Синтез оптимального по времени пространственного разворота космического аппарата с использованием динамического уравнения вращательного движения твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона

Запропоновано алгоритм просторової переорієнтації КА за мінімальний час. На відміну від відомих рішень, пропонований підхід не накладає ніяких обмежень на характер руху КА. Наведено результати чисельного моделювання роботи пропонованого алгоритму....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2017
1. Verfasser:	Єфименко, Н.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2017
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Космические информационные технологии и системы
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208519
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Синтез оптимального по времени пространственного разворота космического аппарата с использованием динамического уравнения вращательного движения твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона / Н.В. Ефименко // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 3. — С. 108-127. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208519
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2085192025-11-01T01:05:21Z Синтез оптимального по времени пространственного разворота космического аппарата с использованием динамического уравнения вращательного движения твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона Синтез оптимального за часом просторового розвороту космічного апарата з використанням динамічного рівняння обертального руху твердого тіла в параметрах Родріга–Гамільтона Synthesis of time-optimal three-dimensional rotation of spacecraft using rotational motion of equation of rigid body at Rodrigues–Hamilton parameters Єфименко, Н.В. Космические информационные технологии и системы Запропоновано алгоритм просторової переорієнтації КА за мінімальний час. На відміну від відомих рішень, пропонований підхід не накладає ніяких обмежень на характер руху КА. Наведено результати чисельного моделювання роботи пропонованого алгоритму. Algorithm of three-dimension reorientation of spacecraft at minimum time is proposed. Unlike known solutions, the proposed approach does not impose any restrictions on the character spacecraft motion. results of computational modeling of the proposed algorithm are presented. 2017 Article Синтез оптимального по времени пространственного разворота космического аппарата с использованием динамического уравнения вращательного движения твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона / Н.В. Ефименко // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 3. — С. 108-127. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208519 550:531; 681.51 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i6.10 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Космические информационные технологии и системы Космические информационные технологии и системы
spellingShingle	Космические информационные технологии и системы Космические информационные технологии и системы Єфименко, Н.В. Синтез оптимального по времени пространственного разворота космического аппарата с использованием динамического уравнения вращательного движения твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано алгоритм просторової переорієнтації КА за мінімальний час. На відміну від відомих рішень, пропонований підхід не накладає ніяких обмежень на характер руху КА. Наведено результати чисельного моделювання роботи пропонованого алгоритму.
format	Article
author	Єфименко, Н.В.
author_facet	Єфименко, Н.В.
author_sort	Єфименко, Н.В.
title	Синтез оптимального по времени пространственного разворота космического аппарата с использованием динамического уравнения вращательного движения твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона
title_short	Синтез оптимального по времени пространственного разворота космического аппарата с использованием динамического уравнения вращательного движения твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона
title_full	Синтез оптимального по времени пространственного разворота космического аппарата с использованием динамического уравнения вращательного движения твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона
title_fullStr	Синтез оптимального по времени пространственного разворота космического аппарата с использованием динамического уравнения вращательного движения твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона
title_full_unstemmed	Синтез оптимального по времени пространственного разворота космического аппарата с использованием динамического уравнения вращательного движения твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона
title_sort	синтез оптимального по времени пространственного разворота космического аппарата с использованием динамического уравнения вращательного движения твердого тела в параметрах родрига–гамильтона
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2017
topic_facet	Космические информационные технологии и системы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208519
citation_txt	Синтез оптимального по времени пространственного разворота космического аппарата с использованием динамического уравнения вращательного движения твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона / Н.В. Ефименко // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 3. — С. 108-127. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT êfimenkonv sintezoptimalʹnogopovremeniprostranstvennogorazvorotakosmičeskogoapparatasispolʹzovaniemdinamičeskogouravneniâvraŝatelʹnogodviženiâtverdogotelavparametrahrodrigagamilʹtona AT êfimenkonv sintezoptimalʹnogozačasomprostorovogorozvorotukosmíčnogoaparatazvikoristannâmdinamíčnogorívnânnâobertalʹnogoruhutverdogotílavparametrahrodrígagamílʹtona AT êfimenkonv synthesisoftimeoptimalthreedimensionalrotationofspacecraftusingrotationalmotionofequationofrigidbodyatrodrigueshamiltonparameters
first_indexed	2025-11-28T02:53:29Z
last_indexed	2025-11-28T02:53:29Z
_version_	1850000976559210496
fulltext	© Н.В. ЕФИМЕНКО, 2017 108 ISSN 0572-2691 КОСМИЧЕСКИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И СИСТЕМЫ УДК 550:531; 681.51 Н.В. Ефименко СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ПО ВРЕМЕНИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАЗВОРОТА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИНАМИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ПАРАМЕТРАХ РОДРИГА–ГАМИЛЬТОНА Введение В настоящее время спрос на материалы космической съемки в мире неуклонно растет. Это обусловлено бурным развитием вычислительной техники, а также совершенствованием геоинформационных систем, для которых основным источником данных являются материалы космической съемки. В конкурентной гонке разработчиков космических систем к настоящему времени достигнуто раз- решение снимков до 1 м и выше. Для получения высококачественных изображений земной поверхности си- стема управления спутника дистанционного зондирования Земли должна обеспе- чивать во время съемки высокие точностные и динамические характеристики. Требуемая точность наведения составляет 2–5 угловых минут (), а погрешность стабилизации осей по угловой скорости, в зависимости от пространственного раз- решения, должна быть не хуже 0,001 град/с. Кроме того, при использовании таких аппаратов предъявляются высокие требования к динамическим характеристикам пространственных разворотов во время съемки. Разворот должен происходить из любого текущего положения в заданное. При этом угловые скорости разворота могут достигать 2–3 град/с. Для обеспечения таких высоких динамических ха- рактеристик базовый такт системы управления должен быть не более 0,05 с. Это накладывает ограничения и на алгоритмы ориентации, которые, с одной стороны, должны быть очень простыми, чтобы время, затрачиваемое на расчет управляю- щего воздействия, было минимальным, а с другой стороны, должны обеспечить высокие динамические характеристики, что, как правило, невозможно в классе простых алгоритмов. Решение задачи синтеза алгоритмов переориентации косми- ческого аппарата (КА) необходимо искать как решение оптимизационной задачи. Следует отметить, что до настоящего времени нет хорошо проработанного мето- дического обеспечения построения таких алгоритмов. Данная работа посвящена вопросу решения задачи управления простран- ственным разворотом КА за минимальное время. Существует достаточно много работ [1–14], посвященных вопросам построе- ния оптимальных алгоритмов переориентации КА. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 3 109 В [1] рассматривается задача оптимального управления пространственной переориентацией КА из произвольного начального углового положения в задан- ное конечное. Для оптимизации используется функционал пути. На основе метода кватернионов получено аналитическое решение поставленной задачи и даны формализованные уравнения и расчетные выражения для синтеза оптимальной программы разворотов. В [2] исследована задача оптимального управления про- странственной переориентацией КА, когда минимизируется время разворота. На основе метода кватернионов получено аналитическое решение поставленной задачи в замкнутом виде и даны расчетные выражения для синтеза оптимальной программы управления. Кинематическая задача переориентации космического аппарата решается до конца. Дается конструктивная схема решения краевой задачи принципа максимума для произвольных условий разворота и инерционных харак- теристик КА. Для динамически симметричного КА представлено решение задачи оптимального управления пространственной переориентацией в аналитическом виде. Приводятся результаты математического моделирования движения КА при оптимальном управлении, подтверждающие практическую реализуемость разработанного алгоритма управления. Использование интеграла энергии в оп- тимальном управлении пространственной ориентацией космического аппарата рассматривается в [3]. Работа [4] посвящена задаче оптимального управления пространственной пе- реориентацией КА с минимальным значением функционала пути. При использо- вании метода кватернионов получено аналитическое решение поставленной зада- чи. Для симметричного показателя оптимальности представлено полное решение задачи переориентации КА в замкнутой форме. Приводятся результаты математи- ческого моделирования углового движения КА, демонстрирующие практическую эффективность разработанного алгоритма управления. В [8–10, 13] авторы строят множество программных траекторий с помощью дважды дифференцируемых функций, что позволяет избежать достаточно тради- ционных ограничений на класс движений в виде плоского поворота Эйлера или поворотов вокруг главных осей КА. Предлагаемый авторами алгоритм управления переориентацией базируется на концепции обратных задач динамики [11, 12], что позволяет авторам синтезировать алгоритмы управления, обеспечивающие дости- жение требуемых динамических характеристик систем. В [6] исследуется общий случай задачи пространственной переориентации КА из произвольного начального состояния в заданное конечное. При решении задачи использован подход из [5], суть которого заключается в преобразовании нелинейных уравнений углового движения в разделенную систему из четырех двойных интегрирующих звеньев. Входами этих звеньев являются сигналы, представляющие собой некоторые функции от переменных углового движения. Задача синтеза при этом приводится к линейному виду и решается как задача оптимального управления и выбора оп- тимальной траектории разворота. Структура линейной системы очень проста, и эти задачи имеют точное решение, которое затем подвергается обратному преобра- зованию. В [14] для описания углового движения КА используется динамическое уравнение для кватерниона, представляющее собой уравнение движения точки по сфере в пространстве .4R Для этой модели углового движения КА получены алго- ритмы нелинейного управления кватернионом стабилизации вращательных дви- жений твердого тела, терминальной переориентации твердого тела с применением законов управления с обратной связью. Структура записанных уравнений удобна для исследования задачи управления вращательным движением твердого тела. Приведены эффективные алгоритмы терминального управления вращательным движением твердого тела с использованием программных траекторий движения в виде эрмитовых сплайнов. 110 ISSN 0572-2691 В большинстве из перечисленных работ в качестве математической модели углового движения КА выступает модель, в которой динамика описывается урав- нением Эйлера, а кинематика — уравнением для кватерниона. При использовании такой модели для решения задачи оптимального про- странственного разворота достаточно легко получить уравнения двухточечной краевой задачи, но найти аналитическое решение этой задачи, которое определяет оптимальное управление, за исключением частных случаев, не представляется возможным. Решение (оптимальное управление) можно найти только с использо- ванием численных методов, что не применимо при реализации алгоритмов опти- мального управления на борту КА. Эти трудности можно обойти, если в качестве модели углового движения КА использовать динамическое уравнение вращательного движения твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона [14, 15, 17]. В [15] на основе динамической модели вращательного движения КА в параметрах Родрига–Гамильтона предло- жена методика синтеза алгоритмов управления, обеспечивающих переориен- тацию КА из текущего углового положения в требуемое угловое за фиксиро- ванное время. Данная работа является дальнейшим развитием подхода, пред- ложенного в [15]. В ней рассмотрены вопросы синтеза оптимальных по времени алгоритмов пространственной переориентации КА с использованием динамического уравнения вращательного движения твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона. Математическая модель относительного углового движения КА в параметрах Родрига–Гамильтона Представим спутник как абсолютно твердое тело. Пусть динамика углового движения КА относительно инерциального базиса I описывается уравнением u BI B BI B BI B MJωJ  . (1) Рассмотрим движение базиса B относительно опорного базиса R . Согласно теореме о сложении скоростей для угловой скорости BI B можно записать уравнение RI B BR B BI B  , (2) где BI B — абсолютная угловая скорость движения базиса B относительно базиса ,I RB B — относительная угловая скорость движения базиса B относительно базиса .R Из уравнения (2) имеем RI B BI B BR B  , (3) при этом для кватерниона RB справедливо уравнение . 2 1 )( 2 1 ) ~ ( 2 1 )( 2 1 BR BRB RI B BI BRB RB RI RRB BI BRBRB RI R BI BRBRB     В векторно-матричной форме это уравнение имеет вид RB BR B BR B BR B RB Φ Λ )(ωω ω0 2 1 Λ T            . (4) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 3 111 Продифференцировав выражение (3), с учетом системы уравнений (1) полу- чим уравнение u RI B BR B RI B BI B BI B BR B MJJJ  )(ω  , (5) описывающее динамику углового движения базиса B относительно базиса .R Так как кватернион RB нормируемый, для него справедливо соотношение 1Λ 2 RB . (6) Продифференцировав дважды по времени равенство (6), получим 0Λ 2T  RBRBRB  . (7) Разрешив уравнение (7) относительно RB , найдем динамическое уравнение для вектора RB (динамическое уравнение для кватерниона [14]) .ΛΛ)ΛΛ(IΛ 2T 4 RBRBRBRBRB U   (8) Уравнение (8), так же как и уравнения (4), (5), описывает угловое движение базиса B относительно базиса R . При этом в качестве вектора состояния использу- ется вектор параметров Родрига–Гамильтона (кватернион), определяющий ориента- цию КА в опорной системе координат, и его производная. В этом уравнении вектор 4RU  является вектором управления, т.е. свободной переменной, изменяя которую можно менять характер движения вектора RB . Из уравнения (4) следует, что RBRB BR B A  )(2 , (9) где матрица )Λ( RBA имеет вид ])Φ(λλλ[)Λ( 3 0 RBRBRBRB IA  . (10) Для матрицы )Λ( RBA справедливы соотношения .0Λ)Λ( ,)Λ(A)Λ( 3 T   RBRB RBRB A IA (11) Продифференцировав выражение (9) с учетом свойств матрицы )Λ( RBA и урав- нения (8), имеем .)(2 UA RB BR B  (12) Уравнение (12) позволяет установить взаимное соответствие между вектором управления 4RU  и физически реализуемым управляющим моментом 3RMu  . Разрешив уравнение (12) относительно вектора 4RU  , получим ,])(M[ )Λ( 2 1 )Λ( 2 1 u 1TT RB RI B BR B RI B BI B BI B RB BR BRB JJ JAAU      (13) где  — произвольный коэффициент. Так как согласно уравнению (8) изме- нить характер движения вектора RB можно лишь за счет составляющей 112 ISSN 0572-2691 UIU RBRB4  )ΛΛ( T , ортогональной вектору RB , то составляющая RBU \|\| , параллельная вектору ,RB не влияет на характер движения и ее можно положить равной нулю ( 0 ). Окончательно имеем ])([)Λ( 2 1 )Λ( 2 1 1TT RI B BR B RI B BI B BI BuRB BR BRB JJMJAAU    . (14) Разрешив уравнение (12) относительно управляющего момента uM , находим выражение )(U)(2 RI B BR B RI B BI B BI BRBu JJJAM   , (15) позволяющее рассчитать по вектору U вектор .uM Модель углового движения КА, определяемая уравнениями (4) и (5), представляет собой модель, в которой уравнения динамики записаны в простран- стве ,3R а кинематические уравнения — в пространстве 4R . Уравнение (8) пред- ставляет собой модель углового движения КА, в которой уравнения динамики и кинематики записаны в пространстве 4R . Матрицу )Λ( RBA , которая входит в выражения (13)–(15), можно рассматривать как оператор отображения четырех- мерного пространства в трехмерное пространство: 34 RR A  . Обратное отоб- ражение при этом определяется матрицей )Λ(T RBA : 43 RR TA  . При этом отображается и правая часть системы уравнений (1). Так как отображение, опре- деляемое матрицей )Λ( RBA , обратимо, можно синтезировать законы управления, используя модель (8), а затем с помощью обратного отображения вернуться в пространство 3R и по формуле (15) найти физически реализуемый управляющий момент uM . В общем случае уравнение (8) представляет собой уравнение движения точки по единичной сфере в пространстве nR n n RXXXfXXIX  0 2 00 T 000 ,)(  . (16) Вектор nRf  по аналогии с вектором 4RU  здесь рассматривается как вектор управления. Для уравнения (16) справедливы следующие утверждения. Утверждение 1. Пусть в пространстве nR задана точка с координатами ,)(tX движение которой описывается нелинейным дифференциальным уравнением m-го порядка вида ),,,,,( )1()(  mm XXXXFX  , и вектор nR является вектором управления. Тогда движение проекции этой точки на единичную сферу в пространстве nR описывается уравнением ,)( 2 00 T 000 XXfXXIX n   002 XX X f         , ,T2 XX  ,T 0 XX   где  — произвольная скалярная функция. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 3 113 Утверждение 2. Пусть на единичной сфере в пространстве nR задана точка )(0 tX , движение которой описывается уравнением  )( T 000 XXIX n  2 00 XXf  . Обозначим 2 00 T 00 )(Θ XXfXXIn  ускорение движения точки по сфере. Тогда векторы Θ и f связаны соотношением 0Θ Xf  , где  — произвольная скалярная функция. Геометрическая иллюстрация утверждения 2 показана на рис. 1. На рис. 1 приняты следующие обозна- чения: f — вектор управления (переменная, изменяя которую можно менять характер дви- жения вектора 0X ); fXXI 00n )(Θ T — ортогональная вектору 0X составляющая ус- корения ; 2 Θ 00\|\| XX  — коллинеарная вектору 0X составляющая ускорения ; при этом \|\|ΘΘΘ   . Из рис. 1 видно, что независимо от  составляющая ускорения  , завися- щая от вектора управления ,f остается неизмененной, т.е. параметр  не влияет на характер движения вектора 0X . Изменить характер движения вектора 0X можно лишь путем изменения составляющей ускорения точки  , т.е. фор- мированием соответствующего управления f . Доказательства утверждений приведены в [15]. Утверждение 1 позволяет при построении управления f заменить уравнение движения по сфере, где наложено ограничение на координаты, уравнением движения в пространстве nR без ограничений, которое, как правило, проще уравнения движения точки по сфере. Для модели без ограничений на коорди- наты ищется аналитическое решение задачи оптимального управления. Затем, используя утверждение 1, строится управление ,f обеспечивающее заданное движение по сфере. Утверждение 2 позволяет представить уравнение ошибки управления в виде разделенной системы из n интегрирующих звеньев второго порядка вида nie ii  ,2,1,Δ  . где ie — i-я координата вектора ошибки управления * 00 XXE  ; 0X — теку- щее положение вектора 0X ; * 0X — требуемое положение вектора 0X ;  — ошибка по ускорению; 0X — текущее ускорение; * 0 X — требуемое ускорение (программное). Так как уравнение для переменной ie имеет простой вид, всегда можно найти требуемое управление  . Затем, используя соотношение из утверждения 2 0Θ Xf  и приняв 0 , так как  не влияет на характер движения вектора 0X , найдем управление  f .  \|\| 00 XY  0X  0Xf  0X Рис. 1 114 ISSN 0572-2691 Следует отметить, что модель вращательного движения твердого тела в виде системы дифференциальных уравнений второго порядка относительно парамет- ров Родрига–Гамильтона получена в [17]. Однако в этой работе используется подход, при котором правые части динамического уравнения Эйлера выражаются непосредственно через параметры Родрига–Гамильтона, а это приводит к тому, что модель становится очень нелинейной и ее затруднительно использовать для синтеза управления. В работе [15] для получения динамического уравнения в па- раметрах Родрига–Гамильтона использован подход из работы [14], но при этом предложено отображение правой части динамического уравнения Эйлера в вектор управления 4RU  и доказаны утверждения 1 и 2, значительно упрощающие синтез управления при использовании динамического уравнения вращательного движения в параметрах Родрига–Гамильтона. Уравнение (8) является нелинейным, что существенно усложняет процедуру синтеза управления .U Нелинейность уравнения (8) обусловлена тем, что RBΛ представляет собой нормированный кватернион. Для того чтобы избавиться от нелинейности, перейдем к ненормированному кватерниону. Представим ква- тернион RBΛ в виде )( )( )(Λ tX tX tRB  , (17) где 4)( RtX  — векторное представление некоторого ненормированного ква- терниона. Согласно утверждению 1 для вектора )(tX справедливо уравнение . ,2 X UX RBRB    (18) Введем обозначение .RBRBU   (19) Тогда уравнение (18) можно представить следующим образом: X . (20) Согласно выражению (17) для производной по времени от вектора RBΛ справедливо соотношение )( )( )ΛΛ( )( )( )(Λ tX tX I tX tX dt d t T RBRB4RB             . (21) С учетом (21) выражение для вектора угловой скорости )(tBR B можно пред- ставить следующим образом: XXA X 2 A 2RBRB BR B   )()(2ω . (22) Из выражений (17), (20), (22) следует, что, задавая нужным образом управле- ние )Ψ(t , можно формировать требуемый характер изменения угловой ориента- ции и скорости вращения КА. Таким образом, уравнение (20) можно рассматривать как уравнение про- граммного углового движения КА. Геометрическая интерпретация предложенно- го способа описания программного движения КА показана на рис. 2. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 3 115 )(tX )( )( )(Λ tX tX tRB  Программная траектория разворота Траектория движения точки Х )()( 11 ttX RB )()( 00 ttX RB Единичная сфера Рис. 2 При описании углового движения КА уравнением (20) следует учитывать следующее. 1. Должны выполняться краевые условия )()( 00 ttX RB , )()( 00 ttX RB  , (23) )()( 11 ttX RB )()( 11 ttX RB  . (24) Краевые условия (23), (24) отражают тот факт, что траектория точки )(tX должна исходить из текущего положения КА и заканчиваться в момент времени 1t в требуемом положении КА. При этом момент времени 1t может быть как фикси- рованным, так и свободным. 2. Между векторами состояния систем (20) и (8) не существует взаимного со- ответствия. Однозначно можно перейти от вектора состояния системы (20) по формулам (17), (21) к вектору состояния системы (8), но обратного однозначного перехода не существует. Орту )(tRB вектора )(tX соответствует бесконечное множество векторов ,)(tX отличающихся друг от друга длиной. Приведенные выше рассуждения позволяют строить алгоритмы управления, обеспечивающие требуемый разворот КА, по следующей схеме. Шаг 1. Задание оптимальной программы разворота КА )(RP t . Оптимальная программа разворота )(RP t определяется как орт вектора )(tX )( )( )( tX tX tRP  , где движение вектора 4)( RtX  описывается дифференциальным уравнением вида X и 4R является вектором управления. Вектор )(tX и управле- ние  ищутся, как решение задачи оптимального управления: найти закон 116 ISSN 0572-2691 управления )(t , переводящий систему X из текущего состояния в момент времени 0t в требуемое состояние в момент времени 1t и обеспечивающий ми- нимум некоторому функционалу dtXXL t t ),,((t) 1 0    . Вид функционала )(tL определяется из динамических требований к режиму разворота. Правая часть дифференциального уравнения для вектора X имеет очень простой вид, поэтому для этого уравнения существуют аналитические ре- шения практически всех задач оптимального управления. Шаг 2. Нахождение программного управления .U В соответствии с утвер- ждением 1 программное управление ,U обеспечивающее требуемый разворот, рассчитывается по формулам RPU          2 ,   )( )ΛΛ()(Λ tX It T RBRB4RB   , X , XX   T 0 . Шаг 3. Согласно утверждению 2 формирование обратной связи по состоя- нию, обеспечивающей устойчивость реального движения относительно програм- мы разворота. В качестве примера использования динамических уравнений в параметрах Родрига–Гамильтона в задачах управления угловым движением спутника рас- смотрим задачу переориентации космического аппарата из текущего углового по- ложения в заданное угловое за минимальное время. Синтез алгоритма переориентации КА из текущего углового положения в заданное угловое положение за минимальное время Постановка задачи. Введем в рассмотрение вспомогательный вектор 4)( RtX  (ненормированный кватернион), движение которого в пространстве 4R описыва- ется следующей системой дифференциальных уравнений X . (25) Будем полагать, что для вектора X и его производной X заданы граничные условия для моментов времени 0t и 1t . )(Λ)( 00 ttX RB , )(Λ)( 00 ttX RB   , )(Λ)( 11 ttX RB , ).(Λ)( 11 ttX RB   Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 3 117 Определим программную траекторию разворота (кватернион RP ) следую- щим образом: )( )( )( tX tX tRP  . (26) В этом случае согласно утверждению 1 для кватерниона RP справедливо уравнение 2 4 ΛΛ2)ΛΛ(Λ RPRPRPRBRBRP I                   , X . При определении траектории разворота уравнением (26) задачу переориента- ции можно сформулировать следующим образом: найти закон управления )(t , переводящий систему X из состояния )()(),()( 0000 ttXttX RBRB   в мо- мент времени 0t в состояние )()(),()( 1111 ttXttX RBRB   в момент времени 1t и обеспечивающий минимум функционалу dtT t t  1 0 min при ограничениях .)( 0 t Решение поставленной задачи. Решение задачи дает утверждение. Утверждение 3. Пусть заданы система X , nRX  и граничные условия для моментов времени 0t и 1t : )(Λ)( 00 ttX RB , )(Λ)( 00 ttX RB   , )(Λ)( 11 ttX RB , )(Λ)( 11 ttX RB   . Момент времени 1t не фиксирован. Будем полагать, что на вектор управле- ния  наложено ограничение 0 , const.0  Тогда закон управления T 21 )( n  , где ),(0 iii Dsign ,2,1 ni  ])()( 2 1 [)( 1222100 iiiiii txteeetD  , ])()( 2 1 [)( 122210 iiiiiii txteeetD  , )()( 11 txtxe iii  , )()( 12 txtxe ii   ,                                                 ,0)(, )()()()()()( 2 1 )(2 ,0)(, )()()()()()( 2 1 )(2 00 0 02 2 0 2 1 0 01 2 0 021 2 0 2 02 10 00 0 02 2 0 2 1 0 01 2 0 021 2 0 2 02 10 1 tD tetxtetetxte txt tD tetxtetetxte txt t i iiiiii i i iiiiii i i     118 ISSN 0572-2691 )max( 1min itT  , 2 0min 2 02 2 2 0min 01 0min 102 2 0min 01 0min 102 1 )( )( )( )(2)(2)( )( )(2)(2)( tT te tT te tT txte tT te tT txte s iiiiiii                              , 2 0min 2 02 2 2 0min 01 0min 102 2 0min 01 0min 102 2 )( )( )( )(2)(2)( )( )(2)(2)( tT te tT te tT txte tT te tT txte s iiiiiii                              , , )()()()()()( 2 1 )(2 1 02 2 1 2 1 1 01 2 1 021 2 1 2 02 10 s te s tx s te s tetx s te txtT iiiiii i                    ,0, ,0, min2 min1 0 TTs TTs i обеспечивает переход точки )(tX из произвольного состояния )( 0tX , )( 0tX в заданное )( 1tX , )( 1tX за минимальный промежуток времени                                                  .0)(, )()()()()()( 2 1 )(2 ,0)(, )()()()()()( 2 1 )(2 0 0 02 2 0 2 1 0 01 2 0 021 2 0 2 12 1 0 0 02 2 0 2 1 0 01 2 0 021 2 0 2 02 1 01min tD tetxtetetxte tx tD tetxtetetxte tx ttT i i i i i i i i ii i ii i i i i i i i i i ii i i i     Доказательство утверждения 3 приведено в приложении. Таким образом, закон управления 4* RU  , компоненты которого рассчиты- ваются согласно выражениям X , )(Λ)( 00 ttX RB , )(Λ)( 00 ttX RB   , )(Λ)( 11 ttX RB , )(Λ)( 11 ttX RB   ,   )(tX RP ,   )( )( T 4 tX I RPRPRP   , ,)()( tXt  ,)()( T tXt RP   RPU          2* , а вектор управления  определяется в соответствии с утверждением 3, обеспе- чивает переориентацию спутника из произвольного текущего состояния в задан- ное за минимальный промежуток времени. Управление, построенное таким образом, является программным. При таком управлении реальное угловое положение КА, определяемое кватернионом RBΛ , Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 3 119 будет отличаться от программного, определяемого кватернионом RPΛ . Это отли- чие обусловлено наличием возмущающих моментов, действующих на КА. Для компенсации действия возмущающих моментов необходимо добавить стабилизи- рующее управление в виде обратной связи по состоянию. Для нахождения этого управления рассмотрим уравнение ошибки управления  ΛΛ RPRBE  , (27) RPRPRPRP UI  2T 4 * )(  . Определим Δ следующим образом: )()( 2121 RPRBRPRB KKEKEK   , где )(diag 11 ikK  , )(diag 22 ikK  , i=1, 2, … 4. При таком выборе Δ система (27) представляет собой разделенную систе- му из четырех интегрирующих звеньев второго порядка. Для i-го звена (i=1, 2, 3, 4) можно записать уравнение iiiii ekeke  21  , (28) а коэффициенты 1ik и 2ik найти по следующим формулам: 211 iii ssk  , )( 212 iii ssk  , где 1is и 2is — корни характеристического уравнения системы (28). При этом управление U согласно утверждению 2 будет иметь вид * 21  EKEKU  , а момент управления, действующий на КА, в соответствии с выражением (15) можно рассчитать по формуле .)()(2 RI B BR B RI B BI B BI BRBu JJUJAM   Пример. Для проверки полученных теоретических результатов проведено численное моделирование работы предложенного алгоритма. Моделировался пространственный разворот спутника в орбитальной системе координат (ОСК) на углы 70 , 30 , 20 . Начальные условия при построении ориентации следующие: 1)( 0  t , 5)( 0  t , 2)( 0  t , )001,0005,00,0(ω BI B . При моделировании на управляющий момент было наложено ограничение íì4,0im , где 3,2,1,, imi — координаты вектора управления uM . На рис. 3–5 изображены зависимости от времени углов ориентации, угловых скоростей и управляющих моментов. Как видно из приведенных графиков, параметры углово- го движения в конце переходного процесса соответствуют требуемому положе- нию КА в орбитальной системе координат. При этом время разворота равно 50,138 с, что совпадает с расчетным значением. Это подтверждает работоспособ- ность разработанных алгоритмов. 120 ISSN 0572-2691 У гл о ва я ск о р о ст ь, р ад /с 1 0 – 1 – 2 20 30 60 40 10 Wx Время, с 50 Wy Wz 2 3 70 Рис. 4 Заключение С использованием динамической модели углового движения КА в параметрах Ро- дрига–Гамильтона предложена методика синтеза алгоритмов пространственной пе- реориентации КА за минимальное время. Методика не накладывает никаких ограни- чений на класс угловых движений КА. Раз- ворот может осуществляться из произвольного текущего состояния в любое тре- буемое. Методика может быть полезной разработчикам систем ориентации КА. Приложение Рассмотрим уравнение X , .nRX  (П1) Уравнение (П1) эквивалентно n независимым уравнениям вида iix  , (П2) где ix — координаты вектора X . Так как на вектор T 21 )( n  наложено ограничение 0 , очевидно, что ограничены и координаты этого вектора i , т.е. 0i . (П3) В пространстве состояний уравнение (П2) можно записать следующим образом: , , 2 21 ii ii x xx     (П4) где ii xx 1 , ii xx 2 . Найдем управление ,i переводящее систему (П4) из теку- щего состояния в заданное за минимальное время. Для рассматриваемой задачи гамильтониан имеет вид iiiiiii xxxL  22121 1),,( , (П5) а координаты i1 и i2 сопряженного вектора i удовлетворяют следующим уравнениям: . ,0 12 1 ii i     (П6) 80 У гл ы о р и ен та ц и и К А в О С К , г р ад 60 40 20 0 – 20 – 40 20 30 60 40 10 fi psi tet Время, с 50 Рис. 3 – 0,3 0 – 0,1 – 0,4 20 30 60 40 10 Мx Время, с 50 Мy Мz 0,1 0,3 0 У п р ав л я ю щ и й м о м ен т, н м Рис. 5 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 3 121 Минимум гамильтониана (П5) относительно управления i обеспечивается при значении )(sign 20 tii  . (П7) Таким образом, оптимальное управление будет следующим:        .0)(, ,0)(, 20 20 t t i i i (П8) Решение системы (П6) имеет вид ),()( 011 tt ii  (П9) ))(()()( 001022 ttttt iii  , (П10) где )( 01 ti и )( 02 ti обозначены начальные условия для сопряженного вектора. При этом, как следует из выражения (П10), функция )(2 ti изменяет свой знак лишь один раз в момент времени )( )( 01 02 0 t t tt i i si    , который принято называть момен- том переключения управления. Если бы начальные условия )( 01 ti и )( 02 ti были известны, то задача отыскания оптимального управления была бы решена. Отыс- кание начальных условий для сопряженного вектора является основной трудно- стью в общей задаче отыскания управления, обеспечивающего перевод системы из начального состояния в требуемое за минимальное время. Одним из методов решения этой проблемы является метод обращения времени в уравнениях (П4) [16]. При этом интегрирование начинают с вектора конечного состояния и интегрируют в обратном направлении при постоянном управлении до момента переключения sit . Для решения поставленной задачи этим способом запишем систему (П4) в откло- нениях от требуемого состояния ),(sign ),( 1202 1221 iii iiii te txee     (П11) где )()()( 1111 iiii txtxte  , (П12) )()()( 1222 iiii txtxte  , (П13) причем .0)( ,0)( 12 11   ii ii te te (П14) В зависимости от знака )( 12 ii t , решение системы (П11) на отрезке времени ],[ 1 sii tt будет иметь следующий вид: при значении 0)( 12  ii t ),)(( 2 )( )( ),()( 112 2 10 1 102 iii i i ii tttx tt te ttte     (П15) 122 ISSN 0572-2691 при значении 0)( 12  ii t ).)(( 2 )( )( ),()( 112 2 10 1 102 iii i i ii tttx tt te ttte     (П16) На фазовой плоскости iiee 21 уравнения (П15), (П16) определяют линию пе- реключения, на которой происходит смена знака управления i . Эта линия удо- влетворяет уравнению 0])()( 2 1 [ 122210  iiiii txteee . (П17) При этом оптимальное управление, обеспечивающее переход вектора со- стояния интегратора второго порядка из произвольного состояния в момент вре- мени 0t в требуемое в момент времени it1 за минимальный промежуток времени 01min ttT ii  при ограничении (П3), будет иметь вид )(sign 00 ii D , (П18) где ])()( 2 1 [)( 1222100 iiiiii txteeetD  , (П19) причем )(sign)(sign 0012 tDt ii  . (П20) Найдем выражение для расчета момента времени it1 , когда система приходит в требуемое состояние. Интегрируя в обратном времени от момента времени it1 до момента sit и от момента sit до момента 0t , с учетом выражений (П18), (П20) из второго уравнения системы (П11) имеем        ,0)(),( ,0)(),( )( 0010 0010 2 tDtt tDtt te isi isi si (П21)        .0)(),()( .0)(),()( )( 00002 00002 02 tDttte tDttte te isisii isisii i (П22) Разрешив уравнения (П21), (П22) относительно момента времени it1 , получим                   .0)(, )()( 2 ,0)(, )()( 2 00 0 02 0 2 0 00 0 02 0 2 2 0 1 tD tete t tD tete t t i isii i isii i (П23) Для нахождения значения )(2 sii te рассмотрим первое уравнение системы (П11) и запишем его следующим образом: )( 122 2 1 2 2 1 1 txe de de e de de e iii i i i i i i   . (П24) Из соотношения (П24) следует, что ])([ 1 122 2 1 txe de de ii ii i    . (П25) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 3 123 Интегрируя уравнение (П25) на временных интервалах ],[ 1 sii tt и ],[ 0 sitt , по- лучим следующее: при интегрировании от момента времени it1 до момента времени sit                  ,0)(),()( 1 2 )(1 ,0)(),()( 1 2 )(1 )( 00212 0 2 2 0 00212 0 2 2 0 1 tDtetx te tDtetx te te isiiii sii isiiii sii sii (П26) при интегрировании от момента времени 0t до момента времени sit                     .0)()],()()[( 1 2 )()(1 )( ,0)()],()()[( 1 2 )()(1 )( )( 0002212 0 2 02 2 2 0 01 0002212 0 2 02 2 2 0 01 1 tDtetetx tete te tDtetetx tete te te iisiiii isii i iisiiii isii i sii (П27) Из уравнений (П26), (П27) получаем уравнение для определения значения )(2 sii te                                    .0)(),()( 1 2 )(1 )]()()[( 1 2 )()(1 )( ,0)(),()( 1 2 )(1 ])()([)( 1 2 )()(1 )( 00212 0 2 2 0 02212 0 2 02 2 2 0 01 00212 0 2 2 0 02212 0 2 02 2 2 0 01 tDtetx te tetetx tete te tDtetx te tetetx tete te isiiii sii isiiii isii i isiiii sii isiiii isii i (П28) Разрешив уравнение (П28) относительно переменной ),(2 sii te получим           .0)(,)()()()()( 2 1 )( ,0)(,)()()()()( 2 1 )( )( 00010 2 120212 2 0212 00010 2 120212 2 0212 2 tDtetxtetxtetx tDtetxtetxtetx te iiiiiiiiii iiiiiiiiii sii (П29) С учетом выражения (П29) формулу (П23) для расчета момента времени it1 можно записать следующим образом:                                                         .0)(, )( )()()()()( 2 1 )(2 ,0)(, )( )()()()()( 2 1 )(2 00 0 02 2 0 2 12 0 01 2 0 0212 2 0 2 02 120 00 0 02 2 0 2 12 0 01 2 0 0212 2 0 2 02 120 1 tD te txtetetxte txt tD te txtetetxte txt t i i iiiiiii ii i i iiiiiii ii i (П30) Формула (П30) справедлива только в том случае, когда на моменты времени it1 не наложено никаких ограничений. В нашем случае для перевода точки )(tX из произвольного состояния )( 0tX , )( 0tX в заданное )( 1tX , )( 1tX на времена it1 должно быть наложено ограничение 11 tt i  . (П31) 124 ISSN 0572-2691 Условие (П31) эквивалентно условию .0)( ,0)( 12 11   te te i i (П32) Так как начальные условия для уравнений (П11) в общем случае различны, вре- мена it1 также будут различны. Согласно формуле (П30) времена it1 обратно пропорциональны ограничению 0 . Выбирая параметр 0 индивидуально для каждой системы (П11), можно изменять времена it1 и таким образом выполнять условия (П31). Обозначим ограничение на управление i как i0 . Для нахожде- ния i0 поступим следующим образом. Найдем времена it1 при ограничении 0 и выберем из последовательности времен it1 максимальное время. Очевидно, что этот момент времени будет определять минимальное время, когда система (П1) придет в требуемое состояние. Ограничения i0 найдем из выполнения условия min1 Tt i  , (П33) где .)max( 1min itT  (П34) В этом случае уравнение для нахождения ограничений i0 будет иметь вид                                                              ,0)(, )( )()()()()( 2 1 )(2 ,0)(, )( )()()()()( 2 1 )(2 0 0 02 2 0 2 12 0 01 2 0 0212 2 0 2 12 120 0 0 02 2 0 2 12 0 01 2 0 0212 2 0 2 02 120 min tD te txtetetxte txt tD te txtetetxte txt T i i i i ii i i i iii i ii ii i i i i ii i i i iii i i ii (П35) ])()( 2 1 [)( 122210 iiiiiii txteeetD  . (36) С помощью несложных преобразований уравнение (П36) можно записать следу- ющим образом:                                         .0)(,0 )( )( )( )(2)(2)( 2 ,0)(,0 )( )( )( )(2)(2)( 2 02 0min 2 02 02 0min 01 0min 12022 0 02 0min 2 02 02 0min 01 0min 12022 0 tD tT te tT te tT txte tD tT te tT te tT txte i i i iiii i i i i iiii i (П37) Дискриминант квадратного уравнения (П37) больше нуля. В этом случае корни квадратного уравнения всегда действительны. Обозначим корни уравнения (П37) при значении 0)( 0 tDi как  2,1i s , а при значении 0)( 0 tDi — как  2,1i s . Тогда для них, в зависимости от значения )( 00 tD i , можно записать выражения Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 3 125 ,0)(, )( )( )( )(2)(2)( )( )(2)(2)( 02 0min 2 02 2 2 0min 01 0min 1202 2 0min 01 0min 1202 ,1                               tD tT te tT te tT txte tT te tT txte s i iiiii iiii i (П38) ,0)(, )( )( )( )(2)(2)( )( )(2)(2)( 02 0min 2 02 2 2 0min 01 0min 1202 2 0min 01 0min 1202 ,2                               tD tT te tT te tT txte tT te tT txte s i iiiii iiii i (П39) ,0)(, )( )( )( )(2)(2)( )( )(2)(2)( 02 0min 2 02 2 2 0min 0 0min 1202 2 0min 0 0min 1202 ,1                               tD tT te tT te tT txte tT te tT txte s i iiiii iiii i (П40) .0)(, )( )( )( )(2)(2)( )( )(2)(2)( 02 0min 2 02 2 2 0min 0 0min 1202 2 0min 0 0min 1202 ,2                               tD tT te tT te tT txte tT te tT txte s i iiiii iiii i (П41) При этом ., ,0,0 ,0,0 1,22,1 21 ,2,1       iiii ii ii ssss ss ss (П42) Так как i0 — величина положительная, то она определяется положитель- ным корнем уравнения (П37). Тогда из соотношений (П42) следует, что           .0)(, ,0)(, 0 0 0 2 1 tDs tDs ii ii i (П43) Таким образом, требуемое значение ограничения i0 можно определить как корень уравнения 0 )( )( )( )(2)(2)( 2 2 0min 2 02 02 0min 01 0min 12022 0                 tT te tT te tT txte i i iii i . (П44) 126 ISSN 0572-2691 В зависимости от знака функции переключения )( 0tDi это будет или поло- жительный корень ( 0)( 0 tDi ), или модуль отрицательного корня ( 0)( 0 tDi ). Так как уравнение линии переключения iD согласно (П36) зависит от ограничения i0 , а i0 неизвестно, непосредственно воспользоваться уравнением (П43) невоз- можно. Для нахождения i0 поступим следующим образом. Найдем возможное время прихода вектора состояния системы (П11) в начало координат при значе- нии  1 0 ii s . Если найденное время совпадает со временем ,minT то значение  1 0 ii s и будет искомым ограничением. В противном случае в качестве ограни- чения следует выбрать значение \|\| 2 0  ii s . Таким образом, алгоритм нахожде- ния ограничения i0 имеет следующий вид: , )()()()()()( 2 1 )(2 1 1 1 11 02 2 2 1201 2 0212 2 2 02 120              i i i ii i i i iii i i ii s te s tx s te s tetx s te txtT (П45)           .0, ,0, min min 0 2 1 TTs TTs i i i (П46) Утверждение доказано. М.В. Єфименко СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ЗА ЧАСОМ ПРОСТОРОВОГО РОЗВОРОТУ КОСМІЧНОГО АПАРАТА З ВИКОРИСТАННЯМ ДИНАМІЧНОГО РІВНЯННЯ ОБЕРТАЛЬНОГО РУХУ ТВЕРДОГО ТІЛА В ПАРАМЕТРАХ РОДРІГА–ГАМІЛЬТОНА Запропоновано алгоритм просторової переорієнтації КА за мінімальний час. На відміну від відомих рішень, пропонований підхід не накладає ніяких обмежень на характер руху КА. Наведено результати чисельного моделювання роботи пропонованого алгоритму. N.V. Yefymenko SYNTHESIS OF TIME-OPTIMAL THREE-DIMENSIONAL ROTATION OF SPACECRAFT USING ROTATIONAL MOTION OF EQUATION OF RIGID BODY AT RODRIGUES–HAMILTON PARAMETERS Algorithm of three-dimension reorientation of spacecraft at minimum time is pro- posed. Unlike known solutions, the proposed approach does not impose any re- strictions on the character spacecraft motion. results of computational modeling of the proposed algorithm are presented. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 3 127 1. Левский М.В. Синтез оптимального управления терминальной ориентацией космического аппарата с использованием метода кватернионов // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 2009. — № 2. — С. 7–24. 2. Левский М.В. Задача оптимального по быстродействию управления переориентацией косми- ческого аппарата // Прикладная математика и механика. — 2009. — 73, вып. 1. — С. 23–38. 3. Левский М.В. Управление переориентацией космического аппарата с минимальным инте- гралом энергии // Автоматика и телемеханика. — 2010. — № 12. — С. 25–42. 4. Левский М.В. Некоторые вопросы оптимального по времени управления программным разво- ротом космического аппарата // Космические исследования. — 2011. — 49, № 6. — С. 538–550. 5. Dwyer T.A.W. III. Exact nonlinear control of spacecraft slewing maneuvers with internal momentum transfer // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. — 1986. — 9, N 2. — P. 240–247. 6. Ефименко Н.В. Управление угловой переориентацией космического аппарата посредством маховиков // Проблемы управления и информатики. — 2008. — №5. — С. 121–128. 7. Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Решение задачи оптимального разворота сферически сим- метричного космического аппарата с ограниченным и импульсным управлением при про- извольных граничных условиях // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2004. — № 2. — С. 165–176. 8. Ермошина О.В., Крищенко А.П. Синтез программных управлений ориентацией космического аппарата методом обратных задач динамики // Там же. — 2000. — №2. — С.155–162. 9. Велищанский М.А., Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Квазиоптимальная переориентация косми- ческого аппарата // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 2002. — Вып. 32. — C. 144–153. 10. Велищанский М.А., Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Синтез алгоритмов переориентации косми- ческого аппарата на основе концепции обратной задачи динамики // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2003. — № 5. — C. 156–163. 11. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: линейные модели. — М. : Наука, 1987. — 304c. 12. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: нелинейные модели. — М. : Наука, 1988. — 328c. 13. Челноков Ю.Н. Управление ориентацией космического аппарата, использующее кватерни- оны // Космические исследования. — 1994. — 32, № 3. — C. 21–32. 14. Кириченко Н.Ф., Матвиенко В.Т. Алгоритмы асимптотической, терминальной и адаптив- ной стабилизации вращательных движений твердого тела // Проблемы управления и ин- форматики. — 2003. — № 1. — C 5–15. 15. Ефименко Н.В. Синтез алгоритмов управления пространственной переориентацией кос- мического аппарата с использованием динамических уравнений вращательного движения твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2015. — № 3. — С. 102115. 16. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С.III.Оптимальное управление системами. — М. : Радио и связь, 1982. — 392 с. 17. Кошляков В.Н. Задачи динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов. — М. : Наука, 1985. — 286 с. Получено 11.07.2016 После доработки 01.02.2017 http://irbis.kraslib.ru/cgi-bin/irbis64r/irbis64r_91/cgiirbis_64.exe?LNG=&Z21ID=&I21DBN=PERIOD_PRINT&P21DBN=PERIOD&S21STN=1&S21REF=&S21FMT=fullw_print&C21COM=S&S21CNR=&S21P01=0&S21P02=1&S21P03=A=&S21STR=%D0%9B%D0%B5%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9,%20%D0%9C.%20%D0%92. javascript:%20st('I=И701384/2009/2') javascript:%20st('I=И701384/2009/2') http://irbis.kraslib.ru/cgi-bin/irbis64r/irbis64r_91/cgiirbis_64.exe?LNG=&Z21ID=&I21DBN=PERIOD_PRINT&P21DBN=PERIOD&S21STN=1&S21REF=&S21FMT=fullw_print&C21COM=S&S21CNR=&S21P01=0&S21P02=1&S21P03=A=&S21STR=%D0%9B%D0%B5%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9,%20%D0%9C.%20%D0%92. javascript:%20st('I=П043066/2009/73/1') http://irbis.kraslib.ru/cgi-bin/irbis64r/irbis64r_91/cgiirbis_64.exe?LNG=&Z21ID=&I21DBN=PERIOD_PRINT&P21DBN=PERIOD&S21STN=1&S21REF=&S21FMT=fullw_print&C21COM=S&S21CNR=&S21P01=0&S21P02=1&S21P03=A=&S21STR=%D0%9B%D0%B5%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9,%20%D0%9C.%20%D0%92. javascript:%20st('I=К271505/2011/49/6')

Institution

Ähnliche Einträge