Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 1. Устойчивость импульсных стохастических систем с марковскими параметрами

Досліджено асимптотичну стохастичну стійкість у цілому, асимптотичну p-стійкість у цілому. Розглянуто стійкість при постійно діючих збуреннях. Побудовано оптимальне керування для стохастичних дифузійних динамічних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими переключеннями. The asymptotic...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Проблемы управления и информатики
Date:	2009
Main Authors:	Лукашив, Т.О., Ясинский, В.К., Ясинский, Е.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2009
Subjects:	Проблемы динамики управляемых систем
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209421
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 1. Устойчивость импульсных стохастических систем с марковскими параметрами / Т.О. Лукашив, В.К. Ясинский, Е.В. Ясинский // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 1. — С. 5-28. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860090253668253696
author	Лукашив, Т.О. Ясинский, В.К. Ясинский, Е.В.
author_facet	Лукашив, Т.О. Ясинский, В.К. Ясинский, Е.В.
citation_txt	Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 1. Устойчивость импульсных стохастических систем с марковскими параметрами / Т.О. Лукашив, В.К. Ясинский, Е.В. Ясинский // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 1. — С. 5-28. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Досліджено асимптотичну стохастичну стійкість у цілому, асимптотичну p-стійкість у цілому. Розглянуто стійкість при постійно діючих збуреннях. Побудовано оптимальне керування для стохастичних дифузійних динамічних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими переключеннями. The asymptotic stochastic stability on the whole, asymptotic p-stability on the whole are investigated. The stability with constant action of disturbances is considered. The optimal control for the stochastic diffusion dynamical systems of random structure with external Markov switchings is constructed.
first_indexed	2025-12-07T17:22:40Z
format	Article
fulltext	© Т.О. ЛУКАШИВ, В.К. ЯСИНСКИЙ, Е.В. ЯСИНСКИЙ, 2009 Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 5 ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 519.217; 519.718; 519.837 Т.О. Лукашив, В.К. Ясинский, Е.В. Ясинский СТАБИЛИЗАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФУЗИОННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИМПУЛЬСНЫМИ МАРКОВСКИМИ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ И ПАРАМЕТРАМИ. Часть 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ИМПУЛЬСНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С МАРКОВСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ Введение Основные результаты исследований по оптимальной стабилизации для де- терминированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и диффе- ренциальных уравнений с последействием содержатся в работах Э.А. Лидского, А.М. Летова, Н.Н. Красовского [1, 2], В.Б. Колмановского, В.Р. Носова [3, 4], а так- же в приведенной в этих работах библиографии. Возможность учета в дифференциальных уравнениях импульсных возмуще- ний систематически изложена в монографии А.М. Самойленко, Н.А. Перестю- ка [5]; эта ситуация предметно изучена не только для дифференциальных, но и для разностных уравнений в монографии Е.Ф. Царькова, М.Л. Свердана [6]. В монографии В.М. Кунцевича и Ю.Н. Чехового [7] разработаны методы ма- тематического описания и исследования нелинейных импульсных систем с ча- стотной и частотно-широтной импульсной модуляцией. При изучении практически любого конкретного объекта управления (иден- тификации его параметров) неизбежна некоторая «остаточная» неопределенность относительно его параметров, а это означает, что вместо управления каким-либо одним фиксированным объектом приходится иметь дело с некоторым классом подобных объектов. Следовательно, при исследовании устойчивости соответ- ствующей замкнутой системы необходимо анализировать устойчивость некоторо- го класса динамических систем, т.е. проводить анализ робастной устойчивости. Этим вопросам посвящены работы [8–11]. Описание влияния марковских возмущений на устойчивость динамических си- стем можно найти в монографиях [3, 12–15] и приведенной в них библиографии. В данной работе рассматривается и решается задача о построении импульс- ной системы при наличии марковских возмущений (параметров), которая облада- ет свойством асимптотической устойчивости по вероятности в целом (для линей- ных систем — свойством экспоненциальной устойчивости в среднем квадратиче- ском) и должна обеспечивать наперед заданную оптимальность переходного процесса. Такая динамическая система построена путем выбора управления, работаю- щего по закону обратной связи. Эта задача, как известно, называется задачей ана- 6 ISSN 0572-2691 литического конструирования регуляторов и рассмотрена для обыкновенных дифференциальных уравнений в работах [1, 2], в которых ее решение основано на методе функций Ляпунова и принципе оптимальности Беллмана [11]. Для дина- мических систем с последействием эта идея нашла воплощение в монографиях [3, 6, 17–19]. Данная работа развивает идеи и методы построения оптимального управле- ния для импульсных динамических систем, учитывающих марковские возмущения. Постановка задачи об оптимальной стабилизации динамической системы с учетом импульсных марковских переключений Пусть })0,{,,(  tFFF tFP, — вероятностный базис [20, 21]; }0),({  tt — феллеровский марковский процесс со значениями в метрическом пространстве Y с переходной вероятностью );,,,( ГtysP )0,(  kk — фелле- ровская цепь Маркова со значениями в метрическом пространстве H с переход- ной вероятностью на k -м шаге ),( GhkP [22]. Далее, пусть переходный процесс mtxx R )( случайной динамической си- стемы задан диффузионным стохастическим дифференциальным уравнением (ДСДУ) [23] )(),),(,(),),(,( tdwuxttbdtuxttadx  (1) с импульсными марковскими воздействиями )),(),(,()( kkkktt txttgtx k   (2) и с начальным условием ,,)(,)( 0000 HYR  hytxtx k m (3) где ;lim},,{   n n nk tntSt N mtxx R )( — вектор отклонений дей- ствительных значений координат регулируемой m-мерной величины от его не- возмущенного значения 0)( tx ;0t rhxytu R ),,,( — r-мерное управ- ляющее воздействие (управление) [24]. Отметим, что случайное изменение структуры динамической системы для упрощения исследования вызывается путем введения в число независимых пере- менных m-мерных коэффициентов  rmuxytbuxyta RRYR:),,,(),,,,( )(RMm пространства )( mm -матриц и скалярного чисто разрывного марков- ского процесса ,)( 1 R t допускающего разложение [22] ),(),,(})(),()({ tοttpttt P (4) ),(),(1})(,)({ tοttptttt P (5) ],,[, 21  Y где }{ BAP — условная вероятность события A при выполнении события ,B )( tο  — бесконечно малая величина относительно ;t функции ),,( tp и Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 7 ),( tp предполагаются заданными; ),()(  twtw — m-векторный стандартный винеровский процесс [20]. Наряду с (4), (5) будем рассматривать простую марковскую цепь )(t с ко- нечным числом состояний }...,,,{ 21 kyyyY и известными параметрами : ijq ,   ij iji qq при этом .,1,),()(})()({ kjitοttqyytytt ijjij P (6) Поскольку в системе (1)–(3) исследуется тривиальное решение ,0)( tx то правая часть этой системы удовлетворяет условиям 0),0,,(,0),0,,(,0),0,,(  hytguytbuyta .00 HY  hytt (7) Предположим, что измеримые по совокупности переменные отображения mm t mrm t gba RRHYRRRRYR  :,:; удовлетворяют по 3-му аргументу условию Липшица равномерно по всем другим аргументам :,,,0,, 0 21 rm uhyttxx RHYR   ),,,(),,,(),,,(),,,( 2121 uxytbuxytbuxytauxyta 2121 Λ),,,(),,,( xxhxytghxytg  (8) .,,,00 ruhytt RHY  Считаем [24], что управление ),,,( hxytuu  определяется по принципу пол- ной обратной связи, т.е. в любой фиксированный момент времени ],0[ Tt  воз- можно точное измерение реализовавшегося состояния системы mx R и одно- временно той случайной структуры ,,)( HY  kt в которой находится систе- ма в данный момент времени ].,0[ t Более того, предполагаем выполнение не менее важного условия о непре- рывности ),,,( hxytu по xyt ,, в области HYR  hyxt m ,,,0 (9) для каждого фиксированного ,)( Y yt .H hk Определение 1. Случайный процесс mtxx R ),( назовем сильным реше- нием задачи Коши (1), (3) с импульсным воздействием (2), если mx R согласо- ван с потоком -алгебр ,},0,{ 0 FFttF tt  и удовлетворяет интегральному уравнению   t s t s dwuxbduxasxtx )())(),(),(,())(),(),(,()()( (10) 8 ISSN 0572-2691 .),,();,[ 011 tttsttts kkkk   При этом )),(),(,()()( kkkkkk txttgtxtx  (11) ,0ttk  }.:{inf 0ttnk n  Таким образом, предложенные условия на отображения gba ,, гарантируют существование сильного решения задачи (1)–(3), согласно определению 1, с точ- ностью до стохастической эквивалентности rm uxt RR  ,,0 00 и при задан- ных реализациях марковских цепей ,}),({ 0 Y ttt H },{ 0kkk [18, 23]. Поскольку mx R однозначно определяется с помощью начальных дан- ных (3), то в дальнейшем его удобно обозначать ).,,,,( 00 hxyttx Таким образом, ДСДУ (1), марковские процессы )(t и ,, 0kkk  и началь- ные условия (3) определяют при любом управлении [18, 22, 23] )),(),(,( ktxttuu  )2( m -мерный марковский процесс )),(),(( kttx  в произведении пространств .HYR m При этом mx R характеризует состояние системы в момент време- ни ,t а )(t и k — структуру, в которой находится система в этот же момент времени .St Заметим, что почти все реализации марковских процессов )(t и ,, 0kkk  постоянны, а переключения происходят в случайные моменты времени ).(*  tt Поэтому естественно предположить, что на каждом случайном интервале времени ** ttht  движение происходит, в соответствии с системой (1), при фиксиро- ванном значении параметра .)( syt  При этом в момент t переключения системы (1) для нового состояния си- стемы (1) (структуры) следует задать начальные условия. Как правило, начальные условия выбираются из требований непрерывного продолжения траектории mx R как решения ДСДУ (1)–(3). Например [24], случайный параметр )(t может характеризовать упругие свойства системы или силы сопротивления окружающей среды. Другим приме- ром )(t может служить характеристика случайного скачкообразного изменения массы или геометрического устройства изучаемой системы. Тогда верна теорема об изменении количества движения или кинетического момента, а значит, фазо- вый вектор mx R должен изменяться скачкообразно. Чтобы учесть приведенные ситуации, следует положить, что для случайного момента времени t переключения системы (1) (за счет перехода )(t из состоя- ния iyt  )0( * в состояние ),)( * jiyt j  задан условный закон распределе- ния начального состояния )( tx для изменившейся структуры системы [24] ),()/,()}()0(),()({ *** dzdzxztptxtxdzzztx ij P (12) Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 9 где )/,( xzpij  — условная плотность заданного распределения. Естественно предположить, что почти все реализации процесса ))(),(( ttx  непрерывны справа. При этом можно выделить три наиболее часто встречающиеся ситуации [24]: — если в момент скачка t марковского процесса )(t фазовый вектор mx R изменяется непрерывно, то условная плотность );()/,( xzxztpij  (13) — если в ситуациях, подобных скачкообразному изменению массы, фазовый вектор изменяется по неслучайному закону )),0(()( **  txtx ij то ));(()/,( * xzxztp ijij  (14) — в механических задачах, по-видимому, наиболее правдоподобно линейное условие скачка ),0()( **  txKtx ij (15) где ijK — заданная (mm)-матрица. Сформулируем две задачи о стабилизации в предположении, что геометриче- ские ограничения на управление отсутствуют, т.е. компоненты ,2,1, iui вектора ru R могут принимать сколь угодно большие значения, за исключением . Это значительно упрощает математические выкладки. I задача об оптимальной стабилизации. Для ДСДУ (1) с условиями скач- ка (12) фазового вектора mx R (или (13), (14), (15)) и условиями переключе- ния (2) необходимо построить такое управление ),,,,( hxytu удовлетворяющее условию ,0),0,,( hytu чтобы невозмущенное движение 0)( tx системы (1)–(3) было асимптотически устойчиво по вероятности в целом, т.е. при любых началь- ных условиях из области (3). Ясно, что управлений в этой задаче существует бесконечное множество. Поэтому единственное управление следует выбирать из требований наилуч- шего качества переходного процесса, которое выражается в виде условия отыска- ния минимального значения функционала ;},)(,)(/])[,],[),(,({),,,( 00 0000 0 000 dtxtxyttutxttWxytI kk k t ku k       E (16) здесь 0),,,,,(  uhxytW k — неотрицательная функция, определенная в области (9), ;ru R }{ E — символ условного математического ожидания [20, 22]; равенство )],[),(,(][ ktxttutu  реализуется ДСДУ (1) при );,,,( hxytuu  ][],[ tutx — соответственно траектория и управление системы (1), последнее по- рождено заданным фиксированным управлением ).,,,(* hxytuu  Алгоритм вычисления функционала (16) при заданных ),,,( hxytu такой: 10 ISSN 0572-2691 А) находим траекторию ][tx из ДСДУ (1) методом статистического модели- рования [25]; В) подставляем ],[t )],[),(,(][ ktxttutu  в функционал (16); С) методом статистического моделирования [24] вычисляем это значение функционала (16); D) проблема выбора функционала ),,,,,( uhxytW определяющего оценку uI и качество процесса как сильного решения ][tx ДСДУ (1), связано с конкретными особенностями рассматриваемой задачи и, по-видимому, можно указать три сле- дующих условия: 1) условия минимума функционала (16) должны обеспечивать достаточно быстрое в среднем затухание сильного решения ][tx ДСДУ (1) с вероятностью 1; 2) величина интеграла должна удовлетворительно оценивать компьютерное время, затрачиваемое на формирование управления ];[tu 3) функционал ),,,,( uhxytW должен быть таким, чтобы решение I задачи об оптимальной стабилизации можно было получить в конструктивной форме [24]. Замечание 1. Линейным системам ДСДУ (1) во многом удовлетворяет квад- ратичная форма по переменным ux, ,),,(),,(),,,,( TT uhytDuxhytCxuhxytW  (17) где mmhytC  ,0),,( — симметричная неотрицательная матрица порядка ;mm rrhytD  ,0),,( — положительно определенная матрица порядка rr ,00  tt ., HY  hy Замечание 2. Величина uI при квадратичной форме переменных ux, (17) достаточно хорошо оценивает в среднем качество переходного процесса, при этом присутствие члена DuuT и условие минимума одновременно ограничивают ве- личину управляющего воздействия .ru R Замечание 3. Задача оптимизации при выборе W в виде (17) эффективно ре- шается при использовании современных компьютерных технологий. (Задача оп- тимальной стабилизации для линейного ДСДУ будет рассмотрена во второй части исследования). Эти задачи принято называть линейно-квадратичными задачами стабилизации. Замечание 4. Если условие скачка фазовой траектории принять линейным (см. (15)), то задача об оптимальной стабилизации разрешима в классе управлений ),,,,( hxytu которые следует принять линейными по фазовому вектору .mx R II задача об оптимальной стабилизации. Для системы ДСДУ (1) при начальных данных (3), импульсных переключениях (2) и условии скачка (12) (или (13), (14), (15)) фазового вектора траектории mx R найти оптимальное управле- ние ),,,,(0 hxytu удовлетворяющее требованиям: 1) тривиальное (невозмущенное) движение 0)( tx ДСДУ (1) при u ),,,(0 hxytu асимптотически устойчиво по вероятности в целом; 2) сумма ряда ,uI составленного из интегралов (см. (16)) для u ),,,(0 hxytu должна быть сходящейся и при любом начальном условии (3) должно выполняться условие ),,,,(min),,,( 00 0 0 0 00 0 0 kuku xytIxytI  (18) Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 11 где min следует искать по всем управлениям, непрерывным по xt, при каждом .,)( HY  hyt k Определение 2. Управление ),(0 tu удовлетворяющее (18), назовем оптималь- ным в смысле оптимальной стабилизации сильного решения mx R ДСДУ (1)–(3). Прежде чем изложить метод решения задачи об оптимальной стабилизации, следует решить вопрос об асимптотической устойчивости по вероятности сильно- го решения ДСДУ (1)–(3). Основные обозначения и определения устойчивости Пусть )),,(( GГhyk P — переходная вероятность цепи Маркова }),({ kkt  на k -м шаге. В соответствии с принятыми в теории марковских процессов обо- значениями вероятностных событий [22], связанных с этой цепью, снабдим ин- дексами эти вероятности так, чтобы выполнялись равенства )),,((),)(( , GГhyGГt kk tk hy  kPP (19) HY  hyttk ,,0 и борелевских ., HY  GГ Введем функцию ),)(,),,,,(()),,,(( 111 , GГtCxhyttxCGГxhy kkkk t k k hy  PP (20) HYRN  hyxktSt m kk ,,},0{},{ и борелевских ,mC R ,YГ .HG Определение 3. Дискретный оператор Ляпунова ),,( xhyvkL на после- довательности измеримых скалярных функций ,:),,( 1 RRHY  m k xhyv },0{Nk для ДСДУ (1) с импульсным воздействием (2) определяется соотно- шением ).,,,(),,())(,,(),,( 111 uxhyvlzzvdldzdzxhyxhyv kkkk m     PL RHY (21) Определение 4. Если  ktk Nk и некоторого ,0 отображения ba, и g не зависят от ,t процесс )(t и цепь Маркова k однородные, то система (1), (2) называется автономной. В случае автономной системы (1), (2) индекс k у функции )),,,(( CGГxhyk P можно опустить, и тогда дискретный оператор Ляпунова будет определяться равенством ).,,(),,())(,,(),,( 11 )]0,[( xhyvlzzvdldzdzxhyxhyv C k    PL HY (22) При развитии второго метода Ляпунова для ДСДУ (1) с импульсным воздей- ствием (2) понадобятся специальные последовательности функций ),,,( xhyvk .Nk 12 ISSN 0572-2691 Определение 5. Функционалом Ляпунова–Красовского для системы случай- ной структуры (1), (2) назовем последовательность неотрицательных функций },0),,,({ kxhyvk если: 1) при всех mxhyk R HY  ,,,0 определено выражение (21); 2)    ),,(inf)( , ,, xhyvrv rxh yk k H YN при ;r 3) 0),,(sup)( , ,,    xhyvrv rxh yk k H YN при ,0r причем )(rv и )(rv непрерывны и монотонны. Определение 6. Систему случайной структуры (1)–(3) назовем: — устойчивой по вероятности, если 0,0 21  0 такое, что из не- равенства 0x следует неравенство 2100 }),,,,,(sup{ 0   uhxyttx tt P ,,, ruhy R HY  ;00 t (23) — асимптотически устойчивой по вероятности, если выполняется (23) и можно указать такие 01  и ,02  что для почти всех реализаций, удовлетво- ряющих неравенству ,}),,,,,({sup 100 0   uhxyttx tt P имеет место соотношение 0}),,,,,({lim 00   uhxyttx t P ,,,,00 ruhyt RHY  ;20 x (24) — асимптотически стохастически устойчивой, если она устойчива по веро- ятности и 0 01  такое, что 0}),,,,,(sup{lim 00   uhxyttx t P ,10  x ,,, ruhy RHY  .00 t (25) Определение 7. Систему случайной структуры (1)–(3) назовем — p-устойчивой (при ),0p если 0 0 такое, что из неравенства x следует неравенство }),,,,,({ 00 p uhxyttxE ,,, ruhy RHY  ;,,0 000 mxttt R (26) — асимптотически p-устойчивой (при ),0p если она p-устойчива и су- ществует такое ,01  что из неравенства 10 x следует 0}),,,,,({suplim 00 ,   p hyt uhxyttxE HY .,,0 00 mr xut RR  (27) Замечание 5. При 2p получаем устойчивость в среднем квадратичном (l.i.m) (26) и асимптотическую устойчивость в l.i.m. Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 13 Определение 8. Система случайной структуры (1)–(3) называется экспонен- циально p-устойчивой при некотором ,0p если существует такое ,0 что из неравенства 0x следует неравенство pttp xMeuxhyttx 0 )( 0 0}),,,,,({  E (28) при некоторых 0,0 M .,0,,, 00 tttuhy r  RHY Замечание 6. При 2p получаем экспоненциальную устойчивость в l.i.m. Замечание 7. Если соотношение (24), или (25), или (26) выполняется для всех ,mx R то к соответствующему названию устойчивости будем добавлять слова «в целом». Общие теоремы об устойчивости систем случайной структуры Для дальнейших выкладок приведем оценку решения задачи (1), (2) на ин- тервалах ),,( 1kk tt используя значения решения в точках 0, ktk [25]. Лемма 1. Пусть выполняются неравенство Липшица (8) и неравенство рав- номерной ограниченности xhxytguxytbuxyta Λ),,,(),,,(),,,(  (29) .,,],,0[ ruhyTt RHY  Тогда для решения задачи Коши (1)–(3) справедливо неравенство )()Λ1()(sup )Λ(2 1 1 k tt ttt txetx kk kk      .0k (30) Обозначим        ].,0[,0 ,},:{sup 1 100 0 tt ttttk k kN (31) Теорема 1. Пусть 1) ;,0,1 N ktt kk 2) выполняется условие Липшица (8); 3) существуют последовательности функционалов Ляпунова )},,({ xhyvk и ,,)},,({ Nkxhyak такие, что в силу системы (1)–(3) ).,,(),,)(( xhyaxhyv kk L (32) Тогда система случайной структуры (1)–(3) асимптотически стохастически устойчива в целом. Доказательство. Пусть ktF — минимальная -алгебра, относительно кото- рой измеримы )(t при всех ],[ 0 kttt и n при .kn  Тогда условное математическое ожидание вычисляем по формуле [18] 14 ISSN 0572-2691            kt kkkk F txtv ))(,),(( 1111E .)),,())(,,,(( )(1111 kt k k m xx tykk wlzzvdwdzdzzhy       P RHY (33) В этом случае по определению дискретного оператора Ляпунова ),,)(( xhyvkL из равенства (33) получаем, учитывая (32), неравенство            kt kkkk F txtv ))(,),(( 1111E ).)(())(,),(())(,),(( kkkkkkkkk txvtxtvtxtv  L (34) Из леммы 1 и свойств функционала v следует существование условного ма- тематического ожидания левой части неравенства (34), поскольку в силу (27) )( ktx 0ttk  ограничено константой, пропорциональной ,x равномерно по HY  hy , и ,00 t а именно: .Λ)1()( )Λ( 010 kk ttkk k extx   Теперь на основании (33) вдоль решений (1)–(3) можно записать равенство             kt kkkk kkkk F txtv txtv ))(,),(( ))(,),()(( 1111EL .0))(,),(())(,),((  kkkkkkkk txtatxtv (35) Тогда при Nk выполняется неравенство ))(,),(( ))(,),(( 1111 kkkk t kkkk txtv F txtv k           E и, следовательно, последовательность случайных величин ))}(,),(({ kkkk txtv  при Nk образует супермартингал относительно ktF [20]. Взяв математическое ожидание от обеих частей неравенства (35) и просум- мировав по k от 0kn  до N, получаем такое выражение:   ))}(,),(({))}(,),(({ 1111 knnnNNNN txtvtxtv EE .0))}(,),(({))}(,),(({    N nk kkkk N nk kkkk txtatxtv ELE (36) Поэтому с учетом леммы 1 легко записать цепочку неравенств Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 15                        Λ1 01 101 )Λ( 0 10 Λ1 ),,,,(sup }),,,,(Λ)1(sup{ }),,,,(supsup{ }),,,,(sup{ 0 0 010 010 0 exhyttx xhyttxe xhyttx xhyttx nk Nn nk tt Nn tttNn tt nknk nknk P P P P                    Λ1 111 Λ1 ))(,),((sup 00010 evtxtv nknknk Nn nk P .01  (37) Действительно, если ,)(sup rtx k  то на основании условия 2 из определе- ния 5 должно выполняться неравенство ).(),,(inf))(,),((sup , ,,00 rvxhyvtxtv k rxh ykk kkk kk k    H Y (38) Далее воспользуемся известным неравенством для неотрицательных супер- мартингалов [23] для оценки правой части (37):                     Λ1 111 Λ1 ))(,),((sup 00010 evtxtv nknknk Nn nk P . Λ1 )( ),,( Λ1 1 Λ1Λ1 0                    ev xv xhyv ev k (39) Неравенство (39), с учетом неравенства (37), дает возможность утверждать, что выполняется (23), а значит система (1)–(3) устойчива по вероятности в целом. Докажем асимптотическую устойчивость по вероятности в целом для систе- мы (1)–(3). Неравенство (36) дает оценки ),,,())}(,),(({ 01 111 xhyvtxtv kNNNN   E (40) ),,())}(,),(({ 0 xhyvtxta k N nk kkkk   E (41) .,,,0 mxhykN RHY  Поскольку последовательность ,},{ Nkak образует функцию Ляпунова, то должны существовать непрерывные строго монотонные функции )(ra и ),(ra равные нулю в нуле и такие, что )(),,()( xaxhyaxa k  ,,, HY  hyNk .mx R (42) Таким образом, из сходимости ряда в левой части неравенства (41) следует сходимость ряда 16 ISSN 0572-2691 }),,,,(({ 0 0 xhyttxa k kk    E .,,,00 mxhyt RHY  Тогда в силу непрерывности )(ra и равенства 0)0( a получаем ,0),,,,(lim 0   xhyttx k k из чего следует стремление к нулю по вероятности последовательности )),,,(( 0 xhytxv kt при k .,,,00 mxhyt RHY  Таким образом, на основании свойств функционала Ляпунова–Красовского заключаем, что неотрицательный супермартингал ))(,),(( kkk txtv k  при k стремится к нулю по вероятности на всех реализациях процесса ),()(  tt и последовательности .k Неотрицательный ограниченный сверху супермартингал имеет предел с ве- роятностью 1 [16]. На этом основании, используя результат леммы 1, получаем асимптотическую стохастическую устойчивость в целом импульсной системы (1)–(3) в соответствии с определением 6. Теорема 2. Пусть выполняются условия 1, 2 теоремы 1, а в силу системы (1)–(3) для последовательности функционалов Ляпунова–Красовского }0,{ kvk выпол- няется неравенство 0),,,( xhytvkL ,,, HY  hyNk .mx R Тогда импульсная система (1)–(3) устойчива по вероятности в целом. Доказательство. При получении цепочки неравенств (36)–(38) в теореме 1 существенно использовалась неположительность ,kvL а не неравенство (32). По- этому выполняются все условия определения 6 устойчивости по вероятности в це- лом (23). А значит, импульсная система (1)–(3) устойчива по вероятности в целом. Теорема доказана. Теорема 3. Пусть выполняются условия 1–3 теоремы 1, причем функции Ля- пунова ,0},{},{ kav kk для некоторых 0p удовлетворяют неравенствам ,),,( 21 p k p xcxhyvxc  (43) p k p xcxhyaxc 43 ),,(  (44) при ,4,1,0  ici .,,, mxhyNk RHY  Тогда импульсная система (1)–(3) асимптотически p-устойчива в целом. Доказательство. Используя неравенство (35) при ,0kn  на основании (43) легко получить неравенство    ))}(,),(({ 1 })({ 111 1 1 1 NNN p N txtv c tx N EE p x c c xtv c kkk 0 1 2 0 1 )},),(({ 1 000  E mxNkkN R 000 ,, (45) и для начальных распределений случайного вектора }.),({ 00 kkt  Отсюда, по определению 7, сразу следует p-устойчивость системы (1)–(3). Далее, используя неравенства (36), (43) и (44), имеем Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 17    ))}(,),(({ 1 })({ 00 3 1 kkkk N kk N kk p k txta c tx EE .)},),(({ 1 0 3 4 0 3 000 p x c c xtv c kkk  E (46) Это неравенство гарантирует сходимость ряда, членами которого выступают })({ p ktxE для любых начальных данных 0)( 0 xtx k  и начальных распределе- ний случайного вектора }.),({ 00 kkt  Таким образом, 0}),,,,({suplim 00 ,   p k hyk xhyttxE HY ,00 t что и доказывает теорему 3. Из доказательства теоремы 3 получаем такое следствие. Следствие 1. Если выполняются условия теоремы 2 и неравенство (43), то импульсная система (1)–(3) p-устойчива в целом. Теорема 4. Пусть выполняются все условия теоремы 1 и существует такое число ,01  что 11  kk tt .Nk  (47) Тогда импульсная система (1)–(3) экспоненциально p-устойчива в целом. Доказательство. В силу неравенства (30) (при )0l достаточно доказать, что неравенство (28) выполняется для любого mx R0 при всех .St Действительно, ,),,( 1 nkttt kk   из равенства (31) для 0k следует нера- венство . )()( 00   eee tttt kkk (48) Воспользуемся обозначениями из доказательства теоремы 1 и доказанным ранее равенством ))(,),()(())(,),(( ))(,),(( 1111 kkkkkkkk t kkkk txtvtxtv F txtv k            LE (49) 0, 0  ttNk при всех начальных значениях ,0 mx R .,)( 00 HY  kt Из условий теоремы 4 следует неравенство ).,,(),,(),,)(( 0 2 3 3 xhyv c c xchyaxhyv k p kk L Тогда с учетом (48) получаем неравенство для условного математического ожи- дания ))}.(,),(({1 ))(,),(( 2 31111 kkkk t kkkk txtv c c F txtv k                            EEE (50) Пусть ;10 k тогда оценка (50) дает неравенство 18 ISSN 0572-2691 ))}(,),(({1 ))(,),(( 0000 0 2 3 kkkk kk t kkkk txtv c c F txtv k                            EEE ,0kk  откуда, учитывая условия теоремы, получаем .1))},,,,(,),(({ 1 }),,,,({ 0 2 3 1 2 0 1 0 0 0 0 p kk kkkk p kk x c c c c xhyttxtv c xhyttx            E E Не теряя общности, можно считать 32 cc  и, следовательно, ).1,0(1 2 3          c c Остается воспользоваться неравенством (48). Теорема доказана. Устойчивость по первому приближению Рассмотрим уравнения  dttutxttatutxttatdx )))(),(),(,())(),(),(,(()( 10 );()))(),(),(,())(),(),(,(( 10 tdwtutxttbtutxttb  (51) ).),(),(,()),(),(,()( 10 kkkkkkkkt txttgtxttgtx k  (52) Определение 9. Назовем импульсную систему ),())(),(),(,())(),(),(,()( 00 tdwtutxttbdttutxttatxd  (53) ),),(),(,()( 0 kkkkt txttgtx k  (54) системой первого приближения для (51), (52). При анализе устойчивости (51), (52) используем функционал Ляпунова в си- стеме (53), (54) и, вычислив дискретный оператор Ляпунова для (51), (52) от этого функционала, получим достаточные условия устойчивости системы (51), (52). Назовем этот процесс исследованием устойчивости решения системы (51), (52) по первому приближению. Докажем некоторые теоремы второго метода Ляпунова, используя ин- финитезимальный оператор с учетом системы (53) и разность  )()( 1 kk txtx )),(),(,(0 kkkk txttg  с учетом разностной системы (54). Предположим: a) все функционалы в (51)–(54) удовлетворяют глобальному условию Лип- шица (8) по 3-му аргументу и измеримы по совокупности аргументов; b) ;1,0,0),0),(,(,0))(,0),(,(,0))(,0),(,(  jttgtuttbtutta kjjj c) марковский процесс mt R )( не зависит от цепи Маркова .k Далее, пусть ),,,,( uhxytv — такой скалярный неотрицательный функцио- нал, что последовательность ),,,,(),,,,( uhxytvuhxytv kk  является функцией Ляпунова. Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 19 Для дискретного оператора Ляпунова, учитывая систему (51), (52), введем обозначение ,0L а для дискретного оператора Ляпунова, учитывая (53), (54), — обозначение .L Введем также ограничения и обозначения, связанные с марковским процессом .)( mt R Следуя [22], определим C-инфинитезимальный оператор L̂ равенством )],())}(({[ 1 lim))(ˆ( 0 yftf t yf t   yEL (55) где ).()ˆ( YCDf  L Сохраним это обозначение для продолжения L̂ в пространство непрерыв- ных, но не обязательно ограниченных отображений Y в .R Пусть ),,,( hxytv — непрерывный по совокупности и непрерывно диффе- ренцируемый по t и по 3-му аргументу неотрицательный функционал. Понятно, что пара )}(),({ txt образует феллеровский марковский процесс [22], а значит, можно ввести инфинитезимальный оператор, учитывая (53) (или (51)), по 3-му аргументу )),,,,,(},),(),(,({( 1 lim),,,)(( )( , 0 uhxytvuhtxttvhxytv t y      EQ (56) где индексы у E означают условие .)(,)( xtxyt  Будем считать, что функционал (56) лежит в области определения операто- ра ,Q ),(QDv если предел (56) существует в смысле равномерной сходимости в некоторой окрестности точки ),( xy равномерно по .Hh Этот предел вычислен [22] в виде     ),,,,)(ˆ( ),,,( ),,,,)(( uhxytv t hxytv uhxytv yLQ ,),,,(),,,,(sp 2 1 )),,,(),,,,)((( T 2 2 0            uxytbuxytb x v hxytahxytvx (57) где ),(  — скалярное произведение в ,m R x — оператор градиента по пере- менной x, m ji ji xx v x v 1, 2 2 2               — (mm)-матрица. Введем разностный оператор Ляпунова ,R который связан с импульсным воздействием (54) в момент .Stk  Этот оператор действует на последователь- ность функционалов ),,,( hxytv k по переменным HN  hk , по mx R при каждом фиксированном Yy согласно правилу [6] ),,,,(}),,,,(,,({),,,)(( 0 hxytvhhxytgxytvhxytv kk k hk  ER (58) где индексы у }{E означают ,hk  число k соответствует времени .kt Пусть ),(RDv если в (58) существует }{E ,Stk  ,Yy ,Hh .mx R 20 ISSN 0572-2691 Обозначив ),( ГP hk — переходная вероятность цепи Маркова k на k-м ша- ге, вычисляем ).,,,(),()),,,,(,,(),,,)(( 0 hxytvdzhzhxytgxytvhxytv kkkkk   PR H (59) Приведем доказательство основных теорем по устойчивости по вероятности в целом и асимптотической устойчивости по вероятности в целом решения невоз- мущенной системы (53), (54). Теорема 5. Пусть: 1) ;)(sup 1   kk k tt N 2) выполняются условия относительно координат системы (53), (54) о суще- ствовании решения; 3) марковский процесс mt R )( стохастически непрерывен; 4) существует такой неотрицательный функционал ),(QDv что    )(),,,(inf , ,,0 rvhxytv rxh yt H Y при ;r (60) 0)(),,,(sup , ,,0    rvhxytv rxh yt H Y при ;0r (61) ;0),,,)(( hxytvQ (62) 0),,,)(( hxytv kR (63) ,,,,,0 m k xhyStt RHY  .ru R Тогда импульсная система (53), (54) устойчива по вероятности в целом. Доказательство. В силу условий теоремы последовательность ),,( hxyvk образует функционал Ляпунова, и поэтому, с учетом следствия 1, достаточно по- казать, что 0),,)(( hxyvkL .,,, mxhyNk RHY  Из определения инфинитезимального оператора марковского процесса )}(),({ txt следует равенство (формула Дынкина) [13] ,)}),(),(,)({(),,,()}),(),(,({ 1 )( ,1 )( ,     dhxvhxytvhtxttv k k kk t t t xykk t xy QEE (64) из которого с учетом (62) получаем неравенство ),,,()}),((),(,({ 1 )( , hxytvhtxttv kk t xy k E (65) .,,, mxhyNk RHY  По условию теоремы марковский процесс mt R )( стохастически непре- рывен, поэтому при вычислении условного математическоо ожидания [4] для Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 21 каждого Rt можно вместо )(t подставлять ).(  t Воспользуемся этим при вычислении :kvL       )}]),(),(,({ )}),),(),(,()(),(,({[ ),,,()}),(),(,({),,)(( 1111 )( , 111110111 )( , 111 )( , kkkk t xy kkkkkkkk t xy kkkk t xyk txttv txttgtxttv hxytvhtxttvhxyv k k k E E EL )}].,,,()),(),(,({[ 1111 )( , hxytvtxttv kkkkk t xy k  E (66) Второе слагаемое в (66) неположительно. При оценке первого слагаемого (66) воспользуемся вначале условным мате- матическим ожиданием при условии 1kt F и ,01kt F измеримостью случайных величин )( 1 kt и )( 1ktx и, учитывая условие (63), получим из (68) нужное неравенство .0),,)(( hxyvkL Теорема доказана. Теорема 6. Пусть: 1) выполняются условия теоремы 5; 2) существует такое число ),1,0( что ,,, HY  hyStk mx R дис- кретный неположительный оператор vR определяется следующим образом: ).,,,(),,)(( hxytvhxyv kk R (67) Тогда импульсная невозмущенная система (53), (54) асимптотически устой- чива по вероятности в целом. Доказательство. Обозначим ),,,,()1(),,( hxytvhxyb k k k  ;Nk  тогда из (67) получаем неравенство .0...)),,,,(...),,,,)((()1( ),,,()1()},,,({)1(),,)(( 1 11 )(1       hxytvhxytv hxytvxytvhxyb kk k k k kk t h k k k R ER Таким образом, из (66) следует, что ,0),,)(( hxybkL т.е. ),(),,,()}),(),(,({)1( 0 )( , 1 xvhxytvtxttv kkkk t hy k k   E а значит, по определению функционала Ляпунова, ).()1()}),(),(,({)})(({ )( , )( , 00 xvtxttvtxv k kkkk t hyk t hy  EE Осталось воспользоваться определением асимптотической устойчивости по вероятности в целом, что и завершает доказательство теоремы 6. Теорема 7. Пусть: 1) ;0)(inf 11   kk Nk tt 2) выполняются условия теоремы 5; 3) существует такое число ,0 что 22 ISSN 0572-2691 ),,,(),,,)(( hxytvhxytv Q (68) ,,,,0 HY  hyStt k .mx R Тогда импульсная система (53), (54) асимптотически устойчива по вероятно- сти в целом. Доказательство. На основании определения оператора Q для функционала Ляпунова ),,,(),,,( hxytvehxytz t легко доказать неравенство ,0),,,,)((),,,(),,,,)((   uhxytvehxytzuhxytz t QQ из которого следует .0),,,()1(),,,( )}),,,,(,,({),,)(( 1 1 10 )(      hxytvehxytv hxytgxytvehxyv kk kkk t hk kEL Воспользовавшись определением 6 асимптотической стохастической устой- чивости в целом, из последнего неравенства получаем утверждение теоремы 7. Докажем далее сохранение свойств экспоненциальной p-устойчивости при наличии действующих марковских возмущений. Теорема 8. Пусть: 1) для импульсной невозмущенной системы (53), (54) существует функцио- нал Ляпунова ),,( hxyvk такой, что ,),,( 21 p k p xchxyvxc  (69) ,),,)(( 3 p k xchxyv L (70) 21 4 21 ),,(),,( xxchxyvhxyv kk  (71) при некоторых ,0p ,4,1, ici и всех ;2,1,,,,  ixhyNk mi RHY 2) ;0,)(sup 1  kk k tt 3) возмущения 11, ba и 1g удовлетворяют равномерно по hyt ,, глобальному условию Липшица типа (8), причем xuxytguxytbuxyta 1111 ),,,(),,,(),,,(  равномерно по ,,,,00 ruhytt RHY  где 1 — достаточно малое поло- жительное число. Тогда возмущенная импульсная система (51), (52) экспоненциально p-устой- чива в целом. Доказательство. Представим решение )(tx этой системы на участке ),,[ 1 kk tt  ,Nk  в виде ),()()( txtxtx  (72) Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 23 где ).()()( txtxtx  Вычислим дискретный оператор Ляпунова с учетом (51), (52) и (72):     })({),,)((),,( )}),()(),(({),,)(( 1 )( ,,4 11111 )( ,,1 p k t hxykk kkkkk t hxyk txchxyvhxyv txtxtvhxyv k k E E L L }.),,,,(),,,,({ 11 )( ,,43 p kkkk t hxy p hxyttxhxyttxcxc k   E (73) Для разности решений систем (51) и (53) по одинаковым начальным данным  kk tt xx получаем неравенство    dssxdssxsxtxtx k k k k t t t t )()()()1()()( 11 ))(( 11 1 1 )()()()1( kk k k ttC kk t t exttdssxsx       ),,[ 1 kk ttt  откуда, согласно лемме Гронуолла, находим .)()(sup )1(2 1 1     extxtx kk ttt Далее, в момент скачка при условии xxx kk tt  получаем )).1(1( )()()1()),(),(,( )),(),(,()),(),(,( )()),(),(,( ))(),(,()()()( 1 )1(2 11 11111111 1111111110 111111 1110111           exex txtxtxttg txttgtxttg txtxttg txttgtxtxtx kkkkkk kkkkkkkk kkkkk kkkkkk Поэтому при достаточно малом 01  из (73) следует ,),,)(( 2 3 p k x c c hxyv L и по определению 8 экспоненциальной p-устойчивости получаем утверждение теоремы 8. Модельные задачи Стохастический осциллятор с импульсными возмущениями. Рассмотрим в качестве стохастической модели осциллятора импульсную систему, задаваемую дифференциальным уравнением [6] ,0))((1())((2 2 2  tz dt dx t dt xd (74) 24 ISSN 0572-2691 где  — малый параметр, )(t — однородный неразложимый марковский про- цесс с двумя состояниями },1,0{Y инфинитезимальной матрицей ,           A ,1 и разностным уравнением для скачков ),()()(  kkk txBtx (75) где },{,2; NkNnnkt kk  — марковская цепь, заданная на множе- стве }2,1{H с помощью матрицы переходных вероятностей ).()( );1,0(),1,0(, 1 1 1 hBIhB qp qq pp          П (76) Уравнение (74) можно записать в матричном виде: ),())(( txtA dt dx  (77) , 01 10 ),())((,)( 010         AtAAtAYt . ))((2))(( 00 )(1           ttz tA Методикой, предложенной в работе [6], с использованием матрицы Коши ),( stX для (77) можно получить необходимые и достаточные условия экспонен- циальной устойчивости в среднем квадратичном тривиального решения 0)( tx уравнения (74) в виде неравенства ,0))2()2()(1())1()1(()1)()2()1(( 22112211  bbpbbqqp (78) где ,2,1, ibii — элементы матрицы (76). Устойчивость колебаний струны при импульсных случайных возмуще- ниях. Рассмотрим уравнение в частных производных колебания струны ),,( xtuu  закрепленной в точках ,,0 lxx  в виде [6] ,2 2 2 2 2 u t u x u t u          (79) которое возмущается в моменты времени :, Nkkt  ),,( ),(),( xku t xku t xku k       (80) },{ Nkk  — последовательность одинаково распределенных независимых слу- чайных величин с 2,0  kk DM [6]. Обозначим H — пространство дважды непрерывно дифференцируемой вектор-функции на отрезке ]1,0[ с координатами 1y и ,2y удовлетворяющими условию 0)1()0()1()0( 2211  yyyy и условию скалярности Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 25 .))()()()((),( 1 0 2211 dxxgxyxgxygy    (81) Очевидно, что в пространстве H со скалярным произведением (81) вектор- функции ,, sin 1 cos 1 )(; sin 1 sin 1 )( Nn l x n l l x n lnx l x n l l x n lnx                                 образуют ортонормированный базис. Обозначив , ),( ),();,(),( 21 x xtu xtuxtuxtu    запишем (79), (80) в матрич- ном виде: ,uA dt ud    (82) ),()()(  kuBkuku k  (83) здесь операторы A и B определены на элементах H равенствами ),( 2 10 ))(( 2 2 xy x xyA               ).( 01 10 ))(( xyxyB           Пространство H можно разложить в прямую сумму ортогональных под- пространств ,,)},()({ R nxnx  nH которые инвариантны относи- тельно операторов A и B. Пусть nA и nB — сужения A и B на .nH Тогда . 01 00 ; 2 10 2 2 22                        nn B l nA Если n  — эвклидова норма в ,nH то [6] 2 1 2 nn n yy  P    .Hy  В каждом подпространстве nH сужение (82), (83) представим в виде ),(, )( )( )( )(     kzB z zA td zd n nk k n n n n     где .,;)( Nnkzz n n   P Воспользовавшись методикой монографии [6], легко доказать такую теорему. Теорема 9. Для экспоненциальной устойчивости тривиального решения 0),( xtu уравнения колебания струны при импульсных случайных возмущени- 26 ISSN 0572-2691 ях (79), (80) при  222 / e необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство ,1 )sin4)1)((1( sin)1( max 222222 2222      nn n eee ee ./ 2222  enn (84) Устойчивость равновесия маятника. Как известно [21], линеаризованная модель возмущенного движения маятника возле нижнего положения равнове- сия при условии, что точка подвеса совершает случайные вертикальные коле- бания, имеет вид системы уравнений с непрерывными фазовыми траекториями ))(),(( tytx ,))()()(()(,)()( dttytxttyddttytxd  (85) где ))1(()( )(1 thglt   — простая марковская цепь с двумя состояниями 0)()(;0)()( 1 2 1 1   hgltyhglty и одинаковыми интенсивностями перехода, равными ; )(t — пуассоновский процесс с параметрами gh , (g — ускорение силы тяжести). Полагая ,)(, 2 1 ))(,,( 1221 21           mlkyyx xtyx где m — масса груза, l — длина маятника, k — коэффициент деформирования )(1 hgl   [21], вычислим L в точке ),,( iyyx с учетом системы (85): .2,1,,,))(( 221   jijiyxyyy ijiL Из этого равенства при условии 0L получаем достаточные условия экс- поненциальной устойчивости в среднем квадратичном: ).(2 hgh  (86) Заметим, что с учетом внешних импульсных марковских возмущений в фик- сированные моменты времени }0,{  ktk вида (2) следует рассмотреть счетную систему уравнений вида (86) при .0),,[ 1   kttt kk Тогда условие (86) принима- ет вид ,0),(2  khgh kkk где kk h, — интенсивности пуассоновского процесса на отрезках ).,[ 1kk tt Рассмотрим линеаризованную модель возмущенного движения маятника вблизи его верхнего положения, когда точка подвеса совершает случайные верти- кальные колебания, в виде системы (85) с непрерывными фазовыми траекториями )),(),(( tytx где .0,0 21  yy Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 27 Тогда область экспоненциальной среднеквадратичной устойчивости опреде- ляется неравенствами [21] ,011 )(;0;0 22 221 22 21 2112122112   yqy qqqq где 2112, qq — интенсивности перехода простой марковской цепи )(t с двумя состояниями ;0,0 21  yy 21,  — наименьшее и наибольшее собственные числа квадратичной формы . 2 1 ),,( 2121 yyxxyx         Заметим, что при действии импульсных переключений типа (2) условия (86) неравенства следует понимать как счетные неравенства, которые записываются для отрезков ,0),,[ 1  ktt kk с соответствующими интенсивностями. Т.О. Лукашів, В.К. Ясинський, Є.В. Ясинський СТАБІЛІЗАЦІЯ СТОХАСТИЧНИХ ДИФУЗІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ З ІМПУЛЬСНИМИ МАРКОВСЬКИМИ ПЕРЕКЛЮЧЕННЯМИ І ПАРАМЕТРАМИ. Частина 1. СТІЙКІСТЬ ІМПУЛЬСНИХ СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ З МАРКОВСЬКИМИ ПАРАМЕТРАМИ Досліджено асимптотичну стохастичну стійкість у цілому, асимптотичну p-стій- кість у цілому. Розглянуто стійкість при постійно діючих збуреннях. Побудо- вано оптимальне керування для стохастичних дифузійних динамічних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими переключеннями. T.O. Lukashiv, V.K. Yasinskiy, E.V. Yasinskiy STABILIZATION OF STOCHASTIC DIFFUSION DYNAMICAL SYSTEMS WITH IMPULSE MARKOV SWITCHINGS AND PARAMETERS. Part I. STABILITY OF IMPULSE STOCHASTIC SYSTEMS WITH MARKOV PARAMETERS The asymptotic stochastic stability on the whole, asymptotic p-stability on the whole are investigated. The stability with constant action of disturbances is considered. The optimal control for the stochastic diffusion dynamical systems of random structure with external Markov switchings is constructed. 28 ISSN 0572-2691 1. Красовский Н.Н., Летов А.М. К теории аналитического конструирования регуляторов // Автоматика и телемеханика. — 1962. — № 6. — С. 11–18. 2. Красовский Н.Н., Лидский Э.А. Аналитическое конструирование регуляторов в систе- мах со случайными свойствами // Там же. — 1961. — 22, № 9. — С. 1145–1150; № 10. — С. 1273–1278; № 11. — С. 1425–1431. 3. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. — М. : Наука, 1992. — 336 с. 4. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых си- стем с последействием. — М. : Наука, 1981. — 448 с. 5. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздей- ствием. — Киев : Вища шк., 1987. — 287 с. 6. Свердан М.Л., Царьков Е.Ф. Устойчивость стохастических импульсных систем. — Рига : РТУ, 1994. — 300 с. 7. Кунцевич В.М., Чеховой Ю.Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно- импульсной модуляцией. — Киев : Техніка, 1970. — 340 с. 8. Kuntsevich V.M. Robust stability of linear dynamic systems // Modeling, Estimation and Control of Systems with Uncertainty. — Boston; Basel; Berlin : Birkhauser, 1991. — P. 251–259. 9. Kuntsevich V.M. Robust stability of stationary and nonstationary sampled-data systems // Funda- mentals of Discrete-Time Systems. — Albuguergue (New Mexico, USA) : TSI Press, 1993. — P. 325–332. 10. Kuntsevich V.M., Kuntsevich A.V. Robust stability of linear discrete-time dynamic systems // Modeling, Techniques for Uncertain Systems / Ed. by A.B. Kurshansky, V.M. Veliov. — Boston; Basel; Berlin : Birkhauser, 1992. — P. 85–204. 11. Kunzevich V.M., Lychak M.M. Guaranteed estimates, adaptation and robustness in control sys- tems. — Berlin : Springer-Verlag, 1992. — 209 p. 12. Korolyuk V.S., Limnios W. Stochastic systems in merging phase space. — London : World Scien- tific, 2006. — 331 p. 13. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных воз- мущениях их параметров. — М. : Наука, 1969. — 369 с. 14. Кац И.Я., Красовский Н.Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами // При- кладная математика и механика. —1960. — 24, вып. 5. — С. 809–823. 15. Казаков Н.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. — М. : Наука, 1980. — 382 с. 16. Беллман Р. Динамическое программирование. — М. : Иностранная литература, 1960. — 324 с. 17. Ясинський В.К., Ясинський Е.В. Задачі стійкості та стабілізації динамічних систем зі скін- ченною післядією. — К. : Вид–во «ТВіМС», 2005. — 586 с. 18. Царьков Е.Ф., Ясинский В.К. Квазилинейные стохастические дифференциально-функцио- нальные уравнения. — Рига : Ориентир, 1992. — 328 с. 19. Королюк В.С., Мусуривский В.И., Юрченко И.В. Устойчивость динамических систем с по- следействием с учетом марковских возмущений // Кибернетика и системный анализ. — 2007. — № 6. — С. 134–146. 20. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов : В 2-х т. — М. : Наука, 1994. — Т. 1. — 544 с. 21. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов : В 2-х т. — М. : Наука, 1994. — Т. 2. — 473 с. 22. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. — М. : Наука, 1969. — 859 с. 23. Скороход А.В. Асимптотические методы в теории стохастических дифференциальных уравнений. — Киев : Наук. думка, 1987. — 328 с. 24. Кац И.Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случай- ной структуры. — Екатеринбург : Изд-во Уральской госакадемии путей сообщения, 1998. — 222 с. 25. Юрченко І.В., Ясинський В.К., Ясинська Л.І. Методи стохастичного моделювання систем. — Чернівці : Прут, 2002. — 416 с. Получено 07.10.2008
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-209421
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T17:22:40Z
publishDate	2009
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Лукашив, Т.О. Ясинский, В.К. Ясинский, Е.В. 2025-11-21T16:40:19Z 2009 Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 1. Устойчивость импульсных стохастических систем с марковскими параметрами / Т.О. Лукашив, В.К. Ясинский, Е.В. Ясинский // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 1. — С. 5-28. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209421 519.217; 519.718; 519.837 10.1615/JAutomatInfScien.v41.i2.10 Досліджено асимптотичну стохастичну стійкість у цілому, асимптотичну p-стійкість у цілому. Розглянуто стійкість при постійно діючих збуреннях. Побудовано оптимальне керування для стохастичних дифузійних динамічних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими переключеннями. The asymptotic stochastic stability on the whole, asymptotic p-stability on the whole are investigated. The stability with constant action of disturbances is considered. The optimal control for the stochastic diffusion dynamical systems of random structure with external Markov switchings is constructed. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 1. Устойчивость импульсных стохастических систем с марковскими параметрами Стабілізація стохастичних дифузійних динамічних систем з імпульсними марковськими переключеннями і параметрами. Частина 1. Стійкість імпульсних стохастичних систем з марковськими параметрами Stabilization of stochastic diffusion dynamical systems with impulse Markov switchings and parameters. Part I. Stability of impulse stochastic systems with Markov parameters Article published earlier
spellingShingle	Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 1. Устойчивость импульсных стохастических систем с марковскими параметрами Лукашив, Т.О. Ясинский, В.К. Ясинский, Е.В. Проблемы динамики управляемых систем
title	Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 1. Устойчивость импульсных стохастических систем с марковскими параметрами
title_alt	Стабілізація стохастичних дифузійних динамічних систем з імпульсними марковськими переключеннями і параметрами. Частина 1. Стійкість імпульсних стохастичних систем з марковськими параметрами Stabilization of stochastic diffusion dynamical systems with impulse Markov switchings and parameters. Part I. Stability of impulse stochastic systems with Markov parameters
title_full	Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 1. Устойчивость импульсных стохастических систем с марковскими параметрами
title_fullStr	Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 1. Устойчивость импульсных стохастических систем с марковскими параметрами
title_full_unstemmed	Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 1. Устойчивость импульсных стохастических систем с марковскими параметрами
title_short	Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 1. Устойчивость импульсных стохастических систем с марковскими параметрами
title_sort	стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. часть 1. устойчивость импульсных стохастических систем с марковскими параметрами
topic	Проблемы динамики управляемых систем
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209421
work_keys_str_mv	AT lukašivto stabilizaciâstohastičeskihdiffuzionnyhdinamičeskihsistemsimpulʹsnymimarkovskimipereklûčeniâmiiparametramičastʹ1ustoičivostʹimpulʹsnyhstohastičeskihsistemsmarkovskimiparametrami AT âsinskiivk stabilizaciâstohastičeskihdiffuzionnyhdinamičeskihsistemsimpulʹsnymimarkovskimipereklûčeniâmiiparametramičastʹ1ustoičivostʹimpulʹsnyhstohastičeskihsistemsmarkovskimiparametrami AT âsinskiiev stabilizaciâstohastičeskihdiffuzionnyhdinamičeskihsistemsimpulʹsnymimarkovskimipereklûčeniâmiiparametramičastʹ1ustoičivostʹimpulʹsnyhstohastičeskihsistemsmarkovskimiparametrami AT lukašivto stabílízacíâstohastičnihdifuzíinihdinamíčnihsistemzímpulʹsnimimarkovsʹkimipereklûčennâmiíparametramičastina1stíikístʹímpulʹsnihstohastičnihsistemzmarkovsʹkimiparametrami AT âsinskiivk stabílízacíâstohastičnihdifuzíinihdinamíčnihsistemzímpulʹsnimimarkovsʹkimipereklûčennâmiíparametramičastina1stíikístʹímpulʹsnihstohastičnihsistemzmarkovsʹkimiparametrami AT âsinskiiev stabílízacíâstohastičnihdifuzíinihdinamíčnihsistemzímpulʹsnimimarkovsʹkimipereklûčennâmiíparametramičastina1stíikístʹímpulʹsnihstohastičnihsistemzmarkovsʹkimiparametrami AT lukašivto stabilizationofstochasticdiffusiondynamicalsystemswithimpulsemarkovswitchingsandparameterspartistabilityofimpulsestochasticsystemswithmarkovparameters AT âsinskiivk stabilizationofstochasticdiffusiondynamicalsystemswithimpulsemarkovswitchingsandparameterspartistabilityofimpulsestochasticsystemswithmarkovparameters AT âsinskiiev stabilizationofstochasticdiffusiondynamicalsystemswithimpulsemarkovswitchingsandparameterspartistabilityofimpulsestochasticsystemswithmarkovparameters

Institution

Similar Items