Построение математической модели минимального порядка для линейной динамической системы с обратной связью
Визначено умови, згідно з якими мінімальний порядок диференціального рівняння з вищою похідною порядку m у правій частині, що використовується як модель лінійної динамічної системи з ПІД-регуляторами і коригуючими ланками, повинен дорівнювати m+3. Наведено приклад ідентифікації такої моделі методом,...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208500 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Построение математической модели минимального порядка для линейной динамической системы с обратной связью / Б.И. Мокин, И.А. Чернова // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 2. — С. 57-64. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208500 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Мокин, Б.И. Чернова, И.А. 2025-10-31T15:27:02Z 2017 Построение математической модели минимального порядка для линейной динамической системы с обратной связью / Б.И. Мокин, И.А. Чернова // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 2. — С. 57-64. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208500 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i3.80 Визначено умови, згідно з якими мінімальний порядок диференціального рівняння з вищою похідною порядку m у правій частині, що використовується як модель лінійної динамічної системи з ПІД-регуляторами і коригуючими ланками, повинен дорівнювати m+3. Наведено приклад ідентифікації такої моделі методом, розробленим авторами раніше для моделей, що не містять похідних у правій частині, після його адаптації до нових умов. There had been determined the conditions under which the minimum order of a differential equation with the highest m-order derivative on the right side, serving as a model of linear dynamical system with PID controllers and adjusting units, should be equal to m+3. There had been given an example of identification of such model by the previously developed authors’ method for identifying models containing no derivatives on the right side, after its adapting to new conditions. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Построение математической модели минимального порядка для линейной динамической системы с обратной связью Побудова математичної моделі мінімального порядку для лінійної динамичної системи зі зворотним зв’язком Designing mathematical model of minimum order for linear dynamical system with feedback Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Построение математической модели минимального порядка для линейной динамической системы с обратной связью |
| spellingShingle |
Построение математической модели минимального порядка для линейной динамической системы с обратной связью Мокин, Б.И. Чернова, И.А. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| title_short |
Построение математической модели минимального порядка для линейной динамической системы с обратной связью |
| title_full |
Построение математической модели минимального порядка для линейной динамической системы с обратной связью |
| title_fullStr |
Построение математической модели минимального порядка для линейной динамической системы с обратной связью |
| title_full_unstemmed |
Построение математической модели минимального порядка для линейной динамической системы с обратной связью |
| title_sort |
построение математической модели минимального порядка для линейной динамической системы с обратной связью |
| author |
Мокин, Б.И. Чернова, И.А. |
| author_facet |
Мокин, Б.И. Чернова, И.А. |
| topic |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| topic_facet |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Побудова математичної моделі мінімального порядку для лінійної динамичної системи зі зворотним зв’язком Designing mathematical model of minimum order for linear dynamical system with feedback |
| description |
Визначено умови, згідно з якими мінімальний порядок диференціального рівняння з вищою похідною порядку m у правій частині, що використовується як модель лінійної динамічної системи з ПІД-регуляторами і коригуючими ланками, повинен дорівнювати m+3. Наведено приклад ідентифікації такої моделі методом, розробленим авторами раніше для моделей, що не містять похідних у правій частині, після його адаптації до нових умов.
There had been determined the conditions under which the minimum order of a differential equation with the highest m-order derivative on the right side, serving as a model of linear dynamical system with PID controllers and adjusting units, should be equal to m+3. There had been given an example of identification of such model by the previously developed authors’ method for identifying models containing no derivatives on the right side, after its adapting to new conditions.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208500 |
| citation_txt |
Построение математической модели минимального порядка для линейной динамической системы с обратной связью / Б.И. Мокин, И.А. Чернова // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 2. — С. 57-64. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT mokinbi postroeniematematičeskoimodeliminimalʹnogoporâdkadlâlineinoidinamičeskoisistemysobratnoisvâzʹû AT černovaia postroeniematematičeskoimodeliminimalʹnogoporâdkadlâlineinoidinamičeskoisistemysobratnoisvâzʹû AT mokinbi pobudovamatematičnoímodelímínímalʹnogoporâdkudlâlíníinoídinamičnoísistemizízvorotnimzvâzkom AT černovaia pobudovamatematičnoímodelímínímalʹnogoporâdkudlâlíníinoídinamičnoísistemizízvorotnimzvâzkom AT mokinbi designingmathematicalmodelofminimumorderforlineardynamicalsystemwithfeedback AT černovaia designingmathematicalmodelofminimumorderforlineardynamicalsystemwithfeedback |
| first_indexed |
2025-11-25T15:00:01Z |
| last_indexed |
2025-11-25T15:00:01Z |
| _version_ |
1850518400366804992 |
| fulltext |
© Б.И. МОКИН, И.А. ЧЕРНОВА, 2017
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 57
УДК 517.977
Б.И. Мокин, И.А. Чернова
ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
МОДЕЛИ МИНИМАЛЬНОГО ПОРЯДКА
ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Введение
В работах [1, 2] определены условия и предложен метод построения матема-
тических моделей минимального порядка, не превышающего трех, для сложных
динамических систем, которые допускают линеаризацию характеристик и описы-
ваются в общем случае дифференциальными уравнениями
,3,... 011
1
1
nxby
dt
dy
a
dt
yd
a
dt
yd
a
n
n
nn
n
n (1)
правые части которых не содержат производных.
В данной статье показано, как изменятся условия минимизации порядка
модели и метод ее идентификации, предложенные в [1, 2], при решении задачи
построения математических моделей минимального порядка, эквивалентных по
критической частоте cr , для замкнутых линейных динамических систем, опи-
санных в общем случае дифференциальными уравнениями
,,...... 011
1
111
1
1 mnxb
dt
dx
b
dt
xd
b
dt
xd
by
dt
dy
a
dt
yd
a
dt
yd
a
m
m
mm
m
mn
n
nn
n
n
(2)
правые части которых содержат производные. Показано также, как видоизменится
алгоритм метода идентификации, приведенного в [1, 2], при идентификации
математической модели минимального порядка вида
,012
2
212
2
23
3
34
4
45
5
5 xb
dt
dx
b
dt
xd
by
dt
dy
a
dt
yd
a
dt
yd
a
dt
yd
a
dt
yd
a (3)
полученной для сложных замкнутых систем управления линейными динамиче-
скими объектами с широко используемыми пропорционально-дифференциально-
интегральными (ПИД) регуляторами.
В качестве критерия минимизации порядка модели предлагается использо-
вать критическую частоту ,cr поскольку именно расположение этой частоты на
частотной оси определяет, будет ли система автоматического управления слож-
ным динамическим объектом с ПИД-регулятором устойчивой после замыкания ее
разомкнутого контура единичной обратной связью, поэтому при моделировании
системы численное значение этой частоты не должно изменяться.
Условие минимума порядка дифференциального уравнения,
используемого в качестве модели линейной динамической системы
с обратной связью в задаче оценки устойчивости
Решать поставленную задачу начнем с вывода условия минимума порядка
дифференциального уравнения, используемого в качестве модели линейной ди-
намической системы с обратной связью в задаче оценки устойчивости. Вначале
58 ISSN 0572-2691
рассмотрим уравнение (2), которому на комплексной плоскости, как известно из
теории автоматического управления, изложенной, например, в [3], после приме-
нения к нему преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях можно
поставить в соответствие передаточную функцию )(pWn вида
.
1...
...
)(
1
1
1
01
1
1-
papapa
bpbpbpb
pW
n
n
n
n
m
m
m
m
n (4)
Данная функция, в свою очередь, в частотной области порождает амплитудно-
фазовую частотную характеристику (АФЧХ) ),( jWn действительную частотную
характеристику (ДЧХ) ),(nR мнимую частотную характеристику (МЧХ) ),(nQ
амплитудную частотную характеристику (АЧХ) ),(nA фазовую частотную ха-
рактеристику (ФЧХ) ),(n логарифмическую амплитудную частотную характе-
ристику (ЛАЧХ) )(nL и логарифмическую фазовую частотную характеристику
(ЛФЧХ) ),(n которая отличается от ФЧХ )(n лишь тем, что частотная ось
в ней масштабирована в декадах.
По ЛАЧХ и ЛФЧХ, как известно [3], определяют две характерные для замкну-
тых динамических систем частоты: частоту среза cut и критическую частоту ,cr
являющиеся корнями уравнений
,0)( cutnL (5)
.)( crn (6)
На рис. 1 представлены ориентировочные графики для ЛАЧХ и ЛФЧХ разо-
мкнутого контура замкнутой динамической системы, процессы в котором описы-
ваются дифференциальным уравнением (2), для случаев, когда
,crcut (7)
.crcut (8)
)(nL
)(nL
0
cut cr
)(* n
)(* n
2
2
3
)(nL
0 cut cr
)(* n
2
2
3
а б
Рис. 1
Как известно [3], устойчивая разомкнутая динамическая система при ее за-
мыкании единичной обратной связью остается устойчивой, если выполняется не-
равенство (7). Если же имеет место неравенство (8), то устойчивая разомкнутая
динамическая система при ее замыкании единичной обратной связью теряет
устойчивость и становится неустойчивой. Поэтому при синтезе математической
модели минимального порядка критическая частота cr динамической систе-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 59
мы, разомкнутый контур которой замыкается единичной обратной связью, опре-
деляемая с помощью этой модели, должна оставаться такой же, как в моделиру-
емой реальной системе.
Затем поступим следующим образом: разложим многочлены, стоящие в чис-
лителе и знаменателе выражения (4), по теореме Виета и представим это выраже-
ние в виде
.
)())((
)())((
)(
21
21
n
m
n
m
n
pppppp
pppppp
a
b
pW
(9)
Здесь nppp ...,,, 21 — корни многочлена в знаменателе выражения (4), которые
для устойчивой динамической системы [3] — отрицательные действительные
числа или пары комплексных сопряженных чисел с отрицательной действитель-
ной частью, а
mppp ,...,, 21 — корни многочлена в числителе выражения (4), ко-
торые для систем с ПИД-регуляторами (благодаря включению которых в системы
управления их математические модели приобретают производные в правой части),
также являются либо отрицательными действительными числами, либо парами
комплексных сопряженных чисел с отрицательными действительными частями.
Для упрощения анализа допустим, что все указанные выше корни — отрица-
тельные действительные числа, т.е. положим, что
....,,2,1,;...,,2,1, mvpnp vv
(10)
Тогда выражение (9) можно записать
,)()()()(
11
0
m
v
n
n pWpWpWpW (11)
где )(0 pW — передаточная функция усилительного звена
,)(0
n
m
a
b
pW (12)
,...,,2,1),( npW — передаточные функции апериодических звеньев первого по-
рядка — для корней ,...,,2,1, np соответственно:
,
1
)(
p
pW (13)
,...,,2,1),( mvpWv — передаточные функции форсирующих звеньев первого по-
рядка — для корней ,...,,2,1, mvpv соответственно:
.)( vv ppW (14)
Если в выражении (11) перейти к АФЧХ, то будем иметь
.)()()()(
11
0
m
v
v
n
n jWjWjWjωW (15)
В свою очередь из выражения (15) следует, что АЧХ и ФЧХ этой системы будут
иметь следующий вид:
,)()()()(
11
0n
m
v
v
n
AAAA (16)
60 ISSN 0572-2691
.)()()()(
11
0
m
v
v
n
n (17)
При этом
,00arctg)(0 (18)
,...,,2,1,arctg)( n
(19)
....,,2,1,arctg)( mv
v
v
(20)
Из выражения (19) следует, что фазовая характеристика каждого апериодического
звена при изменении частоты от нуля до бесконечности в пределах полосы значе-
ний
0,
2
, а из выражения (20) следует, что фазовая характеристика каждого
форсирующего звена при изменении частоты от нуля до бесконечности в преде-
лах полосы значений
2
,0 , поэтому для каждой пары последовательно соеди-
ненных одного апериодического и одного форсирующего звеньев справедливо
выражение
.0)]()([lim
v (21)
Это значит, что для того чтобы ФЧХ системы, заданная выражением (17), стреми-
лась к ,
2
необходимо в структуре этой системы иметь количество форсирую-
щих звеньев, задающих порядок старшей производной в правой части дифферен-
циального уравнения (2), на единицу меньше количества апериодических звеньев,
задающих порядок этого дифференциального уравнения. А для того чтобы ФЧХ
системы, заданная выражением (17), стремилась к , необходимо в структуре
этой системы иметь количество форсирующих звеньев, задающих порядок стар-
шей производной в правой части дифференциального уравнения (2), на две еди-
ницы меньше количества апериодических звеньев, задающих порядок этого диф-
ференциального уравнения. И наконец, для того чтобы ФЧХ системы, заданная
выражением (17), пересекла уровень , что согласно уравнению (6) является
необходимым условием существований критической частоты для модели (15),
необходимо в структуре этой системы иметь количество форсирующих звеньев,
задающих порядок старшей производной в правой части дифференциального
уравнения (2), на три единицы меньше количества апериодических звеньев, зада-
ющих порядок этого дифференциального уравнения.
Из сказанного выше вытекает, что при заданном порядке m старшей произ-
водной в правой части дифференциального уравнения, используемого в качестве
математической модели линейной динамической системы с обратной связью, его
минимальный порядок minn в задаче оценки устойчивости этой системы должен
задаваться соотношением
.3min mn (22)
Описание математической моделью второго порядка разомкнутого контура дина-
мической системы в задаче оценки ее устойчивости после замыкания единичной
обратной связью некорректно, поскольку для модели второго порядка понятие
критической частоты cr не существует вообще, в силу того, что ни при каких
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 61
условиях для нее не может быть составленным соответствующее уравнение (6).
Поэтому модели второго порядка, предложенные в работах [4–9] для описания
динамических систем как преобразователей информации, в задачах оценки устой-
чивости этих динамических систем после их замыкания единичной обратной свя-
зью в качестве моделей минимального порядка использоваться не могут.
Замечание 1. Доказательство условия о минимальном порядке дифференциаль-
ных уравнений с производными в правой части, используемых в качестве математи-
ческих моделей линейных динамических систем в задаче оценки их устойчивости при
замыкании отрицательной обратной связью, приведено для случая, когда корни мно-
гочленов в числителе и знаменателе передаточных функций таких систем являются
отрицательными действительными числами. Это доказательство справедливо и для
случая, когда вместо каждых двух корней характеристического уравнения, являю-
щихся отрицательными действительными числами, будем рассматривать пару кор-
ней, являющихся комплексными сопряженными числами с отрицательными действи-
тельными частями, поскольку каждая такая пара комплексных сопряженных корней,
как известно из теории автоматического управления [3], задает такую же полосу зна-
чений фазовой частотной характеристики в диапазонах ]0,( и ),,0[ как и два
корня, являющиеся отрицательными действительными числами.
Замечание 2. Ориентировочные графики ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутого кон-
тура линейной динамической системы с ПИД-регулятором, задаваемые математи-
ческой моделью минимального порядка (3), полученной из уравнения (2) на осно-
вании условия (22), будут иметь вид, представленный на рис. 2, который графиче-
ски подтверждает возможность составления уравнения (6) для определения
критической частоты .cr
)(nL
0
cut cr
)(* n
2
2
3
)(nL
0
cut
cr
)(* n
2
2
3
а б
Рис. 2
Идентификация математической модели минимального порядка (3)
для линейной динамической системы с ПИД-регулятором
Приступим к идентификации математической модели (3). Эту задачу будем ре-
шать с использованием значений ЛАЧХ ,...,,2,1),( NiL in и ЛФЧХ ),( in
,...,,2,1 Ni рассчитанных по экспериментально снятым АЧХ ,...,,2,1),( NiA in
и ФЧХ ,...,,2,1),( Niin разомкнутой динамической системы, математическая
модель минимального порядка для которой определяется, из теоретически опре-
деленных аналитических выражений для ЛАЧХ ,...,,2,1),(5 NiL i и ЛФЧХ
,...,,2,1),(5 Nii с помощью метода, который объединяет в себе условие ра-
венства экспериментальных и теоретически заданных значений ЛАЧХ и ЛФЧХ
разомкнутого контура динамической системы на частотах cr ,0 в виде
),()( 050 LLn (23)
62 ISSN 0572-2691
),()( 5 crcrn (24)
с использованием метода наименьших квадратов для других точек ЛАЧХ, т.е. с ис-
пользованием критерия
,))()(( 2
5
1
5 iin
N
i
LL
(25)
при этом в выражении (25) точки на частотной оси являются точками нарастаю-
щей последовательности }.,...,,,,{ 210 crN
Таким образом, при решении задачи идентификации математической модели (3)
методом, изложенным в работах [1, 2], будем считать заданными множества чис-
ленных значений в точках ,,...,,2,1,0, crNii ЛАЧХ )( inL и ЛФЧХ )( in
разомкнутого контура линейной динамической системы, о котором известно лишь
то, что его математическая модель минимального порядка может быть представ-
лена в виде (3). Напомним, что методика определения этих множеств по данным
эксперимента также изложена в работах [1, 2].
В результате решения задачи идентификации станут известными численные
значения коэффициентов ,5,1, iai и 210 ,, bbb математической модели мини-
мального порядка (3).
Решение поставленной задачи начнем с определения аналитических выраже-
ний для ЛФЧХ )(5 и ЛАЧХ ),(5 L используя в качестве исходного материала
выражение (4) при 2.5, mn После выполнения необходимых преобразований
получим
,
)()1)((
))(()1(
arctg)(
5
5
3
311
4
4
2
2
2
20
5
5
3
31
2
20
4
4
2
21
5
aaabaabb
aaabbaab
(26)
)).)()1((lg))(((lg10)( 25
5
3
31
24
4
2
2
22
1
22
205 aaaaabbbL (27)
Поскольку принято задавать ,10 то из выражения (27) следует, что
.lg20lg10)( 0
2
005 bbL (28)
Подставляя выражение (28) в уравнение (23) и преобразовывая результат подста-
новки нужным образом, получаем
.10 20
)(
0
0
nL
b (29)
Подставляя cr вместо в выражение (26), результат этой подстановки —
в уравнение (24) и принимая во внимание уравнение (6), получаем уравнение
,
)()1)((
))(()1(
arctg
5
5
3
311
4
4
2
2
2
20
5
5
3
31
2
20
4
4
2
21
crcrcrcrcrcrcr
crcrcrcrcrcrcr
aaabaabb
aaabbaab
(30)
из которого вытекает, что
.
)1(
))((
4
4
2
2
5
5
3
31
2
20
1
crcrcr
crcrcrcr
aa
aaabb
b
(31)
Из выражения (29) следует, что для определения численного значения коэф-
фициента 0b достаточно лишь исходных данных, а из выражения (31) следует, что
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 63
определить численное значение коэффициента 1b можем, зная еще и численные
значения коэффициентов .,,,,, 254321 baaaaa Их и будем определять методом
наименьших квадратов, воспользовавшись критерием (25). Для этого после подста-
новки выражения (27) в выражение (25) возьмем первую частную производную от
трансформированного таким образом выражения (25) по каждому из коэффици-
ентов :,,,,, 254321 baaaaa
).,,,,,,,(
,5,1),,,,,,,,(
210543211
2
5
21054321
5
bbbaaaaaf
b
kbbbaaaaaf
a
k
k
k
(32)
Каждую из полученных функций восьми переменных приравняем нулю и по-
лучим шесть уравнений:
,0),,,,,,,(
,5,1,0),,,,,,,(
210543211
21054321
bbbaaaaaf
kbbbaaaaaf
k
k
решая которые вместе с уравнениями (29) и (31) как систему восьми уравнений с
восемью неизвестными, и определим численные значения всех коэффициентов
математической модели минимального порядка (3) разомкнутого контура замкну-
той линейной динамической системы, которая в общем виде описывается диффе-
ренциальным уравнением (2).
Для того чтобы не перегружать статью громоздкими выражениями для част-
ных производных (32), не приводим их в детальном изложении, что целесообраз-
но как в связи с тем, что в работах [1, 2] уже показано, как брать подобного рода
производные, так и в связи с тем, что в пакете прикладных программ Matlab име-
ется для их вычисления стандартная функция.
Заключение
Доказано, что в задаче оценки устойчивости линейной динамической систе-
мы при ее замыкании единичной обратной связью для использования математи-
ческой модели разомкнутого контура в виде дифференциального уравнения с
производными в правой части порядка m минимальный порядок этого уравнения
необходимо принимать равным .3m
Установлено, что минимальный порядок дифференциального уравнения с
первой и второй производными в правой части, используемого в качестве матема-
тической модели разомкнутого контура линейной динамической системы с ПИД-
регулятором, в задаче оценки ее устойчивости при замыкании единичной обрат-
ной связью, должен равняться пяти.
Показано, как трансформируется алгоритм метода идентификации, предло-
женного авторами в работах [1, 2] для определения параметров математических
моделей линейных динамических систем минимального порядка, не содержащих
производных в правой части, на задачи оценки устойчивости динамических си-
стем с обратной связью, математические модели которых содержат производные
в правой части, обусловленные включением в систему ПИД-регуляторов или кор-
ректирующих звеньев.
64 ISSN 0572-2691
Б.І. Мокін, І.О. Чернова
ПОБУДОВА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ
МІНІМАЛЬНОГО ПОРЯДКУ ДЛЯ ЛІНІЙНОЇ
ДИНАМИЧНОЇ СИСТЕМИ ЗІ ЗВОРОТНИМ ЗВ’ЯЗКОМ
Визначено умови, згідно з якими мінімальний порядок диференціального рів-
няння з вищою похідною порядку m у правій частині, що використовується як
модель лінійної динамічної системи з ПІД-регуляторами і коригуючими ланка-
ми, повинен дорівнювати m+3. Наведено приклад ідентифікації такої моделі
методом, розробленим авторами раніше для моделей, що не містять похідних у
правій частині, після його адаптації до нових умов.
B.I. Mokin, I.A. Chernova
DESIGNING MATHEMATICAL MODEL
OF MINIMUM ORDER FOR LINEAR
DYNAMICAL SYSTEM WITH FEEDBACK
There had been determined the conditions under which the minimum order of a dif-
ferential equation with the highest m-order derivative on the right side, serving as a
model of linear dynamical system with PID controllers and adjusting units, should be
equal to m+3. There had been given an example of identification of such model by
the previously developed authors’ method for identifying models containing no de-
rivatives on the right side, after its adapting to new conditions.
1. Определение условий и разработка методов описания процессов в сложных динамических
объектах эквивалентными моделями не выше третьего порядка / A.Б. Мокин, В.Б. Мокин,
Б.И. Мокин, И.А. Чернова // Международный научно-технический журнал «Проблемы
управления и информатики». — 2016. — № 2. — С. 37–49.
2. Determining the conditions and designing the methods for description of processes in complex
dynamic objects by equivalent models not higher than the third-order / A.B. Mokin, V.B. Mokin,
B.I. Mokin, I.A. Chernova // Journal of Automation and Information Sciences. — 2016. — 48,
N 3. — P. 83–97.
3. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы (элементы теории, мето-
ды расчета и справочный материал). — М. : Машиностроение, 1982. — 505 с.
4. Ишлинский А.Ю. Механика гироскопических систем. — М. : Изд-во АН СССР, 1963. —
213 с.
5. Ишлинский А.Ю. Инерциальное управление баллистическими ракетами. Некоторые теоре-
тические вопросы. — М. : Наука, 1968. — 143 с.
6. Волковский А.Ю. Дискретное управление процессами поддержания климатических условий
в животноводческом комплексе // Научный журнал КубГАУ. — 2011. — № 68 (04). —
С. 1–16.
7. Шилин А.Н., Крутякова О.А. Цифровое моделирование электротехнических и электронных
устройств. — М. : Академия естествознания, 2014. — 131 с.
8. Nakpim W. Third-order ordinary differential equations equivalent to linear second-order ordinary
differential equations via tangent transformations // Journal of Symbolic Computation. — 2016.
— 77. — P. 63–77. — DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.jsc.2016.01.006.
9. Seshadev Padhi, Smita Pati. Theory of third-order differential equations. — New Delhi : Spring-
er, 2014. — 515 p.
Получено 21.06.2016
После доработки 13.10.2016
http://dx.doi.org/10.1016/j.jsc.2016.01.006
|