Рівняння електромагнітної механіки пористого насиченого середовища
За двоконтинуумного наближення отримано повну систему співвідношень моделі електромагнітомеханіки статистично однорідного та ізотропного пористого насиченого середовища. Враховано наявність подвійного електричного шару в околі межі контакту твердої і рідкої фаз. Complete set of the model equations f...
Saved in:
| Published in: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2005 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2005
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20868 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Рівняння електромагнітної механіки пористого насиченого середовища / В. Кондрат // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 82-94. — Бібліогр.: 27 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859461716684832768 |
|---|---|
| author | Кондрат, В. |
| author_facet | Кондрат, В. |
| citation_txt | Рівняння електромагнітної механіки пористого насиченого середовища / В. Кондрат // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 82-94. — Бібліогр.: 27 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| description | За двоконтинуумного наближення отримано повну систему співвідношень моделі електромагнітомеханіки статистично однорідного та ізотропного пористого насиченого середовища. Враховано наявність подвійного електричного шару в околі межі контакту твердої і рідкої фаз.
Complete set of the model equations for electromagnetic mechanics of the porous saturated medium being statistically homogeneous and isotropic is obtained in two-continuum approximation. The presence of a double electrical layer in an environ of contact boundary of solid and liquid phases is taken into account.
В двухконтинуумном приближении получено полную систему соотношений модели электромагнитомеханики статистически однородной и изотропной пористой насыщенной среды. Учтено наличие двойного электрического слоя в окрестности границы контакта твердой и жидкой фаз.
|
| first_indexed | 2025-11-24T03:12:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
Рівняння електромагнітомеханіки
пористого насиченого середовища
Василь Кондрат
д. ф.-м. н., с. н. с., Центр математичного моделювання ІППММ ім. Я. С.Підстригача НАН України, вул. Дж. Ду-
даєва, 15, Львів, 79005, e-mail: kon@cmm.lviv.ua
За двоконтинуумного наближення отримано повну систему співвідношень моделі електро-
магнітомеханіки статистично однорідного та ізотропного пористого насиченого середо-
вища. Враховано наявність подвійного електричного шару в околі межі контакту твердої і
рідкої фаз.
Ключові слова: пористе насичене середовище, подвійний електричний
шар, механоелектромагнітні процеси, просторове усереднення.
Вступ. Пористі тіла характеризуються великою площею внутрішньої поверхні
розділу фаз, питома величина якої може досягати /êãì104 25⋅ [9]. У зв’язку з
цим можна очікувати суттєвого впливу поверхневих явищ на протікання в них
фізико-механічних процесів. Одним із наслідків взаємодії скелета і порової
рідини є наявність подвійного електричного шару в околі поверхні їхнього кон-
такту [6, 22]. Саме з ним пов’язують взаємодію механічних та електромагнітних
процесів у пористих насичених тілах та ефекти, зумовлені такою взаємодією
[1, 5, 8, 11, 23, 24, 27]. До них належать насамперед стаціонарні електрокінетичні
явища, а саме: відкрите в 1808 році Реусом явище електроосмосу (протікання
рідини в пористому тілі під дією зовнішнього постійного електричного поля) та в
другій половині дев’ятнадцятого століття Квінке обернене явище виникнення по-
тенціалу протікання (різниці електричних потенціалів під впливом фільтрації
рідини через пористу діафрагму). Відповідні динамічні аналоги — явища сейсмо-
електричного та оберненого йому електросейсмічного ефектів —були відкриті
Івановим [8] в 1939 році та Анциферовим [1] в 1963 році. Електрокінетичні
явища надалі знайшли широке використання в практиці, зокрема, у вимірюваль-
ній техніці [5]. На основі поєднання рівнянь механіки пористого середовища та
електрокінетичних співвідношень, Френкель [21] у 1944 році вперше запропону-
вав опис сейсмоелектричного ефекту. Дослідження впливу електрокінетичних
властивостей пористого насиченого середовища на параметри поздовжніх хвиль
провів Мігунов [14, 15] наприкінці сімдесятих років. За основу була прийнята
взаємозв’язана система рівнянь, яка включала рівняння механіки пористого
середовища з урахуванням кулонівської пондеромоторної сили, рівняння Максвела
УДК 539.3:537.8
82
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 82-94
83
з урахуванням впливу рухомості середовища та електрокінетичні співвідношен-
ня. Зазначимо однак, що послідовна побудова моделі електромагнітомеханіки по-
ристого насиченого середовища повинна базуватися на загальнішій, ніж прийня-
то в механіці пористих тіл, фізичній моделі. Існуюча фізична модель середовища
не враховувала достатньо повно взаємодію твердої та рідкої фаз, зокрема, по-
двійний електричний шар в околі поверхні їх контакту.
Вперше спроба послідовного отримання взаємозв’язаної системи макро-
скопічних рівнянь електромагнітомеханіки пористого насиченого тіла на основі
фізичної моделі, яка враховує подвійні електричні шари, та методу просторового
усереднення була здійснена в роботі [10] (див. також [18]). Однак, використані
там додаткові припущення щодо співвідношення між векторами електромагніт-
ного поля у фазах і середовищі обмежували область застосування побудованої
моделі. Пізніше, з використанням такого ж підходу, Прайдом [26] одержано сис-
тему макроскопічних лінійних рівнянь електромагнітної механіки для опису гар-
монічних хвильових процесів. У цій роботі будується система макроскопічних рів-
нянь електромагнітомеханіки, в якій відсутні згадані вище додаткові обмеження.
1. Фізична модель
Розглянемо деформівне пористе тіло fS KKK ∪= , яке складається зі зцементова-
них між собою твердих пружних неферомагнітних непровідних поляризовних зе-
рен (тіло SK , яке утворює скелет тіла K ), простір між якими заповнює електро-
провідна неферомагнітна рідина — розчин електроліту (тіло fK ). Тіло K зай-
має область )()()( 21 VVV ∪= евклідового простору, де )( 1V і )( 2V — області, які
займають відповідно тіла fK і SK . Пористість відкрита, тому області )( 1V і
)( 2V є однозв’язними. Розміри пор та зерен достатньо великі, так що для тіл fK
і SK виконуються базові положення механіки та електродинаміки суцільного
середовища [2, 12, 19]. У вихідному стані середовище статистично однорідне та
ізотропне.
Подвійний електричний шар в околі межі контакту твердої та рідкої фаз
утворює вихідну зарядову систему тіла. Структура подвійного електричного ша-
ру є такою, що одна його частина (адсорбційна, щільна) зв’язана з твердою фа-
зою, а інша (дифузна) може переміщатися разом із рідиною [6, 22]. Вважаємо, що
межею )( 12S контакту фаз є поверхня ковзання [22], для якої справджуються
умови гладкості, а самі фази (тіла SK і fK ) — електрично заряджені, хоча тіло K
є макроскопічно електронейтральним і для нього виконується умова
( ) ( ) 02
020
1
010 =ρα+ρα ee . (1)
Тут 10α — вихідне значення параметра пористості VV /11=α , 1V — об’єм поро-
вого простору в області )(V середовища, V — об’єм області )(V , 12 1 α−=α ,
Василь Кондрат
Рівняння електромагнітної механіки пористого насиченого середовища
84
1020 1 α−=α , )2,1()(
0 =ρ jj
e — середні густини зарядів фаз у початковий момент
часу. Тут і надалі значення j = 1 верхнього індексу відповідає поровій рідині, а
j = 2 — твердій фазі.
Вихідні усереднені електричні параметри подвійного електричного шару
— густина електричного заряду )'(
0
j
eρ , електричний потенціал )'(
0
jϕ , вектори )'(
0
jE ,
)'(
0
)'()'(
0
jjj ED ε= , )'(
0
)'()'(
0
jjj EP χ= відповідно напруженості, індукції електричного
поля і поляризації є характеристиками розглядуваного пористого середовища.
Тут )'()'( , jj χε — абсолютні діелектричні проникність та сприйнятливість фаз, які
приймаємо сталими в областях )( 1V і )( 2V [6, 22].
Якщо товщина подвійного електричного шару значно менша за розміри
пор і можна знехтувати впливом кривини шару на його параметри, то вектори
вихідного електричного поля і густина електричного заряду будуть залежати ли-
ше від координати x і їх можна подати так
( ) ( ) ( ) ( )
dx
xd
xEexExEE
j
j
x
jjj
)'(
0)'(
0
)'(
0
)'(
0
)'(
0 ,
ϕ
−=== ,
( ) ( ) x
jjj
x
jjj ePxPPeDxDD )'(
0
)'(
0
)'(
0
)'(
0
)'(
0
)'(
0 , ==== , (2)
де xe — орт осі 0X, нормальної до поверхні ковзання і спрямованої в сторону
рідини.
Наприклад, якщо порова рідина є розчином симетричного бінарного елект-
роліту, в наближенні Дебая-Хюккеля 12/)'(
0 <<ϕ RTzF j
f ( −+ −== zzz , +z , −z —
валентності катіонів та аніонів, )'(
0
jϕ — електричний потенціал точок дифузного
шару, Ff — стала Фарадея, R — газова стала, T — абсолютна температура) для
електричного потенціалу та густини електричного заряду в дифузному шарі мож-
на записати [6, 22]
( )xe
)'1(
1
)'1(
0 exp κ−ϕ=ϕ , ( ) ( ) 1
2)'1()'1()'1(
0
)'1()'1(
00
)'1(
0 ,exp ϕκε−=ρκ−ρ=ρ eeee x ,
( ) RTCzFk fe
)'1(
0
222)'1( /2 επ= , (3)
де φ1 — потенціал поверхні найбільшого наближення іонів [6], С0 — концент-
рація електроліту. Приймемо [22], що потенціал φ1 дорівнює електрокінетичному
потенціалу ζ.
Усереднені густини електричного заряду ( ) )2,1(0 =ρ jj
e у фазах визнача-
ються співвідношеннями
( ) ( ) ∫
∞
+ ρ=ρ
α
ρ
−=ρ
0
)'1(
0
)'1(
0
0
)'1(
0121
0 ,)(,1 dxx
s
ese
j
sejj
e (4)
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 82-94
85
де VSs /1212 = — густина поверхні контакту фаз, S12 — її площа в області (V).
Враховуючи співвідношення Козені-Кармана [9] ( )pkfTs 23
1
2
12 / Γα= , вираз (4)
для ( )1
0eρ за прийнятого наближення можна записати
( )
Γ
ϕαε
=ρ
T
zF
fRTk
C f
p
e
110
)'1(
1
0
2 . (5)
Тут ( )1ε — середня абсолютна діелектрична проникність рідкої фази, f —
параметр форми пор, ΓT — звивистість, kp — коефіцієнт проникності.
2. Мезо-опис механоелектромагнітних процесів
Система рівнянь, яка описує взаємозв’язані механічні та електромагнітні процеси
в зернах скелету та поровій рідині (мезо-рівняння) включає рівняння механіки з
урахуванням пондеромоторних сил, співвідношення електродинаміки повільно
рухомого середовища для кожної з фаз і контактні умови, записані на поверхні їх
розділу. Зазначимо, що рівняння електродинаміки та механіки є взаємопов’яза-
ними і складають повну систему співвідношень моделі. У лабораторній системі
координат (змінні Ейлера) ці рівняння, записані для збурень параметрів напруже-
но-деформованого стану, можна подати так [20]
( ) 0)()(
)(
=ρ⋅∇+
∂
∂ρ ′′
′
jj
j
v
t
; (6)
)()()()(
)(
)( ˆ ′
Λ
′′′
′
′ +ρ+σ⋅∇=ρ jjjj
j
kjj FF
dt
vd
; (7)
t
B
E
j
pj
p ∂
∂
−=×∇
)'(
)'(
, 0)'( =⋅∇ j
pB , t
D
jH
j
pj
p
j
p ∂
∂
+=×∇
)'(
)'()'( , )'()'( j
ep
j
pD ρ=⋅∇ ; (8)
)'()'()'( ˆˆˆ jjj Ip Π+−=σ , Ijjj ˆ
3
2ˆ2ˆ )'(
21
)'(
2
)'( ω
η−η+ωη=Π ,
IeGKeG ˆ
3
2ˆ2ˆ )2()2()2()2()2()2( ′′′′′′
−+=σ , ( )
⊗∇+⊗∇=
T
uue )'2()'2()'2(
2
1ˆ ,
( )
⊗∇+⊗∇=ω
T
vv )'1()'1()'1(
2
1ˆ ; (9)
( ) )'()'(
00
)'()'()'()'()'( j
p
jjjj
p
jj
p HvED ×εµ−εµ+ε= ,
( ) )'()'(
00
)'()'()'()'()'( j
p
jjjj
p
jj
p EvHB ×εµ−εµ+µ= ; (10)
Василь Кондрат
Рівняння електромагнітної механіки пористого насиченого середовища
86
)'()'(
0
)'( j
e
j
e
j
ep ρ+ρ=ρ ; )'()'()'(
*
)'( jj
ep
jj
p vjj ρ+= ,
0,, )'2(
*
)'1()'1()'1()'1(
*
)'1(
*
)'1()'1(
* =×+=σ= jBvEEEj e ; (11)
в областях (Vj) (j=1, 2);
)'2()'1( uu = , ( ) ( ) 0ˆˆˆˆ )2()'2()'2()1()'1()'1( =⋅+σ+⋅+σ nTnT ,
( ) ( ) sesppnpp vDDvinHH ′ρ′+−+′=′×− ′′′ )2()1()2()'1( ' , ( ) 0)2()1( =′⋅− ′′ nBB pp ,
( ) ( ))1()2()2()1( ' ′′′′ −=′×− ppnpp BBvnEE , ( ) espp nDD ')2()1( ρ−=′⋅− ′′ . (12)
на поверхні (S12).
Тут )'( ju — вектори переміщення, а dtudv j
j
j /)'()'( = — швидкостей фаз;
)'(ˆ jσ , ( )2ê , )'1(p — відповідно збурення тензорів напружень Коші у фазах,
тензора деформації твердої фази та тиску в рідині щодо тензорів )'(
0ˆ jσ , )'2(
0ê , )'1(
0p
у вихідній ситуації; ( )1ω̂ — тензор швидкості деформації у рідині; αβ
βα δ⊗= iiÎ
— одиничний тензор, αβδ — символ Кронекера, )'(ˆ jΠ — тензор в’язких напру-
жень в електроліті; )(
)(
)()(
*
)()'( )( ′
′
′′′
Λ ×
∂
∂
++ρ= j
j
jjj
e
j B
t
PjEF )()( ′
α∗
′
α ∇+ jj EP — вектор
густини пондеромоторної сили; )'( jF — вектор масової сили; )()( , ′
α∗
′
α
jj EP — ком-
поненти векторів )()( , ′
∗
′ jj EP ; )'(
0
)'()'( ˆˆˆ jj
p
j TTT −= — збурення тензорів натягу
Максвела у фазах; ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )IDEDET jjjjj ˆ5,0ˆ
00000 ⋅−⊗= — тензори Максвела у ви-
хідній, а ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( +⋅−⊗+⊗= j
p
j
p
j
p
j
p
j
p
j
p
j
p DEBHDET 5,0ˆ ( ) ( ) )IBH j
p
j
p
ˆ⋅ — актуаль-
ній ситуаціях;
)'()'()'()'(
0
)'( , jj
p
jjj
p HHEEE =+= , )'()'()'()'(
0
)'( , jj
p
jjj
p BBDDD =+= (13)
— вектори напруженостей та індукцій електричного і магнітного полів у фазах, а
)'()'( , jj HE та )'()'( , jj BD — їхні збурення; )(
0
)()( ′′′ ε−= j
p
j
p
j
p EDP — вектор поля-
ризації, )'(
0
)'()( jj
p
j PPP −=′ — його збурення; )()()()(
*
′′′′ ×+= jjjj BvEE — вектор на-
пруженості електричного поля у системі відліку центра мас j-ої фази; )'( j
pj , )'(
*
jj
— вектори густини електричного струму та струму провідності у фазах; 'i —
вектор густини поверхневого струму; )'()'(
0
)'( j
e
j
e
j
ep ρ+ρ=ρ — густина електричного
заряду у фазах, )'(
0
j
eρ — її вихідне значення, а )'( j
eρ — збурення; esρ′ — густина
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 82-94
87
поверхневого заряду; )'( jµ — абсолютна магнітна проникність фази j; 00,εµ —
магнітна й електрична сталі; )'1(
eσ — коефіцієнт електропровідності рідини; ( )jn
— нормаль до поверхні ( )12S , яка є зовнішньою до фази j, ''',' )'1( nvvnn sn ⋅== ,
sv ′ — швидкість переміщення точок поверхні ( )12S .
Зазначимо, що при записі рівнянь (11) враховано, що термодинамічною
силою, яка спричинює електричний струм, є збурення електричного поля (дія ви-
хідного поля зрівноважується дією градієнта хімічного потенціалу упоперек по-
двійного шару).
Для електромагнітних полів у вихідному недеформованому стані викону-
ються рівняння електростатики
0)'(
0 =×∇ jE , )'(
0
)'(
0
j
e
jD ρ=⋅∇ ,
)'(
0
)'()'(
0
jjj ED ε= (14)
в областях (Vj) (j=1, 2);
( ) 0)2(
0
)1(
0 =′×− ′′ nEE , ( ) 0)2(
0
)1(
0 =′⋅− ′′ nDD . (15)
на поверхні (S12).
Зауважимо також, що у разі відсутності зовнішніх електромагнітних полів
за прийнятого наближення (нехтування складовими порядку 22 /cv порівняно з
одиницею, де v — швидкість переміщення, c — швидкість електромагнітної хви-
лі у вакуумі) визначальні рівняння (10) можна записати у вигляді
)'()'()'( j
p
jj
p ED ε= , ( ) )'(
0
)'(
00
)'()'()'()'()'( jjjjj
p
jj
p EvHB ×εµ−εµ+µ= . (16)
Враховуючи формули (14), (15) та подання (13) для векторів поля і (2) для
векторів вихідного електричного поля, співвідношення (8), (10), (11), (12) можна
записати відносно збурень векторів електромагнітного поля
t
B
E
j
j
∂
∂
−=×∇
)'(
)'(
, 0)'( =⋅∇ jB , t
DjH
j
j
p
j
∂
∂
+=×∇
)'(
)'()'( , )'()'( j
e
jD ρ=⋅∇ ; (17)
)'()'()'( jjj ED ε= , ( ) )'(
0
)'(
00
)'()'()'()'()'( jjjjjjj EvHB ×εµ−εµ+µ= ; (18)
( ) )'()'()'(
0
)'(
*
)'( jj
e
j
e
jj
p vjj ρ+ρ+= ,
0,, )'2(
*
)'1()'1()'1()'1(
*
)'1(
*
)'1()'1(
* =×+=σ= jBvEEEj e (19)
в областях (Vj), j = 1, 2;
( ) ( ) sesn vDDvinHH ′ρ′+−+′=′×− ′′′′ )2()1()2()1( ' , ( ) 0)2()1( =′⋅− ′′ nBB ,
( ) ( ))1()2()2()1( ′′′′ −′=′×− BBvnEE n , ( ) esnDD ρ′−=′⋅− ′′ )2()1( (20)
на поверхні (S12).
Василь Кондрат
Рівняння електромагнітної механіки пористого насиченого середовища
88
3. Просторове усереднення
Для переходу від мезо-рівнянь (6), (7), (9), (12), (17)-(20) до макроскопічних рів-
нянь використаємо метод просторового усереднення [13, 16, 17]. Нехай процеси,
які протікають у тілі, характеризуються віддаллю L>>l, де l — характерний роз-
мір пор і зерен скелету. Введемо усереднені функції [13, 16, 17]
( )∫δ
′′ ′ϕ
δ
=ϕ≡ϕ
jV
j
j
j
jj VdV
)()()( 1 ,
( )∫δ
′′ ′ϕ
δ
=ϕ≡ϕ
jS
j
j
j
s
jj
s SdS
)()()( 1)(
( )
∫
δ
′′ ′ϕ
δ
=ϕ≡ϕ
12
12
)(
12
12
)()(
12
1)(
S
jjj Sd
Vs
. (21)
Тут )'( jϕ — довільна шукана функція системи рівнянь (6), (7), (9), (12), (17)-(20) ,
( ) ( ) ( )jj
s
j
12,, ϕϕϕ — відповідні їй усереднені за об’ємом, поверхнею та поверхнею
розділу фаз функції, ( ) ( ) ( )21 VVV δδ=δ ∪ , ( ) ( ) ( )21 SSS δδ=δ ∪ .
При цьому справджуються співвідношення [16]
12
)()(
12
)(
)(
)( ′′′
′
ϕ−
ϕα
∂
∂
=
∂
∂ϕ
α j
n
jkjk
j
jk
j vs
tt
,
12
)'()(
12
)()(' )( jljkjk
j
ljkl
j ns ′′′ ϕ+
ϕα∇=ϕ∇α . (22)
У формулах (22) верхній індекс k чи l відповідає контраваріантним складовим
оператора Гамільтона або шуканої векторної функції.
Характерний розмір d областей усереднення вибираємо так (l << d << L),
щоб усереднені функції були стійкими, тобто нечутливими до малих змін облас-
тей ( ) ( ) ( )12),2,1(, SjSV jj δ=δδ . Вимагаємо також, щоб вони були регулярними
та представницькими [16]. Надалі не будемо розрізняти усереднені за об’ємом
( )jVδ та поверхнею ( )jSδ функції [16].
4. Макроскопічні (усереднені) рівняння електродинаміки
4.1. Рівняння для фаз. Застосовуючи оператори усереднення (21) до рівнянь
(17)-(19) та враховуючи співвідношення (22), отримуємо
( )( )
( )( )
12
)'()'()'()'(
12 )( j
n
jjj
j
jj
j vBEns
t
B
E −×−=
∂
α∂
+α×∇ ,
( )( ) 12
)'()'(
12 )( jjj
j nBsB ⋅−=α⋅∇ ,
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 82-94
89
( )( ) ( ) ( )
12
)'()'()'()'(
12 )(
)(
j
n
jjjj
pj
j
j vDHns
t
D
jH
j
j
+×−=
∂
α∂
−α−α×∇ ,
( )( ) ( )
12
)'()'(
12 )( jjj
ejj nDsD
j
⋅−=ρα−α⋅∇ . (23)
При цьому, з огляду на (5), (8), для усереднених функцій електромагнітно-
го поля у фазах маємо
( ) ( )jj
p HH = , ( ) ( )jj
p BB = , ( ) ( ) ( )jjj
p EEE += 0 , ( ) ( ) ( )jjj
p DDD += 0 ,
( ) ( ) ( )j
p
jj
p ED ε= , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )jjjjjjj BHBED ϕ+µ=ε= , , (24)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1121
02
11
01
1
*
11 vvvEj eereep ρ+ργ+ργ+σ= , ( ) ( ) ( ) ( )1111
* BvEE ×+= ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222
02
2 vvj eep ρ+ργ= . (25)
За прийнятого вище наближення вихідні усереднені густини електричних
зарядів ( )j
e0ρ (j = 1, 2) визначаються за формулами (4), (5), а вектори ( )jE0 , ( )jD0 ,
( )jBϕ (j = 1, 2) — виразами
( ) ( ) 1
1
0 α∇∆ϕα= −
jj
jE , ( ) ( )( ) 1
1
0 α∇∆ϕεα= −
j
j
j
jD ,
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1
1
1
2
100
111
1
1 )( α∇×γ+ϕ∆εµ−εµα= −
ϕ rvvB ,
( ) ( ) ( )( ) ( )
1
2
200
221
21
2 )( α∇×ϕ∆εµ−εµα= −
ϕ vB . (26)
Тут ( ) 11 ϕ=∆ϕ , ( ) 12 ϕ−ϕ=∆ϕ p , pϕ — потенціал подвійного шару, ( ) ( ) ( )211 vvvr −= ,
( )( )2,1=jv j — усереднені швидкості руху фаз. При отриманні формул (26)
враховані співвідношення (9), (10), (14), а також 12 α∇−=α∇ . Коефіцієнт 11 ≤γ
відображає відмінність між середніми швидкостями руху маси та початкового
заряду рідини в порі відносно скелету, а 12 ≤γ — між середніми швидкостями
переміщення початкового електричного заряду та маси твердої фази. З огляду на
характер руху твердої фази приймемо 12 =γ . Кількісна оцінка коефіцієнта 1γ
наведена в [20].
Рівняння (23) описують два електромагнітні континууми, взаємодія між яки-
ми враховується інтегральними доданками і пов’язана з умовами спряження (20).
4.2. Рівняння для середовища. Згідно з принципом суперпозиції, макроскопічні
усереднені збурення векторів електромагнітного поля, густин електричного стру-
му та заряду ( )epjHBDEf ρ= ,,,,, у середовищі задаються сумами
Василь Кондрат
Рівняння електромагнітної механіки пористого насиченого середовища
90
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )j
e
j
p
jjjjj
j
j
j jHBDEfff ρ=α=∑
=
,,,,,,
2
1
. (27)
Макроскопічні рівняння електродинаміки для середовища отримуємо шля-
хом додавання рівнянь (23) при j = 1 i j = 2. Враховуючи контактні умови (20) та
співвідношення (25)-(27), одержуємо
t
BE
j
j
∂
∂
−=×∇
′
′
)(
)( , 0=⋅∇ B , t
DjH M ∂
∂+=×∇ , eMD ρ=⋅∇ , (28)
де
HBED µ=ε= , , (29)
eseeM ρ+ρ=ρ , spM jjj += ,
1212 )'( eses s σ=ρ , 12121212 )''()'( sess vsisj σ+=
( ) ( )jj
e D⋅∇=ρ , ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )j
j
j
ejre
e
p vvvjj ∑
=
ρα+ργα+γα
α
ρ
+α=
2
1
11
011
2
211
20
1
01
*1 ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1111
*
1
*
11
* , BvEEEj e ×+=σ= , 10111 α−α=α . (30)
Тут µε, — усереднені діелектрична та магнітна проникності середовища. При
записі рівнянь (30) врахована умова (1) макроскопічної електронейтральності.
Для подання усереднених поверхневих електричних зарядів і струмів через
усереднені функції ( ) ( ) ( )jjj vDE ,, )2,1( =j використаємо умови (20) на поверхні
контакту фаз, а також співвідношення ( ))'2()'1('5,0' EEi es +σ= [3], де es'σ — кое-
фіцієнт поверхневої електропровідності. Виконуючи усереднення згідно (21), (22)
та нехтуючи добутками флуктуаційних складових полів і відмінністю усереднених
швидкостей переміщення твердої фази та поверхні розділу фаз, отримуємо
( ) ( )( ) 1
21
1212 )'( α∇⋅−=ρ=ρ DDs eses ,
( ) ( )[ ] )2(
1
)2()1()2(
*
)1(
*12121212 5,0)'()'( να∇−++σ=νρ+= DDEEsisj essess , (31)
де esσ — усереднений коефіцієнт поверхневої електропровідності.
Система рівнянь (28)-(31) не є замкнутою. Для її замикання потрібно
встановити зв’язок між векторами ( ) ( ) ( )2,1, =jHE jj електромагнітного поля у
фазах та векторами HE, у середовищі. Для розглядуваного статистично одно-
рідного та ізотропного середовища природно припустити, що
( ) ( ) ( ) ( )HfHEfE j
H
jj
E
j == , . (32)
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 82-94
91
Рівняння для визначення параметрів ( ) ( ) ( )2,1, =jff j
H
j
E випливають зі
співвідношень (24), (27), (29), (32)
( ) ( ) ( ) 1,
2
1
2
1
=αε=εα ∑∑
== j
j
Ej
j
jj
Ej ff , ( ) ( ) ( ) 1,
2
1
2
1
=αµ=µα ∑∑
== j
j
Hj
j
jj
Hj ff . (33)
Враховуючи, що ( ) ( )21 µ=µ , з (33) отримуємо, що й ( )jµ=µ . Приймаючи до
уваги умови (20) спряження полів на межі контакту фаз, можемо стверджувати,
що ( ) 1=j
Hf . Із рівнянь (33) для коефіцієнтів пропорційності векторів напруже-
ності електричного поля одержуємо
( )
( )
( ) ( ) 2,1,
)( 3
3
=
ε−εα
ε−ε
=
−
−
jf jj
j
j
j
E . (34)
Зазначимо, що параметри ( ) ( )21 ,, εεε визначають, зазвичай, експериментально.
Вирази (30), (31) для складових збурення густин електричного заряду та
струму тепер можна подати так
( ) ( ) ( ) ( )( ) 1
2211 α∇⋅ε−ε=ρ Eff EEes , BkM jjjj ++= * , Ej eσ=* ,
( ) ( ) ( )( )211
1 5,0 EEesee ff +σ+σα=σ , ( ) ( ) ( )( ) ( ) +⋅∇ε+ργα= 1111
011 vEfj Eek
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )2
1
221122
2211
20
1
0 vEffEf EEE
e
α∇⋅ε−ε+⋅∇εα+γα
α
ρ
+ ,
( )( ) ( ) ( )[ ] Bvvj eseseB ×σ+σ+σα= 211
1 5,05,0 . (35)
Зауважимо, що при дослідженні сейсмоелектричного ефекту у зовнішному
електричному полі [18, 23] необхідно врахувати, що параметр eσ електропровід-
ності середовища залежить від ефективних напружень пористого тіла [7].
Усереднення рівнянь балансу маси (6) та імпульсу (7) дає
( )( ) ( ) ( )( ) 0=ρα⋅∇+
∂
ρα∂ jj
j
j
j v
t
, (36)
( )( ) ( ) )()()(
)(
)( ˆ jjj
j
j
j
j
j
j
jj
j RFF
dt
vd
+ρα+α+σα⋅∇=ρα Λ ( )2,1=j . (37)
Тут ( )
12
)'()'(
12 )ˆ( jjj nsR ⋅σ= — вектори густин об’ємних сил, спричинених
взаємодією порової рідини та скелету. Приймемо [17, 25], що
Василь Кондрат
Рівняння електромагнітної механіки пористого насиченого середовища
92
( ) ( ) RpR +α∇= 1
11 , ( ) ( )( ) ( ) ( )( )dtvddtvdvvAR // 1
1
2
212
12 −ρ−−= , (38)
де 12ρ — параметр приєднаної маси; для ламінарного протікання порової рідини
pkA /21ηα= [17], pk — коефіцієнт проникності середовища.
З умов (20) маємо
( ) [ ] =⋅−+σ−=⋅σ= 12
)'1()'2()'1()'1(
1212
)'2()'2(
12
2 )ˆˆˆ()ˆ( nTTsnsR
( ) ( )2
2
1
Λ+−α∇= RRp , ( ) [ ]12
)'1()'1()'2(
12
2 )ˆˆ( nTTsR ⋅−=Λ . (39)
Введемо також ефективний (фіктивний) тензор напружень fσ̂ за форму-
лою [13, 17]
( ) ( )( )Ipf
ˆˆˆ 12
2 +σα=σ . (40)
Якщо знехтувати силами в’язкості у поровій рідині [13, 17], то рівняння
(37) руху фаз набуде вигляду
( ) ( ) )1()1(
1
1
1
1
1
)1(
1)1(
1 FFRpdt
vd
ρα+α++∇α−=ρα Λ ,
( ) ( ) )2()2(
2
)2(2
2
1
2
)2(
2)2(
2 FRFRpdt
vd
f
k ρα++α+−∇α−σ⋅∇=ρα ΛΛ . (41)
Тут
( )
ν++
−α=σ IpeGIeGK fffff
ˆˆ2ˆ
3
2ˆ 1)2()2(
2 , ( ))()()(
0
)( 1 jjjj pβ−ρ=ρ
( )
⊗∇+⊗∇=
T
uue )2()2()2(
2
1ˆ , fpp σ
α
−=
2
)1()2( 1 , (42)
де ff GK , — ефективні модулі стиску і зсуву скелету, )( jβ — усереднена
стисливість фаз, )(
0
jρ — вихідна (початкова) усереднена густина маси j-ої фази,
fν — зцементованість скелету.
Вектори )( jFΛ ( )2,1=j та )2(
ΛR пондеромоторних сил подаються через век-
тори електромагнітного поля так [20]
∑
=α
ααΛ ∇+×
∂
∂
++ρ=
3
1
)(
*
)()2(
)2(
)2()(
*
)()( jjrjj
e
j EPBt
P
jEF ,
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2005, Вип.1, 82-94
93
( ) ( ))1()2(
1202
)1()2()2( ˆˆ EEsDTTR s −+α∇⋅−=Λ , (44)
де sD0 — значення індукції електричного поля на поверхні ( )12S у вихідній ситуації.
Висновки. Отримана система співвідношень (28)-(30), (34), (35), (38), (41)-(43) є
повною і може бути використана для дослідження взаємозв’язаних механічних та
електромагнітних процесів у статистично ізотропних та однорідних пористих тілах,
насичених рідиною. У ній відсутні обмеження, прийняті в роботах [10 ,18, 26].
Пондеромоторні сили дії на матеріальні континууми зі сторони електромагнітного
поля враховують сили Кулона й Ампера, силу дії на дипольний момент у
неоднорідному електричному полі, а також силу, яка діє на межу розділу фаз.
Значення електричного потенціалу, напруженості та індукції електричного поля
подвійного електричного шару у відліковій ситуації є характеристиками моделі.
Робота виконана за часткової фінансової підтримки Фонду фундаментальних досліджень
Міністерства науки та освіти України.
Література
[1] Анцыферов М. С. Электросейсмический эффект // Доклады АН СССР. — 1962. —
Т. 144, № 6. — С. 1295-1297.
[2] Бреховских Л. М., Гончаров В. В. Введение в механику сплошных сред. — М.: Нау-
ка, 1982. — 335 с.
[3] Бурак Я. Й., Галапац Б. П., Гнідець Б. М. Фізико-механічні процеси в електропро-
відних тілах. — К.: Наук. думка, 1978. — 232 с.
[4] Бурак Я. Й., Кондрат В. Ф. Рівняння електродинаміки повільно рухомих пористих
електропровідних тіл // Волинський математичний вісник. — 2001. — № 8. — С. 27-32.
[5] Григоров О. Н. Электрокинетические явления. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1972. — 199 с.
[6] Дерягин Б. В., Чураев Н. В., Муллер В. М. Поверхностные силы. — М.: Наука, 1985.
— 398 с.
[7] Добрынин В. М. Деформации и изменения физических свойств коллекторов нефти
и газа. — М.: Недра, 1970. — 239 с.
[8] Иванов А. Г. Эффект электризации пластовых залежей при прохождении через них
упругих волн // Доклады АН СССР. — 1939. — Т. 24, № 11. — С. 41-44.
[9] Кобранова В. Н. Петрофизика. — М.: Недра, 1986. — 392 с.
[10] Кондрат В. Ф. К исследованию механоэлектромагнитных процессов в пористых
насыщенных средах во внешнем электрическом поле // Проблемы динамики взаи-
модействия деформируемых сред. — Ереван: АН Арм. ССР, 1987. — С. 166-170.
[11] Кузнецов О .Л., Симкин Э. М. Преобразование и взаимодействие геофизических
полей в литосфере. — М.: Недра, 1990. — 269 с.
[12] Ландау Л .Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1982.
— 620 c.
[13] Механика насыщенных пористых сред / В. Н. Николаевский, К. С. Басниев, А. Т. Гор-
бунов, Г.А.Зотов. —М.: Недра, 1970. — 335 с.
[14] Мигунов Н. И. Влияние электрокинетических свойств горных пород на скорость
распространения сейсмоэлектрических сигналов // Изв. АН СССР. — Сер. Физика
Земли. —1978. — № 5. — С. 52-56.
Василь Кондрат
Рівняння електромагнітної механіки пористого насиченого середовища
94
[15] Мигунов Н. И. О распространении продольных упругих волн в грунтах с элект-
рокинетическими свойствами // Изв. АН СССР. — Сер. Физика Земли. — 1981. —
№ 3. — С. 47-54.
[16] Нигматулин Р. Н. Динамика многофазных сред. Ч. 1. — М.: Наука, 1987. — 464 с.
[17] Нигматулин Р. Н. Основы механики гетерогенных сред — М.: Наука, 1978. —
336 с.
[18] Основы сейсмоэлектроразведки / Потапов О. А., Кондрат В. Ф., Лизун С. А. и др.
М.: Недра. — 1995. — 268 с.
[19] Седов Л. И. Механика сплошной среды. В 2-х томах.. — М.: Наука, 1976. — Т. 1.
— 526 с.
[20] Фізико-математичне моделювання складних систем / Я. Бурак, Є. Чапля, Т. Нагір-
ний та ін. Під ред. Я. Бурака, Є. Чаплі. — Львів: Сполом, 2004. — 264 с.
[21] Френкель Я. И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влаж-
ной почве // Изв. АН СССР. — Сер. Географ. и геофиз. — 1944. — Т. 8, № 4. —
С. 133-150.
[22] Фридрихсберг Д. А. Курс коллоидной химии. — Л.: Химия, 1974. — 352 с.
[23] Черняк Г. Я. Электромагнитные методы в гидрогеологии и инженерной геологии.
— М.: Недра, 1887. — 213 с.
[24] Ishido T., Mizutani H. Experimental and theoretical basis of electrokinetic phenomena in
rock-water systems and its application to geophysics // J. Geophys. Res. — 1981. —
V. 86. — P. 1763-1775.
[25] Kubik J., Cieszko M., Kaczmarek M. Podstawy dynamiki nasyconych ośrodków poro-
watych. — Warszawa, 2000. — 240 s.
[26] Pride S. Governing equations for the coupled electromagnetics and acoustics of porous
media // Phys. Rev. B. — 1994. — V. 50, No 21. — P. 15678-15696.
[27] Thompson A. H., Gist G. A. Geophysical application of electrokinetic conversion // The
leading edge. — 1993. — P. 1169-1173.
Equations of an electromagnetic mechanics of the porous
saturated medium
Vasyl Kondrat
Complete set of the model equations for electromagnetic mechanics of the porous saturated
medium being statistically homogeneous and isotropic is obtained in two-continuum
approximation. The presence of a double electrical layer in an environ of contact boundary of
solid and liquid phases is taken into account.
Уравнения электромагнитомеханики
пористой насыщенной среды
Василий Кондрат
В двухконтинуумном приближении получено полную систему соотношений модели элект-
ромагнитомеханики статистически однородной и изотропной пористой насыщенной сре-
ды. Учтено наличие двойного электрического слоя в окрестности границы контакта твер-
дой и жидкой фаз.
Отримано 12.04.05
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-20868 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-1545 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-24T03:12:12Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кондрат, В. 2011-06-09T05:58:08Z 2011-06-09T05:58:08Z 2005 Рівняння електромагнітної механіки пористого насиченого середовища / В. Кондрат // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 1. — С. 82-94. — Бібліогр.: 27 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20868 539.3:537.8 За двоконтинуумного наближення отримано повну систему співвідношень моделі електромагнітомеханіки статистично однорідного та ізотропного пористого насиченого середовища. Враховано наявність подвійного електричного шару в околі межі контакту твердої і рідкої фаз. Complete set of the model equations for electromagnetic mechanics of the porous saturated medium being statistically homogeneous and isotropic is obtained in two-continuum approximation. The presence of a double electrical layer in an environ of contact boundary of solid and liquid phases is taken into account. В двухконтинуумном приближении получено полную систему соотношений модели электромагнитомеханики статистически однородной и изотропной пористой насыщенной среды. Учтено наличие двойного электрического слоя в окрестности границы контакта твердой и жидкой фаз. Робота виконана за часткової фінансової підтримки Фонду фундаментальних досліджень Міністерства науки та освіти України. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Рівняння електромагнітної механіки пористого насиченого середовища Equations of an electromagnetic mechanics of the porous saturated medium Уравнения электромагнитомеханики пористой насыщенной среды Article published earlier |
| spellingShingle | Рівняння електромагнітної механіки пористого насиченого середовища Кондрат, В. |
| title | Рівняння електромагнітної механіки пористого насиченого середовища |
| title_alt | Equations of an electromagnetic mechanics of the porous saturated medium Уравнения электромагнитомеханики пористой насыщенной среды |
| title_full | Рівняння електромагнітної механіки пористого насиченого середовища |
| title_fullStr | Рівняння електромагнітної механіки пористого насиченого середовища |
| title_full_unstemmed | Рівняння електромагнітної механіки пористого насиченого середовища |
| title_short | Рівняння електромагнітної механіки пористого насиченого середовища |
| title_sort | рівняння електромагнітної механіки пористого насиченого середовища |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20868 |
| work_keys_str_mv | AT kondratv rívnânnâelektromagnítnoímehaníkiporistogonasičenogoseredoviŝa AT kondratv equationsofanelectromagneticmechanicsoftheporoussaturatedmedium AT kondratv uravneniâélektromagnitomehanikiporistoinasyŝennoisredy |