Прогнозирование движения космических аппаратов по стохастической модели на основе дифференциальных преобразований
Запропоновано підхід до вирішення задачі прогнозування руху космічних апаратів ближнього космосу за стохастичною динамічною моделлю руху. В моделі руху космічного апарата врахована стохастичність початкових умов та варіації щільності атмосфери. Прогноз проведено методом прямого прогнозування з викор...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208602 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Прогнозирование движения космических аппаратов по стохастической модели на основе дифференциальных преобразований / М.Ю. Ракушев // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 5. — С. 118-132. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208602 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ракушев, М.Ю. 2025-11-02T17:47:08Z 2017 Прогнозирование движения космических аппаратов по стохастической модели на основе дифференциальных преобразований / М.Ю. Ракушев // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 5. — С. 118-132. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208602 629.783 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i10.30 Запропоновано підхід до вирішення задачі прогнозування руху космічних апаратів ближнього космосу за стохастичною динамічною моделлю руху. В моделі руху космічного апарата врахована стохастичність початкових умов та варіації щільності атмосфери. Прогноз проведено методом прямого прогнозування з використанням числового методу інтегрування, розробленого на основі диференціальних перетворень. Розглянуто особливості реалізації програмно-алгоритмічного забезпечення для прогнозування. An approach to solving the problem of the prediction of near space vehicles motion according to a stochastic dynamic model of motion is presented. Stochasticity of the initial conditions and variations in atmospheric density are considered in the model of spacecraft motion. The prediction is carried out by direct predicting with the use of a numerical integration method developed on the basis of differential transformations. The paper also presents the implementation features of software and algorithmic support for the prediction. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Космические информационные технологии и системы Прогнозирование движения космических аппаратов по стохастической модели на основе дифференциальных преобразований Прогнозування руху космічних апаратів за стохастичною моделлю на основі диференціальних перетворень Prediction of spacecraft motion according to a stochastic model based on differential transformations Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Прогнозирование движения космических аппаратов по стохастической модели на основе дифференциальных преобразований |
| spellingShingle |
Прогнозирование движения космических аппаратов по стохастической модели на основе дифференциальных преобразований Ракушев, М.Ю. Космические информационные технологии и системы |
| title_short |
Прогнозирование движения космических аппаратов по стохастической модели на основе дифференциальных преобразований |
| title_full |
Прогнозирование движения космических аппаратов по стохастической модели на основе дифференциальных преобразований |
| title_fullStr |
Прогнозирование движения космических аппаратов по стохастической модели на основе дифференциальных преобразований |
| title_full_unstemmed |
Прогнозирование движения космических аппаратов по стохастической модели на основе дифференциальных преобразований |
| title_sort |
прогнозирование движения космических аппаратов по стохастической модели на основе дифференциальных преобразований |
| author |
Ракушев, М.Ю. |
| author_facet |
Ракушев, М.Ю. |
| topic |
Космические информационные технологии и системы |
| topic_facet |
Космические информационные технологии и системы |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Прогнозування руху космічних апаратів за стохастичною моделлю на основі диференціальних перетворень Prediction of spacecraft motion according to a stochastic model based on differential transformations |
| description |
Запропоновано підхід до вирішення задачі прогнозування руху космічних апаратів ближнього космосу за стохастичною динамічною моделлю руху. В моделі руху космічного апарата врахована стохастичність початкових умов та варіації щільності атмосфери. Прогноз проведено методом прямого прогнозування з використанням числового методу інтегрування, розробленого на основі диференціальних перетворень. Розглянуто особливості реалізації програмно-алгоритмічного забезпечення для прогнозування.
An approach to solving the problem of the prediction of near space vehicles motion according to a stochastic dynamic model of motion is presented. Stochasticity of the initial conditions and variations in atmospheric density are considered in the model of spacecraft motion. The prediction is carried out by direct predicting with the use of a numerical integration method developed on the basis of differential transformations. The paper also presents the implementation features of software and algorithmic support for the prediction.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208602 |
| citation_txt |
Прогнозирование движения космических аппаратов по стохастической модели на основе дифференциальных преобразований / М.Ю. Ракушев // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 5. — С. 118-132. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT rakuševmû prognozirovaniedviženiâkosmičeskihapparatovpostohastičeskoimodelinaosnovedifferencialʹnyhpreobrazovanii AT rakuševmû prognozuvannâruhukosmíčnihaparatívzastohastičnoûmodellûnaosnovídiferencíalʹnihperetvorenʹ AT rakuševmû predictionofspacecraftmotionaccordingtoastochasticmodelbasedondifferentialtransformations |
| first_indexed |
2025-11-26T19:50:10Z |
| last_indexed |
2025-11-26T19:50:10Z |
| _version_ |
1850771848343584768 |
| fulltext |
© М.Ю. РАКУШЕВ, 2017
118 ISSN 0572-2691
УДК 629.783
М.Ю. Ракушев
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
ПО СТОХАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Введение. Прогнозирование движения космических аппаратов (КА) является
основой решения практически всех баллистических задач, связанных с орбиталь-
ным полетом КА. К таким задачам относятся планирование целевого применения
КА; расчет сеансов связи, навигации наземных (воздушных, морских) объектов;
определение параметров движения КА по траекторным измерениям; оценивание
общей космической обстановки; выявление опасных сближений КА и т.п. [1, 2].
Прогнозирование движения КА проводится на базе специализированной проце-
дуры на ЭВМ, которая реализует интегрирование дифференциального уравнения
движения КА. Основные требования, выдвигаемые к процедурам прогнозирова-
ния движения КА [1], — высокая точность, абсолютная достоверность, оператив-
ность; максимальная отработка используемых методов и возможность автоматиза-
ции решения вторичных по отношению к прогнозированию движения КА задач;
соответствие методов, алгоритмов и программ техническим характеристикам ЭВМ.
Следует добавить требования по стоимости разработки таких процедур, их уни-
фикации, а также гибкости при их усовершенствовании или изменении [3]. При
разработке процедур прогнозирования движения КА для наземных ЭВМ, как пра-
вило, исходят из условия минимизации машинного времени на их работу (ограни-
чение на вычислительную сложность) при обеспечении заданной точности про-
гнозирования. К процедурам для бортовых ЭВМ выдвигаются еще и требования
по уменьшению максимального объема задействованной памяти (оперативной
и постоянной).
Анализ последних исследований. Прогнозирование движения КА при
воздействии случайных факторов и возмущений требует использования стохас-
тической модели движения КА. Наиболее общая форма такой модели — сто-
хастическое дифференциальное уравнение, имеющее в своей структуре случайные
функции и величины, описывающие соответственно случайные факторы и на-
чальные условия [4]. Решением такого уравнения является нахождение вероятно-
стных характеристик описываемого случайного процесса [5]. Формально стохас-
тическая модель движения КА отличается от детерминированной модели только
описанием входящих в нее переменных и функций. Однако с математической точки
зрения обыкновенное стохастическое дифференциальное уравнение — уже другой
математический объект, для решения которого необходимо использовать спе-
циализированные методы [4]. Вместе с тем такие методы применяются в ком-
плексе с методами для решения детерминированных моделей движения КА.
Общее свойство описанных моделей движения КА заключается в том, что
они являются векторными нелинейными дифференциальными уравнениями. Все
методы, используемые для интегрирования таких уравнений, можно разделить на
численные, аналитические и численно-аналитические (комбинированные). Выбор
конкретного метода зависит от выдвигаемых требований к прогнозу, таких как
необходимая точность, оперативность, величина временного интервала его про-
ведения (краткосрочный или долгосрочный прогноз), а также от параметров
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 119
орбиты КА [1]. На сегодня наивысшую точность при решении баллистических
задач полетов КА обеспечивают численные (в основном, конечно-разностные)
методы интегрирования. Однако их основным недостатком является повышенная
вычислительная сложность, что в полном объеме сказывается на характеристиках
программных процедур прогнозирования [1].
Если рассмотреть последние исследования по внедрению новых методов
интегрирования в практику решения баллистических задач полетов КА, то можно от-
метить, что одними из перспективных являются методы на основе дифферен-
циально-тейлоровских (ДТ) преобразований. Так, в [6] предложен метод интегриро-
вания стохастического дифференциального уравнения на основе ДТ-преобразований.
Однако этот метод рассматривает стохастическое уравнение в форме уравнения
Ланжевена, что не позволяет применять его для всех видов моделей движения КА
(например, для моделей в системе оскулирующих элементов орбиты). Еще одним
недостатком рассматриваемого метода является отсутствие рекомендаций по реали-
зации в нем адаптации по шагу и порядку [7], что значительно снижает вычисли-
тельную эффективность прогнозирования.
Формулирование цели статьи. Проведенный анализ показывает, что из-
вестный метод интегрирования стохастического дифференциального уравнения
на основе ДТ-преобразований для решения задачи прогнозирования движения КА
по стохастической модели не обладает универсальностью (в отношении принятой
системы координат) и высокой вычислительной эффективностью (невозможность
адаптации по шагу и порядку). Таким образом, цель статьи — разработка подхода
к решению задачи прогнозирования движения КА по стохастической динамиче-
ской модели движения на основе ДТ-преобразований.
Изложение основного материала. Порядок получения детерминированных
моделей движения КА детально описан в специализированной литературе по бал-
листике КА и сводится к выбору системы координат и учету основных сил, влияю-
щих на движение КА [1, 8]. Стохастические модели движения КА получаются из
соответствующих детерминированных путем учета вероятностных характеристик
параметров и функций, которые в исходной модели являются детерминированны-
ми. Описанная операция проводится формальным учетом в детерминированной мо-
дели вероятностных характеристик ее параметров и функций [4, 8]. Наиболее ха-
рактерным примером такой операции является учет вероятностных характеристик:
параметров — начальных условий движения КА, и функции — вариаций плотности
атмосферы (для прогнозирования движения КА ближнего космоса необходим учет
аэродинамического сопротивления атмосферы, которое исходя из объективной сто-
хастичности процессов, влияющих на плотность атмосферы Земли (активности
Солнца), имеет явно выраженный стохастический характер [4]).
В общем виде задача прогнозирования движения КА по стохастической
модели сводится к расчету статистических характеристик случайного процес-
са, описываемого системой обыкновенных стохастических дифференциальных
уравнений [4, 8]:
)},(),(),,({},,{)(,),,,( 0000 τ−δ∈ξ∈>ξ= ξξ txtNxtMKMtxttxtf
dt
dx
Dxx (1)
где )(txx = — векторный случайный процесс с искомыми статистическими ха-
рактеристиками (траектория полета КА) размером ;n ,t 0t — независимые пере-
менные и их начальные значения; )( 0tx — начальные условия с заданными ха-
рактеристиками моментов (вектором математического ожидания 0xM и корреля-
ционной матрицей );0xK ),,( ξxtf — вектор-функция размером ;n )(tξ=ξ —
120 ISSN 0572-2691
непрерывный нормальный векторный нестационарный случайный процесс (шум)
с заданными характеристиками (математическим ожиданием ),( xtM ξ и корреля-
ционной функцией );(),( τ−δξ txtN D ),( xtM ξ — вектор математического ожи-
дания шума размером ;m ),( xtNξ — матрица интенсивности шума размером
;mm × )( τ−δ tD — дельта-функция Дирака, в которой t и τ — рассматриваемые
моменты времени.
Стохастические модели вида (1), как правило, имеют правые части, являющие-
ся гладкими нелинейностями, допускающими получение производных до второго
порядка включительно [4]. Для таких моделей можно провести линеаризацию пра-
вых частей дифференциальных уравнений в окрестности математического ожида-
ния параметров движения и математических ожиданий случайных возмущений
(реализовать метод линеаризации относительно среднего движения) [4, 5]. Далее
для полученной линеаризованной системы применяется метод корреляционных
преобразований [4, 5]. В большинстве практических задач такой подход обес-
печивает удовлетворительную точность при допустимой вычислительной
сложности расчетов.
Таким образом, прогнозирование движения КА по стохастической модели
движения сводится к расчету статистических характеристик динамической моде-
ли (1), который методом линеаризации относительно среднего движения и корре-
ляционных преобразований имеет вид [4, 5, 8]:
,)(,),,,( 000 xxx
x MtMttMMtf
dt
dM
=>= ξ (2)
++= ξξ ),,(),,( T MMtgKKMMtg
dt
dK
xxxx
x
),,,(),(),,( T
ξξξ+ MMtqMtNMMtq xxx (3)
,
),,(
),,(,
),,(
),,(,)(
00 ξ∂
∂
=
∂
∂
== ξ
ξ
ξ
ξ
MMtf
MMtq
x
MMtf
MMtgKtK x
x
x
xxx
где )(tMM xx = — искомая вектор-функция (математическое ожидание траекто-
рии движения КА) размером ;n 0xM — вектор начальных условий (для матема-
тического ожидания) движения КА; ),,( ξMMtf x — вектор-функция разме-
ром n (правая часть уравнения (1) при xMx = и );ξ=ξ M )(tKK xx = — иско-
мая матричная функция (корреляционная матрица ошибок прогнозирования
траектории движения КА) размером ;nn × 0xK — матрица начальных условий
(для корреляционной матрицы) движения КА; )(tMξ — вектор-функция матема-
тического ожидания шума размером ;m ),( xMtNξ — матричная функция интен-
сивности шума размером ;mm × ),,( ξMMtg x — матричная функция, получае-
мая дифференцированием правой части (1) по вектору ,x размером ;nn ×
),,( ξMMtq x — матричная функция, получаемая дифференцированием правой
части (1) по вектору ,ξ размером ;mn × T — оператор транспонирования матрицы.
Реализация метода (2)–(3) сводится к совместному решению задачи Коши
для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, для ее решения ис-
пользуются численные методы интегрирования таких уравнений.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 121
Основной трудностью решения (1) на основе (2)–(3) при сложной правой
части ),,( ξxtf является методическая сложность получения в аналитическом ви-
де матриц частных производных (вариационных членов) — ),,( ξxtg и ),,( ξxtq
при xMx = и .ξ=ξ M В [6] предложен метод расчета статистических характе-
ристик модели (1) проведением интегрирования (2)–(3) на основе двухмерных
ДТ-преобразований, который лишен недостатка методической сложности реали-
зации. Однако в нем рассматривается стохастическое уравнение в форме уравне-
ния Ланжевена (в которой матрица ),( xtq задана и не зависит от ξ ) и реализует-
ся получение только матрицы g , а на получение матрицы q метод не распро-
страняется. Описанное объясняется тем, что g и q состоят из частных
производных функции ),,( ξxtf по функциям )(tx и )(tξ соответственно, а в [6]
порядок получения g основан на предварительном получении матрицы частных
производных функции )(tx по параметрам x0 (матрицы Якоби для (1) по началь-
ным условиям задачи Коши). При этом для случайного процесса )(tξ такой мат-
рицы Якоби не существует.
Двухмерными ДТ-преобразованиями называют функциональные преобразо-
вания [9]:
,),()()(),(
,),(
!!
),(
0 0
∑ ∑
∞
=
∞
=
∗∗
∗∗
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −−
=
∂∂
∂
=
w
w
w
w
ww
k k
wk
w
k
k
k
kk
kk
w
k
w
k
w
kkZ
h
ww
h
ttwtz
wt
wtz
kk
hhkkZ
(4)
где ),( wtz — скалярная функция, имеющая производные необходимого порядка по
t и w ; wt, — скалярные аргументы; ∗∗ wt , — значения аргументов, при которых
проводится преобразование; h , wh — отрезки аргументов, на которых ),( wtz
представляется рядом Тейлора по t и w соответственно; wkk, — целочисленные
аргументы 0, 1,…; ),( wkkZ — дискретная функция по аргументам ., wkk
В (4) первое выражение задает прямое ДТ-преобразование, а второе — об-
ратное. Прямое преобразование позволяет по оригиналу ),( wtz найти изображе-
ние ),,( wkkZ обратное — восстанавливает оригинал ),( wtz в виде отрезка двух-
мерного ряда Тейлора. ДТ-изображение ),( wkkZ называют Т-спектром, а значе-
ние функции ),( wkkZ — Т-дискретами [9].
Основным свойством ДТ-преобразований является реализация рекуррентно-
го, методически простого (численно-аналитического) определения членов ряда
Тейлора любого порядка при отсутствии методических ошибок. При этом для оп-
ределения (расчета) Т-спектра сложной функции необходимо в соответствии с ее
внутренней структурой определить (задать) Т-спектры всех ее аргументов, и мер-
ность Т-спектров аргументов должна совпадать с необходимой мерностью опре-
деляемого Т-спектра сложной функции (вид Т-спектров аргументов определяет
Т-спектр сложной функции) [8, 9].
Запишем метод линеаризации относительно среднего движения для (1) [4, 5]
⇒ξ= ),,( xtf
dt
dx
=+⇒ξ++=+ ξ dt
xd
dt
dMMxMtfxM
dt
d x
xx
o
ooo
),,()(
122 ISSN 0572-2691
++ξ
ξ∂
∂
+
∂
∂
+= ξξ
ξ )(
),,(),,(
),,(
2ooo
xO
MMtf
x
x
MMtf
MMtf xx
x
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
ξ
ξ∂
∂
+
∂
∂
≈
≈
⇒ξ+
ξξ
ξ
,
),,(),,(
),,,(
)(
2
ooo
o
MMtf
x
x
MMtf
x
dt
d
MMtf
dt
dM
O
xx
x
x
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
ξ+=
=
⇒
ξξ
ξ
,),,(),,(
),,,(
ooo
MMtqxMMtgx
dt
d
MMtf
dt
dM
xx
x
x
(5)
где xM , ξM — математические ожидания случайных процессов;
o
x ,
o
ξ — центриро-
ванные случайные процессы; )(KO — величина соответствующего порядка малости.
Уравнение (2) и первое уравнение в (5), а также матрицы ,g q в (3) и (5)
совпадают. Применим ДТ-преобразование при =k 0, 1,… и =wk 0 к первому
дифференциальному уравнению в (5) при значении независимого переменного
уравнения .itt = Такая операция является одномерным ДТ-преобразованием:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=∧∞=
+
=+
=
−δ+δ=
==
ξ
ξξ
)},0(),0{(:)0,(
1
)0,1(
)),0,(),0,(),0,(()0,(
),,1(),()0,(
)),0,(),0,(()0,(),()0,0(
wx
x
wTwTi
xixx
kkkF
k
hkM
kMkMkTFkF
kkhkktkT
kMkTMkMtMM
(6)
,)0,()()(
0
∑
∞
=
−
=
k
xk
k
i
ix kM
h
tttM
где ),,( wx kkM ),,( wkkF ),,( wkkT ),( wkkMξ — Т-спектры )(tM x правой части
),,( ξxtf при xMx = и ,ξ=ξ M переменного t , математического ожидания шу-
ма ),( xMtM ξ соответственно; h — отрезок аргумента t ; ),( wT kkδ — двухмер-
ная «теда» [9]
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≠∨≠
=∧=
=−−δ
)}.(){(,0
)},(){(,1
),(
bkak
bkak
bkak
w
w
wT (7)
Рассмотрим матрицу ),,( ξMMtg x в (5). При ее определении в соответствии
с порядком получения частных производных сложной функции (функции многих
переменных) x является переменным, а t и ξ — постоянными. Таким образом,
выполняется
⇒
∂
ξ∂
ξ∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
= ξξξ
ξ x
MMtf
x
t
t
MMtf
x
x
x
MMtf
MMtg xxx
x
),,(),,(),,(
),,(
x
MMtf
MMtg x
x ∂
∂
=⇒ ξ
ξ
),,(
),,( при ,0,0, nmnn xx
tE
x
x
×× =
∂
ξ∂
=
∂
∂
=
∂
∂ (8)
где nmnnE ×× 0, — единичная и нулевая матрицы соответственно.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 123
Для определения Т-спектра функции ),,( ξxtf расширим прямое ДТ-преоб-
разование (6) при =k 0, 1, … и =wk 1 по элементам вектора x . При этом
Т-спектры функций x , ξ и переменного t зададим из (8). Описанная операция с
учетом свойств ДТ-преобразований имеет вид:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=∧∞==
==−δ=
ξ
×ξ×
)},1(),0{(:)),(),,(),,(()1,(
,0)1,(,0)1,(,)1,()1,(
wwwxw
nmxwTnnx
kkkkMkkMkkTFkF
kTkMhkkEkM
(9)
где xh — отрезок аргумента (вариация функции) );(tM x ),( wT kkδ — «теда» (7).
В соответствии со свойствами ДТ-преобразований для рассчитанного в (6), (9)
Т-спектра функции ),,( ξxtf выполняется [8, 9] (для соблюдения правил матрич-
ных операций деление показано поэлементно, при этом запись без индекса обознача-
ет соответствующую матрицу или вектор, а наличие индексов nj ,11 = (строка),
nj ,12 = (столбец) указывает на скалярную (поэлементную) запись):
⇒=⇒
∂
∂
= ξ
ξ }),({),(
),,(
),,(
2121
2
1
21 jjwkjjw
j
jx
jjx kkFDkkG
x
MMtf
MMtg
w
21
2
2121
2
21
)1,(1)0,()1,(1),( jj
jx
jjjjw
jx
w
jjw kF
h
kGkkF
h
kkkG =⇒+
+
=⇒ (10)
при ,)1,()1,( xwTnnx hkkEkM −δ= × ,0)1,( nmkM ×ξ =
где ),( wkkG — двухмерный Т-спектр матрицы );,,( ξMMtg x }{
wkD — опера-
ция дифференцирования в области Т-спектров [8, 9].
Из (10) видно, что введенный (для задания Т-спектра )1,(kM x ) при прямом
ДТ-преобразовании отрезок аргумента xh при дифференцировании по wk (для
вычисления )0,(kG ) сокращается. Следовательно, можно задать
=
2jxh 1, .,12 nj = (11)
Рассмотрим матрицу ),,( ξMMtq x в (5). В соответствии с порядком получе-
ния частных производных сложной функции при ее определении ξ является пе-
ременным, а t и x — постоянными. Таким образом, выполняется
⇒
ξ∂
ξ∂
ξ∂
∂
+
ξ∂
∂
∂
∂
+
ξ∂
∂
∂
∂
= ξξξ
ξ
),,(),,(),,(
),,(
MMtft
t
MMtfx
x
MMtf
MMtq xxx
x
ξ∂
∂
=⇒ ξ
ξ
),,(
),,(
MMtf
MMtq x
x при ,,0,0 mmmn Etx
×× =
ξ∂
ξ∂
=
ξ∂
∂
=
ξ∂
∂ (12)
где mmmn E ×× ,0 — нулевая и единичная матрицы соответственно.
Расширим ДТ-преобразование (6) при =k 0, 1, … и =wk 1 по элементам век-
тора ξ для определения Т-спектра функции ).,,( ξxtf При этом Т-спектры функ-
ций x , ξ и переменного t зададим исходя из (12):
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=∧∞==
=−δ==
ξ
ξ×ξ×
)},1(),0{(:)),(),,(),,(()1,(
,0)1,(,)1,()1,(,0)1,(
wwwxw
wTmmmnx
kkkkMkkMkkTFkF
kThkkEkMkM
(13)
где ξh — отрезок аргумента (вариация функции) );(tM ξ ),( wT kkδ — «теда» (7).
124 ISSN 0572-2691
Для рассчитанного в (6), (13) Т-спектра функции ),,( ξxtf выполняется [8, 9]
(запись без индекса обозначает матрицу или вектор, а наличие индексов nj ,11 =
(строка), mj ,12 = (столбец) указывает на скалярные величины):
⇒
ξ∂
∂
= ξ
ξ
2
1
21
),,(
),,(
j
jx
jjx
MMtf
MMtq =
21
),( jjwkkQ
21
2
2121
2
)1,(1)0,()1,(1
jj
j
jjjjw
j
w kF
h
kQkkF
h
k
ξξ
=⇒+
+
= (14)
при ,0)1,( mnx kM ×= ,)1,()1,( ξ×ξ −δ= hkkEkM wTmm
где ),( wkkQ — двухмерный Т-спектр матрицы ).,,( ξMMtq x
Из (14) видно, что введенный (для задания Т-спектра )1,(kMξ ) отрезок аргу-
мента ξh для вычисления )0,(kQ сокращается. Таким образом, можно задать
=ξ
2j
h 1, .,12 mj = (15)
Из сравнения прямого ДТ-преобразования (9) для расчета (10) и ДТ-пре-
образования (13) для расчета (14) видно, что они отличаются только Т-спектрами
)1,(kM x и )1,(kMξ . Для их совместного использования введем блочные матрицы,
что с учетом (11), (15) имеет вид
),1,()0()1,( −δ= ×× wTmnnnx kkEkM ).1,()0()1,( −δ= ××ξ wTmmnm kkEkM (16)
После определения в (10), (14) на основе двухмерного ДТ-преобразования урав-
нения (2) Т-спектров матриц частных производных ),,( ξMMtg x и ),,,( ξMMtq x
входящих в (3), запишем на базе (6), (9), (13) и (16) явную вычислительную
схему прогнозирования движения КА (интегрирования (2)–(3)) на основе ДТ-
преобразований. При этом учтем, что ),0,(kG )0,(kQ определяются для
,0=wk и поэтому они являются одномерными Т-спектрами (только по незави-
симому переменному t системы (2)–(3)), и для них второй аргумент можно
опустить.
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−δ=∧==
=∧−δ==
=∧−=
+
=+
=∧−=∨=∧−=
=
−δ==
−δ==
−δ+δ=+=
×ξ×
×ξ×
∂
ξ
××ξξξ
××
+
},))1,()1,(()0)1,(({:)1,()(
},)0)1,(())1,()1,(({:)1,()(
},)0()1,0({:)0,(
1
)0,1(
},)1()1,0({})0()1,0({
:)),(),,(),,((),(
),1,()0()1,()),0,(),0,(()0,(
),1,()0()1,(),()0,0(
),,1(),(),(,
max
maxmax
1
wTmmmnx
nmwTnnx
wx
ww
wwxww
wTmmnmx
wTmnnnxixx
wTiwTiwii
kkEkMkMkFkQ
kMkkEkMkFkG
kkkkF
k
hkM
kkkkkk
kkMkkMkkTFkkF
kkEkMkMkTMkM
kkEkMtMM
kkhkktkkThtt
(17)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 125
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=∗∗+
+∗+∗
+
=+
==
ξ
ξξ
},1,0{:))()()(
)()()()((
1
)1(
),)0,(),0,(()(),()0(
max
T
T
kkkQkNkQ
kGkKkKkG
k
hkK
kMkTNkNtKK
xxx
xixx
(18)
∑
=
+ =
max
0
1 ),0,()(
k
k
xix kMtM ,)()(
max
0
1 ∑
=
+ =
k
k
xix kKtK (19)
где ),( ix tM )( ix tK — искомые сеточные функции, принимаемые за решение (2), (3);
i — узел вычислительной сетки; h — шаг интегрирования; ),,( wx kkM
),,( wkkMξ ),,( wkkF ),,( wkkT ),( wT kkδ — Т-спектры ),(tM x ),(tMξ ,f t и
«теды» (7) соответственно; maxk — порядок точности интегрирования при расче-
те ixM и ;ixK ∂maxk — максимальный номер Т-дискреты при расчете )(kG и
);(kQ ),(kKx ),(kG ),(kQ )(kNξ — одномерные Т-спектры матриц ),(tKx ,g q
и )(tNξ соответственно; ∗ — операция «обрезанной» одномерной алгебраической
свертки в виде [8]:
.)()()()(
),min(
0
max
pkKpGkKkG x
kk
p
x −=∗ ∑
∂
=
(20)
Исходя из свойств ДТ-преобразований, при проведении прямого преобразо-
вания необходимо выполнить условие
.maxmax kk ≤∂ (21)
Получение Т-изображений правой части исходного дифференциального
уравнения ),,( wkkF математического ожидания шума ),( wkkMξ и его интен-
сивности )(kNξ в прямом ДТ-преобразовании проводится (методически просто) в
следующем порядке [8, 9]:
• исходные функции ),,,( ξxtf ),,( xtMξ ),( xtNξ разделяются на базовые
математические операции (сумма, разность, умножение, деление, тригонометри-
ческие функции, возведение в степень и т.п.), которые определяют оригиналы;
• каждая такая операция (по отдельности) вместе с оригиналом заменяется на
взятое из стандартного перечня [8, 9] соответствующее изображение.
Прямое ДТ-преобразование (17)–(18) проводится в такой последовательности:
1. В (17) при =wk 0 для 1,0 max −= kk рассчитываются Т-спектры )0,(kF и
);0,(kM x
2. В (17) при =wk 1 для 1,0 max −= ∂kk рассчитывается Т-спектр )1,(kF для
определения )(kG и )(kQ (при ),(kG )(kQ значения ∂maxk можно задавать раз-
личными);
3. В (18) при =wk 1 для 1,0 max −= kk рассчитывается Т-спектр ).(kKx
Т-спектр матриц частных производных (вариационных членов) g и q рассчи-
тывается по столбцам. Для этого в п. 1 Т-спектр )0,(kF рассчитывается однократно,
а в п. 2 Т-спектр )1,(kF пересчитывается mn + раз для каждого столбца g и q при
126 ISSN 0572-2691
различных начальных условиях — столбцах из )0,()0()1,( kEkM Tmnnnx δ= ××
и .)0,()0()1,( kEkM Tmmnm δ= ××ξ Описанная постолбчатая процедура подобна
порядку определения производных методом конечных разностей относительно
последовательного использования одних и тех же формул при различных начальных
условиях, что обеспечивает методическую простоту разработанному подходу.
Для уменьшения вычислительной сложности прогнозирования в (17)–(19),
можно дополнительно опускать (отбрасывать) малозначимые члены в матрицах
частных производных g и ,q при условии что такие члены не включают «едино-
лично» элементы векторов x и ξ в функции ),,( ξxtf [1, 5, 8]. Например, если в
модели движения КА учитываются возмущения от несферичности Земли и ано-
малий силы ее притяжения, влияние притяжения Луны и Солнца, а также аэроди-
намическое сопротивление атмосферы, то при расчете математического ожидания
траектории КА для Т-спектра )0,(kF учет возмущений обязательный, а при рас-
чете матриц частных производных для Т-спектра )1,(kF их можно опустить (за-
дать нулевыми):
• для Т-спектра )(kG матрицы g не учитывать возмущения от тессеральных
гармоник, влияние притяжения Луны, Солнца и сопротивления атмосферы;
• для Т-спектра )(kQ матрицы q — возмущения от тессеральных гармоник,
влияние притяжения Луны и Солнца.
Далее рассмотрим разработку адаптивных вычислительных схем прогнози-
рования движения КА на базе (17)–(19). В целом наилучшие вычислительные ха-
рактеристики обеспечивают адаптивные вычислительные схемы, в которых реа-
лизуется априорно на одном шаге (без использования пробных шагов) автомати-
ческий выбор величины шага интегрирования и порядка схемы [7]. Для
реализации такой адаптации необходимо иметь явную одношаговую схему интег-
рирования, в которой для априорной адаптации по шагу получена аналитическая
оценка ошибки аппроксимации схемы и имеется возможность численно-анали-
тически изменять шаг интегрирования; для адаптации по порядку получена ана-
литическая оценка вычислительной сложности схемы и имеется возможность из-
менять порядок в одной схеме (смена порядка без изменения алгоритма).
Для вычислительной схемы (17)–(19) выполняется все перечисленное выше.
Величина адаптивного шага интегрирования по рассчитанному Т-спектру
(прямому ДТ-преобразованию, без пробных шагов) для (17)–(18) определяется
в виде [7, 8]:
,
)(/)()(/)0,(
max
1
maxmax
k
ixxixx
x
i tKkKtMkM
hh ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
δ
=
∑
=
=
n
j jix
jx
ix
x
tM
kM
tM
kM
1
maxmax
1 1
1
)(
)0,(
)(
)0,(
, ∑ ∑
= =
=
n
j
j
j jjix
jjx
ix
x
tK
kK
tK
kK
1 1
maxmax
2
2
1 21
21
)(
)(
)(
)(
, (22)
где ih — адаптивный шаг интегрирования; xδ — заданное значение относитель-
ной ошибки интегрирования на шаге; K — норма матрицы; ,1j 2j — индекс
элемента матрицы, вектора.
Исходя из свойств ДТ-преобразований, используя рассчитанный в (22) шаг,
можно пересчитать Т-дискреты для обратного ДТ-преобразования (19) в виде [9]:
∑
=
+ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
max
0
1 ),0,()(
k
k
x
k
i
ix kM
h
htM ∑
=
+ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
max
0
1 ).()(
k
k
x
k
i
ix kK
h
htK (23)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 127
В целом, адаптивная по шагу вычислительная схема прогнозирования движе-
ния КА (интегрирования (2), (3)) на основе ДТ-преобразований имеет вид (17),
(18), (22), (23).
Оценка вычислительной сложности ДТ-схемы (17)–(19) на одном шаге ин-
тегрирования, выраженная в количестве вычислений правой части дифференци-
ального уравнения (1) — ),,( ξxtf , определяется в виде [7, 8]:
),1()()1(
2
1),( maxmaxmaxmaxmaxmax ++++= δδδ kkmnkkkkS (24)
где ,maxk ∂maxk — максимальные номера Т-дискрет, учитываемых при расчете
Т-спектра ),( wkkF для =wk 0 и =wk 1 соответственно; ,n m — размер векторов
x и ξ соответственно.
Из (24) видно, что выполнение (21) в виде строгого неравенства
maxmax kk <∂ приводит к уменьшению вычислительной сложности прогнозирова-
ния. Выбор конкретных значений для такого условия )( maxmaxmax kkk ∂∂ = прово-
дится исходя из оценки влияния малости отбрасываемых Т-дискрет. Для задачи
прогноза движения КА допускается положить [8]
),5,0(round)( maxmaxmaxmax kkkk == ∂∂ (25)
где )(round K — операция округления.
С помощью оценки (24) можно реализовать адаптацию по порядку априорно
на следующем шаге в адаптивной по шагу вычислительной схеме интегрирования
(17), (18), (22), (23) в таком виде: порядок схемы на следующем шаге определяет-
ся путем сравнения вычислительной эффективности (по показателю количества
вычислительных затрат (24) на единицу шага (22)) на текущем шаге для двух
адаптивных схем с ikmax и .1max −ik Если более эффективна схема с ,max ik то на
следующем шаге целесообразно увеличить порядок — ,1max1max +=+ ii kk а если
нет — уменьшить ).1( max1max −=+ ii kk Описанный подход имеет такой вид:
адаптивная по шагу схема (17), (18), (22), (23) с ikk maxmax = ,
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
−−
>−
−
−−
≤+
=
∂∂
∂∂
+
,
)1(
))1(,1(
)(
))(,(
,1
,
)1(
))1(,1(
)(
))(,(
,1
max
maxmaxmax
max
maxmaxmax
max
max
maxmaxmax
max
maxmaxmax
max
1max
ii
ii
ii
ii
i
ii
ii
ii
ii
i
i
kh
kkkS
kh
kkkS
k
kh
kkkS
kh
kkkS
k
k (26)
где ikmax — адаптивный порядок интегрирования; ),( maxmax ikk ∂ )1( maxmax −∂ ikk —
принятые значения ∂maxk (25) для заданных значений ikmax и 1max −ik соответ-
ственно; )(KS — вычислительная сложность (24) для соответствующих значений
maxk и ;max∂k ),( max ii kh )1( max −ii kh — адаптивные шаги интегрирования (22)
для ikmax и 1max −ik соответственно.
В целом, адаптивная по шагу и порядку вычислительная схема прогнозиро-
вания движения КА (интегрирования (2)–(3)) на основе ДТ-преобразований имеет
вид (17), (18), (22), (23), (26).
128 ISSN 0572-2691
Рассмотрим порядок программирования (17), (18), (22), (23), (26) — разра-
ботку программ (процедур) прогнозирования движения КА по стохастической
модели на основе ДТ-преобразований и последовательность (порядок) оценки ха-
рактеристик таких процедур.
Алгоритм программы прогнозирования на основе (17), (18), (22), (23), (26)
использует для хранения и расчета Т-спектров массивы и включает четыре вло-
женных цикла [8]:
1) внешний цикл по приращению независимого переменного t (по узлам вы-
числительной сетки )i от 0=i до .maxi Для цикла начальными данными являют-
ся )( 0tM x и ),( 0tKx а выходными — )( maxtM x и );( maxtKx
2) цикл (вложенный в первый цикл) для расчета по столбцам многомерных
Т-спектров (по аргументу )wk от 0=wj (для )0=wk до mnjw += (для ).1=wk
В цикле при 0=wj принимается ,0=wk а при 0>wj — 1=wk и выбирается
wj -й столбец из ),0,()0()1,( kEkM Tmnnnx δ= ×× )0,()0()1,( kEkM Tmmnm δ= ××ξ
с дальнейшим расчетом для ,1 njw ≤≤ wj -го столбца Т-спектра ),(kG а для
,1 mnjn w +≤≤+ )( njw − -го столбца ).(kQ Для цикла начальными данными
являются ),( ix tM а выходными — ),0,(kM x )(kG и );(kQ
3) цикл (вложенный во второй цикл) по аргументу k , от 0=k до ikmax (для
)0=wk или до ∂maxk (для )1=wk (25). В цикле проводится прямое ДТ-преобра-
зование (17): рекуррентный расчет )0,(
1
)0,1( kF
k
hkM x +
=+ или последователь-
ный расчет ).,( wkkF Для цикла начальными данными являются ,max ik wj и за-
данные ),1,(kM x ),1,(kMξ а выходными — ),0,(kM x столбцы )(kG и );(kQ
4) цикл (вложенный в первый цикл) по аргументу k , от 0=k до .max ∂k В цикле
проводится прямое ДТ-преобразование (18) — рекуррентный расчет ).1( +kKx
Для цикла начальными данными являются ),( ix tK спектры ),0,(kM x матри-
цы )(kG и ),(kQ а выходным — ).(kKx
В конце первого цикла проводится определение (текущего) адаптивного шага —
ih (23), адаптивного порядка для следующего шага — 1max +ik (26) и обратное
ДТ-преобразование (22) — определяются )( 1+ix tM и ).( 1+ix tK
На характеристики программного обеспечения существенно влияет множест-
во как объективных (выбранный язык программирования, система команд про-
цессора), так и субъективных (квалификация программиста) факторов. На опыте
разработки программного обеспечения для космических проектов в [3] приводят-
ся оценки характеристик типового программного обеспечения для прогнозирова-
ния движения КА по детерминированной модели при ее численном интегрирова-
нии и предлагается подход к оценке характеристик вновь разрабатываемых про-
цедур методом подобия.
Метод подобия при оценке характеристик программ включает следующие этапы:
• известны (заданы из опыта разработки) характеристики программы детер-
минированного прогноза движения КА с численным методом интегрирования
(принимаются за базовую единицу). Для программы на языке высокого уровня
размер кода составляет 52 Кбайт, оперативная память — 16 Кбайт, вычислитель-
ная сложность — 20 тыс. операций в секунду [3];
• разрабатывается программа для детерминированного прогноза с числен-
ным интегрированием, характеристики которой принимаются равными преды-
дущему этапу;
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 129
• разрабатывается программа для стохастического прогноза с интегрировани-
ем на основе ДТ-преобразований, характеристики которой определяются и срав-
ниваются (нормируются) с предыдущим этапом.
При разработке программ прогнозирования на основе предложенных подходов
1) использовалась среда Delphi-6, язык высокого уровня Object Pascal; 2) модель дви-
жения КА, в которой учтены возмущения от несферичности Земли и аномалий силы
притяжения при разложении геопотенциала в ряд по сферическим функциям и сила
аэродинамического сопротивления атмосферы; 3) все двухмерные массивы, исполь-
зуемые для хранения двухмерных Т-спектров, заменяются одномерными массивами
(подобная операция по представлению всех массивов в одномерном виде реализуется
любым компилятором). Например, массив ],[ wkkX с ∧== )0,,0( max wkkk
)1,,0( max ==∧ δ wkkk заменяется на массив ][ ∗∗ kX с )1,0( maxmax ++= δ∗ kkk , при
этом выполняется ][]0,[ kXkX ∗= и ].1[]1,[ max ++= ∗ kkXkX Описанная замена
позволяет при (21) эффективнее использовать оперативную память (уменьшить
выделенную память для хранения многомерных Т-спектров).
Результаты прогнозирования движения КА ближнего космоса с высотой
600–1000 км, значением баллистического коэффициента — 0,06 и флюктуациями
(относительно среднего значения) плотности атмосферы — 60 % приведены в
табл. 1, где xδ — относительная ошибка интегрирования на шаге; maxk — поря-
док интегрирования; h — шаг интегрирования; hS — средние вычислительные
затраты на единицу шага (24); hS prg / — средние вычислительные затраты на
единицу шага (общее количество умножений и делений в программе прогноза,
отнесенное к общему интервалу прогнозирования).
Таблица 1
xδ Поле разложения
геопотенциала maxk сh, hS hS prg /
4×4 10–20 70–342 3,5 355
10–12
16×16 12–19 80–221 4,5 2138
4×4 12–20 60–309 4,0 410
10–14
16×16 12–20 48–195 5,1 2396
4×4 12–20 45–255 5,1 522
10–16
16×16 12–24 40–222 6,9 3205
Анализ характеристик многомерных ДТ-схем (табл. 1) показывает, что для
разных моделей движения (при разной полноте учета возмущающих факторов)
параметры наилучшей адаптивной схемы различные, а при увеличении точности
прогноза и усложнении модели движения КА вычислительная сложность расче-
тов и оптимальный порядок увеличиваются, а оптимальный шаг уменьшается.
Оценка характеристик программ прогнозирования движения КА методом по-
добия для принятых в отечественной практике баллистико-навигационного обес-
печения управления полетами КА моделей движения КА, в которых учтено поле 4×4
гармоник разложения геопотенциала Земли в ряд по сферическим функциям и со-
противление атмосферы [1, 11–13], приведена в табл. 2, где в качестве базовой
принимается программа прогнозирования движения КА по детерминированной
модели движения семиэтапным методом Адамса по схеме «предиктор-корректор»
для штатной точности при шаге интегрирования 100 с, разгон которого выполняется
методом Рунге–Кутта 4-го порядка. Для численного определения матриц g и q
используется метод конечных разностей.
130 ISSN 0572-2691
Следует отметить, что прогноз движения КА по стохастической модели,
в сравнении с прогнозом по детерминированной модели, требует большей точности.
Так, точность стохастического прогноза (расчет статистических характеристик)
составляет 1210−≤δx , а для детерминированного прогноза (метод Адамса с ша-
гом 100 с) — 710−≤δx .
Таблица 2
Размер, Кбайт Модель
движения Метод прогноза (интегрирования) Код
программы
Оперативная
память
Вычислительная
сложность,
тыс. операций / с
Метод Адамса (базовый) 52 16 20 Детермини-
рованная Одномерные ДТ-преобразования 78 192 68
Аналитическое опре-
деление g и q 260 80 857 (2)–(3),
метод
Адамса Численное опреде-
ление g и q 78 32 2600
Стохасти-
ческая
(17), (18), (22), (23), (26) 117 312 874
Из табл. 2 следует, что 1) для штатной точности программа для прогнозиро-
вания по детерминированной модели (соответствует прогнозу математического
ожидания (2)) на основе известных методов имеет характеристики лучше, чем
программа на основе одномерных ДТ-преобразований; 2) программа прогноза
по стохастической модели на основе многомерных ДТ-преобразований имеет
сопоставимые характеристики с программой при аналитическом определении
матриц частных производных и существенно лучшие характеристики по срав-
нению с программой при численном определении таких матриц; 3) размер кода
программ на основе многомерных ДТ-преобразований не зависит от размерно-
сти задачи прогноза (общая размерность 936 =+=+ mn ); 4) для программ на
основе ДТ-преобразований объем оперативной памяти определяется точностью про-
гноза (чем выше точность, тем больше объем).
Заметим, что размер кода программы фактически определяет сложность
ее разработки и соответственно трудозатраты на ее разработку (программисту
оплачивается или количество строк, или размер кода программы, или количество
операторов, входящих в нее) [3]. При разработке программ на основе ДТ-пре-
образований в полном объеме проявляется методическая простота реализации
разработанного подхода, которая состоит в «перепрограммировании» программы
прогнозирования на основе одномерных ДТ-преобразований (прогноз по детер-
минированной модели) в программу на основе многомерных ДТ-преобразований.
Обозначенное перепрограммирование для матриц частных производных сво-
дится фактически к расширению библиотеки стандартных (унифицированных)
процедур для многомерных ДТ-преобразований. Иными словами, перепро-
граммирование программы на основе одномерных ДТ-преобразований являет-
ся методически простой унифицированной операцией, поэтому программа на
основе многомерных ДТ-преобразований проста в разработке (соответственно,
и стоит меньше).
Программирование на основе известных подходов требует предварительного
проведения сложных аналитических выкладок, которые не связаны с программой
для детерминированного прогноза, а именно: определения громоздких матриц ча-
стных производных с их дальнейшим программированием. При этом перепро-
граммирование программы для детерминированной модели фактически сводится
к ее значительному усложнению (расширению) за счет разработки новых неунифи-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 131
цированных блоков для матриц частных производных. Более того, для сложных мо-
делей движения КА такие матрицы частных производных имеют слишком сложный
вид, что исключает возможность разработки программ на традиционных подходах.
Характеристики программ в табл. 2 приведены для наименьшей практиче-
ски целесообразной точности решения задачи прогнозирования движения КА.
При увеличении точности вычислительная эффективность использования ДТ-пре-
образований будет возрастать [8, 10], и, соответственно, эффективность програм-
много обеспечения для прогнозирования движения КА на основе ДТ-преобра-
зований тоже будет возрастать.
Заключение. Отличительной особенностью предлагаемого подхода к интег-
рированию стохастического дифференциального уравнения движения КА на ос-
нове многомерных ДТ-преобразований является возможность его применения
к моделям движения КА в любой системе координат. Это позволяет методически
просто реализовать расчет статистических характеристик траектории КА методом
линеаризации относительно среднего движения и корреляционных преобразований.
Таким образом, предлагаемый в статье подход к решению задачи прогнози-
рования движения КА ближнего космоса по стохастической динамической моде-
ли движения на основе ДТ-преобразований является эффективным при разработке
программно-алгоритмического обеспечения для высокоточного прогнозирования
движения КА.
М.Ю. Ракушев
ПРОГНОЗУВАННЯ РУХУ КОСМІЧНИХ АПАРАТІВ
ЗА СТОХАСТИЧНОЮ МОДЕЛЛЮ НА ОСНОВІ
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ
Запропоновано підхід до вирішення задачі прогнозування руху космічних
апаратів ближнього космосу за стохастичною динамічною моделлю руху. В
моделі руху космічного апарата врахована стохастичність початкових умов та
варіації щільності атмосфери. Прогноз проведено методом прямого прогнозу-
вання з використанням числового методу інтегрування, розробленого на основі
диференціальних перетворень. Розглянуто особливості реалізації програмно-алго-
ритмічного забезпечення для прогнозування.
M.Yu. Rakushev
PREDICTION OF SPACECRAFT MOTION
ACCORDING TO A STOCHASTIC MODEL BASED
ON DIFFERENTIAL TRANSFORMATIONS
An approach to solving the problem of the prediction of near space vehicles motion
according to a stochastic dynamic model of motion is presented. Stochasticity of the
initial conditions and variations in atmospheric density are considered in the model of
spacecraft motion. The prediction is carried out by direct predicting with the use of a
numerical integration method developed on the basis of differential transformations.
The paper also presents the implementation features of software and algorithmic
support for the prediction.
132 ISSN 0572-2691
1. Мамон П.А., Половников В.И., Слезкинский С.К. Баллистическое обеспечение космических
полетов. — Л. : ВИКИ, 1990. — 622 с.
2. Kovbasyuk S.V., Kanevskyy L.B. Analysis of dependence of spacecraft movement parameters
determination precision on sighting angles in a multipositional monitoring system //
Radioelectronics and Communications Systems. — 2013. — 56, N 4. — P. 194–200.
3. Wertz J.R. Space mission analysis and design. — Microcosm Press, 3-rd Edition, 1999. — 969 p.
4. Белоконов И.В. Статистический анализ динамических систем (анализ движения летатель-
ных аппаратов в условиях статистической неопределенности): учебное пособие. — Самара,
2001; www.ssau.ru/resources/ump/belokonov_sads
5. Сейдж Э., Мелс Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. — М. :
Связь, 1076. — 496 с.
6. Ракушев М.Ю. Численный метод интегрирования решения стохастического дифференциаль-
ного уравнения на основе дифференциальных преобразований // Международный научно-
технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2013. — № 6. — С. 68–78.
7. Ракушев М.Ю. Вычислительная схема интегрирования обыкновенных дифференци-
альных уравнений на основе дифференциально-тейлоровского преобразования с авто-
матическим выбором шага и порядка // Космічна наука і технологія. —2010. — 16,
№ 6. — С. 51–56.
8. Ракушев М.Ю. Прогнозування руху космічних апаратів на основі диференціально-
тейлорівських перетворень. — Житомир : Видавець О.О. Євенок, 2015. — 224 с.
9. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования и математическое моделирование физиче-
ских процессов. — К. : Наук. думка, 1986. — 159 с.
10. Кравченко Ю.В., Ракушев М.Ю, Судніков Є.О., Ушаков І.В. Ефективність обчислю-
вальних схем інтегрування звичайних диференціальних рівнянь на основі
диференціально-тейлорівських перетворень // Сучасні інформаційні технології у сфері без-
пеки та оборони. — К. : НУОУ, 2014. — № 2 (20). — С. 65–74.
11. Система геодезических параметров земли «Параметры Земли 1990 года» (ПЗ-90) /
В.Ф. Галазин, Б.Л. Каплан, М.Г. Лебедев, В.Г. Максимов и др. — М. : Координационный
научно-информационный центр, 1998. — 37 с.
12. ГОСТ 25645.101–83. Атмосфера Земли верхняя. Модель плотности для проектных балли-
стических расчетов искусственных спутников Земли. Введ. 08.09.83. — М. : Изд-во стан-
дартов, 1984. — 170 с.
13. ГОСТ 25645.115–84. Атмосфера Земли верхняя. Модель плотности для баллистическо-
го обеспечения полетов искусственных спутников Земли. Введ. 01.07.85. — М. : Изд-
во стандартов, 1991. — 32 с.
Получено 06.03.2017
|