числа. Управления игроков ),(u ,: URu  и ),(v ,: VRv  — измеримые функции времени. Кроме процесса (1) задана собственная выпуклая замкнутая ограниченная снизу по z функция ),(z ,: 1RRn  значения которой на траек- ториях процесса (1) определяют момент окончания игры. Если ),(tz ,0t — тра- ектория системы (1), то игру будем считать законченной в момент ,01 t если .0))(( 1  tz (2) Цели первого )(u и второго )(v игроков противоположны. Первый (будем называть его преследователем) пытается добиться выполнения неравенства (2) на соответствующей траектории процесса (1) за кратчайшее время, а второй — мак- симально оттянуть момент выполнения этого неравенства или вообще избежать его выполнения. 50 ISSN 0572-2691 Примем сторону первого игрока и будем ориентироваться на выбор против- ником в качестве управления произвольной измеримой функции, которая прини- мает значения из .V В свою очередь, будем считать, что если игра (1), (2) про- должается на интервале ],,0[ T то управление первого игрока в момент t будем выбирать на основе информации о )(Tg и ),(tv т.е. в виде измеримой функции )),(),(()(  tvTgutu ],,0[ Tt ,)( Utu  (3) где ]},0[:)({)( tssvvt  — предыстория управления второго игрока к момен- ту ,t или в виде контруправления )),(),(()( tvTgutu  ],,0[ Tt .)( Utu  (4) Если, в частности, ,)( 0zetg At ,),( )(  tAet ,)0( 0zz  а Ate — матрич- ная экспонента, то говорят, что управление ))(,()( 0  tvzutu реализует квазистра- тегию [15], а контруправление [16] ))(,()( 0 tvzutu  является проявлением стро- боскопической стратегии Хайека [17]. Согласно определению сопряженной функции и с учетом теоремы Фенхеля– Моро [1] имеем )],(),[(sup)( pzpz nRp    где )].(),[(sup)( zzpp nRz    (5) Функция )( p собственная замкнутая и выпуклая [1]. Эффективное множество функции )( p имеет вид }.),(:{dom   ptRp n В силу ограничен- ности снизу собственной функции )(z и соотношения (5) получим  )0( ),(inf z nRz   а значит, .dom0  Будем считать, что L — линейная оболочка множества dom (пересе- чение всех линейных подпространств, которые содержат множество ).dom  Тогда она является линейным подпространством. Пусть  — оператор ортого- нального проектирования из nR на .L Справедливо соотношение ),()( zz  .nRz Положив },:),({),( UuvuvU  рассмотрим многозначные отображения ),,(),(),,( vUtvtW  ),,,(),( vtWtW Vv    ,0t ,Vv на множествах V и  соответственно, где конус }.0:),{(  tt Пред- положим, что многозначное отображение ),,( vtW  имеет замкнутые значения на множестве .V Условие Понтрягина. Многозначное отображение ),( tW принимает непу- стые значения на множестве . В измеримом замкнутозначном отображении ),( tW согласно теореме изме- римого выбора [14] зафиксируем некоторый измеримый селектор ),(  t и положим .),()()),()(,( 0   dttgttgt t Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 51 Введем в рассмотрение многозначное отображение        )),(),(),(,[(supinf:0),,( dom tvutpvt pUu A       0)]]())),(),(,(,[( pttgtp (6) и его опорную функцию [1] в направлении 1 )},,,(:{sup),,( vtvt  A ,0t ),(Vv которая в данном случае выполняет роль разрешающей функции. Из условия Понтрягина и включения ),(),(  tWt непосредственно вытекает ,00)),(),(),(,(maxmin dom   ttvutp pUu .Vv Значит, если выполнено условие Понтрягина, то неравенство в соотноше- нии (6) выполняется, по крайней мере, при нулевом значении . Заметим также, что при 0))),()(,((  ttgt в силу неравенства Фенхеля [1] ),,0[),,(  vtA ,0t ,Vv и функция  ),,( vt для ,Vv .0t Рассмотрим множество ,1))(,,(inf:0)),(),(( 0 )(            dvtttgT t v (7) где минимизируем по всем измеримым селекторам компакта .V Из выражения (6) следует, что многозначное отображение ),,( vt A BL -измеримо по совокуп- ности ),,( v ,Vv ],,0[ t для любого t [2]. Поэтому из теоремы об опорной функции [14] получим, что функция ),,( vt  также BL -измерима по сово- купности ),,( v а значит, суперпозиционно измерима и интеграл в (7) имеет смысл. Если при некотором 0t ,0))),(),(,((  ttgt то  ),,( vt для ,0 t ,Vv и в этом случае естественно положить значение интеграла в (7) равным , а соответствующее неравенство будет выполнено автоматически. Если неравенство в фигурных скобках (7) не выполняется для всех ,0t то по- ложим .)),(),(( gT Теорема 1. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1), (2) с терми- нальным функционалом ),(z который является собственной выпуклой замкну- той ограниченной снизу по z функцией, выполнено условие Понтрягина. Тогда, если существует такой измеримый по  селектор ),,(  ,0  t много- значного отображения ),,( tW что  )),(),((gT и )),,(),((  gTT то игра может быть закончена в момент T с использованием управления вида (3). Доказательство. Пусть )(v — произвольный измеримый селектор компак- та ,V ].,0[ T Укажем способ выбора управления преследователем. Для этого рассмотрим сначала случай 0))),(),(,((  TTgT и введем кон- трольную функцию .))(,,(1)( 0   dvTth t Она непрерывна и согласно выра- жению (7) существует такой момент ,t ],,0( Tt  что .0)( th 52 ISSN 0572-2691 Рассмотрим многозначное отображение       )),(),(),(,([sup:),( *dom TvuTpUuvU p ,0)]]())),(),(,(,)[(,( *       pTTgTpv где           .,0 ,0),,,( ),( Tt tvT v В силу свойств параметров процесса (1), функции )(z и разрешающей функции отображение ),( vU  BL -измеримо [2] при ,Vv ].,0[ T Поэтому по тео- реме об измеримом выборе селектора [14] многозначное отображение ),( vU  со- держит BL -измеримый селектор ),,( vu  который является суперпозиционной измеримой функцией [2]. Положим управление первого игрока )),(,()(  vuu ].,0[ T Для 0))),(),(,((  TTgT управление первого игрока на всем промежутке ],0[ T выберем в виде измеримой функции )),(,()( 00  vuu где ),(0 vu  — BL -измеримый селектор отображения ),( vU  с нулевой раз- решающей функцией. Покажем, что указанный закон выбора управления преследователем обеспе- чивает при любых управлениях убегающего выполнение неравенства (2) на траек- ториях системы (1) в момент .T Учитывая равенство )),(())(( TzTz  формулу (1) и определение сопря- женной функции, получим       ))),(),(,(,(max))(( *dom TTgTpTz p .)()),())(),((),(,( 0 *       T pdTvuTp (8) Если ,0))),(),(,((  TTgT то с учетом закона выбора управления первым игроком соотношение (8) дает ,0))),(),(,(())((  TTgTTz откуда следует неравенство (2) в момент .T Пусть .0))),(),(,((  TTgT Прибавим и вычтем в квадратных скобках выражения (8) величину   dvTpTTgTp t ))(,,()]())),(),(,(,[( * 0 * . Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 53 Тогда получим        )(])())),(),(,(,[(max))(( * * dom * thpTTgTpTz p   ))(,,()),())(),((),(,([ * 0 vTTvuTp t  dpTTgTp )]]())),()(,(,[( * .)),())(),((),(,(        dTvuTp T t Отсюда следует, что преследователь может гарантировать в момент T выполне- ние неравенства ,0)())),(),(,(())(( *  thTTgTTz что и завершает доказательство теоремы. Рассмотрим в этой же схеме несколько другую задачу. Какое минимальное значение функционала )(z может себе гарантировать первый игрок на траекто- риях системы (1) в заданный момент ,T .0T Ответ на этот вопрос дает следу- ющее утверждение. Следствие. Пусть параметры процесса (1) удовлетворяют условию Понтря- гина, а терминальный функционал )(z — условиям теоремы 1. Тогда справедлива оценка для :0T   ))((sup )( Tz v                    .0))),(),(,(( если,))(,,(inf1))),(),(,(( ,0))),(),(,(( если))),,(),(,(( 0 )( TTgTdvTTTgT TTgTTTgT T v Здесь экстремальные значения берутся по всем измеримым селекторам компакта .V Модификация метода разрешающих функций Рассмотрим многозначное отображение  Vv vtt   ),,,(),( AA ,0t которое имеет непустой образ, поскольку по крайней мере ),,(0 vt A для ,0 t ,Vv и его опорную функцию в направлении +1 )}.,(:0sup{),(  tt A Если при некотором 0t ,0))),(),(,((  ttgt то отображение ),( tA замкну- тозначно и поэтому измеримо по  [2], ,0 t а значит, согласно теореме об опорной функции [14] измеримой по  является и функция ).,(  t Введем множество .1),(:0)),(),(( 0           dttg t (9) 54 ISSN 0572-2691 Если при некотором 0t ,0))),(),(,((  ttgt то, очевидно, ),(tA ),,0[  а  ),(t для ,0 t и в этом случае естественно положить значение интеграла в (9) равным  , а соответствующее неравенство будет вы- полнено автоматически. Если неравенство в (9) не выполняется для всех ,0t то положим  )),(),((g . Теорема 2. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1), (2) с тер- минальным функционалом ),(z который является собственной выпуклой за- мкнутой ограниченной снизу по z функцией, выполнено условие Понтряги- на. Тогда, если существует такой измеримый по  селектор ),,(  0  t , многозначного отображения ),,( tW что  )),(),((g и  )),,(),((  g то игра может быть закончена в момент  с использованием управления вида (4). Доказательство. Пусть )(v — произвольный измеримый селектор компакта ,V ].,0[  Укажем способ выбора управления преследователем. Рассмотрим сначала случай 0))),(),(,((  g и введем контрольную функцию ,),(1)( 0   dth t ].,0[ t Она является абсолютно непрерывной на ],0[  и не возрастает, причем ,1)0( h а .0)( h Поэтому существует такой момент времени и согласно ,t ],,0( t что .0)( th Опишем способ управ- ления преследователем на интервале ).,0[ t Для этого рассмотрим многозначное отображение       )),(),(),(,([sup:),( *dom vupUuvU p  ,0)]]())),(),(,(,)[(,( *      pgp .Vv (10) Многозначное отображение ),( vU   компактнозначно и является BL -измери- мым [2]. Поэтому согласно теореме об измеримом селекторе [14] у него суще- ствует BL -измеримый селектор ),,( vu   который является суперпозиционно измеримой функцией. Положим ))(,()(  vuu  и выберем его в качестве управ- ления преследователя на интервале ).,0[ t Положив в соотношении (10) ,0),(  выберем управление преследова- теля на интервале ],[ t в виде измеримого селектора )(u  компактнозначного измеримого многозначного отображения ,0))],())(,(),(,[(sup:)( *dom 0           vupUuU p  ].,[  t (11) В случае 0))),(),(,((  g в качестве управления преследователя )(u  на всем интервале ],0[  выберем произвольный измеримый селектор отоб- ражения ).(0 U  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 55 Проследим за соответствующей траекторией ),(tz ],,0[ t процесса (1) с учетом закона выбора управления преследователем. При условии 0))),(),(,((  g из формулы (8) имеем        )()]())),(),(,(,[(max))(( * * dom * thpgpz p   ),()),())(),((),(,[( * 0 vup t  dpgp ]])())),()(,(,[( * .)),())(),((),(,(         dvup t Тогда из соотношений (10), (11) вытекает, что преследователь может гарантиро- вать в момент  выполнение неравенства .0),(1))),(),(,(())(( * 0            dgz t Если 0))),(),(,((  g , то с учетом закона выбора управления пресле- дователем соотношение (8) дает ,0))),(),(,(())((  TTgTTz что и завершает доказательство теоремы. Первый прямой метод Понтрягина Первый прямой метод Понтрягина [3, 4] дает достаточные условия окончания дифференциальной игры сближения за определенное гарантированное время в классе стробоскопических стратегий. Представляет интерес обобщить этот метод на конфликтно-управляемые процессы вида (1) с терминальной функцией пла- ты (2) и сравнить с полученными выше результатами. Рассмотрим аналог функции Понтрягина для конфликтно-управляемого про- цесса (1), (2):                     0)()),,(())(,(max:0inf))(( * 0dom * pdptWCtgptg t p . (12) Здесь ),( pWC — опорная функция множества W [1]. Если включение в фигур- ных скобках не выполняется ни для каких ,0t то положим  ))((g . Теорема 3. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1), (2) с терми- нальным функционалом ),(z который является собственной выпуклой замкну- той ограниченной снизу по z функцией, выполнено условие Понтрягина, точная нижняя грань в (12) достигается и  ))((g . Тогда игра может быть за- кончена в момент  с помощью управления вида (4). 56 ISSN 0572-2691 Доказательство. Условия теоремы и соотношение (12) дают .0)()),,(())(,(max * 0dom *              pdpWCgp p (13) Известно [3], что для каждого 0t и ,dom p ,0p существует измери- мый селектор ),(  t многозначного отображения ),,( tW такой что  )),(,( tp ).),,(( ptWC  Множество таких селекторов обозначим .t Поэтому соотноше- ние (13) можно переписать в виде .0)()),(,())(,(max * 0dom *              pdpgp p (14) Из условия Понтрягина и включения ),(),(  W непосредственно вытекает ,00)),(),(),(,(maxmin *dom   vup pUu .Vv Рассмотрим многозначное отображение для ,0 Vv           0])),(),(),(,[(sup:),( *dom 0 vupUuvU p . (15) Пусть )(v — произвольный измеримый селектор компакта ,V ].,0[  То- гда из соотношения (15) вытекает, что отображение ))(,()( 00  vUU является компактнозначным измеримым многозначным отображением [2] на интерва- ле ].,0[  Согласно теореме измеримого выбора [14] в нем существует измеримый селектор ),(0 u который и выберем в качестве управления преследователя на ин- тервале ].,0[  Из формулы (1) и соотношений (14), (15) получим ,0)()),(,())(,(max))(())(( * 0dom *              pdpgpTzTz p что и завершает доказательство теоремы. Следствие 1. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1), (2) с терми- нальным функционалом ),(z который является собственной выпуклой замкну- той ограниченной снизу по z функцией, выполнено условие Понтрягина. Тогда для того чтобы ,0)()),,(())(,(max * 0dom *             pdptWCtgp t p ,0t необходимо и достаточно, чтобы существовал такой селектор ,),( tt  что .0))),(),(,((  ttgt Пусть в числовых множествах )),(),(( gT и )),(),((  g существуют ми- нимальные элементы )),(),((0 gT и )).,(),((0  g Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 57 Следствие 2. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1), (2) с терми- нальным функционалом ),(z который является собственной выпуклой замкну- той ограниченной снизу по z функцией, выполнено условие Понтрягина. Тогда существует такой селектор ),,(  что ))(()),(),((0  ggT для любых измери- мых ограниченных для 0t функций ).(tg Следствие 3. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1), (2) с терми- нальным функционалом ),(z который является собственной выпуклой замкну- той ограниченной снизу по z функцией, выполнено условие Понтрягина. Тогда существует такой селектор ),,(  что ))(()),(),((0  gg для любых измери- мых ограниченных для 0t функций ).(tg Заключение В настоящей работе рассматриваются квазилинейные конфликтно-управляе- мые процессы общего вида с терминальной функцией платы. Сформулирова- ны достаточные условия окончания игры за конечное гарантированное время в классе квазистратегий. Предложена модифицированная схема метода разре- шающих функций, обеспечивающая завершение конфликтно-управляемого процесса в классе контруправлений без каких-либо дополнительных предпо- ложений. Удалось обобщить первый прямой метод Понтрягина на конфликт- но-управляемые процессы с терминальной функцией платы и сравнить с мето- дом разрешающих функций. Й.С. Раппопорт МЕТОД РОЗВ`ЯЗУВАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ У ТЕОРІЇ КОНФЛІКТНО-КЕРОВАНИХ ПРОЦЕСІВ З ТЕРМІНАЛЬНОЮ ФУНКЦІЄЮ ПЛАТИ Досліджено метод розв’язувальних функцій стосовно теорії конфліктно-керо- ваних процесів з термінальною функцією плати. Запропоновано модифіковану схему методу, що забезпечує закінчення гри за певний гарантований час в класі стробоскопічних стратегій без додаткових умов. Показано результати порів- няння гарантованих часів цих схем методу розв’язувальних функцій з першим прямим методом Понтрягіна. I.S. Rappoport RESOLVING-FUNCTIONS METHOD IN THE THEORY OF CONFLICT-CONTROLLED PROCESSES WITH TERMINAL PAYOFF FUNCTION The advanced research of the resolving-functions method concerning the theory of conflict-controlled processes with terminal payoff function is presented. A modified scheme of the method is proposed. This scheme ensures the end of a game within a definite guaranteed time period in the class of stroboscopic strategies without any subsidiary conditions. The guaranteed times for this schemes of the resolving-functions method are compared with that of the first Pontryagin method. 58 ISSN 0572-2691 1. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. — М. : Мир, 1973. — 470 с. 2. Чикрий А.А., Раппопорт И.С. Метод разрешающих функций в теории конфликтно- управляемых процессов // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — № 5. — С. 40–64. 3. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. — М. : Наука, 1988. — 2. — 576 с. 4. Никольский М.С. Первый прямой метод Л.С. Понтрягина в дифференциальных играх. — М. : Изд-во МГУ, 1984. — 65 с. 5. Раппопорт И.С., Чикрий А.А. О гарантированном результате в дифференциальной игре с терминальной функцией платы // Прикл. математика и механика. — 1995. — 59, № 5. — С. 714–720. 6. Chikrii A.A., Rappoport J.S. Guaranteed result in differential games with terminal payoff // Ann. Dynamic Games. — Berlin : Birkhauser, 1995. — 3. — P. 323–330. 7. Раппопорт И.С., Чикрий А.А. Гарантированный результат в дифференциальной игре груп- пового преследования с терминальной функцией платы // Прикл. математика и механика. — 1997. — 61, № 4. — С. 584–594. 8. Пилипенко Ю.В., Чикрий А.А. Колебательные кофликтно-управляемые процессы // Там же. — 1993. — 57, № 3. — С. 3–14. 9. Chikrii A.A., Eidelman S.D. Game problems for fractional quasilinear systems // Computers and Mathematics with Applications. — 2002. — 44. — P. 835–851. 10. Chikrii A.A., Eidelman S.D. Generalized Mittag-Leffler function in game problems for evolution- ary equations of fractional order // Cybernetics and Systems Analysis. — 2000. — 36, N 3. — P. 315–338. 11. Chikrii A.A. The problem of avoidance for controlled dynamic objects // J. Math., Game Theory and Algebra, Nova Science Publ., Inc. — 1998. — 7, N 2/3. — P. 81–94. 12. Кривонос Ю.Г., Матичин И.И., Чикрий А.А. Динамические игры с разрывными траектори- ями. — Киев : Наук. думка, 2005. — 220 с. 13. Chikrii A.A., Kalashnikova S.F. Pursuit of a group of evaders by a single controlled object // Cy- bernetics. — 1987. — 23, N 4. — P. 437–445. 14. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. — Boston; Basel; Berlin: Birkhauser. — 1990. — 461 p. 15. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. — М. : Наука, 1981. — 288 с. 16. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. — М. : Наука, 1974. — 455 с. 17. Hajek O. Pursuit games. — New York : Academic Press. — 1975. — 12. — 266 p. Получено 28.12.2015 Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. НАН Украины А.А. Чикрием.

Ähnliche Einträge