О решении обобщенных уравнений Риккати

Розглянуто процедури, що виникають при синтезі оптимального керування стаціонарними лінійними системами. Наведено алгоритми знаходження максимальних рішень узагальнених рівнянь Ріккаті, що виникають як в задачах з безперервним, так і з дискретним часом, які базуються на процедурах лінійних матричних...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Проблемы управления и информатики
Дата:	2016
Автор:	Ларин, В.Б.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Теми:	Проблемы динамики управляемых систем
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208264
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О решении обобщенных уравнений Риккати / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 6. — С. 5-9. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859637794315436032
author	Ларин, В.Б.
author_facet	Ларин, В.Б.
citation_txt	О решении обобщенных уравнений Риккати / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 6. — С. 5-9. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто процедури, що виникають при синтезі оптимального керування стаціонарними лінійними системами. Наведено алгоритми знаходження максимальних рішень узагальнених рівнянь Ріккаті, що виникають як в задачах з безперервним, так і з дискретним часом, які базуються на процедурах лінійних матричних нерівностей. The algorithms of finding the maximal solutions of the generalized Riccati equations arising both in the problems with continuous, and with discrete time are presented. These algorithms are based on the procedures of linear matrix inequalities.
first_indexed	2025-12-07T13:18:31Z
format	Article
fulltext	© В.Б. ЛАРИН, 2016 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 6 5 ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 62-502 В.Б. Ларин О РЕШЕНИИ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ РИККАТИ Введение Вопросы управления линейными стационарными системами в той или иной постановке продолжают привлекать внимание исследователей [1–4]. Естественно, что при этом обобщаются традиционные постановки задачи, в частности, рас- сматриваются вопросы построения решений более общих уравнений Риккати. Так, в [5] отмечается, что задача оптимизации стохастической системы   0 1 )0(),()()()()()( xxtdwdttuBdttxAdttBudttAxtdx iii N i    в соответствии с квадратичным критерием ,),( 0 T 0 dt u x T u x EuxJ                    ,0T        RL LQ T где Rti tw )}({ — винеровский процесс, E — символ математического ожида- ния, сводится к построению решения стохастического уравнения Риккати: .0)()()()()( T# 1 T  XSXRXSXQXAXAXC (1) Здесь и далее верхний индекс Т означает транспонирование, # — операцию псевдообращения, ),()( 2 XRXR  ),()( 12 XXBLXS  , )()( )()( )( 2 T 12 121          XX XX X .)(,)(,)( 1 T 121 T 21 T 1    N i ii N i ii N i ii XBAXXBBXXAAX Аналогично в случае стохастической системы с дискретным временем   )()()()()()1( 1 twtuBtxAtButAxtx iii N i    при оптимизации функционала                 0 T 0 )( )( )( )( ),( t d tu tx T tu tx EuxJ 6 ISSN 0572-2691 задача сводится к построению решения дискретного стохастического уравнения Риккати: ,0)( ~ )( ~ )( ~ )()( T# 1 T  XSXRXSXQXXAAXD (2) )()( ~ 2 T XXBBRXR  ).()( ~ 12 T XXBALXS  Для построения решений уравнений (1), (2) авторы [5] используют метод го- мотопии, который позволяет в качестве начального приближения выбирать реше- ния (1), (2), соответствующие .0 Ниже рассматривается задача построения решения аналогов уравнений (1), (2) : ,0)()()()()( T1 1 T   XSXRXSXQXAXAXC (3) .0)( ~ )( ~ )( ~ )()( T1 1 T   XSXRXSXQXXAAXD (4) Предполагая, что искомые решения (3), (4) удовлетворяют условиям ,0)( XR ,0)( ~ XR для нахождения максимальных решений уравнений (3), (4) предлагается исполь- зовать, как и в [1], аппарат линейных матричных неравенств (ЛМН) [6]. Отметим, что в [3] рассматривались уравнения (3), (4), в которых ,1N ,0L 01 B (т.е. ).0,0 212  В [1] рассматривалось уравнение (3) при ,0L .1N Для нахождения максимального решения этого уравнения предлагалось использовать аппарат ЛМН. Естественно, что в случае необходимости, для уточнения полу- ченных с помощью ЛМН решений (3), (4) можно использовать гомотопические методы [5]. 1. Общие соотношения Как отмечено в [6] (соотношения (2.3), (2.4)), матричное неравенство ,0 )()( )()( T       XRXS XSXM (5) где матрицы ),()( T XMXM  ),()( T XRXR  )(XS линейно зависят от искомой матрицы ,X эквивалентно следующим матричным неравенствам: ,0)( XR .0)()()()( T1   XSXRXSXM (6) Применительно к (5) можно рассмотреть стандартную задачу ЛМН на собствен- ные значения, а именно, задачу минимизации линейной функции ,cx например ),(Xtrcx  где )(Xtr — след матрицы .X Эта задача формулируется следующим образом (см. соотношение (2.9) [6]): необходимо минимизировать )(Xtrcx  (7) при выполнении условий (5) или (6). Для ее решения можно использовать стандартную процедуру mincx.m пакета MATLAB [7]. 2. Решения уравнений (3), (4) Отметим, что искомые максимальные решения уравнений (3), (4) имеют мак- симальный след, поэтому описанную выше постановку задачи, которая позволяет использовать процедуру mincx.m, можно применить для нахождения максималь- ных решений уравнений (3), (4). Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 6 7 Так, в случае уравнения (3) матрицу )(XM в (5) запишем ,)()( 1 T QXXAXAXM  (8) выражения для матриц )(XS и )(XR совпадают с принятыми в (1). Аналогично (4) матрица )(XM имеет вид ,)()( 1 T QXXXAAXM  (9) а матрицы ),(XS )(XR совпадают с матрицами ),( ~ XS ),( ~ XR которые фигу- рируют в (2). В случае уравнения (3) задача нахождения максимального решения этого уравнения может быть сформулирована следующим образом. Необходимо мини- мизировать )(Xtrcx  (10) при выполнении условий (5), в которых матрица )(XM определяется (8), а выра- жения для матриц )(XS и )(XR совпадают с принятыми в (1). В случае уравнения (4) задача формулируется аналогично. Необходимо ми- нимизировать (10) при выполнении условий (5), в которых матрица )(XM опре- деляется (9), а выражения для матриц )(XS и )(XR совпадают с выражениями для матриц ),( ~ XS )( ~ XR в (2) соответственно. 3. Примеры Проиллюстрируем эффективность сформулированных алгоритмов на примерах. Пример 1. Пусть в уравнении (4) ,1N ,0L 01 B (т.е. ).0,0 212  В этом случае уравнение (4) переходит в уравнение (2) [3]. Найдем максимальное решение этого уравнения при следующих значениях матриц, фигурирующих в (4): , 1,00 11         A , 12,0 21 2 1 1         A , 20 20          B ,0R . 42 25       Q С помощью описанных выше алгоритмов (максимизация )(Xtr при выпол- нении условий (5)) получено следующее значение для искомого решения :X , 1780,14870,0 4870,02473,0 103       X которому соответствует величина невязки .1005,9)( ~ )( ~ )( ~ )(nev 10T1 1 T   XSXRXSXQXXAA Здесь и далее  — спектральная норма матрицы. Собственные значения матри- цы X следующие: ,1389,1,39 21  т.е. .0X В этом примере не нарушается предположение ,0)( ~ XR несмотря на то, что .0R Здесь матрица замкнутой системы (см., например, (5.7) [8]) XABXBBRBA T1T )(  (11) имеет следующие собственные значения: ,9469,0,0 21  которые лежат внутри окружности единичного радиуса. В последующих примерах 0,0,1 212 N ограничения сняты. 8 ISSN 0572-2691 Пример 2. Рассмотрим уравнение (3), в котором ,0L .2N Матрицы, фигурирующие в (3), имеют вид , 10 1010         A   ,12 T B , 42 25       Q , 12,0 21 1         A , 01 10 32        A   ,013,0 T 1 B   .105,0 T 2 B При этих исходных данных с помощью алгоритма, использованного в примере 1, получено следующее значение для матрицы :X . 4267,522245,28 2245,288357,55           X Значению матрицы X соответствует величина невязки .1077,1)()()()(nev 10T1 1 T   XSXRXSXQXAXA Отметим, что если в данном примере принять , 01 10 395,02          A то получим сле- дующее значение для матрицы :X , 1203,24472,1 4472,10360,2 103           X которой соответствует величина невязки .1096,7nev 11 Можно констатировать значительный рост решения (3) при сравнительно ма- лом изменении матрицы .2A Если же принять , 01 10 42        A то в этом случае не будет получено решение ).103,4nev( 7 Пример 3. Рассмотрим уравнение (4), в котором ,0L .2N В примере матрицы, определяющие уравнение (4), имеют вид , 1,00 11         A   ,12 T B ,1R , 42 25       Q , 12,0 21 1         A , 01 10 2          A   ,01 T 1 B   .10 T 2 B При этих исходных данных с помощью алгоритма, использованного в примере 1, получено следующее значение для матриц :X , 2443,7228548,16 8548,168574,374           X которому соответствует следующая величина невязки: .1048,4)( ~ )( ~ )( ~ )(nev 11T1 1 T   XSXRXSXQXXAA Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 6 9 В данном примере матрица замкнутой системы (11) имеет следующие собствен- ные значения: ,0470,00010,0 21  которые лежат внутри окружности еди- ничного радиуса. Если при приведенных выше исходных данных снять условие 0L и принять,   ,21 T L то получим следующее значение для :X , 1718,5226341,12 6341,124849,271         X которому соответствует величина невязки .1012,3nev 11 Таким образом, в данном примере при 0L и T]21[L величина невязки имеет одинаковый порядок. Заключение Приведены базирующиеся на процедурах линейных матричных неравенств алгоритмы нахождения максимальных решений обобщенных уравнений Риккати, возникающих как в задачах с непрерывным, так и с дискретным временем. На примерах иллюстрируется эффективность предложенных алгоритмов. В.Б. Ларін ПРО РОЗВ’ЯЗОК УЗАГАЛЬНЕНИХ РІВНЯНЬ РІККАТІ Розглянуто процедури, що виникають при синтезі оптимального керування стаціонарними лінійними системами. Наведено алгоритми знаходження мак- симальних рішень узагальнених рівнянь Ріккаті, що виникають як в задачах з безперервним, так і з дискретним часом, які базуються на процедурах лінійних матричних нерівностей. V.B.Larin ON SOLUTION OF GENERALIZED RICCATI EQUATIONS The algorithms of finding the maximal solutions of the generalized Riccati equations arising both in the problems with continuous, and with discrete time are presented. These algorithms are based on the procedures of linear matrix inequalities. 1. Rami M.A., Zhou X.Y. Linear matrix inequalities, Riccati equations, and indefinite stochastic linear quadratic control // IEEE Trans. Automat. Control. — 2000. — 45, N 6. — P. 1131–1142. 2. Ivanov I.G. Accelerated LMI solvers for the maximal solution to a asset of discrete-time algebraic Riccati equations // Appl. Math. E-Notes. — 2012. — 12. — P. 228–238. 3. Ivanov I.G., Hasanov V.I. Perturbation estimates for the two kinds of algebraic Riccati equations arising in stochastic control // J. of Numer. Math. and Stochastics. — 2014. — 6(1). — P. 1–20. 4. Prach A., Tekinalp O., Bernstein D. S. Infinite-horizon linear-quadratic control by forward propa- gation of the differential Riccati equation // IEEE Control Systems Magaz. — 2015. — P. 78–93. 5. Zhang L., Fan H-Y., Chu E K.-W., Wei Y. Homotopy for rational Riccati equations arising in stochastic optimal control // SIAM J. Sci. Comput. — 2015. — 37, N 1. — P. B103 — B125. 6. Boyd S., Ghaoui L.E., Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in system and control theory. — Philadelphia: SIAM, 1994. — 193 p. 7. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A.J., Chilali M. LMI control toolbox users guide. — The MathWorks Inc., 1995. — 306 p. 8. Lee R.C.K. Optimales estimation, identification, and control. — Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 1964. — 176 p. Получено 27.04.2016
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208264
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T13:18:31Z
publishDate	2016
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Ларин, В.Б. 2025-10-24T14:48:47Z 2016 О решении обобщенных уравнений Риккати / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 6. — С. 5-9. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208264 62-502 10.1615/JAutomatInfScien.v48.i11.10 Розглянуто процедури, що виникають при синтезі оптимального керування стаціонарними лінійними системами. Наведено алгоритми знаходження максимальних рішень узагальнених рівнянь Ріккаті, що виникають як в задачах з безперервним, так і з дискретним часом, які базуються на процедурах лінійних матричних нерівностей. The algorithms of finding the maximal solutions of the generalized Riccati equations arising both in the problems with continuous, and with discrete time are presented. These algorithms are based on the procedures of linear matrix inequalities. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем О решении обобщенных уравнений Риккати Про розв’язок узагальнених рівнянь Ріккаті On solution of generalized Riccati equations Article published earlier
spellingShingle	О решении обобщенных уравнений Риккати Ларин, В.Б. Проблемы динамики управляемых систем
title	О решении обобщенных уравнений Риккати
title_alt	Про розв’язок узагальнених рівнянь Ріккаті On solution of generalized Riccati equations
title_full	О решении обобщенных уравнений Риккати
title_fullStr	О решении обобщенных уравнений Риккати
title_full_unstemmed	О решении обобщенных уравнений Риккати
title_short	О решении обобщенных уравнений Риккати
title_sort	о решении обобщенных уравнений риккати
topic	Проблемы динамики управляемых систем
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208264
work_keys_str_mv	AT larinvb orešeniiobobŝennyhuravneniirikkati AT larinvb prorozvâzokuzagalʹnenihrívnânʹríkkatí AT larinvb onsolutionofgeneralizedriccatiequations

О решении обобщенных уравнений Риккати

Репозитарії

Схожі ресурси