Синтез алгоритмов управления ориентацией космического аппарата на основе обобщений прямого метода Ляпунова
Відомі узагальнення прямого методу Ляпунова на дослідження стійкості інваріантних множин динамічних систем застосовано до розв’язку задачі синтезу керування орієнтацією космічних апаратів (КА). Отримано узагальнення існуючих алгоритмів керування орієнтацією й стабілізації КА відносно інерціальної си...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Datum: | 2017 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208601 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Синтез алгоритмов управления ориентацией космического аппарата на основе обобщений прямого метода Ляпунова / В.В. Волосов, В.Н. Шевченко // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 5. — С. 106-117. — Бібліогр.: 38 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859585770450321408 |
|---|---|
| author | Волосов, В.В. Шевченко, В.Н. |
| author_facet | Волосов, В.В. Шевченко, В.Н. |
| citation_txt | Синтез алгоритмов управления ориентацией космического аппарата на основе обобщений прямого метода Ляпунова / В.В. Волосов, В.Н. Шевченко // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 5. — С. 106-117. — Бібліогр.: 38 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Відомі узагальнення прямого методу Ляпунова на дослідження стійкості інваріантних множин динамічних систем застосовано до розв’язку задачі синтезу керування орієнтацією космічних апаратів (КА). Отримано узагальнення існуючих алгоритмів керування орієнтацією й стабілізації КА відносно інерціальної системи координат (СК). Запропоновано нові алгоритми керування орієнтацією й стабілізації КА щодо обертової (орбітальної) СК. Окремим випадком цих алгоритмів є відповідні алгоритми для інерціальної СК. Ефективність алгоритмів проілюстровано комп'ютерним моделюванням динаміки систем керування орієнтацією КА.
Well-known generalizations of the direct Lyapunov method to investigation of the stability of invariant sets of dynamic systems are applied to the problem of synthesis of spacecraft attitude control. Generalizations of the existing algorithms of spacecraft attitude control and stabilization with respect to an inertial coordinate system are obtained. New algorithms of spacecraft attitude control and stabilization with respect to a rotating (orbital) coordinate system are proposed. Particular cases of these algorithms are the corresponding algorithms for an inertial coordinate system. The efficiency of the algorithms is illustrated by computer modelling of the dynamics of spacecraft attitude control systems.
|
| first_indexed | 2025-11-27T09:50:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.В. ВОЛОСОВ, В.Н. ШЕВЧЕНКО, 2017
106 ISSN 0572-2691
КОСМИЧЕСКИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ
ТЕХНОЛОГИИ И СИСТЕМЫ
УДК 629.7; 681.5
В.В. Волосов, В.Н. Шевченко
СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ
ОРИЕНТАЦИЕЙ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕНИЙ ПРЯМОГО
МЕТОДА ЛЯПУНОВА
Введение
Задача управления ориентацией КА представляет собой непреходящую акту-
альность для космической техники, начиная с ее зарождения. Первые КА имели
ориентацию только одной оси, совпадающей с направлением на центр Земли или
Солнца, получившее название планетоцентрических и солнцецентрических систем
ориентации. Отклонение оси КА от направления на центр Земли (местной вертикали)
определялось специальным прибором — инфракрасной вертикалью (ИКВ). При
этом одна из осей КА при его движении по орбите была направлена на центр Земли
(с точностью до ошибок системы ориентации). Вращение КА вокруг этой оси было
непредсказуемо произвольным. Иными словами, при этом было произвольным
или неуправляемым положение двух других его осей связанной системы коорди-
нат, расположенных в плоскости, ортогональной текущей местной вертикали. На-
стоящим прорывом стало создание системы ориентации, обеспечивающей трех-
осную стабилизацию, получившей наименование гироорбиты [1,2], представляю-
щей собой космический аналог морского гирокомпаса [3]. При этом функцию
суточного вращения Земли для гирокомпаса в гироорбите выполняло орбитальное
вращение КА, реализуемое с помощью ИКВ постоянным отслеживанием осью КА
направления на центр Земли. Другая из упомянутых осей, определяемая располо-
жением гироскопа в корпусе КА, из произвольного начального направления при-
ходила к установившемуся направлению, перпендикулярному плоскости орбиты.
Естественно третья ось, образующая с двумя названными правую систему коор-
динат (СК), располагалась в плоскости орбиты. Интересная интерпретация прин-
ципа построения данной гироскопической системы ориентации как реализации
алгоритма наблюдателя состояния динамических систем изложена в [4].
С тех пор системы ориентации прошли большой путь развития, реализовав-
шийся как за счет использования новых измерительных и исполнительных уст-
ройств, так и программно-математического обеспечения (ПМО), основанного на
последних достижениях теории управления. Не приводя конкретных цифр, отме-
тим, что если на первых спутниках точность ориентации характеризовалась де-
сятками угловых минут и даже несколькими градусами, то в настоящее время она
характеризуется угловыми секундами. В ПМО современных систем управления в
качестве параметров ориентации в большинстве случаев используются кватер-
нионы. Их преимущества по сравнению с углами Крылова–Эйлера подробно из-
ложено в монографии [5], сыгравшей, как справедливо отмечается в [6], большую
роль в популяризации идеи применения кватернионов в практических задачах на-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 107
вигации и управления движением подвижных объектов различного назначения.
Так, например, решения задач навигации и управления ориентацией аэрокосмиче-
ских объектов рассмотрены в частности в монографиях [5, 7, 8].
Применению кватернионов в различных задачах управления посвящено
практически необозримое и постоянно возрастающее количество работ. Кроме
названных выше, отметим здесь лишь работы, все содержание которых или фраг-
менты из него посвящены исследованию устойчивости систем управления ориен-
тацией и наиболее близки к содержанию данной статьи [9–13].
Исследование задач управления угловым движением твердого тела при его
описании дифференциальными уравнениями, вектор состояния которых состав-
лен из компонентов кватернионов, имеет следующие особенности. Первая из них
состоит в том, что одной и той же его ориентации соответствует два кватерниона
и соответственно два вектора состояния (ВС). Учет этой особенности частично
рассмотрен в [9,10]. Вторая особенность — наличие у дифференциальных урав-
нений интеграла движения — сохранения нормы ВС. Вследствие этого никакие
решения уравнений не могут быть асимптотически устойчивыми по Ляпунову.
Они могут иметь форму устойчивости, называемую условной асимптотической
устойчивостью или устойчивостью на многообразиях [14–17]. Обе эти особенно-
сти отмечались в [17]. Настоящая работа является ее дальнейшим развитием.
Постановка задачи исследования
Для формулировки постановки задачи и ее последующего решения будем ис-
пользовать следующие правые ортогональные системы координат — связанную
систему координат (ССК) zyxO и орбитальную ОСК 000 zyxO с началом
в точке O — центре масс КА. Следуя [1], примем, что ось 0yO направлена по те-
кущему радиус-вектору с началом в центре Земли (местной вертикали). Ось 0xO
расположена в плоскости орбиты с положительным направлением в сторону
движения КА. Предполагается, что орбита КА круговая. При этом ОСК вра-
щается относительно инерциального пространства (инерциальной системы ко-
ординат (ИСК)) с постоянной угловой скоростью ∗ω (орбитальной угловой
скоростью), проекции которой на ее же оси имеют вид T
3),0,0( ∗∗ ω=ω ,
3
3 / Rμ−=ω∗ [18], где μ — гравитационная постоянная Земли 4,398600=μ км3/с2,
R — радиус орбиты КА. Символ Т здесь и далее обозначает операцию транс-
понирования. В качестве ИСК можно, например, выбрать ОСК, «остановлен-
ную» в некоторый момент времени ∗= tt .
Под ориентацией КА понимается ориентация ССК относительно ОСК и, в част-
ности, относительно ИСК. В качестве параметров ориентации здесь используются
компоненты кватернионов, состоящие из параметров Родрига–Гамильтона [5].
Математическая модель управляемого углового движения КА согласно [5,17,
19, 20] может быть записана в виде
λλ+λλ−=ΛωΛ−ω=ωωΛ=Λ •
(((
& 22)(,)(~,~)(2 03ISSB , (1)
ωω−+=ω JMMJ gC
(
& . (2)
В уравнении (1) под символом Λ понимается элемент четырехмерного евк-
лидова векторного пространства 44, RR ∈Λ . Рассматривается случай, когда век-
тор ),,(),,( 321
TT
0
T λλλ=λλλ=Λ состоит из компонентов нормированного ква-
терниона (параметров Родрига–Гамильтона). При этом ,
2
cos0
ϑ
=λ ,
2
sin ϑ
γ=λ ii
3,2,1=i , где iγ – направляющие косинусы мгновенной оси вращения ССК zOxy
относительно ОСК 000 zyxO с их координатными осями 12
3
2
2
2
1 =γ+γ+γ ,
108 ISSN 0572-2691
12 =Λ [7, 21], ϑ — угол поворота ССК относительно ОСК вокруг этой оси;
)(ΛS — ортогональная матрица )()( T1 Λ=Λ− SS направляющих косинусов осей
ССК с осями ОСК, 01 )( ZSZ Λ= , где 0Z и 1Z — векторы проекций произвольно-
го вектора Z на оси ОСК и ССК соответственно. С учетом [5, 22] матрица )(ΛS
приводится к виду
λλ+λλ−=ΛΛΛ=Λ
(((
22)}(),(),({)( 03321 IsssS , (3)
где 3I — единичная матрица и под символом λ
(
понимается кососимметричная
λ−=λ
((T матрица:
02rank,
0
0
0
12
13
23
≠λ∀=λ
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
λλ−
λ−λ
λλ−
=λ
((
,
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
λ−λ−λ+λλλ−λλλλ+λλ
λλ+λλλ−λ−λ+λλλ−λλ
λλ−λλλλ+λλλ−λ−λ+λ
=Λ
2
2
2
1
2
3
2
010322031
1032
2
3
2
1
2
2
2
03021
20313021
2
3
2
2
2
1
2
0
)(2)(2
)(2)(2
)(2)(2
)(S ; (4)
T
321 ),,( ωωω=ω — вектор угловой скорости КА (ССК) относительно ИСК, за-
данный проекциями ,3,2,1, =ω jJ на оси ССК, •ωΛ−ω=ω )(~ S — вектор угло-
вой скорости КА относительно ОСК в проекциях на ССК ; J — симметрическая
положительно определенная матрица 0T fJJ = представления тензора инерции
КА относительно центра масс O в ССК, удовлетворяющая условиям физической
реализуемости [23]; CM и gM — искомый момент управления и гравитацион-
ный момент с проекциями на оси ССК соответственно. Согласно [1, 24] формулу
для вычисления гравитационного момента можно представить в виде
)()(3)()(3 22
2
3223 ΛΛω=ΛΛ
μ
= ∗ JssJss
R
M g
(( , (5)
где )(2 Λs( — кососимметричная матрица вектора-столбца )(2 Λs матрицы )(ΛS .
Обозначению )(ΛB соответствует 34× -матрица полного ранга
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
λ+λ
λ−
=Λ (
30
T
)(
I
B , 03)(rank ≠Λ∀=ΛB . (6)
Заметим, что кинематическое уравнение углового движения КА наряду с ви-
дом (1) может быть представлено в следующем виде:
,),(5,0 Λωω=Λ •A& (7)
где ),( •ωωA — кососимметрическая матрица
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ω+ω−ω−ω
ω−ω−
=ωω−=ωω
••
•
••
)()(
)(0
),(),(
T
T
((
AA .
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 109
Сделаем необходимое для последующего изложения замечание об одном
свойстве решений уравнения (1) [17]. Вычисляя производную функции
2T Λ=ΛΛ в силу уравнения (1) убеждаемся, что она тождественно равна нулю.
Поэтому уравнение (1) имеет первый интеграл ct ≡Λ )( , где c — произвольное
положительное число 0≠c . Ему соответствует семейство концентрических сфер
с центром в 0=Λ , радиусы которых определяются нормой )( 0tΛ начальных ус-
ловий решений уравнения (1) и не зависят от угловых скоростей ,ω а следовательно,
и от управлений CM в уравнении (2). Из семейства сфер параметрам Родрига–
Гамильтона 3,0),( =λ jtj , соответствует только сфера единичного радиуса 1=Λ .
Из формулы (3) непосредственно видно, что заданием вектора параметров
Родрига–Гамильтона SΛ=Λ полностью определяется матрица направляющих
косинусов )( SS Λ , т.е. ориентация КА относительно ОСК. При этом одной и той же
матрице )( SS Λ , а следовательно, одной и той же ориентации КА соответствует два
значения вектора параметров ориентации SΛ±=Λ . Случаю совмещения осей ССК
с осями ОСК 0=ϑ и 0360=ϑ , при котором 3)( IS S =Λ , соответствуют векторы
)0,0,0,1(±=ΛS .
Уравнения (1), (2) математической модели углового движения КА при задан-
ном моменте управления CM полностью определяют эволюцию его ориентации
относительно опорной системы координат, а именно ОСК или, в частности, ИСК,
если в них формально положить 0=ω∗ .
Поставим задачу синтеза управления ),,( SM ΛωΛ такого, что при произ-
вольном начальном состоянии )(,1),( 00000 tt ω=ω=ΛΛ=Λ реализуется
достижение и стабилизация произвольной заданной ориентации )( SS Λ , т.е.
0)(,0)())(( →ω−ω→Λ−Λ SS tStS при ∞→t .
Под символом Sω понимается установившееся значение угловой скорости КА,
соответствующее его постоянной ориентации St Λ≡Λ )( , при которой в уравне-
нии (1) 0)( =Λ t& . При этом для отыскания значения Sω получаем систему уравне-
ний 0])([)( =ωΛ−ωΛ •SSS SB . Так как )(ΛB — матрица полного ранга, то эта пе-
реопределенная система четырех уравнений относительно вектора Sω совмест-
ная и имеет единственное решение •ωΛ=ω )( SS S .
Заметим, что в постановке задачи речь идет не об асимптотической ус-
тойчивости решений дифференциальных уравнений в смысле классических
определений [25, 26]. В отличие от этих определений в постановке задачи рас-
сматриваются не произвольные начальные условия 4
0 R∈Λ , а начальные ус-
ловия 0Λ , расположенных на сфере единичного радиуса 1=Λ . Для харак-
теристики свойств решений дифференциальных уравнений при начальных ус-
ловиях, расположенных на некоторых многообразиях их фазовых пространств,
в [14–16] используется понятие условной асимптотической устойчивости. В соот-
ветствии с этим понятием в дальнейшем без дополнительных упоминаний под
устойчивостью подразумевается условная асимптотическая устойчивость, т.е.
устойчивость на многообразии 1=Λ .
110 ISSN 0572-2691
Решение задачи
Найдем алгоритмы управления, реализующие достижение произвольной ус-
тановившейся ориентации КА SΛ относительно ИСК при его произвольном на-
чальном состоянии 3
00 )(,1)( Rtt ∈ω=Λ . Предварительно напомним, что одной
и той же ориентации КА соответствуют кватернионы SΛ± , так как
)()( SS SS Λ−=Λ .
Введем в фазовом пространстве системы уравнений (1), (2) при 0=ω∗ множество
},0,1,,:,{1 =ω=ω=ΛΛ−=ΛΛ=ΛωΛ=Ω SSSS (8)
соответствующее установившейся произвольно заданной ориентации КА относи-
тельно ИСК и выберем функцию Ляпунова (ФЛ) в виде
,5,0])()1([),( TT2T
1 ωω+Λ−Λ+−ΛΛα=ωΛ JPIPV SSS (9)
где 0>α и
TTT 1)( SSSSSSSP ΛΛ=ΛΛΛΛ= − — оператор ортогонального проектиро-
вания векторов Λ на подпространство (прямую), порожденное вектором SΛ [27, 28].
Эта функция положительно определена относительно множества 1Ω : 0),(1 =ωΛV
при 1, Ω∈ωΛ и 0),(1 >ωΛV при ., 1Ω∉ωΛ Нетрудно убедиться, что выражение
в квадратных скобках в (9) представляет собой квадрат наименьшего расстояния
от произвольной точки Λ до точек SΛ± . Сама же функция ),(1 ωΛV при 1=α
и IJ 2= является квадратом расстояния от произвольной точки ωΛ, фазового про-
странства системы (1), (2) до множества 1Ω . Отметим также, что ФЛ (9) — негладкая
функция по переменной Λ . Негладкие ФЛ использовались в [29] для исследования
устойчивости решений дифференциальных уравнений. Там же приведено обоб-
щение понятия производных для таких функций. В частности, для обобщенной
производной от )(tx приводится формула
,sign)()(
x
dt
tdx
dt
txd
= (10)
в которой условимся считать, что 1sign =x при 0≥x и 1sign −=x при 0<x .
Негладкая ФЛ, содержащая ,0λ использовалась для синтеза алгоритма
управления ориентацией КА относительно ИСК в [9], являющегося частным
случаем )0,0,0,1(±=ΛS рассматриваемой здесь общей постановки задачи
1T =ΛΛ SS . Краткая библиография работ, в которых используются негладкие ФЛ,
содержится в [30].
Производная по [29] от ФЛ (9), вычисленная согласно уравнениям (1), (2)
с использованием формулы (10), имеет вид
])(sign)([),( TTT
1 ωω−++ΛΛΛΛα−ω=ωΛ JMMBV gCSS
(& . (11)
Выберем момент управления
ω−ωωρ+−ΛΛΛΛα= KJMBM gSSC
()(sign)( TT , (12)
где ρ — коэффициент компенсации гироскопического момента ωωJ( , ]1,0[∈ρ ;
K — симметричная положительно-определенная матрица 0T fKK = . При этом
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 111
ωω−=ωΛ KV T
1 ),(& — отрицательная знакопостоянная функция переменных ωΛ, ,
причем множество },0:,{ SN Λ±≠Λ=ωΛω= , на котором 0),(1 =ωΛV& не со-
держит целых траекторий системы уравнений (1), (2), так как при этом
0sign)( TT ≠ΛΛΛΛα=ω SSBJ & . Поэтому из дополнения Барбашина–Красовского к
теореме об асимптотической устойчивости [26] следует, что множество 1Ω ус-
ловно асимптотически устойчиво.
Заметим, что в алгоритме управления вместо постоянной матрицы K может
использоваться симметричная матрица ),( ωΛK , удовлетворяющая условию
ωΛ∀≥ω−ωΛω ,0]),([T KK .
Сопоставим свойства полученного алгоритма управления ориентацией (12)
и свойства алгоритма из [11], основанного на непосредственном использовании
прямого метода Ляпунова исследования устойчивости решений дифференциаль-
ных уравнений. Для полноты и наглядности сопоставления кратко воспроизведем
соответствующий фрагмент из [11], где рассматривалась задача синтеза алгорит-
ма управления ориентацией КА относительно ИСК при заданной ориентации
)0,0,0,1(=ΛS ( в используемых тут обозначениях). В [11] выбиралась ФЛ вида
)0,0,0,1(,5,0)()(),( TT
0 =Λωω+Λ−ΛΛ−Λα=ωΛ SSS JV . (13)
В отличие от ФЛ ),(1 ωΛV , положительно-определенной относительно множества 1Ω
из (8), ФЛ ),(0 ωΛV положительно определена относительно решения ,)( St Λ≡Λ
0)( ≡ω t системы уравнений (1), (2), т.е. «одноточечного» множества ,SΛ=Λ
0=ω ее фазового пространства. Проделав выкладки, аналогичные для ФЛ ),(1 ωΛV ,
получим для рассматриваемого в [11] значения )0,0,0,1(=ΛS управление
ω−ωωρ+−αλ−= KJMM gC
( . (14)
Полученные результаты сформулируем в следующем утверждении.
Утверждение 1. При произвольных начальных условиях )( 00 tΛ=Λ
)( 00 tω=ω , ,10 =Λ и произвольных SΛ , ,1=ΛS управление CM в виде (12)
обеспечивает получение заданных свойств устойчивости решений уравнений (1), (2)
0)(,0)())(( →ω→Λ−Λ tStS S при ∞→t , т.е. достижение и стабилизацию
произвольной заданной ориентации )( SS Λ КА относительно ИСК.
Для решения задачи синтеза управления ориентацией КА относительно ОСК
проведем по аналогии c [5, 31] ее декомпозицию на кинематическую и динамиче-
скую задачи. При этом в кинематической задаче угловая скорость ω в уравнении (1)
рассматривается как управление.
Введем в рассмотрение множество
}1,,:{2 =ΛΛ−=ΛΛ=ΛΛ=Ω SSS (15)
и выберем «кинематическую» ФЛ
Λ−Λ=Λ )()( T
SC PIV . (16)
Функция 0)( =ΛCV при SΛ±=Λ , 0)( >ΛCV при SΛ±≠Λ , т.е. является
положительно-определенной относительно множества 2Ω . Производная ФЛ (16)
в силу уравнения (1)
112 ISSN 0572-2691
ΛΛωΛ−ω−=Λ−ΛΛωΛ−ω= ∗∗ SSC PBSPBSV )())(()()())(( TTTT& . (17)
Полагая в (17) «управление» Cω в виде
ΛΛ+ωΛ=ω ∗ SC PBS )()( T , (18)
получим
Λ−Λ−=ΛΛΛΛ−=Λ Λ SSSSC PPIPPBBPV )()()()( 4
TTT& , (19)
где TT1T )( ΛΛ=ΛΛΛΛ= −
ΛP — оператор проектирования на подпространство,
образованное вектором Λ , а )( 4 Λ− PI — оператор проектирования на подпро-
странство, ортогональное вектору Λ [27, 28]. Нетрудно убедиться, что производ-
ная ФЛ 0)( =ΛCV& при SΛ±=Λ и SCV Λ±≠Λ∀<Λ 0)(& , т.е. является функцией,
отрицательно определенной относительно множества .2Ω Поэтому ФЛ )(ΛCV
монотонно убывает 1,2 =ΛΩ∉Λ∀ и множество 2Ω системы (1) при «управ-
лении» (18) условно асимптотически устойчиво [25, 32].
Соотношением (18) в фазовом пространстве ωΛ, системы (1), (2) определя-
ется многомерная поверхность [33] )(Λω=ω C , двигаясь по которой изображаю-
щая точка в асимптотике придет к требуемому положению ∗ωΛ=ω )( SS S ,
SΛ=Λ или SΛ−=Λ , т.е. к требуемой ориентации, однозначно определяемой
матрицей )( SS Λ .
Найдем теперь управляющий момент CM , при котором может реализоваться
«управление» (18), для этого выберем «динамическую» ФЛ
)()(5,0),( T
CCd JV ω−ωω−ω=Λω , (20)
где Cω определяется формулой (18). Дифференцируя ФЛ в силу системы (1), (2),
находим
)()(),( T
CGCCd JJMMV ω−ωω−+ω−ω=Λω &
(& . (21)
Полагая в (21) управляющий момент
)(1
CCgC JJJMM ω−ωτ−ω+ωω+−= −&
( , (22)
получим
dCCd VJV 1T1 )()( −− τ−=ω−ωω−ωτ−=& , (23)
0=+τ dd VV& . (24)
Из (24) с учетом (23) непосредственно следует, что 0→ω−ω C при ,∞→t
а следовательно, убывает и ФЛ (16) .
Этот же результат можно получить и иначе. Подставив значение CM из (22)
в уравнение (2), получим Cω−ω=σ=σ+στ ,0& , из которого также следует, что
0→ω−ω C . Заметим, что пренебрегая в алгоритме (22) слагаемым ,CJω& отсюда
непосредственно получим Cω=ω+ωτ & . Это уравнение с точностью до принятых
здесь предположений и обозначений совпадает с уравнением (5) из работы [34],
в которой исследуются алгоритмы управления ориентаций орбитального ком-
плекса «Мир».
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 113
Для завершения решения задачи нужно найти значение производной ,Cω&
входящей в (22). Формула (18) может быть представлена в виде
ΛΛΛΛ+ωΛ=ω ∗
TT )()( SSC BS . (25)
Из (25) последовательно получаем
][)(])()([ TTT ΛΛΛ+ΛΛΛΛ−ωωΛ+Λω−=ω ∗∗
&&((
& SSSC BSS , ),( Λω=ω fC& , (26)
где ]~)(~)([)(5,0)(),( TTT ωΛΛΛ+ΛΛωΛΛ−ωΛω−=Λω ∗ BBBSf SSS
( , ∗ωΛ−ω=ω )(~ S .
При получении формулы (26) использовалось непосредственно проверяемое
равенство ΛΛ−=ΛΛ )()( TT
SS BB и известное обобщенное уравнение Пуассона для
производной матрицы направляющих косинусов ∗ωΛ+Λω−=Λ
((& )()()( SSS [35].
В результате получаем следующий результат.
Утверждение 2. При произвольных начальных условиях 1,, 000 =ΛωΛ
и SΛ , 1=ΛS управление CM в виде (22) с учетом (18), (26) обеспечивает дос-
тижение и стабилизацию заданной ориентации КА относительно ОСК, однознач-
но определяемой матрицей )( SS Λ .
Очевидно, что при 0=ω∗ в уравнениях (1), (2) управление (22) обеспечивает
достижение и стабилизацию заданной ориентации КА относительно ИСК.
Техническая реализация предложенных алгоритмов формирования управ-
ляющих моментов CM может быть осуществлена с помощью произвольных ги-
росиловых систем с непосредственным использованием способов, предложенных,
например, в [36].
Вычислительные эксперименты
Эффективность полученных алгоритмов управления иллюстрируется резуль-
татами компьютерного моделирования процессов ориентации. Матрица инерции
полагалась равной }40,20,40{diag=J . Интегрирование уравнений (1), (2) выпол-
нялось методом Рунге–Кутта с шагом 05,0=Δt с.
Был выполнен эксперимент по сопоставлению предложенного алгоритма (12)
с алгоритмом (14) из работы [11] при параметрах алгоритмов ,5=α
}30,30,30{diag=K , 1=ρ и начальных условиях при 00 =t ),0,0,0()( 0
T =ω t
)
2
1,0,0,
2
3()( 0
T −=Λ t . Начальное условие )( 0
T tΛ соответствует совпадению
осей Oz и 0Oz ССК и ИСК и отклонению оси Ox от 0Ox на угол ,300)( o
0 =ϑ t
(
2
1
2
)(sin)(,
2
3
2
)(cos)( 0
03
0
00 =
ϑ
=λ−=
ϑ
=λ
tttt ). Рассматривался случай совме-
щения осей ССК с осями ИСК. При этом установившаяся ориентация КА для
алгоритма (14) определялось вектором )0,0,0,1(T =ΛS , а для алгоритма (12) —
матрицей 3)( IS S =Λ . На рис. 1 и рис. 2 показаны переходные процессы установ-
ления ориентации по углам )(tϑ и угловым скоростям )(tω . При этом текущие
значения )(tϑ определялись по полученным значениям ),(5,0cos)(0 tt ϑ=λ
)(5,0sin)(3 tt ϑ=λ с использованием обратных тригонометрических функций.
114 ISSN 0572-2691
0
– 8
– 4
ω
20 6040 80
0
град/с
с
Рис. 2
Алгоритму (12) соответствуют сплошные линии, алгоритму (14) — пунктир-
ные. Из рисунков видно, что предложенный алгоритм (12) реализует установле-
ние заданной ориентации, т.е. совмещение ССК с ИСК по кратчайшему пути —
поворот от o300 на o60 до )0,0,0,1(,360 To −=Λ=ϑ . Алгоритм (14) выполняет
поворот на o300 до ,0=ϑ )0,0,0,1(T =Λ Напомним, что одной и той же ориен-
тации соответствуют кватернионы Λ и Λ− .
Выполнен дополнительный вычислительный эксперимент для иллюстрации
работоспособности алгоритма (12). Требуемая ориентация SΛ задавалась сле-
дующими значениями углов Крылова–Эйлера: ,120,60,90 ooo =ψ=γ=ϑ SSS
где ψγϑ ,, — углы тангажа, крена и рыскания. Пересчет в соответствующие
значения компонентов кватерниона ),,(),,( 321
TT
0
T
SSSSSSS λλλ=λλλ=Λ вы-
полнялся по формулам
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
ψγϑ
+
ψγϑ
=λ
ψγϑ
+
ψγϑ
=λ
ψγϑ
−
ψγϑ
=λ
ψγϑ
−
ψγϑ
=λ
2
sin
2
sin
2
cos
2
cos
2
cos
2
sin
2
sin
2
cos
2
cos
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
cos
2
cos
3
2
1
0
, (27)
полученным по аналогии с [5, 7] для последовательности поворотов при переходе
от ОСК к ССК 213 →→ )( ψ→γ→ϑ . При этом )6,22,2,0(
4
1T −=ΛS ,
1=ΛS . Начальные значения для системы (1), (2) при 00 =t полагались равными
)0,0,0,1()(,0)( 0
T
0 =Λ=ω tt .
На рис. 3 показаны переходные процессы установления ориентации по
компонентам кватерниона 3,0, =λ jj , при параметрах }30,30,30{diag,3 ==α K ,
1=ρ алгоритма (12). Соответствующие переходные процессы по угловым скоро-
стям 3,2,1,0)( =→ω jtj , показаны на рис. 4.
Выполнен вычислительный эксперимент по проверке эффективности алго-
ритма (22), (26) управления ориентацией относительно ОСК при 40=τ с и ра-
диусе орбиты 7070=R км. Рассматривался вариант 3)( IS S =Λ , т.е. совмещение
в установившемся режиме ССК с ОСК. Начальные условия полагались следую-
щими: )0,0,0()( 0
T =ω t , o
0
o
0
o
0 120)(,90)(,90)( =ψ−=γ=ϑ ttt , где ψγϑ ,, —
углы тангажа, крена и рыскания. Пересчет начальных условий, заданных в углах
Эйлера-Крылова, в начальные условия в компонентах кватерниона выполнялся по
формулам (27).
0
100
200
ϑ
300
400
10020 60 40 80
Рис. 1
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 115
2ω
– 3
– 2
ω
4
0
0 160 12040 80
– 1
3
2
1
град/с
3ω
1ω
с
Рис. 4
Переходные процессы установления ориентации ,3,0),( =λ jtJ и ),(tiω
,3,1=i показаны на рис. 5 и рис. 6.
2ω
ω
град/с
0
0 160 120 с 40 80
– 1
3
2
1 3ω
1ω
Рис. 6
Рисунки иллюстрируют процесс устойчивого совмещения ССК с ОСК: ,1)(0 →λ t
с./061,0/)(,0)(,0)(;3,1,0)( 3
3321 −≈μ−=ω→ω→ω→ω=→λ ∗ RtttjtJ
Выполненные вычислительные эксперименты иллюстрируют эффектив-
ность использования предложенных алгоритмов управления для получения
и стабилизации требуемой ориентации КА относительно инерциальной и ор-
битальной систем координат.
При компьютерном моделировании динамики системы управления с исполь-
зованием предложенных алгоритмов процессы ориентации характеризуются те-
кущими значениями компонентов кватернионов. При необходимости получения
соответствующих углов Эйлера–Крылова можно воспользоваться, например,
алгоритмами [6, 37, 38].
Заключение
С использованием единого методологического подхода, основанного на из-
вестных обобщениях прямого метода Ляпунова на исследование устойчивости
инвариантных множеств динамических систем, получены следующие результаты.
Обобщены алгоритмы управления ориентацией КА относительно ИСК, обес-
печивающие совмещение ССК с ИСК, на достижение и стабилизацию произволь-
но заданной ориентации ССК.
Получены новые алгоритмы управления, обеспечивающие достижение и ста-
билизацию произвольно заданной ориентации ССК относительно ОСК.
Компьютерное моделирование проиллюстрировало эффективность получен-
ных алгоритмов управления ориентацией.
Λ
0
0,8
– 0,4
1
160120 с40 80
0
0,4
0λ
3λ
1λ
2λ
Рис. 3
Λ
0
0,8
– 0,8
160120 20040 80
0
0,4
0λ
3λ 1λ
2λ
– 0,4
Рис. 5
116 ISSN 0572-2691
В.В. Волосов, В.М. Шевченко
СИНТЕЗ АЛГОРИТМІВ КЕРУВАННЯ ОРІЄНТАЦІЄЮ
КОСМІЧНОГО АПАРАТА НА ОСНОВІ
УЗАГАЛЬНЕНЬ ПРЯМОГО МЕТОДУ ЛЯПУНОВА
Відомі узагальнення прямого методу Ляпунова на дослідження стійкості інва-
ріантних множин динамічних систем застосовано до розв’язку задачі синтезу
керування орієнтацією космічних апаратів (КА). Отримано узагальнення існу-
ючих алгоритмів керування орієнтацією й стабілізації КА відносно інерціальної
системи координат (СК). Запропоновано нові алгоритми керування орієнтацією
й стабілізації КА щодо обертової (орбітальної) СК. Окремим випадком цих
алгоритмів є відповідні алгоритми для інерціальної СК. Ефективність алгорит-
мів проілюстровано комп'ютерним моделюванням динаміки систем керування
орієнтацією КА.
V.V. Volosov, V.N. Shevchenko
SYNTHESIS OF ALGORITHMS FOR
SPACECRAFT ATTITUDE CONTROL BASED
ON GENERALIZATIONS OF THE DIRECT
LYAPUNOV METHOD
Well-known generalizations of the direct Lyapunov method to investigation of the
stability of invariant sets of dynamic systems are applied to the problem of synthesis
of spacecraft attitude control. Generalizations of the existing algorithms of spacecraft
attitude control and stabilization with respect to an inertial coordinate system are ob-
tained. New algorithms of spacecraft attitude control and stabilization with respect to
a rotating (orbital) coordinate system are proposed. Particular cases of these algo-
rithms are the corresponding algorithms for an inertial coordinate system. The effi-
ciency of the algorithms is illustrated by computer modelling of the dynamics of
spacecraft attitude control systems.
1. Раушенбах Б.В., Токарь Е.Н. Управление ориентацией космических аппаратов. — М.:
Наука, 1974. — 600 с.
2. Бернгардт Э.Г. Интервью Раушенбаха. — http://www.skizzenzumschicksal.narod.ru/
3. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. — М.: Наука,
1976. — 672 с.
4. Егоров С.Н., Дюмин А.Ф., Суринский Д.М. Исследование задачи орбитального гиро-
компасирования методами теории линейных систем наблюдения // Космические ис-
следования. — 1989. — 27, вып. 4. — С. 502–508.
5. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации
твердого тела. — М. : Наука, 1973. — 320 с.
6. Голубев Ю.Ф. Алгебра кватернионов в кинематике твердого тела. — (Препр. /
ИПМ им. М.В. Келдыша). — М., 2013. — № 39. — 23 с.
7. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных
навигационных систем. — М. : Наука, 1992. — 280 с.
8. Челноков Ю.Н. Кватернионные модели и методы динамики, навигации и управления
движением. — М. : Физматлит, 2011. — 560 с
9. Лебедєв Д.В. Керування орієнтацією твердого тіла з використанням параметрів Родри-
га–Гамільтона // Автоматика. — 1974. — № 4. — С. 29–32.
10. Лебедев Д.В., Ткаченко А.И., Штепа Ю.П. Магнитная система управления угловым движе-
нием микроспутника // Космічна наука і технологія. — 1996. — 2, № 5–6. — С. 17–25.
11. Ви Б., Уэйс Х., Эрэпостасис Э. Управление поворотом космического аппарата вокруг
собственной оси с обратной связью по компонентам кватерниона // Аэрокосмическая
техника. — 1990. — № 3. — С. 3–11.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 117
12. Кириченко Н.Ф., Матвиенко В.Т. Алгоритмы асимптотической, терминальной и адап-
тивной стабилизации вращательных движений твердого тела // Проблемы управления
и информатики. — 2003. — № 1. — С. 5–15.
13. Онищенко С.М. Оптимальная стабилизация искусственного спутника Земли избыточ-
ной системой маховиков // Международный научно-технический журнал «Проблемы
управления и информатики». — 2016. — № 6. — С. 133–143.
14. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М. : Наука,
1967. — 472 с.
15. Рябова А.В., Тертычный-Даури В.Ю. Элементы теории устойчивости. — С.-Пб : Изд-
во ИТМО, 2015. — 208 с.
16. Крыжевич С.Г. Обобщение теоремы Ляпунова об условной устойчивости на случай
неаналитичности // Дифференциальные уравнения и процессы управления. — 1998. —
№ 3. — С. 43–55.
17. Волосов В.В., Тютюнник Л.И. Синтез законов управления ориентацией космического
аппарата с использованием кватернионов // Космічна наука та технологія. — 1999. —
5, № 4. — С. 61–69.
18. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике : Изд. 2-е /
В.К. Абалакин, Е.П. Аксенов, Е.А. Гребенников и др. — М. : Наука, 1971. — 584 с.
19. Волосов В.В., Куценко И.А., Селиванов Ю.А. Разработка и исследование робастных ал-
горитмов эллипсоидального оценивания инерционных характеристик космического
аппарата, управляемого силовыми гироскопами // Проблемы управления и информа-
тики. — 2005. — № 4. — C.124–139.
20. Волосов В.В., Хлебников М.В., Шевченко В.Н. Алгоритм прецизионного управления
ориентацией космического аппарата при действии неконтролируемого возмущения //
Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информати-
ки». — 2011. — № 2. — C. 114–121.
21. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Ч.2. — М.: Наука,1969. — 332 с.
22. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. — М.: Мир, 1990. — 292 с.
23. Бутенин Н.В., Лунц Ю.Я., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Т.2. — М. : Нау-
ка, 1979. — 544 с.
24. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. —
М. : Изд. МГУ им. М.В.Ломоносова, 1975. — 308 с.
25. Зубов В.И. Устойчивость движения. — М. : Высшая школа, 1973. — 272 с.
26. Красовский Н.Н., Малкин И.Г.Обобщение теорем второго метода Ляпунова // Теория
устойчивости движения. — М.: Наука, 1966. — С. 463– 467.
27. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 575 с.
28. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М. : Наука, 1984. — 320 с.
29. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М. :
Наука, 1985. — 224 с.
30. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Негладкий анализ и синтез систем регулирования на
основе прямого метода Ляпунова // Приборостроение. — 1994. — 37, № 7–8. — С. 5–15.
31. Волосов В.В. Об управлении ориентацией космического аппарата в орбитальной сис-
теме координат с использованием эллипсоидальных оценок его вектора состояния //
Проблемы управления и информатики. — 1998. — № 5. — С. 31–41.
32. Ла-Салль Ж., Левшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. —
М.: Мир, 1964. — 168 с.
33. Ефимов Н.В., Розендорн Е.А. Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М. : Нау-
ка, 1970. — 528 с.
34. Математическое моделирование эйлеровых разворотов орбитального комплекса
«Мир» гиродинами / В.А. Сарычев, М.Ю. Беляев, С.Г. Зайков, В.В. Сазонов, Б.П. Тес-
ленко // Космические исследования. — 1991. — 29, вып. 4. — С. 532–543.
35. Кузовков Н.Т. Салычев О.С. Инерциальная навигация и оптимальная фильтрация. —
М. : Машиностроение, 1982. — 216 с.
36. Волосов В.В., Куценко И.А., Попадинец В.И. Математические модели вращательного
движения космических аппаратов с избыточными системами гиродинов и маховиков и
задачи управления их ориентацией. Ч. I, II // Проблемы управления и информатики. —
2003. — № 1. — C. 101–116; № 3. — C. 109–116.
37. Филиппов Ю.И. Эффективный алгоритм преобразования кватерниона в систему углов
Эйлера-Крылова // Полет. — 2009. — № 6. — С. 32–35.
38. Гордеев В.Н. Кватернионы и трехмерная геометрия. — Киев : Сталь, 2012. — 316 с.
Получено 06.06.2017
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208601 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T09:50:30Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Волосов, В.В. Шевченко, В.Н. 2025-11-02T17:44:15Z 2017 Синтез алгоритмов управления ориентацией космического аппарата на основе обобщений прямого метода Ляпунова / В.В. Волосов, В.Н. Шевченко // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 5. — С. 106-117. — Бібліогр.: 38 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208601 629.7; 681.5 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i9.30 Відомі узагальнення прямого методу Ляпунова на дослідження стійкості інваріантних множин динамічних систем застосовано до розв’язку задачі синтезу керування орієнтацією космічних апаратів (КА). Отримано узагальнення існуючих алгоритмів керування орієнтацією й стабілізації КА відносно інерціальної системи координат (СК). Запропоновано нові алгоритми керування орієнтацією й стабілізації КА щодо обертової (орбітальної) СК. Окремим випадком цих алгоритмів є відповідні алгоритми для інерціальної СК. Ефективність алгоритмів проілюстровано комп'ютерним моделюванням динаміки систем керування орієнтацією КА. Well-known generalizations of the direct Lyapunov method to investigation of the stability of invariant sets of dynamic systems are applied to the problem of synthesis of spacecraft attitude control. Generalizations of the existing algorithms of spacecraft attitude control and stabilization with respect to an inertial coordinate system are obtained. New algorithms of spacecraft attitude control and stabilization with respect to a rotating (orbital) coordinate system are proposed. Particular cases of these algorithms are the corresponding algorithms for an inertial coordinate system. The efficiency of the algorithms is illustrated by computer modelling of the dynamics of spacecraft attitude control systems. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Космические информационные технологии и системы Синтез алгоритмов управления ориентацией космического аппарата на основе обобщений прямого метода Ляпунова Синтез алгоритмів керування орієнтацією космічного апарата на основі узагальнень прямого методу Ляпунова Synthesis of algorithms for spacecraft attitude control based on generalizations of the direct Lyapunov method Article published earlier |
| spellingShingle | Синтез алгоритмов управления ориентацией космического аппарата на основе обобщений прямого метода Ляпунова Волосов, В.В. Шевченко, В.Н. Космические информационные технологии и системы |
| title | Синтез алгоритмов управления ориентацией космического аппарата на основе обобщений прямого метода Ляпунова |
| title_alt | Синтез алгоритмів керування орієнтацією космічного апарата на основі узагальнень прямого методу Ляпунова Synthesis of algorithms for spacecraft attitude control based on generalizations of the direct Lyapunov method |
| title_full | Синтез алгоритмов управления ориентацией космического аппарата на основе обобщений прямого метода Ляпунова |
| title_fullStr | Синтез алгоритмов управления ориентацией космического аппарата на основе обобщений прямого метода Ляпунова |
| title_full_unstemmed | Синтез алгоритмов управления ориентацией космического аппарата на основе обобщений прямого метода Ляпунова |
| title_short | Синтез алгоритмов управления ориентацией космического аппарата на основе обобщений прямого метода Ляпунова |
| title_sort | синтез алгоритмов управления ориентацией космического аппарата на основе обобщений прямого метода ляпунова |
| topic | Космические информационные технологии и системы |
| topic_facet | Космические информационные технологии и системы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208601 |
| work_keys_str_mv | AT volosovvv sintezalgoritmovupravleniâorientacieikosmičeskogoapparatanaosnoveobobŝeniiprâmogometodalâpunova AT ševčenkovn sintezalgoritmovupravleniâorientacieikosmičeskogoapparatanaosnoveobobŝeniiprâmogometodalâpunova AT volosovvv sintezalgoritmívkeruvannâoríêntacíêûkosmíčnogoaparatanaosnovíuzagalʹnenʹprâmogometodulâpunova AT ševčenkovn sintezalgoritmívkeruvannâoríêntacíêûkosmíčnogoaparatanaosnovíuzagalʹnenʹprâmogometodulâpunova AT volosovvv synthesisofalgorithmsforspacecraftattitudecontrolbasedongeneralizationsofthedirectlyapunovmethod AT ševčenkovn synthesisofalgorithmsforspacecraftattitudecontrolbasedongeneralizationsofthedirectlyapunovmethod |