Математическое моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии растворимых веществ в неизотермических условиях
Виконано математичне моделювання дробово-диференційної динаміки неізотермічного процесу конвективної дифузії розчинних речовин при двовимірній усталеній плоско-вертикальній фільтрації з вільною поверхнею. Mathematical modeling of fractional-differential dynamics of nonisothermal process of convectiv...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Datum: | 2017 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208499 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Математическое моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии растворимых веществ в неизотермических условиях / В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий, Ю.Г. Кривонос // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 2. — С. 45-56. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860242359013343232 |
|---|---|
| author | Богаенко, В.А. Булавацкий, В.М. Кривонос, Ю.Г. |
| author_facet | Богаенко, В.А. Булавацкий, В.М. Кривонос, Ю.Г. |
| citation_txt | Математическое моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии растворимых веществ в неизотермических условиях / В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий, Ю.Г. Кривонос // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 2. — С. 45-56. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Виконано математичне моделювання дробово-диференційної динаміки неізотермічного процесу конвективної дифузії розчинних речовин при двовимірній усталеній плоско-вертикальній фільтрації з вільною поверхнею.
Mathematical modeling of fractional-differential dynamics of nonisothermal process of convective diffusion of soluble substances at 2D stationary plainly-vertical filtration with a free surface is performed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:31:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.А. БОГАЕНКО, В.М. БУЛАВАЦКИЙ, Ю.Г. КРИВОНОС , 2017
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 45
УДК 517.9:519.6
В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий, Ю.Г. Кривонос
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ДИНАМИКИ
ПРОЦЕССА ФИЛЬТРАЦИОННО-КОНВЕКТИВНОЙ
ДИФФУЗИИ РАСТВОРИМЫХ ВЕЩЕСТВ
В НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ
Введение
Настоящая работа посвящена разработке методики математического модели-
рования динамики неизотермического локально-неравновесного во времени про-
цесса конвективной диффузии растворимых веществ при плоско-вертикальной
установившейся фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью. Подоб-
ные задачи возникают во многих технических приложениях, например в связи с
необходимостью очистки грунтовых вод от загрязнения промышленными и быто-
выми стоками [1]. Методика математического моделирования динамики указан-
ных процессов переноса в рамках классических математических моделей в насто-
ящее время достаточно хорошо разработана [1, 2]. (Математически аналогичные
постановки краевых задач встречаются также в теории тепломассопереноса дви-
жущихся растворов и газовых смесей.)
При этом весьма актуальна проблема повышения степени адекватности клас-
сических количественных математических моделей процессов тепломассопереноса
в системах со сложной пространственно-временной структурой, для которых харак-
терны эффекты памяти, пространственной нелокальности и самоорганизации [3, 4].
Указанное обстоятельство привело к тенденции пересмотра основных положений
классической теории тепломассопереноса, в частности, значительный прогресс при
моделировании конвективно-диффузионного переноса в неравновесных условиях
достигнут на основе формализма интегро-дифференцирования дробного порядка.
Примеры использования данного подхода изложены в работах [5, 6], в первой из
них выполнено математическое моделирование дробно-дифференциальной дина-
мики локально-неравновесного во времени процесса конвективной диффузии раст-
воримых веществ при установившейся двумерной плановой напорной фильтра-
ции из хранилища сточных вод к водозабору (реке), а во второй — моделирование
указанного неравновесного диффузионного процесса при плоско-вертикальной
установившейся фильтрации из рек, каналов или поверхностных накопителей
промышленных стоков.
В [7] изучена новая дробно-дифференциальная математическая модель пред-
назначенная для исследования неравновесной динамики процесса конвективной
диффузии растворимых веществ при плоско-вертикальной установившейся фильт-
рации грунтовых вод в области со свободной границей. Рассматривается локаль-
но-неравновесный во времени конвективно-диффузионный процесс в пористой
среде со сложной пространственно-временной структурой, для которого харак-
терно выполнение релаксационного закона диффузии Фика.
В указанных выше случаях систем со сложной пространственно-временной
структурой рассматриваемые математические модели динамики локально-нерав-
новесных во времени процессов конвективной диффузии растворимых веществ
при двумерной установившейся фильтрации со свободной поверхностью строи-
лись в предположении изотермичности условий протекания процессов.
46 ISSN 0572-2691
В отличие от этого, ниже выполнено математическое моделирование дина-
мики неизотермического локально-неравновесного во времени процесса конвек-
тивной диффузии растворимых веществ при двумерной установившейся плоско-
вертикальной фильтрации со свободной поверхностью согласно фильтрационной
схеме, соответствующей распространению загрязнений из рек, каналов или хра-
нилищ промстоков [8].
1. Построение математической модели процесса и постановка краевой задачи
Рассматривая неизотермический локально-неравновесный во времени про-
цесс конвективной диффузии растворимых веществ в водонасыщенной пористой
среде со сложной пространственно-временной структурой, будем исходить из
следующего обобщения классического диффузионного закона Фика:
),(1 TdCCdDq Tt
(1)
где q
— конвективно-диффузионный поток, C — концентрация растворимых
веществ в жидкой фазе,
— скорость фильтрации, d — коэффициент диффузии,
Td — коэффициент термодиффузии, 1
tD — оператор дробного дифференцирова-
ния Римана–Лиувилля порядка )10(1 [9–12], — оператор Гамильтона.
Из соотношения (1) и уравнения «материального баланса»
0div
q
t
C
( — пористость среды) получаем уравнение
))(div(1 TdCCdD
t
C
Tt
или
,)(div
)(
TdCCdCD Tt
(2)
где
)(
tD — оператор регуляризованной дробной производной (Капуто-Гераси-
мова [9–12]) порядка , — оператор Лапласа. С учетом уравнения неразрывнос-
ти фильтрационного потока 0div
из соотношения (2) окончательно находим
.
)(
TdCCdCD Tt
(3)
Отметим, что при 1 из (3) получаем классическое уравнение конвективной
диффузии с учетом термодиффузии .TdCCdC Tt
Уравнение для
определения аномального температурного поля в неравновесных условиях запи-
шем в виде [13]
,
)(
TCTTDC tT
(4)
где TC — объемная теплоемкость грунта, — коэффициент теплопроводности,
, C — плотность и удельная теплоемкость порового раствора соответственно,
— порядок регуляризованной дробной производной по временной переменной
).10(
Рассматривая установившуюся плоско-вертикальную фильтрацию в потен-
циальном поле скоростей согласно схеме миграции загрязнений из рек, каналов
или поверхностных накопителей промышленных стоков (см. рис. 1, а, где изоб-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 47
ражена область фильтрации в физической плоскости), получаем, что задача моде-
лирования динамики аномального процесса конвективной диффузии загрязнений
в неизотермических условиях воздействия аномального температурного поля ма-
тематически может быть сформулирована как задача отыскания решения системы
уравнений (3), (4) )),0(),,(( zGtyx при следующих краевых условиях:
,0,0,
0
,
1
t
CBAB
AC
C
n
C
CC (5)
,0,,
02,1
tCBABAC
TTTTT (6)
где 11, TC — заданные концентрация растворимых веществ и температура на вхо-
де фильтрационного потока, 2T — заданная температура на линиях тока ,, CBAB
n — внешняя нормаль к соответствующей кривой, zG — правая часть симмет-
ричной области фильтрации в физической плоскости yixz (рис. 1, а).
Поскольку область фильтрации zG является областью с частично неизвест-
ной границей, эффективным способом решения краевых задач вида (3)–6) являет-
ся переход к новым переменным ),( — точкам геометрически более простой
области комплексного потенциала течения }10,0:),({ G
(рис. 1, б, где изображена область комплексного потенциала). Тогда соответству-
ющая краевая задача для исследования динамики рассматриваемого миграцион-
ного процесса математически может быть сформулирована для области комп-
лексного потенциала в виде
,),( ,,
2)(
Td
C
CdCD Tt (7)
,),( ,
2)(
T
CTTDC tT )),,0(),,(( Gt (8)
,0,0,
0
,0
10
t
Q
C
C
CC (9)
,0,,
02,010
tQ
TTTTT (10)
где
2
2
2
2
,
— оператор Лапласа, Q — фильтрационный расход,
,222
yx ,),( yx
— потенциал скорости, — функция тока.
x
O
L
C
H
A
Gz
)(B
y
Gω
φ
ψ
B(∞)
)(B
A(0)
С(Q)
а б
Рис. 1
48 ISSN 0572-2691
Для области течения, изображенной на рис. 1, а, решение соответствующей
задачи установившейся фильтрации записывается в виде [8]
,
2
sin2
Q
Hex Q
,
2
cos2
Q
Hey Q
где — коэффициент фильтрации,
H
L
Q
2
— фильтрационный расход.
(Формула для вычисления ),(2 дана в [ 8 ] и приводится ниже.)
Введем безразмерные переменные и параметры в виде соотношений
,,,,,,
1C
C
C
L
H
H
QQL
y
y
L
x
x
,
1T
T
T
,,
2
,,,,
2
0
1
1
2
0
0
H
Q
a
H
Q
Q
L
t
Q
t
Q
d
d
,
1
1
TT d
QC
T
d ,
2
1
0
1
2
Q
CT
,
1
2
0
Q
C
C
T
,
1
2
T
T
(11)
где L — масштабный параметр, 0 — характерный скоростной параметр.
Переходя в (7)−(10) к безразмерным переменным согласно (11) и опуская в
дальнейшем «штрих» над безразмерными величинами, получаем в области
),0( G краевую задачу:
,),( ,,
2)(
Td
C
CdCD Tt (12)
,),( ,
2)(
T
TTDt (13)
,0,0,1
0
1,0
0
t
C
C
C (14)
,0,,1
01,00
t
TTT (15)
где согласно [8] имеем
2
1
2
2
2
2
2
cos
1
2
sin
14
),(
e
e
a
.
При этом переход из области комплексного потенциала в физическую область
осуществляется по формулам
,
2
sin2
Hex .
2
cos2
Hey (16)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 49
2. Методика получения приближенного решения краевой задачи
Ниже кратко изложена конечно-разностная методика получения решения
краевой задачи (12)−(15).
Введем в рассмотрение сеточную область
),1,0(:),,{( 1 miiht ijkih
)},1,0(),1,0()5,0(2 Njjtnkkh jk
где
n
h
m
h
1
,
12
2
2
0
1
— шаги сетки по геометрическим переменным и со-
ответственно, — шаг сетки по временной переменной, .const0
Ограничивая область комплексного потенциала справа некоторой прямой
)1( 00 и задавая на этой прямой дополнительные граничные условия
(например, условия Неймана), поставим в соответствие рассматриваемой краевой
задаче следующий аналог локально-одномерной [14] разностной схемы
А.А. Самарского:
),(
2
0
2)(
TdCCdC Tt (17)
),ˆˆ(ˆ
2
2)(
TdCdC Tt (18)
),(
2
1
0
2)(
TTTt (19)
,ˆˆ
2
1 2)(
TTt (20)
где ,
2
,,,ˆ
2
1
2
1
1
j
j
j
j
j ttCCCCCC ,,,ˆ 2
1
1 j
j
j TTTTTT
)()(
,
tt — разностные аналоги операторов дробного дифференцирования
,,
)()(
tt DD определяемые соотношениями [15]
,
)2(
1
,
)(
0
)(
st
j
s
j
s
t yry
],)()1[( 111)( sjsjr j
s
,
)2(
1
,
)(
0
)(
st
j
s
j
s
t yby
],)()1[( 111)( sjsjb j
s
,
1
,
ss
st
yy
y )( — гамма-функция [16].
Отметим, что в классе достаточно гладких функций имеем [15]:
uDt
)(
)(
)(
Out )).((
)()(
OuuD tt Получим сначала решение «солевой зада-
чи» (12), (14) на полуцелом временном слое.
Расписывая в (17) разностные операторы и приводя подобные члены, получа-
ем на полуцелом слое
2
1
j
t систему уравнений
j
ik
j
kiik
j
ikik
j
kiik CSCBCA
2
1
,1
2
1
2
1
,1 ),,0;,1;,1( Njnkmi (21)
50 ISSN 0572-2691
где
5,0
11
2
h
d
h
A ik
ik ,
5,0
11
2
h
d
h
S ik
ik , ikikik SAB
)2(21
,
2
1
,1
2
1
2
1
,1
1
21
)(
1
0
2
2
2
)2(2
j
ki
j
ik
j
ki
ikTj
ik
s
ik
s
ikj
s
j
s
j
ik TTT
h
d
C
CC
,
11
1)(
2
1
2
1
sjsjj
s .
Решение системы (25) ищем в виде
j
ki
j
kiki
j
ik
CC
,1
2
1
,1,1
2
1
),,0;,1;,1( Njnkmi (22)
где прогоночные коэффициенты вычисляются по формулам
,,1
ikikik
ik
ki
SB
A
)(
,1
,1
j
ik
j
ikik
ik
kij
ki S
A
).,0;,1;,1( Njnkmi
Стартовые значения прогоночных коэффициентов определяются с учетом разностно-
го аналога граничного условия при .1:0 0
j
kC Отсюда имеем ,01 k 11
j
k
).,0;,1( Njnk При этом из разностного аналога однородного граничного усло-
вия второго рода в точке 2
1
,1
2
1
0 :
j
km
j
mk
CC ),0;,1( Njnk с учетом (22)
находим
).,0;,1(
1 ,1
,12
1
,1 NjnkC
km
j
km
j
km
На целом временном слое из (18) получаем
j
ik
j
kiik
j
ikik
j
kiik CPCQCP
1
1,
11
1, ),,0;,1;,1( Njnkmi (23)
где
,2
)2(2
,
12
2
2
ikik
ik
ik PQ
h
d
P
),2(
2
1
)2(
1
1,
11
1,2
2
2
0
2
1
1
2
1
)(
j
ki
j
ik
j
ki
ikT
j
s
j
ik
s
ik
s
ikj
s
j
ik
TTT
h
d
C
CC
1
11)(
2
1
)1( sjsjj
s .
Решение системы (23) ищем в виде
j
ki
j
kiki
j
ik
CC
1,
1
1,1,
1 ~~
),,0;,1;,1( Njnkmi
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 51
где
,~
~
1,
ikikik
ik
ki
PQ
P
ik
j
ikj
ikki
j
ki P
~~~
1,1, ).,0;,1;,1( Njnkmi
С учетом разностного граничного условия
1
1
1
0
j
i
j
i CC ),0;,1( Njmi полу-
чаем стартовые значения прогоночных коэффициентов
),,0;,1(0
~
,1~
11 Njmi
j
ii
а с учетом условия
1
1,
1
j
ni
j
in CC ),0;,1( Njmi находим
).,0;,1(~1
~
1,
1,1
1, NjmiC
ni
j
nij
ni
Эти соотношения позволяют вычислить значения полей концентраций на целом
временном слое.
Для «тепловой задачи» (13), (15), расписывая в (19) разностные операторы и
приводя подобные члены, получаем на полуцелом слое
2
1
j
t систему уравнений
j
ik
j
kiik
j
ikik
j
kiik WTGTUTR
2
1
,1
2
1
2
1
,1 ),,0;,1;,1( Njnkmi (24)
где
5,0
11
2
hh
R ik
ik ,
5,0
11
2
hh
G ik
ik , ,
)2(2
1
1 ikikik GRU
j
ik
s
ik
s
ikj
s
j
s
j
ik T
TT
W
2~
)2(2
1
1
)(
1
0
,
11
1)(
2
1
2
1~ sjsjj
s .
Решение системы (24) ищем в виде
j
ki
j
kiki
j
ik TT ,1
2
1
,1,1
2
1
~~~~
),,0;,1;,1( Njnkmi (25)
где прогоночные коэффициенты вычисляются по формулам
ikikik
ik
ki
GU
R
~~
~~
,1 , )
~~
(
~~~~ ,1
,1
j
ik
j
ikik
ik
kij
ki WG
R
),0;,1;,1( Njnkmi .
Стартовые значения прогоночных коэффициентов определяются с учетом разност-
ного аналога граничного условия при .1:0 0
j
kT Отсюда имеем
).,0;,1(1
~~
,0
~~
11 Njnk
j
kk
При этом из разностного аналога однородного граничного условия второго рода
в точке ),0;,1(: 2
1
,1
2
1
0 NjnkTT
j
km
j
mk
с учетом (25) находим
).,0;,1(~~1
~~
,1
,12
1
,1 NjnkT
km
j
km
j
km
52 ISSN 0572-2691
Этим заканчивается решение «тепловой задачи» на полуцелом слое .
2
1
j
t
На целом временном слое из (20) получаем
j
ik
j
kiik
j
ikik
j
kiik FTMTNTM
1
1,
11
1, ),,0;,1;,1( Njnkmi (26)
где
2
2
2
h
M ik
ik
, ,2
)2(2
1
1 ikik MN
2
1
1
1
)(
1
0 2
1~
)2(
1 j
ik
s
ik
s
ikj
s
j
s
j
ik T
TT
F ,
1
11)(
2
1
)1(~ sjsjj
s .
Решение системы (26) ищем в виде
j
ki
j
kiki
j
ik TT 1,
1
1,1,
1
),,0;,1;,1( Njnkmi
где прогоночные коэффициенты вычисляются по формулам
ikikik
ik
ki
MN
M
1, ,
ik
j
ik
j
kiki
j
ki
M
F
,1,1, ).,0;,1;,1( Njnkmi
Из граничных условий
1,0
T находим
),,0;,1(,,0
1
1,11 NjmiT
j
ni
j
ii
что позволяет вычислить решение на целом временном слое. При этом устойчи-
вость метода прогонки для (21), (23), (24), (26) вытекает из факта диагонального
преобладания в матрицах коэффициентов этих систем алгебраических уравнений.
Последующий переход в физическую область zG осуществляется согласно соот-
ношениям (16). Определяющая часть алгоритма решения задачи состоит в реше-
нии (в указанном далее порядке) систем уравнений (24), (26), (21), (23).
3. Распараллеливание и результаты тестирования
параллельных алгоритмов
Учитывая достаточно высокую вычислительную сложность алгоритма реше-
ния, актуальным является его распараллеливание для систем с распределенной
памятью. Будем рассматривать двумерную красно-черную схему распределения
данных по вычислительной системе, которая показала свою эффективность при
распараллеливании алгоритмов решений задач фильтрационно-конвективной
диффузии в рамках классической постановки [17].
При распределении данных по этой схеме каждый из P процессов парал-
лельной программы вычисляет значения прогоночных коэффициентов и искомой
функции для P блоков ячеек сетки размера
P
m
P
n
, , где ),( mn — размер сетки,
с локальными обменами данными между соседними по рангу процессами после
проведения вычислений.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 53
Время работы такого алгоритма можно оценить [17] как
)),()()(1(2),( mtntPt
P
nm
mnT trtrcP
где ct — сумма времени, необходимого для вычисления одной пары прогоночных
коэффициентов, и времени вычисления решения в одной точке при обратном ходе
прогонки, а )(sttr — время пересылки блока, состоящего из s единиц обрабаты-
ваемых данных.
Отметим, что независимость вычислений по строкам и столбцам сетки в ло-
кально-одномерных методах позволяет использовать многопоточное распаралле-
ливание в пределах каждого процесса распределенной программы. Таким обра-
зом, можно рассматривать два варианта размещения параллельного алгоритма
на вычислительной системе: 1) один процесс занимает одно процессорное ядро;
2) один процесс занимает один узел системы и использует многопоточное распа-
раллеливание вычислений.
Тестирование параллельных алгоритмов проводилось на кластере СКИТ-3
Института кибернетики НАН Украины. В серии экспериментов проверялась эф-
фективность параллельного алгоритма и двух схем его размещения на вычисли-
тельной системе. Тестовая задача решалась на сетке размера 300х300 ячеек и за-
мерялось время выполнения вычислений на 50 шагах с использованием четы-
рехядерных узлов кластера. Полученные результаты приведены на рис. 2, где
изображено ускорение S параллельных алгоритмов в зависимости от количества C
задействованных процессорных ядер (1 — один процесс на одно ядро, 2 — один
процесс на один узел кластера).
Использование многопоточного распараллеливания внутри процесса распре-
деленной программы позволяет уменьшить количество и объем обменов данными
между процессами при сохранении уровня распараллеливания вычислений. Как
видно из полученных данных, это позволяет получить почти двукратный прирост
ускорения при задействовании 32-х процессорных ядер на восьми узлах кластера.
Влияние увеличения сложности исполнения вычислений на ускорение парал-
лельных алгоритмов проиллюстрировано на рис. 3 для случая задействования
32-х процессорных ядер на восьми узлах кластера (на рис. 3 изображено уско-
рение S параллельных алгоритмов в зависимости от номера N шага по времени
(1 — один процесс на одно ядро, 2 — один процесс на один узел кластера)).
Ускорение тут ожидаемо увеличивается с ростом сложности на шагах по
времени.
Анализ использования для выполнения вычислений на распределенных си-
стемах (таких, как кластеры) красно-черной блочной схемы распределения дан-
ных в комбинации с многопоточным распараллеливанием в пределах каждого
процесса распределенной программы показал, что алгоритм, использующий мно-
гопоточное распараллеливание, более эффективен из-за уменьшения объемов об-
менов данными между процессами.
0 5 10 15 20 25 30 C
0
2
4
6
8
10
12
14
S
2
1
Рис. 2
54 ISSN 0572-2691
1 5 9 13 17 21 25 N
0
5
10
15
20
S
2
1
29 33 37 41 45
Рис. 3
4. О результатах компьютерного моделирования
динамики миграционного процесса
Численное моделирование динамики неизотермического локально-неравно-
весного во времени процесса миграции растворимых веществ в рамках рассмат-
риваемой неклассической конвективно-диффузионной математической модели
выполнено относительно безразмерных переменных, определяемых соотношени-
ями (11) для входных данных из работы [18].
Некоторые из полученных результатов графически изображены на рис. 4, 5.
На рис. 4 показана картина кривых концентрации вдоль линии тока 5,0
в фиксированный момент времени 1,0t в зависимости от величины поряд-
ка дробной производной в неизотермическом случае (1 — ;85,0,1
2 — ;85,0,9,0 3 — ;85,0,85,0 4 — ).0005,0,1 Td
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
C
2 1
4
3
3,5
Рис. 4
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
C
2
1
3
3,5
Рис. 5
На рис. 5 представлены кривые концентрации вдоль той же линии тока и в
тот же фиксированный момент времени, но в зависимости от величины поряд-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 55
ка дробной производной в «солевой задаче» в неизотермическом случае
(1 — ;95,0,85,0 2 — ;95,0,9,0 3 — ,95,0 ;95,0 ).0005,0Td
Результаты численных экспериментов позволяют, в частности, сделать вывод,
что дробно-дифференциальная динамика неизотермических процессов фильт-
рационно-конвективной диффузии растворимых веществ в рамках рассматривае-
мой модели преимущественно не столь интенсивна, как соответствующая дина-
мика указанных неизотермических процессов, моделируемая в рамках классиче-
ских математических моделей, основанных на законах Фика и Фурье.
Заключение
В рамках математической модели фильтрационно-конвективной диффузии
растворимых веществ в водонасыщенных пористых средах со сложной внутрен-
ней структурой, в условиях неизотермичности и временной нелокальности, по-
ставлена и численно решена задача моделирования дробно-дифференциальной
динамики процесса миграции растворимых веществ при плоско-вертикальной
установившейся фильтрации грунтовых вод в области со свободной границей сог-
ласно фильтрационной схеме, описывающей миграцию загрязнений из рек, кана-
лов или поверхностных накопителей промышленных стоков.
Разработана методика получения приближенного решения двумерной крае-
вой задачи конвективной диффузии и теплопереноса в дробно-дифференциальной
постановке; с учетом достаточно высокой вычислительной сложности алгоритма
решения задачи затронуты вопросы его распараллеливания для систем с распре-
деленной памятью.
Приведены результаты тестирования эффективности параллельных алгорит-
мов, а также результаты компьютерного моделирования динамики изучаемого
миграционного процесса.
В.О. Богаєнко, В.М. Булавацький, Ю.Г. Кривонос
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
ДРОБОВО-ДИФЕРЕНЦІЙНОЇ ДИНАМІКИ
ПРОЦЕСУ ФІЛЬТРАЦІЙНО-КОНВЕКТИВНОЇ ДИФУЗІЇ
РОЗЧИННИХ РЕЧОВИН ЗА НЕІЗОТЕРМІЧНИХ УМОВ
Виконано математичне моделювання дробово-диференційної динаміки неізотер-
мічного процесу конвективної дифузії розчинних речовин при двовимірній
усталеній плоско-вертикальній фільтрації з вільною поверхнею.
V.А. Bogaenko,V.М. Bulavatsky, Yu.G. Kryvonos
MATHEMATICAL MODELING
OF FRACTIONAL-DIFFERENTIAL DYNAMICS
OF PROCESS OF FILTRATION-CONVECTIVE
DIFFUSION OF SOLUBLE SUBSTANCES
IN NONISOTHERMAL CONDITIONS
Mathematical modeling of fractional-differential dynamics of nonisothermal process
of convective diffusion of soluble substances at 2D stationary plainly-vertical filtra-
tion with a free surface is performed.
56 ISSN 0572-2691
1. Мистецкий Г.Е. Гидростроительство. Автоматизация расчета массопереноса в почвогрун-
тах. — Киев : Будівельник, 1985. — 136 с.
2. Ляшко И.И., Демченко Л.И., Мистецкий Г.Е. Численное решение задач тепло- и массопе-
реноса в пористых средах. — Киев : Наук. думка, 1991. — 264 с.
3. Булавацький В.М., Кривонос Ю.Г., Скопецький В.В. Некласичні математичні моделі проце-
сів тепло- та масопереносу. — Київ : Наук. думка, 2005. — 283 с.
4. Хасанов М.М., Булгакова Г.Т. Нелинейные и неравновесные эффекты в реологически слож-
ных средах. — Москва–Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. — 288 с.
5. Bulavatsky V.M. Numerical modeling of the dynamics of a convection diffusion process locally
non-equilibrium in time // Cybernetics and systems analysis. — 2012. — 48, N 6. — P. 861–869.
6. Bulavatsky V.M. Mathematical modeling of dynamics of the process of filtration convection dif-
fusion under the condition of time nonlocality // Journal of Automation and Information Science.
— 2012. — 44, N 2. — P. 13–22.
7. Bulavatsky V.M. , Bogaenko V.A. Mathematical modeling of the fractional differential dynamics
of the relaxation process of convective diffusion under conditions of planned filtration // Cyber-
netics and Systems Analysis. — 2015. — 51, № 6. — P. 886–895.
8. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. — М. : Наука, 1977. — 664 с.
9. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и не-
которые их приложения. — Минск : Наука и техника, 1987. — 688 с.
10. Podlubny I. Fractional differential equations. — New York : Academic Press, 1999. —341 p.
11. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equa-
tions. — Amsterdam : Elsevier, 2006. — 523 p.
12. Учайкин В.В. Метод дробных производных. — Ульяновск : Артишок, 2008. — 512 с.
13. Povstenko Yu. Linear fractional diffusion-wave equation for scientists and engineers. — Switzer-
land : Springer Int. Publ., 2015. — 460 p.
14. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М. : Наука, 1977. — 656 с.
15. Таукенова Ф.И., Шхануков–Лафишев М.Х. Разностные методы решения краевых задач для
дифференциальных уравнений дробного порядка// Журнал вычислительной математики и
математической физики. — 2006, — 46, № 10. — С. 1871–1881.
16. Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. —
М. : Наука, 1966. — 386 с.
17. Богаенко В.А., Булавацкий В.М., Скопецкий В.В. Параллельный алгоритм расчета фильтра-
ционно-конвективной диффузии загрязнений из водоносных горизонтов // Управляющие
системы и машины. — 2008. — № 5. — С. 18–23.
18. Власюк А.П.,Остапчук О.П. Математичне моделювання переносу сольових розчинів при
фільтрації підземних вод у грунтових масивах. — Рівне : НУВГП, 2015. — 214 с.
Получено 22.11.2016
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208499 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:31:08Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Богаенко, В.А. Булавацкий, В.М. Кривонос, Ю.Г. 2025-10-31T15:18:31Z 2017 Математическое моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии растворимых веществ в неизотермических условиях / В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий, Ю.Г. Кривонос // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 2. — С. 45-56. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208499 517.9:519.6 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i4.20 Виконано математичне моделювання дробово-диференційної динаміки неізотермічного процесу конвективної дифузії розчинних речовин при двовимірній усталеній плоско-вертикальній фільтрації з вільною поверхнею. Mathematical modeling of fractional-differential dynamics of nonisothermal process of convective diffusion of soluble substances at 2D stationary plainly-vertical filtration with a free surface is performed. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии растворимых веществ в неизотермических условиях Математичне моделювання дробово-диференційної динаміки процесу фільтраційно-конвективної дифузії розчинних речовин за неізотермічних умов Mathematical modeling of fractional-differential dynamics of process of filtration-convective diffusion of soluble substances in nonisothermal conditions Article published earlier |
| spellingShingle | Математическое моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии растворимых веществ в неизотермических условиях Богаенко, В.А. Булавацкий, В.М. Кривонос, Ю.Г. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| title | Математическое моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии растворимых веществ в неизотермических условиях |
| title_alt | Математичне моделювання дробово-диференційної динаміки процесу фільтраційно-конвективної дифузії розчинних речовин за неізотермічних умов Mathematical modeling of fractional-differential dynamics of process of filtration-convective diffusion of soluble substances in nonisothermal conditions |
| title_full | Математическое моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии растворимых веществ в неизотермических условиях |
| title_fullStr | Математическое моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии растворимых веществ в неизотермических условиях |
| title_full_unstemmed | Математическое моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии растворимых веществ в неизотермических условиях |
| title_short | Математическое моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии растворимых веществ в неизотермических условиях |
| title_sort | математическое моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии растворимых веществ в неизотермических условиях |
| topic | Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| topic_facet | Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208499 |
| work_keys_str_mv | AT bogaenkova matematičeskoemodelirovaniedrobnodifferencialʹnoidinamikiprocessafilʹtracionnokonvektivnoidiffuziirastvorimyhveŝestvvneizotermičeskihusloviâh AT bulavackiivm matematičeskoemodelirovaniedrobnodifferencialʹnoidinamikiprocessafilʹtracionnokonvektivnoidiffuziirastvorimyhveŝestvvneizotermičeskihusloviâh AT krivonosûg matematičeskoemodelirovaniedrobnodifferencialʹnoidinamikiprocessafilʹtracionnokonvektivnoidiffuziirastvorimyhveŝestvvneizotermičeskihusloviâh AT bogaenkova matematičnemodelûvannâdrobovodiferencíinoídinamíkiprocesufílʹtracíinokonvektivnoídifuzíírozčinnihrečovinzaneízotermíčnihumov AT bulavackiivm matematičnemodelûvannâdrobovodiferencíinoídinamíkiprocesufílʹtracíinokonvektivnoídifuzíírozčinnihrečovinzaneízotermíčnihumov AT krivonosûg matematičnemodelûvannâdrobovodiferencíinoídinamíkiprocesufílʹtracíinokonvektivnoídifuzíírozčinnihrečovinzaneízotermíčnihumov AT bogaenkova mathematicalmodelingoffractionaldifferentialdynamicsofprocessoffiltrationconvectivediffusionofsolublesubstancesinnonisothermalconditions AT bulavackiivm mathematicalmodelingoffractionaldifferentialdynamicsofprocessoffiltrationconvectivediffusionofsolublesubstancesinnonisothermalconditions AT krivonosûg mathematicalmodelingoffractionaldifferentialdynamicsofprocessoffiltrationconvectivediffusionofsolublesubstancesinnonisothermalconditions |