Особливості застосування числового методу скінченних різниць при моделюванні фізичних процесів

Розглянуто особливості застосування методу Рунге-Кутта до розв’язування нелінійних диференціальних рівнянь, якими описується рух газу в трубопроводах. Проаналізовано адекватність параболічного диференціального оператора його різницевому аналогу. На основі модельної задачі показано вплив похибки вхід...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2005
Main Authors:	Кушнір, Р., П’янило, Я., П’янило, А.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2005
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20925
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Особливості застосування числового методу скінченних різниць при моделюванні фізичних процесів/ Р. Кушнір, Я. П’янило, А. П’янило // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 2. — С. 58-69. — Бібліогр.: 3 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-20925
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-209252025-02-09T20:15:46Z Особливості застосування числового методу скінченних різниць при моделюванні фізичних процесів Features of Application of Numerical Method of Differences under Physical Processes Modelling Особенности применения численного разностного метода при моделировании физических процессов Кушнір, Р. П’янило, Я. П’янило, А. Розглянуто особливості застосування методу Рунге-Кутта до розв’язування нелінійних диференціальних рівнянь, якими описується рух газу в трубопроводах. Проаналізовано адекватність параболічного диференціального оператора його різницевому аналогу. На основі модельної задачі показано вплив похибки вхідних даних на процедуру дискретизації диференціального оператора. Методом оберненого ходу розв’язано задачу про розподіл тиску в трубопроводі при нестаціонарному русі газу в ньому. Запропоновано деякі способи підвищення ефективності застосування числових різницевих методів до розв’язування задач математичної фізики. The features of application of Runge-Kutta method for solving of nonlinear differential equations describing a gas motion in pipelines are considered. Adequacy of parabolic differential operator to its difference analogue is analysed. On a model problem the influence of the input data errors on the procedure of the differential operator discretization is shown. Applying the counter motion method the problem of determination of pressure distribution in the pipeline at nonstationary gas flow is solved. Some methods to increase the efficiency of application of the numerical difference method in mathematical physics problems are offered. Рассмотрены особенности применения метода Рунге-Кутта к решению нелинейных дифференциальных уравнений, которыми описывается движение газа в трубопроводах. Проанализирована адекватность параболического дифференциального оператора его разностному аналогу. На основе модельной задачи показано влияние погрешности входных данных на процедуру дискретизации дифференциального оператора. Методом обратного хода решена задача о распределении давления в трубопроводе при нестационарном движении газа в нем. Предложены некоторые способы повышения эффективности применения числовых разностных методов к решению задач математической физики. 2005 Article Особливості застосування числового методу скінченних різниць при моделюванні фізичних процесів/ Р. Кушнір, Я. П’янило, А. П’янило // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 2. — С. 58-69. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20925 621.64.029 uk application/pdf Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Розглянуто особливості застосування методу Рунге-Кутта до розв’язування нелінійних диференціальних рівнянь, якими описується рух газу в трубопроводах. Проаналізовано адекватність параболічного диференціального оператора його різницевому аналогу. На основі модельної задачі показано вплив похибки вхідних даних на процедуру дискретизації диференціального оператора. Методом оберненого ходу розв’язано задачу про розподіл тиску в трубопроводі при нестаціонарному русі газу в ньому. Запропоновано деякі способи підвищення ефективності застосування числових різницевих методів до розв’язування задач математичної фізики.
format	Article
author	Кушнір, Р. П’янило, Я. П’янило, А.
spellingShingle	Кушнір, Р. П’янило, Я. П’янило, А. Особливості застосування числового методу скінченних різниць при моделюванні фізичних процесів
author_facet	Кушнір, Р. П’янило, Я. П’янило, А.
author_sort	Кушнір, Р.
title	Особливості застосування числового методу скінченних різниць при моделюванні фізичних процесів
title_short	Особливості застосування числового методу скінченних різниць при моделюванні фізичних процесів
title_full	Особливості застосування числового методу скінченних різниць при моделюванні фізичних процесів
title_fullStr	Особливості застосування числового методу скінченних різниць при моделюванні фізичних процесів
title_full_unstemmed	Особливості застосування числового методу скінченних різниць при моделюванні фізичних процесів
title_sort	особливості застосування числового методу скінченних різниць при моделюванні фізичних процесів
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2005
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20925
citation_txt	Особливості застосування числового методу скінченних різниць при моделюванні фізичних процесів/ Р. Кушнір, Я. П’янило, А. П’янило // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 2. — С. 58-69. — Бібліогр.: 3 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT kušnírr osoblivostízastosuvannâčislovogometoduskínčennihríznicʹprimodelûvannífízičnihprocesív AT pâniloâ osoblivostízastosuvannâčislovogometoduskínčennihríznicʹprimodelûvannífízičnihprocesív AT pâniloa osoblivostízastosuvannâčislovogometoduskínčennihríznicʹprimodelûvannífízičnihprocesív AT kušnírr featuresofapplicationofnumericalmethodofdifferencesunderphysicalprocessesmodelling AT pâniloâ featuresofapplicationofnumericalmethodofdifferencesunderphysicalprocessesmodelling AT pâniloa featuresofapplicationofnumericalmethodofdifferencesunderphysicalprocessesmodelling AT kušnírr osobennostiprimeneniâčislennogoraznostnogometodaprimodelirovaniifizičeskihprocessov AT pâniloâ osobennostiprimeneniâčislennogoraznostnogometodaprimodelirovaniifizičeskihprocessov AT pâniloa osobennostiprimeneniâčislennogoraznostnogometodaprimodelirovaniifizičeskihprocessov
first_indexed	2025-11-30T10:23:23Z
last_indexed	2025-11-30T10:23:23Z
_version_	1850210471330709504
fulltext	Особливості застосування числового методу скінченних різниць при моделюванні фізичних процесів Роман Кушнір1, Ярослав П’янило2, Андрій П’янило3 1 д. ф.-м. н., Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Нау- кова, 3 б, 79053, Львів, e-mail: prom@cmm.lviv.ua 2 к. ф.-м. н., с. н. с., Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Дудаєва, 15, 79005, Львів, e-mail: prom@cmm.lviv.ua 3 Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Наукова, 3 б, Львів, 79053, e-mail: prom@cmm.lviv.ua Розглянуто особливості застосування методу Рунге-Кутта до розв’язування нелінійних ди- ференціальних рівнянь, якими описується рух газу в трубопроводах. Проаналізовано адек- ватність параболічного диференціального оператора його різницевому аналогу. На основі модельної задачі показано вплив похибки вхідних даних на процедуру дискретизації дифе- ренціального оператора. Методом оберненого ходу розв’язано задачу про розподіл тиску в трубопроводі при нестаціонарному русі газу в ньому. Запропоновано деякі способи підви- щення ефективності застосування числових різницевих методів до розв’язування задач математичної фізики. Ключові слова: моделювання фізичних процесів, нестаціонарні задачі ма- тематичної фізики, інтегральні перетворення, обчислювальний експеримент. Вступ. Метою математичного моделювання є розкриття і поглиблене досліджен- ня механізму явищ і взаємодії його частин. В якості математичного апарату використовують диференціальні рівняння, математичну статистику, лінійні гра- фи й інші підходи. Очевидно, що оптимальним, з точки зору обчислювальної ма- тематики, є отримання параметричних залежностей між характеристиками фізич- них процесів. Як правило, якщо фізичні процеси описуються диференціальними рівняннями (звичайними чи в часткових похідних), то такі рівняння є нелінійни- ми і вимагають значних додаткових досліджень при розв’язуванні відповідних задач математичної фізики. Останнім часом широко застосовують числові мето- ди розв’язування задач математичної фізики, які мають як переваги, так і недо- ліки. Перевагою, зокрема, є те, що числові методи дають змогу розв’язати широ- кий клас початково-граничних задач та побудувати на цій основі автоматизовані алгоритми. До негативних сторін можна віднести наступні. При розв’язуванні задач математичної фізики виникає три типи похибок: похибка методу; похибка вхідних даних (неусувна похибка); машинна похибка, яка виникає внаслідок обмеженої розрядності. Як правило, при дослідженні числових методів обмежуються аналізом похибки методу і мало звертають увагу на інші похибки. Але при дослідженні реальних фізичних процесів вагомою є по- УДК 621.64.029 58 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2005, вип. 2, 58-69 59 хибка вхідних даних. Це пов’язано з тим, що заміряні дані відомі в нееквідис- тантних точках і зі значною похибкою. Крім цього, використання числових мето- дів вимагає дискретизації вихідних рівнянь, яка не дозволяє оцінити похибку, що виникає при цьому. Метою даної роботи є аналіз числового методу скінченних різниць та ви- значення меж його застосування при розв’язуванні задач математичної фізики. 1. Використання методу Рунге-Кутта Застосуємо числові методи до розв’язування нелінійних диференціальних рів- нянь, якими описується багато фізичних процесів, зокрема рух газу в трубо- проводах у стаціонарному випадку [1, 2] 2 2 0 2 2 dp dxd g dh D  υ υ + α + λ + = ρ   (1) де ( )p p x= — розподіл тиску по довжині трубопроводу; ρ — густина газу; α — коефіцієнт Коріоліса (для ламінарного потоку α = 2, а для турбулентного — α = 1,1); υ — швидкість газу; λ — коефіцієнт гідравлічного опору; x — біжуча координата [ ]0,x l∈ , де l — довжина трубопроводу; D — внутрішній діаметр трубопроводу; g — прискорення вільного падіння; ( )h h x= — крива, що описує рельєф траси газопроводу і в даному випадку моделюється похилою прямою 0( ) hh h x x h l ∆ = = + . (2) Тут h∆ — перепад висот між початковою та кінцевою точками трубопроводу, а густина ρ обчислюється за формулою p g RT ρ = χ , (3) де χ — коефіцієнт надстисливості газу; T — температура газу; R — газова стала. Якщо прийняти, що параметри χ та T є постійні, то розв’язок диференці- ального рівняння (1) при відомому вхідному тискові 0p отримується достатньо просто в аналітичному вигляді. Однак, при розв’язуванні реальних задач згадані параметри є змінними і обчислюються згідно аналітично та емпірично побудова- них формул, зокрема 1 , 1 fp χ = + де ( ) 91002,121,024 −⋅⋅−= Ctf , t — температура газу (за Цельсієм); 01 02( ) axT x T T e−= + , Роман Кушнір, Ярослав П’янило, Андрій П’янило Особливості застосування числового методу скінченних різниць при моделюванні фізичних процесів 60 01 00 02 0 00,ã ãT T T T T T T= − = − + 00 0 1 1 i p p g hT p D aL C Cρ    ∆ = ∆ − +       , 0 kp p p∆ = − , p k Da C M π = 0T — температура газу на вході в трубопровід; гT — температура ґрунту; iD — коефіцієнт Джоуля-Ленца; k — коефіцієнт теплопередачі від газу до ґрунту; ρ0 — густина газу в стандартних умовах; pC — питома теплоємність газу при сталому тиску; 0 , kp p — значення тиску на початку й в кінці газопроводу; ρυ=M — масова витрата газу. В даному випадку отримати розв’язок рівняння (1) в параметричній формі не вдається. Тому для знаходження розв’язку використано числовий метод Рунге-Кутта різного порядку точності. Для цього вихідне рівнян- ня необхідно записати так 2 2 3 2 2 1 ( )p Tdp p dx p T T η + η χ = − + η χ χ . (4) Тут 2 2 1 2 3, , 2 2 R M R M g h S D S RL α λ ∆   η = − η = η =        . Результати розв’язку даного рівняння в кінці трубопроводу довжиною 122 км і діаметром 1,388 м приведені в таблиці 1, де в першій колонці приведено значен- ня тиску на вході в трубопровід, в другій — точне значення тиску, з третьої до шостої колонок —значення тиску, обчислені методом Рунге-Кутта відповідно першого, другого, третього та четвертого порядків точності. При цьому точними є тільки дві значущих цифри в граничній умові. У таблиці 2 приведені значення вхідного та обчислені методом Рунге-Кутта другого ступеня точності значення вихідних тисків для різної кількості кроків розбиття. Результати обчислень пока- зують, що при розв’язуванні практичних задач з малою кількістю значущих цифр збільшення кількості кроків розбиття та ступеня точності в методі Рунге-Кутта не приводять до покращення результатів. Існують такі значення параметрів, при яких похибка обчислень є мінімальною. Очевидно, що вибір оптимальних пара- метрів можливий в тому випадку, коли відома апріорна інформація про шуканий розв’язок. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2005, вип. 2, 58-69 61 Таблиця 1 Значення вхідного та обчислених методом Рунге-Кутта різного ступеня точності вихідних тисків Вхідне значення Точне значення 1 доданок 2 доданки 3 доданки 4 доданки 66,8 48,5 58,326 48,304 35,456 13,963 66,8 48,4 58,362 48,392 35,638 14,523 66,7 48,4 58,257 48,276 35,496 14,231 66,6 48,4 58,172 48,211 35,457 14,256 66,5 48,3 58,067 48,095 35,314 13,96 66,5 48,3 58,144 48,284 35,701 15,134 66,8 47,9 59,924 52,097 42,8 30,765 66,8 48,5 58,465 48,643 36,149 16,029 66,8 48,5 58,279 48,19 35,221 13,213 66,7 48,5 58,257 48,276 35,496 14,231 66,6 48,5 58,146 48,147 35,327 13,852 66,6 48,4 58,208 48,299 35,638 14,805 66,5 48,3 58,103 48,183 35,496 14,518 66,4 48,3 58,029 48,143 35,509 14,698 66,2 48,2 57,823 47,923 35,25 14,197 66,2 48,1 57,86 48,012 35,431 14,746 66,1 48 57,811 48,034 35,572 15,299 66 47,9 57,696 47,893 35,379 14,869 66 47,9 57,685 47,868 35,328 14,716 Роман Кушнір, Ярослав П’янило, Андрій П’янило Особливості застосування числового методу скінченних різниць при моделюванні фізичних процесів 62 Таблиця 2 Значення вхідного та обчислених методом Рунге-Кутта другого ступеня точності вихідних тисків при різній кількості кроків розбиття Обчислені значення Вхідне значення Точне значення 5 вузлів 10 вузлів 20 вузлів 30 вузлів 40 вузлів 50 вузлів 66,8 48,5 48,987 48,609 48,408 48,339 48,304 48,283 66,8 48,4 49,068 48,695 48,495 48,427 48,392 48,371 66,7 48,4 48,955 48,58 48,38 48,311 48,276 48,255 66,6 48,4 48,888 48,514 48,314 48,245 48,211 48,19 66,5 48,3 48,774 48,399 48,198 48,129 48,095 48,074 66,5 48,3 48,948 48,581 48,385 48,318 48,284 48,263 66,8 47,9 52,518 52,284 52,16 52,119 52,097 52,085 66,8 48,5 49,299 48,937 48,743 48,677 48,643 48,623 66,8 48,5 48,882 48,499 48,295 48,225 48,19 48,168 66,7 48,5 48,955 48,58 48,38 48,311 48,276 48,255 66,6 48,5 48,829 48,453 48,252 48,182 48,147 48,126 66,6 48,4 48,969 48,599 48,401 48,333 48,299 48,278 66,5 48,3 48,855 48,484 48,286 48,218 48,183 48,162 66,4 48,3 48,811 48,442 48,245 48,177 48,143 48,122 66,2 48,2 48,596 48,224 48,026 47,958 47,923 47,903 66,2 48,1 48,677 48,309 48,113 48,046 48,012 47,991 66,1 48 48,691 48,328 48,134 48,068 48,034 48,014 66 47,9 48,555 48,189 47,994 47,927 47,893 47,873 66 47,9 48,531 48,165 47,969 47,902 47,868 47,848 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2005, вип. 2, 58-69 63 2. Використання різницевих методів Досить часто для розв’язування нестаціонарних задач математичної фізики вико- ристовуються різницеві методи. На модельній задачі проаналізуємо вплив про- цедури дискретизації та використання методу прогонки (метод скінченних різ- ниць) на розв’язок рівнянь типу теплопровідності 2 2 2 1 0f f x a t ∂ ∂ − = ∂ ∂ , (5) за нульової початкової умови та при (0, )f t a t= π . Точний розв’язок даного рівняння задається формулою 2 2( , ) exp 4 xf x t a ta t  π = −    . (6) Зауважимо, що рівняннями такого типу у разі відповідної фізичної інтерпретації шуканого розв’язку та параметру а описують процеси поширення тепла, руху га- зу в довгих трубопроводах і т. п. Якщо сформульовану задачу розв’язувати методом скінченних різниць, то диференціальний оператор у рівнянні (5) дискретизується і записується наступ- ним чином (різницевий варіант) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 0 n n n n n m m m m mf f f f f h a + + + + + −− + − − = τ . (7) Отже, в результаті дискретизації отримуємо однорідне різницеве рівняння. Оскільки точний розв’язок задачі відомий, то можемо перевірити адекватність диференціального рівняння (5) та різницевого (7). На рис. 1, 3, 5 показано залеж- ність функції 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1( ) n n n n n m m m m m r f f f f ff h a + + + + + −− + − ∆ = − τ (8) від координати для а = 0,5 з кроками дискретизації τ = h = 0,01 та при 70n m= = . Бачимо, що заміна диференціального оператора різницевим, приводить до знач- ної похибки для малих значень часу та координати, тобто в примежевих зонах. З відходом цих параметрів (часу та координати) від примежевої зони похибка дискретизації суттєво зменшується. Приведена вище похибка дискретизації за умови, що всі параметри обчис- люються в межах розрядної сітки обчислювальної машини. Однак, на практиці вхідні дані задаються з деякою похибкою (так, при дослідженні процесів транс- портування газу похибка вхідних даних складає близько 3%). Тому доцільно пе- ревірити похибку дискретизації й у цьому випадку. На рис. 2, 4 та 6 показано за- лежності функції (8) від координати при тих же значеннях вхідних параметрів, що і на рис. 1, 3 та 5 відповідно, за винятком того, що в значення функції ( , )f x t Роман Кушнір, Ярослав П’янило, Андрій П’янило Особливості застосування числового методу скінченних різниць при моделюванні фізичних процесів 64 внесено систематичну похибку порядку 0,1%. Аналіз цих залежностей показує, що наявність похибки вхідних даних значно збільшує як похибку дискретизації, так і ширину примежевої зони, в якій ця похибка є значною. У роботі [2] відзначається, що стійкість різницевої схеми (7) залежить від кроків дискретизації і побудовано стійку обчислювальну схему, що базується на використанні «оберненого ходу» обчислення шуканого розв’язку і полягає в на- ступному. -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Рис. 1. Залежність функції )( fr∆ від координати для t = 0,02 с -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Рис. 2. Залежність функції )( fr∆ від координати для t = 0,02 с у разі наявності вхідної похибки. -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Рис. 3. Залежність функції )( fr∆ від координати для t = 3 с 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Рис. 4. Залежність функції )( fr∆ від координати для t = 3 с у разі наявності вхідної похибки )( fr∆ x )( fr∆ x x )( fr∆ x )( fr∆ ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2005, вип. 2, 58-69 65 -0,25 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Рис. 5. Залежність функції )( fr∆ від координати для t = 6 с 0 200 400 600 800 1000 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Рис. 6. Залежність функції )( fr∆ від координати для t = 6 с у разі наявності вхідної похибки Нехай ,i jx ih t j= = τ ( nji ,0, = ), де h l n= , та τ — деяка додатна величина, ( , )ij i jf f x t= з граничними і початко- вими умовами (0, ) ( )f t t= ϕ , ( , ) ( )f l t t= φ , ( ,0) ( )f x x= γ . (9) Метод прогонки з використанням «оберненого ходу» полягає у введені додатко- вих величин ija та ijb , які обчислюються за формулами , 1 1, 1 1 2i j i j a s a+ − + = + − , , 1 1, 1 1, 1i j i j i j ijb a b s f+ − + − += + , (10) де 2s h= τ . Зокрема 1, 1 1 2ja s+ = + , 1, 1 1 1( )j j jb t s f+ += ϕ + . (11) Користуючись формулами (10) та (11), визначаються дві послідовності чисел ija та ijb (прямий хід). Невідомі значення шуканого розв’язку знаходяться на основі «оберненого ходу» згідно формул , 1 1( )n j jf t+ += φ , ( )1, 1 , 1 1, 1 1, 1n j n j n j n jf f b a− + + − + − += + , ( )2, 1 1, 1 2, 1 2, 1n j n j n j n jf f b a− + − + − + − += + , ( )1, 1 2, 1 1, 1 1, 1j j j jf f b a+ + + += + . (12) ( )fr∆ x )( fr∆ x Роман Кушнір, Ярослав П’янило, Андрій П’янило Особливості застосування числового методу скінченних різниць при моделюванні фізичних процесів 66 Система співвідношень (12) дозволяє побудувати шуканий розв’язок вихідної за- дачі математичної фізики (5) за вказаних крайових умов. При цьому 0, 1 1( )j jf t+ += ϕ , , 1 1( )n j jf t+ += φ . Запропонована схема використана для побудови розв’язку рівняння (5) при ну- льовій початковій умові та при (0, )f t a t= π . На рис. 7 показано абсолютну похибку між точним значенням розв’язку вихідної задачі і значенням, отриманим за допомогою методу «оберненого ходу». Рис. 7. Абсолютна похибка між точним значенням розв’язку вихідної задачі і значенням, отриманим за допомогою методу «оберненого ходу» При ca k = , 2 ck D λυ = , де с — швидкість звуку в газі, λ — коефіцієнт гідравлічного опору, D — діаметр трубопроводу, cυ — середня швидкість газу в трубопроводі, рівняння (5) описує розподіл тиску в довгих трубопроводах. Параметричний роз- в’язок задачі математичної фізики при початковому розподілі тиску 00( ,0) bx kkp x p p e= + , 0 00 1 bl k bl p p e p e − − − = − , 0 , 1 blk kk bl p pp e e − − − = − (13) та граничних умовах ( ) 0 0 0(0, ) ( ) t op opp t p t p p p e−γ= = + − , ( )( , ) ( ) kt l kp k kpp l t p t p p p e−γ= = + − (14) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2005, вип. 2, 58-69 67 задається співвідношеннями 2 1 00( , ) , , , , , , exp ( )l kk l x l x lp x t x t x t p p bx ab t a a a a −     = ζ + ζ + + +         , (15) ( ) ( ) ( ) 2 2 1, , , 1 i i t kk i i px v u t v e u a b −γ  ζ = − −β − + +      ( ) ( )2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 1 sin2 ( 1) k i k i a t t a tk a b tk i i kk k k i k k a v pe e e e a a a b a ∞ − −γ − − =  γ β − − + −  γ − +   ∑ , i = {1, l}, k ka a π = , ( ) 1, 0, , , i kk bl i p e i l− = =  = 0 0 , 0, , . p i k kp p p i p p i l − =β =  − = Тут 0p та kp — значення тисків на початку та в кінці трубопроводу при вихід- ному стаціонарному стані, 0 pp та kpp — значення тисків на початку та в кінці трубопроводу при встановленому стаціонарному стані, 0γ та kγ — параметри, які характеризують швидкість переходу тиску з одного стаціонарного стану в інший, 1 2 2 b D RT λ υ υ = χ , де T — абсолютна температура, 1υ та 2υ — нижня та верхня межі зміни швид- кості газу в трубопроводі. На рис. 8 показано різницю між значеннями розподілу тиску в трубопрово- ді довжиною 100 км, діаметру 1,4 м, отриманими згідно алгоритму (10)-(12) та значеннями, обчисленими за формулою (15) при таких вхідних значеннях термо- гідравлічних параметрів λ = 0,01; R = 500 дж/кг ⋅ К; 300гT = K; χ = 0,91; с = 400 м/с; 0γ = 0,5; 0p = 50 атм; kp = 38 атм; 0 pp = 55 атм; kpp = 44,37 атм для значень часу із проміжку t∈[0,5000]. Рис. 7, 8 показують, що відхилення від значення тиску, обчисленого за точ- ною формулою та різницевим методом є найбільшим у примежевих точках зміни аргументів x та t. Висновки. Оскільки при моделюванні газотранспортних мереж необхідно знати значення тисків на вході ( )0x = та виході ( )x L= трубопроводу, то отримані ре- зультати показують, що використання різницевих методів для розрахунку режимів роботи газотранспортних мереж може привести до значних похибок. Окрім цього, Роман Кушнір, Ярослав П’янило, Андрій П’янило Особливості застосування числового методу скінченних різниць при моделюванні фізичних процесів 68 Рис. 8. Абсолютна похибка обчислення розподілу тиску p(x, t) у трубопроводі від координати та часу враховуючи, що значення вхідних гідродинамічних параметрів, які входять у рів- няння руху газу, відомі з певною похибкою, то, як видно з рис. 1-6, використання різницевих методів призводить до значного збільшення похибки шуканого роз- в’язку. Це особливо важливо в тих випадках, коли на основі знайдених розв’язків обчислюються різного роду балансові величини, зокрема об’єми газу, що перека- чується. Відомо, наприклад, що для трубопроводу з вказаними вище параметрами похибка обчислення тиску в одну атмосферу спричиняє похибку в обчисленні об’єму газу в десятки тисяч метрів кубічних за годину. На основі проведених досліджень можна запропонувати деякі способи підвищення ефективності засто- сування числових різницевих методів до розв’язування задач математичної фізики. • З аналізу фізичного процесу відомо, що при стаціонарному русі газу в трубопроводі основним є вклад квадратичної залежності тиску від об’ємного перенесення газу. Використання методу Рунге-Кутта з по- рядком точності вище двох призводить до підвищення порядку залеж- ності тиску від об’ємного перенесення газу. Тому аналіз фізичного процесу дає можливість вибрати необхідний порядок точності даного методу. На вибір кількості вузлів суттєво впливає точність задання вхідної інформації. • При використанні різницевих методів аналіз функції ( )r f∆ дає змогу визначити вплив примежевого шару, в якому розв’язок відповідної за- дачі математичної фізики різницевим способом має значну похибку. Варіація кроків дискретизації допомагає зменшити величину функції ( )r f∆ і тим самим уточнити розв’язок задачі. 6 5 4 3 2 1 0 –1 100000 80000 60000 40000 20000 3 4 5 6 7 8 9 10 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2005, вип. 2, 58-69 69 • У тому випадку, коли примежеві зони є невеликими, балансові величи- ни, обчислені на основі знайденого числового розв’язку, будуть не- значно відрізнятися від реальних величин. У протилежному випадку необхідно знаходити розв’язок задачі математичної фізики іншим спо- собом, наприклад, на основі теорії збурення. Література [1] Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. — М., 1967. — 368 с. [2] Бобровский С. А., Щербаков С. Г. и др. Трубопроводный транспорт газа. — М.: На- ука, 1976. — 495 с. [3] П’янило Я. Д. Дослідження неусталеного руху газу в пористих середовищах // Прикл. проблеми мех. і мат. — 2004. — Вип. 2. — С. 178−184. Features of Application of Numerical Method of Differences under Physical Processes Modelling Roman Kushnir, Yaroslav P’yanylo, Andriy P’yanylo The features of application of Runge-Kutta method for solving of nonlinear differential equations describing a gas motion in pipelines are considered. Adequacy of parabolic differential operator to its difference analogue is analysed. On a model problem the influence of the input data errors on the procedure of the differential operator discretization is shown. Applying the counter motion method the problem of determination of pressure distribution in the pipeline at non-stationary gas flow is solved. Some methods to increase the efficiency of application of the numerical difference method in mathematical physics problems are offered. Особенности применения численного разностного метода при моделировании физических процессов Роман Кушнир, Ярослав Пяныло, Андрий Пяныло Рассмотрены особенности применения метода Рунге-Кутта к решению нелинейных диф- ференциальных уравнений, которыми описывается движение газа в трубопроводах. Про- анализирована адекватность параболического дифференциального оператора его разност- ному аналогу. На основе модельной задачи показано влияние погрешности входных данных на процедуру дискретизации дифференциального оператора. Методом обратного хода решена задача о распределении давления в трубопроводе при нестационарном движении газа в нем. Предложены некоторые способы повышения эффективности применения чис- ловых разностных методов к решению задач математической физики. Отримано 02.12.05

Особливості застосування числового методу скінченних різниць при моделюванні фізичних процесів

Institution

Similar Items