Математические модели углового движения космических аппаратов и их использование в задачах управления ориентацией
Запропоновано загальну структуру кінематичних рівнянь еволюції орієнтації космічного апарата (КА) (системи координат, зв'язаної з КА (ЗСК)) щодо опорної системи координат (ОСК). Передбачається, що початки систем координат збігаються й розташовані в довільній точці КА. Кожна із систем координат...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2021 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2021
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209010 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математические модели углового движения космических аппаратов и их использование в задачах управления ориентацией / В.В. Волосов, В.Н. Шевченко // Проблемы управления и информатики. — 2021. — № 5. — С. 124-139. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860230015830982656 |
|---|---|
| author | Волосов, В.В. Шевченко, В.Н. |
| author_facet | Волосов, В.В. Шевченко, В.Н. |
| citation_txt | Математические модели углового движения космических аппаратов и их использование в задачах управления ориентацией / В.В. Волосов, В.Н. Шевченко // Проблемы управления и информатики. — 2021. — № 5. — С. 124-139. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Запропоновано загальну структуру кінематичних рівнянь еволюції орієнтації космічного апарата (КА) (системи координат, зв'язаної з КА (ЗСК)) щодо опорної системи координат (ОСК). Передбачається, що початки систем координат збігаються й розташовані в довільній точці КА. Кожна із систем координат обертається з довільною абсолютною кутовою швидкістю (швидкістю відносно інерціального простору), заданою проекціями на їхні осі. Як параметри орієнтації можуть використовуватися кути Ейлера-Крилова, параметри Родріга-Гамільтона, модифіковані параметри Родрига. Показано, що відомі представлення рівнянь еволюції орієнтації ССК відносно ОСК у параметрах Родрига-Гамільтона (компонентах нормованих кватерніонів) можуть бути отримані із розв'язку задачі Н.П. Єругіна — відшукання всієї множини диференціальних рівнянь, що мають заданий інтеграл руху. Відмічено переваги й недоліки використання кожного з зазначених параметрів орієнтації. Запропоновано загальний для всіх цих рівнянь метод синтезу керування орієнтацією, заснований на декомпозиції вихідної задачі на кінематичну й динамічну задачі й використанні відомих узагальнень прямого методу Ляпунова для їхнього розв'язку. За допомогою комп'ютерного моделювання проілюстровано властивість структурної грубості в сенсі О.О. Андронова–Л.С. Понтрягина одержаного алгоритму. А саме, на конкретному прикладі проілюстровано властивість навіть навмисно структурно спрощеного алгоритму стабілізації заданої постійної орієнтації КА з достатньою точністю відслідковувати програму її зміни. Задача спостереження є типовою в керуванні стиковкою КА, спуском КА з орбіти, виконання маршрутних зйомок поверхні Землі.
A general structure of the kinematic equations for attitude evolution of a spacecraft (SC) (coordinate system associated with a spacecraft (SCS)) relative to the reference coordinate system (RCS) is proposed. It is assumed that the origins of the coordinate systems coincide and are located at an arbitrary point of the spacecraft. Each of the coordinate systems rotates at an arbitrary absolute angular velocity (relative to the inertial space) specified by the projections on their axes. Attitude parameters can be the Euler–Krylov angles, Rodrigues–Hamilton parameters, and modified Rodrigues parameters. It is shown that the well-known representations of the attitude evolution equations of the SCS relative to the RCS using the Rodrigues-Hamilton parameters (components of normalized quaternions) can be simply obtained from the solution of the Erugin problem of finding the entire set of differential equations with a given integral of motion. The advantages and disadvantages of use for each of the specified attitude parameters are considered. A method of attitude control synthesis is proposed which is common for all these equations and based on the decomposition of the original problem into kinematic and dynamic ones and the use of well-known generalizations of the direct Lyapunov method for their solution. The property of structural roughness according to Andronov–Pontryagin [27–29] of the obtained algorithm is illustrated with the help of computer simulation. Particularly, a specific example illustrates the possibility for even a structurally simplified algorithm of stabilizing a specified constant spacecraft attitude to track the program of its change with sufficient accuracy. The tracking task is typical for the control of spacecraft docking, spacecraft de-orbiting, and performing route surveys of the Earth's surface.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:21:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.В. ВОЛОСОВ, В.Н. ШЕВЧЕНКО, 2020
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2021, № 5 124
КОСМИЧЕСКИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
И СИСТЕМЫ
УДК 629.7.05
В.В. Волосов, В.Н. Шевченко
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УГЛОВОГО
ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ
УПРАВЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИЕЙ
Ключевые слова: космический аппарат, параметры ориентации и уравнения
их эволюции, кинематическая и динамическая задачи управления ориентацией,
синтез стабилизирующего управления, отслеживание программы изменения
ориентации.
Введение
Современные космические аппараты (КА) являются сложными многофунк-
циональными информационно-динамическими системами, предназначенными
для выполнения все более расширяющегося спектра различных научных иссле-
дований и решения прикладных задач, или, иначе говоря, выполнения все более
усложняющихся программ полета (космических миссий). Системы управления
ориентацией и навигации являются одними из основных систем современных КА,
которые определяют его функциональные возможности. Так, в частности, без
прецизионных систем управления ориентацией и навигацией КА дистанционного
зондирования Земли невозможно получать снимки с высокой разрешающей
способностью и высокоточной картографической привязкой, которые имеют
повышенный спрос. Наряду с этими прикладными задачами так же невозмож-
но и выполнение ряда теоретических астро- и геофизических научных исследова-
ний, поэтому повышение точности систем управления ориентацией КА является
перманентно одной из актуальных задач, стоящих перед их разработчиками.
Для решения задач повышения точности наряду с сохранением традиционных
методов совершенствования приборов командно–измерительного комплекса, за-
метна устойчивая тенденция усовершенствования программно–математического
обеспечения (ПМО) в общем создании систем управления КА. Стоимость разра-
ботки ПМО современных систем управления КА во многих случаях превышает
стоимость их технических устройств. Математические модели (ММ) эволюции
текущей ориентации КА, т.е. положения связанной с ним системы координат
(ССК), относительно используемой опорной системы координат (ОСК), являются
неотъемлемой составной частью сответствующих его ПМО.
В настоящее время имеется огромное количество публикаций, в которых
в зависимости от специфики решаемых задач используются модели эволюции,
основанные на применении различных параметров ориентации, а именно углов
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2021, № 5 125
Эйлера или Крылова–Эйлера, параметров Эйлера–Родрига–Гамильтона или ком-
понентов кватернионов, параметров Родрига, модифицированных параметров
Родрига и др. Однако в известных нам публикациях эти модели имеют вид и фор-
му частной модели и зависят от конкретного вида ОСК. В настоящей работе пред-
лагается форма представления кинематических уравнений эволюции ориентации,
единая для любых из перечисленных параметров ориентации и вида ОСК. Показы-
вается, что в терминах теоретической механики кинематические уравнения эво-
люции ориентации КА можно интерпретировать как уравнения относительного
движения ССК относительно ОСК. Отмечаются недостатки и преимущества ис-
пользования тех или иных перечисленных параметров ориентации. Предлагается
общий для перечисленных параметров ориентации метод синтеза стабилизируще-
го управления, основанный на идее декомпозиции общей задачи управления на
кинематическую и динамическую задачи [1] и применении для решения каждой
из них метода функций Ляпунова (ФЛ).
Кинематические уравнения в углах Эйлера–Крылова
Положение (ориентацию) связанной системы координат (ССК) Oxyz относи-
тельно опорной системы координат (ОСК) 0 0 0Ox y z будем задавать соответствую-
щими порядку 3 1 2 поворотов (тангаж, крен, курс) углами , , Эйлера–
Крылова. Соотношения между угловыми скоростями , , ,j j x y z и углами
, , будут задаваться дифференциальными уравнениями, аналогичными кине-
матическим уравнениям Эйлера [1]. Рассмотрим способ получения названных
уравнений, для чего совершим переход от ОСК 0 0 0Ox y z к ССК Oxyz последова-
тельными поворотами на углы , и . Учтем при этом, что ОСК сама враща-
ется относительно инерциального пространства с произвольной угловой скоро-
стью 0 , проекции которой на оси ОСК 0 0 0Ox y z имеют вид
0 0 0 0( , , ) .T
X Y Z Указанным поворотам соответствуют рис. 1–3.
На рис. 1 показан переход от СК
0 0 0Ox y z к СК Ox y z поворотом на угол
. Введем обозначения 0 0 0 0( )TX x y z и
X ( )Tx y z для проекций произ-
вольного вектора 3Z R на оси СК
0 0 0Ox y z и Ox y z . Из рис. 1 непосред-
ственно следует, что эти проекции свя-
заны соотношениями
0
0
0
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
x x
y y
z z
, (1)
которые представим в более компактном
виде:
3 0( ) ,X A X (2)
3
cos sin 0
( ) sin cos 0
0 0 1
A , 1
3 3( ) ( )TA A .
Рис. 1
126 ISSN 1028-0979
При этом вектор угловой скорости 1 2 3( , , )T СК ,Ox y z заданный
проекциями на ее же оси, имеет вид
3 0 3( )A e , 3 (0, 0, 1)Te . (3)
Рис. 3
Введя обозначения ( )TX x y z для проекций произвольного вектора на
оси СК Ox y z с учетом рис. 2 по аналогии с (1)–(3), получаем соотношения
1 1 3 0( ) ( ) ( ) ,X A X A A X (4)
1 1 1 3 0 3 1( ) ( )[ ( ) ]A e A A e e , (5)
где
1
1 0 0
( ) 0 cos sin
0 sin cos
A , 1
1 1( ) ( )TA A , 1
1
0
0
e . (6)
Переход от СК Ox y z к ССК Oxyz осуществляется поворотом вокруг оси Oy
на угол (см. рис. 3). Повторяя построения, соответствующие двум предыдущим
переходам к промежуточным СК, получаем формулы для проекций соответст-
вующих векторов на оси ССК и ОСК:
2 0( ) ( ) ,X A X S X (7)
2 2 0 2 1 3 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )A e S A A e A e e , (8)
где
1
2 2 2
cos 0 sin
( ) 0 1 0 , ( ) ( )
sin 0 cos
TA A A , , 2
0
1
0
e , (9)
1( ) ( )TS S — ортогональная матрица направляющих косинусов между
осями СК 0 0 0Ox y z и Oxyz , т.е. матрица такая, что имеют место соотношения
0( ) ,X S X 2 1 3 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) { ( ), ( ), ( )}S A A A s s s , (10)
( )js — векторы–столбцы матрицы ( ),S
Рис. 2
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2021, № 5 127
( )
c c s s s c s s s c s c
S c s c c s
s c c s s s s c s c c c
.
Здесь под обозначениями 0X и ,X как отмечалось выше, понимаются про-
екции произвольного вектора на оси ОСК 0 0 0Ox y z и ССК Oxyz . Для упрощения
записей используются обозначения sin , cos , , ,x sx x cx x .
После выполнения несложных преобразований соотношение (8) с учетом
(4)–(7) и (9), (10) можно представить в виде
1
0 0
cos 0 sin cos
( ) 0 1 sin ( ) ( ) .
sin 0 cos cos
x
y
z
S S B (11)
Умножая левую часть уравнения (11) на матрицу ( ),B получим кинема-
тическое уравнение математической модели углового движения ССК относи-
тельно ОСК
0( )[ ( ) ],B S (12)
где
cos 0 sin
sin 1 cos( )
sin cos0
cos cos
tg tgB , 1det ( )
cos
B .
Выражение в квадратных скобках в (12) есть относительная скорость R
0( )S углового движения ССК Oxyz относительно ОСК 0 0 0Ox y z , задан-
ная проекциями на оси ССК. Так как абсолютная угловая скорость ССК равна
сумме относительной и переносной скоростей R E , то отсюда следует,
что переносная скорость 0( )E S .
Математическая модель (12) имеет недостаток, присущий всем моделям
с использованием в качестве параметров ориентации углов Эйлера, так же как
и углов Крылова–Эйлера при любой последовательности поворотов перехода от
ОСК к ССК [1]. При этом соответствующие матрицы ( )B вырождаются при не-
которых значениях углов. В рассмотренной последовательности поворотов
3 1 2 ( ) вырождение происходит при 090 . При этом в уравне-
нии модели (12) происходят разрывы производных ( )t углов, хотя в реальном
движении ССК (твердого тела с неподвижной точкой в терминологии теоретиче-
ской механики) никаких особенностей нет, поэтому для математического модели-
рования больших угловых движений ССК используются другие параметры ори-
ентации. Так, например, Л. Эйлером были введены параметры
2 2 2
0 1 2 2cos 2, sin 2, 1, 2, 3; 1j j j ,
называемые параметрами Эйлера–Родрига–Гамильтона (ЭРГ) и (или) параметра-
ми Родрига–Гамильтона (РГ) . Здесь j — направляющие косинусы оси враще-
ния твердого тела (ССК Oxyz ) с координатными осями ОСК 0 0 0Ox y z и ССК
Oxyz и — угол поворота относительно нее. Очевидно, что случаю совмещения
128 ISSN 1028-0979
СК 0 0 0Ox y z и Oxyz соответствует значения угла поворота 00 и 0360 , при
которых 0 1, (0, 0, 0)T . Для удобства последующего изложения, следуя [1],
рассмотрим нормированный вектор, составленный из параметров ЭРГ:
0 1 2 3( , ), ( , , ),T T T 2
0 1.T T
Заметим, что кроме углов Эйлера–Крылова и параметров ЭРГ в математиче-
ских моделях эволюции ориентации ССК КА относительно ОСК используются
также параметры Родрига и модифицированные параметры Родрига, матрицы на-
правляющих косинусов и др. (см., например, [1–10]).
Кинематические уравнения в параметрах ЭРГ. Метод получения кинема-
тических уравнений углового движения ССК твердого тела относительно вра-
щающейся орбитальной ОСК с использованием параметров РГ (компонентов
нормированного кватерниона) приведен, например, в [2]. Векторно–матричное
представление уравнений [1], аналогичное по структуре уравнениям (12) для уг-
лов Крылова–Эйлера, приведено в [11, 12, 13] и имеет вид
2 0( )[ ( ) ],B S 0( ) ( ) 1t t , (13)
где
0 3
( )
T
B
I
— (4х3)–матрица полного ранга,
3 2
3 1
2 1
0
0
0
—
кососимметричная матрица det 0, rang 2 0,
3 0( ) 2 2S I , 1( ) ( )TS S , (14)
1 2 3
2 2 2 2
0 1 2 3 1 2 0 3 1 3 0 2
2 2 2 2
1 2 0 3 0 2 1 3 2 3 0 1
2 2 2 2
1 3 0 2 2 3 0 1 0 3 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
2( ) 2( )
2( ) 2( )
2( ) 2( )
S s s s
и ( ), 1, 2, 3Js j — векторы–столбцы матрицы ( )S . Остальные обозначения
( и 0 ) имеют тот же смысл, что и в (12).
Заметим, что кинематические уравнения (13) и другие в параметрах РГ могут
быть непосредственно получены как решение задачи Н.П. Еругина — нахождение
всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих известные
первые интегралы [14]. Так, в результате дифференцирования по времени пер-
вого интеграла ( ) ( )T t t c искомого множества получаем линейное алгеб-
раическое уравнение
2 0
T
T T Td
dt
,
общее решение (все множество решений) которого имеет вид
4( ) ,I P U (15)
где 1( )T TP — оператор проектирования [15] на подпространство, по-
рожденное вектором 4.R Под символом U здесь понимается произвольный
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2021, № 5 129
вектор, в том числе и нелинейная вектор-функция ( , ),U t и, в частности, компо-
ненты вектора ( )t могут интерпретироваться как параметры ЭРГ при ( ) 1t .
Полагая в (15) 0
1 ( )[ ( ) ]
2
U B S и учитывая соотношение ( )T B
(0,0,0), получаем уравнение (13). Также, полагая в (15) 0
1 ( , )
2
U A , где
0( , )A — произвольная кососимметрическая матрица ( 0( , )T A
40 )R , получим следующее уравнение:
0
0 0
0 0
0 ( )2 ( , ) , ( , )
( ) ( )
T
A A . (16)
Несложно проверить, что уравнения (16) представляют собой другую форму
представления уравнений (13).
Преимущества моделирования углового движения с помощью кинематичес-
ких уравнений (13) в параметрах ЭРГ (компонентах кватерниона по [1]) по срав-
нению с использованием уравнений (12) состоят в том, что в них нет каких-либо
особенностей и случаев вырождения и нет тригонометрических функций, необхо-
димость вычисления которых повышает требования к быстродействию бортовых
компьютеров. Однако недостатки имеются и в модели (13). При длительных вре-
менных интервалах численного интегрирования уравнения (13) накопления вы-
числительных погрешностей могут привести к нарушению условия нормировки
( ) 1t . При этом вычисленное значение ( )t , ( ) 1t не будет определять
соответствующую ориентацию.
Кинематические уравнения в классических параметрах Родрига
Между параметрами Родрига 3,2,1, jq j и ЭРГ имеют место следующие
прямые и обратные взаимно-однозначные соотношения [7]:
1 2 3 1 2 3
0
1 , ( , , ), ( , , ),T Tq q q q q (17)
0
1 ,
1 1T T
q
q q q q
. (18)
Заметим, что при использовании классических параметров Родрига при
моделировании вращательного движения КА, в отличие от параметров ЭРГ,
для которых 2
0 ( ) ( ) ( ) 1Tt t t , вообще говоря, может иметь место особен-
ность ( )q t при движениях, которым соответствует случай 0 ( ) 0t ,
( ) 180t .
Кинематические уравнения эволюции ориентации КА относительно произ-
вольно вращающейся ОСК приведены ниже.
Утверждение 1. Кинематические уравнения эволюции ориентации КА отно-
сительно произвольно вращающейся ОСК в классических параметрах Родрига
имеют вид
02 ( )[ ( ) ]q B q S q , (19)
130 ISSN 1028-0979
где
1
3 3
1( ) , ( ) ( )
1
T
TB q I q qq B q I q
q q
; (20)
1
3
1( ) [(1 ) 2 2 ], ( ) ( ).
1
T T T
TS q q q I qq q S q S q
q q
(21)
В отличие от матрицы ( )B в кинематических уравнениях (12), матрица
( )B q не вырождается при любых значениях .q В этом непосредственно
убеждаемся, вычислив 1 2det ( ) (1 )TB q q q .
Доказательство. Из формул (13), (14), (17) и (18) последовательно получаем
02 T , 0 32 ( )I , 0( )S ;
02
00
2 22q , 32 ( ) ( )Tq qq I q B q ;
3 0 3
1( ) 2 2 [(1 ) 2 2 ] ( )
1
T
TS I q q I q qq S q
q q
.
Воспользовавшись известным свойством произведения матриц
3
T Tqq qq q qI , получим для матрицы ( )S q формулу (21), завершающую дока-
зательство утверждения 1.
Кинематические уравнения в модифицированных параметрах Родрига
Между модифицированными параметрами Родрига , 1, 2, 3jq j и ЭРГ
имеют место следующие прямые и обратные взаимно однозначные соотношения [7]:
1 2 3 1 2 3
0
1 , ( , , ), ( , , )
1
T T , (22)
2
0 2 2
1 2,
1 1
. (23)
При использовании модифицированных параметров Родрига для моделиро-
вания динамики вращательного движения КА, как и при использовании классиче-
ских, может иметь место, вообще говоря, неограниченное возрастание нормы век-
тора параметров ( )t . Так, из формулы (22) получаем
2
0 0
2 2
00 0
1 11
1(1 ) (1 )
T T . (24)
Как известно, случаю совмещения осей ССК и ОСК соответствуют два зна-
чения параметров ЭРГ: ( 1, 0, 0, 0)T , т.е. 0 1. При этом из (24) следует,
что при 0 1 норма вектора параметров может неограниченно возрастать
.
Утверждение 2. Кинематические уравнения эволюции ориентации КА от-
носительно произвольно вращающейся ОСК в модифицированных параметрах
Родрига имеют вид
02 ( )[ ( ) ]B S , (25)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2021, № 5 131
3
1( ) (1 )
2
T TB I , 1
2 2
4( ) ( )
(1 )
TB B , (26)
3 2
8 4(1 )( )
(1 )
T
TS I , 1( ) ( )TS S . (27)
Доказательство формул (25)–(27) утверждения 2 может быть получено на ос-
нове формул (13), (14), (22) и (23), аналогично доказательству утверждения 1
с использованием формул (13), (14), (17) и (18).
В приведенных утверждениях содержится обобщение известных результатов
для случаев произвольных угловых скоростей 0 вращения ОСК. Для частного
случая 0 0 ориентации относительно инерциальной ОСК формулы утвержде-
ний с точностью до обозначений совпадают с формулами, приведенными в [7, 8].
Синтез управления ориентацией КА
Рассмотрим применение предложенных кинематических уравнений для ре-
шения задач синтеза управлений ориентацией КА. Как более наглядный вариант
сначала рассмотрим уравнения с использованием углов Эйлера–Крылова.
Постановка задачи 1. Пусть угловое движение КА описывается кинемати-
ческими уравнениями (12) и динамическим уравнением Эйлера [1, 3]
C gJ M M J , (28)
где J — симметрическая положительно определенная матрица 0TJ J пред-
ставления тензора инерции КА относительно центра масс O в ССК; CM и gM —
искомый момент управления и гравитационный момент с проекциями на оси ССК,
соответственно. Заметим, что, вообще говоря, на КА действует еще возмущающий
момент PM аэродинамических сил и солнечного давления. Однако если их
принимать во внимание, это может привести к ненужному здесь загромождению
изложения решения рассматриваемой задачи, поэтому момент PM в правой части
уравнения (28) опущен. Для простоты предполагается, что гравитационное поле
является центральным, и КА движется по круговой орбите радиусом R . По
аналогии с [17] предполагается, что ось 0Oy ОСК направлена по текущему ра-
диус-вектору КА, ось 0Ox направлена по трансверсали в сторону движения,
и ось 0Oz дополняет их до правой тройки. При этом 0 03(0, 0, )T ,
3
03 / R [18]. Согласно [17, 19], формулу для вычисления гравитационного
момента можно представить в виде 3
2 23 ( ) ( )gM R s Js , где 2 ( )s — косо-
симметричная матрица вектора–столбца 2 ( )s матрицы ( )S (см. формулу (10))
и — гравитационная постоянная Земли 398600,4 км3 /с2.
Поставим задачу синтеза управления ( , , )C SM такого, что при началь-
ном состоянии 0 0( ), ( )t t реализуется достижение и стабилизация заданной
ориентации ( ) ) 0St и ( ) 0St при t . Так как вектор углов
ориентации S предполагается постоянным, то из уравнения (12) следует, что
0( )[ ( ) ] 0S S S SB S и 0( )S SS .
132 ISSN 1028-0979
Решение задачи 1. Для решения задачи воспользуемся методом ее декомпо-
зииции на кинематическую и задачи ориентации [1], [20–23] и выберем кинемати-
ческую функцию Ляпунова в виде
( ) ( ).T
C S SV (29)
Вычисляя производную ФЛ согласно уравнению (12), получаем
02( ) ( ) 2( ) ( )[ ( ) ]T T
C S S SV B S . (30)
Выбрав «управление» (требуемое значение угловой скорости КА)
( ) :C C
1
0
1( ) ( ) ( )( )
2C SS B , (31)
где 0 — регулируемый параметр, из (30) с учетом (29) получим
1 1( ) ( ) 0T
C S S CV V . (32)
Согласно [24, 25] из соотношений (29) и (32) следует, что ( ) 0St
при t .
Для нахождения управляющего момента, обеспечивающего получение тре-
буемого значения угловой скорости КА ,C выберем динамическую ФЛ:
0,5( ) ( ),T
d C CV (33)
производная которой в силу уравнения Эйлера (28) имеет вид
1( ) [ ( ) ]T
d C C g CV J M M J . (34)
Полагая в (34) управляющий момент
1 ( )C g C CM M J J J (35)
и учитывая (33), получаем
11 ( ) ( ) 0.T
d C C dV V (36)
Из соотношений (33) и (36) следует, что «управление» стремится к требуе-
мому значению ( ) 0.Ct
Для завершения решения задачи осталось найти формулу для вычисления
слагаемого c в выражении (35) для момента .CM Из формулы (31) последова-
тельно получаем
1 1
0
1 1( ) ( )( ) ( ) ,
2 2C SS B B
1
0 0
1 1( ) ( )( ) [ ( ) ].
2 2C SS B S
Учитывая обобщенное уравнение Пуассона [6] для производной матрицы на-
правляющих косинусов, которое в принятых здесь обозначениях имеет вид
0( ) ( ) ( )S S S , получаем
1
0 0 0
1 1[ ( ) ( ) ] ( )( ) [ ( ) ]
2 2C SS S B S ,
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2021, № 5 133
1
0 0
1 1( ) ( )( ) [ ( ) ]
2 2C SS B S . (37)
Воспользовавшись формулой (11), для производной матрицы
1
cos 0 sin cos
( ) 0 1 sin
sin 0 cos cos
B
последовательно получаем:
1
1 1 2 2( ) ( ) ( ),T TB e A e A
1
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )B A A , 0( ) ( )[ ( ) ]T
J Je B S , (38)
где 1
0 0 sin sin
( ) 0 0 cos ,
0 0 cos sin
A 2
sin 0 cos cos
( ) 0 0 0
cos 0 sin cos
A .
Подводя итоги, заметим, что в результате получения формулы (38) с учетом
формул (10) для матрицы ( )S , (31), (35) и (37) завершено решение задачи син-
теза управляющего момента ( , , )C SM , т.е. решение поставленной задачи 1.
При этом если в формуле (35) для момента CM пренебречь производной ,C
то из уравнения Эйлера (28) получится уравнение устойчивого векторного апе-
риодического звена: C . Оно же получается из уравнений 0,d dV V
C C (см. (33), (36)), если 0C . Это уравнение с точностью до
принятых здесь определений и обозначений совпадает с уравнением (5) из [26],
в которой исследуются алгоритмы управления ориентаций силовыми гироскопа-
ми орбитального комплекса «Мир».
Постановка задачи 2. Пусть угловое движение КА описывается кинемати-
ческими уравнениями в параметрах Родрига (19)–(21) и динамическим уравнени-
ем Эйлера (28).
Поставим задачу синтеза управления ( , , )C SM q q такого, что при произ-
вольном начальном состоянии 0 0( ), ( )q t t реализуется достижение и стабилиза-
ция произвольной заданной ориентации ( ) ) 0Sq t q и ( ) 0St при
t . Под символом 0( )S SS q понимается установившееся значение угло-
вой скорости КА, соответствующее его заданной постоянной ориентации
( ) Sq t q , при которой в уравнении (19) ( ) 0.Sq t q
Решение задачи 2. Для решения задачи воспользуемся методом ее декомпо-
зииции на кинематическую и динамическую задачи ориентации и выберем кине-
матическую ФЛ в виде
( ) ( ).T
C S SV q q q q (39)
Вычисляя производную этой функции согласно уравнению (19), получаем
02( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ]T T
C S S SV q q q q q q B q S q . (40)
Выбрав «управление» (требуемое значение угловой скорости КА)
( ) :C C q
134 ISSN 1028-0979
1
0
1( ) ( )( ),C SS q B q q q (41)
получим
11 ( ) ( ) 0.T
C S S CV q q q q V (42)
Для нахождения управляющего момента, обеспечивающего получение тре-
буемого значения угловой скорости КА, выберем динамическую ФЛ
0,5( ) ( ),T
d C CV (43)
производная которой в силу уравнения Эйлера (28) имеет вид:
1( ) [ ( ) ]T
d C C g CV J M M J . (44)
Полагая в (44) управляющий момент
1 ( ),C g C CM M J J J (45)
получаем
11 ( ) ( ) 0.T
d C C dV V (46)
Из уравнений (39)–(46) следует, что при выборе управляющего момента CM
в виде (45) угловая скорость КА ( ) 0Ct и выполняется соотношение
( ) 0Sq t q в постановке задачи. Для реализации требуемого значения мо-
мента CM осталось найти требуемое значение C в формуле (45).
В результате дифференцирования выражения для C в уравнении (41) с уче-
том обобщенного уравнения Пуассона [6] для производной матрицы направляю-
щих косинусов, имеющего в используемых здесь обозначениях вид
0 ,S S S и уравнения (19) последовательно получаем
1 1 1 1
0( ) ( )( ) ( ) ,C SS q B q q q B q q
1 1 1
0 0 0[ ( ) ( ) ] ( )( ) 0,5 [ ( ) ],C SS q S q B q q q S q
1
0 0
1 1( ) ( )( ) [ ( ) ].
2C SS q B q q q S q (47)
Воспользовавшись известной формулой для производной обратной матрицы
1 1 1A A AA и формулой (20), находим
1 1 1
3 32
1( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
(1 )
T T
TB q B q B q B q I q q qq qq I q
q q
, (48)
где
3 2
3 1
2 1
0
0
0
q q
q q q
q q
, T
J Jq e q , 1 2 3(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1),T T Te e e
и значения q определяются в правой части уравнения (19). Подставив значение C
из (47) и (48) в (45), получаем формулу для требуемого управляющего механиче-
ского момента CM , завершающую решение задачи 2.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2021, № 5 135
Результаты выполнения вычислительных экспериментов, иллюстрирующих
работоспособность полученных алгоритмов, приведены в приложении.
Приложение. Выше была решена задача синтеза алгоритма стабилизации за-
данного постоянного значения вектора параметров ориентации .S Рассмотрим
на конкретном примере возможность формального применения использованного
метода декомпозиции для решения задачи отслеживания заданного программного
значения параметров ориентации, т.е. синтеза управления CM такого, что
( ) 0St при ,t где ( )S S t — заданная программа изменения
ориентации. Заметим, что проблемы повышения точности управления КА по от-
слеживанию заданной программы ориентаци являются актуальными в задачах
маршрутной съемки поверхности Земли, выполнения стыковки с некооперируе-
мыми КА и т.д. В целях иллюстрации универсальности предлагаемых алгоритмов
рассмотрим случай ориентации относительно инерциальной СК, полагая
в (12) 0 0. Для решения задачи формально воспользуемся изложенным выше
методом декомпозиции решения синтеза управления КА из условия его заданной
постоянной ориентации. Выберем для этого аналог кинематической ФЛ в виде
0,5( ) ( ),T
C S SV (П.1)
производная которой с учетом вышесказанного имеет вид
( ) ( ( ) )T
C S SV B . (П.2)
Полагая в (П.2) «управление» C , где
1 1( )[ 0,5 ( )]C S SB , (П.3)
получим
10,5 ( ) ( )T
C S SV , 1 0C CV V .
Для получения реального механического управляющего момента CM , необ-
ходимого для реализации требуемого значения угловой скорости C , выбе-
рем «динамическую» ФЛ в виде
0,5( ) ( )T
d C CV J . (П.4)
Дифференцируя ФЛ (П.4) в силу уравнения Эйлера (28), находим
( ) ( )T
d C C g CV M M J J . (П.5)
Полагая в (П.5) управляющий момент
1 ( )C g C CM M J J J , (П.6)
с учетом (П.4) получим
1 0.d dV V (П.7)
Из (П.7), (П.4) непосредственно следует, что 0C J при t ,
а следовательно, убывает и ФЛ (П.1).
Для завершения решения задачи найдем значение производной C , входя-
щей в формулу для управляющего момента CM в (П.6). В результате дифферен-
цирования (П.3), опуская громоздкие простые преобразования, находим
136 ISSN 1028-0979
1 1 1 1 1( )[ 0,5 ( )] ( )[ 0,5 ] 0,5C S S S SB B , (П.8)
где
1
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ),B A A
( ) ( ) ,T
j je B 1 (1, 0, 0)Te , 1 (0, 1, 0),Te
1
0 0 sin sin
( ) 0 0 cos
0 0 cos sin
A , 2
sin 0 cos cos
( ) 0 0 0 .
cos 0 sin cos
A
Проиллюстрируем работоспособность приведенного алгоритма на примере от-
слеживания программы ( )S t изменения ориентации КА относительно инерци-
альной СК ( 0 в уравнении (12) полагаем равным нулю 0 (0, 0, 0)T ). Положим
( )
( ) ( ) cos ,
( ) sin
S
S S
S
At
t t A t
t A t
где 5 , 25A A , 15A ; 2 2, , 200 , 100T c T c
T T
.
Для построения графиков ( )t отслеживания программы ( )S t интегриро-
валась численным методом Рунге-Кутта система уравнений, состоящая из кинема-
тических уравнений (12) при 0 (0, 0, 0)T , динамического уравнения Эйлера (28)
при 3J I . Управляющий момент CM в уравнении Эйлера формировался по
формулам (П3) и (П.6) с параметром 0,5 с. При этом, следуя [24], слагаемое CJ
в (П.6) не учитывалось, т.е. применялся приближенный алгоритм с (0,0,0)TC
и без использования громоздких формул (47), (48). При выполнении интегриро-
вания все начальные условия при 0 0t полагались нулевыми 0( ) (0,0,0)Tt ,
0( ) (0,0,0) .Tt На рис. 4 графики иллюстрируют эффективность предложенного
преднамеренно упрощенного (с (0,0,0)TC ) алгоритма отслеживания. На рис. 5
переходный процесс установления отслеживания КА заданной программы пред-
ставлен в укрупненном масштабе.
0
0,1
0,5
0,4
0,3
0,2
0
100 150
( )t
0 35
50
– 0,5
– 0,4
– 0,3
– 0,2
– 0,1
( )t
0 35
( )t
0 35
Рис. 4
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2021, № 5 137
0
0,2
0,4
0,3
0,1
0
7 10
( )t
0 35
5 6432 1
( )t
0 35
( )t
0 35
98
Рис. 5
Заключение
Предложена общая структура уравнений математической модели (ММ) эво-
люции ориентации, жестко связанной с твердым телом (космическим аппаратом)
системы координат (ССК) относительно опорной системы координат (ОСК),
вращающейся с произвольной угловой скоростью, заданной проекциями на ее оси.
В качестве параметров ориентации используются углы Эйлера–Крылова, компо-
ненты нормированного кватерниона (параметры Родрига-Гамильтона), параметры
Родрига, модифицированные параметры Родрига. Предложен конструктивный
единый для использования всех моделей метод синтеза управления стабилизации
заданной ориентации ССК. Метод основан на декомпозиции общей задачи на ки-
нематическую и динамическую задачи ориентации и использовании соответст-
вующих функций Ляпунова для их решения. С помощью компьютерного модели-
рования проиллюстрировано свойство структурной грубости алгоритма в смысле
Андронова–Понтрягина [27–29], а именно: на конкретном примере проиллюст-
рировано свойство даже преднамеренно структурно упрощенного полученного
алгоритма стабилизации заданной постоянной ориентации твердого тела для
достаточно точного отслеживания программы ее изменения.
В.В. Волосов, В.М. Шевченко
МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ КУТОВОГО РУХУ
КОСМІЧНИХ АПАРАТІВ ТА ЇХ ВИКОРИСТАННЯ
В ЗАДАЧАХ КЕРУВАННЯ ОРІЄНТАЦІЄЮ
Запропоновано загальну структуру кінематичних рівнянь еволюції орієнтації
космічного апарата (КА) (системи координат, зв'язаної з КА (ЗСК)) щодо опор-
ної системи координат (ОСК). Передбачається, що початки систем координат
збігаються й розташовані в довільній точці КА. Кожна із систем координат
обертається з довільною абсолютною кутовою швидкістю (швидкістю відносно
інерціального простору), заданою проекціями на їхні осі. Як параметри орієн-
тації можуть використовуватися кути Ейлера-Крилова, параметри Родріга-
Гамільтона, модифіковані параметри Родрига. Показано, що відомі представ-
лення рівнянь еволюції орієнтації ССК відносно ОСК у параметрах Родрига-
Гамільтона (компонентах нормованих кватерніонів) можуть бути отримані із
розв'язку задачі Н.П. Єругіна — відшукання всієї множини диференціальних
рівнянь, що мають заданий інтеграл руху. Відмічено переваги й недоліки вико-
ристання кожного з зазначених параметрів орієнтації. Запропоновано загальний
138 ISSN 1028-0979
для всіх цих рівнянь метод синтезу керування орієнтацією, заснований на де-
композиції вихідної задачі на кінематичну й динамічну задачі й використанні
відомих узагальнень прямого методу Ляпунова для їхнього розв'язку. За допо-
могою комп'ютерного моделювання проілюстровано властивість структурної
грубості в сенсі О.О. Андронова–Л.С. Понтрягина одержаного алгоритму.
А саме, на конкретному прикладі проілюстровано властивість навіть навмисно
структурно спрощеного алгоритму стабілізації заданої постійної орієнтації КА
з достатньою точністю відслідковувати програму її зміни. Задача спостережен-
ня є типовою в керуванні стиковкою КА, спуском КА з орбіти, виконання мар-
шрутних зйомок поверхні Землі.
Ключові слова: космічний апарат, параметри орієнтації й рівняння їх еволюції,
кінематична й динамічна задачі керування орієнтацією, синтез стабілізуючого
керування, відстеження програми зміни орієнтації.
V.V. Volosov, V.N. Shevchenko
MATHEMATICAL MODELS OF ANGULAR MOTION
OF SPACE VEHICLES AND THEIR USE IN
ORIENTATION CONTROL PROBLEMS
A general structure of the kinematic equations for attitude evolution of a spacecraft
(SC) (coordinate system associated with a spacecraft (SCS)) relative to the reference
coordinate system (RCS) is proposed. It is assumed that the origins of the coordinate
systems coincide and are located at an arbitrary point of the spacecraft. Each of the
coordinate systems rotates at an arbitrary absolute angular velocity (relative to the in-
ertial space) specified by the projections on their axes. Attitude parameters can be the
Euler–Krylov angles, Rodrigues–Hamilton parameters, and modified Rodrigues pa-
rameters. It is shown that the well-known representations of the attitude evolution
equations of the SCS relative to the RCS using the Rodrigues-Hamilton parameters
(components of normalized quaternions) can be simply obtained from the solution of
the Erugin problem of finding the entire set of differential equations with a given in-
tegral of motion. The advantages and disadvantages of use for each of the specified
attitude parameters are considered. A method of attitude control synthesis is proposed
which is common for all these equations and based on the decomposition of the
original problem into kinematic and dynamic ones and the use of well-known gener-
alizations of the direct Lyapunov method for their solution. The property of structural
roughness according to Andronov–Pontryagin [27–29] of the obtained algorithm is il-
lustrated with the help of computer simulation. Particularly, a specific example illus-
trates the possibility for even a structurally simplified algorithm of stabilizing a
specified constant spacecraft attitude to track the program of its change with suffi-
cient accuracy. The tracking task is typical for the control of spacecraft docking,
spacecraft de-orbiting, and performing route surveys of the Earth's surface.
Keywords: Keywords: spacecraft, attitude parameters and equations of their
evolution, kinematic and dynamic problems of attitude control, synthesis of
stabilizing control, tracking the attitude change program.
1. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого
тела. М.: Наука, 1973. 320 с.
2. Кошляков В.Н. Задачи динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов. М.:
Наука, 1985. 288 с.
3. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 2. Динамика системы матери-
альных точек. М.: Наука, 1969. 332 с.
4. Челноков Ю.Н. Кватернионные модели и методы динамики, навигации и управления дви-
жением. М.: Физматлит, 2011. 560 с.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2021, № 5 139
5. Голубев Ю.Ф. Алгебра кватернионов в кинематике твердого тела. Препринты ИПМ
им. М.В.Келдыша. 2013. № 39. 23 с.
6. Кузовков Н.Т., Салычев О.С. Инерциальная навигация и оптимальная фильтрация. М.:
Машиностроение. 1982. 216 с.
7. Schaub H., Junkins J. Analytical mechanics of space systems, AIAA Education Series, 4th Edi-
tion, Reston, VA, 2018. doi:10.2514/4.105210_2009.
8. Shuster M.D. A survey of attitude representation. The Journal of the Astronautical Sciences.
1993. 41. N 4. P. 439–517.
9. Сомов Е.И., Бутырин С.А.Наведение и управление свободнолетающим роботом при за-
вершении сближения с пассивным объектом в дальнем космосе. Известия Самарского на-
учного центра Российской академии наук, 2017. 19, № 4. C. 81–90.
10. Сомов Е.И., Бутырин С.А. Экономичные способы обеспечения высокой информативности
землеобзора при гиросиловом наведении космических аппаратов. Известия Самарского
научного центра Российской академии наук, 2009. 11, № 3, С.141–152.
11. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М.: Мир, 1990. 292 с.
12. Волосов В.В., Тютюнник Л.И. Синтез законов управления ориентацией космического
аппарата с использованием кватернионов. Космічна наука та технологія. 1999. 5. № 4.
С. 61–69.
13. Volosov V.V., Kutsenko I.A., Selivanov Y.A. Development and investigation of the robust algo-
rithms of ellipsoidal estimation of the inertia characteristics of a spacecraft controlled by powered
gyroscopes Journal of Automation and Information Sciences. 2005. 37, № 8. Р. 44–57.
DOI: 10.1615/J Automat Inf Scien.v37.i8.50.
14. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск :
Наука и техника. 1979. 744 с.
15. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320с.
16. Volosov V.V., Shevchenko V.N. Synthesis of algorithms for spacecraft attitude control based on
generalizations of the direct Lyapunov method. Journal of Automation and Information Sciences.
2017. 49, № 9. P. 29–41. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i9.30.
17. Раушенбах Б.В., Токарь Е.Н. Управление ориентацией космических аппаратов. М.: Наука,
1974. 600 с.
18. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Справочное руководство по
небесной механике и астродинамике. Изд. 2–е. М. : Наука. 1971. 584 с.
19. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.:
Изд. МГУ им. М.В.Ломоносова. 1975. 308 с.
20. Лебедев Д.В., Ткаченко А.И., Штепа Ю.П. Магнитная система управления угловым движе-
нием микроспутника. Космічна наука і технологія. 1996. 2. № 5–6. С. 17–25.
21. Onishchenko S.M. Optimal Stabilization of the Earth Artificial Satellite with Redundant System
of Fly-Wheels. Journal of Automation and Information Sciences. 2017. 48, № 12. P. 1–12. DOI:
10.1615/JAutomatInfScien.v48.i12.10.
22. Volosov V.V. Attitude Control of a Spacecraft in the Orbital Coordinate System Using
Ellipsoidal Estimates of its State Vector. Journal of Automation and Information Sciences. 1999.
31, № 4–5. P. 24–32. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v31.i4-5.230.
23. Волосов В.В., Шевченко В.Н. Синтез алгоритмов управления ориентацией космического
аппарата на основе обобщений прямого метода Ляпунова. Международный научно-
технический журнал «Проблемы управления и информатики». 2017. № 5. С. 106–117.
24. Красовский Н.Н. Некоторые задачи об устойчивости движения. М.: Физматгиз. 1959. 211 с.
25. Зубов В.И. Устойчивость движения. Методы Ляпунова и их применение. М.: Высшая шко-
ла. 1973. 272 с.
26. Сарычев В.А., Беляев М.Ю., Зыков С.Г., Сазонов В.В., Тесленко В.П. Математическое мо-
делирование эйлеровых разворотов орбитального комплекса «Мир» гиродинами. Космиче-
ские исследования. 1991. 29, № 4. С. 532–543.
27. Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы. Докл. АН СССР. 1937. 34. № 5. С. 247–250.
28. Неймарк Ю.И. Динамическая система как основная модель современной науки. Автома-
тика и телемеханика. 1999. № 3. С. 196–201.
29. Оморов Р.О. Топологическая грубость динамических систем. XIII Всероссийское совеща-
ние по проблемам управления ВСПУ-2019, Москва 17–20 июня 2019. С. 243–246.
Получено 14.07.2021
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-209010 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:21:41Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Волосов, В.В. Шевченко, В.Н. 2025-11-10T17:56:39Z 2021 Математические модели углового движения космических аппаратов и их использование в задачах управления ориентацией / В.В. Волосов, В.Н. Шевченко // Проблемы управления и информатики. — 2021. — № 5. — С. 124-139. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209010 629.7.05 10.34229/1028-0979-2021-5-10 Запропоновано загальну структуру кінематичних рівнянь еволюції орієнтації космічного апарата (КА) (системи координат, зв'язаної з КА (ЗСК)) щодо опорної системи координат (ОСК). Передбачається, що початки систем координат збігаються й розташовані в довільній точці КА. Кожна із систем координат обертається з довільною абсолютною кутовою швидкістю (швидкістю відносно інерціального простору), заданою проекціями на їхні осі. Як параметри орієнтації можуть використовуватися кути Ейлера-Крилова, параметри Родріга-Гамільтона, модифіковані параметри Родрига. Показано, що відомі представлення рівнянь еволюції орієнтації ССК відносно ОСК у параметрах Родрига-Гамільтона (компонентах нормованих кватерніонів) можуть бути отримані із розв'язку задачі Н.П. Єругіна — відшукання всієї множини диференціальних рівнянь, що мають заданий інтеграл руху. Відмічено переваги й недоліки використання кожного з зазначених параметрів орієнтації. Запропоновано загальний для всіх цих рівнянь метод синтезу керування орієнтацією, заснований на декомпозиції вихідної задачі на кінематичну й динамічну задачі й використанні відомих узагальнень прямого методу Ляпунова для їхнього розв'язку. За допомогою комп'ютерного моделювання проілюстровано властивість структурної грубості в сенсі О.О. Андронова–Л.С. Понтрягина одержаного алгоритму. А саме, на конкретному прикладі проілюстровано властивість навіть навмисно структурно спрощеного алгоритму стабілізації заданої постійної орієнтації КА з достатньою точністю відслідковувати програму її зміни. Задача спостереження є типовою в керуванні стиковкою КА, спуском КА з орбіти, виконання маршрутних зйомок поверхні Землі. A general structure of the kinematic equations for attitude evolution of a spacecraft (SC) (coordinate system associated with a spacecraft (SCS)) relative to the reference coordinate system (RCS) is proposed. It is assumed that the origins of the coordinate systems coincide and are located at an arbitrary point of the spacecraft. Each of the coordinate systems rotates at an arbitrary absolute angular velocity (relative to the inertial space) specified by the projections on their axes. Attitude parameters can be the Euler–Krylov angles, Rodrigues–Hamilton parameters, and modified Rodrigues parameters. It is shown that the well-known representations of the attitude evolution equations of the SCS relative to the RCS using the Rodrigues-Hamilton parameters (components of normalized quaternions) can be simply obtained from the solution of the Erugin problem of finding the entire set of differential equations with a given integral of motion. The advantages and disadvantages of use for each of the specified attitude parameters are considered. A method of attitude control synthesis is proposed which is common for all these equations and based on the decomposition of the original problem into kinematic and dynamic ones and the use of well-known generalizations of the direct Lyapunov method for their solution. The property of structural roughness according to Andronov–Pontryagin [27–29] of the obtained algorithm is illustrated with the help of computer simulation. Particularly, a specific example illustrates the possibility for even a structurally simplified algorithm of stabilizing a specified constant spacecraft attitude to track the program of its change with sufficient accuracy. The tracking task is typical for the control of spacecraft docking, spacecraft de-orbiting, and performing route surveys of the Earth's surface. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Космические информационные технологии и системы Математические модели углового движения космических аппаратов и их использование в задачах управления ориентацией Математичні моделі кутового руху космічних апаратів та їх використання в задачах керування орієнтацією Mathematical models of angular motion of spacecraft and their use in orientation control problems Article published earlier |
| spellingShingle | Математические модели углового движения космических аппаратов и их использование в задачах управления ориентацией Волосов, В.В. Шевченко, В.Н. Космические информационные технологии и системы |
| title | Математические модели углового движения космических аппаратов и их использование в задачах управления ориентацией |
| title_alt | Математичні моделі кутового руху космічних апаратів та їх використання в задачах керування орієнтацією Mathematical models of angular motion of spacecraft and their use in orientation control problems |
| title_full | Математические модели углового движения космических аппаратов и их использование в задачах управления ориентацией |
| title_fullStr | Математические модели углового движения космических аппаратов и их использование в задачах управления ориентацией |
| title_full_unstemmed | Математические модели углового движения космических аппаратов и их использование в задачах управления ориентацией |
| title_short | Математические модели углового движения космических аппаратов и их использование в задачах управления ориентацией |
| title_sort | математические модели углового движения космических аппаратов и их использование в задачах управления ориентацией |
| topic | Космические информационные технологии и системы |
| topic_facet | Космические информационные технологии и системы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209010 |
| work_keys_str_mv | AT volosovvv matematičeskiemodeliuglovogodviženiâkosmičeskihapparatoviihispolʹzovanievzadačahupravleniâorientaciei AT ševčenkovn matematičeskiemodeliuglovogodviženiâkosmičeskihapparatoviihispolʹzovanievzadačahupravleniâorientaciei AT volosovvv matematičnímodelíkutovogoruhukosmíčnihaparatívtaíhvikoristannâvzadačahkeruvannâoríêntacíêû AT ševčenkovn matematičnímodelíkutovogoruhukosmíčnihaparatívtaíhvikoristannâvzadačahkeruvannâoríêntacíêû AT volosovvv mathematicalmodelsofangularmotionofspacecraftandtheiruseinorientationcontrolproblems AT ševčenkovn mathematicalmodelsofangularmotionofspacecraftandtheiruseinorientationcontrolproblems |