Задача формирования структуры собственных векторов матрицы состояния непрерывной устойчивой системы, гарантирующей отсутствие отклонения ее траекторий от монотонно убывающей кривой свободного движения
Виявлено, що за погано обумовленої структури власних векторів можливо виникнення помітних відхилень траєкторій системи від монотонно спадної кривої вільного руху. Знайдено вирішення задачі формування структури власних векторів матриці стану неперервної стійкої системи, що не допускає відхилення трає...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2017 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208366 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача формирования структуры собственных векторов матрицы состояния непрерывной устойчивой системы, гарантирующей отсутствие отклонения ее траекторий от монотонно убывающей кривой свободного движения / Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 1. — С. 30-42. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860224082474172416 |
|---|---|
| author | Вундер, Н.А. Ушаков, А.В. |
| author_facet | Вундер, Н.А. Ушаков, А.В. |
| citation_txt | Задача формирования структуры собственных векторов матрицы состояния непрерывной устойчивой системы, гарантирующей отсутствие отклонения ее траекторий от монотонно убывающей кривой свободного движения / Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 1. — С. 30-42. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Виявлено, що за погано обумовленої структури власних векторів можливо виникнення помітних відхилень траєкторій системи від монотонно спадної кривої вільного руху. Знайдено вирішення задачі формування структури власних векторів матриці стану неперервної стійкої системи, що не допускає відхилення траєкторій системи від монотонно спадної кривої вільного руху. В отриманому вирішенні використовується процедура мінімізації числа обумовленості матриці цих векторів, а також можливість узагальненого модального керування.
It is revealed that for ill conditioned structure of eigenvectors the occurrence of noticeable deviations of system trajectories from monotonely decreasing curve of free motion is possible. It is obtained the problem solution of forming the structure of eigenvectors of state matrix of continuous stable system which does not admit the deviation of system trajectories from monotonely decreasing curve of free motion. The obtained solytion uses the procedure of conditioning number minimization of matrices of these vectors as well as possibility of generalized modal control.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:18:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Н.А. ВУНДЕР, А.В. УШАКОВ, 2017
30 ISSN 0572-2691
УДК 62-50
Н.А. Вундер, А.В. Ушаков
ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ СТРУКТУРЫ
СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦЫ
СОСТОЯНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ УСТОЙЧИВОЙ
СИСТЕМЫ, ГАРАНТИРУЮЩЕЙ ОТСУТСТВИЕ
ОТКЛОНЕНИЯ ЕЕ ТРАЕКТОРИЙ ОТ МОНОТОННО
УБЫВАЮЩЕЙ КРИВОЙ СВОБОДНОГО ДВИЖЕНИЯ
Введение
При исследовании последних лет систем в рамках представления «начальное
состояние–текущее состояние» обнаружены неожиданные свойства динамики
этих систем, состоящие в отклонении траекторий системы по норме вектора со-
стояния от монотонно убывающей кривой свободного движения. В работах [1, 2]
показано, что причинным фактором таких отклонений может быть кратность соб-
ственных чисел матрицы состояния как в непрерывных, так и в дискретных си-
стемах. Причем величина отклонения тем больше, чем больше кратность. Выяв-
лено, что к подобным эффектам может привести такой причинный фактор, как
структура собственных векторов матрицы состояния со спектром простых соб-
ственных чисел. Исследованию этого причинного фактора применительно к не-
прерывным линейным устойчивым системам с матрицей состояния простой
структуры посвящена предлагаемая вниманию читателей журнала данная статья.
При этом задача решается в инверсной постановке в форме поиска структуры
собственных векторов матрицы состояния непрерывной устойчивой системы, не
допускающей отклонения траекторий системы от монотонно убывающей кривой
свободного движения. Полученные теоретические положения иллюстрируются
примерами.
1. Структура собственных векторов матрицы системы
как причинный фактор возникновения отклонений траекторий системы
от монотонно убывающей кривой свободного движения
Поставим задачу поиска системных причин возможных отклонений траекто-
рий системы от монотонно убывающей кривой процессов по вектору )(tx состоя-
ния непрерывной системы в классе структур собственных векторов ее матрицы
состояния.
Рассматривается линейная непрерывная устойчивая автономная система
0
)()0();()(
t
txxtFxtx (1)
с матрицей F состояния простой структуры. Нетрудно видеть, что для решения
системы (1) справедливо представление
).0()exp()( xFttx (2)
В (1) и (2) матрица F состояния системы обладает спектром }{F собственных
чисел
},1,;при;0)(;0);0)((detarg{}{ njijiJmFIF jiiii (3)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 1 31
и спектром },1;{ nii собственных векторов
),,1;(arg niF iiii (4)
где в дальнейшем будем полагать .,1;1 nii
Представим вектор начального состояния )0(x в базисе собственных векто-
ров в виде аддитивной композиции
,)0(
1
ii
n
i
x
(5)
где коэффициенты i вычисляются в силу соотношения ;)( 1
ii E здесь E — мат-
рица Грама базиса собственных векторов },,1;{ nii ));0({(col xi },1 ni —
вектор скалярных произведений собственных векторов и вектора начального со-
стояния. Подставим (5) в (2), тогда с учетом свойства )(Ff матричной функции
от матрицы ,F сохраняя структуру собственных векторов в форме iFf )(
,,1;)( nif ii получим
.)(
1
i
t
i
n
i
ietx
(6)
Сформулируем утверждение, которое докажем, опираясь на геометрические
представления.
Утверждение. Условиями отклонений процессов по вектору состояния от
монотонно убывающей кривой свободного движения непрерывной устойчивой
системы (1) с матрицей состояния простой структуры являются:
1) наличие хотя бы одной пары }2),(angl{arg),( jljl собствен-
ных векторов, характеризующейся тупым углом между ними в плоскости, натяну-
той на эти векторы;
2) наличие у собственных чисел ,, jl соответствующих собственным векто-
рам ,, jl свойства, удовлетворяющего условиям &0,0{arg),( jljl
}.& jl
Доказательство. Рассмотрим линейную оболочку (плоскость) },,{ jlL
натянутую на пару векторов ),,( jl образующих тупой угол (рис. 1).
Xj
j
X(0)
l
Xl
Рис. 1
Зададим вектор начального состояния )0(x системы (1) в виде вектора, при-
надлежащего этой оболочке и обладающего единичной нормой так, что он удо-
влетворяет условию }.1)0(&},{)0({arg)0( xLxx jl Запишем )0(x в фор-
ме
32 ISSN 0572-2691
.)0( lljjx (7)
Для большей наглядности потребуем от ),0(x чтобы он был биссектрисой угла
),(angl jl между векторами ,, jl что в силу правил суммирования векторов
возможно, когда в (7) j и l равны. Более того, в силу 2),(angl jl выполня-
ется условие }.1,1&{arg),( ljljjl Рассмотрим движение си-
стемы (1) ),),0(()( txxtx которое в силу (6) получит представление
.),)0(()( j
t
jl
t
l
jl eetxxtx
(8)
Если в (8) учесть условие },&0,0{arg),( jljljl то с момента
13)05,0(arg
l
tlet будут выполняться асимптотические условия ;0
t
l
le
j
t
j
jetxxtx
),)0(()( так, что для нормы вектора )(tx будет выполняться
условие ,)(
t
j
jetx
где .1 j
Утверждение доказано.
Примечания.
1. Очевидно, что при 2),(angl jl при любых сочетаниях jl , в тра-
екториях системы (1) отклонений по норме не наблюдается.
2. Если )0(x является биссектрисой острого угла ),(angl jl между век-
торами ,, jl то в траекториях )),0(()( txxtx системы (1) отклонений так-
же не наблюдается.
3. Если )0(x принадлежит ,2),(angl jl но не является биссектрисой
так, что выполняется одно из двух возможных условий }0,1{ jl или
},1,0{ jl то при любом сочетании собственных чисел jl , системы (1)
невозможны отклонения в траекториях по норме вектора состояния.
Сформируем аналитическое обобщение результата, приведенного выше на
основе геометрических представлений. Для этого вернемся к решению (2) систе-
мы (1) с тем, чтобы представить матрицу F в форме
,1 MMF (9)
где },1;{row niMM i — матрица собственных векторов матрицы F, для кото-
рой выполняется соотношение ;iii MFM }.,1;{diag nii Известно [3, 4],
что матричная функция {(*)}f от матрицы (*) сохраняет модальное представле-
ние (9) для матричной функции, записываемое в форме 1)()( MfMFf . Если
в качестве матричной функции взять матричную экспоненту ),(exp)( FtFf то
для нее можно записать
.},1;{diag)(exp)(exp 11 MnieMMtMFt
ti (10)
С использованием (10) решение (2) получает представление
).0(},1;{diag)0()(exp)( 1xMnieMxFttx
ti
(11)
Перейдем в выражении (11) к соотношениям по векторным и матричным нормам,
тогда получим
)0(},1;{diag)0()(exp)( 1xMnieMxFttx
ti
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 1 33
.)0(}{)0(},1;{diag 1 xeMCxMnieM tti
(12)
В (12) }{MC — число обусловленности матрицы M собственных векторов
матрицы ,F — степень устойчивости системы (1) .,1;min nii
i
Изложенное выше позволяет для процессов ))0(,( xtx сформировать экспо-
ненциальное покрытие
.)0(}{)(roof xeMCtx t (13)
Степень достаточности этого покрытия определяется числом обусловленно-
сти }{MC матрицы собственных векторов матрицы ,F которое обладает свой-
ством }{1 MC [4]. Очевидно, что число обусловленности }{MC будет ми-
нимальным, если собственные векторы при единичной норме будут ортогональ-
ными. В этом случае 1}{ MC и экспоненциальное покрытие процессов
))0(,( xtx в форме (13) будет обладать минимальной достаточностью. В случае,
когда ,1}{ MC соотношение (13) покрывает процессы ))0(,( xtx по норме ав-
тономной системы (1), стартуя при 0t в точке ,)0(}{ xMС оставаясь экспо-
ненциальным. Это значит, что })({roof tx покрывает процесс ))0(,( xtx , харак-
теризующийся наличием отклонений траекторий системы от монотонно убываю-
щей кривой свободного движения при асимптотическом стремлении к нулю. При
этом число обусловленности ]},1,[row{ niMMC ii собственных векторов
является синдромом наличия отклонений в траекториях системы ))0(,( xtx от
монотонно убывающей кривой свободного движения. Очевидно, рассмотренная в
начале раздела геометрическая интерпретация, иллюстрирующая возможность
отклонений при определенной структуре собственных векторов, хорошо ложится
в полученный аналитический результат (13), так как пара векторов ),( jl обра-
зует плохо обусловленную структуру.
2. Назначение алгебраического спектра собственных чисел
и геометрического спектра собственных векторов матрицы системы
с использованием обобщенного модального управления
Рассматриваются ситуации в предположении, что структуры собственных
чисел }{F в форме (3) и собственных векторов },1;{ nii в форме (4) заданы.
Это позволяет сконструировать диагональную матрицу },1,{diag nii и мат-
рицу M приведения матрицы F к диагональному виду, построенную на соб-
ственных векторах матрицы .F Очевидно, задав структуру собственных чисел
и собственных векторов, можно сконструировать матрицу F на основе соотно-
шения подобия
.}),1;{row}(,1,{diag},1;{row 11 niMniniMMMF iiiii (14)
Матрица F вида (14) является матрицей состояния системы (1), которая получена
путем объединения объекта управления
0
)()0();()()(
t
txxtButAxtx (15)
и закона управления в форме отрицательной обратной связи с матрицей K по
вектору состояния
),()( tKxtu (16)
подстановка которого в (15) позволяет для матрицы F записать
34 ISSN 0572-2691
,BKAF (17)
где KBA ,, — матрицы соответственно размерностей ),( nn ),( rn ),( nr
причем пара матриц ),( BA управляемая. Выражение (17) по существу ставит за-
дачу с помощью матрицы K при заданных BA, наделить матрицу F назначен-
ными спектрами собственных чисел и собственных векторов. В решении этой за-
дачи рассмотрим несколько системных ситуаций.
1) ),(dim)(rang xnB что позволяет записать .1B В этой ситуации мат-
рица K может быть вычислена с помощью матричного соотношения
).(1 FABK (18)
2) ,)(dim)(rang 1 BxnB при этом ).(Im)( BFA В этой ситуации
матрица K может быть вычислена с помощью матричного соотношения
).()( T1T FABBBK (19)
3) ,)(dim)(rang 1 BxnB при этом ).(Im)( BFA В этой ситуации
необходимо на основании уравнения подобия (14) составить два матричных соот-
ношения
;BHAMM .1 HMK (20)
Первое матричное соотношение в (20) именуется матричное уравнение Сильвест-
ра, второе матричное соотношение в (20) позволяет конструировать матрицу об-
ратной связи. Известно [5, 6], что условиями невырожденной разрешимости урав-
нения Сильвестра (20) являются непересекаемость спектров собственных чисел
матриц и ;A управляемость пары );,( BA и наблюдаемость пары ).,( H Оче-
видно, если ),(Im)( BAMM то уравнение Сильвестра можно разрешить от-
носительно матрицы H в форме
),()( T1T MAMBBBH (21)
что позволяет для матрицы K записать
.)()( 1T1T1 MMAMBBBHMK (22)
Корректность решения задачи в формах (21) и (22) проверяется по наличию у па-
ры матриц ),( H свойства полной наблюдаемости.
Рассмотрим теперь ситуацию, которая не подпадает ни под одну из приве-
денных выше, т.е. ситуацию, в которой задан спектр желаемых собственных чи-
сел и только часть собственных векторов. Такая ситуация, которая является пред-
метом обобщенного модального управления [7], решается с помощью матричного
уравнения Сильвестра (20), если в нем матричные компоненты ,и, HM пред-
ставленные в форме
];
~
[ MMM },
~
,{diag ],
~
[ HHH (23)
согласованы по размерности так, что ,)(dim rnM ),()
~
(dim rnnM
,)(dim rr ),()()
~
(dim rnrn ,)(dim rrH ),()
~
(dim rnrH где
r — число заданных собственных векторов. В результате уравнение Сильвест-
ра (20) принимает вид
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 1 35
.]
~
[]
~
[~
0
0
]
~
[ HHBMMAMM
(24)
Нетрудно видеть, что уравнение Сильвестра (24) распадается на два уравнения
Сильвестра
,HBMAM (25)
.
~~~~
HBMAM (26)
В уравнении (25) матрица M строится в форме };,1;{row rjMM jj оно
решается относительно матрицы .H В уравнении (26) матрица H
~
задается из
условия )};
~
,
~
(observ{arg
~
HH оно решается относительно матрицы .
~
M
Тогда матрица ,K доставляющая матрице BKAF произвольный алгеб-
раический спектр собственных чисел и r требуемых собственных векторов, будет
определена с помощью формулы (20), принимающей вид
,]
~
][
~
[ 11 MMHHHMK (27)
где матрица H вычисляется по аналогии с (21) в силу соотношения
).()( T1T MMABBBH (28)
3. Назначение структуры собственных векторов,
обладающих минимальным числом обусловленности
Вернемся к проблеме, вынесенной в заголовок статьи, с учетом результата,
полученного в разд. 1, связывающего отсутствие отклонений с фактом достиже-
ния минимального числа обусловленности матрицы собственных векторов матри-
цы состояния формируемой системы (1). В связи с этим встает задача формирова-
ния процедуры назначения структуры собственных векторов с учетом того, что
она, будучи записанной в виде
),,1;1&},1);(row{(min}{ niniMMCMC iii
i
(29)
обнаруживает свою недифференцируемую природу. Таким образом, поставленная
задача должна решаться с помощью процедур недифференцируемой оптимизации [8].
Следует ожидать, что такая постановка задачи будет иметь неединственное
решение и каждое из решений будет характеризоваться своими затратами на
управление [9] в системе, образованной объединением (15) и (16), определяемыми
как функции t
)0()()( xKetKxtu Ft . (30)
Если ввести в рассмотрение элемент ],0[ tt uU линейного функционального про-
странства ,2
TL где },0:{ ttT то для квадрата эвклидовой нормы элемен-
та tU функционального пространства можно записать
).0()()0()0()0()()( TT
0
TT
0
2 T
xtWxxdKeKexduuU U
FF
tt
t
36 ISSN 0572-2691
Здесь
dKeKetW FF
t
U
T
0
T
)( — грамиан затрат на управление на интервале ],,0[ t
удовлетворяющий условию ,)(lim UU
t
WtW
где UW — установившееся значение
грамиана затрат на управление, являющееся решением матричного уравнения Ля-
пунова .TT KKFWWF UU Скаляризация грамиана затрат на управление с
помощью сингулярного разложения приводит к выражению для оценки макси-
мальных затрат на управление в форме
}.{)0(}{max 21
max
1)0(
21
max
)0(
U
x
U
x
WxWU
(31)
Таким образом, задача (29), дополненная требованием минимизации затрат на
управление, приводит к необходимости использования агрегированного функционала
},{}{),( 21
max MCWUCJ U (32)
где max — максимальное сингулярное число грамиана затрат на управление.
4. Иллюстративные примеры
Пример 1. Задачей первого примера является подтверждение появления от-
клонений траекторий системы от монотонно убывающей кривой свободного дви-
жения при выполнении условий утверждения. Для этого рассмотрим систему (1) с
вектором состояния второго порядка, характеризующуюся спектром собственных
векторов матрицы F вида ,]05,09987,0[;]01[ Т
2
Т
1 которые удовлетво-
ряют условию 1 утверждения, обладая единичной нормой и образуя тупой и ост-
рый углы. Зададим для матрицы F алгебраический спектр собственных чисел
вида },50;1:]0)λ(det[arg{}{ 21 FIF i элементы которого удов-
летворяют условию 2 утверждения.
Для полноты сформируем матрицу ,F обладающую приведенными геомет-
рическим и алгебраическим спектрами. Для этого воспользуемся модальным раз-
ложением этой матрицы с учетом того, что матрица диагонализации в качестве
столбцов представляет собственные векторы матрицы. Тогда получим
.
500
726,9781
05,00
9987,01
500
01
05,00
9987,01
][
0
0
][
1
1
21
2
1
21
1
MMF
В качестве вектора начального состояния )0(x зададим вектор единичной нормы
,1)0( x принадлежащий биссектрисе угла ).,(angl 21 В результате он полу-
чает представление .]9997,00255,0[)0( Tx Разложим вектор )0(x по собствен-
ным векторам матрицы ,F в результате чего получим представление )0(x
.994,199935,19 21 Представление (4) для свободного движения сконструиро-
ванной матрицы F будет иметь вид
.994,199935,19)0()(exp),)0(()( 2
50
12211
21 tttt
eeeexFttxxtx
Нетрудно видеть, что составляющая свободного движения 2
50994,19)(
2
tetx
в момент 0599,0)ln(
05,0
1
2
t практически становится нулевой (достигает пя-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 1 37
типроцентного значения от начального значения). В этот же момент вторая составля-
ющая свободного движения 19935,19)(
1
tetx будет определяться выражением
.8311,189935,19)( 11
0599,0
1
etx Очевидно, что в траектории свободного дви-
жения сконструированной двумерной системы вида (1) будет наблюдаться отклоне-
ние )(max tx
t
по норме )(tx вектора состояния, равное .8324,17)(max tx
t
Подтвердим этот результат непосредственным наблюдением за нормой )(tx
свободного движения, вычисляемой в силу соотношения )0()(exp)( xFttx .
Полученная кривая представлена на рис. 2, а, б (кривая 1). Кривая подтверждает
правильность оценки отклонения траекторий свободного движения, полученной
на основе геометрической интерпретации.
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
)(tx
t, с
1
2
3
4
a
– 5 0 5 10 15
– 1,5
– 1
– 0,5
0
0,5
1
1,5
2 1
3 4
x(0)
1)0( x X2
1
2
X1
б
Рис. 2
На рис. 2, а и б приведены кривые процессов в системе с той же структурой
собственных векторов, что и выше, но, для полноты изложения, со спектрами
собственных чисел: }25;1{}{ 21 F (кривая 2),
}10;1{}{ 21 F (кривая 3) и }5;1{}{ 21 F (кривая 4), спек-
тры характеризуются единым максимальным собственным числом .11 M
Причем на рис. 2, а приведены процессы по норме, а на рис. 2, б — для большей
геометрической наглядности, в фазовом пространстве, натянутом на пару соб-
ственных векторов.
Если же задать вектор )0(x , удовлетворяющий условию )0({arg)0( xx
))},,(angl(5,0)),0((angl))0(,(angl&1 2121 xx то он будет принадле-
жать биссектрисе острого угла и иметь представление .]0255,09997,0[)0( Tx
Процессы, порожденные таким вектором начального состояния, приведены на
рис. 3, из которого следует удовлетворение п. 2 примечания.
38 ISSN 0572-2691
0 0,5 1 1,5 2 2,5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
t, c
)(tx
Рис. 3
Пример 2. Задача второго примера — подтверждение п. 1 примечания, со-
стоящего в том, что при 2),(angl jl при любых сочетаниях jl , откло-
нений в траекториях системы (1) по норме не наблюдается. Поэтому поставим
задачу сконструировать матрицу F системы (1), такую, чтобы алгебраический
спектр собственных чисел был таким же, как и в примере 1, геометрический
спектр собственных векторов единичной нормы был ортогональным, а вектор
начального состояния примера 1 принадлежал биссектрисе прямого угла. Этим
условиям почти полностью удовлетворяет следующая структура собственных
векторов .]707,0707,0[;]707,0707,0[ Т
2
Т
1 Тогда матрица F с такими ал-
гебраическим и геометрическим спектрами в силу модального разложения имеет
представление
.
5,255,24
5,245,25
707,0707,0
707,0707,0
500
01
707,0707,0
707,0707,0
0
0
1
1
21
2
1
21
1
MMF
Для подтверждения п. 1 примечания применительно к сконструированной матри-
це получим кривые (рис. 4, а) нормы )(tx свободного движения, вычисляемой в
силу соотношения )0()(exp)( xFttx . По аналогии с рис. 2, на рис. 4, б при-
ведена фазовая траектория свободного движения )0()(exp)( xFttx в простран-
стве, натянутом на пару собственных векторов.
Кривые подтверждают правильность п. 1 примечания.
0 0,5 1 1,5 2 2,5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
t, c
)(tx
– 1,5 – 0,5 0,5 1 1,5
– 1,5
– 1
– 0,5
0
0,5
1
1,5
x(0) 1)0( x X2
1 2
X1
0 – 1
а б
Рис. 4
Пример 3. Рассмотрим две системы вида (1) из примеров 1 и 2 с точки зре-
ния эффективности использования результата в форме (13). Система вида (1) из
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 1 39
примера 1 характеризуется матрицей состояния
500
726,9781
1F , матрицей соб-
ственных векторов
05,00
9987,01
][1 1211M , характеризующейся числом обу-
словленности .973,39}1{ MC Система вида (1) из примера 2 характеризуется матри-
цей состояния
5,255,24
5,245,25
2F , матрицей собственных векторов
][2 2221M
707,0707,0
707,0707,0
, которая обладает числом обусловленности
.1}2{ MC Алгебраические спектры собственных чисел матриц 1F и 2F совпада-
ют так, что они принимают следующий вид: },50;1{}2{}1{ 21 FF
при этом системы характеризуются единым параметром .1 Тогда в силу (13)
покрытия процессов по норме })({roof tx в системах примеров 1 и 2 принимают
соответственно вид )0(973,39)( xetx t и )0()( xetx t .
На рис. 5 для полноты изложения приведены кривые процессов в системе из
примера 1 с той же структурой собственных векторов и со спектрами собствен-
ных чисел: }25;1{}1{ 21 F (кривая 2), }10;1{}1{ 21 F
(кривая 3) и }5;1{}1{ 21 F (кривая 4), спектры характеризуются еди-
ным максимальным собственным числом 11 M и их экспоненциаль-
ное покрытие )0(973,39)(roof xetx t .
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
0
5
10
15
25
30
35
)(tx
t, с
1 2 3 4
)(roof tx
20
Рис. 5
На рис. 6 приведены кривые процессов в системе из примера 2 с той же
структурой собственных векторов и со спектрами собственных чисел:
}25;1{}2{ 21 F (кривая 2), }10;1{}2{ 21 F (кривая 3) и
}5;1{}2{ 21 F (кривая 4), спектры характеризуются единым макси-
мальным собственным числом 11 M и их экспоненциальное покры-
тие )0()(roof xetx t .
Следует отметить достаточность оценок полученных выше покрытий и их
инвариантность относительно вектора начального состояния )0(x , что подчерки-
вает конструктивность представления (13).
40 ISSN 0572-2691
0 0,5 1 1,5 2 2,5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
t, c
)(tx
3 3,5
1
1
2
3
4
Рис. 6
Пример 4. Задачей четвертого примера является иллюстрация результатов,
полученных в разд. 3 и 4.
Рассмотрим объект управления (15) третьего порядка, описываемый следу-
ющими матрицами
000
100
010
А ,
100
010
001
B , ].100[C
Зададим желаемую структуру собственных чисел }{F матрицы состояния (17)
проектируемой системы (1) в виде
}.5,3,1{}{ 321 F
Решим задачу назначения желаемой структуры собственных векторов с помощью
процедуры прямого поиска на основе алгоритма Нелдера–Мида. Для этого восполь-
зуемся пакетом прикладных программ Matlab, в котором функция fminsearch осу-
ществляет поиск минимума функционала (32) с помощью алгоритма Нелдера–Мида.
В результате получим одно из возможных решений в виде
0,94650,26030,058
0,23620,96230,1331
0,22010,07840,9695
M ,
при котором функционал (32) принимает значение .7555,1),( UCJ
Матрица F состояния спроектированной замкнутой системы записывает-
ся в виде
4,70640,39310,8408
0,39433,07660,3688
0,790,35891,217
F .
Матрица K обратной связи, средствами которой формируется матрица ,F
может быть определена с помощью соотношения (18)
4,70640,39310,8408
1,39433,07660,3688
0,791,35891,217
)(1 FABK .
На рис. 7 представлено взаимное расположение собственных векторов, удовле-
творяющих условию минимума функционала (32). На рис. 8 изображен график
нормы свободного движения спроектированной системы.
Таким образом, найден закон управления (16) в форме отрицательной обрат-
ной связи с матрицей K по вектору состояния, обеспечивающий спроектирован-
ной системе (1) минимальные затраты на управление, желаемую структуру соб-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 1 41
ственных чисел и структуру собственных векторов с минимальным числом обу-
словленности, не допускающую отклонения траекторий системы от монотонно
убывающей кривой свободного движения.
0
0,2
– 0,4
0,4
0,8
0,6
1 0 0,4 0,8
1,2
y
x
z
Рис. 7
0 1 2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
t, c 3
)(tx
4 5 6
Рис. 8
Заключение
Показано, что задача формирования структуры собственных векторов матри-
цы состояния непрерывной устойчивой системы, не допускающей отклонения
траекторий системы от монотонно убывающей кривой свободного движения, ре-
шается путем минимизации числа обусловленности матрицы этих векторов. До-
статочно универсальным способом решения задачи обеспечения требуемой
структуры собственных векторов матрицы состояния проектируемой системы яв-
ляется метод обобщенного модального управления. Установлено, что корректный
поиск структуры собственных векторов, обеспечивающей минимальное значение
числа обусловленности их матрицы, должен осуществляться с учетом затрат на
управление, оцениваемых максимальным сингулярным числом грамиана затрат
на управление.
Н.О. Вундер, А.В. Ушаков
ЗАДАЧА ФОРМУВАННЯ СТРУКТУРИ ВЛАСНИХ
ВЕКТОРІВ МАТРИЦІ СТАНУ НЕПЕРЕРВНОЇ
СТІЙКОЇ СИСТЕМИ, ЩО ГАРАНТУЄ ВІДСУТНІСТЬ
ВІДХИЛЕНЬ ЇЇ ТРАЄКТОРІЙ ВІД МОНОТОННО
СПАДНОЇ КРИВОЇ ВІЛЬНОГО РУХУ
Виявлено, що за погано обумовленої структури власних векторів можливо ви-
никнення помітних відхилень траєкторій системи від монотонно спадної кривої
вільного руху. Знайдено вирішення задачі формування структури власних век-
торів матриці стану неперервної стійкої системи, що не допускає відхилення
траєкторій системи від монотонно спадної кривої вільного руху. В отриманому
вирішенні використовується процедура мінімізації числа обумовленості матри-
ці цих векторів, а також можливість узагальненого модального керування.
42 ISSN 0572-2691
N.A. Vunder, A.V. Ushakov
THE PROBLEM OF FORMING
THE STRUCTURE OF EIGENVECTORS
OF STATE MATRIX OF CONTINUOUS
STABLE SYSTEM WHICH GUARANTEES
THE ABSENCE OF DEVIATION
OF ITS TRAJECTORIES FROM MONOTONELY
DECREASING CURVE OF FREE MOTION
It is revealed that for ill conditioned structure of eigenvectors the occurrence of
noticeable deviations of system trajectories from monotonely decreasing curve
of free motion is possible. It is obtained the problem solution of forming the
structure of eigenvectors of state matrix of continuous stable system which
does not admit the deviation of system trajectories from monotonely decreasing
curve of free motion. The obtained solytion uses the procedure of conditioning
number minimization of matrices of these vectors as well as possibility of gen-
eralized modal control.
1. Вундер Н.А., Ушаков А.В. Исследование колебательности процессов непрерывных систем,
порождаемых фактором кратности собственных чисел их матриц состояния // Междуна-
родный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2015. —
№ 6. — С. 21–36.
2. Вундер Н.А., Ушаков А.В. Исследование отклонения траекторий линейных устойчивых
дискретных систем от монотонно убывающей кривой свободного движения в случае
кратных вещественных положительных собственных чисел их матриц // Там же. —
2016. — № 6. — С. 5–15.
3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М. : Наука, 1973. — 576 с.
4. Ланкастер П. Теория матриц. — М. : Наука, 1982. — 272 с.
5. Григорьев В.В., Дроздов В.Н., Лаврентьев В.В., Ушаков А.В. Синтез дискретных ре-
гуляторов при помощи ЭВМ. — Л. : Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1983. —
245 с.
6. Икрамов Х. Д. Численное решение матричных уравнений. — М. : Наука, 1984. —
192 с.
7. Ушаков А.В. Обобщенное модальное управление // Изв. вузов. Приборостроение. — 2000.
— 43, № 3. — C. 8–16.
8. Химмельблау Д.М. Прикладное нелинейное программирование. Пер. с англ. — М. :
Мир, 1975. — 535 с.
9. Бирюков Д.М., Слита О.В., Ушаков А.В. Грамианные технологии оценки затрат на управ-
ление в задаче обеспечения желаемой структуры мод и их робастности // Изв. вузов. При-
боростроение. — 2009. — 52, № 11. — С. 32–37.
Получено 04.05.2016
После доработки 26.05.2016
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208366 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:18:44Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Вундер, Н.А. Ушаков, А.В. 2025-10-26T15:45:06Z 2017 Задача формирования структуры собственных векторов матрицы состояния непрерывной устойчивой системы, гарантирующей отсутствие отклонения ее траекторий от монотонно убывающей кривой свободного движения / Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 1. — С. 30-42. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208366 62-50 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i1.30 Виявлено, що за погано обумовленої структури власних векторів можливо виникнення помітних відхилень траєкторій системи від монотонно спадної кривої вільного руху. Знайдено вирішення задачі формування структури власних векторів матриці стану неперервної стійкої системи, що не допускає відхилення траєкторій системи від монотонно спадної кривої вільного руху. В отриманому вирішенні використовується процедура мінімізації числа обумовленості матриці цих векторів, а також можливість узагальненого модального керування. It is revealed that for ill conditioned structure of eigenvectors the occurrence of noticeable deviations of system trajectories from monotonely decreasing curve of free motion is possible. It is obtained the problem solution of forming the structure of eigenvectors of state matrix of continuous stable system which does not admit the deviation of system trajectories from monotonely decreasing curve of free motion. The obtained solytion uses the procedure of conditioning number minimization of matrices of these vectors as well as possibility of generalized modal control. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем Задача формирования структуры собственных векторов матрицы состояния непрерывной устойчивой системы, гарантирующей отсутствие отклонения ее траекторий от монотонно убывающей кривой свободного движения Задача формування структури власних векторів матриці стану неперервної стійкої системи, що гарантує відсутність відхилень її траєкторій від монотонно спадної кривої вільного руху The problem of forming the structure of eigenvectors of state matrix of continuous stable system which guarantees the absence of deviation of its trajectories from monotonely decreasing curve of free motion Article published earlier |
| spellingShingle | Задача формирования структуры собственных векторов матрицы состояния непрерывной устойчивой системы, гарантирующей отсутствие отклонения ее траекторий от монотонно убывающей кривой свободного движения Вундер, Н.А. Ушаков, А.В. Проблемы динамики управляемых систем |
| title | Задача формирования структуры собственных векторов матрицы состояния непрерывной устойчивой системы, гарантирующей отсутствие отклонения ее траекторий от монотонно убывающей кривой свободного движения |
| title_alt | Задача формування структури власних векторів матриці стану неперервної стійкої системи, що гарантує відсутність відхилень її траєкторій від монотонно спадної кривої вільного руху The problem of forming the structure of eigenvectors of state matrix of continuous stable system which guarantees the absence of deviation of its trajectories from monotonely decreasing curve of free motion |
| title_full | Задача формирования структуры собственных векторов матрицы состояния непрерывной устойчивой системы, гарантирующей отсутствие отклонения ее траекторий от монотонно убывающей кривой свободного движения |
| title_fullStr | Задача формирования структуры собственных векторов матрицы состояния непрерывной устойчивой системы, гарантирующей отсутствие отклонения ее траекторий от монотонно убывающей кривой свободного движения |
| title_full_unstemmed | Задача формирования структуры собственных векторов матрицы состояния непрерывной устойчивой системы, гарантирующей отсутствие отклонения ее траекторий от монотонно убывающей кривой свободного движения |
| title_short | Задача формирования структуры собственных векторов матрицы состояния непрерывной устойчивой системы, гарантирующей отсутствие отклонения ее траекторий от монотонно убывающей кривой свободного движения |
| title_sort | задача формирования структуры собственных векторов матрицы состояния непрерывной устойчивой системы, гарантирующей отсутствие отклонения ее траекторий от монотонно убывающей кривой свободного движения |
| topic | Проблемы динамики управляемых систем |
| topic_facet | Проблемы динамики управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208366 |
| work_keys_str_mv | AT vunderna zadačaformirovaniâstrukturysobstvennyhvektorovmatricysostoâniânepreryvnoiustoičivoisistemygarantiruûŝeiotsutstvieotkloneniâeetraektoriiotmonotonnoubyvaûŝeikrivoisvobodnogodviženiâ AT ušakovav zadačaformirovaniâstrukturysobstvennyhvektorovmatricysostoâniânepreryvnoiustoičivoisistemygarantiruûŝeiotsutstvieotkloneniâeetraektoriiotmonotonnoubyvaûŝeikrivoisvobodnogodviženiâ AT vunderna zadačaformuvannâstrukturivlasnihvektorívmatricístanuneperervnoístíikoísistemiŝogarantuêvídsutnístʹvídhilenʹíítraêktoríivídmonotonnospadnoíkrivoívílʹnogoruhu AT ušakovav zadačaformuvannâstrukturivlasnihvektorívmatricístanuneperervnoístíikoísistemiŝogarantuêvídsutnístʹvídhilenʹíítraêktoríivídmonotonnospadnoíkrivoívílʹnogoruhu AT vunderna theproblemofformingthestructureofeigenvectorsofstatematrixofcontinuousstablesystemwhichguaranteestheabsenceofdeviationofitstrajectoriesfrommonotonelydecreasingcurveoffreemotion AT ušakovav theproblemofformingthestructureofeigenvectorsofstatematrixofcontinuousstablesystemwhichguaranteestheabsenceofdeviationofitstrajectoriesfrommonotonelydecreasingcurveoffreemotion |