Об определении правых частей уравнений изгибно-крутильных колебаний стержня
Досліджено обернену задачу для рівнянь згинально-крутильних коливань стержня, зведену до задачі оптимального керування. Доведено необхідні й достатні умови оптимальності. An inverse problem for flexural-torsional vibrations is studied. Reduced to an optimal control problem, necessary and sufficient...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208191 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об определении правых частей уравнений изгибно-крутильных колебаний стержня / Г.Ф. Кулиев, А.Т. Рамазанова // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 4. — С. 74-86. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860094257066409984 |
|---|---|
| author | Кулиев, Г.Ф. Рамазанова, А.Т. |
| author_facet | Кулиев, Г.Ф. Рамазанова, А.Т. |
| citation_txt | Об определении правых частей уравнений изгибно-крутильных колебаний стержня / Г.Ф. Кулиев, А.Т. Рамазанова // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 4. — С. 74-86. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Досліджено обернену задачу для рівнянь згинально-крутильних коливань стержня, зведену до задачі оптимального керування. Доведено необхідні й достатні умови оптимальності.
An inverse problem for flexural-torsional vibrations is studied. Reduced to an optimal control problem, necessary and sufficient optimality conditions are proved.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:25:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Г.Ф. КУЛИЕВ, А.Т. РАМАЗАНОВА, 2016
74 ISSN 0572-2691
УДК 517.98
Г.Ф. Кулиев, А.Т. Рамазанова
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЙ
ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ
Известно, что некоторые задачи математической физики, техники, механики
и т.д. описываются уравнениями с частными производными четвертого порядка,
например, уравнение колебаний камертона, стержня, уравнение колебаний вра-
щающихся валов, качки судна, уравнение колебаний пластин и т.д. [1–4]. Поэтому
исследование задач оптимального управления в процессах, описываемых такими
уравнениями, актуально.
Управление колебанием всегда считалось важной проблемой. Развитие
теорий колебаний стержней отражено в книге С. Тимошенко [5]. Основы со-
временного подхода к математической теории управлениями колеблющимися
упругими системами заложены в работах А.Г. Бутковского, А.И. Егорова,
К.А. Лурье, Т.К. Сиразетдинова и др. [6, 7]. Основные принципы оптимально-
го управления для колеблющихся стержней развиты в [8]. Управление свя-
занными изгибно-крутильными колебаниями стержней имеет большое значе-
ние в динамике самолетных конструкций. Поэтому изучение задач управле-
ния колебаниями стержней, описываемых связанными дифференциальными
уравнениями, необходимо как с практической, так и теоретической точки
зрения [3, 7]. В последнее время задачи управления колебаний стержня ин-
тенсивно изучаются [9–11].
В данной работе исследуется обратная задача для уравнений, связанных из-
гибными и крутильными колебаниями стержня. Эта задача приводится к задаче
оптимального управления и исследуется с помощью методов теории оптимально-
го управления.
1. Постановка задачи
Рассмотрим краевую задачу для уравнений изгибно-крутильных колебаний
стержня, описываемых системой двух дифференциальных уравнений в области
:}0,0{ TtlxQ
),,()()()()()()()( 12
2
2
2
2
2
2
2
txv
t
xexAx
t
y
xAx
x
y
xIxE
x
(1)
2
2
2
2
2
2
2
2
)()()())()(()()(
t
y
xexAxxCxG
xx
xCxE
x
w
),,())()()(()( 22
2
2 txv
t
xexAxIx
(2)
),(00
xy
t
),(1
0
x
t
y
t
),(~),(~
1
0
00
x
t
x
t
t
(3)
,0
0
lxx
yy ,0
0
lxx x
y
x
y
(4)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 4 75
,0
0
lxx
,0
0
lxx xx
(5)
где 0,0 Tl — заданные числа, ),( txy — поперечное перемещение стержня,
),( tx — угол поворота поперечного сечения стержня, )(xE — модуль Юнга,
)(xI — полярный момент инерции поперечного сечения относительно его центра
тяжести, )(x — плотность материала стержня, )(xA — площадь поперечного се-
чения, )(xe — расстояние от центра тяжести до центра кручения, )(xC — секто-
риальный момент инерции поперечного сечения, ( )G x — модуль сдвига, )(xC —
геометрическая жесткость свободного кручения, )()( xCxE — жесткость изгибно-
го кручения, )()( xCxG — жесткость свободного кручения, 1010
~,~,, — за-
данные функции, а функции ),(1 txv и ),(2 txv подлежат определению.
Для того чтобы определить )),,(),,((),( 21 txvtxvtxv зададим дополнитель-
ные условия
),();,( 0 tvtxy ),();,( 0 tgvtx (6)
где ),,0(0 lx а )(),( tgt — заданные функции.
Тогда задача (1)–(6) является обратной задачей к прямой задаче (1)–(5). Эту
задачу приведем к следующей задаче оптимального управления: требуется опре-
делить такую вектор-функцию ),()()),(),,((),( 2221 QLQLtxvtxvtxv которая
минимизирует функционал
dttgvtxtvtxyvJ
T
0
2
0
2
0 ]))();,(())();,([(
2
1
)( (7)
вместе с решением краевой задачи (1)–(5). Функцию )),(),,((),( 21 txvtxvtxv
назовем управлением. Задачу (7), (1)–(5) назовем приведенной задачей.
Предположим, что данные задачи (1)–(5) удовлетворяют следующим условиям:
1) ),(xE ),(xI ),(x ),(xA ),(xe ),(xC ),(xG )(xC — измеримые, ограни-
ченные и положительные функции на отрезке ];,0[ l
2) ),,0(2
20 lW
),,0(~ 2
20 lW
),,0(~),,0( 2121 lLlL ),,0(2 TL
).,0(2 TLg
При каждой фиксированной вектор-функции )),(),,((),( 21 txvtxvtxv
)()( 22 QLQL краевая задача (1)–(5) имеет единственное обобщенное решение
из пространства )(1,2
2 QW [4, 12, 13].
2. Об одном свойстве приведенной задачи (7), (1)–(5)
Покажем что, .0)(inf
)()( 22
vJ
QLQLv
Это определение эквивалентно опреде-
лению плотности в ),0(),0( 22 TLTL образа )()( 22 QLQL при отображении
).,;,(),;,(),( 21021021 vvtxvvtxyvv
Обратимся к теореме Хана–Банаха [14]. Пусть )(0 t и )(1 t — заданные
функции из ),0(2 TL такие, что
,0)(),;,( 0
0
210 dttvvtxy
T
0)(),;,( 1
0
210 dttvvtx
T
).(, 221 QLvv (8)
76 ISSN 0572-2691
Нужно выяснить, будет ли отсюда следовать, что ,0)(0 t .0)(1 t Введем
вектор-функцию )),(),,(( 21 txwtxw как решение краевой задачи:
),()()()()()()()()( 002
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
xxt
t
w
xexAx
t
w
xAx
x
w
xIxE
x
(9)
)()(()()()()()()()(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xIx
t
w
xexAx
x
w
xCxG
x
w
xCxE
x
w
),()())()( 012
1
2
2 xxt
t
w
xexA
,),( Qtx (10)
,021
TtTt
ww ,021
TtTt t
w
t
w
,0 lx (11)
,0
0201
xx
ww ,0
0
2
0
1
xx x
w
x
w
,0 Tt (12)
,021
lxlx
ww ,021
lxlx x
w
x
w
,0 Tt (13)
где ),( tx — дельта-функция Дирака. Отметим, что эта задача имеет единствен-
ное обобщенное решение в )()( 1,2
2
1,2
2 QWQW [13].
В силу определения обобщенного решения задачи (1)–(5) имеем: при 0t
выполняются условия ),(),;0,( 021 xvvxy )(~),;0,( 021 xvvx и следующие
интегральные тождества:
dxdt
tt
xexAx
tt
y
xAx
xx
y
xIxE
Q
11
2
1
2
2
2
)()()()()()()(
,)0,()(~)()()()0,()()()( 1111
0
11
0
dxdtvdxxxxexAxdxxxxAx
Q
ll
(14)
Q
w xIx
tt
y
xexAx
x
xCxG
xx
xCxE )()(()()()()()()()( 2
2
2
2
2
2
2
2
2
dxxxxexAxdxdt
tt
xexA
l
)0,()()()()())()( 21
0
22
,)0,()(~))()()()(( 2221
0
2 dxdtvdxxxxexAxIx
Q
l
.),( Qtx (15)
Для произвольных функций )(, 1,2
221 QW имеем
,021
TtTt
(16)
,0
0201
xx
,0
0
2
0
1
xx xx
(17)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 4 77
,021
lxlx
,021
lxlx xx
(18)
а в силу определения обобщенного решения задачи (9)–(13) следует, что при
Tt выполняются условия ,0),(1 Txw 0),(2 Txw и интегральные тождества:
dxdt
t
g
t
w
xexAx
t
g
t
w
xAx
x
g
x
w
xIxE
Q
1111
2
1
2
2
1
2
)()()()()()()(
dxxg
t
xw
xexAxdxxg
t
xw
xAx
ll
)0,(
)0,(
)()()()0,(
)0,(
)()( 1
2
0
1
1
0
,)(),()( 010 dxdtxxtxgt
Q
(19)
Q
w xIx
t
g
t
w
xexAxg
x
w
xCxG
x
g
x
w
xCxE )(()()()()()()()()( 21
22
2
2
2
2
2
2
2
2
dxxg
t
xw
xexAxdxdt
t
g
t
w
xexA
l
)0,(
)0,(
)()()())()( 2
1
0
222
.)(),()()0,(
)0,(
))()()()(( 0212
2
0
2 dxdtxxtxgtdxxg
t
xw
xexAxIx
Q
l
(20)
Для произвольных функций )(, 1,2
221 QWgg имеем
,0
0201
xx
gg ,021
lxlx
gg (21)
,0
0
2
0
1
xx x
g
x
g
.021
lxlx x
g
x
g
(22)
Теперь в тождествах (14) и (15) функциями 1 и 2 выступают ),(1 txw и
),,(2 txw а в тождествах (19) и (20) функциями 1g и 2g — соответственно
),;,( 21 vvtxy и ).,;,( 21 vvtx Затем из (14) и (15) вычтем (19) и (20) соответствен-
но и полученные выражения просуммируем.
В результате имеем:
dxxwxxexAxdxxwxxAx
ll
)0,()(~)()()()0,()()()( 11
0
11
0
dxxwxxexAxIxdxxwxxexAx
ll
)0,()(~))()()(()()0,()()()()( 21
0
2
21
0
dxx
t
xw
xexAxdxx
t
xw
xAx
ll
)(
)0,(
)()()()(
)0,(
)()( 0
2
0
0
1
0
dxx
t
xw
xexAxIxdxx
t
xw
xexAx
ll
)(~)0,(
))()()()(()(~)0,(
)()()( 0
2
0
2
0
1
0
dtvvtxtvvtxytdxdtwvwv
T
Q
)),;,()(),;,()(()( 21012100
0
2211
).(, 221 QLvv
78 ISSN 0572-2691
Отсюда в силу условий (8) получим:
dxxwxxexAxdxxwxxAx
ll
)0,()(~)()()()0,()()()( 11
0
11
0
dxxwxxexAxIxdxxwxxexAx
ll
)0,()(~))()()()(()0,()()()()( 21
0
2
21
0
dxx
t
xw
xexAxdxx
t
xw
xAx
ll
)(
)0,(
)()()()(
)0,(
)()( 0
2
0
0
1
0
ll
xexAxIxdxx
t
xw
xexAx
0
2
0
1
0
))()()()(()(~)0,(
)()()(
Q
dxwvwvdxx
t
xw
0)()(~)0,(
22110
2 ).()(, 2221 QLQLvv (23)
Если это соотношение записать для произвольных ),,(1
1 txv ),(2
1 txv и ),,(1
2 txv
),,(2
2 txv то из полученных двух равенств выплывает, что
Q
dxdttxwtxvtxvtxwtxvtxv 0)],()),(),((),()),(),([( 2
2
2
1
21
2
1
1
1
).()(, 2221 QLQLvv
Отсюда в силу аналога леммы Лагранжа [4, с. 95] следует, что ,0),(1 txw
0),(2 txw почти всюду в .Q Поскольку )),(),,((),( 21 txwtxwtxw как решение
задачи (9)–(13) — непрерывная вектор-функция на ,Q то ,0),(1 txw ,0),(2 txw
,),( Qtx поэтому из (9) и (10) имеем 0)(0 t и .0)(1 t Таким образом,
.0)(inf
)(2
vJ
QLv
3. Формула для приращения функционала (7)
Из класса допустимых управлений берем выпуклое, замкнутое множество
)()( 22 QLQLUad вектор-функций )).,(),,((),( 21 txvtxvtxv Введем следую-
щую сопряженную задачу к задаче (1)–(5), (7):
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
)()()()()()()(
t
xexAx
t
xAx
x
xIxE
x
),()]();,([ 0xxtvtxy (24)
)()(()()()()()()()(
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xIx
t
xexAx
x
xCxG
x
xCxE
x
w
),()]();,([))()( 02
2
2
2 xxtgvtx
t
xexA
(25)
,021
TtTt
,021
TtTt tt
(26)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 4 79
,0101
lxx
,01
0
1
lxx xx
(27)
,0202
lxx
.02
0
2
lxx xx
(28)
Возьмем два допустимых управления: ),(),,( 21 txvtxv и зададим им при-
ращения )(21 QLv и )(22 QLv таким образом, чтобы ),,(),( 11 txvtxv
.),(),( 22 adUtxvtxv Найдем приращения функционала (7):
T
tvvtxytvvvvtxy
vJvvJvJ
0
2
21
2
22110 )]()),;,([)](),;,({[
2
1
)()()(
,})](),;,([])(),;,([ 2
21
2
22110 dttgvvtxtgvvvvtx
где
),,(),;,(),;,( 212211 txyvvtxyvvvvtxy
).,(),;,(),;,( 212211 txvvtxvvvvtx
Отсюда следует, что
,),()](),;,([),()](),;,([)(
0 0
02100210 RdttxtgvvtxdttxytvvtxyvJ
T T
(29)
где
,])),(()),([(
2
1
0
2
0
2
0
T
dttxtxyR
а )()()),(),,(( 1,2
2
1,2
2 QWQWtxtxy — обобщенное решение следующей крае-
вой задачи:
,)()()()()()()( 12
2
2
2
2
2
2
2
v
t
xexAx
t
y
xAx
x
y
xIxE
x
(30)
2
2
2
2
2
2
2
2
)()()())()(()()(
t
y
xexAxxCxG
xx
xCxE
x
w
,))()()()(( 22
2
2 v
t
xexAxIx
(31)
,0),(),(
00
tt
txtxy ,0
),(),(
00
tt t
tx
t
txy
(32)
,0),(),(
00
xx
txtxy ,0
),(),(
00
xx x
tx
x
txy
(33)
,0),(),(
lxlx
txtxy ,0
),(),(
lxlx x
tx
x
txy
80 ISSN 0572-2691
т.е. для любой функции )(, 1,2
221 QW
,021
TtTt
,0
0201
xx
,021
lxlx
,0
0
2
0
1
xx xx
021
lxlx xx
выполняются интегральные тождества:
dx
tt
xexAx
tt
y
xAx
xx
y
xIxE
Q
11
2
1
2
2
2
)()()()()()()(
,011 dxdtv
Q
(34)
Q
w x
tt
y
xexAx
x
GC
xx
xCxE )()()()()()( 2
22
2
2
2
2
2
2
.0))()()(( 22
22
dxdtvdx
tt
xexAxI
Q
(35)
Поскольку функции ),(),,( 21 txtx — обобщенные решения задачи (24)–(28),
для любых функций )(, 1,2
221 QWgg
,0
0201
tt
gg
,0
0201
xx
gg ,0
0
2
0
1
xx x
g
x
g
,021
lxlx
gg 021
lxlx x
g
x
g
выполняются интегральные тождества
dxdt
t
g
t
xexAx
t
g
t
xAx
x
g
x
xIxE
Q
1211
2
1
2
2
1
2
)()()()()()()(
,0),()](),;,([ 01
0
210 dttxgtvvtxy
T
(36)
)()()()()()( 21
22
2
2
2
2
2
2
2
2
x
t
g
t
xexAxg
x
GC
x
g
x
xCxE w
Q
.0),()](),;,([))()()(( 02
0
210
222
dttxgtgvvtxdxdt
t
g
t
xexAxI
T
(37)
В тождествах (34) и (35) вместо ),(1 tx и ),(2 tx берем ),(1 tx и ),,(2 tx
а в тождествах ( 36) и (37) вместо ),(1 txg и ),(2 txg берем ),( txy и ),( tx соот-
ветственно, вычтем полученные соотношения и суммируем их. В результате имеем
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 4 81
Q
T
Q
dxdttxytvvtxydxdtvdxdtv
0
02102211 ),()](),;,([
.0),()](),;,([
0
0210
T
dxdttxtgvvtx (38)
Поэтому из формул (29) и (38) следует, что
.)( 2211 RtdxdvdxdtvvJ
QQ
(39)
4. Оценка приращения решения задачи (30)–(33) и остаточного члена R
Покажем, что для обобщенного решения краевой задачи (30)–(33) справедли-
ва оценка
),(),(),(
2
)(1
2
)(2
2
)(
2
)( 22
1,2
2
1,2
2 QLQLQWQW
vvctxtxy (40)
здесь и далее c — различные постоянные, не зависящие от оцениваемых величин
и допустимых управлений. Для доказательства оценки (40) применим метод Фаэ-
до–Галеркина. Пусть
1})({ ii x — фундаментальная система в ),0(
0
2
2 lW и
.,0
,,1
)()(
0
ki
ki
dxxx k
l
i
Приближенные решения )),(),,(( txtxy NN задачи (30)–(33) ищем в виде
N
i
i
N
i
N xtctxy
1
1 )()(),( и
N
i
i
N
i
N xtctx
1
2 )()(),( из следующих соотношений:
l
p
Nl
p
N
dxx
t
y
xAxdx
dx
xd
x
y
xIxE
0
2
2
0
2
2
2
2
)()()(
)(
)()(
,,1,)(),()()()()(
0
12
2
0
Npdxxtxvdxx
t
xexAx p
l
p
Nl
(41)
dxx
t
y
xexAx
x
xd
xCxG
dx
x
xd
x
xCxE
p
l Nl
pN
p
l N
w
)()()()(
)(
)()(
)(
)()(
0
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
,,1,)(),()())()()()((
0
22
2
0
2 Npdxxtxvdxx
t
xexAxIx p
l
p
Nl
(42)
,0
0
2
0
1
t
N
i
t
N
i cc (43)
,0
0
2
0
1
t
N
i
t
N
i
dt
dc
dt
dc
.,1 Ni (44)
Равенства (41) и (42) являются системой линейных обыкновенных диф-
ференциальных уравнений второго порядка для неизвестных )(1 tcN
i и ),(2 tcN
i
82 ISSN 0572-2691
,,1 Ni разрешенной относительно
2
1
2
dt
cd N
i и .
2
2
2
dt
cd N
i При наложенных условиях
на данные задачи эта система однозначно разрешима при начальных условиях
(43) и (44), причем ),,0(, 22
2
2
2
1
2
TL
dt
cd
dt
cd N
i
N
i .,1 Ni
Умножая каждое из равенств (41) и (42) на
dt
dc
dt
dc N
p
N
p 21
, и суммируя по p от
1 до ,N получаем равенства
l NNlNN
dx
t
y
t
y
xAxdx
tx
y
x
y
xIxE
0
2
2
0
2
3
2
2
)()()()(
,)()()(
0
12
2
0
dx
t
y
vdx
t
y
t
xexAx
NlNNl
(45)
dx
tt
y
xexAxdx
tx
GCxd
txx
xCxE
l NNl N
N
Nl N
w
0
2
2
0
2
3
2
3
0
2
2
)()()()()(
.),())()()()((
0
22
2
0
2 dx
t
txvdx
tt
xexAxIx
NlNNl
(46)
Предположим, что )(),( xCxG не зависят от .x Тогда из (45), (46) следует, что
l N
w
NN
x
xCxE
t
y
xAx
x
y
xIxE
dt
d
0
2
2
2
22
2
2
)()()()()()(
2
1
2
2
2
))()()()((
t
xexAxIx
x
GC
NN
l NNNN
dx
t
txv
t
y
vdx
tt
y
xexAx
0
21 .),()()()(2
Последнее равенство интегрируем по t от 0 до t :
l NN
w
NlN
x
GC
x
xCxE
t
y
xAx
x
y
xIxE
0
2
2
2
2
0
2
2
2
)()()()()()(
dx
t
y
t
xexAx
t
xexAxIx
NNN
)()()(2))()()(()(
2
2
t l NN
dxds
t
v
t
y
v
0 0
21 .2 (47)
В равенстве (47) проведем некоторые преобразования:
l NN
w
NN
x
GC
x
xCxE
t
y
xAx
x
y
xIxE
0
2
2
2
22
2
2
)()()()()()(
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 4 83
dx
tt
y
xexAx
t
xexAxIx
NNN
222
2 )()()())()()(()(
t l NN
dxds
t
v
t
y
v
0 0
212
или
l NlN
dx
t
y
xexAxdx
x
y
xIxE
0
2
0
2
2
2
))(1)(()()()(
)()[()()(
00
2
0
2
2
2
xIxdx
x
GCdx
x
xCxE
ll Nl N
w
.)),((
)),(()]()()()(
0 0
22
2
2
0 0
2
1
2
2
t l NN
t lN
dxds
tt
y
dxdssxv
sxvdx
t
xexAxexA
Предположим, что ,0)(1 0 xe 0)1)(()()()( 1 xexexAxI ],,0[ lx
где 0, 10 — заданные числа. Поскольку )(),(),(),(),( xxCxAxIxE w — по-
ложительные функции на отрезке ],,0[ l в силу эквивалентности норм в простран-
стве ),,0(2
2 lW
из последнего неравенства с помощью элементарных преобразова-
ний получим
l
N
NNN
N tx
x
txy
x
txy
t
txy
txy
0
2
2
2
2
22
2 )),((
),(),(),(
)),((
T lNNN
dxdtvvc
x
tx
x
tx
t
tx
0 0
2
2
2
1
2
2
2
22
))()((
),(),(),(
t l NNN
N
x
sxy
x
sxy
t
sxy
sxyc
0 0
2
2
2
22
2 ),(),(),(
)),((
.
),(),(),(
)),((
2
2
2
22
2 dxds
x
sx
x
sx
t
sx
sx
NNN
N
Отсюда, применяя лемму Грануолла, имеем:
l
N
NNN
N dxtx
x
txy
x
txy
t
txy
txy
0
2
2
2
2
22
2 )),((
),(),(),(
)),((
)(
),(),(),( 2
)(2
2
)(1
2
2
2
22
22 QLQL
NNN
vvcdx
x
tx
x
tx
t
tx
].,0[ Tt
84 ISSN 0572-2691
Из последнего неравенства следует, что
T l
N
NNN
N tx
x
txy
x
txy
t
txy
txy
0 0
2
2
2
2
22
2 )),((
),(),(),(
)),((
).(
),(),(),( 2
)(2
2
)(1
2
2
2
22
22 QLQL
NNN
vvcdx
x
tx
x
tx
t
tx
Поэтому из последовательности ),( NNy можно выбрать подпоследо-
вательность, слабосходящуюся в )()( 1,2
2
1,2
2 QWQW к некоторому элементу
).()(),( 1,2
2
1,2
2 QWQWy В силу слабой полунепрерывности снизу нормы в
гильбертом пространстве для ),( txy и ),( tx справедлива оценка
).(
2
)(2
2
)(1
2
)(
2
)( 22
1,2
2
1,2
2 QLQLQWQW
vvcy
Поскольку )(1,2
2 QW ограниченно вложено в ),0(2 TL [3, с. 70],
),(),(
2
)(2
2
)(1
2
)(
2
),0(0
22
1,2
22 QLQLQWTL
vvcyctxy (48)
).(),(
2
)(2
2
)(1
2
)(
2
),0(0
22
1,2
22 QLQLQWTL
vvcctx (49)
Как и в [12, с. 214, 215], легко можно показать, что )),(),,(( txtxy —
обобщенное решение задачи (30)–(33).
Из неравенств (48) и (49) следует, что
).(])),(()),([(
2
1 2
)(2
2
)(1
0
2
0
2
0
22 QLQL
T
vvctxtxyR (50)
5. Градиент функционала и условие оптимальности
Таким образом, из (39) и (50) следует, что градиент функционала )(vJ равняется
)).,(),,(()( 21 txtxvJ
Теорема. Для того чтобы adUtxvtxvtxv )),(),,((),( 0
2
0
1
0 было оптималь-
ным управлением в задаче (7), (1)–(5), необходимо и достаточно
.),(
0))),(),()((,()),(),((),((
21
0
2
1
22
0
1
1
11
ad
Q
Uvvv
dxdttxvtxvtxtxvtxvtx
(51)
Доказательство. Пусть )),(),,((),( 0
2
0
1
0 txvtxvtxv — оптимальное управле-
ние в задаче (7), (1)–(5), тогда в силу известной теоремы из [13, с. 28]
0),( 0 vvvJ adUvvv ),( 21
или
.),(
0))),(),()(,()),(),((),((
21
0
2
1
22
0
1
1
11
ad
Q
Uvvv
dxdttxvtxvtxtxvtxvtx
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 4 85
Последнее неравенство подтверждает необходимость теоремы. Поскольку
задача (7),(1)–(5) линейно-квадратичная, полученное условие являются достаточ-
ным условием и для оптимальности управления ).,(0 txv
Пример. Рассмотрим краевую задачу для уравнений изгибно-крутильных ко-
лебаний стержня, описываемых системой двух дифференциальных уравнений в
области :}10,10{ txQ
,),(24 12
2
2
2
4
4
txv
tt
y
x
y
),,(32 22
2
2
2
2
2
4
4
txv
tt
y
xx
,)1(,0 22
0
0
xx
t
y
y
t
t
,0,)1(
0
22
0
t
t t
xx
,0,0
10
10
xx
xx x
y
x
y
yy .0,0
10
10
xx
xx xx
В этом случае коэффициенты уравнений (1), (2) имеют следующий вид:
.1,1,2,4,
2
1
,1,2,
2
1
CGCAeIE w
Для определения )),(),,((),( 21 txvtxvtxv зададим дополнительные условия:
,
16
;,
2
1 t
vty
.
16
1
;,
2
1
vt
Функционал (7) в этом случае имеет вид
.
16
1
;,
2
1
16
;,
2
1
2
1
)(
0
22
dtvt
t
vtyvJ
T
Легко проверить, что ,0)(min)(inf
)()()()( 2222
vJvJ
QLQLvQLQLv
причем
минимум функционала )(vJ достигается при )),(),,((),( 0
2
0
10 txvtxvtxvv
).121222,24( 2xxt В этом случае необходимое и достаточное условие (51)
автоматически выполняется.
В настоящей работе рассматривается обратная задача определения правых
частей уравнений изгибно-крутильных колебаний стержня. Эта задача приводится
к задаче оптимального управления. Вычисляется градиент функционала и с по-
мощью выражения градиента доказывается необходимое и достаточное условие
оптимальности.
Г.Ф. Кулієв, А.Т. Рамазанова
ПРО ВИЗНАЧЕННЯ ПРАВИХ ЧАСТИН РІВНЯНЬ
ЗГИНАЛЬНО-КРУТИЛЬНИХ КОЛИВАНЬ СТЕРЖНЯ
Досліджено обернену задачу для рівнянь, зв’язаних згинально-крутильними
коливаннями стержня. Дана задача зводиться до задачі оптимального керуван-
ня і досліджується за допомогою методу теорії оптимального керування. Дове-
дено необхідні і достатні умови оптимальності.
86 ISSN 0572-2691
H.F. Guliyev, A.T. Ramazanova
ON FINDING OF RIGHT HAND SIDES OF EQUATIONS
OF FLEXURAL-TORSIONAL VIBRATIONS OF A BAR
In the present paper, an inverse problem for equations connected with flexural-
torsional vibrations of a bar is studied. This problem is reduced to an optimal control
problem. And this problem studied by themethods of optimal control theory.The nec-
essary and sufficient condition of an optimality is proved.
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М. : Наука, 1976. —
736 с.
2. Арман. Ж.-Л.П. Приложения теории оптимального управления системами с распределен-
ными параметрами к задачам оптимизации конструкций. — М. : Мир, 1977. — 144 с.
3. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих
систем. — М. : Мир, 1975. — 158 с.
4. Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управле-
ния системами с распределительными параметрами. — М. : Вычислительный центр РАН,
2001. — 121 с.
5. Timoshenko S.P. History of strength of materials. — New York : McGraw- Hill, 1953. —
P. 30–44.
6. Butkovsky A.G., Egorov A.I., Lurie K.A. Optimal control of distributed systems // SIAM J. Con-
trol. — 1968. — 6, N 3. — P. 437–476.
7. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. — М. : Наука,
1977. — 480 с.
8. Komkov V. The Optimal control theory of transverse vibrations of a beam // SIAM J. Control. —
1968. — 6, N 3. — P. 401–421.
9. Гордон В.А., Кравцова Э.А. Собственные частоты и формы изгибных колебаний балки с
трещиной. — М. : Вестник МГСУ. — 2014. —№ 3. — С. 50–58.
10. Michaltsos G.T., Sarantithou E., Sophianopoulos D.S. Flexural–torsional vibration of simply sup-
ported open cross-section steel beams under moving loads // Journal of Sound and Vibration. —
2005. — 280, N 3-5. — P. 479–494.
11. Yucel A., Arpaci A., Tufekci E. Coupled axial-flexural-torsional vibration of Timos-henko frames //
Journal of Vibration and Control. — 2013. — 20. — P. 2366–2377.
12. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. — М. : Наука, 1973. — 408 с.
13. Ломовцев Ф.Е., Юрчук Н.И. Задача Коши для гиперболических дифференциально-
операторных уравнений второго порядка // Дифф. урав. — 1976. — 12, № 12. — С. 2242–2250.
14. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. —
М. : Наука, 1976. — 542 с.
15. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. — М. : Наука, 1971. — 512 с.
16. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. — М. : Наука, 1981. — 400 с.
Получено 25.01.2016
После доработки 07.03.2016
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022460X04001221
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022460X04001221
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022460X04001221
http://www.sciencedirect.com/science/journal/0022460X
http://www.sciencedirect.com/science/journal/0022460X/329/10
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208191 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:25:20Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кулиев, Г.Ф. Рамазанова, А.Т. 2025-10-20T17:55:50Z 2016 Об определении правых частей уравнений изгибно-крутильных колебаний стержня / Г.Ф. Кулиев, А.Т. Рамазанова // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 4. — С. 74-86. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208191 517.98 10.1615/JAutomatInfScien.v48.i8.70 Досліджено обернену задачу для рівнянь згинально-крутильних коливань стержня, зведену до задачі оптимального керування. Доведено необхідні й достатні умови оптимальності. An inverse problem for flexural-torsional vibrations is studied. Reduced to an optimal control problem, necessary and sufficient optimality conditions are proved. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Об определении правых частей уравнений изгибно-крутильных колебаний стержня Про визначення правих частин рівнянь згинально-крутильних коливань стержня On finding of right hand sides of equations of flexural-torsional vibrations of a bar Article published earlier |
| spellingShingle | Об определении правых частей уравнений изгибно-крутильных колебаний стержня Кулиев, Г.Ф. Рамазанова, А.Т. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| title | Об определении правых частей уравнений изгибно-крутильных колебаний стержня |
| title_alt | Про визначення правих частин рівнянь згинально-крутильних коливань стержня On finding of right hand sides of equations of flexural-torsional vibrations of a bar |
| title_full | Об определении правых частей уравнений изгибно-крутильных колебаний стержня |
| title_fullStr | Об определении правых частей уравнений изгибно-крутильных колебаний стержня |
| title_full_unstemmed | Об определении правых частей уравнений изгибно-крутильных колебаний стержня |
| title_short | Об определении правых частей уравнений изгибно-крутильных колебаний стержня |
| title_sort | об определении правых частей уравнений изгибно-крутильных колебаний стержня |
| topic | Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| topic_facet | Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208191 |
| work_keys_str_mv | AT kulievgf obopredeleniipravyhčasteiuravneniiizgibnokrutilʹnyhkolebaniisteržnâ AT ramazanovaat obopredeleniipravyhčasteiuravneniiizgibnokrutilʹnyhkolebaniisteržnâ AT kulievgf proviznačennâpravihčastinrívnânʹzginalʹnokrutilʹnihkolivanʹsteržnâ AT ramazanovaat proviznačennâpravihčastinrívnânʹzginalʹnokrutilʹnihkolivanʹsteržnâ AT kulievgf onfindingofrighthandsidesofequationsofflexuraltorsionalvibrationsofabar AT ramazanovaat onfindingofrighthandsidesofequationsofflexuraltorsionalvibrationsofabar |