Об устойчивости систем с неопределенностью, содержащих запаздывание

На основі процедури Паде-апроксимації системи із заміщенням розглядається завдання оцінки максимально допустимої величини запізнювання зокрема і стосовно систем, що належать політопу. Ефективність запропонованого підходу підтверджують приклади, опубліковані раніше...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автор:	Ларин, В.Б.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Проблемы динамики управляемых систем
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209085
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Об устойчивости систем с неопределенностью, содержащих запаздывание / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 1. — С. 5-15. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-209085
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2090852025-11-13T01:04:12Z Об устойчивости систем с неопределенностью, содержащих запаздывание Про стійкість систем з невизначеністю, що містять запізнювання On stability of the uncertain systems with delay Ларин, В.Б. Проблемы динамики управляемых систем На основі процедури Паде-апроксимації системи із заміщенням розглядається завдання оцінки максимально допустимої величини запізнювання зокрема і стосовно систем, що належать політопу. Ефективність запропонованого підходу підтверджують приклади, опубліковані раніше Being based on procedure of Pade approximation of the system with delay, the task of estimation of the achievable delay margin is examined. This solution was used to the systems with delay which belong to polytope. Efficiency of the offered approach is demonstrated on the examples which have been published before. 2008 Article Об устойчивости систем с неопределенностью, содержащих запаздывание / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 1. — С. 5-15. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209085 517.977.58 10.1615/JAutomatInfScien.v40.i2.20 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Ларин, В.Б. Об устойчивости систем с неопределенностью, содержащих запаздывание Проблемы управления и информатики
description	На основі процедури Паде-апроксимації системи із заміщенням розглядається завдання оцінки максимально допустимої величини запізнювання зокрема і стосовно систем, що належать політопу. Ефективність запропонованого підходу підтверджують приклади, опубліковані раніше
format	Article
author	Ларин, В.Б.
author_facet	Ларин, В.Б.
author_sort	Ларин, В.Б.
title	Об устойчивости систем с неопределенностью, содержащих запаздывание
title_short	Об устойчивости систем с неопределенностью, содержащих запаздывание
title_full	Об устойчивости систем с неопределенностью, содержащих запаздывание
title_fullStr	Об устойчивости систем с неопределенностью, содержащих запаздывание
title_full_unstemmed	Об устойчивости систем с неопределенностью, содержащих запаздывание
title_sort	об устойчивости систем с неопределенностью, содержащих запаздывание
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209085
citation_txt	Об устойчивости систем с неопределенностью, содержащих запаздывание / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 1. — С. 5-15. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT larinvb obustojčivostisistemsneopredelennostʹûsoderžaŝihzapazdyvanie AT larinvb prostíjkístʹsistemzneviznačenístûŝomístâtʹzapíznûvannâ AT larinvb onstabilityoftheuncertainsystemswithdelay
first_indexed	2025-11-27T06:16:34Z
last_indexed	2025-11-27T06:16:34Z
_version_	1849923153833230336
fulltext	© В.Б. ЛАРИН, 2008 Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 5 ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 517.977.58 В.Б. Ларин ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ, СОДЕРЖАЩИХ ЗАПАЗДЫВАНИЕ Введение. В последнее время наблюдается повышенный интерес к анализу и синтезу систем управления, движение которых описывается дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом. Так, для компенсации фазового за- паздывания в следящей системе предлагается [1, 2] вводить программный сигнал с некоторым опережением. Как отмечено в [3]: «Отдельные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом встречались еще в работах Эйлера, од- нако систематическое изучение этих уравнений началось лишь в ХХ веке, в связи с потребностями прикладных наук…». Это изучение происходило довольно ин- тенсивно, о чем, в частности, свидетельствует список литературы в [4] (историю вопроса см. также в [5]). Одно из направлений этих исследований связано с зада- чами устойчивости и оптимального управления системами, содержащими запаз- дывание [6, 7, 8–14]. Отметим, что в связи с этими задачами возникает, в той или иной постановке, задача аппроксимации исходной системы с запаздыванием, си- стемой без запаздывания (см. [15–17], где есть дальнейшие ссылки). Естественно, что здесь возникает проблема выбора критерия оценки качества аппроксимации. Так, в [16] исследовались вопросы оценки качества Падэ- аппроксимации τ−s  в терминах L2-, L∞-норм. Однако выбор критерия оценки ка- чества аппроксимации неустойчивого квазиполинома представляется более слож- ной задачей. Ниже рассматриваются алгоритмы оценки области устойчивости си- стемы с запаздыванием, которые содержат неопределенность (неопределенная ве- личина запаздывания и т.п.). В этой связи в первых разделах на примерах исследуются различные критерии оценки качества Падэ-аппроксимации системы с запаздыванием (близость областей устойчивости, близость неустойчивых полю- сов и т.п.). Далее рассматриваются задачи оценки максимальной величины запаз- дывания, в том числе и применительно к системам, принадлежащим политопу. Эффективность предлагаемых подходов демонстрируется на примерах [9, 11, 12]. 1. Аппроксимация системы с запаздыванием [18]. Рассмотрим процедуру аппроксимации применительно к простейшей системе, движение которой описы- вается уравнением ),1( −+= tuaxx (1) здесь )(tu — управляющее воздействие. Для этого уравнения передаточная функция )(sH между x и u не является дробно-рациональной, а имеет вид .)( as esH s − = − (2) Пусть цепь обратной связи реализуется простейшим регулятором ),()( tbxtu = 0)( =tu при ,10 <≤ t 6 ISSN 0572-2691 т.е. движение замкнутой системы описывается следующим уравнением с откло- няющимся аргументом: ).1( −+= tbxaxx (3) Рассмотрим вопрос устойчивости этого уравнения. Характеристический ква- зиполином [3] уравнения (3) имеет вид .)( zbeazz −−−=Φ (4) Границы (в пространстве коэффициентов ba, ) области устойчивости (обла- сти, в которой все нули (4) лежат в левой полуплоскости) известны (см., напри- мер, [3]). Эта область определяется прямой 0=+ ba и кривой , tgα α =a , sinα α −=b .0 π<α≤ Таким образом, можно оценивать допустимость той или иной аппроксимации (3) конечномерной системой путем сравнения получаемых областей устойчивости с точным значением этой области. Отметим, что существуют методы синтеза цепи обратной связи для систем с запаздыванием, которые не требуют редукции исходной системы. К такого рода подходам можно отнести алгоритмы, связанные с функцией Ляпунова [6], в част- ности метод линейных матричных неравенств (ЛМН) [19], который широко ис- пользуется в различных задачах анализа и синтеза (см., например, [20, 21] и разд. 5). Сравним различные подходы оценки области устойчивости уравнения (3). Начнем с метода ЛМН. Согласно [19] система (3) будет устойчивой, если кон- станты 1, PP удовлетворяют следующим ЛМН: ,02 1 1 >    − −−− PbP bPPaP ,01>P .0>P (5) Неравенства (5) дают следующие оценки границ области устойчивости си- стемы (3): ,0<a .22 ba > (6) Отметим, что эти условия приведены в [3]. Перейдем к оценке области устойчивости системы (3) при различных ап- проксимациях ze− в (4). Начнем с аппроксимации Падэ [22] первого порядка, т.е. . 2 2 z ze z + − ≅− При такой аппроксимации запаздывания уравнение (3) заменяется уравнени- ем второго порядка, характеристический полином которого имеет вид ).(2)2()( 2 bazabzz +−+−+=Φ (7) Полином (7) определяет следующие оценки границы области устойчивости: ,0<+ ba .02 >+− ab (8) Сравнивая (6) и (8), отметим, что в (8) не фигурирует условие .0<a Повысим степень аппроксимации .ze− Пусть [22, 23] . 612 612 2 2 zz zze z ++ +− ≅− (9) Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 7 В этом случае аналогом (7) будет полином ).(12)2(6)6()( 23 bazabzbazz +−+−+−−+=Φ Используя критерий Рауса–Гурвица, найдем, что границы области устойчивости определяются уравнениями ,0=+ ba .012)(622 =+−+− abba (10) Оценки зон устойчивости (6), (8), (10) приведены на рис. 1. −4 −3 −2 −1 0 −6 −4 −2 0 2 a b 1 3 2 5 4 Рис. 1 Здесь линии 1, 2 соответствуют точному значению границ области устойчивости уравнения (3). Прямые 1, 3 определяют оценку области устойчивости (6), ли- нии 1, 4 — оценку области устойчивости (8). И, наконец, прямая 1 и пунктирная линия 5, которая практически совпадает с линией 2, определяют оценку области устойчивости (10). Анализ данных, приведенных на рис. 1, свидетельствует о том, что аппроксимация (9) в данном примере системы первого порядка позволяет по- лучить хорошую оценку области устойчивости исходной системы. 2. Аппроксимация нулей квазиполинома. Рассмотрим на примерах в [15] эффективность использования Падэ-аппроксимации для аппроксимации полюсов передаточных функций, в которых фигурируют квазиполиномы. Начнем с приме- ра 4.1 [15]. Итак, задана передаточная функция , )18012302()6626(6 )626(20)( 2322 2 −−+−−−+ −+ = −−−−− −− sssss ss eeesees eesT (11) полюсы которой, расположенные в правой полуплоскости, суть ;999994,501 =λ .002224,502 =λ В [15], используя аппроксимацию (11), передаточной функцией, соответству- ющей системе 15-го порядка (степень полинома, стоящего в знаменателе аппрокси- мирующей дробно-рациональной передаточной функции), получены следующие оценки для упомянутых выше полюсов: ;9981,511 =λ .0035,512 =λ Сравнивая 0201, λλ и ,, 1211 λλ можно констатировать совпадение первых трех цифр. Для этой же цели в (11) можно аппроксимировать ,se− используя (9). В этом случае порядок аппроксимирующей системы равен 8 и значения соответствую- щих полюсов следующие: ;9798,521 =λ .0352,522 =λ Можно констатировать близость (совпадение первых двух цифр) 1211, λλ и 2221, λλ несмотря на то, что в последнем случае порядок аппроксимирующей системы почти вдвое меньше принятого в [15]. Отметим, что, используя Падэ- аппроксимацию se− порядка выше, чем (9), можно повысить точность аппрокси- мации (11). Более подробно покажем это на примере 4.2 [15]. 8 ISSN 0572-2691 Рассмотрим пример 4.2 [15], а именно, используя аппроксимацию (9), найдем для передаточной функции , )( )()( sd snsT = (12) ,)21()1()( 23 sss esesessn −−− +++++= ,2)21()21(2)1()( 234 ssss esesesessd −−−− +++++++= значения полюсов, расположенных справа от прямой .1)(Re −=s В [15] приведе- ны следующие значения этих полюсов: ,517680152,151143869585,02,1 j±=λ .79177006679,0186364675,04,3 j±−=λ (13) Подставив (9) в (12), найдем, что при такой аппроксимации полюсы )(sT опреде- ляются нулями полинома: .24244427168 23456 ++++++ ssssss (14) Нетрудно проверить, что следующие нули полинома (14) лежат правее линии :1)(Re −=s { }.9178,01864,0;5250,11122,0 jj ±−± (15) Сравнивая (13) и (15), можно отметить их хорошее совпадение. Попытаемся на этом примере сравнить точность оценки полюсов )(sT при использовании различных порядков алгоритмов аппроксимации. Точность оценки можно характеризовать модулем квазиполинома )(sd при подстановке в него найденной оценки полюса ).(sT Так, подставив в )(sd значение ,1λ=s найдем следующее значение модуля этого квазиполинома: ,1078,1)( 2 1 −⋅=λd (16) что характеризует точность оценки полюса T (s) при использовании алгоритма [15]. Перейдем к алгоритму, связанному с Падэ-аппроксимацией .se− Очевидно, можно использовать аппроксимацию [22] более высокого порядка, чем в (9). Это должно позволить получить более точные оценки нулей квазиполинома )(sd по сравнению с (15). Результаты для разных порядков Падэ-аппроксимации приведе- ны в табл. 1. Таблица 1  2 3 4 5 6 7 )(d λ 21087,2 −⋅ 410897,4 −⋅ 61062,4 −⋅ 81075,2 −⋅ 1010125,1 −⋅ 1310384,3 −⋅ В этой таблице  обозначает порядок Падэ-аппроксимации ( 2= соответ- ствует аппроксимации (9)). Вторая строка таблицы соответствует значению моду- ля ),(λd где λ — оценка полюса )(sT с положительной действительной частью. Сравнивая (16) и результаты, приведенные в табл. 1, можно отметить, что каче- ство оценки этого полюса при использовании алгоритма [15] имеет тот же поря- док, что и при использовании (9), однако оно существенно хуже, чем качество оценок, полученных при .3≥ Таким образом, в рассмотренных примерах использование аппроксима- ции (9) приводит к удовлетворительным результатам. В случае более сложных Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 9 объектов может оказаться целесообразным использование аппроксимации Па- дэ [22] более высокого порядка, чем (9). В результате использования той или иной аппроксимации se− в исходной передаточной функции (аналог (2)) может быть получена дробно-рациональная передаточная функция между управляющим воз- действием и выходной координатой. 3. Описание системы в терминах пространства состояний. Следующие этапы процедуры синтеза цепи обратной связи включают в себя описание аппрок- симирующей системы в терминах пространства состояний. Итак, пусть движение объекта задано в терминах пространства состояний, а именно: ),(00 τ−+= tuBxAx ,0 xCy = (17) где x — фазовый вектор объекта, u — скалярное управляющее воздействие, τ — величина запаздывания. Структура оператора, аппроксимирующего запаз- дывание, имеет вид [2] ,uBxAx ττττ += .DxCy += τττ (18) Здесь τx — фазовый вектор размера , где  — порядок модели, аппрокси- мирующей запаздывание, τy — выход системы, аппроксимирующей запазды- вание, т.е. величина, аппроксимирующая ).( τ−tu Таким образом, конечномерную систему, аппроксимирующую объект (17), можно описать ,BuAww += .Cwy = (19) В этом случае вектор w и матрицы A, B, C выражаются через матрицы, фигури- рующие в (17), (18): ,   = τx xw ,0 00    = τ τ A CBAA ,0    = τB DBB [ ].00CC = (20) Отметим, что, задавая ,, τ используя, например, алгоритм [22], можно находить матрицы τττ CBA ,, и скаляр D. В случае нескольких управляющих воздействий структура конечномерной аппроксимирующей системы будет аналогичной. Ограничимся подробным опи- санием этой системы в случае только двух управляющих воздействий, так как обобщение для большего их числа очевидно. Итак, движение объекта задается уравнением ),()( 220211010 τ−+τ−+= tuBtuBxAx ;0 xCy = (21) ;0,0)( 11 τ<≤= ttu .0,0)( 22 τ<≤= ttu В (21) u1, u2 — управляющие воздействия, 21, ττ — соответствующие запаз- дывания, остальные обозначения аналогичны принятым в (17). Как и в (18), структура операторов, аппроксимирующих запаздывания ,, 21 ττ имеет вид ,111 11 uBxAx += ττ ;11 11 DxCy += ττ (22) ,221 22 uBxAx += ττ .22 22 DxCy += ττ Здесь обозначения аналогичны принятым в (18), т.е. 21 , ττ yy аппроксимируют ),( 11 τ−tu )( 22 τ−tu соответственно. Как и в (18), для нахождения матриц, 10 ISSN 0572-2691 фигурирующих в (22), можно использовать алгоритм [22], задавая значения  и ., 21 ττ Таким образом, конечномерную систему, аппроксимирующую (21), с учетом (22) можно записать в виде, аналогичном (19). Однако в этом случае векторы uw, и матрицы CBA ,, имеют вид , 00 00 2 1 2021010         = A A CBCBA A , 0 0 2 1 202101         = B B DBDB B [ ] ,000CC = (23) , 2 1           = τ τ x x x w . 2 1    = u uu После аппроксимации системы (21) системой (19), которая определяется матрицами (23), используя стандартные алгоритмы, можно решать различные задачи анализа и синтеза систем управления. Например, с помощью такого подхода в [18] были рассмотрены процедуры синтеза цепи обратной связи применительно к системам с запаздыванием. Однако рассматриваемая аппрок- симация может оказаться полезной и при анализе вопросов устойчивости си- стем с запаздыванием, содержащих неопределенность. 4. Оценка максимального запаздывания. Проиллюстрируем на примере [11] возможность оценки максимальной величины запаздывания, при которой си- стема остается устойчивой. Итак, пусть задана система [11] ),(00 τ−+= txBxAx ,9,00 02 0     − −=A .11 01 0     −− −=B (24) Необходимо найти максимальное значение запаздывания ,∗τ при котором си- стема (24) будет асимптотически устойчива при постоянном запаздывании .∗τ≤τ В [11] получена оценка .3588,4=τ∗ Покажем, как в этом примере можно определить точное значение .∗τ Очевидно, что система (21) переходит в (24), если принять, что 2211 , xuxu == и .21 τ=τ=τ Однако пока не будем использовать последнее условие, т.е. будем считать, что .21 τ≠τ В этом слу- чае аналогом (24) выступает следующая система: ),(2 1111 τ−−−= txxx ).(9,0)( 222112 τ−−−τ−−= txxtxx (25) Характеристический квазиполином системы (25) имеет вид ).9,0)(2()( 21 τ−τ− ++++=Φ zz ezezz (26) Известно (см., например, [3]), что первый из сомножителей (26), а именно ква- зиполином ,2 1τ−++ zez (27) не имеет нулей в правой полуплоскости при любом .01 ≥τ Другими словами, квазиполином (26) будет устойчив при .],0[1 ∞∈τ Рассмотрим второй сомножитель в (26): .9,0 2τ−++ zez (28) Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 11 Если использовать обозначения, аналогичные принятым в (4), то квазиполи- ном (28) будет устойчив [3] при . arccos 22 2 ab b a −      − ≤τ Следовательно, квазиполином (28) будет устойчив, если ,],0[2 ∗∗τ∈τ .1726,6 9,01 )9,0arccos( 2 = − − =τ ∗∗ (29) Таким образом, если вернуться к системе (24), т.е. принять ,21 τ=τ=τ то можно утверждать, что система (24) будет устойчива при .∗∗τ≤τ Отметим, что определя- емая (29) величина ∗∗τ существенно превосходит оценку ,3588,4=τ∗ приве- денную в [11]. В этом же примере найдем оценку допустимого диапазона из- менения ,τ используя аппроксимацию, определяемую матрицами (23), приняв, что 2211 , xuxu == и .21 τ=τ=τ Другими словами, аппроксимируем систему (24) следующей конечномерной системой: ,wAw = ,BCAA += (30) в которой матрицы CBA ,, определяются (23), причем матрица .10 01 0    =C Приняв, что параметр, определяющий порядок системы (22), ,6= построим зависимость R-максимального значения действительных частей матрицы A )))((realmax(( AR λ= в зависимости от .τ График этой зависимости приведен на рис. 2, где использование аппроксимации оператора запаздывания конеч- номерной системой (22) позволяет получить довольно точную оценку .∗τ Рис. 2 Для оценки влияния параметра  на качество аппроксимации систе- мы (24) системой (19) приведем значения упомянутого выше параметра R в окрестности ∗∗τ=τ в зависимости от параметра . Эти результаты представ- лены в табл. 2. Таблица 2 τ 4 5 6 7 8 6,1727 61059,1 −⋅− 7101,4 −⋅ 71048,4 −⋅ 71049,4 −⋅ 71049,4 −⋅ 6,1725 61034,2 −⋅− 71047,3 −⋅− 7101,3 −⋅− 7101,3 −⋅− 7101,3 −⋅− 12 ISSN 0572-2691 Отметим, что в верхней строчке табл. 2 ),( ∗∗τ>τ начиная с ,5= находятся положительные числа, т.е. система неустойчива, в нижней части )( ∗∗τ<τ — от- рицательные величины, т.е. система устойчива. Таким образом, из табл. 2 следует, что, начиная с ,5= относительная погрешность определения ∗∗τ не превосхо- дит .10 4− 5. Политопические системы. Аналогичный подход в сочетании с аппаратом ЛМН можно попытаться использовать для оценки устойчивости не одной, а се- мейства систем с запаздыванием, принадлежащих политопу, т.е. движение объек- та описывается политопической системой линейных дифференциальных включе- ний [19]. В этой связи кратко изложим алгоритм ЛМН проверки устойчивости ли- нейных инвариантных по времени систем (без запаздывания), принадлежащих политопу [24]. Итак, рассмотрим семейство систем, принадлежащих политопу с вершинами :,,1 nAA  ,Axx = (31) { }.1,0: 111 =α++α≥αα++α∈ ninn AAA  Пусть существуют симметричные матрицы nQQ ,,1  и скаляры jiij tt = такие, что выполняются следующие ЛМН: ,2 ij T jiij T ijji tAQQAAQQA <+++ ,IQ j > (32) .0 1 111 <         nnn n tt tt    В этом случае все системы, определяемые (31), устойчивы. Остановимся на численной реализации этой процедуры. Приняв, что компо- нентами вектора η являются неизвестные, фигурирующие в ЛМН (32) (элементы матриц iQ и скаляры ijt ), можно переписать ЛМН (31) в виде ).()( η<η RL (33) Процедура feasp пакета MATLAB позволяет численно находить минимальное значение скаляра ,µ при котором выполняются неравенства .)()( IRL µ+η<η (34) Таким образом, при 0min <µ ЛМН (32) имеют решения (система устойчива), в противном случае — нет. Отметим, что предлагались и другие аналогичные алгоритмы [9] для теста устойчивости системы (31). В этой связи используем приведенный выше алго- ритм [24] для решения примера [7, 9]. Итак, рассматривается система (пример 3 [9]) ,)( xAx α= ,)( 22110 EEAA α+α+=α (35) , 4000 0300 0020 0001 0           =A , 0020 0002 0005,0 0010 1           − = a aE . 000 000 05,000 1000 2           − = a aE Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 13 Здесь 21, αα — неопределенные не зависящие от времени параметры ∈α1 ,],[ 11 +− αα∈ ,],[ 222 +− αα∈α a — свободный параметр. При заданном значе- нии параметра a необходимо определить максимальные значения ++ αα 21 , и ми- нимальные ,, 21 −− αα при которых система (35) будет устойчива. В [9] для 1=a приведены следующие значения для допустимых диапазонов изменения :, 21 αα ,]6661,1,6661,1[1 −∈α .]6662,1,8828,3[2 −∈α Отметим, что (35) можно рассматривать как систему, соответствующую по- литопу (31) с 4 вершинами. Использование описанного выше алгоритма [24] поз- волило получить оценки допустимых границ изменения параметров 1α и 2α ,]645,1,645,1[1 −∈α ,]662,1,88,3[2 −∈α которые уступают (но несущественно, расхождение в третьем знаке) оценкам, приведенным в [9]. 6. Политопические системы с запаздыванием. В заключение рассмотрим задачу оценки максимального допустимого диапазона изменения запаздывания для семейства систем, принадлежащих политопу [19]. Процедура такой оценки, грубо говоря, объединяет подходы, рассмотренные в разд. 3, 5, а именно, системы с запаздыванием, стоящие в вершинах политопа, аппроксимируются конечномер- ными системами в соответствии с процедурой разд. 3. После этого для фиксиро- ванной величины запаздывания τ в соответствии с алгоритмом п. 5 находится минимальное значение параметра ,)( minµµ фигурирующее в (34). Далее, построив график ),(min τµ находим значение запаздывания ,∗τ=τ при котором эта функция меняет знак. Это значение )( ∗τ принимается в качестве оценки максимальной величины запаздывания. Проиллюстрируем этот подход примерами [9]. Рассмотрим пример 2 [9]. Итак, вершины политопа определяются следую- щими матрицами: ,5,01 3,00 1     −=A ,43,01 54,00 2     − −=A ,10 09,1 3     − −=A (36) ,3,00 35,01,0 1     − −−=B ,12 BB = ,1,11 09,0 3     −− −=B которым соответствуют системы ),()()( τ−+= txBtxAtx ii .3,2,1=i (37) Необходимо определить максимальное значение )( ∗τµ такое, что политопическая система дифференциальных включений, определяемая (36), (37), была бы устой- чива при любом (не зависящем от времени) ].,0[ ∗τ∈τ В [9] приведено значение .8632,0=τ∗ Приняв во внимание, что τ=τ=τ 21 система (22) соответствует си- стеме (37), используем для аппроксимации (37) системы, аналогичные (19), мат- рицы, в которых определяются (23). Принимается, что параметр, определяющий порядок аппроксимации, .6= Используя описанный в разд. 5 алгоритм, можно найти значения minµ для заданного значения .τ Зависимость )(min τµ приведена на рис. 3. 14 ISSN 0572-2691 Рис. 3 Из этого рисунка следует, что в качестве оценки можно принять значение 895,0=τ∗ (при ;0016,0,895,0 min −=µ=τ при 5 min 1077,3,897,0 −⋅=µ=τ ). Отме- тим, что полученная оценка ∗τ несколько превосходит приведенную в [9]. Продолжим рассмотрение вопросов устойчивости политопических систем на примере 1 [9]. Обозначения аналогичны, принятым в предыдущем примере. Имеем: ,09,0 02,0 1     −− −=A ,20 12 2     − −−=A ,10 09,1 3     − −=A ,1,01,0 01,0 0     −− −=B ,01 10 0    =B .1,11 09,0 0     −− −=B В [9] приведены значения для .2606,4=τ∗ Используя описанную выше про- цедуру (при построении конечномерной системы, аппроксимирующей оператор запаздывания, как и ранее, использовался алгоритм [22] и принималось, что 6= ), найдем зависимость ).(min τµ Рис. 4 Эта зависимость представлена на рис. 4, из которого следует, что в каче- стве оценки ∗τ можно принять значение 917,5=τ∗ (при 917,5=τ , ;0028,0min −=µ при ,918,5=τ 7 min 107 −⋅=µ ). Отметим, что полученная оценка ∗τ существенно превосходит оценку, приведенную в [9]. В.Б. Ларін ПРО СТІЙКІСТЬ СИСТЕМ З НЕВИЗНАЧЕНІСТЮ, ЩО МІСТЯТЬ ЗАПІЗНЮВАННЯ На основі процедури Паде-апроксимації системи із заміщенням розглядається завдання оцінки максимально допустимої величини запізнювання зокрема і стосовно систем, що належать політопу. Ефективність запропонованого підхо- ду підтверджують приклади, опубліковані раніше. Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 15 V.B. Larin ON STABILITY OF THE UNCERTAIN SYSTEMS WITH DELAY Being based on procedure of Pade approximation of the system with delay, the task of estimation of the achievable delay margin is examined. This solution was used to the systems with delay which belong to polytope. Efficiency of the offered approach is demonstrated on the examples which have been published before. 1. Larin V.B. Stabilization of a wheeled robotic vehicle subject to dynamic effects // Int. Appl. Mech. — 2006. — 42, N 9. — P. 1061–1070. 2. Larin V.B. About stabilization of movement of the wheel transport robot // Ibid. — 2007. — 43, N 7. — P. 800–808. 3. Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргу- ментом. — М.: Наука, 1964. — 128 с. 4. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: Мир, 1967. — 548 с. 5. Постников М.М. Устойчивые многочлены. — М.: Наука, 1981. — 176 с. 6. Красовский Н.Н. Теория управления движением. — М.: Наука, 1968. — 476 с. 7. He Y., Wu M., She J-H., Liu G-P. Parameter-dependent Lyapunov functional for stability of time- delay systems with polytopic-type uncertainties // IEEE Trans. on Automat. Contr. — 2004. — 49, N 5. — P. 828–832. 8. Lin Z., Fang H. On asymptotic stabilizability of linear systems with delayed input // Ibid. — 2007. — 52, N 6. — P. 998–1012. 9. Lin C., Wang Q-G., Lee T.H. A less conservative robust stability test for linear uncertain time- delay systems // Ibid. — 2006. — 51, N 1. — P. 87–91. 10. Ozbay H., Gundes A.N. Resilient PI and PD controller designs for a class of unstable plants with I/O delays // Appl. Comput. Math. — 2007. — 6, N 1. — P. 18–26. 11. Park P.G. A delay-dependent stability criterion for systems with uncertain time-invariant delays // IEEE Trans. on Automat. Contr. — 1999. — 44, N 4. — P. 876–877. 12. Ramos D.C.W., Peres P.L.D. An LMI condition for the robust stability of uncertain continuous- time linear systems // Ibid. — 2002.— 47, N 4. — P. 675–678. 13. Richard H. Middleton, Daniel E. Miller. On the achievable delay margin using LTI control for unstable plants // Ibid. — 2007. — 52, N 7. — P. 1094–1207. 14. Wang De-Jin. Further results on the synthesis of PID controllers // Ibid. — 2007. — 52, N 6. — P. 1127–1132. 15. Gu G., Khargonekar P.P., Lee E.B., Misra P. Finite-dimensional approximations of unstable infi- nite-dimensional systems // SIAM J. Contr. and Optimization. — 1992. — 30, N 3. — P. 704–716. 16. Lam J. Convergence of a class of Pade approximations for delay systems // Int. J. Contr. — 1990. — 52, N 4. — P. 989–1008. 17. Zhang L., Lam J. Optimal model reduction via delay approximation // 14th World Congress of IFAC [IFAC 99], Proc.: Riccati Equation and Algorithms, Paper No D-2b-11-3. — Beijing P. R. China, 1999, July 5–9. — Р. 363–367. 18. Larin V.B. About stabilization by simplest regulators of unstable systems with delay // Int. J. of Appl. Math. and Mech. — 2007. — 3, N 3. — P.82–8. 19. Boyd S., Ghaoui L.E., Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in system and control theory. — Philadelphia: SIAM, 1994, — 193 p. 20. Larin V.B., Tunik A.A. Dynamic output feedback compensation of external disturbances // Int. Appl. Mech. — 2006. — 42, N 5. — P. 606–616. 21. Larin V.B. About the problem of control of composite wheeled vehicle // Ibid. — 2007. — 43, N 11. — P. 1205–1209. 22. Lam J. Balanced realization of Pade approximants of sTe− // IEEE Trans. on Automat. Contr. — 1991. — 36, N 9. — P. 1096–1100. 23. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. — М.: Наука, 1976. — 424 с. 24. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A.J., Chilali M. LMI control toolbox users guide. — The Math- Works Inc., 1995. — Natik, Mas. — 320 p. Получено 14.12.2007

Об устойчивости систем с неопределенностью, содержащих запаздывание

Репозитарії

Схожі ресурси