О приближении гладких функций L-сплайнами в точке
Побудовано «майже інтерполяційні» узагальнені L-сплайни на основі базисних функцій, склеєних з частин розв’язків диференціального рівняння, коефіцієнти якого змінюються від відрізка до відрізка. Отримано оцінку похибки наближення такими сплайнами гладких функцій в довільній точці і доведено понадзбі...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209229 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О приближении гладких функций L-сплайнами в точке / Ж.В. Худая // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 4. — С. 76-83. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860167715607543808 |
|---|---|
| author | Худая, Ж.В. |
| author_facet | Худая, Ж.В. |
| citation_txt | О приближении гладких функций L-сплайнами в точке / Ж.В. Худая // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 4. — С. 76-83. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Побудовано «майже інтерполяційні» узагальнені L-сплайни на основі базисних функцій, склеєних з частин розв’язків диференціального рівняння, коефіцієнти якого змінюються від відрізка до відрізка. Отримано оцінку похибки наближення такими сплайнами гладких функцій в довільній точці і доведено понадзбіжність у вузлах сплайна, що наближає функції, які задовольняють тому ж диференціальному рівнянню, що і побудований сплайн.
«Almost interpolation» generalized L-splines are built on the basis of base functions, composed of parts of solutions of differential equation the coefficients of which change from segment to segment. The estimation of error of approximation of smooth functions by such splines in an arbitrary point is obtained and overconverngence in the knots of spline which approximates functions satisfying the same differential equation as the built spline is proved.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:57:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Ж.В. ХУДАЯ, 2008
76 ISSN 0572-2691
УДК 519.6
Ж.В. Худая
О ПРИБЛИЖЕНИИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
L-СПЛАЙНАМИ В ТОЧКЕ
Введение
Теория сплайн-функций — быстро развивающаяся область теории прибли-
жения функций и численного анализа. Основная особенность сплайнов заключа-
ется в том, что они хорошо приспособлены для решения интерполяционных задач,
а также отличаются удобством реализации построенных на их основе алгоритмов.
Достаточно широким классом таких функций являются L-сплайны, которые
обобщают полиномиальные, тригонометрические, напряженные и другие виды
сплайн-функций. Напомним, что L-сплайном порядка r дефекта k называют функ-
цию ),(xs непрерывную на отрезке [a, b] вместе со своими производными до
kr порядка включительно, которая на каждом участке ],[ 1ii xx удовлетворяет
дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами ,0),( xsLr
где ),( xsLr — дифференциальный оператор вида .)(),(
1
0
)(
r
k
k
kr xsaxsL В слу-
чае если ,/ 11 rr
r dxdL имеем пространство полиномиальных сплайнов. Эти
сплайны изучались во многих работах, в частности в [1]. Вопросы аппроксимации
гладких функций L-сплайнами рассмотрены в работах А.И. Березовского, в част-
ности в [2], а также [3, 4] и др.
Особенно широкое применение получили L-сплайны как аппарат приближе-
ния на классах функций, порожденных дифференциальным оператором. К числу
наиболее используемых видов относятся интерполяционные сплайны. Однако для
их получения требуется обращение ленточных матриц. При этом для сплайнов
высоких порядков эта матрица не имеет диагонального преобладания, что услож-
няет применение алгоритма прогонки. Поэтому в случае, когда условие жесткой
интерполяции не является необходимым, достаточно использовать «почти интер-
поляционные» сплайны. В частности, в работах А.А. Лигуна, А.А. Шумейко [3, 4]
получена конструкция локальных «почти интерполяционных» сплайнов мини-
мального дефекта порядка два и три, а также исследованы их аппроксимативные
свойства.
В работе [5] предложена конструкция L-сплайнов, порожденных дифферен-
циальным оператором, коэффициенты которого различны на каждом участке
разбиения. Эти сплайны — естественный аналог параболических сплайнов. Ре-
зультаты работы [5] являются обобщением традиционных L-сплайнов, введенных
в [1]. Кроме того, в [5] получена конструкция «почти интерполяционных» сплай-
нов, аналогичных сплайнам, построенным в [3], а также доказано, что они обла-
дают схожими с полиномиальными сплайнами свойствами.
Постановка задачи
Цель данной работы — построение квазиинтерполяционных обобщенных
L-сплайнов (аналогов кубических сплайнов, в отличие от сплайнов, введенных
в [5], являющихся аналогом параболических сплайнов) на основе базисных функ-
ций, склеенных из кусков решений дифференциального уравнения, коэффициен-
Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 77
ты которого меняются от отрезка к отрезку, получение оценки погрешности при-
ближения такими сплайнами гладких функций в произвольной точке и доказа-
тельство сверхсходимости в узлах сплайна, приближающего функции, удовлетво-
ряющие тому же дифференциальному уравнению, что и построенный сплайн. Пе-
рейдем к описанию конструкции таких сплайнов.
Построение обобщенного L-сплайна
Пусть N — равномерное разбиение ],[ ba с шагом ,/)( Nabh
}....,,1,0,0,{ Nihihxx iiN Обобщенным L-сплайном назовем функцию
2
],[)( baCxS и ,)( 4
],( 1 ii xx
CxS
которая на каждом участке разбиения ],,( 1 ii xx
удовлетворяет уравнению
,0)()()( )3()4( xSqxSpxS ii (1)
где )(),( iiii xqqxpp ),,0( Ni )(),(( xqxp — гладкие функции, имеющие
непрерывную вторую производную). Множество всех таких сплайнов при
фиксированных pi, qi образуют )2( n -мерное пространство, которое обозна-
чим }){},{,( ],[ iibaN qpS ).,0( Ni
Введем в этом пространстве понятие В-сплайна. Для этого дополним разбие-
ние ∆N узлами: 3210123 ; NNNN xxxxbaxxxx и будем
полагать, что для всех xm x0 )3,2,1( m ,; 00 qqpp mm а для nk xx
.;)3,2,1( NkNk qqppNNNk
В-сплайном назовем сплайн }){,}{,()( , iiRNi qpSxB )1,1( Ni с ми-
нимальным носителем ],,[ 22 ii xx нормированный условием
.1)()()( 11 iiiiii xBxBxB (2)
Такой сплайн существует, и в дальнейшем в лемме 1 приведем алгоритм его
построения.
Перейдем к построению базисных функций, а затем сформулируем и дока-
жем основной результат для сплайнов, построенных на основе этих базисных
функций.
Лемма 1. Пусть сплайн )(xBi )1,1( Ni удовлетворяет уравнению (1).
Тогда если ,042 ii qp то в узлах этот сплайн принимает следующие значения:
3322
1
1440
1
480
1
180
1
720
1
24
1
6
1
)( hpqphqphpxB iiiiiiii
),(
30240
1
60480
1
5040
1 54422 hOhpqpq iiii
(3)
22
90
1
360
1
3
2
)( hqpxB iiii
),(
15120
1
30240
1
2520
1 54422 hOhpqpq iiii
(4)
78 ISSN 0572-2691
3322
1
1440
1
480
1
180
1
720
1
24
1
6
1
)( hpqphqphpxB iiiiiiii
).,0()(
30240
1
60480
1
5040
1 54422 NihOhpqpq iiii
(5)
Доказательство. Для удобства изложения доказательства положим, что
042 ii qp )...,,0( Ni (случай комплексных корней доказывается аналогично).
Для упрощения вычислений построим вначале сплайн ),( ihxBi полученный пу-
тем сдвига отдельно на каждом интервале ],[ 1mm xx ).1,,1,2( iiiim
Сплайн )(xBi с носителем ],[ 22 ii xx )1,1( Ni будем строить как ре-
шение уравнения (1), полагая, что на каждом интервале ],[ 1 ii xx ),( ii xpp
)( ii xqq ),0( Ni ( )(),( xqxp — гладкие функции, имеющие непрерывную вто-
рую производную).
Обозначим решение дифференциального уравнения (1) на каждом промежут-
ке )4,3,2,1(],[ 23 mxx mimi через ).)(( hmixPm Тогда на участке
],[ 12 ii xx )1,1( Ni рассмотрим уравнение
,0))2(())2(())2(( 1
)3(
1
)4(
1 hixPqhixPphixP ii
являющееся уравнением с постоянными коэффициентами, при 042 ii qp
),,0( Ni его решение имеет вид
))2(())2(( ,1,2,1,11 hixCChixP ii
,
))2((
,1,4
))2((
,1,3
21 hixk
i
hixk
i eCeC
(6)
где ],[ 12 ii xxx ),1,1( Ni ,
2
4
2
2
1
iii qpp
k
.
2
4
2
2
2
iii qpp
k
Теперь сконструируем ))2((1 hixP таким образом, чтобы выполнялись
условия .0)0(,0)0(,0)0( 111 PPP Используя эти соотношения, составим
систему для нахождения коэффициентов сплайна )(xBi на участке ],[ 12 ii xx
:)1,1( Ni
,
.0
0
,0
,1,4
2
2,1,3
2
1
,1,42,1,31,1,2
,1,4,1,3,1,1
ii
iii
iii
CkCk
CkCkC
CCC
Решением данной системы будут числа
;,1,42
1
2
1
2
2
,1,1 ii C
k
kk
C
;
)(
,1,42
1
122
,1,2 ii C
k
kkk
C
ii C
k
k
C ,1,42
1
2
2
,1,3 ).1,1( Ni
Тогда решение (6) примет вид
))2((1 hixP
.))2((
)( ))2(())2((
2
1
2
2
1
122
2
1
2
1
2
2
,1,4
21
hixkhixk
i ee
k
k
hix
k
kkk
k
kk
C (7)
Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 79
Перейдем к построению сплайна )(xBi на участке ],[ 21 ii xx ).1,1( Ni
По аналогии с построением на предыдущем участке решение уравнения с посто-
янными коэффициентами будем искать в виде
))2(())2(( ,4,2,4,14 hixCChixP ii
.
))2((
,4,4
))2((
,4,3
21 hixk
i
hixk
i eCeC
Составим систему для нахождения коэффициентов сплайна, исходя из усло-
вий: 0)0(,0)0(,0)0( 444 PPP . Выразив коэффициенты )3,2,1(,4, jC ij
)1,1( Ni через iC ,4,4 , получим соотношение
))2((4 hixP
.))2((
)( ))2(())2((
2
1
2
2
1
122
2
1
2
1
2
2
,4,4
21
hixkhixk
i ee
k
k
hix
k
kkk
k
kk
C (8)
На участках ],[ 1 ii xx и ],[ 1ii xx )1,1( Ni сплайн )(xBi ищем в виде
))2(())2(( ,,2,,1 hmixCChmixP imimm
.
))2((
,,4
))2((
,,3
21 hmixk
im
hmixk
im eCeC
(9)
Коэффициенты )3,2;4,3,2,1(,, mkC imk находим, используя условия )2( jiPj
);2(1 jiPj );2()2( 1 jiPjiP jj )1,1)(2()2( 1 NijiPjiP jj
).3,2,1( j Для этого решаем систему из девяти уравнений, в результате получаем,
что все коэффициенты imkC ,, )4,3,2;4,3,2,1( mk выражаются через коэф-
фициент iC ,1,4 )1,1( Ni , который находим, используя условие нормировки:
.1)()0()( 421 hPPhP (10)
Вычисляя значения ))2(();();)2(( 421 hixPihxPhixP соответственно в
точках ),1,0,1()( khkix ),1,1( Ni и подставляя их в равенство (11),
находим значение коэффициента :,1,4 iC
hkhkhkhkkhkkhkhkk
i eeeeeeekC 1222121121 32)3()32(2)2(
1,1,4 2223(
)(/()32( 122
)2(3)23()3( 21212121 kkhkeeeee
hkkhkhkhkkhkk
hkkhkkhkhkhkkhkhkk
eeeeeee
)2()3(4)43(22)2( 21211221121 6833(
hkhkhkkhkhkhkkhkhkk
eeeeeeee 21212121221 33222)34(4)23(
33336
)).86633
)3()32()2()4()4( 2121212121 hkkhkkhkkhkkhkk
eeeee
80 ISSN 0572-2691
Теперь, имея явный вид коэффициента iC ,1,4 ),1,1( Ni нетрудно получить
асимптотические разложения коэффициентов ).4,3,2,1;4,3,2,1(,, mkC imk
Подставляя их в выражения (7)–(9), можно получить явный вид сплайна )(xBi на
каждом участке ],[ 1 ii xx ).1,1( Ni
Из-за громоздкости формул приведем лишь вид сплайна )(xBi на участке
],[ 12 ii xx :)1,1( Ni
)(/()
22(
)322
223())2((
2121
)2(2
1
)2(2
2
2
2
12
2
12
2
1
2
21
2
21
2
1
2
21
2
2
3)2()32()3(32
)3()23(2)2(
1
21
22111221122
1212121
kkkhkekek
hkkhikkxkkhkkhikkkxkkk
eeeeeeee
eeeehixP
hihxkhhixk
hkhkkhkhkkhkkhkhkhk
hkkhkkhkhkk
hkkhkhkhkkhkkkh
eeeeee
)3(4)34(2)2(2 121212121 833(
hkhkhkkhkhkkhkk
eeeeee 211221221 2)43(4)32()2(
366
hkkhkkhkhkhkk
eeeee
)4()4(33)2(2 21122121 33333
)).866
)3()23()2( 211221 hkkhkkhkk
eee
Вычисляя значения составляющей сплайна ))2((1 hixP в точке 1 ixx
)1,1( Ni и разлагая полученный результат в ряд в окрестности точки ,ix пос-
ле подстановки выражений для 21 , kk приходим к формуле (3).
В результате аналогичных рассуждений для составляющих сплайна ),(2 ihxP
))1((3 hixP получаем асимптотические разложения значений )(xBi в точках
,)1(, hixihx т.е. формулы (4), (5). Таким образом, лемма 1 доказана.
Любой обобщенный L-сплайн из пространства }){},{,( ],[ iibaN qpS ),0( Ni
имеет вид
).(),(
1
1
xBCxfS k
N
k
k
(11)
Выбираем коэффициенты Ck так, чтобы полученный сплайн асимптотически сов-
падал с интерполяционным, т.е. значения сплайна в узлах «почти» совпадали со
значениями функции. Покажем, что это условие выполняется для коэффициентов
))
480
1
1440
11
1440
1
180
1
(
24
1
(
))
252
1
504
1
42
1
)(
4
3
))((
3
1
6
5
(
120
1
12
1
1(
33
4222
242
hqppppqhpf
ppqqppqpqp
pppqphhpfC
kkkkkkkk
kkkkkkkkkk
kkkkkkkk
,)
180
1
30
1
72
1
(
6
1
( 222 hpqpf
kkkk (12)
Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 81
где ),(khffk ),(khppk ),1,1( Nk ,11 kkk fff 1
2
kk ff
,2 1 kk ff )(xBk удовлетворяет (1) при .],[ 22 kk xxx Целесообразность
такого выбора коэффициентов сплайна будет обоснована в лемме 2.
Лемма 2. Если )(xBi — сплайн, на каждом участке ],[ 1 ii xx )1,1( Ni
удовлетворяющий уравнению (1) и ,)(),(
1
1
N
i
ii xBxS то сплайн ),( xS в уз-
лах принимает значения
iiiiiii
iiiiiiiiiii
iiiii
iiiiiii
qppppqh
ppqqppqpqp
pppqph
hppxS
24
1
18
1
72
1
9
1
10
1
252
1
504
1
42
1
)(
4
3
))((
2
1
2
5
120
1
6
1
12
1
12
1
),(
34
4222
24
2
),(
720
1
180
1
24
1 524 hOpqph iiii
(13)
где ),( ii x ),( ii x )( ii x ).1,1( Ni
Доказательство. Подставив в формулы (4), (6) вместо значений ii qp , зна-
чения 11, ii qp и 11, ii qp соответственно, получим значения )(1 xBi и
)(1 xBi в точке .ihx Затем, разложив их и функцию )(x в окрестности точки
,ixx подставим в равенство
).()()(),( 1111 iiiiiiiiii xBxBxBxS (14)
Проведя ряд преобразований, получим равенство (13). Таким образом, лемма 2
доказана.
Покажем, что сплайны вида (11) являются квазиинтерполяционными, т.е.
значения их почти совпадают со значениями функции в узлах, но сначала найдем
главный член асимптотики погрешности приближения такими сплайнами гладких
функций в произвольной точке. Его вид приведен в следующей теореме.
Оценка погрешности приближения обобщенным L-сплайном
Теорема. Пусть функция 5
],[)( baCxf и сплайн ),( xfS представим в виде
(11), где коэффициенты находятся из формулы (12) и ,)(,)( 2
],[
3
],[ baba CxqCxp
тогда при 0h на каждом из промежутков ],[ 1ii xx ),0( Ni равномерно по i
и по x будет выполнено соотношение
),()(
36
1
)()(
24
1
),()( 5)3()4(42
1
2 hOfqfpfhrxxxxxfSxf iiiiiiii
где ,)(
ihxi fGr
).())()(()()()()( xfxpxqxfxpxffG
Следующее следствие дает значение сплайна (11) в узлах, тем самым, пока-
зывая, что эти сплайны «почти интерполяционные».
82 ISSN 0572-2691
Следствие. Пусть сплайн ),( xfS имеет вид (11), где коэффициенты нахо-
дятся из (12) и 5
],[
)(
ba
Cxf удовлетворяет уравнению (1) на каждом из проме-
жутков ],[ 1ii xx ),0( Ni и ,)(,)( 2
],[
3
],[ baba CxqCxp тогда при 0h на ка-
ждом из промежутков ],[ 1ii xx равномерно по i выполнено соотношение
).(),( 5hOfxfS ii
Доказательство теоремы может быть получено из леммы 2, если в качестве
коэффициента i взять значение iC из формулы (12). Действительно, подставляя
эти значения в (11), и используя явный вид сплайна ),(xBi полученный при дока-
зательстве леммы 1, а также разложения в ряд Тейлора в окрестности точки
ixx значений функций 111111 ,,,,, iiiiii qqppff и их производных с
учетом (13), замечаем, что слагаемые, содержащие 2h и ,3h сокращаются. После
подстановки асимптотических разложений сплайнов ),(1 xBi ),(1 xBi )(2 xBi
(из-за громоздкости эти формулы не приводятся) в произвольной точке отрезка
],[ 1 ii xx ),1( Ni и приведения подобных слагаемых получаем
)233(
))1(()(
24
1
)(
24
1
)(
6
1
)("
2
1
)(),(
)3()4(
224)4(
3)3(2
iiiiiiiiiiiiiii
i
iiii
fqfqfpfpfpfqfpf
hixihxihxf
ihxfihxfihxffxfS
).()(
36
1 5)3()4(4 hOfqfpfh iiiii
(15)
Заметим, что, продифференцировав дважды по x уравнение вида )(xf
),()()()()( xrxfxQxfxP где ),()()(),()( xqxpxQxpxP и вычислив
значение в точке ,ihx получим выражение
,23"3
)3()4(
iiiiiiiiiiiiiii fqfqfpfpfpfqfpf
а значит,
).("))())()(()()()(( iihx
xrxfxqxpxfxpxf
Нетрудно заметить, что после разложения функции )(xf в окрестности точки ix
сразу же получается доказательство теоремы.
Подставив в равенство (15) ,ihx получим значение сплайна в точке .ix
Очевидно, что оно совпадает со значением функции в этой точке с точностью до
слагаемого, содержащего .4h А если функция )(xf удовлетворяет дифференци-
альному уравнению (1), то выполнено равенство ),(),( 5hOfxfS ii что и до-
казывает следствие.
Заключение
Таким образом, в настоящей работе построена конструкция обобщенных ба-
зисных сплайнов, порожденных дифференциальным оператором, коэффициенты
которого различны на каждом частичном участке разбиения. Эти сплайны явля-
ются естественным аналогом кубических В-сплайнов. На основе обобщенных ба-
зисных функций построены «почти интерполяционные» обобщенные L-сплайны.
Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 83
Найден главный член асимптотики погрешности приближения гладких функций
такими сплайнами в произвольной точке, а также получена оценка уклонения
значений сплайна от значений функции в узлах интерполяции.
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессо-
ру А.А. Лигуну за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
Ж.В. Худая
ПРО НАБЛИЖЕННЯ ГЛАДКИХ
ФУНКЦІЙ L-СПЛАЙНАМИ В ТОЧЦІ
Побудовано «майже інтерполяційні» узагальнені L-сплайни на основі базисних
функцій, склеєних з частин розв’язків диференціального рівняння, коефіцієнти
якого змінюються від відрізка до відрізка. Отримано оцінку похибки набли-
ження такими сплайнами гладких функцій в довільній точці і доведено понадз-
біжність у вузлах сплайна, що наближає функції, які задовольняють тому ж ди-
ференціальному рівнянню, що і побудований сплайн.
Zh.V. Khudaya
ON APPROXIMATON OF SMOOTH
FUNCTIONS BY L-SPLINES IN A POINT
«Almost interpolation» generalized L-splines are built on the basis of base functions,
composed of parts of solutions of differential equation the coefficients of which
change from segment to segment. The estimation of error of approximation of
smooth functions by such splines in an arbitrary point is obtained and
overconverngence in the knots of spline which approximates functions satisfying the
same differential equation as the built spline is proved.
1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. — М. : Мир. —
1972. — 389 с.
2. Березовский А.И., Нечипоренко Н.А. К восстановлению функций локальными параболиче-
скими сплайнами // Оптимизация вычислений и численные методы. — Киев : Ин-т кибер-
нетики АН УССР. — 1987. — С. 38–41.
3. Лигун А.А. О приближении дифференцируемых функций локальными сплайнами мини-
мального дефекта // Укр. мат. журн. — 1981. — 33, № 5. — С. 691–693.
4. Лигун А.А., Шумейко А.А. Асимптотические методы восстановления кривых. — Киев : ИМ
НАН Украины. — 1997. — 358 с.
5. Худая Ж.В. Об асимптотике приближения функции L-сплайнами в зависимости от положе-
ния точки // Питання прикладної математики та математичного моделювання. — Днепро-
петровск : ДНУ. — 2007. — С. 257–268.
Получено 04.04.2008
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-209229 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:57:36Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Худая, Ж.В. 2025-11-16T16:07:29Z 2008 О приближении гладких функций L-сплайнами в точке / Ж.В. Худая // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 4. — С. 76-83. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209229 519.6 10.1615/JAutomatInfScien.v40.i7.70 Побудовано «майже інтерполяційні» узагальнені L-сплайни на основі базисних функцій, склеєних з частин розв’язків диференціального рівняння, коефіцієнти якого змінюються від відрізка до відрізка. Отримано оцінку похибки наближення такими сплайнами гладких функцій в довільній точці і доведено понадзбіжність у вузлах сплайна, що наближає функції, які задовольняють тому ж диференціальному рівнянню, що і побудований сплайн. «Almost interpolation» generalized L-splines are built on the basis of base functions, composed of parts of solutions of differential equation the coefficients of which change from segment to segment. The estimation of error of approximation of smooth functions by such splines in an arbitrary point is obtained and overconverngence in the knots of spline which approximates functions satisfying the same differential equation as the built spline is proved. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы обработки информации О приближении гладких функций L-сплайнами в точке Про наближення гладких функцій L-сплайнами в точці On approximation of smooth functions by L-splines in a point Article published earlier |
| spellingShingle | О приближении гладких функций L-сплайнами в точке Худая, Ж.В. Методы обработки информации |
| title | О приближении гладких функций L-сплайнами в точке |
| title_alt | Про наближення гладких функцій L-сплайнами в точці On approximation of smooth functions by L-splines in a point |
| title_full | О приближении гладких функций L-сплайнами в точке |
| title_fullStr | О приближении гладких функций L-сплайнами в точке |
| title_full_unstemmed | О приближении гладких функций L-сплайнами в точке |
| title_short | О приближении гладких функций L-сплайнами в точке |
| title_sort | о приближении гладких функций l-сплайнами в точке |
| topic | Методы обработки информации |
| topic_facet | Методы обработки информации |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209229 |
| work_keys_str_mv | AT hudaâžv opribliženiigladkihfunkciilsplainamivtočke AT hudaâžv pronabližennâgladkihfunkcíilsplainamivtočcí AT hudaâžv onapproximationofsmoothfunctionsbylsplinesinapoint |