Крайові задачі локально-моментної теорії пружності. Варіаційні формулювання

На основі повних функціоналів запропоновано два варіанти варіаційного формулювання крайових задач нелінійної локально-моментної теорії пружності. У першому випадку базовий потенціал (функція Гамільтона) задається на фазовому просторі векторів силових імпульсів поступальної й обертальної форм руху та...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Datum:	2005
Hauptverfasser:	Бурак, Я., Мороз, Г.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2005
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20858
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Крайові задачі локально-моментної теорії пружності. Варіаційні формулювання / Я. Бурак, Г. Мороз // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 7-17. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-20858
record_format	dspace
spelling	Бурак, Я. Мороз, Г. 2011-06-08T22:55:26Z 2011-06-08T22:55:26Z 2005 Крайові задачі локально-моментної теорії пружності. Варіаційні формулювання / Я. Бурак, Г. Мороз // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 7-17. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20858 539.3 На основі повних функціоналів запропоновано два варіанти варіаційного формулювання крайових задач нелінійної локально-моментної теорії пружності. У першому випадку базовий потенціал (функція Гамільтона) задається на фазовому просторі векторів силових імпульсів поступальної й обертальної форм руху та тензорів ґрадієнта місця і ґрадієнта локальних поворотів. У другому випадку спряжений потенціал Гамільтона є функцією, яка задана на фазовому просторі векторів швидкостей поступального і обертального рухів та відповідних тензорів силових і моментних напружень. Отримані фізичні співвідношення сконкретизовані для випадків, коли кінетичні рівняння є лінійними, але враховується фізична нелінійність процесів деформування. On the basis of complete energy functionals the two variants of variational formulations for boundary value problems of nonlinear local coupled-stress elasticity theory are proposed. In the first case the basic potential (Hamilton function) is specified at the phase space of force impulse vectors of translational motion and angular one, and tensors of the position vector gradient and gradient of local rotation. In the second case the conjugate Hamilton potential is the function being specified at phase space of velocity vectors for translational and angular motions, and corresponding tensors of force and coupled stresses. The obtained physical relationships are elaborated on the case when the kinetic equations are linear with considering physical non-linearity of straining processes. Предложены два варианта вариационного формулирования краевых задач нелинейной локально-моментной теории упругости на основании полных функционалов. В первом случае базовый потенциал (функция Гамильтона) задается на фазовом пространстве векторов силовых импульсов поступательной и вращательной форм движения и тензоров градиента места и градиента локальных вращений. Во втором случае сопряженный потенциал Гамильтона является функцией, заданной на фазовом пространстве векторов скоростей поступательного и вращательного движений и соответствующих тензоров силовых и моментных напряжений. Полученные физические соотношения сконкретезированы для случаев, когда кинетические уравнения линейны, но учитывается физическая нелинейность процессов деформирования. Робота виконана за часткової фінансової підтримки Фонду фундаментальних досліджень Міністерства науки та освіти України. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Крайові задачі локально-моментної теорії пружності. Варіаційні формулювання The boundary value problems of local coupled-stress elasticity theory. The variational formulations Краевые задачи локально-моментной теории упругости. Вариационные формулирования Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Крайові задачі локально-моментної теорії пружності. Варіаційні формулювання
spellingShingle	Крайові задачі локально-моментної теорії пружності. Варіаційні формулювання Бурак, Я. Мороз, Г.
title_short	Крайові задачі локально-моментної теорії пружності. Варіаційні формулювання
title_full	Крайові задачі локально-моментної теорії пружності. Варіаційні формулювання
title_fullStr	Крайові задачі локально-моментної теорії пружності. Варіаційні формулювання
title_full_unstemmed	Крайові задачі локально-моментної теорії пружності. Варіаційні формулювання
title_sort	крайові задачі локально-моментної теорії пружності. варіаційні формулювання
author	Бурак, Я. Мороз, Г.
author_facet	Бурак, Я. Мороз, Г.
publishDate	2005
language	Ukrainian
container_title	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
format	Article
title_alt	The boundary value problems of local coupled-stress elasticity theory. The variational formulations Краевые задачи локально-моментной теории упругости. Вариационные формулирования
description	На основі повних функціоналів запропоновано два варіанти варіаційного формулювання крайових задач нелінійної локально-моментної теорії пружності. У першому випадку базовий потенціал (функція Гамільтона) задається на фазовому просторі векторів силових імпульсів поступальної й обертальної форм руху та тензорів ґрадієнта місця і ґрадієнта локальних поворотів. У другому випадку спряжений потенціал Гамільтона є функцією, яка задана на фазовому просторі векторів швидкостей поступального і обертального рухів та відповідних тензорів силових і моментних напружень. Отримані фізичні співвідношення сконкретизовані для випадків, коли кінетичні рівняння є лінійними, але враховується фізична нелінійність процесів деформування. On the basis of complete energy functionals the two variants of variational formulations for boundary value problems of nonlinear local coupled-stress elasticity theory are proposed. In the first case the basic potential (Hamilton function) is specified at the phase space of force impulse vectors of translational motion and angular one, and tensors of the position vector gradient and gradient of local rotation. In the second case the conjugate Hamilton potential is the function being specified at phase space of velocity vectors for translational and angular motions, and corresponding tensors of force and coupled stresses. The obtained physical relationships are elaborated on the case when the kinetic equations are linear with considering physical non-linearity of straining processes. Предложены два варианта вариационного формулирования краевых задач нелинейной локально-моментной теории упругости на основании полных функционалов. В первом случае базовый потенциал (функция Гамильтона) задается на фазовом пространстве векторов силовых импульсов поступательной и вращательной форм движения и тензоров градиента места и градиента локальных вращений. Во втором случае сопряженный потенциал Гамильтона является функцией, заданной на фазовом пространстве векторов скоростей поступательного и вращательного движений и соответствующих тензоров силовых и моментных напряжений. Полученные физические соотношения сконкретезированы для случаев, когда кинетические уравнения линейны, но учитывается физическая нелинейность процессов деформирования.
issn	1816-1545
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20858
citation_txt	Крайові задачі локально-моментної теорії пружності. Варіаційні формулювання / Я. Бурак, Г. Мороз // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 7-17. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT burakâ kraiovízadačílokalʹnomomentnoíteoríípružnostívaríacíiníformulûvannâ AT morozg kraiovízadačílokalʹnomomentnoíteoríípružnostívaríacíiníformulûvannâ AT burakâ theboundaryvalueproblemsoflocalcoupledstresselasticitytheorythevariationalformulations AT morozg theboundaryvalueproblemsoflocalcoupledstresselasticitytheorythevariationalformulations AT burakâ kraevyezadačilokalʹnomomentnoiteoriiuprugostivariacionnyeformulirovaniâ AT morozg kraevyezadačilokalʹnomomentnoiteoriiuprugostivariacionnyeformulirovaniâ
first_indexed	2025-11-26T00:45:03Z
last_indexed	2025-11-26T00:45:03Z
_version_	1850600979883360256
fulltext	Крайові задачі локально-моментної теорії пружності. Варіаційні формулювання Ярослав Бурак1, Галина Мороз2 1 д. ф.-м. н., професор, член кореспондент НАН України, Центр математичного моделювання ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Дж. Дудаєва, 15, Львів, 79005, e-mail: burak@cmm.lviv.ua 2 к. ф.-м. н., Центр математичного моделювання ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Дж. Дудаєва, 15, Львів, 79005, e-mail: moros@cmm.lviv.ua На основі повних функціоналів запропоновано два варіанти варіаційного формулювання крайових задач нелінійної локально-моментної теорії пружності. У першому випадку базо- вий потенціал (функція Гамільтона) задається на фазовому просторі векторів силових імпульсів поступальної й обертальної форм руху та тензорів ґрадієнта місця і ґрадієнта локальних поворотів. У другому випадку спряжений потенціал Гамільтона є функцією, яка задана на фазовому просторі векторів швидкостей поступального і обертального рухів та відповідних тензорів силових і моментних напружень. Отримані фізичні співвідношення сконкретизовані для випадків, коли кінетичні рівняння є лінійними, але враховується фізична нелінійність процесів деформування. Ключові слова: локально-моментна теорія пружності, повний функціонал Гамільтона, функція Гамільтона, поступальна і обертальна форми руху, тензор ґрадієнта місця, тензор ґрадієнта локальних поворотів, тензор сило- вих напружень, тензор моментних напружень. Вступ. Математичні моделі механіки деформівного пружного тіла є науковою основою розробки інженерних методів раціонального проектування і технологій виготовлення сучасних конструкцій та приладів. Найпоширенішою у літературі моделлю механічної системи є класична модель механіки ідеально пружного (термопружного) тіла. Модель ґрунтується на базових постулатах механіки Нью- тона про інерційність поступального руху, а також класичної термодинаміки про локальний рівноважний стан. Такий рівноважний стан (за нормування адитивних параметрів відносно геометричних характеристик фізично малих підсистем в однорідному природному стані) характеризується тензором ґрадієнта місця та відповідно тензором напружень Піоли-Кірхгофа першого роду [1, 2]. Варіаційне формулювання відповідних крайових задач нелінійної теорії пружності в такій постановці на основі повного функціонала Гамільтона зроблено у роботі [3]. У цій статті, зокрема, одержано необхідні та достатні умови еквівалентності варіаційного формулювання крайових задач та їхньої локальної постановки на основі повних функціоналів Гамільтона. Узагальненням такого варіаційного підходу до побудови математичних мо- делей нелінійної механіки пружних тіл є врахування додатково інерційності процесів локального згину та кручення в межах фізично малих підсистем [4]. УДК 539.3 7 Ярослав Бурак, Галина Мороз Крайові задачі локально-моментної теорії пружності. Варіаційні формулювання 8 У даній статті запропоновано два варіанти варіаційного формулювання крайових задач нелінійної локально-моментної теорії пружності на основі пов- них функціоналів. У першому випадку функція Гамільтона (базовий потенціал) задається на фазовому просторі векторів силових імпульсів поступальної і обер- тальної форм руху та тензорів ґрадієнта місця і ґрадієнта локальних поворотів. У другому випадку спряжений потенціал Гамільтона є функцією, яка задана на фазовому просторі векторів швидкостей поступального і обертального рухів та відповідних тензорів силових і моментних напружень. Отримані фізичні співвід- ношення сконкретизовані для випадку, коли лінійними є лише кінетичні рів- няння, але враховується фізична нелінійність процесів деформування. 1. Варіаційне формулювання математичної моделі в термінах силових імпульсів та узагальнених переміщень Розглядається пружно деформівне ізотропне тверде тіло K . У відліковій конфі- гурації ( )1tt < тіло ненавантажене, однорідне та в евклідовому просторі займає область 0X з поверхнею * 0X∂ . Місце довільної точки Kk∈ у відліковій конфі- гурації характеризується радіус-вектором 0r . На проміжку часу [ ]21,tt тіло перебуває під дією поверхневих та об’ємних сил і в актуальній конфігурації ( )21 ttt ≤≤ займає область ( ) ( )tXtX * ∂∪ . Місце точки Kk∈ у довільний момент часу t визначається радіус-вектором ( ) urtrrr +== 00 , , де ( )truu ,0= — вектор переміщення матеріальної точки з від- лікової конфігурації в актуальну. Побудова математичної моделі нелінійної локально-моментної теорії пружності реалізується за допомогою повного енергетичного функціонала Га- мільтона, який формується за підходом Лагранжа для області тіла 0X на про- міжку часу [ ]21,tt [3-5] [ ] ( )∫ ∫       −⋅−ϕ⋅+⋅+ϕ⊗∇⊗∇=ϕ⊗∇⊗∇ + 2 1 * 0 0000 ,,,,,, t t X uf dt qdu dt pduqpHuqpF ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫ ⋅ϕ+⋅−     Σϕ⋅τ+⋅σ−ϕ⋅µ− ++ ∂ +++ * 0 * 0 0222200 XX nn dVqpudtdudV , (1) де ( )ϕ⊗∇⊗∇ 00 ,,, uqpH — функція Гамільтона; ( )∫ ++σ⋅∇= t t tdfp 1 ~ˆ0 — вектор густини силового імпульсу; ( )∫ +µ+τ⋅∇= t t tdq 1 ~ˆ0 — вектор густини моментного імпульсу; σ̂ - тензор напружень Піоли-Кірхгофа першого роду; τ̂ — тензор Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2005, Вип.1, 7-17 9 моментних напружень; ϕ — вектор кута повороту фізично малого елемента; 00 / r∂∂≡∇ — оператор Гамільтона; Iru ˆ 00 −⊗∇=⊗∇ ; r⊗∇0 — тензор ґрадієнта місця; Î — одиничний тензор; ( )trnn ,0 ++ σ=σ , ( )trnn ,0 ++ τ=τ — задані вектори поверхневих зусиль та моментного поверхневого навантаження; ( )trff ,0 ++ = , ( )tr ,0 ++ µ=µ — задані вектори густини масових сил та момент- них зусиль; ( )( )02 ru + , ( )( )02 r+ϕ — задані вектори переміщення кутів повороту в момент часу 2tt = ; ( ) ( )202 , trpp ≡ , ( ) ( )202 ,trqq ≡ . Тут і надалі всі адитивні параметри фізично малої області KK ⊂δ норму- ються за геометричними характеристиками — об’ємом 0Vδ цієї області та пло- щею 0Σδ елементарної поверхні KK ∂⊂∂δ у відліковій конфігурації. Зокрема 0VHδ=δH , 0VpP δ=δ , 0 Σσ=Σσ ++ dd nn , 0 Στ=Στ ++ dd nn , 0 dVfdVf ++ = , 0 dVdV ++ µ=µ , де H і p — густини адитивних параметрів Hδ та Pδ ; +σn , +τn — вектори поверхневих зусиль і +f , +µ — вектори об’ємних масових та моментних сил, які нормовані за об’ємом Vδ фізично малої області KK ⊂δ та площею Σδ поверхні елементарної площадки KK ∂⊂∂δ в актуальній конфігурації. Необхідною умовою мінімуму функціонала Гамільтона є рівність нулеві його першої варіації [ ] ∫ ∫        +δ⋅      ω− ∂ ∂ +δ⋅      − ∂ ∂ =ϕ⊗∇⊗∇δ 2 1 * 0 00 ,,, t t X q q Hpv p HuqpF ( ) ( ) +     ϕ⊗∇δ⋅⋅      τ− ϕ⊗∇∂ ∂ +⊗∇δ⋅⋅      σ− ⊗∇∂ ∂ + 0 T 0 0 T 0 0 ˆˆ dVHu u H ( ) ( )[ ] +     Σϕδ⋅τ−τ+δ⋅σ−σ+ ∫ ∂ ++ dtdu X nnnn * 0 0 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0 * 0 01122211222 =δ⋅ϕ−δ⋅ϕ−ϕ+δ⋅−δ⋅−+ ∫ ++ X dVqqpupuu . (2) Тут dtudv /= , dtd /ϕ=ω . З незалежності варіацій pδ , qδ , ( )u⊗∇δ 0 , ( )ϕ⊗∇δ 0 , uδ , ϕδ одержуємо наступні визначальні фізичні співвідношення математичної моделі Ярослав Бурак, Галина Мороз Крайові задачі локально-моментної теорії пружності. Варіаційні формулювання 10 ( )ϕ⊗∇⊗∇≡ ∂ ∂ = 00 ,,, uqpv p Hv , ( )ϕ⊗∇⊗∇ω≡ ∂ ∂ =ω 00 ,,, uqp q H ; (3) ( )ϕ⊗∇⊗∇σ≡ ⊗∇∂ ∂ =σ 00 0 ,,,ˆˆ uqp u H , ( )ϕ⊗∇⊗∇τ≡ ϕ⊗∇∂ ∂ =τ 00 0 ,,,ˆˆ uqpH ;(4) природні граничні умови на поверхні тіла ( )trn nn ,ˆ 0 +σ=σ⋅≡σ , ( )trn nn ,ˆ 0 +τ=τ⋅≡τ (5) та граничні умови в часовому інтервалі 0 1 = =ttu , ( )( )202 , 2 truu tt + = = , 0 1 =ϕ =tt , ( )( )202 , 2 trtt + = ϕ=ϕ . (6) Із співвідношень (3), (4) випливає, що функція Гамільтона ( ,, qpH )ϕ⊗∇⊗∇ 00 ,u є функцією локального стану на фазовому просторі параметрів p , q , u⊗∇0 , ϕ⊗∇0 . Рівняння (3)-(4) є вихідними фізичними співвідношен- нями моделі і, відповідно, диференціальна 1-форма ( ) ( )TT dudqdpdvdH ϕ⊗∇⋅⋅τ+⊗∇⋅⋅σ+⋅ω+⋅= 00 ˆˆ (7) є повним диференціалом для пружного потенціалу ( )ϕ⊗∇⊗∇ 00 ,,, uqpH . 1.1. Достатні умови опуклості функціонала. Достатньою умовою мінімуму функціонала Гамільтона (1) є умова його опуклості ( ) +         Σϕδ⋅τδ+δ⋅σδ=δ ∫ ∫ ∂ 2 1 * 0 0 2 t t X nn dtduF ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0 * 0 011221122 >δ⋅ϕδ−δ⋅ϕδ+δ⋅δ−δ⋅δ+ ∫ X dVqqpupu , (8) яка може бути подана так ( ) ( ){∫ ∫    +ϕ⊗∇δ⋅⋅τδ+⊗∇δ⋅⋅σδ+δ⋅ωδ+δ⋅δ=δ 2 1 * 0 00 2 ˆˆ t t X TT uqpvF ( ) ( ) } ] =ϕδ⋅τδ⋅∇+δ⋅σδ⋅∇+ dtdVu 000 ˆ2ˆ2 ( ) ( ){ } 0ˆ2ˆ2 2 1 * 0 000 2 >         ϕδ⋅τδ⋅∇+δ⋅σδ⋅∇+δ= ∫ ∫ t t X dtdVuH . (9) За достатні умови опуклості функціонала F можна прийняти, зокрема, умови Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2005, Вип.1, 7-17 11 0 2 1 * 0 0 2 >δ∫ ∫ t t X dtHdV , ( ) 0ˆ 2 1 * 0 00 ≥δ⋅σδ⋅∇∫ ∫ t t X dtdVu , ( ) 0ˆ 2 1 * 0 00 ≥ϕδ⋅τδ⋅∇∫ ∫ t t X dtdV . (10) Співвідношення (3)-(6) та достатні умови опуклості (9) складають повну систему рівнянь математичної моделі динамічних процесів у нелінійних пружних тілах. 1.2. Формулювання крайових задач. Вважаємо, що розглянута модель пруж- ного континуума відповідає моделі ізотропного середовища. Приймемо також, що потенціал ( )ϕ⊗∇⊗∇ 00 ,,, uqpH з достатньою ступінню точності може бути поданий сумою двох складових ( ) ( ) ( )ϕ⊗∇⊗∇Φ+=ϕ⊗∇⊗∇ 0000 ,,,,, uqpKuqpH , де ( )qpK , — густина кінетичної енергії фізично малої підсистеми; ( )ϕ⊗∇⊗∇Φ 00 ,u — нелінійний пружний потенціал [6]. В ізотропному випадку вказані потенціали є функціями скалярних інваріантів векторів p , q і u⊗∇0 , ϕ⊗∇0 відповідно. Надалі приймемо, що густина кінетичної енергії є функцією незалежних скалярних інваріантів другого порядку для векторів p та q , а також відповід- ного скалярного інваріанта, який враховує взаємозв’язок енергій поступальної та обертальної форм руху, тобто ( ) ( ) ( ) ( )qpIqqIppIqpK ⊗ ρρ α −⊗ ρ +⊗ ρ = *2 1 2 1, , (11) де ( )⋅I — перший інваріант тензора другого рангу, ρ , ρ — міри інерції посту- пального та обертального рухів відповідно; 0>α — коефіцієнт взаємозв’язку енергій поступальної та обертальної форм руху. За такого подання функції Гамільтона, фізичні співвідношення (3)-(4) для векторів швидкості поступального руху v та кутової швидкості ω і тензорів напружень σ̂ та τ̂ набувають вигляду qpv * 1 ρρ α − ρ = , pq ** 1 ρρ α − ρ =ω , (12) ( ) u u ⊗∇∂ ϕ⊗∇⊗∇Φ∂ =σ 0 00 ,ˆ , ( ) ϕ⊗∇∂ ϕ⊗∇⊗∇Φ∂ =τ 0 00 ,ˆ u . (13) З метою формулювання крайових задач у переміщеннях запишемо співвід- ношення (12) таким чином Ярослав Бурак, Галина Мороз Крайові задачі локально-моментної теорії пружності. Варіаційні формулювання 12 [ ] [ ]∫∫ ++ µ+τ⋅∇ ρρ α −+σ⋅∇ ρ = t t t t tdtdfv 11 ~ˆ~ˆ1 0 * 0 , [ ] [ ]∫∫ ++ +σ⋅∇ ρρ α −µ+τ⋅∇ ρ =ω t t t t tdftd 11 ~ˆ~ˆ1 0 * 0 * . Із записаних співвідношень для векторів v та ω отримаємо наступні рів- няння руху         ϕ ρρα+ρ α− =+σ⋅∇ + 2 2 2 2 20 1 1ˆ dt d dt udf , (14)         ρρα+ ϕ ρ α− =µ+τ⋅∇ + 2 2 2 2 20 1 1ˆ dt ud dt d . (15) Тут тензори σ̂ і τ̂ визначаються за рівняннями стану (13). 2. Варіаційне формулювання крайових задач в термінах узагальнених швид- костей та тензорів напружень З метою варіаційного формулювання визначальних співвідношень математичної моделі нелінійної локально-моментної теорії пружних систем у напруженнях та постановки відповідних крайових задач розглянемо повний функціонал, який заданий на просторі функцій векторів швидкостей v та ω поступального та обертального руху, тензора напружень Піоли-Кірхгофа першого роду σ̂ та тен- зора моментних напружень τ̂ [ ] ( ) ( ) ( )[ ] −     ϕ⋅µ+⋅+ϕ⋅τ⋅∇+⋅σ⋅∇+τσω=τσω ∫ ∫ ++ 2 1 0 000 ˆˆˆ,ˆ,,ˆ,ˆ,, t t X dVufuvGvJ [ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫ ϕ⋅+⋅−     Στ⋅ϕ+σ⋅− ++ ∂ ++ * 0 * 0 022220 XX nn dVqupdtdu . (16) Тут ( )τσω ˆ,ˆ,,vG — додатньовизначена функція; ( )( )02 rp+ , ( )( )02 rq+ — задані векто- ри імпульсів у момент часу 2tt = . Перша варіація функціонала (16) є такою [ ] ∫ ∫       +τδ⋅⋅ τ∂ ∂ +σδ⋅⋅ σ∂ ∂ +ωδ⋅ ω∂ ∂ +δ⋅ ∂ ∂ =τσωδ 2 1 * 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,ˆ,, t t X TT GGGv v GvJ ( ) ( ) ( ) ( ) ] −ϕδ⋅µ+δ⋅+ϕδ⋅τ⋅∇+ϕ⋅τδ⋅∇+δ⋅σ⋅∇+⋅σδ⋅∇+ ++ 00000 ˆˆˆˆ dVufuu Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2005, Вип.1, 7-17 13 [ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ≡ϕδ⋅+δ⋅−     Στδ⋅ϕ+σδ⋅− ∫∫ ++ ∂ ++ * 0 * 0 022220 XX nn dVqupdtdu ∫ ∫        +σδ⋅⋅      ⊗∇− σ∂ ∂ +ωδ⋅      − ω∂ ∂ +δ⋅      − ∂ ∂ ≡ 2 1 * 0 ˆ ˆ 0 t t X TuGqGvp v G ( ) ( )[ ] +     Στδ⋅ϕ−ϕ+σδ⋅−+   τδ⋅⋅      ϕ⊗∇− τ∂ ∂ + ∫ ∂ ++ dtduudVG X nn T * 0 000 ˆ ˆ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ϕδ⋅−ϕδ⋅−+δ⋅−δ⋅−+ ++ * 0 01122211222 X dVqqqupupp . (17) З необхідної умови мінімуму функціонала (16), тобто рівності нулю його першої варіації 0=δJ , отримаємо таку систему рівнянь ( ) v vGp ∂ τσω∂ = ˆ,ˆ,, , ( ) ω∂ τσω∂ = ˆ,ˆ,,vGq , (18) — визначальні фізичні співвідношення для вектора імпульсу поступального руху та вектора моментного імпульсу; ( ) σ∂ τσω∂ =⊗∇ ˆ ˆ,ˆ,, 0 vGu , ( ) τ∂ τσω∂ =ϕ⊗∇ ˆ ˆ,ˆ,, 0 vG (19) — визначальні фізичні співвідношення для тензора ґрадієнта вектора переміщення u та тензора ґрадієнта вектора повороту ϕ ; + ∂ = uu X0 , + ∂ ϕ=ϕ 0X (20) — крайові умови на границі області * 0X∂ ; 0 1 = =ttp , ( ) + = = 2 2 pp tt , 0 1 = =ttq , ( ) + = = 2 2 qq tt (21) — крайові умови на границі часового проміжку [ ]21,tt . 2.1. Достатні умови опуклості функціонала. Умова опуклості функціонала (16) є такою ∫ ∫        +σδ⋅⋅      ⊗∇− σ∂ ∂ δ+ωδ⋅      − ω∂ ∂ δ+δ⋅      − ∂ ∂ δ=δ 2 1 * 0 ˆ ˆ 0 2 t t X TuGqGvp v GJ Ярослав Бурак, Галина Мороз Крайові задачі локально-моментної теорії пружності. Варіаційні формулювання 14 [ ] +     Στδ⋅ϕδ+σδ⋅δ+   τδ⋅⋅      ϕ⊗∇− τ∂ ∂ δ+ ∫ ∂ dtdudVG X nn T * 0 000 ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0 * 0 011221122 >ϕδ⋅δ−ϕδ⋅δ+δ⋅δ−δ⋅δ+ ∫ X dVqqupup . Надалі приймемо, що рівняння (18), (19) виконуються і для допустимих варіацій у відкритій області * 0X . Тоді умова опуклості функціонала (16) набуває вигляду [ ] +         Στδ⋅ϕδ+σδ⋅δ=δ ∫ ∫ ∂ 2 1 * 0 0 2 t t X nn dtduJ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0 * 0 011221122 >ϕδ⋅δ−ϕδ⋅δ+δ⋅δ−δ⋅δ+ ∫ X dVqqupup . (22) Після пере.оду в нерівності (22) від поверхневого інтеграла до об’ємного та застосування операції зінтегровування за часом отримаємо ( ) ( )[ ] 0ˆ2ˆ2 2 1 * 0 000 22 >         ϕδ⋅τδ⋅∇+δ⋅σδ⋅∇+δ=δ ∫ ∫ dtdVuGJ t t X . (23) За достатні умови опуклості функціонала (16) можна прийняти зокрема, умови 0 2 1 * 0 0 2 >δ∫ ∫ dtGdV t t X , ( ) 0ˆ 2 1 * 0 00 ≥δ⋅σδ⋅∇∫ ∫ dtdVu t t X , ( ) 0ˆ 2 1 * 0 00 ≥ϕδ⋅τδ⋅∇∫ ∫ dtdV t t X . (24) 2.2. Формулювання крайових задач. Надалі приймаємо, що потенціал ( )τσω ˆ,ˆ,,vG з достатньою ступінню точності може бути поданий сумою двох складових ( ) ( ) ( )τσΨ+ω=τσω ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,, * vKvG , де ( )ω,* vK — густина кінетичної енергії поступального й обертального рухів; ( )τσΨ ˆ,ˆ — нелінійний пружний потенціал. В ізотропному випадку функції ( )ω,* vK та ( )τσΨ ˆ,ˆ є функціями скалярних інваріантів векторів швидкостей v і ω та тензорів напружень σ̂ і τ̂ відповідно. Для густини кінетичної енергії у квадратичному наближенні приймемо Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2005, Вип.1, 7-17 15 ( ) ( ) ( ) ( )ω⊗ρρ α− α +ω⊗ωρ+⊗ρ=ω vIIvvIvK 2 * 12 1 2 1, . (25) Тут коефіцієнти ρ , ρ — введені вище міри інерційності поступальної й обертальної форм руху, 0>α — введений вище коефіцієнт взаємовпливу обох форм руху. За вказаного подання густини кінетичної енергії ( )ω, vK базові фізичні співвідношення (18)-(19) для векторів p та q і тензорів u⊗∇0 та ϕ⊗∇0 є такими ωρρ α− α +ρ= 21 vp , vq 2* 1 ρρ α− α +ωρ= , (26) ( ) σ∂ τσΨ∂ =⊗∇ ˆ ˆ,ˆ 0 u , ( ) τ∂ τσΨ∂ =ϕ⊗∇ ˆ ˆ,ˆ 0 . (27) Для одержання системи рівнянь локально-моментної теорії відносно тензо- рів напружень приймемо за основу фізичні співвідношення (26), (27). Зінтегру- ємо за часом рівняння (26). З урахуванням означення векторів імпульсів p і q , одержимо ( )( )∫ ++σ⋅∇−=ϕρρ α− α +ρ t t tdfttu 1 ~ˆ~ 1 02 , (28) ( )( )∫ +µ+τ⋅∇−=ρρ α− α +ϕρ t t tdttu 1 ~ˆ~ 1 02* . (29) На співвідношення (28) і (29) подіємо оператором 0∇ . В отримані формули підставимо визначальні співвідношення (27) для тензорів деформацій u⊗∇0 , ϕ⊗∇0 . В результаті одержимо рівняння стосовно тензорів напружень σ̂ і τ̂ ( ) ( ) ( ) [ ]∫ ++σ⋅∇⊗∇−= τ∂ τσΨ∂ ρρ α− α + σ∂ τσΨ∂ ρ t t tdftt 1 ~ˆ~ ˆ ˆ,ˆ 1ˆ ˆ,ˆ 002 , (30) ( ) ( ) ( ) [ ]∫ +µ+τ⋅∇⊗∇−= σ∂ τσΨ∂ ρρ α− α + τ∂ τσΨ∂ ρ t t tdtt 1 ~ˆ~ ˆ ˆ,ˆ 1ˆ ˆ,ˆ 002* . (31) До рівнянь (30), (31) необхідно долучити крайові умови (20), (21), які в напруженнях є такими Ярослав Бурак, Галина Мороз Крайові задачі локально-моментної теорії пружності. Варіаційні формулювання 16 ( )( ) ( )( ) + ∂ ++ ∂ + ϕρ=         µ+τ⋅∇−ρ=         +σ⋅∇− ∫∫ *00 0 1 0 1 ~ˆ~,~ˆ~ X t tX t t tdttutdftt , (32) ( ) ( ) ++ =+σ⋅∇∫ 20 2 1 ~ˆ ptdf t t , ( ) ( ) ++ =µ+τ⋅∇∫ 20 2 1 ~ˆ qtd t t . (33) Висновки. Розроблено два варіанти варіаційного формулювання крайових задач нелінійної локально-моментної теорії пружності в термінах силових імпульсів і узагальнених переміщень або, відповідно, узагальнених швидкостей і тензорів напружень. Отримані результати є базовими для загального дослідження розв’яз- ків сформульованих крайових задач методами функціонального аналізу (зокрема, встановлення достатніх умов існування та єдиності слабких розв’язків). Запропоновані повні функціонали можуть бути прийняті за основу для розробки алгоритмів та схем наближеного розв’язування відповідних крайових задач з використанням варіаційних методів. Отримані співвідношення варіаційного формулювання крайових задач є вихідними для ітераційної побудови двовимірних та одновимірних математичних моделей механіки елементів тонкостінних конструкцій (оболонки, пластини, стержні). Робота виконана за часткової фінансової підтримки Фонду фундаментальних досліджень Міністерства науки та освіти України. Література [1] Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. — М: Наука, 1980. — 512 с. [2] Ciarlet P. G. Mathematical elasticity. Vol. 1. — North-Holland, 1993. — 452 p. [3] Фізико-математичне моделювання складних систем / Бурак Я., Чапля Є. та ін. Під ред. Бурака Я., Чаплі Є. — Львів: Сполом, 2004. — 262 с. [4] Бурак Я. Й., Мороз Г. І. Математичне моделювання крайових задач нелінійної мо- ментної теорії пружності з використанням варіаційного підходу // Доп. НАН України. — 2003. — № 7. — С. 40-45. [5] Бурак Я. Й., Мороз Г. І. Про два варіанти варіаційного формулювання крайових задач нелінійної механіки пружних систем // Мат. методи і фіз.-мех. поля. — 2004. — Т. 47, № 3. — С. 78-86. [6] Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. — М: Изд-во Моск-го ун-та, 1986. — 262 с. Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2005, Вип.1, 7-17 17 The Boundary Value Problems of Local Coupled-Stress Elasticity Theory. The Variational Formulations Yaroslav Burak, Halyna Moroz On the basis of complete energy functionals the two variants of variational formulations for boundary value problems of nonlinear local coupled-stress elasticity theory are proposed. In the first case the basic potential (Hamilton function) is specified at the phase space of force impulse vectors of translational motion and angular one, and tensors of the position vector gradient and gradient of local rotation. In the second case the conjugate Hamilton potential is the function being specified at phase space of velocity vectors for translational and angular motions, and corresponding tensors of force and coupled stresses. The obtained physical relationships are elaborated on the case when the kinetic equations are linear with considering physical non- linearity of straining processes. Краевые задачи локально-моментной теории упругости. Вариационные формулирования Ярослав Бурак, Галина Мороз Предложены два варианта вариационного формулирования краевых задач нелинейной ло- кально-моментной теории упругости на основании полных функционалов. В первом случае базовый потенциал (функция Гамильтона) задается на фазовом пространстве векторов силовых импульсов поступательной и вращательной форм движения и тензоров градиента места и градиента локальных вращений. Во втором случае сопряженный потенциал Гамильтона является функцией, заданной на фазовом пространстве векторов скоростей поступательного и вращательного движений и соответствующих тензоров силовых и моментных напряжений. Полученные физические соотношения сконкретезированы для случаев, когда кинетические уравнения линейны, но учитывается физическая нелинейность процессов деформирования. Отримано 01.10.04

Крайові задачі локально-моментної теорії пружності. Варіаційні формулювання

Institution

Ähnliche Einträge