О разрешимости задач максимизации в сопряженных пространствах

Для просторів, спряжених до банахових просторів з властивістю Радона–Нікодима, отримано твердження про типовість розв’язності визначеного сімейства задач максимізації на компактних в топології σ(E*, E) множинах. For the conjugate spaces for Banach spaces with Radon–Nikodym property, proposition abou...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Проблемы управления и информатики
Дата:	2009
Автор:	Семенов, В.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2009
Теми:	Методы обработки информации
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209487
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О разрешимости задач максимизации в сопряженных пространствах / В.В. Семенов // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 2. — С. 89-93. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859519497312927744
author	Семенов, В.В.
author_facet	Семенов, В.В.
citation_txt	О разрешимости задач максимизации в сопряженных пространствах / В.В. Семенов // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 2. — С. 89-93. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Для просторів, спряжених до банахових просторів з властивістю Радона–Нікодима, отримано твердження про типовість розв’язності визначеного сімейства задач максимізації на компактних в топології σ(E, E) множинах. For the conjugate spaces for Banach spaces with Radon–Nikodym property, proposition about the generality of solvability of certain maximization problems family on compact in a topology σ(E, E) sets is proved
first_indexed	2025-11-25T20:51:30Z
format	Article
fulltext	© В.В. СЕМЕНОВ, 2009 Проблемы управления и информатики, 2009, № 2 89 УДК 517.9 В.В. Семенов О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧ МАКСИМИЗАЦИИ В СОПРЯЖЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Пусть ),( X — метрическое пространство и .Xx Свойство )(xP называ- ем типичным, если множество )(:{ xPXx выполняется} X содержит счетное пересечение открытых плотных в X подмножеств [1]. Из теоремы Бэра о катего- рии следует, что в полном метрическом пространстве произвольное множество, содержащее счетное пересечение открытых плотных подмножеств, является плотным. Такие множества часто называют массивными. В [2] получен следующий результат о типичности разрешимости экстремаль- ных задач (теорема 1). Пусть ),( E E  — банахово пространство, EX  — компактное в топологии ),(  EE множество, EB  — замкутая выпуклая ок- рестность нуля,  EB : — функционал Минковского множества B, функцио- нал Xf : ограничен сверху и полунепрерывен сверху в топологии ).,(  EE Тогда множество таких ,Ey что задача XxB yxxf  sup)()( имеет решение, содержит плотное в E подмножество типа .G Данное утвержде- ние — обобщение результатов работ [3, 4]. Цель статьи — доказательство аналога теоремы 1 из [2] для подобных задач максимизации на множествах сопряженного банахова пространства. Пример Де- вилля и Зизлера [5] показывает, что в произвольном сопряженном банаховом про- странстве нельзя получить точный аналог упомянутой теоремы для ),(  EE - компактных подмножеств. Ниже для пространств, сопряженных к банаховым пространствам со свойством Радона–Никодима [6], мы получим содержательное утверждение о типичности разрешимости определенного семейства задач макси- мизации на ),( EE -компактных множествах. Пусть ),,( E E  ),(  E E — действительное банахово пространство со своим сопряженным, B — замкнутое выпуклое подмножество пространтсва E такое, что .int0 B Будем считать, что единичный замкнутый шар )(1 EB явля- ется подмножеством B. Возьмем непустое замкнутое ограниченное множество . EX Для ограни- ченного сверху функционала Xf : и точки   Ey рассмотрим задачу максимизации XxB yxxf    sup)()( . Для точки Ey положим )).()((sup)(      yxxfyr BXx Отметим, что функционал r выпуклый полунепрерывный снизу в тополо- гии ),( EE , потому что r — супремум функционалов, обладающих этими свойствами.  Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных исследо- ваний Украины. 90 ISSN 0572-2691 Как и в [2], покажем, что    E yyyryr 2121 )()( ,},{ 21   Eyy 1sup      yy BE ),(   yry )(),)((sup ,     yryxyxf EEXx , ,Ey )(   yry и множество )(),)((sup:{ ,      yryxyxfEyF EEXx для некоторого )}(   yry является множеством первой категории и имеет тип .F Здесь   Eyr )( — субдифференциал функционала r в точке . Ey Используем результат работы [7], в которой доказано, что банахово прост- ранство ),( E E  обладает свойством Радона–Никодима тогда и только тогда, когда сопряженное пространство ),(  E E обладает слабым* свойством Асплунда. Напомним, что слабое* свойство Асплунда означает, что произволь- ный ),( EE -полунепрерывный снизу выпуклый функционал  : E диф- ференцируем по Фреше на плотном G -подмножестве своей области непрерыв- ности (непрерывность и G -тип рассматриваются относительно сильной тополо- гии пространства ).E Итак, если банахово пространство ),( E E  обладает свойством Радона–Ни- кодима, то функционал r дифференцируем по Фреше на плотном в E подмноже- стве типа .G Пусть r дифференцируем по Фреше в точке   Ey0 и  0y   Eyr )( 0 — соответствующий дифференциал. Тогда из ),( EE -полуне- прерывности снизу выпуклого функционала r следует, что Eyy  00 [8, c. 37]. Лемма. Пусть функционал )(  yry  дифференцируем по Фреше в точке .0  Ey Тогда имеет место равенство ),(),)((sup 0,00      yryxyxf EE Xx где )()}({ 000   yryry . Доказательство. Рассуждаем от противного. Допустим, что функционал r имеет производную Фреше в точке   Ey0 и при этом ,0),)((sup)( ,000      EEXx yxyxfyr где )( 00  yry . Покажем, что тогда существует такая окрестность O точки ,0   Ey что ,Oy   )(   yry : ,0),)((sup)( ,      EEXx yxyxfyr Проблемы управления и информатики, 2009, № 2 91 и тем самым получим противоречие с тем, что множество )(),)((sup:{ ,      yryxyxfEyF EEXx для некоторого )}(   yry . является множеством первой категории Бэра. Для элементов ,Xx    Ey и )(   yry имеем    EEEE yxyxfyxyxf ,00, ,)(,)(    EEEE yxyyxy , * 0, ,,    EEEE yxyyxy ,00,0 ,, .000    EEEE yyxyyyy Следовательно,       ),)((sup),)((sup ,00, * EEXxEEXx yxyxfyxyxf ,* 00 EE yyCyy   где     EXx xyC 0sup . Поскольку в точке  Ey0 существует производная Фреше функционала r, то существует такая окрестность O точки   Ey0 , что    EE yyCyy 002 , для всех Oy  и )(   yry [8, c. 43]. Если Oy  и ),(   yry то      )},)((sup)({ ,000 EEXx yxyxfyr      )()()}),()((sup)({ 0, yryryxyxfyr EEXx       ),)((sup),)((sup ,00, EEXxEEXx yxyxfyxyxf .000    EEE yyCyyyy Из определения числа 0 следует, что 0),)((sup)( ,      EEXx yxyxfyr , где Oy  и ).(   yry ■ Сформулируем основной результат. 92 ISSN 0572-2691 Теорема. Пусть ),( E E  — банахово пространство со свойством Радона– Никодима, X — непустое компактное в топологии ),( EE подмножество со- пряженного пространства ,E B — замкнутое выпуклое подмножество простран- ства E такое, что ,int0 B функционал Xf : ограничен сверху и полуне- прерывен сверху в топологии ),( EE . Тогда множество таких ,Ey что экстремальная задача Xx B yxxf     sup)()( (1) имеет решение, содержит плотное в E подмножество типа .G Доказательство. Пусть   ED — множество точек дифференцируемости по Фреше функционала r. Это множество плотно в E и имеет тип .G Покажем, что для каждого  Dy функционал )()(   yxxfx B достигает мак- симума на X. Пусть  Dy0 и ).( 00  yry Из ),( EE -компактности множеств X и ),( EE -полунепрерывности сверху функционала f следует существование точки Xx 0 такой, что ).,)((sup,)( ,00,0000 * EEXxEE yxyxfyxyxf      С другой стороны, используя лемму, имеем      EEEEXx yxyxfyxyxfyr ,0000,000 ,)(),)((sup)( ).()()()()( 0000000     yryxxfxyxf BB Таким образом, точка Xx 0 — решение задачи (1). ■ Пусть E — пространство, сопряженное к банахову пространству E со свой- ством Радона–Никодима, и ,nf ,nB nX удовлетворяют условиям теоремы. По- скольку счетное пересечение массивных множеств суть массивное множество, из теоремы следует утверждение о массивности множества таких , Ey что каж- дый элемент счетного семейства экстремальных задач вида n n Xx Bn yxxf     sup)()( имеет решение. Возникает интересная проблема. Пусть задано некоторое несчетное семей- ство A },,{ XBf элементов, удовлетворяющих условиям теоремы. Выяс- нить, когда можно гарантировать непустоту (плотность, массивность) множества таких значений параметра ,Ey что все задачи        Xx B yxxf sup)()( разрешимы. Автор признателен О.В. Рубцовой за помощь в подготовке статьи. Проблемы управления и информатики, 2009, № 2 93 В.В. Семенов ПРО РОЗВ’ЯЗНІСТЬ ЗАДАЧ МАКСИМІЗАЦІЇ В СПРЯЖЕНИХ ПРОСТОРАХ Для просторів, спряжених до банахових просторів з властивістю Радона–Ніко- дима, отримано твердження про типовість розв’язності визначеного сімейства задач максимізації на компактних в топології ),( EE   множинах. V.V. Semenov ON SOLVABILITY OF MAXIMIZATION PROBLEMS IN CONJUGATE SPACES For the conjugate spaces for Banach spaces with Radon–Nikodym property, proposi- tion about the generality of solvability of certain maximization problems family on compact in a topology ),( EE   sets is proved. 1. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. — М. : Мир, 1988. — 510 с. 2. Семенов В.В. Типовість розв’язності деяких задач оптимального керування // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 36–42. 3. Lau K.-S. Farthest points in weakly compact sets // Israel J. Math. 1975. — 22. — Р. 168–174. 4. Cobzas S. Nonconvex optimization problems on weakly compact subsets of Banach spaces // Anal. Numer. Theor. Approx. — 1980. — 9. — Р. 19–25. 5. Deville R.., Zizler V. Farthest points in w*-compact sets // Bull. Austral. Math. Soc. — 1988. — 38, N 3. — Р. 433–439. 6. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. — Киев : Вища шк., 1980. — 215 с. 7. Collie J.B. The dual of a space with the Radon–Nikodým property // Pacific J. Math. — 1976. — 64, N 1. — Р. 103–106. 8. Asplund E. Frechet differentiability of convex functions // Acta Math. — 1968. — 121. — P. 31–47. Получено 02.10.2008 http://projecteuclid.org/handle/euclid.pjm
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-209487
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2025-11-25T20:51:30Z
publishDate	2009
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Семенов, В.В. 2025-11-22T19:10:13Z 2009 О разрешимости задач максимизации в сопряженных пространствах / В.В. Семенов // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 2. — С. 89-93. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209487 517.9 10.1615/JAutomatInfScien.v41.i4.50 Для просторів, спряжених до банахових просторів з властивістю Радона–Нікодима, отримано твердження про типовість розв’язності визначеного сімейства задач максимізації на компактних в топології σ(E, E) множинах. For the conjugate spaces for Banach spaces with Radon–Nikodym property, proposition about the generality of solvability of certain maximization problems family on compact in a topology σ(E, E) sets is proved Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований Украины. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы обработки информации О разрешимости задач максимизации в сопряженных пространствах Про розв’язність задач максимізації в спряжених просторах On solvability of maximization problems in conjugate spaces Article published earlier
spellingShingle	О разрешимости задач максимизации в сопряженных пространствах Семенов, В.В. Методы обработки информации
title	О разрешимости задач максимизации в сопряженных пространствах
title_alt	Про розв’язність задач максимізації в спряжених просторах On solvability of maximization problems in conjugate spaces
title_full	О разрешимости задач максимизации в сопряженных пространствах
title_fullStr	О разрешимости задач максимизации в сопряженных пространствах
title_full_unstemmed	О разрешимости задач максимизации в сопряженных пространствах
title_short	О разрешимости задач максимизации в сопряженных пространствах
title_sort	о разрешимости задач максимизации в сопряженных пространствах
topic	Методы обработки информации
topic_facet	Методы обработки информации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209487
work_keys_str_mv	AT semenovvv orazrešimostizadačmaksimizaciivsoprâžennyhprostranstvah AT semenovvv prorozvâznístʹzadačmaksimízacíívsprâženihprostorah AT semenovvv onsolvabilityofmaximizationproblemsinconjugatespaces

О разрешимости задач максимизации в сопряженных пространствах

Репозитарії

Схожі ресурси