Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі
Модель локально неоднорідного двокомпонентного твердого розчину застосовано для дослідження напружено-деформованого стану та закономірностей розподілу температури й домішок у термопружному шарі. Отримані співвідношення використано для вивчення впливу температури та домішок на поверхневий натяг у шар...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Дата: | 2005 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2005
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20859 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі / О. Грицина // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 36-47. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-20859 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Грицина, О. Нагірний, Т. Червінка, К. 2011-06-08T23:04:38Z 2011-06-08T23:04:38Z 2005 Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі / О. Грицина // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 36-47. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20859 539.3 Модель локально неоднорідного двокомпонентного твердого розчину застосовано для дослідження напружено-деформованого стану та закономірностей розподілу температури й домішок у термопружному шарі. Отримані співвідношення використано для вивчення впливу температури та домішок на поверхневий натяг у шарі в процесі його нагріву та насичення. The model of the local nonhomogeneous binary solid solution is applied to investigation of stressed-strained state and regularities of temperature and admixture distributions in thermoelastic layer. The obtained relations are used for study of temperature and admixture influence on surface tension in the layer during its heating and saturation process. Модель локально градиентного двухкомпонентного твердого раствора использована для исследования напряженно-деформированного состояния и закономерностей распределения температуры и примесей в термоупругом слое. Полученные соотношения использованы для изучения влияния температуры и примесей на поверхностное натяжение в слое в процессе его нагрева и диффузионного насыщения. Робота виконана за часткової фінансової підтримки Фонду фундаментальних досліджень Міністерства науки та освіти України. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі Locally Gradient Approach and Temperature and Admixtures Effect on Surface Tension in the Layer Локально градиентный подход и влияние температуры и примесей на поверхностное натяжение в слое Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі |
| spellingShingle |
Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі Грицина, О. Нагірний, Т. Червінка, К. |
| title_short |
Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі |
| title_full |
Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі |
| title_fullStr |
Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі |
| title_full_unstemmed |
Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі |
| title_sort |
локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі |
| author |
Грицина, О. Нагірний, Т. Червінка, К. |
| author_facet |
Грицина, О. Нагірний, Т. Червінка, К. |
| publishDate |
2005 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Locally Gradient Approach and Temperature and Admixtures Effect on Surface Tension in the Layer Локально градиентный подход и влияние температуры и примесей на поверхностное натяжение в слое |
| description |
Модель локально неоднорідного двокомпонентного твердого розчину застосовано для дослідження напружено-деформованого стану та закономірностей розподілу температури й домішок у термопружному шарі. Отримані співвідношення використано для вивчення впливу температури та домішок на поверхневий натяг у шарі в процесі його нагріву та насичення.
The model of the local nonhomogeneous binary solid solution is applied to investigation of stressed-strained state and regularities of temperature and admixture distributions in thermoelastic layer. The obtained relations are used for study of temperature and admixture influence on surface tension in the layer during its heating and saturation process.
Модель локально градиентного двухкомпонентного твердого раствора использована для исследования напряженно-деформированного состояния и закономерностей распределения температуры и примесей в термоупругом слое. Полученные соотношения использованы для изучения влияния температуры и примесей на поверхностное натяжение в слое в процессе его нагрева и диффузионного насыщения.
|
| issn |
1816-1545 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20859 |
| citation_txt |
Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі / О. Грицина // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 36-47. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT gricinao lokalʹnogradíêntniipídhídtavplivtemperaturiidomíšoknapoverhneviinatâgušarí AT nagírniit lokalʹnogradíêntniipídhídtavplivtemperaturiidomíšoknapoverhneviinatâgušarí AT červínkak lokalʹnogradíêntniipídhídtavplivtemperaturiidomíšoknapoverhneviinatâgušarí AT gricinao locallygradientapproachandtemperatureandadmixtureseffectonsurfacetensioninthelayer AT nagírniit locallygradientapproachandtemperatureandadmixtureseffectonsurfacetensioninthelayer AT červínkak locallygradientapproachandtemperatureandadmixtureseffectonsurfacetensioninthelayer AT gricinao lokalʹnogradientnyipodhodivliânietemperaturyiprimeseinapoverhnostnoenatâženievsloe AT nagírniit lokalʹnogradientnyipodhodivliânietemperaturyiprimeseinapoverhnostnoenatâženievsloe AT červínkak lokalʹnogradientnyipodhodivliânietemperaturyiprimeseinapoverhnostnoenatâženievsloe |
| first_indexed |
2025-11-24T07:13:08Z |
| last_indexed |
2025-11-24T07:13:08Z |
| _version_ |
1850843467060609024 |
| fulltext |
Локально градієнтний підхід та вплив температури
й домішок на поверхневий натяг у шарі
Ольга Грицина1, Тарас Нагірний2, Костянтин Червінка3
1 к. ф.-м. н., с. н. с., Центр математичного моделювання IППММ iм. Я. С. Пiдстригача НАН України,
вул. Дж. Дудаєва, 15, Львiв, Україна, 79005, e-mail: gryt@cmm.lviv.ua
2 д. ф.-м. н., професор, Центр математичного моделювання IППММ iм. Я. С. Пiдстригача НАН України,
вул. Дж. Дудаєва, 15, Львiв, Україна, 79005; Зеленогурський Університет, вул. проф. Шафрана, 4, Зелена Гура,
Польща, 65-516, e-mail: tnagirny@yahoo.com
3 к. ф.-м. н., Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львiв, Україна,
79000, e-mail: kostiaa@yahoo.com
Модель локально неоднорідного двокомпонентного твердого розчину застосовано для
дослідження напружено-деформованого стану та закономірностей розподілу темпера-
тури й домішок у термопружному шарі. Отримані співвідношення використано для
вивчення впливу температури та домішок на поверхневий натяг у шарі в процесі його
нагріву та насичення.
Ключові слова: механотермодифузійні процеси, термопружний твердий
розчин, локальна неоднорідність, поверхневий натяг.
Вступ. Відомо, що поведінка деформівних твердих тіл значною мірою визна-
чається станом їх поверхні [1, 2]. З особливим станом приповерхневих областей
тіла у літературі пов’язують міцність, розмірні ефекти меж міцності [3-5], теку-
чості та параметрів довговічності [6-8], вплив на них полів різної фізичної при-
роди тощо. Базовим поняттям у механіці поверхневих явищ є поверхневий натяг,
який є інтегральною характеристикою розтягуючих приповерхневих напружень
у тілі, вільному від зовнішнього силового навантаження. Очевидно, що поверх-
невий натяг залежить від температури тіла та наявності у ньому домішок.
Одним з ефективних підходів, що дозволяє описувати поведінку дефор-
мівних твердих тіл із врахуванням приповерхневих явищ, є локально градієнтний
підхід у термомеханіці [9-11]. Згідно цього підходу простір параметрів стану у
твердих розчинах розширено градієнтом хімічного потенціалу скелету, який
ототожнюється з градієнтом енергії взаємодії. З використанням моделі локально
градієнтного твердого розчину у роботах [5, 9-11, 13] та ін. на прикладі модель-
них задач вивчено вплив температури та домішок на приповерхневу неодно-
рідність, межу міцності та її розмірний ефект.
У даній роботі за локально градієнтного підходу досліджуються механо-
термодифузійні процеси в ізотропному шарі. Основна увага зосереджена на
аналізі напружено-деформованого стану, на основі якого обчислюється поверх-
невий натяг та досліджується вплив на нього температури і домішок.
УДК 539.3
36
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 36-47
37
1. Ключова система рівнянь локально градієнтної механотермодифузії
Розглянемо термопружний твердий розчин, який складається з підсистем скелету
(підсистема 1) та домішок (підсистема 2). Повна лінеаризована квазістатична
система рівнянь локально градієнтної механотермодифузії двокомпонентного
твердого розчину складається з рівнянь рівноваги та сумісності деформацій,
балансу ентропії й маси підсистем скелету і домішок, а також визначальних
співвідношень [5, 10]
0ˆ =σ⋅∇ , 0ˆ =∇××∇ e ; (1)
ssj
S
σ+⋅∇−=
τ∂
∂
; (2)
( ) 11 mm j⋅∇−=π⋅∇−ρ
τ∂
∂ , 2
2
mj⋅∇−=
τ∂
ρ∂ ; (3)
( )( )[ ]Iee mmt
ˆ23ˆ2ˆ 2
2
1
1 ηα+ηα+θαµ+λ−λ+µ=σ ,
( ) 2
2
1
1
*
23 ηα+ηα+αµ+λ+θ= tmtmt
v e
T
cS ,
( ) 2
2
1
123 ηα+ηα+θα+αµ+λ=ρ k
m
k
m
k
tm
k
mk e , (k = 1, 2)
1η∇β=π mm ; (4)
2211 η∇γ−η∇γ−θ∇γ−= kkktmkj , (k = 1, 2)
2211 η∇γ−η∇γ−θ∇γ−= tttsj . (5)
Тут σ̂,ê — тензори деформацій та напружень; e — кульова складова тензора
деформацій; ( )2,1, =kjj mks — вектори потоку ентропії та мас підсистем
твердого розчину; mπ — вектор пружного зміщення маси скелету;
( )2,1, =ηρ kkk — збурення густини маси та хімічних потенціалів скелету й
домішок відносно їх початкових значень ( )2,1, ** =ρ kH ; S — ентропія; θ —
збурення температури відносно її початкового значення *T ; sσ — виробництво
ентропії; τ — час; Î — одиничний тензор; ∇ — вектор-оператор Гамільтона;
,,µλ tvc α, , ,,, ki
m
k
tm
k
m ααα tkiktm γγγβ ,,, ( )2,1, =ik — характеристики матеріалу;
" ⋅ " та " × " — знаки скалярного та векторного добутків. Тут і надалі приймаємо,
що значення індексу k = 1 стосується підсистеми скелету, а k = 2 — домішок.
Аналіз балансових рівнянь (3) та визначальних співвідношень (4), (5) пока-
зує, що врахування локальної градієнтності хімічного потенціалу скелета призво-
дить до зміни швидкості дифузійних процесів і впливає на характер рівноваж-
ного розподілу компонент твердого розчину.
Ольга Грицина, Тарас Нагірний, Костянтин Червінка
Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі
38
2. Нагрів та насичення термопружного шару
2.1. Постановка задачі та методика розв’язування. Застосуємо систему рів-
нянь локально градієнтної механотермодифузії (1)-(5) для дослідження впливу
домішок та температури на поверхневий натяг у двокомпонентному термопруж-
ному шарі. З цією метою розглянемо вільний від зовнішнього силового наван-
таження шар, який займає область lx ≤ евклідового простору. Приймаємо, що
у початковий момент часу 0=τ температура тіла є однорідною і дорівнює 0θ , а
рівноважні розподіли хімічних потенціалів скелету та домішок описуються
функціями ( )xk0η (k = 1, 2). При 0>τ на зовнішніх поверхнях шару lx ±=
задаються постійні, відмінні від початкових, значення температури aθ ( 0θ≠θa )
й хімічних потенціалів його компонент a
kη ( )( )2,1,0
0 =η≡±η≠η kl kk
a
k .
Приймаючи до уваги характер зовнішньої дії, за розв’язуючі функції
виберемо тензор напружень σ̂ , температуру θ та хімічні потенціали kη (k = 1, 2)
компонент твердого розчину. У розглядуваному випадку ці функції залежать
лише від координати х та часу τ .
Якщо знехтувати впливом масоперенесення та деформування на процес
теплопровідності, а також впливом кульової складової тензора деформацій на
густини компонент твердого розчину, то система рівнянь (1)-(5) набуде вигляду
0=
∂
σ∂
x
x , ( ) 0322112
2
=θ−η−η−σ
∂
∂
γ aaa
x
, { }zy,=γ ; (6)
01
2
2
=
∂
θ∂
−
τ∂
θ∂
xa
; (7)
022112
1
2
=
θκ−ηκ−ηκ−
∂
η∂
τ∂
∂
θx
,
( ) 02
2
2
2
2
2
1
2
2211 =
∂
θ∂
−
∂
η∂
−
∂
η∂
α−θ+η+η
τ∂
∂
θθ x
a
xx
ddd . (8)
Тут zyx σσσ ,, — компоненти тензора напружень σ̂ ; θθθ κκα ddaaa kki ,,,,,,,
( ,3,1=i k = 1, 2) — сталі величини, які визначаються характеристиками мате-
ріалу. Зазначимо, що співвідношення (6) є рівнянням рівноваги та рівнянням
типу Бельтрамі-Мітчелла; (7) є рівнянням теплопровідності; перше та друге
рівняння системи (8) є рівняннями балансу маси континууму центрів мас та
підсистеми домішок відповідно.
Крайові умови сформульованої задачі приймаємо у вигляді
0θ=θ , ( )xkk 0η=η (k = 1, 2) при 0=τ ;
0ˆ =σ⋅n , aθ=θ , a
kk η=η (k = 1, 2) при lx ±= . (9)
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 36-47
39
Функції )(0 xkη описують початковий рівноважний розподіл домішок, тому, на
основі результатів отриманих у роботі [5], для них приймаємо
−
ξ
ξ
+η=η 1
)ch(
)ch()( 0
0
110 l
xBx ,
−
ξ
ξ
α−η=η 1
)ch(
)ch()( 0
0
220 l
xBx , (10)
де 21 ακ−κ=ξ , 2
0
0
22
0
110 )( ξθκ+ηκ+ηκ= θB .
Зроблені вище припущення дозволяють розв’язати крайову задачу у три
послідовних етапи: на першому — визначити температурне поле у шарі з
рівняння теплопровідності (7) та відповідних крайових умов (9); на другому —
знайти хімічні потенціали скелету та домішок із системи рівнянь (8), відповідних
початкових та граничних умов (9); на третьому — обчислити компоненти
тензора напружень на основі (6), (9) та інтегральних умов
∫
−
γ =σ
l
l
dx 0 , ∫
−
γ =σ
l
l
dxx 0 { }zy,=γ , (11)
які повинні справджуватися у довільних поперечних перерізах y = const, z = const
шару.
2.2. Розподіли температури та компонент твердого розчину в шарі. Згідно
запропонованої методики, на першому етапі на основі співвідношення (7)
визначаємо температуру тіла. Розв’язком рівняння теплопровідності, що задо-
вольняє крайовим умовам задачі, є [12]
( ) ( ) ( ) ( )∑
∞
=
+
τ−
−
θ−θ+θ=τθ
1
2
1
0 expcos)1(2,
n
nn
n
n
aa akxk
lk
x . (12)
Тут lnkn 2)12(
π
−= , ( ∈n N).
На другому етапі отриманий розподіл температури в тілі (12) використаємо
для знаходження хімічних потенціалів скелету ( )τη ,1 x та домішок ( )τη ,2 x . Для
визначення ( )τη ,xk використаємо методику, запропоновану у роботі [13]. Тому
подамо шукані функції ( )τη ,xk у вигляді суми двох складових
( ) ( ) ( )τη+η=τη ,, xxx d
k
s
kk , (k = 1, 2). (13)
Складові ( )xs
kη є розв’язками такої стаціонарної задачі
a
ss
s
dx
d
θκ=ηκ−ηκ−
η
θ22112
1
2
,
02
2
2
2
1
2
=
η
+
η
α
dx
d
dx
d ss
; (14)
Ольга Грицина, Тарас Нагірний, Костянтин Червінка
Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі
40
as
11 η=η , as
22 η=η при lx ±= . (15)
Відповідно до співвідношень (7)-(9) та (13)-(15) складові ( )τη ,xd
k повинні задо-
вольняти рівнянням
( )a
dd
d
x
θ−θκ=ηκ−ηκ−
∂
η∂
θ22112
1
2
,
( ) 2
2
2
2
2
2
1
2
2211 )(
x
ada
xx
dd
dd
dd
∂
θ∂
−=
∂
η∂
−
∂
η∂
α−η+η
τ∂
∂
θθ ; (16)
нульовим граничним
01 =ηd , 02 =ηd при lx ±= (17)
і таким початковим умовам
)(1
)ch(
)ch(
10
0
11 x
l
xB sd η−
−
ξ
ξ
+η=η ,
)(1
)ch(
)ch(
20
0
22 x
l
xB sd η−
−
ξ
ξ
α−η=η при 0=τ . (18)
Зазначимо, що права частина системи рівнянь (16) є відомою функцією
координати та часу.
Розв’язок задачі (14), (15) має вигляд
( ) ( )
−
ξ
ξ
++η=η θ 1
)ch(
)ch(
11 l
xBBx aa
as ,
( ) ( )
−
ξ
ξ
+α−η=η θ 1
)ch(
)ch(
22 l
xBBx aa
as . (19)
Тут ( ) 2
2211 ξηκ+ηκ= aa
aB , 2ξκθ= θ
θ
aaB .
Для знаходження розв’язку задачі (16)-(18) використаємо розвинення шу-
каних функцій у ряд Фур’є. В результаті отримуємо
( ) ( ) ( )[ ] ( )xkakMMM
lk
x nnnnnn
n n
n
d cosexpexp)1(2),( 2
321
1
1
1 τ−+τλ−−
−
=τη ∑
∞
=
+
,
( ) ( )[∑
∞
=
+τλ−−
κ
κ+
⋅
−
=τη
1
21
2
1
2
2 exp)1(2),(
n
nnn
n
n
n
d MM
k
lk
x
( )] ( )xkakM nnn cosexp 2
4 τ−+ . (20)
Тут
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 36-47
41
22
2
0
221
0
11
1
0
11
)()(
ξ+
η−ηκ+η−ηκ
−η−η=
n
aa
a
n k
M , 22
0
32
)(
ξ+
κθ−θ
+= θ
n
a
nn k
MM ,
( ) ( )
−κ+−κ
−λξ+
λθ−θ
= θθθ )()1(
)(
22
222
0
3 aadad
akk
M
nnn
na
n ,
1
2
0
34
)(
κ+
κθ−θ
+= θ
n
a
nn k
MM ,
( )
( ) 1221
2
222
ddk
kk
n
nn
n
κ−κ+
ξ+
=λ .
На основі формул (13), (19), (20), для хімічних потенціалів ( )τη ,xk одер-
жуємо
( ) ( ) ∑
∞
=
+
θ ×
−
+
−
ξ
ξ
++η=τη
1
1
11
)1(21
)ch(
)ch(,
n n
n
aa
a
lkl
xBBx
( ) ( ) ( )[ ] ( )xkakMMM nnnnnn cosexpexp 2
321 τ−+τλ−−× ,
( ) ( ) ∑
∞
=
θ ×
κ
κ+
⋅
−
+
−
ξ
ξ
+α−η=τη
1 2
1
2
22
)1(21
)ch(
)ch(,
n
n
n
n
aa
a k
lkl
xBBx
( ) ( ) ( )[ ] ( )xkakMMM nnnnnn cosexpexp 2
421 τ−+τλ−−× . (21)
Аналіз співвідношень (21) показує, що хімічні потенціали компонент твер-
дого розчину змінюються від заданих значень a
1η , a
2η на поверхнях lx ±= до
екстремальних — на серединній поверхні х = 0 шару
( ) ( ) ∑
∞
=
+
θ ×
−
+
−
ξ
++η=τη
1
1
11
)1(21
)ch(
1,0
n n
n
aa
a
lkl
BB
( ) ( ) ( )[ ]τ−+τλ−−× akMMM nnnnn
2
321 expexp ,
( ) ( ) ∑
∞
=
θ ×
κ
κ+
⋅
−
+
−
ξ
+α−η=τη
1 2
1
2
22
)1(21
)ch(
1,0
n
n
n
n
aa
a k
lkl
BB
( ) ( ) ( )[ ]τ−+τλ−−× akMMM nnnnn
2
421 expexp . (22)
Зазначимо, що у формулах (21) складові, пропорційні θ
aB та inM ( 4,2=i ),
відображають вплив температурного поля на зміну хімічних потенціалів скелету
та домішок. Як частковий випадок за ізотермічних умов ( const=θ=θ a ) на
основі формул (21) отримуємо співвідношення
( ) ( ) ( ) ( )∑
∞
=
+
θ τλ−
−
+
−
ξ
ξ
++η=τη
1
1
1
11 cosexp)1(21
)ch(
)ch(,
n
nnn
n
n
aa
ac xkM
lkl
xBBx ,
Ольга Грицина, Тарас Нагірний, Костянтин Червінка
Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі
42
( ) ( ) ∑
∞
=
θ ×
κ
κ+
⋅
−
+
−
ξ
ξ
+α−η=τη
1 2
1
2
22
)1(21
)ch(
)ch(,
n
n
n
n
aa
ac k
lkl
xBBx
( ) ( )xkM nnn cosexp1 τλ−× , (23)
які описують закономірності розподілу хімічних потенціалів скелету й домішок у
пружному шарі внаслідок його дифузійного насичення.
При ∞→τ для хімічних потенціалів скелету та домішок отримуємо
( ) ( )xx s
11 η=η∞ , ( ) ( )xx s
22 η=η∞ . (24)
Неоднорідність розподілу ∞ηk (k = 1, 2) у стаціонарному стані зумовлена враху-
ванням у модельному описі локальної градієнтності хімічного потенціалу ске-
лету. Аналіз співвідношень (19), (24) показує, що для 1~lξ (тонкі шари) неодно-
рідність розподілу притаманна всій області тіла, тоді як для “товстих” шарів
( )1>>ξl неоднорідність має суто приповерхневий характер. Хімічні потенціали
∞ηk (k = 1, 2) монотонно змінюються від заданих поверхневих a
1η , a
2η до екстре-
мальних значень ( ) ( )( )1/ch11 −ξ++η θ lBB aa
a , ( ) ( )( )1ch/12 −ξ+α−η θ lBB aa
a на сере-
динній поверхні тіла. Якщо в модельному описі знехтувати ефектами локальної
неоднорідності, то в усталеному режимі отримаємо постійне по товщині шару
значення хімічного потенціалу, а отже і густини домішок.
2.3. Напружений стан шару. На третьому етапі, з використанням співвідношень
(12) і (21), які описують закономірності розподілу температури та хімічних
потенціалів компонент твердого розчину в термопружному шарі, для ненульових
компонент yσ та zσ тензора напружень σ̂ на основі рівнянь (6), умов (9), (11)
одержуємо
( ) ( ) ( ) ×
κ
κ+
−+
ξ
ξ
−
ξ
ξ
+=τσ=τσ ∑
∞
=
θ
2
1
2
21
1
12)th(
)ch(
)ch(,, n
n n
aazy
kaa
lkl
l
l
xBBAxx
( ) ( ) ( )[ ]τ−+τλ−−× akMMM nnnnn
2
521 expexp ( ) ( )
−− +
lk
xk
n
n
n 1cos1 1 , (25)
де 21 aaA α−= , ( )
( )1
2
221
223
035
κ+−κ
κ−κ
θ−θ+= θ
n
ann
kaa
aa
MM .
Напруження yσ та zσ на поверхнях lx ±= шару є розтягуючими. При від-
ході від поверхонь у глибину тіла при деякому alx ±= ці напруження дорівнюють
нулю і при alx < стають стискаючими.
Відомо, що характерні часи процесів теплопровідності та дифузії суттєво
відрізняються. Коли зміна напруженого стану двокомпонентного шару визна-
чається тепловими процесами, тоді з формул (25) одержуємо
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 36-47
43
( ) ( ) ( ) ×
κ
κ+
−+
ξ
ξ
−
ξ
ξ
+=τσ=τσ ∑
∞
=
θθθ
2
1
2
21
1
12)th(
)ch(
)ch(,, n
n n
aazy
kaa
lkl
l
l
xBBAxx
( ){ } ( ) ( )
−−τ−+−× +
lk
xkakMMM
n
n
n
nnnn
1cos1exp 12
521 . (26)
Якщо ж температура практично досягнула усталеного рівня, то з плином часу
зміна напруженого стану тіла зумовлюється протіканням дифузійних процесів.
Для таких часів із співвідношень (25) одержуємо
( ) ( ) ( ) ×+
ξ
ξ
−
ξ
ξ
+=τσ=τσ ∑
∞
=
θ
1
12)th(
)ch(
)ch(,,
n n
aa
c
z
c
y lkl
l
l
xBBAxx
( ) ( ){ }nnnn MMM 521 exp +τλ−−× ( ) ( )
−− +
lk
xk
n
n
n 1cos1 1 . (27)
При ∞→τ
( ) ( ) ( )
ξ
ξ
−
ξ
ξ
+=σ=σ θ∞∞
l
l
l
xBBAxx aazy
)th(
)ch(
)ch( . (28)
Величина напружень ∞σ y визначається поверхневими значеннями хімічних
потенціалів a
iη і температури aθ . Зазначимо, що у рамках класичної моделі тер-
мопружного твердого розчину рівноважні розподіли температури та домішок не
впливають на напружений стан шару.
Зупинимося детальніше на аналізі максимальних напружень у шарі. Най-
більшими розтягуючими напруженнями є поверхневі напруження yσ , zσ . Для
них на основі співвідношень (25) маємо
( ) ( ) ( )
( )
×−
ξ
ξ
−+=τ±σ=τ±σ ∑
∞
=
θ
1
2
12)th(1,,
n n
aazy
lkl
lBBAll
( ) ( ) ( ){ }τ−+τλ−−
κ
κ+
−× akMMM
k
aa nnnnn
n 2
521
2
1
2
21 expexp . (29)
Залежно від характеристик матеріалу та зовнішньої дії (значень a
ka ηθ , )
поверхневі напруження з плином часу можуть збільшуватися або зменшуватися.
Якщо ці характеристики є такими, що процеси теплопровідності та масоперене-
сення призводять до збільшення поверхневих напружень, то найбільшими будуть
напруження при ∞→τ . Для них на основі формул (28) одержуємо
( ) ( ) ( ) ( )
ξ
ξ
−+=±σ=±σ θ∞∞
l
lBBAll aazy
th1 . (30)
Ольга Грицина, Тарас Нагірний, Костянтин Червінка
Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі
44
Якщо ж внаслідок нагріву (охолодження) шару та його насичення доміш-
ками поверхневі напруження зменшуються, то найбільшими будуть значення
поверхневих напружень у початковий момент часу 0=τ
( ) ( ) ( )
ξ
ξ
−=±σ=±σ
l
lBAll zy
th10,0, 0 . (31)
У разі, коли нагрів (охолодження) тіла понижує рівень поверхневих напру-
жень, а насичення домішками — підвищує, то найбільшими можуть бути напру-
ження у початковий ( 0=τ ) момент часу або напруження, які досягаються при
∞→τ . Це залежить від параметрів зовнішньої дії aθ , a2η та властивостей
матеріалу.
Якщо процес теплопровідності призводить до збільшення поверхневих
напружень, а процес масоперенесення — до їх зменшення, то найбільшими
будуть поверхневі напруження у деякий момент часу *τ ( ∞<τ< *0 ). Це зумов-
лено тим, що температура в шарі змінюється значно швидше, ніж відбувається
перерозподіл домішок. При *τ→τ температурна складова поверхневих напру-
жень yσ , zσ практично досягає свого найбільшого значення, тоді як складова,
зумовлена перерозподілом домішок є нехтувально малою. При *τ>τ , коли тем-
пературна складова поверхневих напружень практично не змінюється,
визначальним стає вплив на поверхневі напруження процесу масоперенесення,
що призводить до зменшення значень поверхневих напружень. Для конкретних
фізичних властивостей тіла значення *τ може бути визначено на основі спів-
відношення (29).
Зазначимо також, що величина поверхневих напружень в усталеному режимі
залежить від товщини шару l, тому формулу (30) можна трактувати як таку, що
описує розмірний ефект поверхневих напружень. Для товстих шарів ( )1>>ξl
складовою пропорційною ( ) ( )ll ξξ /th можна знехтувати і тоді ( ) =±σ∞ ly ( ) =±σ∞ lz
( ) 2
2211 / ξθκ+ηκ+ηκ= θ a
aaA .
3. Поверхневий натяг
Використаємо отриманий розв’язок задачі для дослідження впливу температури
та домішок на величину поверхневого натягу pf , який є інтегральною характе-
ристикою розтягуючих приповерхневих напружень. У розглядуваному випадку
( ) ( )∫ τσ=τ γ
l
l
p
a
dxxf , , { }zy,=γ (32)
де al ( lla <<0 ) є точкою переходу розтягуючих напружень у стискаючі.
На основі формул (25) та (32) для поверхневого натягу fp у шарі одержуємо
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 36-47
45
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
×
κ
κ+
−+
ξ
ξ
−
ξ
ξ
+=τ ∑
∞
=
θ
2
1
2
21
1
2
12
sh
sh1th n
n n
a
a
a
aaap
kaa
lk
l
l
l
l
l
l
llBBAf
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )
−+⋅τ−+τλ−−× an
a
n
nnnnn lk
l
lakMMM sin11expexp 2
321 . (33)
А точка переходу розтягуючих напружень у стискаючі визначається з рівняння
( ) ×
κ
κ+
−⋅+
ξ
ξ
−
ξ
ξ
+ ∑
∞
=
θ
2
1
2
21
1
12)th(
)ch(
)ch( n
n n
a
aa
kaa
lkl
l
l
lBBA
( ) ( ) ( ){ }τ−+τλ−−× akMMM nnnnn
2
521 expexp ( ) ( )
−− +
lk
lk
n
an
n 1cos1 1 = 0. (34)
Загальний розв’язок рівняння (34) в аналітичному вигляді записати складно. Для
усталеного режиму ( ∞→τ ) розв’язок цього рівняння буде мати вигляд
( )
ξ
ξ
ξ
=∞
l
lla
sh2ln1 . (35)
Якщо додатково прийняти, що ξ l >>1, то останнє співвідношення набуде
вигляду
( )
ξ
ξ
−=∞
l
llla
ln1 . (36)
Враховуючи дане співвідношення, для поверхневого натягу в усталеному режимі
∞
pf отримуємо
( )
ξ
ξ
−
ξ
−
ξ
θκ+ηκ+ηκ
= θ∞
l
l
l
Af a
aa
p
ln113
2211 . (37)
Із збільшенням товщини шару
(див. рис. 1), поверхневий натяг
зростає, прямуючи до значення
( ) 3
2211
* /ξθκ+ηκ+ηκ= θ a
aa
p Af .
Залежність характерного значення
*
pf від температури aθ та хіміч-
ного потенціалу домішок a
2η є
лінійною.
У процесі нагріву шару ко-
ордината точки переходу розтягу-
ючих напружень у стискаючі не
Рис. 1. Залежність поверхневого
натягу в шарі від його товщини
x
*
p
p
f
f ∞
3 38 73
0,8
0,6
0,4
0,2
Ольга Грицина, Тарас Нагірний, Костянтин Червінка
Локально градієнтний підхід та вплив температури й домішок на поверхневий натяг у шарі
46
змінюється [14], тобто значення al практично не залежить від часу і визна-
чається формулою (36). Тому, якщо перерозподіл напружень у шарі зумовлений
його нагрівом (охолодженням), а розподіл домішок незначно відрізняється від
початкового, то на основі формул (26), (32) та (36) для поверхневого натягу
можна записати
( )
×
κ
κ+
−
ξ
+
ξ
ξ
−
ξ
−
ξ
= ∑
∞
=
θ
1 2
1
2
21
0 2ln11
n
n
nn
p
kaa
lkkl
l
l
ABf
( ) ( ) ( )
ξ
+−
ξ
ξ
τ−×
lk
llkakM
n
n
nn
ln1lncosexp 2
5 . (38)
Висновки. Найбільшими напруженнями у вільному від зовнішнього силового
навантаження шарі є поверхневі напруження. Залежно від параметрів матеріалу
та характеру зовнішньої дії ці напруження з часом можуть монотонно збіль-
шуватися (зменшуватися), або ж до деякого моменту часу *τ=τ збільшуватися
(зменшуватися), а при *τ>τ — зменшуватися (збільшуватися). Таким чином,
вибором температурного режиму можна досягати потрібного рівня найбільших
напружень у шарі в процесі його дифузійного насичення.
У рівноважному стані координата точки переходу приповерхневих розтя-
гуючих напружень у стискаючі не залежить від температури та густини домішок.
Разом із тим, температура та густина домішок можуть суттєво впливати на вели-
чину поверхневих напружень.
Отримані співвідношення можна використати для дослідження впливу
температури та домішок на поверхневий натяг і його розмірний ефект як в
процесі насичення й нагріву, так і в усталеному режимі.
У рівноважному стані зі збільшенням товщини шару значення поверх-
невого натягу, віднесене до величини поверхневого натягу у півпросторі з
такими ж характеристиками матеріалу, монотонно збільшується, прямуючи до
одиниці. Показано, що залежність поверхневого натягу від заданих на границі
значень температури та хімічного потенціалу домішок є лінійною.
Робота виконана за часткової фінансової підтримки Фонду фундаментальних досліджень
Міністерства науки та освіти України.
Література
[1] Подстригач Я. С., Повстенко Ю. З. Введение в механику поверхностных явлений
в деформируемых твердых телах. — К.: Наук. думка, 1985. — 200 с.
[2] Беляев А., Жемчужина Е. А. Поверхностные явления в металлургических процес-
сах. — М.: Металлургиздат, 1952. — 144 с.
[3] Бартенев Г. М., Зуев Ю. С. Прочность и разрушение высокоэластических материа-
лов. — М.-Л.: Химия, 1964. — 388 с.
[4] Комник Ю. Ф. Физика металлических пленок. — М.: Атомиздат, 1979. — 264 с.
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 36-47
47
[5] Бурак Я. И., Нагирный Т. С., Грицина О. Р., Червинка К. А. Поверхностные напря-
жения в слое. Влияние температуры и примесей на прочность // Проблемы проч-
ности. — 2000. — № 6. — C. 35–43.
[6] Васильев В. З., Каптелин С. Ю. О физико-механической природе эффекта упроч-
нения материала нитевидных кристаллов и тонких нитей // Прикл. мех. и техн.
физика. — 1992. — № 4. — C. 135–141.
[7] Коршунов А. И., Новиков С. А. Влияние масштабного эффекта на параметры долго-
вечности // Проблемы прочности. — 1990. — № 7. — C. 56–58.
[8] Новиков Н. В., Левитас В. И., Шестаков С. И. Численное моделирование прочнос-
ти и долговечности конструкций с учетом масштабного эффекта // Проблемы
прочности. — 1991. — № 5. — C. 37–43.
[9] Бурак Я. И., Нагирный Т. С. Математическое моделирование локально-градиент-
ных процессов в инерционных термомеханических системах // Прикладная меха-
ника. — 1992. — Т. 28, № 12. — C. 3–23.
[10] Бурак Я. Й., Нагірний Т. С., Грицина О. Р. Про термодинамічне моделювання при-
поверхневих явищ в термомеханіці // ДАН УРСР. Сер. А. — 1991. — № 9. —
C. 66–70.
[11] Нагірний Т. С., Червінка К. А. Поверхневі напруження в шарі. Вплив температури
на приповерхневий натяг та міцність // Доп. НАН України. — 2000. — № 10. —
C. 57–62.
[12] Лыков А. В. Теория теплопроводности. — М.: Высшая шк., 1967. — 599 с.
[13] Бурак Я. Й., Нагірний Т. С., Грицина О. Р. Вплив домішок на приповерхневу неод-
норідність та міцність шару в процесі його насичення // Доп. НАН України. —
2001. — № 4. — С. 51-57.
Locally Gradient Approach and Temperature
and Admixtures Effect on Surface Tension in the Layer
Olha Hrytsyna, Taras Nahirnyy, Kostiantyn Tchervinka
The model of the local nonhomogeneous binary solid solution is applied to investigation of
stressed-strained state and regularities of temperature and admixture distributions in thermo-
elastic layer. The obtained relations are used for study of temperature and admixture influence on
surface tension in the layer during its heating and saturation process.
Локально градиентный подход и влияние температуры
и примесей на поверхностное натяжение в слое
Ольга Грицина, Тарас Нагирный, Константин Червинка
Модель локально градиентного двухкомпонентного твердого раствора использована для
исследования напряженно-деформированного состояния и закономерностей распределения
температуры и примесей в термоупругом слое. Полученные соотношения использованы
для изучения влияния температуры и примесей на поверхностное натяжение в слое в про-
цессе его нагрева и диффузионного насыщения.
Отримано 17.09.04
|