Анализ системы обслуживания с портящимися запасами и разнотипными заявками
Запропоновано моделі систем обслуговування із запасами, що псуються, за наявності різнотипних вимог. Передбачається, що деякі вимоги після завершення їх обслуговування не купують запасів. Час обслуговування вимог і час поповнення запасів — додатні випадкові величини. Політика поповнення належить до...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208599 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Анализ системы обслуживания с портящимися запасами и разнотипными заявками / А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, М.О. Шахмалыев // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 5. — С. 77-94. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208599 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Шахмалыев, М.О. 2025-11-02T17:37:22Z 2017 Анализ системы обслуживания с портящимися запасами и разнотипными заявками / А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, М.О. Шахмалыев // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 5. — С. 77-94. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208599 519.872 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i9.40 Запропоновано моделі систем обслуговування із запасами, що псуються, за наявності різнотипних вимог. Передбачається, що деякі вимоги після завершення їх обслуговування не купують запасів. Час обслуговування вимог і час поповнення запасів — додатні випадкові величини. Політика поповнення належить до класу двох рівнів. Розроблено точний і наближений методи розрахунку основних характеристик запропонованих моделей. Висока точність наведених формул показана за допомогою числових експериментів. Models of perishable queueing-inventory systems with different types of customers are proposed. It is assumed that part of customers may not be served on completion of service. Both service time of customers and replenishment lead time have exponential distributions. Lead policy is two-level one. Both exact and approximate methods to calculate the main characteristics of the proposed models are developed. The high accuracy of proposed approximate formulas are shown by results of numerical experiments. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы обработки информации Анализ системы обслуживания с портящимися запасами и разнотипными заявками Аналіз системи обслуговування із запасами, що псуються, і різнотипними заявками Analysis of perishable queueing-inventory system with different types of customers Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Анализ системы обслуживания с портящимися запасами и разнотипными заявками |
| spellingShingle |
Анализ системы обслуживания с портящимися запасами и разнотипными заявками Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Шахмалыев, М.О. Методы обработки информации |
| title_short |
Анализ системы обслуживания с портящимися запасами и разнотипными заявками |
| title_full |
Анализ системы обслуживания с портящимися запасами и разнотипными заявками |
| title_fullStr |
Анализ системы обслуживания с портящимися запасами и разнотипными заявками |
| title_full_unstemmed |
Анализ системы обслуживания с портящимися запасами и разнотипными заявками |
| title_sort |
анализ системы обслуживания с портящимися запасами и разнотипными заявками |
| author |
Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Шахмалыев, М.О. |
| author_facet |
Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Шахмалыев, М.О. |
| topic |
Методы обработки информации |
| topic_facet |
Методы обработки информации |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Аналіз системи обслуговування із запасами, що псуються, і різнотипними заявками Analysis of perishable queueing-inventory system with different types of customers |
| description |
Запропоновано моделі систем обслуговування із запасами, що псуються, за наявності різнотипних вимог. Передбачається, що деякі вимоги після завершення їх обслуговування не купують запасів. Час обслуговування вимог і час поповнення запасів — додатні випадкові величини. Політика поповнення належить до класу двох рівнів. Розроблено точний і наближений методи розрахунку основних характеристик запропонованих моделей. Висока точність наведених формул показана за допомогою числових експериментів.
Models of perishable queueing-inventory systems with different types of customers are proposed. It is assumed that part of customers may not be served on completion of service. Both service time of customers and replenishment lead time have exponential distributions. Lead policy is two-level one. Both exact and approximate methods to calculate the main characteristics of the proposed models are developed. The high accuracy of proposed approximate formulas are shown by results of numerical experiments.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208599 |
| citation_txt |
Анализ системы обслуживания с портящимися запасами и разнотипными заявками / А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, М.О. Шахмалыев // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 5. — С. 77-94. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT melikovaz analizsistemyobsluživaniâsportâŝimisâzapasamiiraznotipnymizaâvkami AT ponomarenkola analizsistemyobsluživaniâsportâŝimisâzapasamiiraznotipnymizaâvkami AT šahmalyevmo analizsistemyobsluživaniâsportâŝimisâzapasamiiraznotipnymizaâvkami AT melikovaz analízsistemiobslugovuvannâízzapasamiŝopsuûtʹsâíríznotipnimizaâvkami AT ponomarenkola analízsistemiobslugovuvannâízzapasamiŝopsuûtʹsâíríznotipnimizaâvkami AT šahmalyevmo analízsistemiobslugovuvannâízzapasamiŝopsuûtʹsâíríznotipnimizaâvkami AT melikovaz analysisofperishablequeueinginventorysystemwithdifferenttypesofcustomers AT ponomarenkola analysisofperishablequeueinginventorysystemwithdifferenttypesofcustomers AT šahmalyevmo analysisofperishablequeueinginventorysystemwithdifferenttypesofcustomers |
| first_indexed |
2025-11-26T12:19:08Z |
| last_indexed |
2025-11-26T12:19:08Z |
| _version_ |
1850623611375714304 |
| fulltext |
© А.З. МЕЛИКОВ, Л.А. ПОНОМАРЕНКО, М.О. ШАХМАЛЫЕВ, 2017
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 77
УДК 519.872
А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, М.О. Шахмалыев
АНАЛИЗ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ
С ПОРТЯЩИМИСЯ ЗАПАСАМИ
И РАЗНОТИПНЫМИ ЗАЯВКАМИ
Введение
В классических моделях систем управления запасами предполагается, что время
обслуживания заявок равно нулю (либо настолько мало, что им можно пренебречь).
Вместе с тем существуют многие реальные системы, в которых это допущение не-
применимо. Системы управления запасами, в которых время обслуживания заявок
является положительной величиной, в современной англоязычной литературе полу-
чили название систем обслуживания-запасания (Queueing-Inventory Systems, QIS).
Одними из первых работ в этом направлении были [1, 2]. Детальный обзор работ,
посвященных изучению таких систем, можно найти в [3].
Основное допущение в моделях QIS состоит в том, что после обслуживания
каждой заявки уровень запасов системы уменьшается. Вместе с тем в недавних
работах [4, 5] изучены модели QIS, где это допущение не выполняется, т.е. там
предложены и изучены модели, в которых уровень запасов не уменьшается после
каждого обслуживания заявок. Указаны примеры таких систем: в некоторых ре-
альных системах после беседы (обслуживания) с продавцом (сервером) некоторая
часть покупателей (заявок) не приобретают товар (запас) и покидают систему.
Следовательно, в таких случаях уровень запасов системы не уменьшается; если
покупатель приобретает товар, то уровень запасов уменьшается. Еще одним при-
мером является конкурс на замещение вакантных должностей (запасы), где после
беседы (обслуживания) не каждый кандидат (заявка) принимается на работу, и,
следовательно, не уменьшается количество вакантных должностей.
Мотивационным началом данного исследования явились результаты, полу-
ченные в работах [4, 5]. Здесь предложенные в [4, 5] модели несколько модифи-
цируются. Во-первых, в отличие от [4, 5], изучаются модели QIS с портящимися
запасами (Perishable Queueing-Inventory System, PQIS); во-вторых, предполагает-
ся, что поступившие заявки присоединяются к очереди даже при отсутствии запа-
сов системы; в-третьих, допускается, что среднее время обслуживания разнотип-
ных заявок (т.е. заявок, которые покупают запасы, и заявок, которые не покупают
запасы) различно. Это допущение более адекватно описывает реальные ситуации,
так как если заявка решилась купить товар, то для нее начинаются дополнитель-
ные процедуры по оформлению товара. Таким образом, среднее время обслужи-
вания таких заявок будет больше (иногда намного больше), чем заявок, которые
отказываются приобрести товар. Кроме указанных выше отличий от моделей,
изученных в [4, 5], здесь также используется альтернативный метод их математи-
ческого анализа. А именно, для изучения предложенных моделей применяется
метод укрупнения состояний двухмерных цепей Маркова (Two-Dimensional
Markov Chain, 2-D MC) [6]. С помощью имитационного моделирования показана
высокая точность предложенных приближенных формул.
Отметим также, что модели PQIS с положительным временем обслуживания
заявок изучены в работах [7–13], в которых для нахождения стационарного рас-
пределения соответствующих многомерных цепей Маркова используются раз-
78 ISSN 0572-2691
личные модификации матрично-аналитического метода Ньютса [14]. Краткий об-
зор этих работ можно найти также в [6, 15].
Описание модели и постановка задачи
В изучаемую систему поступает пуассоновский поток заявок с интенсивно-
стью λ . Если в момент поступления заявки уровень запасов положительный, то
она с вероятностью 1 принимается на обслуживание, при условии что в этот мо-
мент сервер свободен; иначе заявки становятся в очередь. Здесь рассматриваются
очереди ограниченной и неограниченной длины. В модели с ограниченной очере-
дью, если в момент поступления очередной заявки в системе уже имеется N зая-
вок (включая заявки в сервере), она теряется с вероятностью 1. В модели с неог-
раниченной очередью все заявки могут присоединиться к очереди.
После обслуживания заявка, согласно схеме Бернулли, либо с вероятно-
стью 1σ отказывается получить товар, либо с вероятностью 2σ получает товар,
.121 =σ+σ При этом, если заявка отказывается получить товар, время ее обслу-
живания имеет экспоненциальное распределение со средним ;1
1
−μ иначе время ее
обслуживания также имеет экспоненциальное распределение, но со средним ,1
2
−μ
.12 μ<μ
Заявки присоединяются к очереди даже тогда, когда уровень запасов равен
нулю, и они некоторое время ожидают поступления запасов. При этом, находясь в
очереди, они являются нетерпеливыми, т.е. каждая заявка независимо от осталь-
ных ожидает в очереди случайное время, которое имеет экспоненциальное рас-
пределение со средним .1−τ
Для простоты изложения предположим, что поступающие заявки требуют
некоторый ресурс единичного размера, т.е. после обслуживания таких заявок уро-
вень запасов на складе уменьшается на единицу.
Каждая единица запасов системы независимо от остальных становится не-
пригодной для использования после случайного времени, которое имеет экспо-
ненциальную функцию распределения (ф.р.) с параметром γ , .0>γ При этом
предполагается, что запас, который уже находится на этапе отпуска по заявке, не
может портиться. Это означает, что уровень запасов на складе системы уменьша-
ется не только после их отпуска по заявкам, но и в результате их порчи.
Система имеет склад ограниченного объема S . Пополнение склада запасами
осуществляется согласно политике ).,( Ss Это означает, что когда уровень запа-
сов системы опускается до некоторой пороговой величины ,s отправляется заказ
на вышестоящий склад на поставку запасов объема .sS − При этом требуется,
чтобы после выполнения заказа уровень запасов на складе системы был не мень-
ше указанной величины .s Следовательно, для предотвращения случаев много-
кратных заказов необходимо выполнение соотношения ,2/Ss < иными словами,
возможными значениями s являются числа ,1
2
...,,1,0 −⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=
Ss где ][a обозначает
целую часть .a
Время выполнения заказа является положительной случайной величиной, ко-
торая имеет экспоненциальное распределение со средним .1−v
Задача состоит в определении совместного распределения уровня запасов систе-
мы и длины очереди заявок. Решение этой задачи позволит определить также усред-
ненные характеристики изучаемой модели PQIS, которые оцениваются с помощью
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 79
следующих параметров: средний уровень запасов на складе ),( avS средняя интен-
сивность порчи запасов системы );( avΓ средняя интенсивность заказов );(RR веро-
ятность потери заявок );(PL средняя длина очереди заявок ).( avL Определение ука-
занных характеристик позволяет произвести стоимостный анализ системы.
Методы расчета характеристик системы
Вначале рассмотрим модель системы с ограниченной очередью. Работа такой
системы описывается 2-D MC с состояниями вида ),,( nm где m — уровень ре-
сурсов на складе, n — число заявок в системе. Фазовое пространство состояний
(ФПС) этой цепи определяется так:
}....,,1,0;...,,1,0:),{( NnSmnmE === (1)
Определим элементы производящей матрицы (Q-матрицы) данной 2-D MC.
Граф переходов между состояниями этой цепи показан на рис. 1. Интенсивность
перехода из состояния Enm ∈),( 11 в состояние Enm ∈),( 22 обозначим ),,(( 11 nmq
)).,( 22 nm
(S, N)
(S – 1, N)
(S – s, N)
(s, N)
(1, N)
(0, N)
v
v
v v
(S, N – 1)
(S–1, N–1)
(S–s, N–1)
(s, N – 1)
(1, N – 1)
(0, N – 1)
(S, N – 2)
(s, N – 2)
(1, N – 2)
(0, N – 2)
(S–s, N–2)
(S–1, N–2)
(S, … )
(s, … )
(1, … )
(0, … )
(S–s, … )
(S–1, … )
(S, 2 )
(s, 2 )
(1, 2 )
(0, 2 )
(S–s, 2 )
(S–1, 2 )
(S, 1 )
(s, 1 )
(1, 1 )
(0, 1 )
(S–s, 1 )
(S–1, 1 )
(S, 0 )
(s, 0 )
(1, 0 )
(0, 0 )
(S–s, 0 )
(S–1, 0 )
(S – 1) γ
λ
μ1σ1
μ1σ1
Nτ
SY
Рис. 1
Из описания изучаемой системы видно, что переходы между состояниями
ФПС (1) связаны со следующими событиями: (i) поступление заявок, (ii) заверше-
ние обслуживания заявок, (iii) завершение времени жизни запасов, (iv) уход зая-
вок из очереди из-за их нетерпеливости и (v) пополнение запасов. Исходя из при-
нятой политики пополнения запасов и схемы ухода заявок из очереди, необходи-
мо различать следующие три случая при определении исходного состояния
:),( 11 Enm ∈ 1) ;1 sm > 2) .0)3;0 11 =≤< msm
Сначала рассмотрим случай .1 sm > Выходы из данного состояния ),( 11 nm
из-за событий типа (iv) и (v) невозможны, так как в таких состояниях заявки тер-
пеливы, и не происходит пополнения склада запасами. Остальные переходы оп-
ределяются следующим образом.
80 ISSN 0572-2691
• Если поступает заявка (события типа (i)) и число заявок в системе меньше ,N
то число заявок в системе увеличивается на единицу, т.е. осуществляется переход
из данного состояния в состояние ;)1,( 11 Enm ∈+ интенсивность этого перехода
равна λ .
• Если после обслуживания заявка отказывается получить товар (события
типа (ii)), то число заявок в системе уменьшается на единицу, при этом уровень
запасов системы не меняется, т.е. осуществляется переход из данного состояния
в состояние ;)1,( 11 Enm ∈− интенсивность этого перехода равна .11σμ
• Если после завершения обслуживания заявка получает товар (события типа
(ii)), то число заявок в системе и уровень запасов системы одновременно умень-
шаются на единицу, т.е. осуществляется переход из данного состояния в состоя-
ние ;)1,1( 11 Enm ∈−− интенсивность этого перехода равна ).1( 12 σ−μ
• После завершения времени жизни запасов на складе (события типа (iii))
осуществляется переход из данного состояния в состояние ;),1( 11 Enm ∈− интен-
сивность этого перехода равна ,1γm если ,01 =n а в случаях 01 >n — интенсив-
ность такого перехода равна .)1( 1 γ−m
Следовательно, для случаев sm >1 элементы Q-матрицы определяются так
(см. рис. 1):
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=>−=γ−
==−=γ
−=−=σμ
−==σμ
+==λ
=
случаях.других в,0
,,0,1 если,)1(
,0,1 если,
,1,1 если,
,1, если,
,1, если,
)),(),,((
121121
21121
121222
121211
1212
2211
nnnmmm
nnmmm
nnmm
nnmm
nnmm
nmnmq (2)
Если в исходном состоянии Enm ∈),( 11 выполняется условие ,0 1 sm ≤< то
выходы из данного состояния ),( 11 nm из-за событий типа (iv) также невозможны,
так как в таких состояниях заявки терпеливы. Кроме того, интенсивности перехо-
дов для указанных выше событий типа (i)–(iii) определяются аналогично соотно-
шениям (2). Вместе с тем в момент поступления заказа объема sS − (события
типа (v)) происходит переход из этого состояния в состояние );,( 11 nsSm −+ ин-
тенсивность такого перехода равна .v Следовательно, для случаев sm ≤< 10 ука-
занные выше элементы Q-матрицы определяются так (см. рис. 1):
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=+=ν
=>−=γ−
==−=γ
−=−=σμ
−==σμ
+==λ
=
случаях.других в,0
,, если,
,,0,1 если,)1(
,0,1 если,
,1,1 если,
,1, если,
,1, если,
)),(),,((
1212
121121
12121
121222
121211
1212
2211
nnSmm
nnnmmm
nnmmm
nnmm
nnmm
nnmm
nmnmq (3)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 81
И наконец, пусть в исходном состоянии Enm ∈),( 11 выполняется условие
.01 =m В этом случае выходы из данного состояния из-за событий типа (ii) и (iii)
невозможны, так как в этих состояниях невозможно производить обслуживание
заявок и склад системы является пустым. В этих состояниях интенсивности пере-
ходов для событий типа (i) и (v) определяются аналогично соотношениям (3). Ин-
тенсивности переходов из-за нетерпеливости заявок (события типа (iv)) опреде-
ляются так: после ухода заявки из очереди из-за ее нетерпеливости число заявок в
системе уменьшается на единицу, и при этом уровень запасов системы также не ме-
няется, т.е. осуществляется переход из данного состояния в состояние ;)1,0( 1 En ∈−
интенсивность этого перехода равна .1τn Следовательно, для случаев 01 =m эле-
менты Q-матрицы определяются так (см. рис. 1):
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=−=ν
−==τ
+==λ
=
случаях.остальных в,0
,, если,
,1,0 если,
,1,0 если,
)),(),,0((
122
1221
122
221
nnsSm
nnmn
nnm
nmnq (4)
Из формул (2)–(4) видно, что все состояния этой конечной 2-D MC являются
сообщающимися. Следовательно, в этой системе существует стационарный ре-
жим (см. рис. 1). Иными словами, стационарные вероятности состояний ),,( nmp
,),( Enm ∈ являются единственным решением системы уравнений равновесия
(СУР), которая составляется на основе соотношений (2)–(4). Из-за громоздкости и
очевидности ее составления явный вид этой СУР здесь не приводится.
Искомые усредненные характеристики исследуемой системы находятся через
стационарные вероятности состояний следующим образом.
• Средний уровень ресурсов на складе )( avS
.),(
01
nmpmS
N
n
S
m
av ∑∑
==
= (5)
• Средняя интенсивность порчи запасов системы )( avΓ
.),()1()0,(
1 1 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+γ=Γ ∑ ∑
= =
S
m
N
n
av nmpmmmp (6)
• Средняя интенсивность заказов )(RR
.),1()()0,1()1(
1
22 ∑
=
+γ+σμ+++γ=
N
n
nspsspsRR (7)
• Вероятность потери заявок )(PL
.),0(),(
1
10 τ+λ
τ
+= ∑∑
−
== n
nnpNmpPL
N
n
S
m
(8)
• Среднее число заявок в системе )( avL
).,(
01
nmpnL
S
m
N
n
av ∑∑
==
= (9)
82 ISSN 0572-2691
Из формул (5)–(9) видно, что для точного расчета характеристик изучаемой
модели PQIS необходимо найти решение указанной выше СУР для стационарных
вероятностей состояний. В связи с этим отметим, что из-за сложной структуры
Q-матрицы не всегда удается найти ее аналитическое решение. Потому для реше-
ния поставленной задачи необходимо использовать известные численные методы
теории марковских цепей. Однако эти методы работоспособны лишь для цепей
умеренной размерности и совершенно бесполезны для цепей большой размерно-
сти, которые зачастую являются моделями реальных PQIS.
Здесь для решения указанной проблемы используется приближенный метод [6],
позволяющий осуществить асимптотический анализ характеристик данной моде-
ли PQIS при больших размерностях склада системы и буфера для ожидания зая-
вок в очереди.
Этот метод можно корректно использовать для анализа систем, которые ра-
ботают в условиях большой нагрузки; иными словами, предполагается, что ин-
тенсивность поступления заявок намного превосходит интенсивности порчи запа-
сов и их пополнения, т.е. }.,{max νγ>>λ Отметим, что это допущение выполня-
ется в реальных PQIS. Кроме того, выше было указано, что .21 μ>>μ
При выполнении указанных допущений рассмотрим следующее расщепление
исходного ФПС (1):
,,0, 21
0
21IU mmEEEE mmm
S
m
≠==
=
(10)
где ....,,1,0},...,,1,0:),{( SmNnEnmEm ==∈=
Расщепление (10) означает, что класс состояний mE содержит те состояния
),( nm из исходного ФПС (1), в которых уровень запасов равен m независимо от
числа заявок в системе (т.е. осуществляется разбиение графа состояний, показан-
ного на рис. 1, по строкам). В силу принятых выше допущений заключаем, что
интенсивности переходов между состояниями внутри строк намного превосходят
интенсивности переходов между состояниями из разных строк.
Далее на основе расщепления (10) в исходном ФПС (1) определяется сле-
дующая функция укрупнения:
,)),(( 〉〈= mnmU (11)
где 〉〈m — укрупненное состояние, которое объединяет в себе класс состояний ,mE
....,,1,0 Sm = Обозначим }....,,1,0:{ Smm =〉〈=Ω
Стационарное распределение исходной модели приближенно определяется
следующим образом (см. [6]):
,)()(),( 〉〈πρ≈ mnnmp m (12)
где )(nmρ — вероятность состояния ),( nm внутри расщепленной модели с про-
странством состояний ,mE а )( 〉〈π m — вероятность укрупненного состояния
.Ω∈〉〈m
Из расщепления (10) видно, что во всех состояниях ),( nm внутри расщеп-
ленной модели с ФПС mE первая компонента является постоянной, и потому все
состояния из этого класса определяются лишь второй компонентой. Таким обра-
зом, при изучении расщепленных моделей с ФПС mE состояние mEnm ∈),( мо-
жет быть задано лишь второй компонентой, т.е. для удобства изложения при изу-
чении расщепленной модели с ФПС mE ее состояние ),( nm просто обозначается
как ....,,1,0, Nnn =
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 83
Из соотношений (2) и (3) получаем, что вероятности состояний внутри всех
расщепленных моделей с ФПС ,...,,1, SmEm = совпадают с вероятностями со-
стояний модели NMM /1// с нагрузкой 11/ σμλ=a erl., т.е.
....,,1,
1
1)( 1 Sm
a
aan N
n
m =
−
−
=ρ
+
(13)
Замечание 1. Поскольку величины )(nmρ не зависят от индекса ,m ,...,,1 Sm =
ниже этот индекс у этих величин опускается.
Из соотношений (4) получаем, что вероятности состояний внутри расщеп-
ленной модели с ФПС 0E совпадают с вероятностями состояний модели Эрланга
0/// NMM с нагрузкой τλ= /b erl., т.е.
....,,1,0,
)(
)()(
0
0 Nn
j
nn N
j
=
θ
θ
=ρ
∑
=
(14)
Здесь и далее приняты следующие обозначения: .
!
)/()(
j
j
jτλ
=θ
Интенсивность перехода из одного укрупненного состояния 〉〈 1m в другое
укрупненное состояние 〉〈 2m обозначим .,),,( 2121 Ω∈〉〈〉〈〉〈〉〈 mmmmq Согласно
[6] эти параметры определяются следующим образом:
).,()),(),,((),( 112211
),(
),(
21
222
111
nmpnmnmqmmq
m
m
Enm
Enm
∑
∈
∈
=〉〈〉〈 (15)
С учетом (2)–(4) и (13)–(15) после определенных преобразований находим,
что указанные интенсивности переходов вычисляются так (рис. 2):
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−+=≤ν
−=Λ
=〉〈〉〈
случаях,остальных в,0
,, если,
,1 если),(
),( 121
121
21 sSmmsm
mmm
mmq (16)
где ....,,2,1),)1())(0(1()0()( 112211 Smmmm =γ−+σμρ−+γρ=Λ
v
S–s+1
v
v v
0 1 S – s S – 1 S s – 1 s
Λ(S–s+1 ) Λ(S) Λ(S) Λ(1)
Рис. 2
Тогда из (16) имеем
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≤≤+−〉+〈πχ
−≤≤+〉+〈πβ
≤≤〉+〈πα
=〉〈π
.1 если),1(
,1 если),1(
,0 если),1(
)(
SmsSs
sSmss
sms
m
m
m
m
(17)
Здесь и далее приняты следующие обозначения:
.
)(
;
)(
)1(;
)1(
)(1
1
i
s
sSmi
mm
s
mi
m mm
s
i
i
α
Λ
ν
=χ
Λ
+Λ
=β
−Λ+ν
Λ
=α ∑∏
+−=
+
+=
84 ISSN 0572-2691
Вероятность )1( 〉+〈π s находится из условия нормировки, т.е.
.)1(
1
110
−
+−=
−
+==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
χ+β+α=〉+〈π ∑∑∑ m
S
sSm
m
sS
sm
s
m
ms (18)
Далее с учетом соотношений (13)–(18) из (12) находится совместное распре-
деление уровня запасов на складе системы и числа заявок в системе.
Следовательно, используя (5)–(9), получим следующие формулы для при-
ближенного расчета характеристик изучаемой системы:
);(
1
〉〈π≈ ∑
=
mmS
S
m
av (19)
)));0(1)(1()0()((
1
ρ−−+ρ〉〈πγ≈Γ ∑
=
mmm
S
m
av (20)
)));0(1)(()0()1)((1( 22 ρ−σμ+γ+γρ+〉+〈π≈ sssRR (21)
;)()()0())0(1)(( 0
1
1
0 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
λ+τ
τ
ρ+ρ〉〈π+〉〈π−ρ≈ ∑
−
= n
nnNNPL
N
n
(22)
).())0(1()()0(
11
0 nnnnL
N
n
N
n
av ρ〉〈π−+ρ〉〈π≈ ∑∑
==
(23)
Теперь рассмотрим модель PQIS с неограниченной очередью заявок. Работа
данной системы также описывается 2-D MC, но в этом случае ФПС модели явля-
ется бесконечномерным, т.е. ФПС этой модели задается так:
...}.,1,0;...,,1,0:),{( === nSmnmE (24)
Замечание 2. Здесь и в дальнейшем в целях упрощения изложения в обеих
моделях используются одинаковые обозначения для их ФПС, стационарных рас-
пределений и характеристик. Однако из контекста будет ясно, о каких именно мо-
делях идет речь.
Элементы Q-матрицы данной цепи Маркова (ЦМ) определяются аналогично
(2)–(4). Характеристики системы определяются из соотношений (5)–(9), но при
этом следует иметь в виду, что в этих формулах необходимо положить ∞=N .
При определении вероятности потери заявок в данной модели отсутствует первое
слагаемое в формуле (8), так как буфер для ожидания заявок имеет бесконечную
размерность, и потери заявок происходят только из-за их нетерпеливости.
Для нахождения стационарного распределения соответствующей беско-
нечномерной 2-D MC не удается использовать соответствующую СУР для
стационарных вероятностей состояний, так как здесь также не удается найти
аналитические выражения для их вычисления. Использование метода двух-
мерных производящих функций сопровождается известными трудностями.
Потому для решения этой задачи используем описанный выше метод.
Здесь также рассматривается аналогичное (10) расщепление ФПС (24) и со-
ответствующим образом строится функция укрупнения (см. (11)).
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 85
В данном случае вероятности состояний внутри всех расщепленных моделей
с ФПС mE вычисляются как вероятности состояний модели ∞/1// MM с на-
грузкой 11/ σμλ=a erl., т.е.
....,1,0),1()( =−=ρ naan n (25)
Замечание 3. Здесь предполагается, что выполняется условие эргодичности
модели, т.е. .1<a
Вероятности состояний внутри расщепленной модели с ФПС 0E вычисля-
ются как вероятности состояний модели ∞// MM с нагрузкой τλ= /b erl., т.е.
....,1,0,
!
)(0 ==ρ − ne
n
bn b
n
(26)
Вероятности состояний укрупненной модели определяются аналогично (16), (17).
Далее, используя соотношения (16), (18), (25) и (26), после определенных преоб-
разований получим формулы для вычисления приближенных значений характе-
ристик изучаемой модели PQIS с неограниченной очередью заявок. Средний уро-
вень запасов, средняя интенсивность порчи запасов системы, средняя интенсив-
ность заказов определяются по формулам (19)–(21) соответственно, при этом
данные формулы еще больше упрощаются, так как .)0(1 a=ρ− Вероятность по-
тери заявок и средняя длина очереди заявок в данной модели вычисляются так:
;
!
)0(
1
∑
∞
=
−
λ+τ
τ
〉〈π≈
n
n
b
n
n
n
bePL (27)
.
1
))0(1()0(
a
abLav −
〉〈π−+〉〈π≈ (28)
Замечание 4. В формулу (27) входит бесконечный ряд, для вычисления сум-
мы которого не удается найти явную формулу. Вместе с тем этот ряд сходится,
так как сходится соответствующий мажорантный ряд ∑
∞
=1 !n
n
n
b . Потому здесь ис-
пользуется метод отсечения хвоста ряда, т.е. верхняя граница суммы заменяется
достаточно большой (конечной) величиной, далее она постепенно увеличивается,
и эта процедура продолжается до тех пор, пока значение соответствующей суммы
практически перестает меняться.
Отметим, что из данной работы в частном случае при ∞=γ−1 (т.е. при
)0=γ могут быть получены результаты для модели QIS с бесконечным временем
жизни запасов.
Численные результаты
Проведенные численные эксперименты имели две цели: изучить, во-первых,
точность вычисления вероятностей состояний исходной двухмерной цепи Марко-
ва с помощью предложенных приближенных формул и, во-вторых, поведение ха-
рактеристик исследуемых моделей PQIS относительно изменения выбранных па-
раметров системы.
Относительно первой цели отметим, что, как было отмечено выше, точные
значения вероятностей состояний исходной цепи определяются из соответствую-
щей СУР, которая представляет собой систему линейных алгебраических уравне-
ний размерности ).1)(1( ++= NSE
86 ISSN 0572-2691
Зачастую точность вычисления приближенных значений неизвестных оцени-
вается с помощью следующих норм подобия:
• максимум разностей:
;)(~)(max1 nn
n
pp
E
−=Ν
∈
(29)
• норма Эвклида:
;))(~)((
2/1
2
2 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=Ν ∑
∈E
pp
n
nn (30)
• подобия косинуса:
;
))(~())((
)(~)(
2/12/1
2
3
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=Ν
∑∑
∑
∈∈
∈
EE
E
pp
pp
nn
n
nn
nn
(31)
• коэффициент (Жаккара) Jaccard [16]
.
)}(~,)({max
})(~,)({min
4 ∑
∑
∈
∈=Ν
E
E
pp
pp
n
n
nn
nn
(32)
Здесь и далее )(~ np обозначает приближенное значение вероятности состоя-
ния .E∈n
Поскольку для норм (29) и (30) имеет место соотношение ≤Ν≤Ν 21
,1Ν≤ E они эквивалентны. Исходя из этого ниже предлагается вместо клас-
сической нормы Эвклида (30) использовать ее модифицикацию, которая оценива-
ет погрешность, приходящуюся на долю одной (или каждой) переменной, т.е.
здесь вместо (30) предлагается следующая норма:
.1
25 Ν=Ν
E
(33)
Введение нормы (33) объясняется тем, что предложенный подход предназна-
чен, главным образом, для изучения моделей большой и сверхбольшой размерно-
сти, и поэтому интерес представляет изменение точности разработанных формул
относительно увеличения размерности модели.
Изучение точности разработанных формул аналитическим путем не пред-
ставляется возможным, поэтому используется способ сравнительного анализа ре-
зультатов, полученных при численных экспериментах.
Некоторые результаты сравнительного анализа вычисления вероятностей со-
стояний при точном и приближенном подходах показаны в табл. 1. Здесь и далее
принимается, что фиксированные исходные данные модели выбраны следующим
образом: .0,1,0,2,5,0,7,0,0,3,0,6 121 =ν=γ=τ=σ=μ=μ Точные значения ве-
роятностей состояний вычисляются из соответствующей СУР, при этом здесь ис-
пользован пакет MATLAB. Время решения СУР существенным образом зависит
от ее размера и составляет несколько часов при 5000>⋅ NS (так, например, при
50=S и 100=N на четырехъядерном процессоре Core i7 2.40 Ghz с оперативной
памятью 8 Гбайт потребуется минимум 3-4 часа). Отметим, что на том же компь-
ютере при использовании приближенного подхода для расчета характеристик мо-
дели с параметрами 100=S и 500=N потребуется 3-4 секунды.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 87
Таблица 1
Входные параметры Значения норм подобия
(s, S) N λ (29) (33) (31) (32)
40 0,002330 0,000010 0,999803 0,961980
30
60 0,001730 0,000007 0,999914 0,974577
40 0,002330 0,000007 0,999699 0,955375
50
60 0,001546 0,000004 0,999909 0,974099
40 0,005211 0,000008 0,998790 0,923297
70
60 0,001570 0,000003 0,999871 0,970748
90 60 0,002401 0,000003 0,999696 0,958806
(6,20)
110 60 0,005392 0,000005 0,998894 0,929782
40 0,001905 0,000006 0,999797 0,960883
30
60 0,001414 0,000004 0,999911 0,973821
40 0,001905 0,000004 0,999709 0,955487
50
60 0,001263 0,000002 0,999907 0,973431
40 0,004260 0,000005 0,998923 0,929186
70
60 0,001263 0,000002 0,999875 0,970693
90 60 0,001962 0,000002 0,999725 0,960921
(11,30)
110 60 0,004407 0,000003 0,999031 0,937082
40 0,001658 0,000004 0,999794 0,960249
30
60 0,001231 0,000003 0,999910 0,973384
40 0,001658 0,000003 0,999715 0,955552
50
60 0,001100 0,000002 0,999906 0,973044
40 0,003709 0,000003 0,998997 0,932609
70
60 0,001100 0,000001 0,999878 0,970661
90 60 0,001709 0,000001 0,999742 0,962147
(16,40)
110 60 0,003837 0,000002 0,999105 0,941331
40 0,001490 0,000003 0,999792 0,959817
30
60 0,001106 0,000002 0,999909 0,973085
40 0,001490 0,000002 0,999720 0,955597
50
60 0,000989 0,000001 0,999906 0,972780
40 0,003333 0,000002 0,999046 0,934952
70
60 0,000989 0,000001 0,999880 0,970638
90 60 0,001536 0,000001 0,999754 0,962984
40 0,004902 0,000004 0,992089 0,809082
(21,50)
110
60 0,003449 0,000001 0,999155 0,944241
Из табл. 1 видно, что с ростом интенсивности потока заявок точность вычис-
ления вероятностей состояний модели систематически увеличивается относи-
тельно всех норм, т.е. с ростом интенсивности потока заявок нормы (29) и (33)
приближаются к нулю, в то время как нормы (31) и (32) — к единице. Эти резуль-
таты подтверждают известный факт из теории фазового укрупнения о том, что чем
меньше интенсивности переходов между классами состояний в принятом расщеп-
лении ФПС модели, тем больше точность вычисления вероятностей состояний ис-
ходной модели. Действительно, с ростом интенсивности потока заявок уменьшают-
ся интенсивности переходов между классами состояний ,...,,1,0, SmEm = в рас-
щеплении (10).
Для указанных выше исходных данных проведен также анализ точности вы-
числения характеристик системы. При этом характеристики разделены на два
88 ISSN 0572-2691
класса — характеристики (5)–(7), которые касаются «системы управления запаса-
ми», и характеристики (8), (9), относящиеся к «системе обслуживания». Исходя из
этого соответствующие результаты показаны в табл. 2 и 3.
Таблица 2
Входные параметры avS
avΓ RR
(s, S) N λ EV AV EV AV EV AV
20 5,145050 5,145192 8,572275 8,571888 0,667521 0,667515
40 5,145315 5,145320 8,571551 8,571536 0,667510 0,667509 5
60 5,145324 5,145324 8,571527 8,571525 0,667509 0,667509
(6, 20)
[10, 110] [20,60] 5,145325 5,145325 8,571524 8,571523 0,667509 0,667509
20 7,451137 7,451297 13,133213 13,132808 0,733121 0,733116
40 7,451426 7,451432 13,132481 13,132465 0,733113 0,733113 5
60 7,451435 7,451436 13,132457 13,132455 0,733113 0,733113
(11, 30)
[10, 110] [20,60] 7,451437 7,451437 13,132453 13,132453 0,733113 0,733113
20 9,706840 9,707010 17,614977 17,614560 0,767683 0,767680
40 9,707141 9,707148 17,614237 17,614221 0,767677 0,767677 5
60 9,707151 9,707152 17,614212 17,614210 0,767677 0,767677
(16, 40)
[10, 110] [20,60] 9,707153 9,707153 17,614209 17,614209 0,767677 0,767677
20 11,943660 11,943836 22,068385 22,067959 0,789204 0,789201
40 11,943968 11,943975 22,067638 22,067622 0,789199 0,789199 5
60 11,943978 11,943979 22,067614 22,067612 0,789199 0,789199
(21, 50)
[10, 110] [20,60] 11,943980 11,943980 22,067610 22,067610 0,789199 0,789199
Таблица 3
Входные параметры PL avL
(s, S) N λ EV AV EV AV
40 0,852828 0,871632 29,794393 29,819734
30
60 0,899260 0,911801 29,874305 29,889809
40 0,836633 0,856304 49,677087 49,696265
50
60 0,886070 0,898686 49,824199 49,839496
40 0,823054 0,845784 69,414579 69,360907
70
60 0,875395 0,888430 69,742761 69,754609
90 60 0,866240 0,880326 89,596804 89,588466
(6,20)
110 60 0,857604 0,874144 109,310586 109,188014
40 0,856421 0,875899 29,805254 29,831230
30
60 0,902135 0,915125 29,880295 29,896187
40 0,843183 0,863371 49,709371 49,730309
50
60 0,891353 0,904405 49,839339 49,855062
40 0,832084 0,854772 69,494804 69,456196
70
60 0,882628 0,896022 69,772774 69,785677
90 60 0,875145 0,889398 89,653472 89,649876
(11,30)
110 60 0,868086 0,884344 109,419524 109,322556
40 0,858499 0,878368 29,811538 29,837880
(16,40) 30
60 0,903798 0,917048 29,883760 29,899877
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 89
Продолжение таблицы 3
40 0,846973 0,867459 49,728049 49,750005
50
60 0,894410 0,907713 49,848098 49,864067
40 0,837308 0,859972 69,541218 69,511324
70
60 0,886812 0,900414 69,790137 69,803652
90 60 0,880297 0,894646 89,686257 89,685404
110 60 0,874150 0,890246 109,482550 109,400394
40 0,859918 0,880053 29,815827 29,842419
30
60 0,904933 0,918360 29,886125 29,902395
40 0,849559 0,870250 49,740796 49,763447
50
60 0,896496 0,909971 49,854077 49,870213
40 0,840873 0,863521 69,572893 69,548948
70
60 0,889668 0,903411 69,801988 69,815919
90 60 0,883813 0,898228 89,708632 89,709651
40 0,821048 0,859383 108,509893 107,196679
(21,50)
110
60 0,878289 0,894274 109,525563 109,453517
Важно отметить, что значения характеристик (5)–(7) почти полностью совпа-
дают при использовании точного и приближенного подходов (см. табл. 2). Не-
большие относительные погрешности (меньше 3 %), которые приемлемы в инже-
нерных расчетах (см. табл. 3), наблюдаются при вычислении характеристики (8).
Заметим, что в широком диапазоне изменения интенсивностей потока заявок ха-
рактеристики (5)–(7) не зависят от размера буфера для ожидания заявок в очере-
ди. Этот факт объясняется тем, что при выбранных исходных данных вероятность
того, что в системе отсутствуют заявки, почти равна нулю, т.е. в системе всегда
имеются заявки для обслуживания, и потому указанные характеристики не зави-
сят от размера буфера.
Поскольку разработанные приближенные формулы имеют достаточно высо-
кую точность, поведение характеристик исследуемых моделей PQIS относительно
изменения выбранного параметра системы изучается с помощью приближенных
процедур, так как время их выполнения составляет несколько секунд. При этом
для конкретности изложения здесь изучается поведение указанных характеристик
относительно изменения критического уровня запасов ).(s
Параметры модели выбраны следующим образом (значения остальных пара-
метров указаны выше): .0,30,150,40 =λ== NS Для конкретности изложения
здесь рассматриваются два варианта экспериментов: принимается, что 1) 0,2=γ
и 2) .0,4=γ Приведенный ниже анализ основан исключительно на этих данных.
Результаты численных экспериментов для модели с конечной очередью пока-
заны на рис. 3 и 4, где обозначения ο и × на кривых относятся к результатам для
вариантов 1) и 2) соответственно.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 s 0
2
4
6
8
10
12
Sav
а
Рис. 3
90 ISSN 0572-2691
Продолжение рис. 3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 s 0
5
10
15
20
25
30
Γav
б
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 s 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Γav
в
Из рис. 3, а, видно, что с ростом параметра s функция avS также сначала
растет, но далее начинает уменьшаться с малой скоростью, при этом в первом ва-
рианте значения функции avS оказываются бóльшими, чем во втором. Последний
факт вполне ожидаем, так как увеличение времени жизни запасов приводит к уве-
личению среднего уровня запасов системы. Поведение функции avΓ соответству-
ет поведению функции avS (рис. 3, б), при этом интуитивно предполагаемое со-
отношение )()( sSs avav γ≈Γ (см. также формулы (5) и (6)) оказывается справедли-
вым. При этом с ростом параметра s растет точность этого соотношения.
Функция RR является возрастающей относительно параметра ,s при этом
уменьшение времени жизни запасов приводит к увеличению частоты заказов за-
пасов (рис. 3, в).
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 s 0
0,2
0,4
0,6
0,8
PL
а
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 s 0
20
40
60
80
100
140
Lav
120
б
Рис. 4
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 91
С ростом параметра s функция PL также растет с очень малой скоростью,
при этом в первом варианте значения функции PL оказываются большими, чем
во втором варианте (рис. 4, а); аналогичное поведение наблюдается у функ-
ции avL (рис. 4, б).
Теперь рассмотрим результаты численных экспериментов для модели с бес-
конечной очередью ).( ∞=N Часть из них показана на рис. 5 и 6, где обозначения
ο и × на кривых относятся к результатам, полученным с помощью разработанных
приближенных формул и имитационного моделирования соответственно. Здесь
исходные данные выбраны так: ,5,0,7,0,0,3,0,6,0,3,60 121 =τ=σ=μ=μ=λ=S
.0,1,0,2 =ν=γ
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 s 0
2
4
6
8
10
12
Sav
а
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 s 0
5
10
15
20
25
Γav
б
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 s 0
0,2
0,4
0,6
0,8
RR
в
Рис. 5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 s
0
0,02
0,04
0,06
0,08
PL
0,10
0,12
а
Рис. 6
92 ISSN 0572-2691
Продолжение рис. 6
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 s 0
0,5
1
1,5
2
3
2,5
Lav
б
В отличие от модели с конечной очередью в данном случае точные значения
вероятностей состояний не могут быть вычислены из соответствующей СУР, по-
этому здесь используется метод имитационного моделирования. Из рис. 5, а–в
видно, что, как и в модели с конечной очередью, значения характеристик (5)–(7)
почти полностью совпадают при использовании приближенного и имитационного
подходов. Небольшие погрешности, которые приемлемы в инженерных расчетах,
наблюдаются при вычислении характеристик (8) и (9) (рис. 6, а, б).
Отметим, что при использовании имитационного подхода для получения дос-
товерных результатов (с 5 % доверительным интервалом) потребуется несколько
десятков часов времени на компьютере с указанными выше характеристиками.
Полученные формулы позволяют также решать некоторые задачи оптимиза-
ции данной системы. Из-за ограниченности объема работы здесь рассматривается
лишь одна задача подобного типа — задача минимизации суммарных штрафов
(Total Cost, TC), связанных с функционированием системы.
Пусть все структурные и нагрузочные параметры системы — фиксированные
величины, а единственно регулируемым параметром (т.е. параметром оптимиза-
ции) является точка заказа.
В стационарном режиме указанные выше штрафы определяются так:
,)( avwlavpsavhr LcPLccScRRcsTC +λ+Γ++= (34)
где rc — цена одного заказа запасов; hc — цена хранения единицы объема запасов
за единицу времени; psc — цена порчи единицы запаса; lc — штрафы за потери
одной заявки; wc — цена за единицу времени ожидания в очереди одной заявки.
Замечание 5. Здесь и далее в задаче оптимизации в выражении функционала
и левой части ограничений в скобках указан оптимизируемый параметр .s
Пусть заданы ограничения на средний уровень запасов системы и вероятно-
сти потери заявок, т.е. требуется выполнение следующих ограничений:
,)( SsSav ≤ (35)
.)( PLsPL ≤ (36)
Задача оптимизации заключается в нахождении таких значений параметра ,s что-
бы минимизировать суммарные штрафы (34) при выполнении ограничений (35) и (36).
При любых значениях входных параметров задача (34)–(36) имеет решение,
так как множество возможных решений является дискретным и конечным. Для
решения этой задачи может быть использован стандартный метод поиска мини-
мума функции от дискретного аргумента.
Отметим, что решением задачи (34)–(36) для модели с конечной очередью
при указанных выше исходных данных, если оно существует, всегда является
.0=s Это объясняется тем, что для выбранных исходных данных все составляю-
щие функционала (34) имеют минимальное значение в точке 0=s (см. рис. 3 и 4).
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 93
В табл. 4 приводятся некоторые результаты решения задачи (34)–(36) для мо-
дели с бесконечной очередью с указанными выше исходными данными, где сим-
вол ∅ означает, что задача не имеет решения. Коэффициенты в выражении
функционала (34) выбирались так [17]: .3,0,3,5,3,0,15 ===== pswlhr ccccc
Таблица 4
S 6 9 10 10 11 11 12 12 12 13 13 13
PL 0,04 0,08 0,08 0,06 0,08 0,04 0,08 0,06 0,04 0,08 0,06 0,04
S* ∅ ∅ 2 ∅ 2 ∅ 2 7 ∅ 2 7 ∅
TC* ∅ ∅ 21,63 ∅ 21,63 ∅ 21,63 25,20 ∅ 21,63 25,20 ∅
Анализ задачи (34)–(36) показывает, что ее оптимальное решение инвариант-
но в достаточно большом диапазоне изменения интенсивности входящего потока
заявок, что очень важно с практической точки зрения. Эта инвариантность объяс-
няется достаточно плавным изменением характеристик системы (5)–(9) относи-
тельно интенсивности входящего потока заявок.
Заключение
Предложены модели систем обслуживания с портящимися запасами, в которых
часть заявок после завершения обслуживания не покупает запасов системы. Заявки
могут образовывать очереди конечной или бесконечной длины. В случае отсутствия
запасов системы заявки, находящиеся в очереди, являются нетерпеливыми. Время
выполнения заказов системы для пополнения запасов, а также время жизни запасов
системы являются случайными величинами, имеющими экспоненциальные распреде-
ления с конечными средними. Политика пополнения запасов принадлежит классу по-
литик двух уровней. Разработаны точный и приближенный методы определения ха-
рактеристик изучаемых моделей. Точный метод эффективен для систем с умеренными
значениями объема склада системы и размера буфера для ожидания заявок. Прибли-
женный подход основан на алгоритмах фазового укрупнения состояний двухмерных
цепей Маркова и может быть применен для систем любой размерности. С помощью
имитационного моделирования показана высокая точность полученных формул.
А.З. Мєліков, Л.А. Пономаренко, М.О. Шахмалієв
АНАЛІЗ СИСТЕМИ ОБСЛУГОВУВАННЯ
ІЗ ЗАПАСАМИ, ЩО ПСУЮТЬСЯ,
І РІЗНОТИПНИМИ ВИМОГАМИ
Запропоновано моделі систем обслуговування із запасами, що псуються, за на-
явності різнотипних вимог. Передбачається, що деякі вимоги після завершення
їх обслуговування не купують запасів. Час обслуговування вимог і час попов-
нення запасів — додатні випадкові величини. Політика поповнення належить
до класу двох рівнів. Розроблено точний і наближений методи розрахунку
основних характеристик запропонованих моделей. Висока точність наведених
формул показана за допомогою числових експериментів.
A.Z. Melikov, L.A. Ponomarenko, M.O. Shahmaliyev
ANALYSIS OF PERISHABLE
QUEUEING-INVENTORY SYSTEM
WITH DIFFERENT TYPES OF CUSTOMERS
Models of perishable queueing-inventory systems with different types of customers
are proposed. It is assumed that part of customers may not be served on completion
94 ISSN 0572-2691
of service. Both service time of customers and replenishment lead time have expo-
nential distributions. Lead policy is two-level one. Both exact and approximate
methods to calculate the main characteristics of the proposed models are developed.
The high accuracy of proposed approximate formulas are shown by results of nu-
merical experiments.
1. Sigman K., Simchi-Levi D. Light traffic heuristic for an M/G/1 queue with limited inventory //
Annals of Operations Research. —1992. — 40. — P. 371–380.
2. Melikov A.Z., Molchanov A.A. Stock optimization in transport/storage systems // Cybernetics. —
1992. — 27, N 3. — P. 484–487.
3. Krishnamoorthy A., Lakshmy B., Manikandan R. A survey on inventory models with positive ser-
vice time // OPSEARCH. — 2011. — 48, N 2. — P. 153–169.
4. Krishnamoorthy A., Manikandan R., Lakshmy B. Revisit to queueing-inventory system with posi-
tive service time // Annals of Operations Research. — 2015. — 233. — P. 221–236.
5. Krishnamoorthy A., Manikandan R., Shajin D. Analysis of a multi-server queueing-inventory sys-
tem // Advances in Operations Research (Hindawi Publishing Corporation). — 2015. — Article
ID 747328. — 16 p.
6. Melikov A.Z., Ponomarenko L.A., Shahmaliyev M.O. Models of perishable queueing-inventory
system with repeated customers // Journal of Automation and Information Sciences. — 2016. —
48, N 6. — P. 22–38.
7. Sivakumar B., Arivarignan G. A perishable inventory system with service facilities and negative
customers // Advance Modeling and Optimization. — 2006. — 7, N 2. — P. 193–210.
8. Manuel P., Sivakumar B., Arivarignan G. A perishable inventory system with service facilities,
MAP arrivals and PH-service times // Journal of Systems Science and Systems Engineering. —
2007. — 16, N 1. — P. 62–73.
9. Manuel P., Sivakumar B., Arivarignan G. A perishable inventory system with service facilities
and retrial customers // Computers and Industrial Engineering. — 2008. — 54. — P. 484–501.
10. Amirthakodi M., Radhamami V., Sivakumar B. A perishable inventory system with service facility
and feedback customers // Annals of Operations Research. — 2015. — 233. — P. 25–55.
11. Al Hamadi H.M., Sangeetha N., Sivakumar B. Optimal control of service parameter for a perish-
able inventory system maintained at service facility with impatient customers // Ibid. — 2015. —
233. — P. 3–23.
12. Berman O., Sapna K.P. Optimal service rate of service facility with perishable inventory items //
Naval Research Logistics. — 2002. — 49. — P. 464–482.
13. Laxmi P.V., Soujanya M.L. Perishable inventory systems with service interruptions, retrial de-
mands and negative customers // Applied Mathematics and Computation. — 2015. — 262. —
P. 102–110.
14. Neuts M.F. Matrix-geometric solutions in stochastic models: An algorithmic approach. — Balti-
more: John Hopkins University Press, 1981. — 332 р.
15. Nahmias S. Perishable inventory theory. — Heidelberg; Dordrecht; London; New York :
Springer, 2011. — 80 p.
16. Jaccard P. Étude comparative de la distribution florale dans une portion des Alpes et des Jura //
Bulletin del la Société Vaudoise des Sciences Naturelles. — 1901. — 37. — P. 547–579.
17. Jajaraman B., Sivakumar B., Arivarignan G. A perishable inventory system with postponed de-
mands and multiple server vacations // Modelling and Simulation in Engineering (Hindawi Pub-
lishing Corporation). — 2012. — Article ID 620960. — 17 p.
Получено 23.03.2017
Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. НАН Украины А.А. Чикрием.
|