Исследование отклонения траекторий линейных устойчивых дискретных систем от монотонно убывающей кривой свободного движения в случае кратных вещественных положительных собственных чисел их матриц
Досліджено відхилення траєкторій дискретних систем у випадку кратних дійсних позитивних власних чисел їх матриць, що належать одиничному колу, за нормою вектора стану від монотонно спадної кривої вільного руху. Виявлено, що величина відхилення траєкторій від монотонно спадної кривої тим більша, чим...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208251 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Исследование отклонения траекторий линейных устойчивых дискретных систем от монотонно убывающей кривой свободного движения в случае кратных вещественных положительных собственных чисел их матриц / Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 5. — С. 5-15. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859948045873971200 |
|---|---|
| author | Вундер, Н.О. Ушаков, А.В. |
| author_facet | Вундер, Н.О. Ушаков, А.В. |
| citation_txt | Исследование отклонения траекторий линейных устойчивых дискретных систем от монотонно убывающей кривой свободного движения в случае кратных вещественных положительных собственных чисел их матриц / Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 5. — С. 5-15. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Досліджено відхилення траєкторій дискретних систем у випадку кратних дійсних позитивних власних чисел їх матриць, що належать одиничному колу, за нормою вектора стану від монотонно спадної кривої вільного руху. Виявлено, що величина відхилення траєкторій від монотонно спадної кривої тим більша, чим ближче кратне власне число до одиниці і вища його кратність. Отримано аналітичне співвідношення, що дозволяє оцінити величину відхилення траєкторій. Показано можливість використання зв’язку значення власного числа і його кратності при фіксованій величині відхилення. Наведено результати комп’ютерного експерименту.
Investigation of deviation of discrete systems trajectories in the case of multiple real positive eigenvalues of their matrices, belonging to unit circle by the norm of state vector from monotonously decreasing curve of free motion is conducted. It is found out that the closer is multiple eigenvalue to unite and the greater is its multiplicity, the greater is the value of trajectorys deviation from monotonously decreasing curve. The analytical relationship enabling one to estimate the value of trajectories deviation is obtained. The results of computer experiment are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:15:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Н.А. ВУНДЕР, А.В. УШАКОВ, 2016
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 5 5
ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 62-50
Н.А. Вундер, А.В. Ушаков
ИССЛЕДОВАНИЕ ОТКЛОНЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ
ЛИНЕЙНЫХ УСТОЙЧИВЫХ ДИСКРЕТНЫХ
СИСТЕМ ОТ МОНОТОННО УБЫВАЮЩЕЙ КРИВОЙ
СВОБОДНОГО ДВИЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ КРАТНЫХ
ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ
СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ ИХ МАТРИЦ*
Введение
Мотивационным началом данной работы явились результаты по исследованию
устойчивых линейных непрерывных многомерных динамических систем с кратными
собственными числами их матриц [1–3]. Результаты, приведенные в [1–3], поз-
воляют констатировать, что в линейной непрерывной устойчивой системе при
кратности собственных чисел, большей единицы, и значениях их модуля, мень-
ших единицы, возникают заметные отклонения траекторий системы по норме
вектора состояния свободного движения от монотонно убывающей кривой. Обна-
ружено, что величина отклонений растет с уменьшением модуля собственных чи-
сел и увеличением их кратности.
Отмеченное выше мотивировало авторов на проведение аналогичных иссле-
дований дискретных систем. Первоначально исследования проводятся для случая
представления матрицы системы в канонической жордановой форме [4, 5], затем
исследования переносятся на произвольный случай. Решение экстремальных задач
на траекториях по норме свободного движения осуществляется с помощью про-
цедур вычисления первых правых разностей [6].
1. Постановка задачи
Рассмотрим линейную стационарную динамическую систему [6–9] с дис-
кретным временем
),0()(),()1(
0
xkxkFxkx
k
(1)
где )(),0( kxx — векторы соответственно начального и текущего состояний си-
стемы; F — матрица системы; nnn RFRkxx ;)(),0( . Матрица системы F,
заданная в произвольном базисе, такова, что ее характеристический полином
)(D имеет представление
* Статья подготовлена по результатам работы, выполненной при поддержке Министерства образо-
вания и науки РФ, проект № 14.Z50.31.0031, и государственной финансовой поддержке ведущих универси-
тетов РФ (субсидия 074 — U01).
6 ISSN 0572-2691
0)Im(:;)1()()λ(detλ)(
1
iini
n
i
n
i
nn CFID , (2)
где i
nC — число сочетаний из n по i .
Дополним условие (2) наличия в алгебраическом спектре собственных чисел
},1;:]0)(det[arg{}{ niFIF ii матрицы F единственного эле-
мента кратности )(dim xn условием, накладываемым на дефект характе-
ристической матрицы )( FI [4, 5] матрицы F , который должен принимать
единичное значение. Тогда [4, 5] каноническая форма матрицы, построенная на
спектре }{F собственных чисел матрицы ,F будет иметь вид )( nn -клетки
Жордана )(J , имеющей представление
000
1000
010
001
)(J . (3)
Следует заметить, что матрица в форме Жордана )(J порождает автономную
динамическую систему вида (1), задаваемую в жордановом каноническом базисе
)0(~)(~),(~)()1(~
0
xkxkxJkx
k
, (4)
в которой вектор x~ и матрица )(J связаны с вектором x и соответственно
с матрицей F исходной системы (1) векторно-матричными соотношениями
.)(,~ FSSJxSx (5)
В (5) S — )( nn -матрица неособого преобразования подобия, допускающая
представление матрицы F в форме
1)( SSJF . (6)
В свою очередь жорданова матрица )(J в силу (3) может быть представле-
на в аддитивно декомпозированном виде
),0()0(},1;{diag)( JIJniJ i (7)
где )0(J — нильпотентная матрица [4, 5] индекса ,ν n так что выполняется
условие ,0))0(())0(( nJJ где 0 — )( nn -нулевая матрица, при этом в
представлении (7) слагаемые I и )0(J обладают свойством мультипликативной
коммутативности, записываемым в форме
).0()0()0( JIJJI (8)
Используем свойство мультипликативной коммутативности QRRQ пары
матриц RQ, размерности )( nn для компактной записи степенной матричной
аддитивной структуры .)( pRQ Теперь нетрудно показать, что степенная мат-
ричная структура pRQ )( может быть представима по правилам скалярного би-
нома Ньютона так, что
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 5 7
,)(
0
jjpj
p
p
j
p RQCRQ
(9)
где j
pC — число сочетаний из p по j .
Решение системы (4) с учетом представлений (7) и (9) принимает вид
)0(~)0()0(~))0(()0(~))(())0(~,(~)(~
0
xJCxJIxJxkxkx iiki
k
k
i
kk
. (10)
Утверждение 1. Степенная матричная функция )0())((
0
iiki
k
k
i
k JCJ
может быть представлена в виде
1000
100
10
1
))(( 33
2211
112211
nn
k
nn
kk
nn
kkk
kk
C
CC
CCC
J . (11)
Доказательство утверждения приведено в приложении 1.
Построим скалярное представление векторного процесса (10) на основе ис-
пользования согласованных [4, 5] векторных и матричных норм, тогда с учетом
выражения (11) получим
210~
2
))(()0(~))(()0(~))(()(~ k
x
kk JxJxJkx . (12)
Из (11) видно, что столбцовая норма
1
))(( kJ , определяемая последним
столбцом матрицы ))(( J , ее строчная норма
kJ ))(( , определяемая первой
строкой матрицы, и оценка спектральной нормы
2
))(( kJ , задаваемая [10] не-
равенством
21
12
)))(())((())((
kkk JJJ , совпадают и определяются
выражением
ii
k
n
i
kk СJ
1
0
))(( . (13)
На основе представлений (12) и (13) верхняя граница )(~max kx
k
нормы век-
тора )(~ kx состояния )(~ kx свободного движения системы (4), порождаемого
единичной сферой начальных состояний 1)0(~ x , удовлетворяет равенству
ii
k
n
i
k
k
Сkx
1
0
)(~max . (14)
Ясно одно, что при любом положительном собственном числе 1 и при
любой его кратности )(dim xn в силу выполнения для (14) условия
0))(~max(lim
kx
kk
(15)
процессы в системе (4) являются сходящимися (см. Приложение 2).
8 ISSN 0572-2691
Поставим задачи исследования возможности появления отклонения траектории
дискретной системы (4) по норме ее вектора состояния свободного движения (14)
от монотонно убывающего характера и оценки величины этого отклонения.
2. Основной результат
Решение поставленных задач свяжем с исследованием поведения первой пра-
вой разности нормы kJ ))(( матрицы kJ ))(( системы (4)
kkk JJJ ))(())(())(( 1 . (16)
Эти исследования проведем для двух значений дискретного времени :k
для 0k , чтобы оценить значение параметра на предмет возможности спра-
ведливости неравенства
0))((
0
k
kJ , (17)
и для ,*kk удовлетворяющего условию
}))((max))(({arg
k
*
*
k
kk
k JJk
. (18)
В развернутом виде соотношение (17) принимает вид
i
n
i
i
n
i
iiii
JJJ
)!0(!
!0
)!1(!
!1
))(())(())((
1
0
0
1
0
1010
11 , (19)
из которого видно, что 1) исследование корректно только при 2n и 2) при любых
1&0: система с матрицей коэффициентов в жордановой форме будет об-
наруживать в точке 0k положительность первой правой разности, т.е. тенденцию
к отклонению траекторий по норме от кривых монотонно убывающего характера.
Для оценки величины отклонения траектории по норме вектора состояния
свободного движения дискретной системы (4) от кривой монотонно убывающего
характера проведем исследование поведения первой разности (16) в точке ,*k
определяемой (18). Очевидно, что здесь вероятны два случая. Первый характери-
зуется переходом первой правой разности (16) на траектории системы в точке *k
через нуль от положительного значения к отрицательному без разрыва, а второй слу-
чай — переходом первой правой разности на траектории системы в точке *k с
разрывом первого рода [11] от положительного значения к отрицательному. Пер-
вому случаю соответствует траектория с гладким [12] экстремумом «плоского» типа,
так что в точках *k и 1* k значения нормы вектора состояния оказываются рав-
ными, а второму — траектория с «острым» [12] экстремумом, так что в точке *k
знак первой разности нормы вектора состояния изменяется с положительного
на отрицательный скачком.
Для первого случая справедливо выполнение соотношения
.0))((
*
kk
kJ (20)
Будем искать связь размерности n системы (и кратности собственного числа),
момента k и положительного собственного числа 1 , для которых выполня-
ется условие (20). Для этого сформулируем следующее утверждение.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 5 9
Утверждение 2. Условие )0))((arg( *
*
kk
kJk выполняется в слу-
чае удовлетворения соотношению
0
)1(
1
0
n
k
ii
k
n
i
n СС . (21)
Доказательство утверждения 2 приведено в приложении 3.
Нетрудно видеть, что с момента ,*k удовлетворяющего условию (21), в си-
стеме (4) наблюдается траектория движения монотонно убывающего характе-
ра по норме вектора состояния.
Выражение (21) позволяет зафиксировать значение при «плоском» экстре-
муме и сепарировать его при «остром». Например, если в (21) зафиксировать n
и значения k и 1k , то (21) даст значения ),( kn и )1,( kn , при которых в
моменты k и 1k наблюдаются экстремумы плоского вида. Для значений ),(n
удовлетворяющих неравенствам ),1,()(),( knnkn получаем неедин-
ственное решение, каждое из которых характеризуется в точке k экстремумом
острого типа.
3. Компьютерное исследование траекторий
свободного движения устойчивой дискретной системы
для случая кратных положительных собственных чисел ее матрицы
Ключевым элементом компьютерного исследования траекторий по норме
вектора состояния устойчивой дискретной системы (4) при свободном движении
для случая кратных положительных собственных чисел ее матрицы является со-
отношение (19), из которого следует, что при 2n и при любых 1&0:
система с матрицей коэффициентов в жордановой форме будет обнаруживать
в точке 0k положительность первой правой разности, т.е. тенденцию к откло-
нению от траектории монотонно убывающего характера. Справедливо предполо-
жить, что эта траектория достигает в момент *k экстремума, после которого в силу
условия 1 становится монотонно убывающей. Таким образом, основной за-
дачей компьютерного исследования является наблюдение этого экстремума с
установлением его локализации *k на оси дискретного времени k и зависимости
величины экстремума )(~)(~ *
* kxkx
kk
от значения собственного числа
и кратности .n При этом задача должна решаться как для случая
«плоского», так и «острого» экстремума.
Решение задачи локализации «плоского» экстремума на оси дискретного
времени *k как функции величин и n представлено в таблице. Данная таблица
построена на основании решения уравнения (21), базирующегося на условии ра-
венства нулю первой правой разности в точке .*k Полнота решения поставлен-
ной перед экспериментом задачи хорошо просматривается, если таблицей пользо-
ваться следующим образом. Задать пару },{ * nkk и определить по таблице
значение * , при котором в момент *kk наблюдается «плоский» экстремум.
Таблица
*kN 1 2 4 6 8 10 20 40 60 80 100
2 0,618 0,732 0,828 0,873 0,899 0,916 0,954 0,976 0,984 0,988 0,99
*
3 – 0,466 0,661 0,748 0,799 0,833 0,909 0,952 0,968 0,976 0,98
4 – – 0,495 0,625 0,701 0,751 0,864 0,929 0,952 0,963 0,971
5 – – 0,325 0,504 0,604 0,669 0,819 0,905 0,936 0,951 0,961
6 – – – 0,383 0,508 0,589 0,774 0,881 0,919 0,939 0,951
10 ISSN 0572-2691
В промежутках между соседними значениями * для фиксированной
пары },{ * nkk будут наблюдаться «острые» экстремумы.
На рис. 1 приведены кривые процессов )(~ kx трех троек ,,{ * nkk
}* параметров системы (4): }466,0,3,2{ ** nk (кривая 1), ,4{ * k
}661,0,3 * n (кривая 2) и }748,0,3,6{ ** nk (кривая 3), характери-
зующиеся «плоским» экстремумом.
)(kx
0
1
2
3
4
5
6
0 10 2 12 4 8 6 14 24 16 26 18 22 20 28 k
1
2
3
Рис. 1
На рис. 2 представлены кривые процессов )(~ kx для трех троек ,{ *kk
}, * n параметров системы (4): }4,0,3,2{ ** nk (кривая 1), ,4{ * k
}62,0,3 * n (кривая 2) и }73,0,3,6{ ** nk (кривая 3), характеризу-
ющиеся «острым» экстремумом.
Нетрудно видеть, что кривые как для «плоского», так и «острого» экстрему-
ма обнаруживают тенденцию роста значения экстремума при увеличении всех
элементов тройки },,{ ** nkk .
)(kx
0
1
2
3
4
5
0 10 2 12 4 8 6 14 24 16 26 18 22 20 28 k
1
2
3
Рис. 2
На рис. 3 приведены кривые для постоянных величин ))(~(max kx
k
)0(~)(~ * xkx для значений .10;5;2
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 5 11
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
2 3 5 4
1
2
3
0,9
Рис. 3
На рис. 4 представлены кривые нормы )(kx (кривая 1) и нормы )(~ kx
(кривая 2) для фиксированной тройки }661,0,3,4{ ** nk процессов
в системах (1) и (4) соответственно. Из сравнения кривых видно, что кривая 1
покрывает кривую 2, причем величина превышения кривой 1 определяется числом
обусловленности )(SС матрицы неособого преобразования подобия S в силу
соотношения
2
1
2
1
2
))(()())())(( kkkk JSCSJSSJSF , где
)(SC — число обусловленности [10] матрицы .S
)(kx
0
1
2
3
4
5
6
0 10 2 12 4 8 6 14 24 16 26 18 22 20 28 k
1
2
7
Рис. 4
Таким образом, компьютерное исследование траекторий свободного движе-
ния устойчивых дискретных систем (4) и (1) по норме вектора их состояний для
случая кратных положительных собственных чисел ее матрицы при 2n и при
любых 1&0: обнаруживает отклонение этих траекторий от монотонно
убывающей кривой, характеризующееся многообразием форм.
Заключение
Установлено, что устойчивые дискретные системы с кратными собственны-
ми числами матрицы системы обнаруживают отклонения траекторий от кривых
монотонно убывающего характера своего поведения в режиме свободного движе-
ния. При определенных сочетаниях кратности и величины собственных чисел эти
отклонения могут стать столь значительными, что может привести к разруши-
тельным последствиям. Указанные свойства траекторий свободного движения
дискретных систем следует держать под контролем как на этапе проектирования,
так и на этапе эксплуатации систем.
12 ISSN 0572-2691
Приложение 1
Доказательство утверждения 1.
Для доказательства утверждения 1 построим базу индукции представления сте-
пенной функции )0())((
0
iiki
k
k
i
k JCJ
начиная с размерности системы .2n
Пусть ,2n тогда
при 0k IJ 0))(( ;
при 1k
10
1
0
1
00
10
10
01
))((
1
1J ;
при 2k
10
21
0
2
00
00
00
10
2
10
01
))((
1
2
2
2
22J ;
при 3k
10
31
0
3
00
00
3
00
10
10
01
3
10
01
))((
1
3
3
23
233J .
Для 2n база индукции построена и представлена как
0
1101
010
1
))((
k
kkkkk
C
CCk
J .
Пусть ,3n тогда
при 0k IJ 0))(( ;
при 1k
100
10
01
))(( 1
1
1J ;
при 2k
000
000
100
000
100
010
100
010
001
2
100
010
001
))(( 22J
;
100
210
21
00
20
12
1
21
2
2
2
2
при 3k
000
000
000
000
000
100
3
000
100
010
3
100
010
001
))(( 233J
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 5 13
;
100
310
31
00
30
33
1
21
3
3
23
23
при 4k
000
000
000
4
000
000
100
6
000
100
010
4
100
010
001
))(( 2344J
;
100
410
641
00
40
64
1
21
4
4
34
234
Для 3n база индукции построена, она дает такое представление
.
00
0))((
0
110
22110
k
kk
kkk
kk
C
CC
CCC
J
Приложение 2
Доказательство справедливости условия (15).
Для доказательства справедливости условия (15) запишем правую часть вы-
ражения (14) в векторной форме так, что оно примет следующий вид
1
1
1-n10
1
0
1
][
n
kkk
kii
k
n
i
k СССС
. (П2.1)
Если в правой части (П2.1) перейти к нормам, то становится справедливой
цепочка неравенств
1110
1
0
][
n
k
kn
kkk
kii
k
n
i
k ССССС , (П2.2)
где .]1[ T)1(1 n
Из (П2.2) видно, что справедливость условия (15) гарантируется предельным
стремлением к нулю его компонента 1 n
k
kС при стремлении k к бесконечности.
Действительно, исследование этого предельного перехода позволяет записать равенство
k
n
k
k
n
k
k
k
С
С
)(
lim)(lim
1
1
1 . (П2.3)
В свою очередь, компонент 1n
kС по определению равен
)!)1((!)1(
))(())3()()2(()!)1((
)!)1(()!1(
!1
nkn
nnknknknk
nkn
k
Сn
k
!)1(
))3(())2((
n
knknk
. (П2.4)
14 ISSN 0572-2691
Нетрудно видеть, что соотношение (П2.4) удовлетворяет неравенству
11 nn
k kС , (П2.5)
где — независящая от переменной k константа )!1(1 n .
Соотношение (П2.5) позволяет для (П2.3) записать неравенство
k
n
kk
n
k
k
n
k
k
k
kС
С
)(
lim
)(
lim)(lim
1
1
1
1
1 . (П2.6)
Нетрудно видеть, что предел в (П2.6) относится к категории пределов с не-
определенностью типа , для раскрытия которой применим к пределу )1(n-
правило Лопиталя
0lim
))(ln(
!)1(
)())(ln(
!)1(
lim
)(
lim
1111111
1
k
knknkk
n
k
nnk
. (П2.7)
Справедливость условия (15) доказана.
Приложение 3
Доказательство утверждения 2.
0))(( kJ ; 0))(())(( 1 kk JJ ;
;0
1
0
1
1
0
1
ii
k
n
i
kii
k
n
i
k СС
;:0 111110
1
1
11
1
11
1
0
1
1
nkn
k
nki
k
ik
k
k
k
k
n
k
nki
k
ik
k
k
k
k
СССС
СССС
12011
1
1
1
1
1
10
1 k
n
k
nn
k
i
k
in
k
n
k
n СССССС
;0... 11 n
k
i
k
in СС
.0)()()(
121
1
11
1
01
1
10
1
n
k
n
k
n
k
i
k
i
k
in
kk
n
k
n СССССССС
Вычислим )( 1
1
i
k
i
k СС :
)!1(!
)!1(
))!1(()!1(
)!(
)!1(!
)!1(
)( 1
1
iki
k
iki
k
iki
k
СС i
k
i
k
.
)!(!
)!(
)!11(!
)!(
)!1(!
)1()!(
)!1(!
)!()!1(
)!1()!1(
)!( i
kС
iki
k
iki
k
iki
ikk
iki
ikk
iki
k
Подставим полученный результат в уравнение
,0
111110
1
n
k
n
k
i
k
in
k
n
k
n ССССС
,0
111110
1
n
k
n
k
i
k
in
k
n
k
n ССССС
.0
)1(
1
0
n
k
ii
k
n
i
n СС
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 5 15
Н.О. Вундер, А.В. Ушаков
ДОСЛІДЖЕННЯ ВІДХИЛЕННЯ ТРАЄКТОРІЙ
ЛІНІЙНИХ СТАЛИХ ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ
ВІД МОНОТОННО СПАДНОЇ КРИВОЇ ВІЛЬНОГО
РУХУ У ВИПАДКУ КРАТНИХ ДІЙСНИХ
ПОЗИТИВНИХ ВЛАСНИХ ЧИСЕЛ ЇХ МАТРИЦЬ
Досліджено відхилення траєкторій дискретних систем у випадку кратних дійс-
них позитивних власних чисел їх матриць, що належать одиничному колу, за
нормою вектора стану від монотонно спадної кривої вільного руху. Виявлено,
що величина відхилення траєкторій від монотонно спадної кривої тим більша,
чим ближче кратне власне число до одиниці і вища його кратність. Отримано
аналітичне співвідношення, що дозволяє оцінити величину відхилення траєкто-
рій. Показано можливість використання зв’язку значення власного числа і його
кратності при фіксованій величині відхилення. Наведено результати
комп’ютерного експерименту.
N.A. Vunder, A.V. Ushakov
INVESTIGATION OF DEVIATION OF TRAJECTORIES
OF LINEAR STABLE DISCRETE SYSTEMS
FROM MONOTONOUSLY DECREASING CURVE
OF FREE MOTION IN THE CASE OF MULTIPLE REAL
POSITIVE EIGENVALUES OF THEIR MATRICES
Investigation of deviation of discrete systems trajectories in the case of multiple real
positive eigenvalues of their matrices, belonging to unit circle by the norm of state
vector from monotonously decreasing curve of free motion is conducted. It is found
out that the closer is multiple eigenvalue to unite and the greater is its multiplicity,
the greater is the value of trajectorys deviation from monotonously decreasing curve.
The analytical relationship enabling one to estimate the value of trajectories deviation
is obtained. The results of computer experiment are presented.
1. Вундер Н.А., Ушаков А.В. Исследование колебательности процессов непрерывных систем,
порождаемых фактором кратности собственных чисел их матриц состояния // Междуна-
родный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2015. —
№ 6. — С. 21–36.
2. Большие отклонения в линейных системах при ненулевых начальных условиях / Б.Т. Поляк,
А.А. Тремба, М.В. Хлебников, П.С. Щербаков, Г.В. Смирнов // Автоматика и телемеханика. —
2015. — № 6. — С. 18–41.
3. Вундер Н.А., Нуйя О.С., Пещеров Р.О., Ушаков А.В. Исследование особенностей траекто-
рий свободного движения непрерывной системы в форме последовательной цепочки одно-
типных апериодических звеньев // Научно-технический вестник информационных техно-
логий, механики и оптики. — 2016. — 16, № 1. — С. 68–75.
4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М. : Наука, 1973. — С. 576.
5. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М. : Мир, 1989. — С. 655.
6. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. — М. : Физматгиз, 1963. — С. 968.
7. Григорьев В.В., Дроздов В.Н., Лаврентьев В.В., Ушаков А.В.Синтез дискретных регулято-
ров при помощи ЭВМ. — Л.: Машиностроение, 1983. — С. 245.
8. Изерман Р. Цифровые системы управления: Пер. с англ. — М. : Мир, 1984. — С. 541.
9. Ту Ю. Современная теория управления: Пер. с англ. — М. : Машиностроение, 1971. — С. 472.
10. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. — М. : Мир, 1999. — С. 548.
11. Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — М. : Физматлит, 1984. — С. 554.
12. Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: учеб. пособие. — М. :
МФТИ, 2011. — С. 544.
Получено. 14.03.2016
После доработки. 12.04.2016
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%87,_%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80_%D0%90%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208251 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:15:26Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Вундер, Н.О. Ушаков, А.В. 2025-10-23T17:00:41Z 2016 Исследование отклонения траекторий линейных устойчивых дискретных систем от монотонно убывающей кривой свободного движения в случае кратных вещественных положительных собственных чисел их матриц / Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 5. — С. 5-15. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208251 62-50 10.1615/JAutomatInfScien.v48.i10.20 Досліджено відхилення траєкторій дискретних систем у випадку кратних дійсних позитивних власних чисел їх матриць, що належать одиничному колу, за нормою вектора стану від монотонно спадної кривої вільного руху. Виявлено, що величина відхилення траєкторій від монотонно спадної кривої тим більша, чим ближче кратне власне число до одиниці і вища його кратність. Отримано аналітичне співвідношення, що дозволяє оцінити величину відхилення траєкторій. Показано можливість використання зв’язку значення власного числа і його кратності при фіксованій величині відхилення. Наведено результати комп’ютерного експерименту. Investigation of deviation of discrete systems trajectories in the case of multiple real positive eigenvalues of their matrices, belonging to unit circle by the norm of state vector from monotonously decreasing curve of free motion is conducted. It is found out that the closer is multiple eigenvalue to unite and the greater is its multiplicity, the greater is the value of trajectorys deviation from monotonously decreasing curve. The analytical relationship enabling one to estimate the value of trajectories deviation is obtained. The results of computer experiment are presented. Статья подготовлена по результатам работы, выполненной при поддержке Министерства образования и науки РФ, проект № 14.Z50.31.0031, и государственной финансовой поддержке ведущих университетов РФ (субсидия 074 — U01). ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем Исследование отклонения траекторий линейных устойчивых дискретных систем от монотонно убывающей кривой свободного движения в случае кратных вещественных положительных собственных чисел их матриц Дослідження відхилення траєкторій лінійних сталих дискретних систем від монотонно спадної кривої вільного руху у випадку кратних дійсних позитивних власних чисел їх матриць Investigation of deviation of trajectories of linear stable discrete systems from monotonously decreasing curve of free motion in the case of multiple real positive eigenvalues of their matrices Article published earlier |
| spellingShingle | Исследование отклонения траекторий линейных устойчивых дискретных систем от монотонно убывающей кривой свободного движения в случае кратных вещественных положительных собственных чисел их матриц Вундер, Н.О. Ушаков, А.В. Проблемы динамики управляемых систем |
| title | Исследование отклонения траекторий линейных устойчивых дискретных систем от монотонно убывающей кривой свободного движения в случае кратных вещественных положительных собственных чисел их матриц |
| title_alt | Дослідження відхилення траєкторій лінійних сталих дискретних систем від монотонно спадної кривої вільного руху у випадку кратних дійсних позитивних власних чисел їх матриць Investigation of deviation of trajectories of linear stable discrete systems from monotonously decreasing curve of free motion in the case of multiple real positive eigenvalues of their matrices |
| title_full | Исследование отклонения траекторий линейных устойчивых дискретных систем от монотонно убывающей кривой свободного движения в случае кратных вещественных положительных собственных чисел их матриц |
| title_fullStr | Исследование отклонения траекторий линейных устойчивых дискретных систем от монотонно убывающей кривой свободного движения в случае кратных вещественных положительных собственных чисел их матриц |
| title_full_unstemmed | Исследование отклонения траекторий линейных устойчивых дискретных систем от монотонно убывающей кривой свободного движения в случае кратных вещественных положительных собственных чисел их матриц |
| title_short | Исследование отклонения траекторий линейных устойчивых дискретных систем от монотонно убывающей кривой свободного движения в случае кратных вещественных положительных собственных чисел их матриц |
| title_sort | исследование отклонения траекторий линейных устойчивых дискретных систем от монотонно убывающей кривой свободного движения в случае кратных вещественных положительных собственных чисел их матриц |
| topic | Проблемы динамики управляемых систем |
| topic_facet | Проблемы динамики управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208251 |
| work_keys_str_mv | AT vunderno issledovanieotkloneniâtraektoriilineinyhustoičivyhdiskretnyhsistemotmonotonnoubyvaûŝeikrivoisvobodnogodviženiâvslučaekratnyhveŝestvennyhpoložitelʹnyhsobstvennyhčiselihmatric AT ušakovav issledovanieotkloneniâtraektoriilineinyhustoičivyhdiskretnyhsistemotmonotonnoubyvaûŝeikrivoisvobodnogodviženiâvslučaekratnyhveŝestvennyhpoložitelʹnyhsobstvennyhčiselihmatric AT vunderno doslídžennâvídhilennâtraêktoríilíníinihstalihdiskretnihsistemvídmonotonnospadnoíkrivoívílʹnogoruhuuvipadkukratnihdíisnihpozitivnihvlasnihčiselíhmatricʹ AT ušakovav doslídžennâvídhilennâtraêktoríilíníinihstalihdiskretnihsistemvídmonotonnospadnoíkrivoívílʹnogoruhuuvipadkukratnihdíisnihpozitivnihvlasnihčiselíhmatricʹ AT vunderno investigationofdeviationoftrajectoriesoflinearstablediscretesystemsfrommonotonouslydecreasingcurveoffreemotioninthecaseofmultiplerealpositiveeigenvaluesoftheirmatrices AT ušakovav investigationofdeviationoftrajectoriesoflinearstablediscretesystemsfrommonotonouslydecreasingcurveoffreemotioninthecaseofmultiplerealpositiveeigenvaluesoftheirmatrices |