Факторы и уровни при планировании эксперимента, эффективный выбор с учетом ограничений

Досліджується задача планування експерименту з ресурсними обмеженнями. Для складної системи, призначеної до експериментального дослідження, перед тим як використовувати відомі розвинені методи факторного планування експерименту, потрібно попередньо створити спрощену математичну модель, що представля...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2021
1. Verfasser:	Смирнов, С.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2021
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Исследование операций и системный анализ
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209052
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Факторы и уровни при планировании эксперимента, эффективный выбор с учетом ограничений / С.А. Смирнов // Проблемы управления и информатики. — 2021. — № 6. — С. 122-128. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-209052
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2090522025-11-13T01:07:13Z Факторы и уровни при планировании эксперимента, эффективный выбор с учетом ограничений Фактори і рівні при плануванні експерименту, ефективний вибір з урахуванням обмежень Factors and levels in experimental design, effective selection considering constraints Смирнов, С.А. Исследование операций и системный анализ Досліджується задача планування експерименту з ресурсними обмеженнями. Для складної системи, призначеної до експериментального дослідження, перед тим як використовувати відомі розвинені методи факторного планування експерименту, потрібно попередньо створити спрощену математичну модель, що представляє неповний скорочений опис системи. При цьому спрощенні із всіх об’єктивно існуючих незалежних параметрів системи залишаються лише найбільш значимі, що є вимушеною процедурою внаслідок природних обмежень ресурсів, подібних для виконання експериментального дослідження. Ті ж самі обмеження лімітують і число значень, що призначають кожному з параметрів (рівні факторів). Стаття присвячена модифікації існуючого методу дискретизації такої моделі з раціональним вибором параметрів дискретизації відповідно до існуючих обмежень, однак з вкрай ненадійною щодо збіжності ітераційною процедурою розв’язання. Головні ідеї модифікованого підходу наступні: 1) вибір числа рівнів факторів пропорційно значимості відповідних параметрів та зведення задачі до пошуку нерухомої точки (як у відомому методі); 2) розбиття за ймовірністю (замість розбиття на інтервали рівної довжини) для дискретизації та вибору представницьких значень параметру, що дозволяє знайти точний простий вираз для його ентропії Шенона; 3) перехід від багато- до однопараметричного (коефіцієнт пропорційності як показник параметризації) представлення нелінійного відображення, його декомпозиція і спрощення ітераційного процесу; 4) знаходження початкового значення коефіцієнту пропорційності за фактором з середньою релевантністю і розрахунки для інших факторів з подальшим ітераційним уточненням. Ітераційний процес гарантовано збігається, бо розгляд малих і великих значень скалярного параметру дозволяє використати теорему з проміжним значенням неперервної функції. Далі на основі розробленої процедури розв’язано дві задачі про призначення числа рівнів факторів для ситуацій з малим та великим ресурсним обмеженням, вказані відповідні ускладнення у розрахунках та способи їх подолання. The problem of design of experiment with resource constraints is investigated. For a complex system intended for experimental research, before using the well known advanced methods of factorial design, you must first create a simplified mathematical model that represents an incomplete abbreviated description of the system. At the same time, on this simplification from all objectively existing independent parameters of the system remain only the most important parameters, which is a forced procedure due to the natural limitations of the resources available to perform the experimental study. The same constraints limit the number of values assigned to each of the parameters (factor levels number). The article is devoted to the modification of the existing method of discretization of such a model with a rational choice of discretization parameters in accordance with the existing limitations, but with an extremely unreliable in terms of convergence iterative solution procedure. The main ideas of the modified approach are as follows: 0) The choice of the number of levels of factors is proportional to the importance of the relevant parameters and the reduction to the problem of finding a fixed point (as in the known method). 1) Probability partition (instead of partition into equal length intervals) for discretization and selection of representative values of the parameter, which allows to find an exact simple expression for its Shannon entropy. 2) Transition from multi- to one-parameter (coefficient of proportionality as an indicator of parameterization) representation of nonlinear mapping, its decomposition and simplification of the iterative process. 3) Finding the initial value of the coefficient of proportionality for a factor with average relevance and calculations for other factors, followed by iterative refinement. The iterative process is guaranteed to coincide, because the consideration of small and large values of the scalar parameter allows us to use the theorem on the intermediate value of a continuous function. Then, with the help of the developed procedure, two tasks on the assignment of the number of factor levels for situations with small and large resource constraints are solved, the corresponding complications in the calculations and ways to overcome them are indicated. 2021 Article Факторы и уровни при планировании эксперимента, эффективный выбор с учетом ограничений / С.А. Смирнов // Проблемы управления и информатики. — 2021. — № 6. — С. 122-128. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209052 519.6:658.5 10.34229/1028-0979-2021-6-12 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Исследование операций и системный анализ Исследование операций и системный анализ
spellingShingle	Исследование операций и системный анализ Исследование операций и системный анализ Смирнов, С.А. Факторы и уровни при планировании эксперимента, эффективный выбор с учетом ограничений Проблемы управления и информатики
description	Досліджується задача планування експерименту з ресурсними обмеженнями. Для складної системи, призначеної до експериментального дослідження, перед тим як використовувати відомі розвинені методи факторного планування експерименту, потрібно попередньо створити спрощену математичну модель, що представляє неповний скорочений опис системи. При цьому спрощенні із всіх об’єктивно існуючих незалежних параметрів системи залишаються лише найбільш значимі, що є вимушеною процедурою внаслідок природних обмежень ресурсів, подібних для виконання експериментального дослідження. Ті ж самі обмеження лімітують і число значень, що призначають кожному з параметрів (рівні факторів). Стаття присвячена модифікації існуючого методу дискретизації такої моделі з раціональним вибором параметрів дискретизації відповідно до існуючих обмежень, однак з вкрай ненадійною щодо збіжності ітераційною процедурою розв’язання. Головні ідеї модифікованого підходу наступні: 1) вибір числа рівнів факторів пропорційно значимості відповідних параметрів та зведення задачі до пошуку нерухомої точки (як у відомому методі); 2) розбиття за ймовірністю (замість розбиття на інтервали рівної довжини) для дискретизації та вибору представницьких значень параметру, що дозволяє знайти точний простий вираз для його ентропії Шенона; 3) перехід від багато- до однопараметричного (коефіцієнт пропорційності як показник параметризації) представлення нелінійного відображення, його декомпозиція і спрощення ітераційного процесу; 4) знаходження початкового значення коефіцієнту пропорційності за фактором з середньою релевантністю і розрахунки для інших факторів з подальшим ітераційним уточненням. Ітераційний процес гарантовано збігається, бо розгляд малих і великих значень скалярного параметру дозволяє використати теорему з проміжним значенням неперервної функції. Далі на основі розробленої процедури розв’язано дві задачі про призначення числа рівнів факторів для ситуацій з малим та великим ресурсним обмеженням, вказані відповідні ускладнення у розрахунках та способи їх подолання.
format	Article
author	Смирнов, С.А.
author_facet	Смирнов, С.А.
author_sort	Смирнов, С.А.
title	Факторы и уровни при планировании эксперимента, эффективный выбор с учетом ограничений
title_short	Факторы и уровни при планировании эксперимента, эффективный выбор с учетом ограничений
title_full	Факторы и уровни при планировании эксперимента, эффективный выбор с учетом ограничений
title_fullStr	Факторы и уровни при планировании эксперимента, эффективный выбор с учетом ограничений
title_full_unstemmed	Факторы и уровни при планировании эксперимента, эффективный выбор с учетом ограничений
title_sort	факторы и уровни при планировании эксперимента, эффективный выбор с учетом ограничений
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2021
topic_facet	Исследование операций и системный анализ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209052
citation_txt	Факторы и уровни при планировании эксперимента, эффективный выбор с учетом ограничений / С.А. Смирнов // Проблемы управления и информатики. — 2021. — № 6. — С. 122-128. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT smirnovsa faktoryiurovnipriplanirovaniiéksperimentaéffektivnyivyborsučetomograničenii AT smirnovsa faktoriírívnípriplanuvanníeksperimentuefektivniivibírzurahuvannâmobmeženʹ AT smirnovsa factorsandlevelsinexperimentaldesigneffectiveselectionconsideringconstraints
first_indexed	2025-11-30T20:02:07Z
last_indexed	2025-11-30T20:02:07Z
_version_	1850246884113776640
fulltext	© С.А. СМИРНОВ, 2021 122 ISSN 1028-0979 УДК 519.6:658.5 С.А. Смирнов ФАКТОРЫ И УРОВНИ ПРИ ПЛАНИРОВАНИИ ЭКСПЕРИМЕНТА, ЭФФЕКТИВНЫЙ ВЫБОР С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЙ Ключевые слова: планирование эксперимента, уровни факторов, редукция модели, значимость параметра, энтропия параметра, дискретизация по вероят- ности, одномеризация. Введение При планировании эксперимента один из важнейших этапов, предопределяющих эффективность его проведения, — это выбор наиболее значимых параметров ситуа- ции в качестве факторов и, самое главное, выбор числа и значений для уровней этих факторов. В теории планирования эксперимента эти вопросы оказались на периферии внимания, по-видимому, по причинам исторического характера — в прикладных за- дачах, стимулировавших такие исследования, они не особо содержательны. Однако с развитием технических и компьютерных возможностей они естественным образом появляются и важность их растет. Для множества допустимых значений каждого фак- тора разумно использовать разбиение его на непересекающиеся подмножества, цели- ком его покрывающие, а в качестве уровня фактора выбирать одно представительное значение для каждого подмножества — элемента разбиения. При этом естественно возникает вопрос эффективного выбора как самого разбиения, так и соответствую- щих представительных значений. Любое реальное экспериментальное исследование может проводится ограниченное количество раз, поэтому возникают ограничения и на число представительных значений для изменяющихся параметров в изучаемой си- стеме. Отсюда ясно, что одна из важнейших задач планирования факторного экспе- римента — корректный и эффективный выбор представительных значений (уровней) для выбранных параметров (факторов) эксперимента. Таким образом, для сложной системы, подвергаемой экспериментальному исследованию, прежде чем применять весьма развитые методы планирования факторного эксперимента [1], предварительно приходится строить упрощенные математические модели, основанные на ее неполных сокращенных описаниях. При этом используются не все объективно существующие независимые перемен- ные системы, а лишь наиболее значимые — это вынужденная мера вследствие естественных ограничений ресурсов, выделяемых на экспериментальное исследо- вание. Эти же ограничения лимитируют и число значений, принимаемых каждым из параметров. Формализацию такого рода проблем с акцентом на моделирование ситуаций принятия решений можно найти в [2]. Метод Хансела Среди методов формирования упрощенных дискретизированных моделей сложных систем выделяется метод Хансела [3], основанный на идее назначения числа представительных значений всем параметрам пропорционально их значи- мости Nl = kZl. Под значимостью Zl l-го независимого параметра понимается про- изведение его релевантности на энтропию: Zl = Rl Нl. Чем более значимым оказы- вается параметр, тем большее число уровней выделяется ему как фактору экспе- римента. Релевантность Rl представляет оценку степени влияния значений параметра на результат и определяется как отношение разброса значений наблюдаемой ве- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2021, № 6 123 личины (результата эксперимента) для различных значений этого параметра к его среднему значению при фиксированных номинальных значениях других парамет- ров. Релевантность характеризует влиятельность отдельного параметра и обычно нормируется по всем параметрам, т.е. представляет собой весовой коэффициент сравнительной влиятельности этого параметра. Для вычисления релевантности нужно знать (или установить экспериментально) зависимость наблюдаемой вели- чины от всех независимых параметров (факторов) модели. Далее значения реле- вантностей для всех параметров считаются известными. Энтропия l-го независимого параметра Нl — это мера неопределенности за- дания его значений (уровней фактора), для переменной величины, конечно же, их должно быть несколько. Подходящая метрика для энтропии дается формулой Шеннона для соответствующего количества информации: Нl(Nl, Рj) = – ΣjРjln(Рj), где Nl — число уровней l-й переменной, а Рj — вероятность реализации j-го уров- ня этой переменной. Энтропия характеризирует информационную сложность за- дания соответствующей дискретной переменной. Непрерывные переменные предварительно дискретизируются выбранными значениями уровней (представи- тельными значениями соответствующих подмножеств разбиения). Таким образом, более значимыми будут те переменные, изменение которых оказывает большее влияние на результат наблюдений (показатель — реле- вантность), и которые сложнее организованы в информационном смысле (по- казатель — энтропия). Действительно, разумно считать, что более значимые па- раметры при планировании эксперимента следует наделять большим числом уровней для более глубокого исследования их влияний. При этом нужно учитывать, что 1 L l l N N   — определяемое ресурсными ограничениями число, отвечающее полному набору всех возможных сочетаний уровней всех факторов и характеризующее комбинаторный размер дискретной модели. Очевидно, что N — объем испытаний для соответствующего полного факторного эксперимента (ПФЭ), сложность других типов ФЭ не превышает его и определяется известными зависимостями от N. Таким образом, ресурсные ограничения для эксперимента выбранного типа позволяют найти верхнюю оценку для N, считающуюся известной. Поскольку значимость параметра представляется как произведение его реле- вантности на энтропию, а энтропия зависит от того же числа значений Nl, сам набор чисел Nl можно искать как неподвижную точку многомерного отображения L-мерного пространства в себя: Nl = kRlНl (Nl, Рj), 1 ≤ l ≤ L. В. Хансел рассмотрел зависимости Нl (Nl, Рj) для трех вариантов вероятност- ного распределения Рj: нормального, Вейбула и логарифмически нормального при разбиениях области значений переменной на интервалы равной длины [2]. Полученные им весьма сложные аналитические выражения объединяет только одно — логарифмическую зависимость от Nl. Таким образом, задача сводится к нахождению неподвижной точки много- мерного нелинейного отображения. Хансел предлагает воспользоваться итераци- онным методом. Однако известно, что при отсутствии сжимающих свойств такого отображения итерационный процесс практически безнадежен, разве что повезет уга- дать начальное приближение вблизи неподвижной точки. Отметим следующие слабые места изложенного метода. 1. Выбор начального приближения произволен, какие-либо рекомендации от- сутствуют. 124 ISSN 1028-0979 2. Сходимость итераций L-мерного отображения указанного типа теоретиче- ски не обоснована и на практике встречается крайне редко. 3. Целочисленное округление значений Nl в процессе вычислений усугубляет сложность нелинейного отображения. Безусловным преимуществом метода является разумный выбор пропорцио- нальной зависимости числа уровней от значимости фактора и подмеченная воз- можность сведения к нахождению неподвижной точки, а недостатком — его сложность и отсутствие каких-либо гарантий сходимости. Модификация метода Для устранения указанных недостатков при сохранении преимуществ опи- санного метода предлагается учитывать следующее. 1. Равновероятное разбиение (вместо разбиения на интервалы равной длины) для дискретизации и выбора представительных значений порождает равномерное распределение Рl = 1/Nl, работает для любых вероятностных распределений не- прерывной переменной, обеспечивает равномерную загрузку в ходе экспери- мента всех назначаемых представительных значений, обладает свойством эн- тропийной максимальности, наиболее подходящим для ситуаций с неполной информацией. Точное выражение для энтропии Шеннона равномерного рас- пределения Н(Nl) = ln (Nl). 2. Переход от много- до однопараметрического представления нелинейного отображения и соответствующего итерационного процесса. Для этого используем получившееся выражение для неподвижной точки Nl = kRlln(Nl), из которого за- ключаем, что для определения всех Nl достаточно найти только один (!) коэффи- циент пропорциональности k — скалярный параметр. 3. Нахождение коэффициента пропорциональности k по фактору средней ре- левантности и расчет для остальных факторов с последующим итерационным уточнением. Первые два пункта достаточно ясны, поясним последнее положение. Для нахождения начального приближения для k используем выражение kRl = Nl / ln (Nl), подставляя в него в качестве Nl среднее геометрическое L N для    L l lNN 1 , сопоставляемое с числом уровней параметра, обладающего средней релевантно- стью. Очевидно, что если бы все параметры обладали одинаковой релевантно- стью, каждый из них получил бы одинаковое число уровней — как раз среднее геометрическое из N. Значит, параметр, релевантность которого близка к средней, 1/ ,lR L также должен получить близкое к L N число уровней. Получаем начальное приближение 2 0 . ln( )ln( ) L L L l N L N k NR N   Далее из уравнения k0Rl = Nl / ln(Nl) нахо- дим начальное приближение для числа уровней всех остальных параметров. Затем сравниваем произведение полученных значений 1 L l l N   с заданным N, и если N оказывается меньше этого произведения, значит, Nl нужно уменьшать, уменьшаем коэффициент пропорциональности k1< k0, в противном случае увеличиваем k1 > k0. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2021, № 6 125 Зная k1, вычисляем следующее приближение и т.д. Как только   L l lN 1 ≈ N, с точнос- тью до целочисленного округления, решение получено. Итерационный процесс гарантировано сходится, поскольку рассмотрение малых и больших значений скалярного параметра k позволяет воспользоваться теоремой о промежуточном значении непрерывной функции [4]. Представим примеры использования предложенной процедуры. Задача 1 (для больших значений N). Пусть в планируемом эксперименте ресурсные ограничения определяют оценку допустимого объема испытаний N ≈ 7600. Схема эксперимента содержит три независимых параметра (три фак- тора). Имеющиеся оценки релевантности параметров соответственно R1 = 0,2, R2 = 0,3, R3 = 0,5. Сколько уровней выделить каждому фактору? Решение. Находим среднюю релевантность Rs = 1/3. Соответствующее число уровней: Ns = 33 7600N = 19,66. Из уравнения для Ns найдем коэффициент k (Ns = kRs Нs ([Ns], 1 / [Ns])) k = 22. Находим неизвестные значения Nl : N1 = 10,23; N2 = 19,66; N3 = 40,79. Сравниваем их произведение с N :   3 1 ][ l lN = 10·19·40 = = 7600. Итераций не потребовалось, отметим позитивный эффект целочисленного округления. Формируем таблицу по результатам вычислений для различных больших Nl. Таблица 1 N 1 100 3 000 7 600 8 000 10 000 14000 N1 4 7 10 10 11 12 N2 11 14 19 19 20 24 N3 20 30 40 42 45 48   3 1 ][ l lN 1100 2940 7600 7980 9900 13824 Как видно из табл. 1, произведение числа уровней не всегда удается сделать точно равным заданному параметру N, для более точного приближения следует варьировать варианты округления (вверх–вниз). Однако с уменьшением N будет уменьшаться и Nl — число уровней наименее значимого параметра‚ но оно не должно принимать значения меньше 2, иначе со- ответствующий параметр превращается из фактора просто в константу. Таким об- разом, Nl = 2 соответствует некоторое значение   3 1 ][ l lN и не понятно, как дей- ствовать, если заданное N меньше его. Рассмотрим этот случай отдельно. Задача 2 (для малых значений N). Допустим, что для приготовления вкус- ной гречки у нас есть 50 попыток (ресурсные ограничения N = 50). В ходе при- готовления мы можем варьировать количество, изменять количество воды, крупы и соли, в исследуемой модели три независимых параметра (три фактора). Важные компоненты блюда — гречневая крупа (R1 = 0,2) и вода (R2 = 0,3). Но вкус готовой каши сильно зависит от количества приправы — соли (R3 = 0,5). Сколько порций для каждого компонента следует запланировать? 126 ISSN 1028-0979 Решение. Поскольку значение N мало, для решения задачи назначения уров- ней факторов необходимо зафиксировать два уровня для фактора, имеющего ми- нимальную релевантность среди заданных (в данном случае N1 = 2). С учетом этого находим среднюю релевантность для остающихся двух пара- метров Rs = (0,3+0,5) / 2 = 0,4 и соответствующее число уровней: .5251 1 L N N Из уравнения [Ns] = kRsln ([Ns]) найдем коэффициент пропорциональнос- ти: k = 7,77. Находим неизвестные значения Nl : Nl = 2; N2 = 3; N3 = 8. Сравниваем их произведение с N:   3 1 ][ l lN = 48 < 50, однако приближение не- плохое. Другие варианты округления дают 2·2·9 = 36, 2·3·9 = 45, что, конечно, хуже. Если зафиксировать и второй параметр N2 = 2, получим k = 9,67 и N3 = 12, произведение   3 1 ][ l lN = 48 , как и в предыдущем случае. Какой из двух вариантов (2, 3, 8) или (2, 2, 12) лучше? По затратности они равноценны, с точки зрения информативности второй предпочтительнее — обес- печивает более тонкое варьирование наиболее значимого параметра. Подобные вычисления для других малых значений числа испытаний дают следующие результаты (табл. 2). Таблица 2 N 50 75 100 150 200 250 N1 2 2 2 2 2 2 N2 2 З 4 5 6 7 N3 12 12 12 14 16 17   3 1 ][ l lN 48 72 96 140 196 238 Из табл. 2 видно, как происходит «размораживание» и рост числа уровней второго фактора с ростом числа испытаний. Для наиболее значимого третьего фактора скорость роста, как и следует ожидать, несколько больше. Заключение Проведен анализ существующего метода решений данного типа задач плани- рования эксперимента, определены его главные недостатки и преимущества. На ос- нове анализа предложена модификация метода, позволяющая устранить указанные недостатки и сохранить преимущества. Перечислим ключевые идеи выполненной модификации. 1. Метод дискретизации: замена разбиения области значений параметра на интервалы равной длины разбиением на интервалы равной вероятности — уни- версальный подход для эффективного разбиения и точной оценки его энтропии. 2. Вскрытие сущностной одномерности ранее построенной модели и «одно- меризация» итерационного процесса. 3. Выбор начального приближения на основе оценки среднего геометриче- ского и гарантированная сходимость итераций. В этой работе не рассмотрены вопросы получения априорных оценок релевант- ности различных факторов эксперимента в процессе его планирования. В условиях неполной информации (иначе эксперимент — излишество) соответствующие проце- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2021, № 6 127 дуры не могут быть до конца формализованными, и основным вариантом остается использование оценок экспертов, представляется целесообразным воспользоваться как более надежным, менее подверженным ошибкам, подходом интервального оценива- ния и процедурой получения точечных оценок на этой основе, разработанной в [5]. Также представляется полезным — шире использовать энтропийные критерии опти- мальности при построении оценок, основанных на субъективных подходах [6]. Дальнейшие разработки в направлении настоящего исследования видятся, с одной стороны, в использовании полученных результатов в прикладных задачах планирования эксперимента, а с другой — в явном учете нескольких ресурсных ограничений в виде оптимизационных критериев и решении соответствующих многокритериальных задач. С.А. Смирнов ФАКТОРИ І РІВНІ ПРИ ПЛАНУВАННІ ЕКСПЕРИМЕНТУ, ЕФЕКТИВНИЙ ВИБІР З УРАХУВАННЯМ ОБМЕЖЕНЬ Досліджується задача планування експерименту з ресурсними обмеженнями. Для складної системи, призначеної до експериментального дослідження, перед тим як використовувати відомі розвинені методи факторного планування експерименту, потрібно попередньо створити спрощену математичну модель, що представляє не- повний скорочений опис системи. При цьому спрощенні із всіх об’єктивно існую- чих незалежних параметрів системи залишаються лише найбільш значимі, що є ви- мушеною процедурою внаслідок природних обмежень ресурсів, подібних для ви- конання експериментального дослідження. Ті ж самі обмеження лімітують і число значень, що призначають кожному з параметрів (рівні факторів). Стаття присвячена модифікації існуючого методу дискретизації такої моделі з раціональним вибором параметрів дискретизації відповідно до існуючих обмежень, однак з вкрай ненадій- ною щодо збіжності ітераційною процедурою розв’язання. Головні ідеї модифіко- ваного підходу наступні: 1) вибір числа рівнів факторів пропорційно значимості від- повідних параметрів та зведення задачі до пошуку нерухомої точки (як у відомому методі); 2) розбиття за ймовірністю (замість розбиття на інтервали рівної довжини) для дискретизації та вибору представницьких значень параметру, що дозволяє знай- ти точний простий вираз для його ентропії Шенона; 3) перехід від багато- до одно- параметричного (коефіцієнт пропорційності як показник параметризації) представ- лення нелінійного відображення, його декомпозиція і спрощення ітераційного про- цесу; 4) знаходження початкового значення коефіцієнту пропорційності за фактором з середньою релевантністю і розрахунки для інших факторів з подальшим ітерацій- ним уточненням. Ітераційний процес гарантовано збігається, бо розгляд малих і ве- ликих значень скалярного параметру дозволяє використати теорему з проміжним значенням неперервної функції. Далі на основі розробленої процедури розв’язано дві задачі про призначення числа рівнів факторів для ситуацій з малим та великим ресурсним обмеженням, вказані відповідні ускладнення у розрахунках та способи їх подолання. Ключові слова: планування експерименту, рівні факторів, редукція моделі, значимість параметру, ентропія параметру, дискретизація за ймовірністю, од- номеризація. S.A. Smirnov FACTORS AND LEVELS ON DESIGN OF EXPERIMENT, EFECTIVE CHOICE UNDER CONSTRAINS The problem of design of experiment with resource constraints is investigated. For a complex system intended for experimental research, before using the well known ad- vanced methods of factorial design, you must first create a simplified mathematical 128 ISSN 1028-0979 model that represents an incomplete abbreviated description of the system. At the same time, on this simplification from all objectively existing independent parame- ters of the system remain only the most important parameters, which is a forced pro- cedure due to the natural limitations of the resources available to perform the exper- imental study. The same constraints limit the number of values assigned to each of the parameters (factor levels number). The article is devoted to the modification of the existing method of discretization of such a model with a rational choice of dis- cretization parameters in accordance with the existing limitations, but with an ex- tremely unreliable in terms of convergence iterative solution procedure. The main ideas of the modified approach are as follows: 0) The choice of the number of levels of factors is proportional to the importance of the relevant parameters and the reduc- tion to the problem of finding a fixed point (as in the known method). 1) Probability partition (instead of partition into equal length intervals) for discretization and selec- tion of representative values of the parameter, which allows to find an exact simple expression for its Shannon entropy. 2) Transition from multi- to one-parameter (coef- ficient of proportionality as an indicator of parameterization) representation of non- linear mapping, its decomposition and simplification of the iterative process. 3) Find- ing the initial value of the coefficient of proportionality for a factor with average rel- evance and calculations for other factors, followed by iterative refinement. The iterative process is guaranteed to coincide, because the consideration of small and large values of the scalar parameter allows us to use the theorem on the intermediate value of a continuous function. Then, with the help of the developed procedure, two tasks on the assignment of the number of factor levels for situations with small and large resource constraints are solved, the corresponding complications in the calcula- tions and ways to overcome them are indicated. Keywords: design of experiment, factor levels, model reduction, importance of pa- rameter, entropy of parameter, discretization by probability, one-dimensioning. 1. Математическая теория планирования эксперимента. Под ред. С.М. Ермакова. М. : Наука. 1983. 392 с. 2. Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений. М. : Мир. 1990. 208 с. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-9522-2_5 3. Hansel V. Ein allgemeines Entscheidungskozept zur Bearbeitung LNAаі mehrzielorientierter In- formationsmangel-probleme. Dissertation A. IH Zittau, 1984. https://www.mathgenealogy.- org/id.php?id=90311 4. Assignments of factors levels for design of experiments with resource constraints. S. Smirnov, O. Glushchenko, K. Ilchuk, I. Makeenko, N. Oriekhova. Continious and Distributed Systems. Theory and Applications. Ser. Solid Mechanics and Its Applications. Springer. 2014. 211. P. 81. https://doi.org/10.1007/978-3-319-03146-0_6 5. Смирнов С.А., Гонтаренко И.С. Гарантированный синтез скалярного критерия для реше- ния задачи многокритериальной оптимизации. Системні дослідження та інформаційні технології. 2006. № 2. С. 99–106. http://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165229 6. Канеман Д., Словик П., Тверски А. Принятие решений в неопределенности: Правила и предубеждения. Харьков: Гуманитарный центр, 2005. 632 с. https://doi.org/10.1017/ CBO9780511809477 Получено 01.10.2021 https://doi.org/10.1007/978-3-7091-9522-2_5 https://ru.wikipedia.org/wiki/Тверски,_Амос https://ru.wikipedia.org/wiki/Харьков

Факторы и уровни при планировании эксперимента, эффективный выбор с учетом ограничений

Institution

Ähnliche Einträge