Периодические решения эволюционных уравнений в классе нерефлексивных банаховых пространств
Розглянуто диференціально-операторні рівняння з нелінійними відображеннями Wλ₀-псевдомонотонного типу в класі нерефлексивних банахових просторів. За допомогою методу Дубінського доведено теорему про існування періодичного розв’язку. Одержано апріорні оцінки розв’язків. We study differential-operator...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209302 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Периодические решения эволюционных уравнений в классе нерефлексивных банаховых пространств / П.О. Касьянов, В.С. Мельник , С. Тоскано, Н.В. Задоянчук // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 5. — С. 5-22. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860082901907931136 |
|---|---|
| author | Касьянов, П.О. Мельник, В.С. Тоскано, С. Задоянчук |
| author_facet | Касьянов, П.О. Мельник, В.С. Тоскано, С. Задоянчук |
| citation_txt | Периодические решения эволюционных уравнений в классе нерефлексивных банаховых пространств / П.О. Касьянов, В.С. Мельник , С. Тоскано, Н.В. Задоянчук // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 5. — С. 5-22. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглянуто диференціально-операторні рівняння з нелінійними відображеннями Wλ₀-псевдомонотонного типу в класі нерефлексивних банахових просторів. За допомогою методу Дубінського доведено теорему про існування періодичного розв’язку. Одержано апріорні оцінки розв’язків.
We study differential-operator equations with nonlinear map of Wλ₀-pseudomonotone type in class of nonreflexive Banach spaces. By using the Dubinsky method the main theorem on the existence of the periodic solution is proved. Important a priory estimates for solutions are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:17:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
© П.О. КАСЬЯНОВ, В.С. МЕЛЬНИК , С. ТОСКАНО, Н.В. ЗАДОЯНЧУК, 2008
Проблемы управления и информатики, 2008, № 5 5
ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 517.9
П.О. Касьянов, В.С. Мельник , С. Тоскано, Н.В. Задоянчук
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
В КЛАССЕ НЕРЕФЛЕКСИВНЫХ
БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Вступление
Для исследования нелинейных дифференциально-операторных уравнений и
включений в функциональных рефлексивных банаховых пространствах исполь-
зуются некоторые распространенные методы: Фаэдо–Галеркина, конечных разно-
стей, эллиптической регуляризации, полугрупп нелинейных операторов и т.д. Ме-
тод полугрупп нелинейных операторов в банаховых пространствах излагается в
работах [1–5], в [3–5] расширен метод сингулярных возмущений, методы Фаэдо–
Галеркина и конечных разностей — в [6–10].
В данной работе рассматриваются дифференциально-операторные уравнения
с нелинейными операторами
0
w -псевдомонотонного типа. С помощью схемы,
представленной в [11], доказывается разрешимость периодической задачи в клас-
се нерефлексивных банаховых пространств.
Постановка задачи
Пусть ),(
1
1 V
V и ),(
2
2 V
V — рефлексивные сепарабельные банахо-
вы пространства, непрерывно и плотно вложенные в гильбертово пространство
)),(,( H так, что
21 VV плотно в пространствах 21, VV и ,H (1)
где — некоторое счетное множество.
Отождествляя , HH получаем
2211 , VHVVHV (2)
с непрерывным и плотным вложением [12], где ),(
1ViV
— топологически со-
пряженное к iV пространство относительно канонической билинейной формы
,:, RVV iiVi
,21,i
которая совпадает на H со скалярным произведением .),( Рассмотрим функцио-
нальные пространства ),;();( ipri VSLHSLX
ii
где S — конечный интервал
времени, ,<1 ii rp ,< ip .21,=i Пространства
iX — банаховы с
6 ISSN 0572-2691
нормой .
);();( HSLVSLX
iriipi
yyy Более того, если ,< ir то *
iX —
рефлексивное пространство ).21,( i Рассмотрим также банахово пространство
21 XXX с нормой
.
21
XXX
yyy
Очевидно, пространство ,*
iX ,21,i — двойственное к .iX Аналогично
),;();();();(=
2121 2121 HSLHSLVSLVSLXXX rrqq
где ,11111
iiii qprr .21,i Определим форму двойственности на
: XX
dyfdyfdyfyf V
S
H
S
H
S
1
)(),())(),(())(),((, 211211
,))(),(()(),(
222 dyfdyf
S
V
S
здесь ,22211211 fffff ,);(1 HSLf
iri ,);(2
iqi VSLf
i
.21,i Отме-
тим, что , совпадает со скалярным произведением на .);(= 2 HSLZ
Пусть 11: XXA и 22: XXB — некоторые операторы. Рассмотрим
задачу
,)()( fyByAy (3)
),((0) Tyy (4)
где Xf — произвольный элемент, y — производная от Xy в смысле
пространства скалярных распределений ));(();( wVSDLVSD с ,21 VVV
wV равносильно 21 VVV с топологией ),( VV [13].
Введем банахово пространство }{ XyXyW
с нормой графика
,
XXW
yyy где
}.;
;;{maxinf
);(22);(21
);(12);(11
2)1,=();(),;(:
:
2
2
1
1
2
21
22211211
VSqLVSqL
HSrLHSrL
iVSLfHSLf
ffffX
ff
fff
i
iiqiiri
Вспомогательные утверждения
Далее yyn
в некотором банаховом пространстве Y означает, что ny
слабо сходится к y в Y. Если пространство Y нерефлексивно, то yyn
в
*Y
означает, что ny -слабо сходится к y в .Y
С точки зрения приложений для эволюционных уравнений и включений необхо-
димо представить некоторые обобщения и обоснования результатов из [12–14].
Рассмотрим некоторые рефлексивные банаховы пространства ,1Y 2Y и некото-
рый линейный оператор 21)(: YYLDL с линейной областью определения .)(LD
Предложение 1. Пусть ,1Y 2Y — рефлексивные пространства, )(: LDL
21 YY — замкнутый линейный оператор, т.е. если yyLD n )( в 1Y и
nyL в ,2Y то )(LDy и .yL
Проблемы управления и информатики, 2008, № 5 7
Тогда нормированное пространство )(LD с нормой графика
)(
21)(
LDyyLyy
YYLD
(5)
представляет собой рефлексивное банахово пространство.
Вместе с банаховым пространством W рассмотрим пространства
iW
,});({ XyVSLy ipi
,21,i которые являются банаховыми относительно
нормы
,
);( XVSLW
yyy
iipi
и 210 = WWW с нормой
.
)) 22110 ;(;( XVSLVSLW
yyyy
pp
Очевидно, что iWW с непрерывным вложением при .20,=i Обозначим
);( iW пространство W с топологией ,i индуцированной из .iW Это про-
странство не полное, однако справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Для 20,=i выполняется );( VSCWi с непрерывным вложе-
нием.
Доказательство аналогично соответствующему доказательству леммы
IV.1.11 из [12].
Замечание 1. Для компактного S из определения норм в пространствах W
и
0W следует, что );( VSCW с непрерывным вложением относительно есте-
ственной топологии пространства .W
Теорема 2. Множество 0
1 );( WVSC плотно в .0
W
Доказательство аналогично доказательству леммы IV.1.12 из [12].
Теорема 3. );(0 HSCW
с непрерывным вложением. Более того, для любых
0, Wy и Sts , справедлива следующая формула интегрирования по частям:
.))}(),(())(),({())(),(())(),(( dyyssytty
t
s
(6)
В частности, при фиксированном =y
.))(),(())()((
2
1 22
dyysyty
t
s
HH
(7)
Доказательство. Для упрощения доказательства положим ],[= baS для неко-
торых .<<< ba Справедливость формулы (6) для );(, 1 VSCy прове-
ряется непосредственно. Далее, пусть )(1 SC такое, что 0=)(a и .1)( b Бо-
лее того, при );(1 VSCy пусть y = и .= yy Тогда на основании фор-
мулы (6)
,)))(),()((2))(),()((())(),(( dssysyssysystyt
t
a
,)))(),())((2(1))(),()((())(),(( dssysyssysystyt
b
t
8 ISSN 0572-2691
где 2121 y с );( iqi VSL
i
и ,);( HSL
iri .21,i Из преды-
дущих неравенств следует, что
dssysydssysyssysysty
b
t
b
t
H
))(),((2)))(),()((2))(),()(((=)(
2
dssysysyys
S
VSLVSCSs
))(),(1)()((2
)
)(max
);(;( 1
);(;( 1)
)(max
VSLVSCSs
yys
);();(2);();(1
2
2
221
1
1
1
(1)(max2
VSLVSLVSLVSLSs pqpq
yys
)
);();(2);();(1
2211
HSLHSLHSLHSL rrrr
yy
))(mes)(mes(
)
)(max 2
2
2
1
1
1
1/
);(
1/
);(;(
q
VSL
q
VSLVSCSs
SySyys
pp
)(1)(max2
);(2);(1);(2);(1
21
2
2
1
1
HSLHSLVSLVSLSs rrqq
s
),)(mes)(mes( 21
2
2
1
1
1/
);(
1/
);();();(
r
HSC
r
HSCVSLVSL
SySyyy
pp
.)(mes abS
Отсюда на основании теоремы 1 и определения ,|||| X положив в последней
правой части )/()(=)( abatt ,St получаем
,
);(3
2
2
2
);( 00 HSCWWHSC
yyCyCy (8)
где 1C — константа из неравенства
0
1;( ) WVSC
yCy ,0
Wy
.}1,
},
)({mesmax2=,
})(mes,)(mes{min
2= 21
21
{min1/
31/1/
1
2
rr
pp
SC
SS
C
C
Поскольку 0=
1
и 0>, 32 CC , из (8) следует
0
4);( WHSC
yCy ),;(1 VSCy (9)
где 2/)4(= 2
2
334 CCCC не зависит от y.
Теперь применим теорему 2. Пусть для произвольного элемента
0Wy су-
ществует 1}{ nny — последовательность элементов из );(1 VSC , сходящаяся к y
в топологии .0 Тогда с учетом (9)
0
0
4);(
WknHSCkn yyCyy
и, значит, последовательность 1}{ nny сходится в );( HSC и имеет единственный
предел );( HSC такой, что для почти всех St выполняется .)(=)( tyt По-
Проблемы управления и информатики, 2008, № 5 9
этому );( HSCy и вложение );(0 HSCW доказано. Переходя к пределу в (9)
с nyy = при ,n получаем обоснованность данной оценки .0
Wy Это
доказывает непрерывность вложения W в .);( HSC
Докажем формулу (6). Для любых 0, Wy и для соответствующих аппрок-
симирующих последовательностей );(},{ 1
1 VSCy nnn перейдем к пределу
в (6) с ,= nyy n = при .n Из теоремы Лебега и того, что
);(0
VSCW непрерывно, следует, что формула (6) справедлива для всех
., 0
Wy
На основании непрерывности вложения 0WW и последней теоремы
сформулируем следующее утверждение.
Следствие 1. );( HSCW с непрерывным вложением. Более того, для лю-
бых Wy, и Sts , справедлива формула (6).
Пусть ,0B ,1B 2B — банаховы пространства такие, что
1) 20 , BB — рефлексивные, 10 BB — компактно;
2) 210 BBB — непрерывно.
Лемма 1 [14, лемма 1.5.1]. При условиях 1, 2 для произвольного 0> суще-
ствует 0>C такое, что
.0
201
BxxCxx
BBB
Следствие 2. Пусть ,0B ,1B 2B — банаховы пространства, удовлетворяю-
щие условиям 1, 2, ,][1;1 p ][0,= TS и множество .);(
1
VSLK p При
предположениях:
a) K — предкомпактное множество в ;);( 21
BSLp
б) K — ограниченное множество в ,);( 01
BSLp
K — предкомпактное множество в .);( 11
BSLp
Теорема 4 [15, теорема 1]. Пусть выполняются условия 1, 2 для ;,, 210 BBB
,)[1;, 10 pp S — конечный интервал времени, );( 01
BSLK p такое, что
a) K — ограниченное множество в ;);( 01
BSLp
b) 0> 0> такое, что при <<0 h
.<)()( 0
2
Kudhuu
p
B
S
Тогда K — предкомпактное множество в .);(, 1}min{ 10
BSL pp Кроме того, если для
некоторого 1>q множество K — ограниченное в ,);( 1BSLq то K — предком-
пактное множество в );( 1BSLp .)[1, qp
Теорема 5. Если выполняется одно из следующих условий:
HV 1 с компактным вложением;
HV 2 с компактным вложением,
то );(0 HSLW p с компактным вложением .)[1, p
Следствие 3. Пусть 21 VV с компактным вложением. Тогда );( 20 1
VSLW p
с компактным вложением.
10 ISSN 0572-2691
Доказательство. Из (2) следует, что HV 1 с компактным вложением. Сле-
довательно, на основании теоремы 5 );(0 HSLW q с компактным вложением
для любого ,1q в частности, для .= 1pq
Рассмотрим произвольное ограниченное множество .0
WK С учетом при-
веденных утверждений получаем, что K — предкомпактное множество в
.);(
1
HSLp Следовательно, в силу следствия 2 множество K — предкомпактное в
.);( 21
VSLp
Классы отображений
Пусть ),(
Y
Y — банахово пространство, W — нормированное про-
странство с нормой
W
. Предположим, что вложение YW непрерывно,
),(
Y
Y — топологически сопряженное пространство к Y относительно фор-
мы двойственности .:, RYYY
Определение 1. Однозначное отображение YYA : называется:
коэрцитивным, если
Y
Y
yyAy ),(1
при ;Y
y
слабо коэрцитивным, если Yf 0R такое, что 0,)( YyfyA
при ;= Ry
Y
ограниченным, если 0>L 0>l такое, что lyA
Y
)( : Yy
;Ly
Y
локально ограниченным, если для любого фиксированного Yy сущест-
вуют две константы 0>m и 0>M такие, что ,)( MA
Y
если : Y
;my
Y
конечномерно локально ограниченным, если для любого конечномерного
подпространства
YF оператор
F
A локально ограничен на .),(
Y
F
Пусть RRrC :);( 1 — непрерывная функция для любого 01 r такая, что
0);( 21
1 rrC при 0 0, 21 rr и '
W — (полу)норма на ,Y ком-
пактная относительно
W
на W и непрерывная относительно
Y
на .Y
Определение 2. Однозначное отображение YYA : называется:
радиально непрерывным, если YY
t
yAtyA
),(=),(lim
0
y, ; Y
монотонным, если 0),()( 2121 YyyyAyA ;, 21
Yyy
оператором с полуограниченной вариацией на W (с ),( WY -п.о.в.), если
);(),()( 212121
'
WY yyRCyyyAyA ,0>R ;, 21
Yyy ,1 Ry
Y
;2 Ry
Y
-псевдомонотонным на W w( -псевдомонотонным), если для каждой
последовательности
Wy nn 1}{ такой, что 0yyn
в ,W ,0
Wy из
неравенства
0),(lim 0
Ynn
n
yyyA (10)
Проблемы управления и информатики, 2008, № 5 11
следует существование такой подпоследовательности 1}{ knk
y из ,}{ 1nny что
;),(),(lim *
00 WwwyyAwyyA YYnn
k
kk
(11)
0 -псевдомонотонным на W
0
( w -псевдомонотонным), если для каждой
последовательности
Wy nn 1}{ такой, что 0yyn
в ,W 0)( dyA n
в Y, *
0 Wy и ,0 Yd из неравенства (10) следует существование такой подпос-
ледовательности ,}{}{ 11 nnkkn yy что справедливо неравенство (11).
Указанное отображение обладает:
свойством ,)( если для любого ограниченного множества D в Y сущест-
вует Rc такое, что ;),( DvvcvvA
YY
свойством ,)( если для любого непустого ограниченного подмножества
YB и для любого 0>k такого, что kyyA Y ),( ,By множество
})({=)( ByyABA слабо предкомпактное в Y, т.е. для любой последовательно-
сти By nn 1}{ существуют подпоследовательность 11 }{}{ nnkkn yy и Yd
такие, что dyA
kn
)( в Y при .k
Если Y — рефлексивное банахово пространство, то данное определение име-
ет классический смысл: для любого непустого ограниченного подмножества
YB и для любого 0>k таких, что kyyA Y ),( ,By существует 0>K
такое, что KyA
Y
)( .By
Замечание 2. Идея перехода к подпоследовательности в определении псевдо-
монотонного оператора содержится в работе [16].
Пусть ,= 21 YYY ,= 21
YYY где ),(
1
1 Y
Y и ),(
2
2 Y
Y — банаховы
пространства.
Определение 3. Пара отображений 11: YYA и 22: YYB называется s-вза-
имно ограниченной, если для любого 0>M и любого ограниченного множества
YD существует 0>K такое, что из Dy и MyyByyA YY
21
),(),(
следует либо ,)(
1
KyA
Y
либо .)(
2
KyB
Y
Замечание 3. Ограниченное отображение YYA : обладает свойствами
)( и );( -псевдомонотонное на W отображение — 0 -псевдомонотонное на
.W Обратное утверждение корректно для ограниченных однозначных отображе-
ний в рефлексивных банаховых пространствах.
Если пара операторов s-взаимно ограничена и каждый из них обладает свой-
ством ),( то сумма данных операторов также обладает этим свойством.
Лемма 2. Пусть 11: YYA
и 22: YYB
— коэрцитивные отображения,
которые обладают свойством .)( Тогда отображение YYBAC :: коэр-
цитивное.
Доказательство. Докажем это утверждение методом от противного. Пусть
,}{ 1
Yx nn 0mx и
21
=
YnYnYn xxx при .n На осно-
вании того, что
,<
),(
sup
1
Yn
Ynn
n x
xxC
(12)
12 ISSN 0572-2691
предположим, что
0,>,
),(
inf:=)(,
),(
inf:)(
2
2
*
2
*
1
1
*
1
r
w
wwB
r
v
vvA
r
Y
Y
rv
B
Y
Y
rv
A
YY
,)(,)( rr BA .r
В случае, когда
1Ymx при m и cx
Ym
2
,1m
,)(
),(
*
1
1
*
1
Yn
Yn
YnA
Yn
Ynn
x
x
x
x
xxA
,n
и, более того,
,0
),(
*
2
*
2
1
Yn
Yn
Yn
Ynn
x
x
c
x
xxB
,n
где Rc 1 — константа из свойства )( с }.{=
2
2 cyYyD
Y
Следовательно,
,
),(),(
=
),(
*
2
*
1
*
Yn
Ynn
Yn
Ynn
Yn
Ynn
x
xxB
x
xxA
x
xxC
.n
Это противоречит соотношению (12).
При cx
Yn
1
1n и ,
2
Ynx ,n рассуждения аналогичны.
Если
1Ynx и ,
2
Ynx ,n получаем противоречие:
21
1
1
* |
)(
),(
sup>
1 YnYn
Yn
YnA
Yn
Ynn
n xx
x
x
x
xxC
.})(),(min{
|
)||||(
21
21
2
*
2
YnBYnA
YnYn
Yn
YnB xx
xx
x
x
Замечание 4. При выполнении условий леммы 2 оператор := BAC YY
слабо коэрцитивный.
Предложение 2. Пусть ,:= 10 YYAAA
где YYA :0 — монотон-
ное отображение, и оператор YYA :1 удовлетворяет следующим условиям:
1) существует линейное нормированное пространство Z, в которое множество
W вложено компактно и плотно, а ZY
вложено непрерывно и плотно;
2) оператор
ZZA :1 — локально полиномиальный, т.е. для любого
0>R существуют натуральное число )(= Rnn и полином
tRtP
n
R )(=)(
<0
с непрерывными множителями 0)( R такие, что
.21,,)()()( 212111 iRyyyPyAyA
ZiZRZ
(13)
Тогда A — оператор с полуограниченной вариацией на .W
Проблемы управления и информатики, 2008, № 5 13
Предложение 3. Пусть YYA : — радиально непрерывный оператор с
полуограниченной вариацией на .W Тогда A — 0 -псевдомонотонное на W
отображение.
О разрешимости дифференциально-операторных уравнений
в нерефлексивных банаховых пространствах
Докажем основную теорему о разрешимости периодической задачи для
дифференциально-операторных уравнений с коэрцитивными отображениями
0
w -псевдомонотонного типа в нерефлексивных банаховых пространствах, ис-
пользуя схему, предложенную в [11].
Далее будем считать, что либо ,21 r либо .22 r
Теорема 6. Пусть XXA : — слабо коэрцитивный радиально непрерыв-
ный конечномерно локально ограниченный однозначный оператор с полуограни-
ченной вариацией на ,*
0W который обладает свойством ).( Тогда для каждого
Xf существует по крайней мере одно решение 0Wy задачи
.)((0),)( TyyfyAy (14)
Замечание 5. На основании теоремы 3 граничное условие в (14) имеет смысл,
так как решения данной задачи ищутся в классе .0
W
Доказательство. Для упрощения доказательства положим .][0,= TS Снача-
ла рассмотрим пространство )}((0){: *
0per TyyWyW с нормой .
0
W
Для доказательства этого утверждения используем частный случай метода
стационарных аппроксимаций. Сначала от задачи (14) перейдем к вспомогатель-
ной задаче с дифференциально-операторным уравнением второго порядка
).(=)(),(=(0),= TyTyTyyfAyyy (15)
Рассмотрим новое линейное пространство
)}(=(0),=);();();({= 221 21
TyyZHSLyVSLVSLyW pp
с нормой
.,
);();(
=
21
21
Wyy
VS
y
VS
yy
ZLLW
pp
Предложение 4. Линейное пространство W с указанной нормой графика
является рефлексивным пространством.
Это предложение — прямое следствие из предложения 1 при
),;(==),;();( 22211 21
HSLZYVSLVSLY pp
},{=)(,= 21 YyYyLDyyyL
и из [17, следствие 1].
Заметим, что поскольку ,2},{max 21 rr то );(per HSCWW
с непре-
рывным вложением и, более того, . XW
Применив к (15) формулу (6) (с учетом того, что ,(0)=)( yTy и предпола-
гая ),= XZXy получаем
.,,,),(
WfAyyy Z (16)
14 ISSN 0572-2691
В качестве решения задачи (15) найдем элемент , Wy для которого спра-
ведливо соотношение (16).
Используя условие слабой коэрцитивности для A, запишем
yfyyAyyyy Z ,,,),(
yfyAyfyyAyTy
HH
,=,,(0))(
22
. Wy
В силу слабой коэрцитивности A на X следует существование 0>1R тако-
го, что
1* =:0,,,),( RxWyyfyAyyyyy
XZ
.0> (17)
Предложение 5. При выполнении условий теоремы 6 задача (15) имеет по
крайней мере одно решение
Xy с Zy и .Xy Более того, справедлива
оценка
,
2
);(2
kyy
XHSL
(18)
где )(= fkk не зависит от .
Доказательство. Так как V — сеперабельное банахово пространство, то W
также сепарабельное (это легко проверить, используя доказательство леммы VI.1.5
из [12] и аналогичное теореме 2 утверждение). Таким образом, пусть ,,,1 nhh —
полная система в .W Заметим, что )(=(0) Thh ii при ,21,=i . Приближенное
решение задачи (15) будем искать в форме ,= ,
1=
j
nj
n
j
n hy где константы
nj,
можно получить из системы уравнений
,,=,,),( nnnZn HhhfhyAhyhy .}{span= 1=
n
iin hH (19)
Заметим, что nH — конечномерное сеперабельное банахово пространство с нор-
мой .
X
Пусть nii Hv 1}{ — плотная система линейно независимых векторов в .nH
Предложение 6. Для любого 0> и 1n задача (19) имеет по крайней мере
одно решение nn Hy для которого справедлива оценка .1Ry
Xn
Доказательство. Приблизим решения (19) решениями конечной системы ал-
гебраических уравнений
,1,=,,=,,),( mivfvyAvyvy iinminmZinm (20)
где 1m произвольное и .= ,
,
1=
j
nj
m
m
j
nm vy
Предложение 7. Для любого 1m задача (20) имеет по крайней мере одно ре-
шение mm
j
nj
m
m
n R 1=
,
,, )(= такое, что для j
nj
m
m
j
m
nnm vy ,
,
1=
, =)( справедлива
оценка 1, )( Ry
X
m
nnm и множество )()({=)( ,,
m
nnmn
m
nnmn yHymG
удовлетворяет (20), }||)(|| 1*, Ry
X
m
nnm компактно в .nH
Проблемы управления и информатики, 2008, № 5 15
Доказательство. Для любого фиксированного 1m рассмотрим отображе-
ние :: mm RRB ,))((=)( 1=
mm
ii RBB где для любого mi 1,=
,,),(),()),((=)( RvfvyAvyvyB iiiZii
.=)(,=)(,)(=
1=1=
1= ii
m
i
ii
m
i
m
ii vyvy
Рассмотрим норму на mR
mm
ii
X
ii
m
i
R
Rvm
1=
1=
)(==
и спаривание
.)(=,)(==, 1=1=
1=
mm
ii
mm
iiii
m
i
RR
Для любого mm
ii R 1=)(=
=),),(),()),(((=),(
1=
iiiiZi
m
i
vfvAyvyvyB
iiiiiiZii
m
i
vfvAyvyvy ,),(),()),((=
1=
0)(,)(),()(),())(),(( yfyAyyyyy Z
при .=)(= 1Ry
XmR Таким образом,
0),( B .=: 1RR mR
m (21)
Точно так же для любых
mm
ii R 1=)(= и
mm
ii R 1=)(=
iiiZi
m
i
vfvyvyB ),),()),(((=),(
1=
.})),(,),({max(
1=
iii
m
i
vyAvAy
Отображение
iiiZi
m
i
m vfvyvyR ),),()),(((
1=
афинное и, следовательно, непрерывное. Полунепрерывность сверху отображения
mivAyvAyR ii
m 1,=}),(,),({max
следует из полунепрерывности сверху отображений i
m vyAR ),( и
,),( i
m vyAR .1,= mi Последнее утверждение следует из конечно-
мерной локальной ограниченности и 0 -псевдомонотонности A на
X (см., на-
16 ISSN 0572-2691
пример, [18]). Таким образом, для любого mR отображение
),(BRm полунепрерывное сверху и, значит, B — непрерывное ото-
бражение на .mR
Теперь благодаря соотношению (21) можно применить лемму об остром угле
(см., например, [19, 20]) к отображению B. В результате получаем, что
для любого 1m существует по крайней мере одно решение задачи (20)
m
n
mm
j
nj
m R 1=
,
, )( такое, что .1RmR
m
n Следовательно, при j
nj
m
j
nm vy ,
1=
=
справедлива оценка .1Ry
Xnm
Компактность )(mG n очевидно следует из ограниченности )(mG n и из не-
прерывности отображения B на .mR
Рассмотрим множество ).(=
1
mGG n
m
n
Оно непустое, так как 1)(mG n
)(mG n и )(mG n — компактное множество .1m Следовательно, сущест-
вует некоторое nn Gy такое, что 1Ry
Xn и inZin vyvy ,),(
iin vfvAy ,, 1.i Поскольку последовательность 1}{ iiv плотная
в ,nH то система (19) разрешима.
Продолжим доказательство предложения 5. На основании предложения 6 по-
лучаем, что для любого 0> и 1n существует nn Hy такое, что
nnnZn HfAyyy ,,,),( (22)
и .1Ry
Xn Замена на ny в (22) приводит к соотношению
,,,
2
nnnZn yfyAyy (23)
откуда следует 1.0,>, 1 nRfyAy
Xnn Таким образом, поскольку A
обладает свойством ),( то существует 0>C такое, что
1.0,> nCAy
Xn (24)
Принимая во внимание соотношение (23), получаем
1,0,>)( 1
2
nRfCy
XZn
откуда с учетом предложения 6 следует оценка
.10,>)(
2
nfkyy
XnZn (25)
Поэтому на основании предложения 4 (для )W при любом 0> последователь-
ность 1}{ nny (точнее, некоторая из ее подпоследовательностей) слабо сходится
в W к некоторой функции , Wy -слабо сходится к y в
X и
yy n
в Z. В частности, это доказывает, что .)(=(0) Tyy
В силу оценки (24), предложения 4 и непрерывного вложения XW ото-
бражение
nyA в
)(W .0> Переходя к пределу при n в
уравнении (22), получаем
.,,,),(
Wfyy Z (26)
Проблемы управления и информатики, 2008, № 5 17
Вследствие полуограниченности вариации на
0W отображения A
nnZnn yyyy ,),(
,);(,,
WyRCyAyAy '
WnAnnn (27)
где '
W
0
— полунорма, компактная относительно нормы в
0W и тем более от-
носительно нормы в ,W ,Ry
Xn ,R
X
.)( Rfk
Поскольку n
n
H
1
плотно в ,W то для любого 0> и 1n существует
nn Hv такое, что yv n сильно в W при n .0> Поэтому, с уче-
том (22) и (27),
nZnnnnnZnn yyyyAyyyy ,),(,,),(
nnnnZnnnn vyAvyvyvyf ,,),(,
ZnnnZn yyyy ),(,),(
,);(,,, '
WnAnnnnn yRCyAyAyyy (28)
откуда следует справедливость следующих соотношений:
,),()',(0,, ZZnnnn yyvyvyf
,,,,,, yvAyyyvy nnnn
,,,,),(),( yyyy nZZn
,,, yAyA n
),;();( '
WnA
'
WnA yRCyRC .n
Тогда, переходя в (28) к пределу при ,n получаем
yyyyyyy ZZ ,),(,,),(
yyyyy Z ,,),(=
.);(, '
WnA yRCyA (29)
После замены на ,y где , W последнее неравенство запишем в виде
).;(
1
),(,,),( '
WAZ RCyA
Учитывая радиальную непрерывность A и переходя к пределу при ,0 получаем
.,,
WAy
Следовательно, y удовлетворяет неравенству
,,,,),(
WfAyyy Z
т.е.
Wy — решение задачи (16).
18 ISSN 0572-2691
Докажем, что
Wy удовлетворяет уравнению из задачи (15). Пусть в (16)
Wh ,21 VVh .)(SD Тогда
.,)())())(()((
1
=,)()('
hdyyAfhdy
SS
На основании (1) и определения производной в смысле );( VSD
).()())())(()((
1
=)(=)( SDdyAyfyy
S
Следовательно, ,21 ddy где XfyAd )(=1 и .=2 Zyd Поэтому
XZXy = и условие )(=(0) Tyy имеет смысл. Используя (16), получаем
.,,
Wyy
Применив формулу (6), последнее неравенство представим в виде
.0=(0))(0),())(),((
WyTTy
Допустим, , Wh ;21 VVh тогда 0=)(0),)(( hyTy .21 VVh
Следовательно, с учетом (1), получено необходимое условие. Поэтому : Xy
,: Zy Xy — решение (15).
Из предложения 5 следует, что для любого 0> существует , Wy удов-
летворяющее (15) (а значит, удовлетворяющее и (16)), для которого справедлива
оценка (18). Приняв в (16) , y получаем
,,,
2
yfyAyy
Z
и, следовательно,
0.>, 1 RfyAy
X
Поэтому на основании того, что A обладает свойством ),( заключаем, что по-
следовательность }{ Ay слабо предкомпактна в X. Следовательно, :0>1C
1: CAy
X
0.>
Из (15) легко получить, что для любого 0>
,
]1[
)()(
=)(
/
)/(
1
)/(
1
0
T
tT
T
t
t
t
e
dedded
ty
1d определено ранее.
Из неравенства Гельдера следует такое утверждение.
Лемма 3. Пусть ),( B — банахово пространство, .)[1; p Тогда для
любого );( BSLd p
а) ;)()(
1/
0
/
1/
/)(
00
p
p
T
T
p
p
t
tT
ddedtded
Проблемы управления и информатики, 2008, № 5 19
b) .)()(
1/
0
/
1/
)/(
0
p
p
T
T
p
p
tT
T
t
T
ddedtded
На основании последней леммы и определения
X
.
1
22
]1[
2
/
1
/
/
T
X
XT
T
X
e
fC
fyA
e
e
y (30)
Поскольку ,0 то можно предположить, что yy
в X с точно-
стью до подпоследовательности. Тогда из (30) следует, что }{ y — ограниченное
множество в X. Поэтому предположим, что 0*
0
'
W
yy с точностью до под-
последовательности.
С учетом (18)
,0),( ZZZZ kyy .0
Тогда из тождества (16) и формулы (6) получаем, что Xy удовлетворяет равенству
,,,, Wfy (31)
где X — слабый предел последовательности yA (или некоторой ее подпос-
ледовательности) при .0 Отметим, что тождество (31) справедливо для всех
.per
W
Положив в (31) ,= Wh получаем
hdfhdhdy
SSS
,)()(,)()(,)()(
,21 VVh .)(SD
На основании условия (1) и определения производной в смысле );( VSD
).()())()(()()()()( SDdfdyyy
SS
Следовательно,
.= Xfy (32)
Поэтому ,);(0 HSCWy
а значит, условие )(=(0) Tyy имеет смысл. Так
как
0Wy удовлетворяет (31) и (32), то
.,, Wyy
Применяя формулу (6) к последнему равенству, получаем
.0=(0))(0),())(),((
WyTTy
Замена , Wh 21 VVh приводит это соотношение к виду
.0=)(0),)(( 21 VVhhyTy
Таким образом, с учетом (1), получено требуемое условие и, значит, .per
Wy
20 ISSN 0572-2691
Теперь докажем неравенство .,, WAy На основании соотно-
шений (29) (которое выполняется для ),y (16) (которое выполняется для любого
),per
W и (6)
yyyfW Z ,),(,per
yyyyf Z ,),(,
.);(,, '
WA yRCyAyAy
Переходя к пределу при 0 и принимая во внимание (31) с точностью до
подпоследовательности, получаем неравенство
,);(,,, '
WA yRCyAyyy
которое выполняется для всех .per
W Замена на ,y где ,per
W при-
водит к неравенству
.);(
1
),(,, '
WA RCyA
Переходя к пределу при 0 и принимая во внимание радиальную непрерыв-
ность оператора A и свойства функции ,AC получаем требуемое соотношение:
,),(, WyA
т.е.
.,),(, WfyAy (33)
Поэтому на основании (1) и определения производной в смысле );( VSD
приходим к выводу, что 0Wy — решение задачи (14).
Замечание 6. Если дополнительно либо HV 1 компактно, либо HV 2
компактно, то, учитывая теорему 5, в качестве (полу)нормы '
W
0
можно взять
,
);( HSLp
где 1p произвольное; если 21 VV компактно, то на основании
следствия 3 в качестве (полу)нормы '
W
0
используем .
);( 2
1
VSL
p
Замечание 7. В случае <, 21 rr (т.е. когда X — рефлексивное пространст-
во) из полуограниченности вариации A на
*
0W следует, что
*
0W — локально огра-
ничено и обладает свойством ).(
Следующее утверждение — прямое следствие теоремы 6, предложения 2 и
замечания 6.
Следствие 4. Пусть 21 VV с компактным вложением, XXA *: — слабо
коэрцитивный радиально непрерывный конечномерный локально ограниченный
оператор, обладающий свойством ).( Более того, пусть := 10 AAA ,XX
где XXA :0 — монотонное отображение, и оператор XXA *
1 : обладает
таким свойством:
оператор );();(: 221 11
VSLVSLA qp — локально полиномиальный, т.е.
для любого 0>R существуют натуральное число )(= Rnn и полином )(tPR
tR
n
)(
<0
с непрерывными множителями 0)( R такие, что
.)()()(
);();(21);(2111
2
1
2
1
2
1
RyyyPyAyA
VSLiVSLRVSL
ppq
Проблемы управления и информатики, 2008, № 5 21
Тогда для любого Xf существует по крайней мере одно решение 0Wy
задачи (14).
Следствие 5. Пусть 11: XXA и 22: XXB — коэрцитивные радиально
непрерывные конечномерно локально ограниченные s-взаимно ограниченные
операторы с ),( 11
WX - и ),( 22
WX -полуограниченной вариацией соответственно,
которые обладают свойством ).( Тогда для любого Xf существует по край-
ней мере одно решение 0Wy задачи (3), (4).
Доказательство. Достаточно показать, что оператор ,: * XXC опреде-
ленный следующим образом: XyByAyC : , Xy удовлетворяет всем
условиям теоремы 6.
Радиальная полунепрерывность снизу оператора С очевидно следует из тако-
го же свойства для A и B; коэрцитивность С следует из леммы 3 и наличия свой-
ства )( у операторов A и B; наличие свойства )( у оператора С следует из то-
го, что этим свойством обладают A и B, и из s-взаимной ограниченности .);( BA
Докажем, что С — оператор с полуограниченной вариацией на .*
0W Рассмот-
рим полунорму на
X в виде '
W
'
W
'
W
yyy
21
= , Xy которая ком-
пактна относительно нормы
0W
на
0W и непрерывна относительно нормы
X
на ,X где полунорма '
Wi
компактна относительно нормы
iW
на
iW и непрерывна относительно нормы
iX
на
iX при .21,=i Для любых
0, Rt справедливо равенство
,);(sup);(sup:);(
][0,][0,
sRCsRCtRC B
ts
A
ts
.C
Легко проверить, что последняя функция удовлетворяет всем условиям из
определения оператора с полуограниченной вариацией на .*
0W
П.О. Касьянов, В.С. Мельник , С. Тоскано, Н.В. Задоянчук
ПЕРІОДИЧНІ РОЗВ’ЯЗКИ ЕВОЛЮЦІЙНИХ
РІВНЯНЬ У КЛАСІ НЕРЕФЛЕКСИВНИХ
БАНАХОВИХ ПРОСТОРІВ
Розглянуто диференціально-операторні рівняння з нелінійними відображення-
ми
0
w -псевдомонотонного типу в класі нерефлексивних банахових просторів.
За допомогою методу Дубінського доведено теорему про існування періодич-
ного розв’язку. Одержано апріорні оцінки розв’язків.
P.O. Kasyanov, V.S. Mel’nik , S. Toscano, N.V. Zadoyanchuk
PERIODIC SOLUTIONS FOR EVOLUTION
EQUATIONS IN THE CLASS
OF NONREFLEXIVE BANACH SPACES
We study differential-operator equations with nonlinear map of
0
w -pseudomono-
tone type in class of nonreflexive Banach spaces. By using the Dubinsky method the
main theorem on the existence of the periodic solution is proved. Important a priory
estimates for solutions are obtained.
22 ISSN 0572-2691
1. Толстоногов А.А. О решениях эволюционних включений. Часть 1 // Сиб. мат. журн. —
1992. — 33, № 3. — C. 145–162.
2. Толстоногов А.А., Уманский Я.И. О решениях эволюционних включений. Часть 2 // Там
же. — 1992. — 33, № 4. — C. 163–174.
3. Mel'nik V.S., Vakulenko A.N. Topological method in the theory of operator inclusions whith
densely defined mappings in Banach spaces // Nonlinear Boundary Value Problems. — 2001. —
N 11. — P. 132–145.
4. Вакуленко А.Н., Мельник В.С. Про розв’язність і властивості розв’язків одного класу опера-
торних включень в банахових просторах // Доп. НАН України. — 1999. — № 3. —
C. 105–112.
5. Вакуленко А.Н., Мельник В.С. Про один клас операторних включень в банахових просто-
рах // Там же. — 1998. — № 5. — C. 20–25.
6. Касьянов П.О. Метод Гальоркіна для класу диференціально-операторних включень з мно-
жиннозначними відображеннями псевдомонотонного типу // Наук. вісті НТУУ «КПІ». —
2005. — № 2. — C. 139–151.
7. Касьянов П.О. Метод Гальоркіна для класу диференціально-операторних включень // Доп.
НАН України. — 2005. — № 9. — C. 20–24.
8. Касьянов П.О., Мельник В.С. Метод Фаедо–Гальоркіна для диференціально-операторних
включень в банахових просторах з відображеннями
0
w -псевдомонотонного типу // Зб. пр.
Ін-ту математики НАН України. — 2005. — 2, № 1. — С. 82–105.
9. Kasyanov P.O., Mel’nik V.S. Differential-operator inclusions in Banach spaces with w-pseudo-
monotone maps // Nonlinear Boundary Value Problems. — 2006. — N 16. — Р. 46–68.
10. Kasyanov P.O., Mel’nik V.S., Toscano L. Method of approximation of evolutionary inclusions
and variational inequalities by stationary // Sys. Res. and Inf. Tech. — 2005. — N 4. — 186–119.
11. Дубинский Ю.А. Нелинейные элиптические и параболические уравнения // Итоги науки и
техн. : ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. — 1976. — №. 9. — C. 5–130.
12. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные
дифференциальные уравнения. — М. : Мир, 1978. — 337 с.
13. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1 : Функциональный
анализ. — М. : Мир, 1977. — 359 с.
14. Lions J.L. Quaelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires. — Paris :
Dunod Gauthier-Villars, 1969. — 587 p.
15. Simon J. Compact sets in the space Lp(0, T; B) // Annali di Matematica Pura ed Applicata. —
1986. — 146, N 1. — P. 65–96.
16. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. — М. :
Наука, 1990. — 442 с.
17. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. — М. : Мир, 1962. — 826 с.
18. Мельник В.С. Мультивариационные неравенства и операторные включения в банановых
пространствах с отображениями класса (S)+ // Укр. мат. журн. — 2000. — 52, № 11. —
С. 1513–1523.
19. Обен Ж.П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. — M. : Mир, 1988. — 510 с.
20. Згуровский М.З., Мельник В.С. Метод штрафа для вариационных неравенств с многознач-
ными отображениями // Кибернетика и системный анализ. — 2000. — № 3. — С. 57–69;
№ 4. — С. 41–53; 2001. — № 2. — С. 70–83.
Получено 12.06.2008
Статья представлена к публикации членом редколлегии В.В. Скопецким.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-209302 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:17:46Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Касьянов, П.О. Мельник, В.С. Тоскано, С. Задоянчук 2025-11-18T16:25:24Z 2008 Периодические решения эволюционных уравнений в классе нерефлексивных банаховых пространств / П.О. Касьянов, В.С. Мельник , С. Тоскано, Н.В. Задоянчук // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 5. — С. 5-22. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209302 517.9 10.1615/JAutomatInfScien.v40.i9.10 Розглянуто диференціально-операторні рівняння з нелінійними відображеннями Wλ₀-псевдомонотонного типу в класі нерефлексивних банахових просторів. За допомогою методу Дубінського доведено теорему про існування періодичного розв’язку. Одержано апріорні оцінки розв’язків. We study differential-operator equations with nonlinear map of Wλ₀-pseudomonotone type in class of nonreflexive Banach spaces. By using the Dubinsky method the main theorem on the existence of the periodic solution is proved. Important a priory estimates for solutions are obtained. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем Периодические решения эволюционных уравнений в классе нерефлексивных банаховых пространств Періодичні розв’язки еволюційних рівнянь у класі нерефлексивних банахових просторів Periodic solutions for evolution equations in the class of nonreflexive Banach spaces Article published earlier |
| spellingShingle | Периодические решения эволюционных уравнений в классе нерефлексивных банаховых пространств Касьянов, П.О. Мельник, В.С. Тоскано, С. Задоянчук Проблемы динамики управляемых систем |
| title | Периодические решения эволюционных уравнений в классе нерефлексивных банаховых пространств |
| title_alt | Періодичні розв’язки еволюційних рівнянь у класі нерефлексивних банахових просторів Periodic solutions for evolution equations in the class of nonreflexive Banach spaces |
| title_full | Периодические решения эволюционных уравнений в классе нерефлексивных банаховых пространств |
| title_fullStr | Периодические решения эволюционных уравнений в классе нерефлексивных банаховых пространств |
| title_full_unstemmed | Периодические решения эволюционных уравнений в классе нерефлексивных банаховых пространств |
| title_short | Периодические решения эволюционных уравнений в классе нерефлексивных банаховых пространств |
| title_sort | периодические решения эволюционных уравнений в классе нерефлексивных банаховых пространств |
| topic | Проблемы динамики управляемых систем |
| topic_facet | Проблемы динамики управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209302 |
| work_keys_str_mv | AT kasʹânovpo periodičeskierešeniâévolûcionnyhuravneniivklassenerefleksivnyhbanahovyhprostranstv AT melʹnikvs periodičeskierešeniâévolûcionnyhuravneniivklassenerefleksivnyhbanahovyhprostranstv AT toskanos periodičeskierešeniâévolûcionnyhuravneniivklassenerefleksivnyhbanahovyhprostranstv AT zadoânčuk periodičeskierešeniâévolûcionnyhuravneniivklassenerefleksivnyhbanahovyhprostranstv AT kasʹânovpo períodičnírozvâzkievolûcíinihrívnânʹuklasínerefleksivnihbanahovihprostorív AT melʹnikvs períodičnírozvâzkievolûcíinihrívnânʹuklasínerefleksivnihbanahovihprostorív AT toskanos períodičnírozvâzkievolûcíinihrívnânʹuklasínerefleksivnihbanahovihprostorív AT zadoânčuk períodičnírozvâzkievolûcíinihrívnânʹuklasínerefleksivnihbanahovihprostorív AT kasʹânovpo periodicsolutionsforevolutionequationsintheclassofnonreflexivebanachspaces AT melʹnikvs periodicsolutionsforevolutionequationsintheclassofnonreflexivebanachspaces AT toskanos periodicsolutionsforevolutionequationsintheclassofnonreflexivebanachspaces AT zadoânčuk periodicsolutionsforevolutionequationsintheclassofnonreflexivebanachspaces |