Оптимальное управление колебаниями подвешенной нити
Розглянуто лінійно-квадратичну задачу оптимального керування процесом коливань підвішеної нитки. Для даної задачі отримано необхідні умови оптимальності та доведено єдиність оптимального керування. Аналіз цих умов дав можливість вивести систему інтегро-диференціальних рівнянь Ріккаті, розв’язок якої...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2017 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208545 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оптимальное управление колебаниями подвешенной нити / М.М. Копец // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 4. — С. 56-67. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859603273019817984 |
|---|---|
| author | Копец М.М. |
| author_facet | Копец М.М. |
| citation_txt | Оптимальное управление колебаниями подвешенной нити / М.М. Копец // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 4. — С. 56-67. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглянуто лінійно-квадратичну задачу оптимального керування процесом коливань підвішеної нитки. Для даної задачі отримано необхідні умови оптимальності та доведено єдиність оптимального керування. Аналіз цих умов дав можливість вивести систему інтегро-диференціальних рівнянь Ріккаті, розв’язок якої подано в замкненій формі.
The paper is devoted to the linear-quadratic optimal control problem by the process of the vibrations of a suspended thread. For a considered optimization problem the necessary conditions of optimality are obtained and the uniqueness of the optimal control is proved. The analysis of these conditions enabled one to deduce the system of Riccati integro-differential equations which solution is presented in closed form.
|
| first_indexed | 2025-11-28T01:41:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
© М.М. КОПЕЦ , 2017
56 ISSN 0572-2691
КОНФЛИКТНО-УПРАВЛЯЕМЫЕ ПРОЦЕССЫ
И МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
УДК 517.977.56
М.М. Копец
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
КОЛЕБАНИЯМИ ПОДВЕШЕННОЙ НИТИ
Введение
Колебанием считается движение, которое повторяется полностью или частично с
течением времени. Колебания составляют значительную часть всех движений, кото-
рые существуют в природе. Несмотря на их многообразие (акустические, механиче-
ские, электрические), для их описания используется почти одинаковая математическая
модель. Существуют так называемые физические аналогии. Исторически сложилась
такая ситуация, что наиболее полно исследованы механические колебания. Основным
инструментом для изучения механических колебаний упругих систем служат диффе-
ренциальные уравнения с частными производными гиперболического типа. Суще-
ственный вклад в становление теории колебаний внесли известные математики Ж.Л.
Даламбер, Л. Эйлер, Ж. Лагранж, Б. Тейлор, Ж.Б. Фурье. В последущем эта теория по-
лучила широкое развитие в трудах А.А. Андронова [1], А.Н. Крылова [2], Стрэтта (ло-
рда Рэлея) Дж. В.[3], С.П. Тимошенко [4] и др. Более подробные библиографические
данные по теории колебаний можно найти в [5, 6]. Бурное развитие теории колебаний
в свою очередь способствовало становлению теории оптимального управления этими
процессами [7–12]. Исследованию оптимизации процесса колебаний подвешенной ни-
ти посвящена настоящая статья. Для рассматриваемой задачи автор получил необхо-
димые условия оптимальности, доказал единственность оптимального управления,
также предложил вывод системы интегро-дифференциальных уравнений Риккати с
частными производными. Получена аналитическая формула для вычисления опти-
мального управления.
Постановка задачи
В области ]},,0[],,[:),{( 10 lxtttxt рассматривается дифференциаль-
ное уравнение с частными производными второго порядка
),,(
),(),( 2
2
2
xtu
x
xtz
x
x
a
t
xtz
(1)
где ga 2 — ускорение силы тяжести, действительные числа ,0l ,00 t 01 tt
известны. Уравнение (1) описывает процесс вынужденных колебаний подвешен-
ной нити [13, с. 180]. Для уравнения (1) заданы начальные условия
),(),( 0 xfxtz ),(
),( 0 xg
t
xtz
(2)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 4 57
где известные функции )(xf и )(xg подчинены соответственно ограничениям
),0()(
0,1
2
lWxf и ).,0()( 2 lLxg Поскольку верхний конец нити закреплен, то крае-
вое условие для уравнения (1) имеет вид
.0),( ltz (3)
Допустимое управление ),( xtu — любая функция ),,( xtu удовлетворяющая
ограничению ).(),( 2 Lxtu Если выбрано конкретное допустимое управле-
ние ),,( xtu то решением ),( xtz задачи (1)–(3) называем ее обобщенное решение
).(),(
0,1
2
Wxtz Качество процесса колебаний оценивается функционалом
.)],(),([
2
1),(
2
1
),(
2
1
),(
1
0 0
22
0
2
1
0
1
2 dxxtuxtzdx
t
xtz
dxxtzzuI
t
t
lll
(4)
Требуется найти допустимое управление )(),( 2 Lxtu и соответствующее
ему решение )(),(
0,1
2
Wxtz задачи (1)–(3), на которых функционал (4) прини-
мает наименьшее возможное значение. В этом состоит сущность задачи опти-
мального управления (1)–(4).
Необходимые условия оптимальности
Учитывая вид функционала (4), рассмотрим следующий вспомогательный
функционал:
dx
t
xtz
dxxtzzupJ
ll
0
2
1
0
1
2 ),(
2
1
),(
2
1
),,(
dxxtuxtz
t
t
l1
0 0
22 )],(),([
2
1
.
),(
),(
),(
),(
2
2
0
2
1
0
dxdt
t
xtz
xtu
x
xtz
x
x
axtp
t
t
l
(5)
Здесь )(),(
0,1
2
Wxtp — неизвестная функция (множитель Лагранжа). Такой прием
позволяет вместо задачи на условный экстремум (1)–(4) исследовать эквивалентную
задачу минимизации функционала (5) с учетом условий (2) и (3). Чтобы найти реше-
ние последней задачи, необходимо получить выражение J для приращения функ-
ционала (5). Оно равно
),,(),,( zupJzzuuppJJ
или в развернутом виде
dx
t
ztz
t
ztz
dxxtzxtzJ
ll
0
11
0
11
),(),(
),(),(
dxdtxtuxtuxtzxtz
t
t
l
]),(),(),(),([
1
0 0
dxdt
t
xtz
xtu
x
xtz
x
x
axtp
t
t
l
2
2
0
2 ),(
),(
),(
),(
1
0
58 ISSN 0572-2691
dxdt
t
xtz
xtu
x
xtz
x
x
axtp
t
t
l
2
2
0
2 ),(
),(
),(
),(
1
0
dxdt
t
xtz
xtu
x
xtz
x
x
axtp
t
t
l
2
2
0
22 ),(
),(
),(
),(
1
0
dx
t
xtz
dxxtz
ll
0
2
1
2
0
2
1
2 ),(
2
)],([
2
.])],([)],([[
2
1
0 0
22
2
dxdtxtuxtz
t
t
l
(6)
Дальше следует преобразовать соотношение (6). Не вызывет сомнений равенство
.0
),(
),(
),(
2
2
2
t
xtz
xtu
x
xtz
x
x
a (7)
Используя интегрирование по частям, получаем
dx
t
xtz
xtpdx
t
xtz
xtpdxdt
t
xtz
xtp
llt
t
l
0
0
0
0
1
1
0
2
2 ),(
),(
),(
),(
),(
),(
1
0
dxdt
t
xtz
t
xtp
dx
t
xtz
xtpdxdt
t
xtz
t
xtp
t
t
llt
t
l 1
0
1
0 00
1
1
0
),(),(),(
),(
),(),(
dxxtz
t
xtp
dxxtz
t
xtp
dx
t
xtz
xtp
lll
0
0
0
0
1
1
0
1
1 ),(
),(
),(
),(),(
),(
dx
t
xtz
xtpdxdtxtz
t
xtp
lt
t
l
0
1
1
0
2
2 ),(
),(),(
),(1
0
.),(
),(
),(
),( 1
0 0
2
2
0
1 dxdtxtz
t
xtp
dxxtz
t
xtp
t
t
ll
(8)
Поскольку
,
),(),(
),(
),(
),(
1
0
1
0 0
2
2
2
0
2 dxdt
x
xtz
x
x
xtz
axtpdxdt
x
xtz
x
x
axtp
t
t
lt
t
l
(9)
то, предполагая выполнение краевого условия
,0),( ltp (10)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 4 59
последовательно находим
dttzatpdtltzaltpdxdt
x
xtz
axtp
t
t
t
t
t
t
l 1
0
1
0
1
0
)0,()0,(),(),(
),(
),( 22
0
2
,),(
),(
)0,()0,(),(
),( 1
0
1
0
1
0 0
22
0
2 dxdtxtza
x
xtp
dttzatpdxdtxtza
x
xtp
t
t
lt
t
t
t
l
(11)
dt
x
tz
atpdt
x
ltz
xaltpdxdt
x
xtz
xaxtp
t
t
t
t
t
t
l 1
0
1
0
1
0
)0,(
0)0,(
),(
),(
),(
),( 22
0
2
2
2
dxdt
x
xtz
a
x
xtp
xxtpdxdt
x
xtz
axtxp
x
t
t
lt
t
l 1
0
1
0 0
2
0
2 ),(),(
),(
),(
)),((
dttza
x
tp
tpdtltza
x
ltp
lltp
t
t
t
t
1
0
1
0
)0,(
)0,(
0)0,(),(
),(
),( 22
dttzatpdxdtxtza
x
xtp
x
x
xtp
t
t
t
t
l 1
0
1
0
)0,()0,(),(
),(),(
2 2
0
2
2
2
,),(
),(),(
2
1
0 0
2
2
2
dxdtxtza
x
xtp
x
x
xtp
t
t
l
(12)
так как .0),( ltz С учетом равенств (9)–(12) окончательно имеем
.),(
),(),(
),(
1
0
1
0 0
2
0
2 dxdtxtz
x
xtp
x
x
adxdt
x
xtz
x
x
axtp
t
t
lt
t
l
(13)
Затем, используя равенства (7), (8) и (13), соотношение (6) перепишем следую-
щим образом:
dxxtz
t
ztp
xtzJ
l
0
1
1
1 ),(
),(
),(
dx
t
ztz
xtp
t
ztz
l
0
1
1
1 ),(
),(
),(
dxdtxtz
t
xtp
xtz
x
xtp
x
x
a
t
t
l
),(
),(
),(
),(
2
2
0
2
1
0
dxdtxtuxtpxtu
t
t
l1
0 0
),()],(),([
60 ISSN 0572-2691
dxdt
t
xtz
xtu
x
xtz
x
x
axtp
t
t
l
2
2
0
2 ),(
),(
),(
),(
1
0
.])],([)],([[
2
),(
2
)],([
2
1
0 0
22
2
0
2
1
2
0
2
1
2
dxdtxtuxtzdx
t
xtz
dxxtz
t
t
lll
(14)
На основании выражения (14) приходим к такому выводу.
Теорема 1. Единственное оптимальное управление ),( xtu можно найти из
системы соотношений
).,(),(,0),(
),,(
),(
,
),(
),(
),,(
),(),(
,0),(),(
),(
),(),(
),,(
),(),(
1
11
1
2
2
2
0
0
2
2
2
xtpxtultp
xtz
t
xtp
t
xtz
xtp
xtz
x
xtp
x
x
a
t
xtp
ltzxg
t
xtz
xfxtz
xtu
x
xtz
x
x
a
t
xtz
(15)
Доказательство. В случае выполнения системы соотношений (15) равна ну-
лю первая вариация функционала (5), что является необходимым условием экс-
тремума этого функционала. Если имеют место соотношения (15), то выражение
(14) будет иметь вид
dx
t
xtz
dxxtzJ
ll
0
2
1
2
0
2
1
2 ),(
2
)],([
2
.])],([)],([[
2
1
0 0
22
2
dxdtxtuxtz
t
t
l
(16)
Из соотношения (16) следует, что: во-первых, на управлении ),( xtu реализу-
ется минимум функционала (4); во-вторых, оптимальное управление ),( xtu един-
ственно, что и завершает доказательство теоремы 1.
Вывод системы интегро-дифференциальных уравнений Риккати
Для вывода первого уравнения из системы интегро-дифференциальных урав-
нений Риккати и условий трансверсальности требуется использование дельта-
функции Дирака. Поэтому те равенства, в которых встречается дельта-функция
Дирака, подразумеваются как равенства в смысле теории обобщенных функций.
Следуя идее, предложенной в [14], рассмотрим формулы
,
),(
),,(),(),,(
),(
0
12
0
11 dy
t
ztp
yxtPdyytzyxtP
t
ztp
ll
(17)
,
),(
),,(),(),,(),(
0
22
0
21
ll
dy
t
ytz
yxtPdyytzyxtPxtp (18)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 4 61
в которых функции ,2,1;2,1),,,( jiyxtPij неизвестны. Предполагая выполне-
ние краевых условий
,0),,(12 lxtR ,0),,(22 lxtR (19)
и выполняя преобразования, подобные использованным при выводе форму-
лы (13), получаем такую систему интегро-дифференциальных уравнений Риккати:
l
l
l
l
dsystPsxtP
yxtPyxtP
t
yxtP
dsystsPxtPyxtP
y
yxtP
y
y
a
t
yxtP
dsystPsxtPyxtP
x
yxtP
x
x
a
t
yxtP
yxdsystRsxtP
x
yxtP
x
xy
yxtP
y
y
a
t
yxtP
0
2222
2112
22
0
212211
22221
0
221211
22212
0
2112
2112211
.0),,(),,(
),,(),,(
),,(
,0),,(,,(),,(
),,(),,(
,0),,(),,(),,(
),,(),,(
,0)(),,(),,(
),,(),,(),,(
(20)
Здесь символ )(x — дельта-функция Дирака.
Сопоставление формул (17), (18)
и равенств
),,(
),(
1
1 xtz
t
xtp
t
xtz
xtp
),(
),( 1
1
приводит к следующим условиям трансверсальности:
).()0,,(,0)0,,(
,0)0,,(),()0,,(
122121
112111
yxxtPxtP
xtPyxxtP
(21)
Вышеприведенные рассуждения позволяют сформулировать такое утверждение.
Теорема 2. Функции ),,,(11 yxtP ),,,(12 yxtP ),,,(21 yxtP ),,(22 yxtP удо-
влетворяют системе интегро-дифференциальных уравнений (20), условиям транс-
версальности (21) и краевым условиям (19).
Некоторые свойства функции Бесселя первого рода нулевого порядка
Для дальнейшего исследования системы интегро-дифференциальных уравне-
ний (20) потребуется несколько нетривиальных свойств функции Бесселя первого
рода нулевого порядка. Пусть и — произвольные действительные положи-
тельные числа. Рассмотрим функцию Бесселя первого рода нулевого порядка
.0
l
x
J Легко проверяется соотношение
62 ISSN 0572-2691
.
4
0
20
l
x
J
ldx
l
x
dJ
x
dx
d
(22)
Если , то с помощью вычисления находим
.
))()()()((2
22
1010
0
00
JJJJl
dx
l
x
J
l
x
J
l
(23)
Переходя к пределу при в обеих частях равенства (23), получаем
22
1010
0
2
0
))()()()((2
lim
JJJJl
dx
l
x
J
l
)].()([)(
)(2
)()( 2
1
2
02
1
0
2
1
JJlJ
J
JJl (24)
Теперь рассмотрим уравнение
.0)(0 J (25)
На рисунке показан график функции ).(0 Jy
– 20 – 15 – 10 – 5 0 5 10 15 20
0
0,5
1
– 0,5
Из графика видно, что корни уравнения (25) действительные и различные. Если
— корень уравнения (25), то также является корнем уравнения (25). Пусть
n и n — различные корни уравнения (25). Тогда соотношение (23) примет вид
.0
0
00
l
nn dx
l
x
J
l
x
J (26)
Аналогично вместо соотношения (24) получим равенство
).(2
1
0
2
0 n
l
n lJdx
l
x
J
(27)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 4 63
Теперь любую функцию ),0()(
0,1
2
lWxf можно представить в виде ряда Фуръе–
Бесселя
,)(
1
0
n
nn
l
x
Jfxf
где коэффициенты nf равны
.)(
)(
1
0
02
1
l
n
n
n dy
l
y
Jyf
lJ
f
На основании двух последних соотношений имеем
.)(
)(
1
)(
0
00
1
2
1
l
nn
n n
dyyf
l
y
J
l
x
J
lJ
xf (28)
Полагая в этом равенстве ,1)( xf находим
.
)(
1
1
0
00
1
2
1
l
nn
n n
dy
l
y
J
l
x
J
lJ
(29)
С другой стороны, для дельта-функции Дирака )(x справедлива формула
,1)(
0
dyyx
l
поэтому из соотношения (29) непосредственно следует равенство
.
)(
1
)( 00
1
2
1
l
y
J
l
x
J
lJ
yx nn
n n
(30)
Основной результат
Учитывая формулу (30), ищем функции ),,( yxtPij в таком виде:
.
)(
)(
),,( 00
1
2
1
l
y
J
l
x
J
lJ
tp
yxtP nn
n n
nij
ij (31)
Тогда из равенства (22) следуют соотношения
y
yxtP
y
yx
yxtP
x
x
ijij ),,(),,(
.
)(
)(
4
00
1
2
1
2
l
y
J
l
x
J
lJ
tp
l
nn
n n
nijn
(32)
Из формулы (31) также получим
,
)(
1)(),,(
00
1
2
1
l
y
J
l
x
J
lJdt
tdp
t
yxtP
nn
n n
nijij
(33)
64 ISSN 0572-2691
,
)(
)()(
),,(),,(
0
00
1
2
1
l
nn
n n
nkmnij
kmij
l
y
J
l
x
J
lJ
tptp
dsystPsxtP (34)
поскольку имеют место соотношения (26) и (27). Равенства (30)–(34) позволяют
из системы интегро-дифференциальных уравнений (20) получить следующую си-
стему обыкновенных дифференциальных уравнений:
.0)()()(
)(
0)()()()(
2
)(
,0)()()()(
2
)(
,01)()()]()([
2
)(
2
222112
22
21221122
2
21
21121122
2
12
21122112
2
11
tptptp
dt
tdp
tptptptp
l
a
dt
tdp
tptptptp
l
a
dt
tdp
tptptptp
l
a
dt
tdp
nnn
n
nnnn
nn
nnnn
nn
nnnn
nn
(35)
Условия трансверсальности при этом будут выглядеть так:
,1)()( 122111 tptp nn .0)()( 121112 tptp nn (36)
Затем рассмотрим следующие четыре матрицы второго порядка:
,
0
2
10
A
2
l
a nn ,
01
2
0A
2
T
l
a n
n ,
10
00
F
.
00
01
Q
(37)
Тогда систему дифференциальных уравнений (35) можно записать как одно
матричное дифференциальное уравнение
,0Q)(FP)(P)(PAA)(P
)(P T tttt
td
td
nnnnnn
n (38)
где матрицы )(tnP и 0 соответственно имеют вид
,
)()(
)()(
)(P
2221
1211
tptp
tptp
t
nn
nn
n .
00
00
0
Условие трансверсальности (36) для уравнения (38) будут представлены следую-
щим образом:
.
10
01
)(P 1
tn (39)
Решение задачи (38)–(39) будем строить с помощью блочной матрицы ,Hn кото-
рая имеет вид
,
AQ
FA
H
T
n
n
n
или в развернутом виде
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 4 65
.
0100
2
001
100
2
0010
H 2
2
l
a
l
a
n
n
n (40)
Матрица (40) имеет такие собственные числа:
,1 nnn i ,2 nnn i ,3 nnn i ,4 nnn i
где 12 i и
,
2
2
1
2
24
l
a
l
a nn
n .
2
2
1
2
24
l
a
l
a nn
n
В [14] доказано следующее утверждение.
Теорема 3. Матрица )exp( tnH имеет вид
,
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)(S)Hexp(
44434241
34333231
24232221
1431211
tstststs
tstststs
tstststs
tstststs
tt
nnnn
nnnn
nnnkn
nnknn
nn
где
.)cos()cosh()(),sin()cosh()cos()sinh()(
),cos()sinh()sin()cosh()(),sin()sinh()(
,
)sin()cosh()cos()sinh(
)(),cos()cosh()(
),sin()sinh()(,
)cos()sinh()sin()cosh(
)(
,
)cos()sinh()sin()cosh(
)(),sin()sinh()(
),cos()cosh()(,
)sin()cosh()cos()sinh(
)(
),sin()sinh()(),cos()sinh()sin()cosh()(
),sin()cosh()cos()sinh()(),cos()cosh()(
4434
2414
224333
232213
224232
222212
4131
2111
tttsttttts
tttttsttts
tttt
tsttts
ttts
tttt
ts
tttt
tsttts
ttts
tttt
ts
tttsttttts
tttttsttts
nnnnnnnnnn
nnnnnnnnnn
nn
nnnnnn
nnnn
nnn
nn
nnnnnn
n
nn
nnnnnn
nnnn
nnn
nn
nnnnnn
n
nnnnnnnnnn
nnnnnnnnnn
(41)
В [15, с. 311] для вычисления матрицы )(P tn получена формула
)],(F)(F[)](F)(F[)(P 121111
1
112122 ttttttttt nnnnn (42)
где использованы обозначения
66 ISSN 0572-2691
,
)()(
)()(
)(F
2221
1211
11
tsts
tsts
t
nn
nn
n ,
)()(
)()(
)(F
2423
1413
12
tsts
tsts
t
nn
nn
n
,
)()(
)()(
)(F
4241
3231
21
tsts
tsts
t
nn
nn
n .
)()(
)()(
)(F
4443
3433
22
tsts
tsts
t
nn
nn
n
В данном случае для вычисления элементов матрицы (42) имеем следующие фор-
мулы:
,
)(
)(
)(
1
111
11
tt
ttq
tp
n
n
n
,
)(
)(
)()(
1
112
2112
tt
ttq
tptp
n
n
nn
,
)(
)(
)(
1
122
22
tt
ttq
tp
n
n
n
(43)
где использованы обозначения
)2cos()1)[(()( 2222
11 ttq nnnnnn
),2(sin2)2sin(2)]2(cos)1( 22 thtth nnnnnnn
)]2cos()2([cos2)(12 tthtq nnnnn
)2(sin)1()2sin()1( 2222 tht nnnnnnnn
)2(cos)1()2cos()1()( 2222
22 thttq nnnnnnn
),2(sin2)2sin(2 tht nnnn
)2cos(2)2(cos2)( 22 ttht nnnnn
).2sin()1()2(sin)1( 2222 tth nnnnnnnn
Теорема 4. Элементы матрицы (42) можно найти по формулам (43). Для вы-
числения оптимального управления имеем выражение
,
)(
)()()()( 2221
dt
tdz
tptztptu n
nnnn
где функция )(tzn — решение задачи Коши
,0)()(
2
)(
)(
)(
21
2
222
2
tztp
l
a
dt
tdz
tp
dt
tzd
nn
nn
n
n ,)( 0 nn ftz ,
)( 0
n
n g
dt
tdz
,)(
)(
1
0
02
1
l
n
n
n dx
l
x
Jxf
lJ
f .)(
)(
1
0
02
1
l
n
n
n dx
l
x
Jxg
lJ
g
Заключение
В настоящей статье исследуется линейно-квадратическая задача оптимально-
го
управления процессом колебаний подвешенной нити. Поскольку такая задача
рассматривается впервые, то актуальность данного исследования более чем оче-
видна. Для нахождения решения сформулированной в статье задачи использован
метод множителей Лагранжа,
с помощью которого получены необходимые
условия оптимальности и доказана единственность оптимального
управления.
Также предложен вывод системы
интегро-дифференциальных уравнений Рик-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 4 67
кати. С привлечением определенных свойств функции Бесселя первого рода нуле-
вого порядка решение этой системы имеет аналитический вид. В свою очередь, та-
кой прием позволил получить явную формулу для вычисления оптимального
управления. Заслуживает внимания более детальное исследование функций (43).
Также интересно рассмотреть аналогичную задачу с учетом случайных параметров.
М.М. Копець
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ
КОЛИВАННЯМИ ПІДВІШЕНОЇ НИТКИ
Розглянуто лінійно-квадратичну задачу оптимального керування процесом ко-
ливань підвішеної нитки. Для даної задачі отримано необхідні умови оптима-
льності та доведено єдиність оптимального керування. Аналіз цих умов дав
можливість вивести систему інтегро-диференціальних рівнянь Ріккаті,
розв’язок якої подано в замкненій формі.
М.М. Kopets
OPTIMAL CONTROL OF THE VIBRATIONS
OF A SUSPENDED THREAD
The paper is devoted to the linear-quadratic optimal control problem by the process
of the vibrations of a suspended thread. For a considered optimization problem the
necessary conditions of optimality are obtained and the uniqueness of the optimal
control is proved. The analysis of these conditions enabled one to deduce the system
of Riccati integro-differential equations which solution is presented in closed form.
1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — М. : Физматгиз, 1959. —
916 с.
2. Крылов А.Н. Собрание трудов. Т. 3. Математика, ч. 2. — М. : Изд. АН СССР, 1949. — 481 с.
3. Стрэтт (лорд Рэлей) Дж.В. Теория звука. Т. 1. — М. : Гостехиздат, 1940. — 499 с.
4. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. — М. : Машиностроение, 1985. — 472 с.
5. Селезов И.Т., Кривонос Ю.Г. Волновые гидравлические модели распространения возмуще-
ний. — Киев : Наук. думка, 2015. — 172 с.
6. Яблонский А.А., Норейко С.С. Курс теории колебаний. — СПб. : Изд-во «Лань», 2003. —
256 с.
7. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. — М. :
Наука, 1975. — 568 с.
8. Знаменская Л.Н. Управление упругими колебаниями. — М. : Физматлит, 2004. — 176 с.
9. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих
систем. — М. : Мир, 1975. — 160 с.
10. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. — М. : Наука,
1975. — 478 с.
11. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация системам с распределенными параметрами. — М. : Наука,
1977. — 498 с.
12. Черноусько Ф.Л. Ограниченные управления в системах с распределенными параметрами //
Прикладная математика и механика. — 1992. — 56, № 5. — C. 810–826
13. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математи-
ческой физики. — М. : Высшая школа, 1970. — 712 с.
14. Копец M.M. Оптимальное управление процессом колебаний тонкого прямоугольного
стержня // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и инфор-
матики». — 2015. — № 3. — С. 42–55.
15. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. — М. : Наука, 1978. — 552 с.
Получено 21.04.2016
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208545 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T01:41:25Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Копец М.М. 2025-11-01T16:06:56Z 2017 Оптимальное управление колебаниями подвешенной нити / М.М. Копец // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 4. — С. 56-67. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208545 517.977.56 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i8.20 Розглянуто лінійно-квадратичну задачу оптимального керування процесом коливань підвішеної нитки. Для даної задачі отримано необхідні умови оптимальності та доведено єдиність оптимального керування. Аналіз цих умов дав можливість вивести систему інтегро-диференціальних рівнянь Ріккаті, розв’язок якої подано в замкненій формі. The paper is devoted to the linear-quadratic optimal control problem by the process of the vibrations of a suspended thread. For a considered optimization problem the necessary conditions of optimality are obtained and the uniqueness of the optimal control is proved. The analysis of these conditions enabled one to deduce the system of Riccati integro-differential equations which solution is presented in closed form. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений Оптимальное управление колебаниями подвешенной нити Оптимальне керування коливаннями підвішеної нитки Optimal control of the vibrations of a suspended thread Article published earlier |
| spellingShingle | Оптимальное управление колебаниями подвешенной нити Копец М.М. Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений |
| title | Оптимальное управление колебаниями подвешенной нити |
| title_alt | Оптимальне керування коливаннями підвішеної нитки Optimal control of the vibrations of a suspended thread |
| title_full | Оптимальное управление колебаниями подвешенной нити |
| title_fullStr | Оптимальное управление колебаниями подвешенной нити |
| title_full_unstemmed | Оптимальное управление колебаниями подвешенной нити |
| title_short | Оптимальное управление колебаниями подвешенной нити |
| title_sort | оптимальное управление колебаниями подвешенной нити |
| topic | Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений |
| topic_facet | Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208545 |
| work_keys_str_mv | AT kopecmm optimalʹnoeupravleniekolebaniâmipodvešennoiniti AT kopecmm optimalʹnekeruvannâkolivannâmipídvíšenoínitki AT kopecmm optimalcontrolofthevibrationsofasuspendedthread |