Метод прогнозирования стабилизированного по энергии движения космическогоаппаратана основе дифференциально-тейлоровских преобразований
Для прогнозування руху космічних апаратів запропоновано чисельно-аналітичний метод інтегрування стабілізованого методом Баумгарта диференціального рівняння орбітального руху космічного апарата. A numerical-analytical method for integrating the stabilized orbital motion differential equation of a spa...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2021 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2021
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208901 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Метод прогнозирования стабилизированного по энергии движения космическогоаппаратана основе дифференциально-тейлоровских преобразований / М.Ю. Ракушев // Проблемы управления и информатики. — 2021. — № 2. — С. 119–128. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860062708240482304 |
|---|---|
| author | Ракушев, М.Ю. |
| author_facet | Ракушев, М.Ю. |
| citation_txt | Метод прогнозирования стабилизированного по энергии движения космическогоаппаратана основе дифференциально-тейлоровских преобразований / М.Ю. Ракушев // Проблемы управления и информатики. — 2021. — № 2. — С. 119–128. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Для прогнозування руху космічних апаратів запропоновано чисельно-аналітичний метод інтегрування стабілізованого методом Баумгарта диференціального рівняння орбітального руху космічного апарата.
A numerical-analytical method for integrating the stabilized orbital motion differential equation of a spacecraft using the Baumgart method is proposed for spacecraft motion prediction.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:05:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
© М.Ю. РАКУШЕВ, 2021
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2021, № 2 119
КОСМИЧЕСКИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ
ТЕХНОЛОГИИ И СИСТЕМЫ
УДК 629.783
М.Ю. Ракушев
МЕТОД ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
СТАБИЛИЗИРОВАННОГО ПО ЭНЕРГИИ
ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА НА
ОСНОВЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ТЕЙЛОРОВСКИХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Ключевые слова: прогнозирование движения космических аппаратов, стаби-
лизация методом Баумгарта, дифференциально-тейлоровские преобразования,
адаптивные схемы интегрирования.
Введение
Численное интегрирование дифференциальных уравнений движения космичес-
ких аппаратов (КА) неизбежно связано с определенными трудностями. Правые ча-
сти дифференциальных уравнений, описывающих орбитальное движение КА, —
быстро меняющиеся функции, которые необходимо интегрировать с малым ша-
гом. Это приводит к увеличению объема вычислений, что, в свою очередь, сопря-
жено с быстрым накоплением ошибок округления. Кроме того, уравнения движе-
ния КА неустойчивы по Ляпунову [1, 2], что дополнительно создает благоприят-
ные условия для усиления разного рода неустранимых ошибок численного
интегрирования, в том числе описанных выше ошибок округления. Так, ошибки на
текущем шаге интегрирования становятся ошибками начальных данных следующего
шага, которые в последующем усиливаются неустойчивостью шаг за шагом. Поэто-
му при численном интегрировании для борьбы с ляпуновской неустойчивостью
предпочтение отдают устойчивым уравнениям.
Одним из простых, но мощных методов «искусственной» стабилизации для
задач численного прогнозирования в небесной механике, в целом, и движения КА,
в частности, является метод Баумгарта [2, 3]. Основой данного метода является
«искусственное» введение в исходное дифференциальное уравнение стабилизи-
рующих членов, компенсирующих отклонение численного решения в фазовом
пространстве интегрируемых параметров от некоторой опорной интегральной по-
верхности. Как показывает практика, численное интегрирование стабилизиро-
ванной системы обеспечивает устойчивое (невозрастающее) поведение ошибки
в энергии и ее линейный рост в координатах, тогда как интегрирование исходной
неустойчивой системы приводит к линейному росту ошибки в энергии и квадра-
тичному — в координатах. Несмотря на то что после стабилизации уравнения
стают сложнее и требуют для интегрирования большего объема вычислений,
для некоторых задач прогнозирования движения КА они значительно уменьшают
120 ISSN 0572-2691
вычислительную сложность интегрирования, так как стабилизация позволяет уве-
личить шаг интегрирования, сохраняя при этом точность численного решения [2].
Возможным подходом к численному интегрированию дифференциальных
уравнений, в целом, и движения КА, в частности, является использование матема-
тического аппарата дифференциально-тейлоровских (ДТ) преобразований [4, 5].
На основе данного математического аппарата разработано несколько методов
численного прогнозирования движения КА, в том числе с адаптацией по шагу; по
шагу и порядку интегрирования [5, 6]. Однако для интегрирования стабилизиро-
ванных уравнений движения КА данный математический аппарат не применялся.
В связи с этим остается открытым вопрос о выборе параметров стабилизации ме-
тодом Баумгарта при решении задачи прогнозирования движения КА интегриро-
ванием на основе ДТ-преобразований.
Таким образом, цель статьи — разработка на основе ДТ-преобразований чис-
ленно-аналитического метода интегрирования стабилизированных по энергии ме-
тодом Баумгарта дифференциальных уравнений движения КА.
Изложение основного материала
Метод Баумгарта реализует численную стабилизацию решения заданного
дифференциального уравнения и предусматривает введение в такое уравнение
специальных «стабилизирующих» членов. Такие члены определяются из извест-
ных для исходного дифференциального уравнения интегралов, несут дополни-
тельную (априорную) информацию о решении и рассматриваются как необходи-
мые условия, накладываемые на решение. Из всех возможных интегральных со-
отношений для задачи орбитального полета КА отдельно выделяют
энергетические, так как именно стабилизация по энергии наилучшим образом
помогает в борьбе с ляпуновской неустойчивостью [2].
Рассмотрим задачу прогнозирования движения КА в Гринвичской прямоуголь-
ной системе координат (ГСК). Модель движения КА в ГСК имеет вид [2, 5, 7]
( , ) ( , )
dq
u q t g q t
dt
= + при )( 00 tqq = , (1)
где
T( )x y zq x y z v v v= , 0q — вектор фазовых координат (положение и ско-
рость) КА в ГСК и его начальное значение; t , 0t — физическое время (независи-
мая переменная дифференциального уравнения) и его начальное значение;
( , )u q t , ( , )g q t — члены, определяющие ускорения от обобщенно-потенциальных
и непотенциальных сил.
В (1) обобщенно-потенциальные силы ( , )u q t определяют ускорение от при-
тяжения Земли (геопотенциала), центростремительное ускорение и ускорение Ко-
риолиса. К непотенциальным силам ( , )g q t относятся аэродинамическое сопро-
тивление атмосферы, притяжение Луны, Солнца, световое давление и т.д.
Интеграл от (1) — механическая энергия орбитального движения (далее
энергия) КА в ГСК, определяется при условии учета только обобщенно-потен-
циальных сил ( , )u q t (непотенциальные силы ( , ) ( , )g q t u q t рассматриваются
как возмущение опорного движения) [7, 8]
2
2 2
3
1
( )
2 2
n
v
c U x y= − − + , (2)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2021, № 2 121
где c — энергия КА; nU — потенциал земного притяжения (геопотенциал);
T( )x y zv v v v= — вектор скорости КА; 3 — угловая скорость вращения Земли
вокруг собственной оси.
Метод Баумгарта для стабилизации уравнения (1) по энергии (2) имеет вид [2]
1
( , ) ( , ) , ,
( , ) ,
dq c c c
u q t g q t c c c c
dt q q q
dc c
g q t
dt q
−
= + − = −
=
при 0 0( )q q t= , 0 0( )c c q = , (3)
где c , c , 0c — энергия КА, ее опорное и начальное значения; — стабилизи-
рующий параметр (задается опытным путем, 0 ).
Отличительной особенностью системы (3) является то, что она асимптотически
устойчива по выбранной интегральной поверхности — механической энергии КА
c , т.е. 0c → при t → для любых q . Описанное свойство дифференциально-
го уравнения (3) существенно при его численном интегрировании, так как позво-
ляет удерживать численное решение (на которое существенно влияют различные
ошибки) около интегральной поверхности, если учитывать при этом топологические
свойства точного решения. Для сравнения: численное интегрирование исходного
уравнения (1) сопровождается дрейфом ошибки от интегральной поверхности.
Получим стабилизированную модель (3) для прогнозирования движения КА
ближнего космоса. Для этого зададим вид обобщенно-потенциальных сил ( , )u q t
и в непотенциальных силах ( , )g q t учтем только сопротивление атмосферы:
2
0 0
2
0 0
1
1
1
2
( , )
2
n
y
n
x
n
U
x v
u q t x
U
y v
y
U
z
+ +
=
+ −
,
0
0
0
( , )
b atm ka x
b atm ka y
b atm ka z
g q t
S v v
S v v
S v v
=
−
−
−
,
2
0
2
0
n
n
n
x
y
z
U
x
x
U
y
y
c
U
q
z
v
v
v
− −
− −
=
−
, (4)
1
2 22 2
2 2 2
0 0
n n nU U Uc
x y v
q x y z
−
− = + + + + +
, (5)
( , )
dc c
g q t
dt q
=
2 2 2( )b atm ka x y z
dc
S v v v v
dt
= − + + 3
b atm ka
dc
S v
dt
= − , (6)
где bS , atm — баллистический коэффициент КА, плотность воздуха; kav — мо-
дуль скорости КА.
Для ГСК наиболее распространенной формой определения геопотенциала nU
является его разложение в ряд по сферическим функциям [2, 5, 7].
122 ISSN 0572-2691
С учетом (2), (4)–(6) стабилизированное уравнение (3) запишем в виде (все
обозначения совпадают с введенными ранее):
2
02
2
02
2
2
0 0 2
2
0 0 2
( ),
( )
( ),
( )
,
( )
2 ,
( )
2 ,
( )
n
n
n
x n
y b atm ka x x
y n
x b atm ka y y
nz
b atm ka x
Udx c
x
dt xc q
Udy c
y
dt yc q
Udz c
dt zc q
dv U c
x v S v v v
dt x c q
dv U c
y v S v v v
dt y c q
Udv
S v v
dt z
= − +
= − +
= −
= + + − +
= + − − +
= − +
2
2 2 2
3
2 2 2 2 2 2 2
0 0
3
,
( )
0,5 0,5 ( )
,
( ) ( ) ( ) ( )
.
z
n
n n n
b atm ka
c
v
c q
v U x y cc
c q U x x U y y U x v
dc
S v
dt
− − + − =
+ + + + +
= −
(7)
Последнее уравнение в (7) в дифференциальной форме определяет работу
действующих на КА непотенциальных сил, изменяющих его механическую энер-
гию орбитального движения. Для выбранной модели движения это — сила аэро-
динамического торможения.
Интегрирование стабилизированного дифференциального уравнения движения
КА проведем на основе математического аппарата ДТ-преобразований Г.Е. Пухова [9]:
( )( )
( ) ( )
! !
kk k k
k k
t t
z th z t h
Z k P k
k kt t
=
= = =
, (8)
1
0 0
( )
( ) ( ) ( )
w
k
k
k k
t t
z t P Z k Z k
h
−
= =
−
= = , (9)
где { }P , 1{ }P− — оператор прямого и обратного ДТ-преобразований; ( )z t —
скалярная функция, дифференцированная необходимое количество раз по t ; t —
скалярный аргумент, по которому проводится преобразование; t — значение ар-
гумента, при котором выполняется преобразование; h — отрезок аргумента, на
котором функция ( )z t представляется рядом Тейлора по t ; k — целочисленный
аргумент 0, 1,…; ( )Z k — дискретная функция по аргументу k.
Множество значений ( )Z k называют ДТ-спектром, а значение функ-
ции ( )Z k при конкретных значениях аргумента k — дискретами ДТ-спектра,
или Т-дискретами.
ДТ-преобразования — математический аппарат прикладного анализа, позво-
ляющий решать интегро-дифференциальные задачи в численном, аналитическом
и численно-аналитическом виде. Одним из основных свойств ДТ-преобразований
является возможность рекуррентного вычисления Т-спектра (коэффициентов ряда
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2021, № 2 123
Тейлора) решаемой задачи. При этом такой расчет методически просто реализует-
ся на основе специализированной библиотеки процедур на ЭВМ, заменяя методи-
ческую сложность проведения аналитических операций по взятию соответствую-
щих производных на вычислительную сложность реализации рекуррентных зави-
симостей. Описанное свойство ДТ-преобразований в значительной степени
определяет возможность и целесообразность их применения для решения инте-
гро-дифференциальных задач.
ДТ-схему интегрирования (7) для уменьшения громоздкости конечных фор-
мул получим для стабилизированного дифференциального уравнения в форме (3)
при значении энергии КА (2). Для этого с учетом свойств ДТ-преобразований [5, 9]
применим к (3) прямое преобразование (8):
1
3
( , ) ( , ) ,
,b ka ka
dq c c c
P u q t g q t c
dt q q q
dc
P S v c c c
dt
−
= + −
= = −
2
3
( , ) ( , ) ,
( )
.b ka ka
c cdq c
P P u q t g q t
dt qc q
dc
P P S v
dt
−
= + −
=
Для иллюстрации получения рекуррентных зависимостей раскроем оператор
дифференцирования по независимой переменной дифференциального уравнения
(времени):
2
3
*
1
( 1) ( , ) ( , ) ,
( )
1
( 1) .b ka ka
c ck c
Q k P u q t P g q t P
h qc q
k
C k P S v
h
−+
+ = + −
+
+ =
2
3
*
( ( )) ( , ) , ( ( )) ( , ) , ( ( )) ,
( ( ), ( ), ( )) ,
( )
1
( 1) ( ( )) ( ( )) ( ( ), ( ), ( )),
1
( ( )) , ( 1) ( ( )).
stabil
stabil
atm b ka ka atm
U Q k P u q t G Q k P g q t C Q k P c
c c c
B C k C k Q k P
qc q
k
Q k U Q k G Q k B C k C k Q k
h
k
A Q k P S v C k A Q k
h
= = =
−
=
+
+ = + −
+
= + =
Зададим начальные значения для рекуррентного расчета ДТ-спектра и прове-
дем обратное ДТ-преобразование (9)
* * * 0
max
*
(0) ( ), (0) ( ), ( ) (0),
( ) ( ( )), ( ) ( ( )), ( ) ( ( )),
( ) ( ( ), ( ), ( )),
( 1) ( ( ) ( ) ( )), 0, 1, , 1,
1
( ) ( ( )),
( 1) ( ),
1
i i
stabil stabil
stabil
atm atm
atm
Q q t C c t c t C
U k U Q k G k G Q k C k C Q k
B k B C k C k Q k
h
Q k U k G k B k k k
k
A k A Q k
h
C k A k
k
= = =
= = =
=
+ = + − = −
+
=
+ =
+
max0, 1, , 1,k k
= −
(10)
124 ISSN 0572-2691
1i it t h+ = + ,
max
1
0
( ) ( )
k
i
k
q t Q k+
=
= ,
max
* 1 *
0
( ) ( )
k
i
k
c t C k+
=
= , (11)
где 1( )iq t + , * 1( )ic t + — спрогнозированные координаты и энергия КА; h , i —
шаг интегрирования и узел вычислительной сетки; ( )Q k , ( )U k , ( )G k , ( )C k ,
*( )C k — Т-спектры вектора q , ускорений ( , )u q t и ( , )g q t , энергий c и c ;
( )stabilB k , ( )atmA k — Т-спектры стабилизирующего члена и работы неконсерва-
тивных сил; maxk — порядок точности интегрирования (определяется количе-
ством учтенных при восстановлении Т-дискрет).
Прямое ДТ-преобразование { }P проводится в такой последовательности [5, 9]:
• исходные оригиналы (функции) разделяются на «элементарные» математи-
ческие операции (суммирование, вычитание, умножение, деление, тригонометри-
ческие, степенные функции и т.д.);
• каждая «элементарная» операция вместе с ее оригиналом (по таблице соот-
ветствий) заменяется ее Т-изображением.
На первом этапе оригиналами являются традиционные для задачи прогнози-
рования движения КА зависимости по расчету ускорений от геопотенциала
(например, рекуррентный расчет членов ряда сферических функций) и по расчету
плотности атмосферы (например, по соответствующей динамической или стати-
ческой модели атмосферы Земли).
Отдельно следует отметить, что в (7) формулы для c , c q ,
2( )c q −
и ( , )u q t , а также для *c и ( , )g q t имеют много одинаковых членов, что суще-
ственно влияет на эффективность организации вычислений.
В итоге прямое преобразование (10) является системой рекуррентных зави-
симостей относительно Т-дискрет для модели (7). Из этой системы последова-
тельно определяются дискреты ДТ-спектра при задании значения целочисленного
аргумента от k = 0 до max 1k − . Обратное преобразование (11) реализует восста-
новление полученного ДТ-спектра в область оригиналов в виде maxk -частичной
суммы отрезка ряда Тейлора.
Прямое и обратное ДТ-преобразования (10), (11) определяют численно-ана-
литический метод прогнозирования стабилизированного по энергии движения КА
на основе ДТ-преобразований, который задает явную одношаговую с постоянным
шагом и порядком вычислительную схему интегрирования (7). Данная схема поз-
воляет последовательно (начиная с 0i = ) при заданных начальных условиях 0q ,
0c (3) провести прогноз.
В адаптивных по шагу, а таже по шагу и порядку ДТ-схемах шаг ih и поря-
док maxik интегрирования изменяются в разных узлах вычислительной сетки в
зависимости от необходимой (заданной) точности интегрирования. Порядок раз-
работки таких схем рассмотрен в [5, 6]. Основное их свойство — адаптация
«a priori» (без пробных шагов), что обеспечивает их высокую вычислительную
эффективность, так как практически отсутствуют дополнительные расчеты. Для
сравнения: в традиционных численных методах такая адаптация происходит «a
posteriori» (после выполнения шага), поэтому необходимо либо пересчитывать
шаг, либо отбрасывать часть уже проведенных расчетов, что приводит к суще-
ственному увеличению дополнительных вычислений.
В [5, 6] для адаптации предложено использовать относительную ошибку ин-
тегрирования по координатам КА (фазовым переменным дифференциального
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2021, № 2 125
уравнения) — первая формула в (12). Однако для стабилизированного прогнози-
рования целесообразно рассмотреть адаптацию с использованием ошибки по
энергии КА (выбранному для стабилизации интегралу исходного дифференци-
ального уравнения) — вторая формула в (12). Такой подход по «искусственному»
заданию ошибки использован, например, в [10] .
max
1
max( )
kx i
i
q
h h
Q k
=
, или
max
1
max( )
kx
i
c
h h
C k
=
. (12)
Здесь ih — адаптивный шаг; h — параметр, при котором проводится прямое
ДТ-преобразование (10) (допускается 1h = , или 1ih h −= ); x — заданная относи-
тельная ошибка интегрирования на шаге; — оператор нормы, max( )Q k ,
max( )C k — Т-дискреты с максимальными номерами.
При реализации адаптации (12) в (10), (11), обратное преобразование (11) из-
меняется на
1i i it t h+ = + ,
max
1
0
( ) ( )
kk
i
i k
k
h
q t Q k
h
+
=
= ,
max
* 1 *
0
( ) ( )
kk
i
i k
k
h
c t C k
h
+
=
= . (13)
Для оценки эффективности интегрирования стабилизированного по энергии
дифференциального уравнения движения КА (7), на основе (10)–(13) проведено
моделирование долгосрочного прогнозирования движения КА ближнего космоса
для исходных данных из табл. 1 (параметры орбит КА). В модели движения КА
учтены геопотенциал в форме разложения в ряд по сферическим функциям для поля
44 и статическая модель атмосферы ГОСТ-4401-64. Результаты моделирования
приведены на рисунке ( S — вычислительные затраты, оцененные в количестве
вычислений правой части исходного (нестабилизированного) дифференциаль-
ного уравнения; BYt — абсолютное значение ошибки расчета времени про-
хождения восходящего узла орбиты); и в табл. 2 ( h — шаг интегрирования;
maxk — порядок точности интегрирования; x — заданная относительная ошибка
интегрирования на шаге; — стабилизирующий параметр). На рисунке сплошная
линия обозначает расчет без стабилизации и адаптации; точечная — со стабили-
зацией без адаптации; пунктирная — со стабилизацией и адаптацией по координа-
там КА (фазовым переменным интегрирования); штрих-пунктирная — со стабили-
зацией и адаптацией по энергии КА.
Таблица 1
Название Апогей, км Перигей, км
Наклонение,
градусы
Интервал прогноза
витков суток
МКС 440 417 51 500 33,13
МС-2-8 668 668 98 500 34
КА-1 300 300 63 300 18,76
КА-2 1100 300 98 300 20,49
Отдельно следует отметить, что стабилизация, усложняющая исходное диф-
ференциальное уравнение (требующая большего количества вычислений для реа-
лизации одного шага), приводит к увеличению результирующей вычислительной
сложности на одном шаге интегрирования. Однако для моделей движения в ГСК
такое увеличение незначительно и составляет 3–7%. Это достигается за счет учета
126 ISSN 0572-2691
«подобия» формул для c , c q ,
2( )c q − и ( , )u q t , а также для *c и ( , )g q t по
расчету их одинаковых членов.
BYt
410S
16 17 18 19 20 21
50
40
30
20
10
0
BYt
410S
14 15 16 17 18 19 20
50
40
30
20
10
0
МКС МС–2–8
BYt
310S
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
50
40
30
20
10
0
BYt
410S
1 4 8 12 16 20 24 28 32
50
40
30
20
10
0
КА–1 КА–2
Таблица 2
Вариант прогноза Параметры интегрирования
Стабилизация Адаптация h , с maxk
x
нет нет 400–1200 12
есть нет 500–1300 12 10 – 5–10 – 4
есть по координатам 300–1300 8–20 10 – 9–10 – 5 10 – 5–10 – 3
есть по энергии 100–2000 8–35 10 – 15–10 – 8 10 – 4–10 – 2
Из результатов моделирования видно, что стабилизация по энергии при долго-
срочном прогнозе движения КА ближнего космоса в Гринвичской прямоугольной си-
стеме координат позволяет на 10–15 % уменьшить вычислительные затраты на про-
гноз. Дополнительная реализация адаптации по шагу и порядку интегрирования
обеспечивает уменьшение вычислительных затрат до 35 %.
Сравнение адаптивных схем интегрирования для адаптации по фазовым
переменным дифференциального уравнения (координатам КА) и энергии КА (12)
демонстрирует следующее:
• ДТ-схемы требуют задания различных параметров адаптации. При адапта-
ции по энергии КА заданная относительная ошибка интегрирования на шаге на
три–шесть порядков меньше, при этом значение стабилизирующего параметра на
один порядок больше;
• оба подхода имеют соизмеримую вычислительную эффективность. Поэто-
му в общем случае следует использовать адаптацию по фазовым переменным ин-
тегрирования (самый обобщенный вариант), однако для некоторых орбит адапта-
ция по энергии все же более предпочтительна.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2021, № 2 127
Заключение
В статье разработан численно-аналитический метод интегрирования стаби-
лизированных по энергии методом Баумгарта дифференциальных уравнений
движения КА. Отличительной особенностью предложенного метода является
использование для интегрирования стабилизированного уравнения движения
КА математического аппарата дифференциально-тейлоровских преобразова-
ний. Метод эффективен для долгосрочного прогнозирования движения КА.
Использование вместе со стабилизацией адаптивных ДТ-схем позволяет до-
полнительно повысить вычислительную эффективность решения задачи прогноза
движения КА.
М.Ю. Ракушев
МЕТОД ПРОГНОЗУВАННЯ СТАБІЛІЗОВАНОГО
ЗА ЕНЕРГІЄЮ РУХУ КОСМІЧНОГО АПАРАТА
НА ОСНОВІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНО-ТЕЙЛОРІВСЬКИХ
ПЕРЕТВОРЕНЬ
Для прогнозування руху космічних апаратів запропоновано чисельно-аналітич-
ний метод інтегрування стабілізованого методом Баумгарта диференціального
рівняння орбітального руху космічного апарата. Стабілізація диференціального
рівняння руху методом Баумгарта здійснюється за енергією космічного апарата
для зменшення впливу нестійкості за Ляпуновим на накопичення числових по-
хибок інтегрування диференціального рівняння, що ефективно при довгостро-
ковому числовому прогнозуванні руху космічних апаратів. Інтегрування стабі-
лізованого рівняння проводиться на основі диференціально-тейлорівских пере-
творень. Розглянуто обчислювальні схеми зі сталим кроком та порядком
інтегрування, а також схеми з адаптацією за кроком та порядком інтегрування.
Для адаптивних схем наведено результати прогнозування руху космічних апа-
ратів за критерієм «точність-обчислювальна складність» для заданої відносної
похибки інтегрування за фазовими змінними інтегрування та енергією косміч-
ного апарата. Показано, що обидва варіанти потребують завдання різних внут-
рішніх параметрів адаптації, однак мають співмірну ефективність. Запропоно-
вано використання розробленого методу інтегрування стабілізованих за енергі-
єю рівнянь для прогнозування руху космічних апаратів ближнього космосу в
Гринвіцькій прямокутній системі координат.
Ключові слова: прогнозування руху космічних апаратів, стабілізація методом Ба-
умгарта, диференціально-тейлорівські перетворення, адаптивні схеми інтегрування.
M.Yu. Rakushev
A METHOD FOR PREDICTING ENERGY-STABILIZED
MOTION OF SPACECRAFT BASED ON
DIFFERENTIAL TAYLOR TRANSFORMATIONS
To predict the motion of spacecrafts, a numerical-analytical method for integrating
the differential equation of the orbital motion of a spacecraft stabilized by the Baum-
gart differential method is proposed. The stabilization of the differential equation of
motion by the Baumgart method is carried out according to the energy of the space-
craft. Stabilization is carried out to reduce the influence of the Lyapunov instability
on the accumulation of numerical errors in the integration of the differential equation,
128 ISSN 0572-2691
which is effective when conducting a long-term numerical prediction of the motion
of spacecraft. Integration of the stabilized equation is based on differential Taylor
transformations. Computational schemes with a constant step and an integration or-
der are considered, as well as schemes with adaptation by an integration step and or-
der. For adaptive schemes, the results of forecasting the motion of spacecraft accord-
ing to the criterion “accuracy-computational complexity» for a given relative error of
integration with respect to integration phase variables and spacecraft energy are pre-
sented. It is shown that both options require setting various internal adaptation pa-
rameters, but they have comparable efficiency. Recommendations are proposed on
the use of the developed method for integrating energy-stabilized equations for pre-
dicting the motion of spacecraft in the near space in the Greenwich rectangular coor-
dinate system.
Keywords: spacecrafs motion prediction, Baumgart stabilization, differential Taylor
transformations, adaptive integration schemes.
REFERENCES
1. Иванов Д.С., Трофимов С.П., Широбоков М.Г. Численное моделирование орбитального
и углового движения космических аппаратов. Под общ. ред. М.Ю. Овчинникова. М. : ИПМ
им. М.В. Келдыша, 2016. 118 с. doi:10.20948/mono-2016-trofimov.
2. Бордовицына Т.В., Авдюшев В.А. Теория движения искусственных спутников Земли. Ана-
литические и численные методы. Учебное пособие. Томск : Томский государственный
университет, 2007. 178 с.
3. Flores P., Machado M., Seabra E.A.R., Silva M.T. A parametric study on the baumgarte stabiliza-
tion method for forward dynamics of constrained multibody systems. Journal of Computational
and Nonlinear Dynamics. 2011. 6 : 011019 Р. 1–9. doi: 10.1115/1.4002338.
4. Sakka A.H., Sulayh A.M. On taylor differential transform method for the first painleve´ equation.
Jordan Journal of Mathematics and Statistics. 2019. 12(3). Р. 391–408.
5. Ракушев М.Ю. Прогнозування руху космічних апаратів на основі диференціально-тей-
лорівських перетворень: монографія. Житомир : Видавець О.О. Євенок, 2015. 224 с. ISBN
978-617-7265-43-5.
6. Rakushev M. Computational scheme of ordinary differential equations integration on the basis of
differential Taylor transformation with automatic step and order selection. Journal of Automation
and Information Sciences. 2012. 44, N 12. P. 12–22. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i12.20.
7. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. М. : Сов. радио,
1978. 384 с.
8. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. 2-е изд., испр. М. : Наука, 1966. 300 с.
9. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования и математическое моделирование физиче-
ских процессов. К. : Наук. думка, 1986. 159 с.
10. Rakushev M. Prediction of spacecraft motion according to a stochastic model based on differen-
tial transformations. Journal of Automation and Information Sciences. 2017. 49, N 10. 2017.
P. 20–35. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i10.30.
Получено 24.06.2020
https://www.researchgate.net/profile/Paulo_Flores3
https://www.researchgate.net/profile/Margarida_Machado
https://www.researchgate.net/profile/Eurico_Seabra
https://www.researchgate.net/profile/Miguel_Silva7
https://www.researchgate.net/journal/1555-1423_Journal_of_Computational_and_Nonlinear_Dynamics
https://www.researchgate.net/journal/1555-1423_Journal_of_Computational_and_Nonlinear_Dynamics
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208901 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:05:34Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ракушев, М.Ю. 2025-11-08T18:06:38Z 2021 Метод прогнозирования стабилизированного по энергии движения космическогоаппаратана основе дифференциально-тейлоровских преобразований / М.Ю. Ракушев // Проблемы управления и информатики. — 2021. — № 2. — С. 119–128. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208901 629.783 10.34229/1028-0979-2021-2-11 Для прогнозування руху космічних апаратів запропоновано чисельно-аналітичний метод інтегрування стабілізованого методом Баумгарта диференціального рівняння орбітального руху космічного апарата. A numerical-analytical method for integrating the stabilized orbital motion differential equation of a spacecraft using the Baumgart method is proposed for spacecraft motion prediction. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Космические информационные технологии и системы Метод прогнозирования стабилизированного по энергии движения космическогоаппаратана основе дифференциально-тейлоровских преобразований Метод прогнозування стабілізованого за енергією руху космічного апарата на основі диференціально-Тейлорівських перетворень Method of forecasting the energy-stabilized motion of a spacecraft based on differential-Taylor transformations Article published earlier |
| spellingShingle | Метод прогнозирования стабилизированного по энергии движения космическогоаппаратана основе дифференциально-тейлоровских преобразований Ракушев, М.Ю. Космические информационные технологии и системы |
| title | Метод прогнозирования стабилизированного по энергии движения космическогоаппаратана основе дифференциально-тейлоровских преобразований |
| title_alt | Метод прогнозування стабілізованого за енергією руху космічного апарата на основі диференціально-Тейлорівських перетворень Method of forecasting the energy-stabilized motion of a spacecraft based on differential-Taylor transformations |
| title_full | Метод прогнозирования стабилизированного по энергии движения космическогоаппаратана основе дифференциально-тейлоровских преобразований |
| title_fullStr | Метод прогнозирования стабилизированного по энергии движения космическогоаппаратана основе дифференциально-тейлоровских преобразований |
| title_full_unstemmed | Метод прогнозирования стабилизированного по энергии движения космическогоаппаратана основе дифференциально-тейлоровских преобразований |
| title_short | Метод прогнозирования стабилизированного по энергии движения космическогоаппаратана основе дифференциально-тейлоровских преобразований |
| title_sort | метод прогнозирования стабилизированного по энергии движения космическогоаппаратана основе дифференциально-тейлоровских преобразований |
| topic | Космические информационные технологии и системы |
| topic_facet | Космические информационные технологии и системы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208901 |
| work_keys_str_mv | AT rakuševmû metodprognozirovaniâstabilizirovannogopoénergiidviženiâkosmičeskogoapparatanaosnovedifferencialʹnoteilorovskihpreobrazovanii AT rakuševmû metodprognozuvannâstabílízovanogozaenergíêûruhukosmíčnogoaparatanaosnovídiferencíalʹnoteilorívsʹkihperetvorenʹ AT rakuševmû methodofforecastingtheenergystabilizedmotionofaspacecraftbasedondifferentialtaylortransformations |