Исследование геометрии D-разбиения одномерной плоскости параметра характеристического уравнения непрерывной системы
Розглянуто два види границь D-розбиття в площині одного параметра лінійних неперервних систем, задані характеристичним рівнянням з дійсними коефіцієнтами. Проводиться оцінка кількості відрізків і інтервалів стійкості кривої D-розбиття. Визначено максимальну кількість відрізків стійкості для різних п...
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2021
|
| Series: | Проблемы управления и информатики |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208998 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Исследование геометрии D-разбиения одномерной плоскости параметра характеристического уравнения непрерывной системы / Л.Т. Мовчан, С.Л. Мовчан // Проблемы управления и информатики. — 2021. — № 4. — С. 125-136. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208998 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2089982025-11-11T01:00:55Z Исследование геометрии D-разбиения одномерной плоскости параметра характеристического уравнения непрерывной системы Дослідження геометрії D-розбиття одномірної площини параметра характеристичного рівняння неперервної системи Study of the geometry of the D-partition of a one-dimensional plane of the parameter of the characteristic equation of a continuous system Мовчан, Л.Т. Мовчан, С.Л. Роботы и системы искусственного интеллекта Розглянуто два види границь D-розбиття в площині одного параметра лінійних неперервних систем, задані характеристичним рівнянням з дійсними коефіцієнтами. Проводиться оцінка кількості відрізків і інтервалів стійкості кривої D-розбиття. Визначено максимальну кількість відрізків стійкості для різних порядків поліномів рівняння границі D-розбиття першого виду (парний, непарний порядок, один — парного порядку, а другий — непарного). Доказано, що максимальна кількість відрізків стійкості однопараметричного сімейства для всіх випадків різна і залежить від співвідношення степенів поліномів рівняння кривої D-розбиття. Отримано в аналітичному вигляді похідну уявної частини виразу досліджуваного параметра в початковій точці кривої D-розбиття, знак якої залежить від співвідношення коефіцієнтів характеристичного рівняння і визначає стійкість першого відрізка дійсної осі площини параметра. Показано, що для другого виду границі D-розбиття в площині одного параметра є тільки один відрізок стійкості, розміщення якого, як і для першого виду границі області стійкості (ГОС), визначається знаком першої похідної уявної частини виразу досліджуваного параметра. Розглянуто приклад, в якому ілюструється ефективність запропонованого підходу для побудови області стійкості (ОС) в просторі двох параметрів без використання «штриховки за Неймарком» й побудови особливих прямих. При цьому забезпечується машинна реалізація побудови ОС. Враховуючи, що задача побудови границі області в площині двох параметрів зводиться до задачі визначення ГОС в площині одного параметра, то пропоновані оцінки максимальної кількості областей стійкості в площині одного параметра дозволяють зробити висновок про кількість максимальних областей стійкості в площині двох параметрів, які мають практичне значення. При цьому один з параметрів може нелінійно входити в коефіцієнти характеристичного рівняння. The paper considers two types of boundaries of the D-partition in the plane of one parameter of linear continuous systems given by the characteristic equation with real coefficients. The number of segments and intervals of stability of the X-partition curve is estimated. The maximum number of stability intervals is determined for different orders of polynomials of the equation of the boundary of the D-partition of the first kind (even order, odd order, one of even order, and the other of odd order). It is proved that the maximum number of stability intervals of a one-parameter family is different for all cases and depends on the ratio of the degrees of the polynomials of the equation of the D-partition curve. The derivative of the imaginary part of the expression of the investigated parameter at the initial point of the D-partition curve is obtained in an analytical form, the sign of which depends on the ratio of the coefficients of the characteristic equation and establishes the stability of the first interval of the real axis of the parameter plane. It is shown that for another type of the boundary of the D-partition in the plane of one parameter, there is only one interval of stability, the location of which, as for the previous type of the boundary of the stability region (BSR), is determined by the sign of the first derivative of the imaginary part of the expression of the parameter under study. Consider an example that illustrates the effectiveness of the proposed approach for constructing a BSR in a space of two parameters without using «Neimark hatching» and constructing special lines. In this case, a machine implementation of the construction of the stability region is provided. Considering that the problem of constructing the boundary of the stability region in the plane of two parameters is reduced to the problem of determining the BSR in the plane of one parameter, then the given estimates of the maximum number of stability regions in the plane of one parameter allow us to conclude about the number of maximum stability regions in the plane of two parameters, which are of practical interest. In this case, one of the parameters can enter nonlinearly into the coefficients of the characteristic equation. 2021 Article Исследование геометрии D-разбиения одномерной плоскости параметра характеристического уравнения непрерывной системы / Л.Т. Мовчан, С.Л. Мовчан // Проблемы управления и информатики. — 2021. — № 4. — С. 125-136. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208998 62.501.52 10.34229/1028-0979-2021-4-12 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Роботы и системы искусственного интеллекта Роботы и системы искусственного интеллекта |
| spellingShingle |
Роботы и системы искусственного интеллекта Роботы и системы искусственного интеллекта Мовчан, Л.Т. Мовчан, С.Л. Исследование геометрии D-разбиения одномерной плоскости параметра характеристического уравнения непрерывной системы Проблемы управления и информатики |
| description |
Розглянуто два види границь D-розбиття в площині одного параметра лінійних неперервних систем, задані характеристичним рівнянням з дійсними коефіцієнтами. Проводиться оцінка кількості відрізків і інтервалів стійкості кривої D-розбиття. Визначено максимальну кількість відрізків стійкості для різних порядків поліномів рівняння границі D-розбиття першого виду (парний, непарний порядок, один — парного порядку, а другий — непарного). Доказано, що максимальна кількість відрізків стійкості однопараметричного сімейства для всіх випадків різна і залежить від співвідношення степенів поліномів рівняння кривої D-розбиття. Отримано в аналітичному вигляді похідну уявної частини виразу досліджуваного параметра в початковій точці кривої D-розбиття, знак якої залежить від співвідношення коефіцієнтів характеристичного рівняння і визначає стійкість першого відрізка дійсної осі площини параметра. Показано, що для другого виду границі D-розбиття в площині одного параметра є тільки один відрізок стійкості, розміщення якого, як і для першого виду границі області стійкості (ГОС), визначається знаком першої похідної уявної частини виразу досліджуваного параметра. Розглянуто приклад, в якому ілюструється ефективність запропонованого підходу для побудови області стійкості (ОС) в просторі двох параметрів без використання «штриховки за Неймарком» й побудови особливих прямих. При цьому забезпечується машинна реалізація побудови ОС. Враховуючи, що задача побудови границі області в площині двох параметрів зводиться до задачі визначення ГОС в площині одного параметра, то пропоновані оцінки максимальної кількості областей стійкості в площині одного параметра дозволяють зробити висновок про кількість максимальних областей стійкості в площині двох параметрів, які мають практичне значення. При цьому один з параметрів може нелінійно входити в коефіцієнти характеристичного рівняння. |
| format |
Article |
| author |
Мовчан, Л.Т. Мовчан, С.Л. |
| author_facet |
Мовчан, Л.Т. Мовчан, С.Л. |
| author_sort |
Мовчан, Л.Т. |
| title |
Исследование геометрии D-разбиения одномерной плоскости параметра характеристического уравнения непрерывной системы |
| title_short |
Исследование геометрии D-разбиения одномерной плоскости параметра характеристического уравнения непрерывной системы |
| title_full |
Исследование геометрии D-разбиения одномерной плоскости параметра характеристического уравнения непрерывной системы |
| title_fullStr |
Исследование геометрии D-разбиения одномерной плоскости параметра характеристического уравнения непрерывной системы |
| title_full_unstemmed |
Исследование геометрии D-разбиения одномерной плоскости параметра характеристического уравнения непрерывной системы |
| title_sort |
исследование геометрии d-разбиения одномерной плоскости параметра характеристического уравнения непрерывной системы |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2021 |
| topic_facet |
Роботы и системы искусственного интеллекта |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208998 |
| citation_txt |
Исследование геометрии D-разбиения одномерной плоскости параметра характеристического уравнения непрерывной системы / Л.Т. Мовчан, С.Л. Мовчан // Проблемы управления и информатики. — 2021. — № 4. — С. 125-136. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT movčanlt issledovaniegeometriidrazbieniâodnomernojploskostiparametraharakterističeskogouravneniânepreryvnojsistemy AT movčansl issledovaniegeometriidrazbieniâodnomernojploskostiparametraharakterističeskogouravneniânepreryvnojsistemy AT movčanlt doslídžennâgeometríídrozbittâodnomírnoíploŝiniparametraharakterističnogorívnânnâneperervnoísistemi AT movčansl doslídžennâgeometríídrozbittâodnomírnoíploŝiniparametraharakterističnogorívnânnâneperervnoísistemi AT movčanlt studyofthegeometryofthedpartitionofaonedimensionalplaneoftheparameterofthecharacteristicequationofacontinuoussystem AT movčansl studyofthegeometryofthedpartitionofaonedimensionalplaneoftheparameterofthecharacteristicequationofacontinuoussystem |
| first_indexed |
2025-11-24T07:13:33Z |
| last_indexed |
2025-11-24T07:13:33Z |
| _version_ |
1849654943563120640 |
| fulltext |
© Л.Т. МОВЧАН, С.Л. МОВЧАН, 2021
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2021, № 4 125
РОБОТЫ И СИСТЕМЫ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА
УДК 62.501.52
Л.Т. Мовчан, С.Л. Мовчан
ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ D-РАЗБИЕНИЯ
ОДНОМЕРНОЙ ПЛОСКОСТИ ПАРАМЕТРА
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
НЕПРЕРЫВНОЙ СИСТЕМЫ
Ключевые слова: D-разбиение, граница области устойчивости в пространстве па-
раметров, уравнение границы D-разбиения в плоскости одного и двух параметров.
Введение
Одним из наиболее важных для практики результатов определения устойчи-
вости является построение границы области устойчивости (ГОУ) в пространстве
параметров, влияние которых на устойчивость исследуется.
В общем случае определение области устойчивости (ОУ) линейных систем
автоматического управления в пространстве параметров осуществляется методом
D-разбиения [1, 2].
При определении ГОУ в плоскости одного параметра методом D-разбиения
характеристическое уравнение представляют в виде
( ) ( ) ( ) 0,D s L s H s (1)
где ν — изменяемый параметр, влияние которого на устойчивость рассматривается,
1
1 1 0( ) ... ,n n
n nL s b s b s b s b
k 1
1 1 0( ) ...k
K KH s c s c s c s c
при n≥k.
Тогда уравнение границы области D-разбиения по одному параметру имеет вид
( ) ( ) ( ).D j L j H j (2)
Если необходимо исследовать влияние двух параметров на устойчивость си-
стемы методом D-разбиения, характеристическое уравнение представляют в виде
( ) ( ) ( ) ( ) 0.D s F s M s H s (3)
Уравнение границы области устойчивости D-разбиения по двум параметрам
имеет вид
( ) ( ) ( ) ( ) 0.D j F j M j H j (4)
Здесь μ и ν — изменяемые параметры, влияние которых на устойчивость рассмат-
ривается.
Специфика метода D-разбиения такова, что сначала определяются границы
всех областей в плоскости двух параметров с различным количеством корней ха-
рактеристического уравнения с отрицательной действительной частью, а после
этого выделяются границы областей устойчивости [3].
126 ISSN 0572-2691
Построение всей кривой D-разбиения в плоскости двух параметров осу-
ществляется путем изменения частоты ω от –∞ до +∞. При этом, кроме ГОУ, по-
являются «посторонние кривые» [4] — границы областей, соответствующие од-
ному и тому же числу корней характеристического уравнения, расположенных
справа от мнимой оси. Если система имеет высокий порядок, то граница областей
устойчивости, особых прямых и «посторонние кривые» переплетаются, что за-
трудняет выделение действительной ОУ при использовании ЭВМ. Кроме того,
процедура «штриховки по Неймарку» и построение особых прямых весьма
усложняют машинную реализацию метода D-разбиения.
Практическое значение имеют только кривые D-разбиения, которые являют-
ся ГОУ, при положительных значениях параметров системы. Задача определения
границ изменения частот, которые определяют такую ОУ, не решена.
Поэтому авторами разработана методика построения ГОУ непрерывных си-
стем в плоскости двух параметров методом D-разбиения, которая исключает
определение и построение всей кривой D-разбиения, особых кривых, использова-
ние «штриховки по Неймарку», тем самым обеспечивая машинную реализацию
задачи построения границы области устойчивости [5, 6].
В отличие от классической задачи построения ОУ методом D-разбиения, где
для получения точек кривой D-разбиения изменяют ω от – ∞ до ∞, изменим па-
раметр μ от предварительно заданного значения μmin до значения μmax (μmin <
μnom < μmax), что представляет практический интерес.
Для каждого фиксированного значения параметра μ характеристическое
уравнение (3) соответствует уравнению (1). Тогда граница области D-разбиения
имеет вид (2), при котором фиксированный параметр μ входит в коэффициенты
полинома L(jω).
Таким образом, задача построения границы области устойчивости в плоско-
сти двух параметров сводится к задаче определения ГОУ в плоскости одного па-
раметра, исключая построение всей кривой D-разбиения.
В [5, 6] для построения области устойчивости в плоскости одного параметра
выражение границы D-разбиения представлено в виде
1 2 1 2( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 0.D j L jL H jH (5)
Здесь при четных n = 2m и k = 2r (n — порядок полинома L(s), k — порядок поли-
нома Н(s)) имеем
1 2 2 4 2
1 2 4 2 0( ) ( 1) ( 1) ( 1) ... ,m n m n m n
n n nL b b b b b
1 1 2 3 3 5 3
2 1 3 5 3 1( ) ( 1) ( 1) ( 1) ... ,m n m n m n
n n nL b b b b b
(6)
1 2 1 4 2
1 2 4 2 0( ) ( 1) ( 1) ( 1) ... ,r k n k r k
k k kH c c c c c
1 1 2 3 3 5 3
2 1 3 5 3 1( ) ( 1) ( 1) ( 1) ... ,r k r k r k
k k kH c c c c c
а при нечетных 2 1n m и 2 1k r получаем
1 1 3 2
1 2 2 0( ) ( 1) ( 1) ... ( 1) ,m n m n
n nL b b b b
1 2 4 3
2 1 3 5 3 1( ) ( 1) ( 1) ( 1) ...m n m m n
n n nL b b b b b
, (7)
1 1 3 2 5 2
1 2 4 2 0( ) ( 1) ( 1) ( 1) ... ,r k r k r k
k k kH c c c c c
1 2 2 4 3
2 1 3 5 3 1( ) ( 1) ( 1) ( 1) ... .r k r k r k
k k kH c c c c c
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2021, № 4 127
Тогда из уравнения (5) следует выражение для определения параметра ν:
1 1 2 2
2 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
L H L H
H H
1 2 2 1
2 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ).
( ) ( )
L H L H
j U jV
H H
(8)
Поскольку параметр ν — действительная физическая значимая величина, за-
дачу определения границы области устойчивости методом D-разбиения в плоско-
сти одного параметра сводим к задаче определения интервала устойчивости, ко-
торая является интервалом вещественной оси в плоскости параметра ν.
Граничные значения интервалов устойчивости соответствуют точкам пересе-
чения кривой D-разбиения с действительной осью U(ω), поэтому значения частот,
которым соответствуют эти граничные значения параметра ν, определяются из
уравнения
1 2 2 1
2 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 0
( ) ( ) ( )
V
V
R L H L H
V
Q H H
(9)
или
1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.VR L H L H (10)
Тогда граничные значения параметра ν вычисляются из выражений
1 1 2 2
2 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ,
( ) ( )
k k k k
k k
k k
L H L H
U
H H
1 1 1 1 2 1 2 1
1 1 2 2
1 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) .
( ) ( )
k k k k
k k
k k
L H L H
U
H H
(11)
В общем случае количество точек пересечения кривой D-разбиения с дей-
ствительной осью зависит от порядка уравнения (9), т.е. степени многочленов
L(s), Н(s), и определяет количество интервалов устойчивости.
Максимальное число точек пересечения и соответственно максимальное чис-
ло отрезков устойчивости достигается тогда, когда уравнение (9) не имеет комп-
лексных и кратных действительных корней, т.е. все корни являются простыми.
В [7] оценивается максимальное количество отрезков устойчивости границы
D-разбиения по одному параметру. Согласно теореме [7], если L(s) и Н(s) — полино-
мы степени n с действительными коэффициентами, то полином ( ) ( ) ( ),D s L s H s
νR, имеет не более (n+1) отрезков D-разбиения по ν и не более
2
n
отрезков
устойчивости.
Очевидно, что на основании теоремы можно определить максимальное число
отрезков устойчивости только для частного случая, когда порядок полиномов L(s)
и Н(s) одинаковый и четный.
Постановка задачи
В связи с изложенным возникает необходимость оценки максимального чис-
ла и условия достижения этого числа интервалов устойчивости в плоскости одно-
го параметра для общего случая, когда полиномы L(s) и Н(s) имеют четный (не-
четный) и разный порядок.
128 ISSN 0572-2691
Решение поставленной задачи
В общем случае построение кривой D-разбиения в плоскости одного пара-
метра при изменении ω от – ∞ до ∞ приводит к следующим ее видам, изобра-
женным на рис. 1 и 2.
jV(ω)
U(ω)
U(ω1) U(ω2) U(ω3) U(ω4)
U(0)
[ν]
]
Рис. 1
U(ω2)
U(ω)
U(ω1)
U(ω3)
U(0)
jV(ω)
[ν]
Рис. 2
Для границы области D-разбиения, которая показана на рис. 1, выполняются
неравенства
0 1 2 10< < <...< < ,n n
0 1 2 1( )< ( )< ( )<...< ( )< ( ).n nU U U U U (12)
Для кривой D-разбиения на рис. 2 —
0 1 2 1< < <...< < ,n n
0 1 2 1( )< ( )> ( )<...> ( )< ( ).n nU U U U U (13)
Здесь ω0, ω1, ω2,…, ωn–1, ωn и U(ω0) = ν(ω0), U(ω1) = ν(ω1), U(ω2) = ν(ω2),…,
U(ωn–1) = ν(ωn–1), U(ωn) = ν(ωn) — соответственно значения частот и параметра ν в
точках пересечения кривой D-разбиения с действительной осью U(ω) в плоскости
параметра ν.
Область устойчивости выделяют путем реализации «штриховки Неймарка»
для отсеивания областей с немаксимальным количеством корней характеристиче-
ского уравнения, расположенных в левой плоскости.
Очевидно, что в случае применения классического метода D-разбиения ре-
зультат представляется графически, что усложняет определение точной ГОУ в
аналитической форме. Претендентом на интервал устойчивости является отрезок,
расположенный в области, внутрь которой направлена «штриховка по Неймарку».
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2021, № 4 129
По определению границу D-разбиения штрихуют слева при изменении часто-
ты от – ∞ до + ∞. Поэтому интервал (U(ωk–1), U(ωk)) является интервалом устой-
чивости, если кривая D-разбиения при изменении ω от ωk–1 до ωk расположена
ниже оси U(ω), т.е. ν(ω)<0.
Для того чтобы выяснить, как перемещаются корни полинома при переходе
через некоторое значение ωk (точка пересечения кривой D-разбиения с действи-
тельной осью U(ω)), в работе [7] показано, как обойтись без геометрической ин-
терпретации. Кривая D-разбиения пересекает действительную ось снизу вверх,
если
( )
>0,
k
dV
d
и сверху вниз — в противном случае. При переходе через ωk
два корня переходят из левой плоскости в правую, если кривая пересекает дей-
ствительную ось снизу вверх, и наоборот. В точке V(0) один корень переходит с
левой полуплоскости в правую, если первая производная
0
( )
>0,
dV
d
и из пра-
вой в левую, если производная отрицательная.
Кривая D-разбиения (см. рис. 1) характеризуется чередованием отрезков
устойчивости и неустойчивости. Поэтому достаточно определить знак первой
производной
( )dV
d
в первой точке пересечения границы D-разбиения с действи-
тельной осью и претендента на интервал устойчивости. Если
0
( )
<0,
dV
d
то пре-
тендентом на устойчивость является интервал (U(0), U(ω1)), в случае
0
( )
>0,
dV
d
претендент на отрезок устойчивости — интервал (U(ω1), U(ω2)).
В первом случае при переходе из области с устойчивым интервалом (U(0),
U(ω1)) в область с интервалом (U(ω1), U(ω2)) два корня в плоскости корней харак-
теристического уравнения переходят с левой полуплоскости в правую, а при пе-
реходе в область с интервалом (U(0), U(–∞)) характеристическое уравнение теря-
ет один устойчивый корень. В случае
0
( )
>0
dV
d
при переходе из области с
интервалом (U(0), U(ω1)) в область с интервалом (U(ω1), U(ω2)) два корня с пра-
вой полуплоскости в плоскости корней характеристического уравнения переходят
в левую, а область с интервалом (U(0), U(– ∞)) теряет один устойчивый корень
относительно области с устойчивым отрезком плоскости [ν]. Таким образом, ин-
тервал (U(0), U(– ∞)) неустойчивый. Только в случае наличия одного корня урав-
нения (9) и (0)>0V интервал (U(0), U(– ∞)) устойчивый.
В общем случае первую производную V(ω) можно представить в виде
2
( ) ( ) ( ) ( )( )
.
( )
V V V V
V
Q R R QdV
d Q
С учетом (9)
2 2 2
1 2(0) (0) (0) ,V kQ H H c
1 2 2 1 1 0 1 0(0) ( (0) (0) (0) (0)) ,VR L H L H c b b c
2 2
1 2 1(0) (0)) 2 ,H H c
1 2 2 1(0) (0) (0) (0) 0.L H L H
130 ISSN 0572-2691
Тогда, опуская ряд промежуточных преобразований, получаем
1 0 1 0
2
0 0
( )
.
c b b cdV
d c
(14)
Таким образом, производная ( )V в первой точке пересечения кривой D-раз-
биения с действительной осью U(ω) определяется соотношением коэффициентов
полиномов L(s) и H(s), что позволяет относительно просто определить первого
претендента на область устойчивости в плоскости параметра ν.
Для оценки максимального количества областей устойчивости D-разбиения в
плоскости одного параметра (см. рис. 1) при четных и разных степенях полино-
мов L(s) и H(s) представим уравнение (10) следующим образом:
1 1
1 2 2 1 1 1
2 3
3 2 1 1 2 3
3 5
5 2 3 4 1 1 4 3 2 5
( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )
( 1) ( )
( 1) ( ) ...
m r n k
n k n k
m r n k
n k n k n k n k
m r n k
n k n k n k n k n k n k
L H L H b c b c
b c b c b c b c
b c b c b c b c b c b c
3
2 1 0 3 3 0 1 2 0 1 1 0... ( 1)( ) ( ) 0.b c b c b c b c b c b c (15)
Учитывая, что
2 1
2 2 ,
n k
n k
уравнение приобретает вид
2( 1) 2( 2)
1 22 2
1 2( 1) ( 1)
n k n k
m r m r
m r m ra a
2( 3)
3 22
3 1 0( 1) . ... ( 1) 0.
n k
m r
m ra a a
(16)
Очевидно, что уравнение (16) имеет не более
2
n k
положительных корней,
которые соответствуют количеству точек пересечения D-разбиения с действи-
тельной осью. Тогда вещественная ось разбивается на не более 1
2
n k
отрезков
D-разбиения и максимальное число интервалов устойчивости равно ,
4
n k
если
2
n k
четное, и
2
,
4
n k
если
2
n k
нечетное.
Нетрудно показать, что для случая, когда степени полиномов L(s) и H(s) не-
четные и разные, уравнение (10) с учетом (7) приводится к уравнению (16). По-
этому количество максимальных точек пересечения отрезков D-разбиения и мак-
симальное количество интервалов устойчивости такое же, как и для предыдущего
случая (четное количество степеней n и k).
В случае, когда степени полиномов L(s), H(s) разные и один из них четный, а
другой нечетный, уравнение (10) с учетом (6) и (7) будет иметь вид
1 2 2 1
1 1 2
1 3 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
( 1) ( 1) ( )m r n m r n k
n k n k n k n k
L H L H
b c b c b c b c
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2021, № 4 131
2 4
5 2 3 4 1 3 1 2
3
7 2 5 4 3
6
6 1 1 4 3 2 5
3
0 3 1 2 2 1 1 0
( 1) ( )
( 1) (
) ...
... ( ) 0.
m r n k
n k n k n k n k n k
m r
n k n k n k
n k
n k n k n k n k
b c b c b c b c b c
b c b c b c
b c b c b c b c
b c b c b c b c
Окончательно в более компактном и удобном для анализа виде это уравнение
представим как
3 5
2 1 2 2
1 22 2 2
1 2( 1) ( 1) ( 1) .
n k n k n k
m r m r m r
m r m r m ra a a
7
2
3 22
3 1 0( 1) ... 0.
n r
m r
m ra a a
(17)
Очевидно, что уравнение (17) имеет не более
1
2
n k
положительных корней, а
количество отрезков — не более
1
1
2
n k
и максимальное число интервалов
устойчивости
1
,
4
n k
если
1
2
n k
четное, и
3
,
4
n k
если
1
2
n k
нечетное.
Нетрудно заметить, что максимальное количество интервалов устойчивости
при нечетном количестве точек пересечения кривой D-разбиения с вещественной
осью будет только тогда, когда первым отрезком устойчивости будет интервал
(U(0), U(ω1)).
Кривая D-разбиения (см. рис. 2) имеет только один интервал устойчивости.
Отрезком устойчивости будет интервал (U(0), U(ω1)), если (0)<0,V и (U(ω3), ∞), —
если (0)>0V (рис. 3). Первая производная (0)V определяется в общем случае
соотношением (14).
U(ω3)
jV(ω)
U(ω1) U(0) U(ω2) U(ω)
[ν]
Рис. 3
Если учесть, что задача построения границы области устойчивости в плоско-
сти двух параметров [5, 6] сводится к задаче определения ГОУ в плоскости одно-
го параметра, то приведенные выше оценки максимального количества ОУ в
плоскости одного параметра позволяют сделать вывод о количестве максималь-
ных областей устойчивости в плоскости двух параметров, которые представляют
практический интерес. При этом один из параметров может нелинейно входить в
коэффициенты характеристического уравнения.
132 ISSN 0572-2691
Пример. Для иллюстрации практического использования и преимущества
предложенного подхода рассмотрим построение области устойчивости в про-
странстве двух параметров на примере работы [1].
Рассматривается линейная система, состоящая из последовательно соединен-
ных звеньев первого порядка, замкнутых обратной связью. Характеристическое
уравнение системы имеет вид
2(1 )(1 5 )(1 10 )(1 30 )(1 100 )(50 200 1) 0.Ts s s s s s s (18)
Здесь Т — постоянная времени, μ — коэффициент усиления в цепи обратной связи.
В работе [1] классическим методом построена вся кривая D-разбиения в
плоскости параметров Т и μ, т.е. выделено семь областей, отвечающих заданному
числу корней характеристического уравнения (18) в левой полуплоскости. Осо-
бые прямые и граница D-разбиения построены лишь качественно, без соблюдения
масштаба (рис. 4, где D(7) — область устойчивости).
D(4)
D(5)
D(6) D(7)
D(6) D(5)
D(7)
D(4)
D(3)
b
c
T
= – 1
3 10 30 100
10
5
с
a
→
Рис. 4
Рассмотрим D-разбиение и оценим количество областей устойчивости в
плоскости параметров Т и μ, используя предложенный выше подход. Для этого
изменим параметр Т от предварительно заданного значения Tmin= 0 до значения
Tmax=100 (Tmin ≤ T ≤ Tmax), что представляет практический интерес. Шаг измене-
ния параметра ∆Т=0 ,01. Для каждого фиксированного значения параметра Т ха-
рактеристическое уравнение (18), опуская ряд промежуточных преобразований,
приведем к виду
7 6 5 4 3 2
7 6 5 4 3 2 1 0( ) ( )
( ) ( ) 0,
D s a s a s a s a s a s a s a s a
L S H S
где
5
7 45 10 ,a T
5
6 (45 201,45 )10 ,a T
5
5 (201,45 89,06 )10 ,a T
5
4 (89,06 9,55 )10 ,a T
5
3 (9,55 0,334 )10 ,a T
5
2 (0,334 0,0034 )10 ,a T
5
1 0,0034 10 ,a T 0 1.a
Граница D-разбиения по одному параметру μ определяется уравнением
( ) ( ) ( ) 0,D j L j H j
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2021, № 4 133
отсюда
6 4 2 6 4 2
6 4 2 0 7 5 3 1( ) ( ) ( ) ( ).a a a a j a a a a U jV (19)
Для каждого фиксированного значения параметра Т определяем интервалы
устойчивости в плоскости этого параметра, которые в совокупности составляют
область устойчивости в плоскости параметров Т и μ. Для этого из уравнения
V(ω)=0 определяем частоты ω0, ω1, ω2, ω3, которые соответствуют точкам пере-
сечения границы D-разбиения с действительной осью U(ω), и значения параметра
μ(U(ω)) в этих точках.
Для значения параметра Т = 3 частоты, соответствующие точкам пересечения
кривой D(jω) с осью U(ω) в плоскости параметра μ, равны ω0= 0, ω1= 0,0179,
ω2 = 0,1522, ω3 = 1,8558, а значения параметра μ в этих точках определяются вы-
ражением 6 4 2
6 4 2 2( ) ( 0,1, 2, 3)i i i iU a a a a i и равны U(0) = – 1,
U(ω1) = 9,2438, U(ω2) = – 4782,4, U(ω3) = 25213٠10
5
. Соотношения 0 1 2
3 и U(ω0) < U(ω1) > U(ω2) < U(ω3) позволяют сделать вывод, что граница
D-разбиения в плоскости параметра μ (см. рис. 2), как указано выше, содержит только
один отрезок области устойчивости ((U(0), U(ω1)) или (U(ω3), U(∞)). Если учитывать,
что для всех значений min max( 0 100)T T T T 1(0) (340 ) 0,V a T
область устойчивости — интервал (U(0), U(ω1)).
Нижняя граница ОУ исследуемой системы в плоскости двух параметров Т и
μ для всех значений параметра Т равна 0(0) 1,U a а верхняя определяется
выражением 6 4 2
1 6 1 4 1 2 1 0( , ) ( 0,01; 0,02;...;100).i i i i iU T a a a a i
Блок-схема алгоритма определения ГОУ в плоскости параметров [Т, μ] для рас-
сматриваемого примера представлена рис. 5, а граница области устойчивости — рис. 6.
Вычисление
3 3
4
( , )
( , )
i i i
i i
U T
U T
Начало
Ввод начальных
значений параметров
min max,...,T T T
да
нет
Вычисление ω = ω0, ω1, ..., ωi путем
решения уравнения V(ω)= 0 Вычисление
1 0
2 1
( , )
( , )
i i i
i i i
U T
U T
Коэффициент
при ω в V(ω)
отрицательный
отрицатель
ный
Построение области
устойчивости в
плоскости параметров
Рис. 5
134 ISSN 0572-2691
0
]
– 2
]
10
]
20
]
30
]
40
]
50
]
60
]
70
]
80
]
90
]
0
]
2
]
4
]
6
]
8
]
Область устойчивости
[Т, μ]
Т
μ
Рис. 6
Заключение
В статье проводится оценка максимального количества интервалов устойчи-
вости границы D-разбиения в плоскости одного параметра. Доказано, что макси-
мальное число отрезков устойчивости в случае, если обе степени полиномов n и k
уравнения ГОУ четные или нечетные, равно ,
4
n k
когда
2
n k
четное, и
2
,
4
n k
когда
2
n k
нечетное. Если одна степень полиномов n и k четная, а дру-
гая нечетная, то количество отрезков устойчивости не превышает
1
,
4
n k
когда
1
2
n k
четное, и
3
,
4
n k
когда
1
2
n k
нечетное.
В аналитическом виде получена производная мнимой части выражения
исследуемого параметра в начальной точке кривой D-разбиения (ω = 0), знак
которой зависит от соотношения коэффициентов характеристического уравне-
ния и устанавливает устойчивость первого отрезка действительной оси плос-
кости параметра.
Показано, что для другого вида кривой D-разбиения в плоскости одного
параметра существует только один отрезок устойчивости, местонахождение
которого, как и для предыдущего вида ГОУ, определяется знаком первой про-
изводной мнимой части выражения исследуемого параметра.
Рассмотрен пример, иллюстрирующий эффективность предложенного
подхода для построения ГОУ в пространстве двух параметров без использова-
ния «штриховки по Неймарку» и построения особых прямых. При этом обес-
печивается машинная реализация построения области устойчивости.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2021, № 4 135
Л.Т. Мовчан, С.Л. Мовчан
ДОСЛІДЖЕННЯ ГЕОМЕТРІЇ D-РОЗБИТТЯ
ОДНОМІРНОЇ ПЛОЩИНИ ПАРАМЕТРА
ХАРАКТЕРИСТИЧНОГО РІВНЯННЯ
НЕПЕРЕРВНОЇ СИСТЕМИ
Розглянуто два види границь D-розбиття в площині одного параметра лі-
нійних неперервних систем, задані характеристичним рівнянням з дійсни-
ми коефіцієнтами. Проводиться оцінка кількості відрізків і інтервалів
стійкості кривої D-розбиття. Визначено максимальну кількість відрізків
стійкості для різних порядків поліномів рівняння границі D-розбиття пер-
шого виду (парний, непарний порядок, один — парного порядку, а другий —
непарного). Доказано, що максимальна кількість відрізків стійкості одно-
параметричного сімейства для всіх випадків різна і залежить від співвід-
ношення степенів поліномів рівняння кривої D-розбиття. Отримано в ана-
літичному вигляді похідну уявної частини виразу досліджуваного параме-
тра в початковій точці кривої D-розбиття, знак якої залежить від
співвідношення коефіцієнтів характеристичного рівняння і визначає стій-
кість першого відрізка дійсної осі площини параметра. Показано, що для
другого виду границі D-розбиття в площині одного параметра є тільки
один відрізок стійкості, розміщення якого, як і для першого виду границі
області стійкості (ГОС), визначається знаком першої похідної уявної час-
тини виразу досліджуваного параметра. Розглянуто приклад, в якому ілю-
струється ефективність запропонованого підходу для побудови області
стійкості (ОС) в просторі двох параметрів без використання «штриховки
за Неймарком» й побудови особливих прямих. При цьому забезпечується
машинна реалізація побудови ОС. Враховуючи, що задача побудови гра-
ниці області в площині двох параметрів зводиться до задачі визначення
ГОС в площині одного параметра, то пропоновані оцінки максимальної кі-
лькості областей стійкості в площині одного параметра дозволяють зроби-
ти висновок про кількість максимальних областей стійкості в площині
двох параметрів, які мають практичне значення. При цьому один з параме-
трів може нелінійно входити в коефіцієнти характеристичного рівняння.
Ключові слова: D-розбиття, границя області стійкості в просторі парамет-
рів, рівняння границі D-розбиття в площині одного і двох параметрів.
L.T. Movchan, S.L. Movchan
INVESTIGATION OF THE GEOMETRY OF THE
D-PARTITION OF THE ONE-DIMENSIONAL PLANE
OF THE PARAMETER OF THE CHARACTERISTIC
EQUATION OF A CONTINUOUS SYSTEM
The paper considers two types of boundaries of the D-partition in the plane of one
parameter of linear continuous systems given by the characteristic equation with real
coefficients. The number of segments and intervals of stability of the X-partition
curve is estimated. The maximum number of stability intervals is determined for dif-
ferent orders of polynomials of the equation of the boundary of the D-partition of the
first kind (even order, odd order, one of even order, and the other of odd order). It is
proved that the maximum number of stability intervals of a one-parameter family is
different for all cases and depends on the ratio of the degrees of the polynomials of
the equation of the D-partition curve. The derivative of the imaginary part of the ex-
pression of the investigated parameter at the initial point of the D-partition curve is
obtained in an analytical form, the sign of which depends on the ratio of the coeffi-
136 ISSN 0572-2691
cients of the characteristic equation and establishes the stability of the first interval of
the real axis of the parameter plane. It is shown that for another type of the boundary
of the D-partition in the plane of one parameter, there is only one interval of stability,
the location of which, as for the previous type of the boundary of the stability region
(BSR), is determined by the sign of the first derivative of the imaginary part of the
expression of the parameter under study. Consider an example that illustrates the ef-
fectiveness of the proposed approach for constructing a BSR in a space of two pa-
rameters without using «Neimark hatching» and constructing special lines. In this
case, a machine implementation of the construction of the stability region is provid-
ed. Considering that the problem of constructing the boundary of the stability region
in the plane of two parameters is reduced to the problem of determining the BSR in
the plane of one parameter, then the given estimates of the maximum number of sta-
bility regions in the plane of one parameter allow us to conclude about the number of
maximum stability regions in the plane of two parameters, which are of practical in-
terest. In this case, one of the parameters can enter nonlinearly into the coefficients of
the characteristic equation.
Keywords: D-partition, boundary of the stability region in the space of pa-
rameters, the equation of the boundary of D-partition in the plane of one and
two parameters.
1. Неймарк Ю.Н. Об определении значений параметров, при которых система автоматическо-
го регулирования устойчива. Автоматика и телемеханиа. 1948. № 3. С. 190–203.
2. Неймарк Ю.Н. Устойчивость линеаризованных систем. Л. : ЛКВВИЛ, 1949. 180 с.
3. Грязина Е.Н., Поляк Б.Т., Трембач А.А. Современное состояние метода D-разбиения. Ав-
томатика и телемеханика. 2006. № 12. С. 3–41.
4. Дидук Г.А. Машинные методы исследования автоматических систем. Л. : Энергоатомиз-
дат. 1983. 242 с.
5. Мовчан Л.Т., Мовчан С.Л. Машино-ориентированный подход к построению области
устойчивости в плоскости двух параметров линейных непрерывных систем управления ме-
тодом D-разбиения. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления
и информатики». 2011. № 1. С. 30–35.
6. Мовчан Л.Т. Определение точной границы области устойчивости одного класса динамиче-
ских систем. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и ин-
форматики». 2017. № 5. С. 5–13.
7. Грязина Е.Н. К теории D-разбиения. Автоматика и телемеханика. 2004. № 12. С. 15–28.
Получено 29.03.2021
|