Робастная стабилизация и оценка взвешенного подавления возмущений в системах управления

Робастная стабилизация и оценка взвешенного подавления возмущений в системах управления

Сформульовано умови стабілізовності за виходом деякого класу нелінійних систем керування. Для систем з керованими і спостережуваними виходами запропоновано методи побудови статичних і динамічних регуляторів, які забезпечують задану оцінку зваженого рівня гасіння зовнішніх та початкових збурень. Реал...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Проблемы управления и информатики
Дата:2016
Автори: Мазко, А.Г., Кусий, С.М.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Теми:
Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208271
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Робастная стабилизация и оценка взвешенного подавления возмущений в системах управления / А.Г. Мазко, С.Н. Кусий // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 6. — С. 71-83. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208271
record_format dspace
spelling Мазко, А.Г.
Кусий, С.М.
2025-10-24T15:18:03Z
2016
Робастная стабилизация и оценка взвешенного подавления возмущений в системах управления / А.Г. Мазко, С.Н. Кусий // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 6. — С. 71-83. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
0572-2691
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208271
517.935;519.718
10.1615/JAutomatInfScien.v48.i11.50
Сформульовано умови стабілізовності за виходом деякого класу нелінійних систем керування. Для систем з керованими і спостережуваними виходами запропоновано методи побудови статичних і динамічних регуляторів, які забезпечують задану оцінку зваженого рівня гасіння зовнішніх та початкових збурень. Реалізація даних методів з використанням статичних регуляторів за станом або динамічних регуляторів повного порядку базується на розв’язанні систем лінійних матричних нерівностей. Наведено приклад синтезу регулятора для лінійного осцилятора з демпфуванням.
Output feedback stabilizability conditions for certain class of nonlinear control systems are stated. Methods for constructing static and dynamic controllers that provide specified evaluation of the weighted damping level of external and initial perturbations are proposed for systems with controllable and observable outputs. The implementation of these methods with the use of a static state feedback or a full-order dynamic controllers based on the solution of linear matrix inequalities systems. An example of control system for a linear damped oscillator is given.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Проблемы управления и информатики
Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
Робастная стабилизация и оценка взвешенного подавления возмущений в системах управления
Робастна стабілізація та оцінка зваженого гасіння збурень у системах керування
Robust stabilization and evaluation of the weighted suppression of disturbances in control systems
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Робастная стабилизация и оценка взвешенного подавления возмущений в системах управления
spellingShingle Робастная стабилизация и оценка взвешенного подавления возмущений в системах управления
Мазко, А.Г.
Кусий, С.М.
Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
title_short Робастная стабилизация и оценка взвешенного подавления возмущений в системах управления
title_full Робастная стабилизация и оценка взвешенного подавления возмущений в системах управления
title_fullStr Робастная стабилизация и оценка взвешенного подавления возмущений в системах управления
title_full_unstemmed Робастная стабилизация и оценка взвешенного подавления возмущений в системах управления
title_sort робастная стабилизация и оценка взвешенного подавления возмущений в системах управления
author Мазко, А.Г.
Кусий, С.М.
author_facet Мазко, А.Г.
Кусий, С.М.
topic Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
topic_facet Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
publishDate 2016
language Russian
container_title Проблемы управления и информатики
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Робастна стабілізація та оцінка зваженого гасіння збурень у системах керування
Robust stabilization and evaluation of the weighted suppression of disturbances in control systems
description Сформульовано умови стабілізовності за виходом деякого класу нелінійних систем керування. Для систем з керованими і спостережуваними виходами запропоновано методи побудови статичних і динамічних регуляторів, які забезпечують задану оцінку зваженого рівня гасіння зовнішніх та початкових збурень. Реалізація даних методів з використанням статичних регуляторів за станом або динамічних регуляторів повного порядку базується на розв’язанні систем лінійних матричних нерівностей. Наведено приклад синтезу регулятора для лінійного осцилятора з демпфуванням. Output feedback stabilizability conditions for certain class of nonlinear control systems are stated. Methods for constructing static and dynamic controllers that provide specified evaluation of the weighted damping level of external and initial perturbations are proposed for systems with controllable and observable outputs. The implementation of these methods with the use of a static state feedback or a full-order dynamic controllers based on the solution of linear matrix inequalities systems. An example of control system for a linear damped oscillator is given.
issn 0572-2691
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208271
citation_txt Робастная стабилизация и оценка взвешенного подавления возмущений в системах управления / А.Г. Мазко, С.Н. Кусий // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 6. — С. 71-83. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT mazkoag robastnaâstabilizaciâiocenkavzvešennogopodavleniâvozmuŝeniivsistemahupravleniâ
AT kusiism robastnaâstabilizaciâiocenkavzvešennogopodavleniâvozmuŝeniivsistemahupravleniâ
AT mazkoag robastnastabílízacíâtaocínkazvaženogogasínnâzburenʹusistemahkeruvannâ
AT kusiism robastnastabílízacíâtaocínkazvaženogogasínnâzburenʹusistemahkeruvannâ
AT mazkoag robuststabilizationandevaluationoftheweightedsuppressionofdisturbancesincontrolsystems
AT kusiism robuststabilizationandevaluationoftheweightedsuppressionofdisturbancesincontrolsystems
first_indexed 2025-11-25T23:31:31Z
last_indexed 2025-11-25T23:31:31Z
_version_ 1850582324071104512
fulltext © А.Г. МАЗКО, С.Н. КУСИЙ, 2016 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 6 71 МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ И ОЦЕНИВАНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ УДК 517.935;519.718 А.Г. Мазко, С.Н. Кусий РОБАСТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ И ОЦЕНКА ВЗВЕШЕННОГО ПОДАВЛЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ Введение Задача стабилизации динамических систем по выходу — одна из главных задач теории управления. Полное решение этой задачи для класса линейных систем известно лишь в некоторых частных случаях [1, 2]. На практике уравне- ния движения управляемых объектов могут содержать неопределенные элемен- ты (параметры, функции, внешние возмущения и т.п.). Для таких объектов воз- никают задачи синтеза законов управления, обеспечивающих робастную устой- чивость состояний, а также оценку и оптимизацию интегральных показателей качества (см., например, [3–8]). В теории H -оптимизации линейных систем используется характеристика качества ,)(sup/sup 0    HiHwzJ w где )(sH — передаточная матрица объекта от входа w к управляемому выходу ,z  — спектральная матричная норма. Данная характеристика описывает уровень гашения внешних возмущений w в линейной системе при нулевом начальном со- стоянии .00 x Задача H -оптимального управления заключается в построении статического или динамического регулятора по наблюдаемому выходу ,y обес- печивающего минимальное значение J и робастную устойчивость нулевого со- стояния системы с ограниченной неопределенностью ),(tw .0t Отметим, что большинство известных методов решения упомянутых задач стабилизации и оптимизации систем сводится к решению линейных матричных неравенств (ЛМН). Для этого созданы достаточно эффективные средства LMI Toolbox компьютерной системы MATLAB [9]. В данной работе рассматриваются некоторые классы линейных и нелиней- ных систем с управляемыми и наблюдаемыми выходами. Продолжая исследова- ния [10, 11] с использованием систем ЛМН, разрабатываются алгоритмы робаст- ной стабилизации и достижения желаемой оценки некоторого обобщенного кри- терия качества, характеризующего взвешенный уровень подавления внешних и начальных возмущений. Будем использовать следующие обозначения: nI — единичная nn -матрица; mn0 — нулевая mn -матрица; 0T  XX )0( — положительно (неотрицатель- но)-определенная симметричная матрица; ,rank A Aker и )(A — соответственно 72 ISSN 0572-2691 ранг, ядро и спектр матрицы ;A }i,i,{i)(i 0X — инерция матрицы ,TXX  со- стоящая из количеств ее положительных, отрицательных и нулевых собственных чисел с учетом кратностей; x — евклидова норма вектора ;x }...,,{Co 1 AA }1...,,1,0:...{ 111   kAA k — выпуклый многогранник (политоп) с вершинами rAA ...,,1 в пространстве матриц. 1. Вспомогательные утверждения При исследовании матричных неравенств с блочно-матричными выражения- ми типа          CB BA M T часто используется следующее утверждение. Лемма 1 (лемма Шура [12]). Пусть диагональный блок A )(C матрицы M невырожденный. Тогда матричное неравенство 0M равносильно соотношениям 0,0 T1   BBACMA A ).0,0( 1T   BCBAMC C При этом ,00  AM ,00  CM A .0CM Лемма 2 [13]. Линейное матричное неравенство ,TTT CAXBXBA  где ,C npA  nqB C и ,CT nnCC  имеет решение qpX C в том и только в том случае, когда выполняется одно из условий: а) ,rank nA  ;rank nB  б) ,rank nA  ,rank nB  ;0T AA CWW в) ,rank nB  ,rank nA  ;0T BB CWW г) ,rank nA  ,rank nB  ,0T AA CWW ,0T BB CWW где AW и BW — матрицы, столбцы которых составляют базисы соответствующих ядер Aker и .ker B В [14] при условиях леммы 2 приведено общее решение рассматриваемого матричного неравенства в параметрической форме. Лемма 3. Для заданных матриц ,0X 0Y и числа 0 существуют мат- рицы ,R1 nrX  ,R2 rrX  nrY R1 и ,R2 rrY  удовлетворяющие соотно- шениям ,0ˆ 21 T 1           XX XX X ,0ˆ 21 T 1           YY YY Y ,ˆˆ 2 rnIYX  (1) в том и только в том случае, когда ,0         YI IX W n n .rank rnW  (2) Доказательство. Из леммы 1 и формулы для ранга блочных матриц вытекает эквивалентность соотношений (2) и ,012  XYZ .rank Z r (3) Используем формулу Фробениуса [12] для обращения блочной матрицы X̂ в (1): , 1 11 1 1 1T 1 11 1 1T 1 11 21 T 1 2                    HXXH HXXXXHXXX YY YY где .T 1 1 12 XXXXH  Отсюда имеем .01 1 1T 1 12   XXHXXZ Это озна- чает, что (3) является следствием (1). Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 6 73 Покажем, что (1) — следствие (3), использующее разложение неотрицатель- но-определенной матрицы ,0T  SSZ где nrS R — любая матрица такая, что .kerker ZS  Положим , 1 1 SXX   , 1 T 22 rISXSX    ,1 SY  .2 2 rIY  (4) Тогда 0 rIH и выполняются соотношения (1). Лемма доказана. Рассмотрим динамическую систему без управления: ,BwAxx  ,DwCxz  ,)0( 0xx  (5) где ,Rnx ,R sw kz R — векторы соответственно состояния, ограниченных внешних возмущений и выхода системы, ,A ,B C и D — матрицы соответ- ствующих размеров. Определение 1 [11]. Система (5) называется неэкспансивной, если для любой ограниченной вектор-функции w ее вектор выхода z при любом 0T удовле- творяет условию ,00 T 0 T 0 T 0 xXxPwdtwQzdtz TT   где ,Q P и 0X — некоторые симметричные положительно-определенные матрицы. Введем критерий качества для системы (5) относительно ее вектора выхода: ,sup 00 T 0 20 00 T 0 2 xXxw z J P Q xXxw P    (6) где Qzdtzz Q T 0 2    и .T 0 2 Pwdtww P    Значение J характеризует взвешенный уровень гашения внешних и начальных возмущений в данной системе. Критерий качества систем вида (6) рассматривался в [15] при ,sIP  kIQ  и .2 0 nIX  Система (5) неэкспансивна в том и только в том случае, когда 1J [11]. Через 0J обозначим критерий J в случае нулевого начального вектора .0x Очевидно, что ,0 JJ  поскольку 0J и J при 00 x совпадают. Если sIP  и ,kIQ  то 0J совпадает с H -нормой матричной передаточной функции )(H DBAIC n  1)( системы (5) при 00 x [3]. Лемма 4 [11]. Пусть матрица A гурвицева. Тогда оценка 0J выполняет- ся в том и только в том случае, когда ЛМН 0 2TTT TTT             PQDDQCDXB QDCXBQCCXAXA (7) имеет решение .0T  XX Для достижения оценки J необходимо и доста- точно, чтобы была совместной система ЛМН (7) и .0 0 2XX  (8) Из леммы 4 следует, что критерии качества 0J и J можно вычислить как решения соответствующих оптимизационных задач: },0,0:{inf0   XJ }.0,0:{inf 0 2XXJ   (9) 74 ISSN 0572-2691 Замечание 1. Если ,0 J то система (5) с неопределенностью , 1 zw    QP T (10) робастно устойчива с общей квадратичной функцией Ляпунова Xxxxv T)(  . Этот факт является следствием леммы 3 и теоремы 1 из [16]. Замечание 2. Для класса нелинейных систем вида (5) с непрерывными мат- ричными коэффициентами ),(xA ),(xB )(xC и )(xD выполнение условий (7) и (8) при nx R обеспечивает оценку J [11]. При этом если матричное неравен- ство (7) выполняется при ,0x то нулевое состояние системы (5) с неопределен- ностью (10) робастно устойчиво с общей функцией Ляпунова .)( T Xxxxv  2. Стабилизация по измеряемому выходу Рассмотрим нелинейную систему управления ,)()( uxBxxAx  ,)( DuxxCy  (11) где ,Rnx mu R и ly R — векторы соответственно состояния, управления и измеряемого выхода системы, а ),(xA ),(xB )(xC и D — матрицы соответству- ющих размеров. Предположим, что зависимости ),(xA )(xB и )(xC непрерывны, при этом mB rank и lC rank в некоторой окрестности }:{0 hxxS  точки ,0x а D — постоянная матрица. Наряду с (11) рассматриваем линейную си- стему ,BuAxx  ,DuCxy  (12) где ),0(AA  )0(BB  и ).0(CC  Сформулируем условия стабилизируемости нулевого состояния систем (11) и (12) с помощью динамического регулятора порядка nr  ,yVZ  ,yKUu  (13) где ,Rr ,Z ,V U и K — неизвестные матрицы. Соотношения (11) и (13) можно представить в виде системы управления в расширенном фазовом про- странстве rnR со статическим регулятором [10]: ,ˆ)ˆ(ˆˆ)ˆ(ˆˆ uxBxxAx  ,ˆˆˆ)ˆ(ˆˆ uDxxCy  ,ˆˆˆ yKu  (14) где ,ˆ         x x         y ŷ ,          u û ,        ZV UK K̂ ,                                  rrmr rl rnr rl rmr rn rrnr rn D D I xC xC I xB xB xA xA 00 0 ˆ. 0 0)( )ˆ(ˆ, 0 0)( )ˆ(ˆ, 00 0)( )ˆ(ˆ . При условии 0)(det  KDIm замкнутая линейная система (12), (13) имеет вид ,ˆˆˆ xMx  ,ˆ)ˆ(ˆˆˆˆ CKDBAM  (15) где ),0(ˆ AA  ),0(ˆ BB  ),0(ˆ CC  ,ˆ)ˆˆ()ˆ(ˆ 1KDKIKD rm    при этом Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 6 75              UKDIVDZDKIV UKDIKD KD ml m 11 1 )()( )()( )ˆ(ˆ ,              UKDIVDZCDKIV UKDIBM M ml m 11 1 )()( )(ˆ . Систему (15) будем называть -устойчивой, если спектр матрицы M̂ распо- ложен в полуплоскости },0Re:{C   где .0 Спектральный запас устойчивости -устойчивой системы не меньше . Через B и C обозначим ортогональные дополнения соответственно столбцов матрицы B и строк матри- цы ,C т.е. TB WB  и .T CWC  Теорема 1 [7]. Следующие утверждения эквивалентны: 1) существует динамический регулятор (13) порядка ,nr  обеспечивающий -устойчивость замкнутой системы (15); 2) существуют матрицы X и ,0X удовлетворяющие соотношениям ,0)2( TT   BXXAAXB (16) },0,,{)(i 0 nl ,00  XX ,)(rank 0 rXX  (17) где ; 0 2 0 T 00 T 00 0        CX CXXAXAX 3) существуют матрицы X и ,Y удовлетворяющие соотношениям (16) и ,0)2( TT   CYYAYAC (18) 0       YI IX W n n , .rank rnW  (19) Отметим, что матрицы X и 0X удовлетворяют утверждению 2) в том и только в том случае, когда матрицы X и 1 0  XY удовлетворяют утверждению 3). Для вы- полнения условий (19) необходимо, чтобы матрицы X и Y были положительно-оп- ределенными. Ранговое ограничение в (19) всегда выполняется в случае .nr  Замечание 3. Из -устойчивости линейной системы (15) следует асимптоти- ческая устойчивость нулевого состояния нелинейной системы (14). Данный факт устанавливается методом квадратичных функций Ляпунова с учетом принятых предположений. В [11] на основе теоремы 1 сформулирован алгоритм построения динамического регулятора (13) порядка ,nr  обеспечивающего -устойчивость системы (15), а также асимптотическую устойчивость нулевого состояния за- мкнутой нелинейной системы (14). 3. Подавление ограниченных возмущений Рассмотрим систему управления с постоянными матричными коэффициентами , , ,)0(, 22212 12111 021 uDwDxCy uDwDxCz xxuBwBAxx    (20) 76 ISSN 0572-2691 где ,Rnx ,Rmu ,R sw kz R и ly R — векторы соответственно состоя- ния, управления, внешних возмущений, управляемого и наблюдаемого выходов. Нас интересуют законы управления, которые минимизируют критерий качества (6), а также гарантируют условия неэкспансивности системы (20) относительно век- тора управляемого выхода .z Если управление в системе (20) искать в виде статической обратной связи ,yKu  ,0)(det 22  KDIm (21) то замкнутая система примет вид ,NwMxx  ,GwFxz  ,)0( 0xx  (22) где ,202 CKBAM  ,21021 DKBBN  ,20121 CKDCF  ,2101211 DKDDG  .)( 1 220 KKDIK m  Используя леммы 1 и 4 для системы (22), представим кри- терий выполнения оценки 0J в виде .0 1 T2T TT                 QGF GPXN FXNXMXM При этом матрица M должна быть гурвицевой. Данное соотношение можно пе- реписать в виде ЛМН относительно :0K ,0ˆˆˆˆ T 0 T 0 T  LKRRKL (23) где ],0,[ˆ klRR  ],,[ 212 DCR  , ~ ]0,[ˆ XLL sm ],,[ T 12 T 2 DBL             00 00 00 ~ s k I I X X ,                 1 111 T 11 2T 1 T 11 T QDC DPXB CXBXAXA . Если данное неравенство совместно, то всегда можно выбрать такое его решение ,0K что ,0)(det 22  KDIm где .)( 1 0220  KDIKK l (24) Применим утверждение б) леммы 2 к неравенству (23). Поскольку        k R R I W W 0 0 ˆ ,         s L L I W XW 0 0~ 1 ˆ , то существование решения 0K матричного неравенства (23) эквивалентно соот- ношениям ,0 2 11 T 111 T 11 T 1 11 T 111 T 1 T T            RR W PQDDQCDXB QDCXBQCCXAXA W (25) ,0 12T 11 1 11 T 1 1 111 T 11 1 1 T 1 T 1 1 1 T T              LL W QDPDBPDYC DPBYCBPBYAAY W (26) где .12  XY Таким образом, доказано следующее утверждение. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 6 77 Теорема 2. Для системы (20) существует статический регулятор (21), обеспе- чивающий оценку 0J ),( J в том и только том случае, когда для некоторой матрицы 0T  XX выполняется система соотношений (25) и (26) ((8), (25) и (26)). При этом система (22) с неопределенностью (10) робастно устойчива и имеет об- щую функцию Ляпунова ,)( T Xxxxv  а матрицу регулятора K можно определить в виде (24), где 0K — решение ЛМН (23). Рассмотрим случай статической обратной связи по состоянию: ,2 nIC  021 D и .022 D Поскольку nIXY 2 и ],,0[ snsR IW  то в данном случае соотно- шения (8) и (25) приводятся к виду ,0 0       YI IX n n (27) .02 11 T 11  PQDD (28) Следовательно, для системы (20) существует статический регулятор по со- стоянию ,Kxu  обеспечивающий оценку 0J ),( J в том и только том случае, когда для некоторой матрицы 0T  YY выполняется система соотно- шений (26) и (28) ((26)–(28)). При этом замкнутая система (22) с неопределен- ностью (10) робастно устойчива и имеет общую функцию Ляпунова )(xv ,1T2 xYx  а матрицу регулятора K можно определить в виде (24), где 0K — решение ЛМН (23). Построим закон управления для системы (20) в виде динамического регуля- тора (13) с нулевым начальным вектором 0)0(  при ограничении .0)(det 22  KDIm (29) При этом замкнутая система (20), (13) будет иметь вид ,ˆˆˆˆ wNxMx  ,ˆˆˆ wGxFz  ,ˆ)0(ˆ 0xx  (30) где         x x̂ , ,ˆˆˆˆˆ 202 020 02202 CKBA ZCV UBCKBA M         ,ˆˆˆˆ],[ˆ,ˆˆˆˆˆ 201210122012121021 210 21021 CKDCUDCKDCFDKBB DV DKBB N         ,ˆˆˆˆ 21012112101211 DKDDDKDDG           rrnr rnA A 00 0ˆ ,          rmr rn I B B 0 0 ˆ 2 2 ,          rnr rl I C C 0 0ˆ 2 ,        00 00 0 ˆ ZV UK K ,        sr B B 0 ˆ 1 1 ,        sr D D 0 ˆ 21 21 , ],0,[ˆ 11 rkCC  ].0,[ˆ 1212 rkDD  78 ISSN 0572-2691 Здесь неизвестными являются блоки матрицы 0K̂ ,)( 1 220 KKDIK m  ,)( 1 220 UKDIU m  ,)( 1 220  KDIVV l ,)( 1 22220 UKDIVDZZ m  которые однозначно определяют искомые матрицы динамического регулятора (13): .)(,)( ,)(,)( 0 1 2202200 1 0220 0 1 2200 1 220 UDKIDVZZKDIVV UDKIUKDKIK ml mm     (31) Воспользуемся утверждением леммы 4 для системы (30) и, учитывая лемму Шура, перепишем критерий достижения оценки 0J в виде ,0 ˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆˆ 1 T2T TT                 QGF GPXN FNXMXXM .0ˆ 21 T 1           XX XX X (32) При этом матрица M̂ должна быть гурвицевой. Поскольку критерий качества Ĵ типа (6) для системы (30) с начальным вектором TT 00 ]0,[ˆ xx  совпадает с ,J где 0X — первый диагональный блок матрицы ,ˆ 0X то существование решения си- стемы неравенств (32) при ограничении (8) эквивалентно неравенству J и в случае 1 обеспечивает свойства неэкспансивности системы (30) относительно критерия качества .J Учитывая блочную структуру матриц в (30), перепишем первое соотноше- ние (32) в виде ЛМН относительно :ˆ 0K ,0ˆˆˆˆˆˆˆ T 0 T 0 T  LKRRKL (33) где ],0,ˆ[ˆ 1 krlRR  ],ˆ,ˆ[ˆ 2121 DCR  , ~ ]0,ˆ[ˆ 1 XLL srm  ],ˆ,ˆ[ˆ T 12 T 21 DBL             00 00 00ˆ ~ s k I I X X ,                 1 111 T 11 2T 1 T 11 T ˆ ˆˆ ˆˆˆˆˆˆˆ ˆ QDC DPXB CBXAXXA . Если данное неравенство совместно, то всегда существует его решение ,ˆ 0K удо- влетворяющее условию (29). Поскольку        k R R I W W 0 0 1 ˆ ˆ ,         s L L I W XW 0 0~ 1 ˆ1 ˆ , то существование решения 0K̂ матричного неравенства (33) эквивалентно соот- ношениям (см. лемму 2) ,0 ˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 11 ˆ2 11 T 111 T 11 T 1 11 T 111 T 1 T T ˆ            RR W PQDDCQDXB QDCBXCQCAXXA W Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 6 79 ,0 ˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 11 ˆ12T 11 1 11 T 1 1 111 T 11 1 1 T 1 T 1 1 1 T T ˆ              LL W QDPDBPDYC DPBCYBPBAYYA W где .ˆˆ 12  XY Далее, используя блочные выражения                     Rsnr R s r n R W I I I W rank ˆ 0 00 00 00 1 ,                     Lknr L k r n L W I I I W rank ˆ 0 00 00 00 1 , где ],[ 212 DCR  и ],,[ T 12 T 2 DBL  полученные соотношения примут вид (25) и (26), где X и Y — первые диагональные блоки матриц (1). В итоге с учетом леммы 4 имеем следующее утверждение. Теорема 3. Для системы (20) существует динамический регулятор (13), обес- печивающий оценку 0J ),( J в том и только том случае, когда система соотношений (2), (25) и (26) ((2), (8), (25) и (26)) разрешима относительно 0T  XX и .0T  YY При этом замкнутая система (30) с неопределенно- стью (10) робастно устойчива и имеет общую функцию Ляпунова xXxxv ˆˆˆ)ˆ( T , где X̂ — решение ЛМН (32). Приведем алгоритм построения динамического регулятора, удовлетворяюще- го утверждениям теоремы 3: 1) вычисление матриц RW и ,LW где ],,[ 212 DCR  ];,[ T 12 T 2 DBL  2) определение матриц 0T  XX и ,0T  YY удовлетворяющих соот- ношениям (2), (25) и (26); 3) построение разложения ,T12 SSXYZ   где ,R nrS  ZS kerker  и формирование блочной матрицы              rISXSSX XSX X T21 T1 ˆ ; 4) решение ЛМН (33) относительно 0K̂ при ограничении (29); 5) вычисление матриц регулятора (13) по формулам (31). Дополнительное ограничение (8) в п. 2) данного алгоритма обеспечивает оценку .J При определении матриц 0T  XX и 0T  YY в случае дина- мического регулятора полного порядка nr  автоматически выполняется ранго- вое ограничение в (2) и необходимо решить лишь систему ЛМН. Остальные бло- ки матриц (1) могут быть определены с помощью соотношений (4). Можно сформулировать аналоги теорем 2, 3 и соответствующие алгоритмы робастной стабилизации системы (20), в которых учитываются неопределенности матричных коэффициентов },...,,{Co 1 aAAA },...,,{Co 1 1 11 bBBB  },...,,{Co 1 1 11 cCCC  }....,,{Co 11 1 1111 dDDD  Кроме того, утверждения достаточности данных теорем можно обобщить на класс нелинейных систем вида (20) с непрерывными матричными коэффициента- ми ),(xA ),(1 xB )(1 xC и )(11 xD (см. замечание 2). 4. Численный пример Рассмотрим уравнение движения линейного осциллятора с демпфированием ,2 0 wu   (34) 80 ISSN 0572-2691 где 0 — собственная частота колебаний осциллятора,  — коэффициент демп- фирования, u — управление, w — ограниченное внешнее возмущение. Представим данное уравнение в виде системы (20), где         2 0 10 A ,        1 0 21 BB ,        00 01 1C , ],0,1[2 C        0 0 11D ,        1 0 12D , 02221  DD ,           x . При этом T],[ uz  — управляемый, а y — наблюдаемый выходы данной системы. Для системы без управления )0( u согласно (9) найдены соответствующие характеристики 001,10 J и 289,1J при таких значениях параметров: ,1,0 ,10  ,1P        2 1 0 0 q q Q ,          2 1 0 0 0 X , где ,01,01 q ,1,02 q .04,021  Изучена зависимость данных характери- стик от  и ,0 а также диагональных элементов весовых матриц Q и .0X Взвешенный уровень гашения внешних и начальных возмущений осциллятора уменьшается при увеличении его собственной частоты колебаний и почти не из- меняется при увеличении коэффициента демпфирования. Полагая ,98,0 с помощью вышеприведенного алгоритма построен дина- мический регулятор (13) полного порядка с матрицами          58949,049336,0 68154,014289,0 Z ,        07862,0 00869,0 V , ]26665,264146,0[U , 14781,0K , обеспечивающий оценку ,10 J свойство неэкспансивности и робастную устойчивость системы (30), при этом спектр ;27221,0;14398,0;14398,0{)ˆ(  M }.27221,0 Его применение существен- но понижает характеристики 0J и J (см. сравнение значений ),( 210 qqJ и ),( 21 J для систем без управления (рис. 1, 3) и замкнутой системы (рис. 2, 4)). В частности, при выбранных значениях параметров 4272,00 J и .18838,0 J Ос- циллятор с построенным регулятором сохраняет асимптотическую устойчивость при любой функции возмущений (неопределенности) ),( 1 )( 21 utw    ,1 2 2 2 1 2 1     qq . 1 2 2 2 1 uqqw    (35) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 6 81 1,2 0,8 q2 1 J0 q1 0,02 5 0,6 0,4 0,4 0,3 0,2 0,1 0,04 5 0,06 5 0,08 5 Рис. 2 1,5 0,5 2 1 J 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 1 Рис. 4 На рис. 5 показано поведение решений системы (20) без управления с начальным вектором ,]2,1[ T 0 x а на рис. 6 — поведение решений замкнутой системы (30) с регулятором (13) и начальным вектором .]0,0,2,1[ˆ T 0 x При этом функция возмущений w задана в виде (35) при 2/11 q и .2/22 q 2 1 0 – 1 – 2 0 5 10 15 20 25 x̂ x1 t 1 x2 Рис. 6 Заключение В настоящей работе для класса линейных систем с управляемыми и наблюдае- мыми выходами разработаны методы построения статических и динамических регуля- торов, обеспечивающих оценку взвешенного уровня подавления внешних и начальных возмущений, а также робастную устойчивость нулевого состояния относительно неко- торого множества неопределенностей. Данные методы имеют большие возможности для обобщений, в частности, при определенных ограничениях они могут применяться к некоторым классам нелинейных систем, а также систем управления с дискретным временем. 15 10 q2 5 0 4 3 2 1 J0 q1 0,5 1,5 2,5 1 2 Рис. 1 10,02 q2 4 3 2 1 J q1 0,5 1,5 2,5 1 2 10,015 10,01 Рис. 3 1 0 – 1 – 2 0 5 10 15 20 25 x x1 x2 t Рис. 5 82 ISSN 0572-2691 Численная реализация предложенных законов управления в виде статических регуляторов по состоянию или динамических регуляторов полного порядка по наблюдаемому выходу сводится к решению систем линейных алгебраических матричных неравенств. Для этого могут использоваться, например, эффективные вычислительные средства LMI Toolbox системы MATLAB. О.Г. Мазко, С.М. Кусій РОБАСТНА СТАБІЛІЗАЦІЯ ТА ОЦІНКА ЗВАЖЕНОГО ГАСІННЯ ЗБУРЕНЬ У СИСТЕМАХ КЕРУВАННЯ Сформульовано умови стабілізовності за виходом деякого класу нелінійних си- стем керування. Для систем з керованими і спостережуваними виходами запро- поновано методи побудови статичних і динамічних регуляторів, які забезпечу- ють задану оцінку зваженого рівня гасіння зовнішніх та початкових збурень. Реалізація даних методів з використанням статичних регуляторів за станом або динамічних регуляторів повного порядку базується на розв’язанні систем лі- нійних матричних нерівностей. Наведено приклад синтезу регулятора для лі- нійного осцилятора з демпфуванням. A.G. Mazko, S.N. Kusii ROBUST STABILIZATION AND EVALUATION OF THE WEIGHTED SUPPRESSION OF DISTURBANCES IN CONTROL SYSTEMS Output feedback stabilizability conditions for certain class of nonlinear control sys- tems are stated. Methods for constructing static and dynamic controllers that provide specified evaluation of the weighted damping level of external and initial perturba- tions are proposed for systems with controllable and observable outputs. The imple- mentation of these methods with the use of a static state feedback or a full-order dy- namic controllers based on the solution of linear matrix inequalities systems. An ex- ample of control system for a linear damped oscillator is given. 1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые под- ходы к решению // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 5. — С. 7–46. 2. Алиев Ф.А., Ларин В.Б. Задачи стабилизации системы с обратной связью по выходной пе- ременной (обзор) // Прикладная механика. — 2011. — 47, № 3. — С. 3–49. 3. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002. — 303 c. 4. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в задачах управления и идентификации. — Киев : Наук. думка, 2006. — 264 с. 5. Губарев В.Ф., Гуммель, А.В., Жуков А.О. Особенности и взаимосвязь задач идентификации и управления в условиях неопределенности // Международный научно-технический жур- нал «Проблемы управления и информатики». — 2010. — № 1. — С. 50–62. 6. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных не- равенств. — М. : Физматлит, 2007. — 280 c. 7. Мазко А.Г. Робастная устойчивость и стабилизация динамических систем. Методы матрич- ных и конусных неравенств // Праці Інституту математики НАН України. — 2016. — 102. — 332 с. 8. Zhou K., Doyle J.C., Glover K. Robust and optimal control. — Englewood : Prentice Hall, 1996. — 596 p. 9. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A.J, Chilali M. The LMI control toolbox. for use with matlab. user’s guide. — Natick, MA : The MathWorks, Inc., 1995. — 138 p. 10. Мазко А.Г., Кусий С.Н. Стабилизация по измеряемому выходу и оценка уровня гашения возму- щений в системах управления // Нелiнiйнi коливання. — 2015. — 18, № 3. — С. 373–387. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 6 83 11. Мазко О.Г., Кусiй С.М. Задачi стабiлiзацiї i гасiння зовнiшнiх збурень в системах керування // Математичнi проблеми механiки та обчислювальної математики. — 2015. — 12, № 5. — С. 90–108. 12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М. : Наука, 1988. — 552 c. 13. Gahinet P., Apkarian P. A linear matrix inequality approach to H control // Intern. J. of Robust and Nonlinear Control. — 1994. — 4. — P. 421–448. 14. Баландин Д.В., Коган М.М. Применение линейных матричных неравенств в синтезе законов управления. — Нижний Новгород : ННГУ, 2010. — 93 с. 15. Баландин Д.В., Коган М.М. Обобщенное H -оптимальное управление как компромисс между H -оптимальным и -оптимальным управлениями // Автоматика и телемеханика. — 2010. — № 6. — С. 20–38. 16. Мазко А.Г. Робастная устойчивость и оценка функционала качества нелинейных систем управления // Там же. — 2015. — № 2. — С. 73–88. Получено 07.07.2016

Схожі ресурси