До математичного моделювання фізико-механічних процесів у пористих насичених тілах
Об’єктом дослідження є двофазне тверде тіло, яке складається з деформівного пористого скелета і рідини, що заповнює його пори. Пористість відкрита. У вихідному стані тіло статистично однорідне та ізотропне. Розглядаються різні умови взаємодії твердої та рідкої фаз, а відтак — різні фізичні моделі по...
Saved in:
| Published in: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2006
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20974 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | До математичного моделювання фізико-механічних процесів у пористих насичених тілах / В. Кондрат // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 103-115. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859624153737330688 |
|---|---|
| author | Кондрат, В. |
| author_facet | Кондрат, В. |
| citation_txt | До математичного моделювання фізико-механічних процесів у пористих насичених тілах / В. Кондрат // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 103-115. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| description | Об’єктом дослідження є двофазне тверде тіло, яке складається з деформівного пористого скелета і рідини, що заповнює його пори. Пористість відкрита. У вихідному стані тіло статистично однорідне та ізотропне. Розглядаються різні умови взаємодії твердої та рідкої фаз, а відтак — різні фізичні моделі пористого тіла. Згідно першої (класичної) моделі обидві фази у вихідному стані мають сталі властивості і є однорідними у просторових областях, які вони займають. За другою моделлю рідина є розчином електроліту, а скелет — твердим розчином. Тоді, у зв’язку з різницею хімічних потенціалів заряджених домішок у фазах, відбувається їх просторовий перерозподіл з утворенням подвійного електричного шару в околі поверхні контакту фаз. Третя модель враховує те, що контактна взаємодія приводить до зміни фізико-механічних властивостей рідини в приконтактній області і виникає структурована (зв’язана) рідина. Отримані рівняння математичних моделей механічних та механоелектромагнітних процесів у пористому тілі, які ґрунтуються на згаданих фізичних моделях. Кількісно проаналізовано вплив зв’язаної рідини на фільтрацію в гетеропористому тілі.
The two-phase rigid body is considered which consists of a deformable porous skeleton and liquid, that fills its pores. Porosity is open. In an initial state a body is statistically homogeneous and isotropic. The different conditions of interaction of solid and liquid phases and corresponding different physical analogies of a porous body are considered. According to the first (classic) model both phases in an initial state have steadied properties and are homogeneous in spatial domains, they occupy. By the second model the liquid is an aquosystem and skeleton is solid solution. Then in connection with a difference of chemical potentials of charged impurity (additives) in phases their spatial reallocation takes place with derivation to a double electrical layer in environ of a surface of a contact of phases. The third model takes into account that the contact interaction results in change of physical mechanical characteristics of a liquid in contact area and a structured (bound) liquid arises. The equations of mathematical models of mechanical and mechano-electromagnetic processes in a porous body are obtained. They are founded on reduced physical analogs. The influence of a bound liquid on filtration in heteroporous body is quantitatively parsed.
Объектом исследования есть двухфазное твердое тело, которое состоит из деформируемого пористого скелета и жидкости, заполняющей поры. Пористость открытая. В начальном состоянии тело статистически однородное и изотропное. Рассматриваются различные условия взаимодействия твердой и жидкой фаз, а в связи с этим различные физические модели пористого тела. Согласно первой (классической) модели обе фазы в начальном состоянии имеют установившиеся свойства и являются однородными в пространственных областях, которые они занимают. За второй моделью жидкость является раствором электролита, а скелет твердым раствором. Тогда в связи с разницей химических потенциалов заряженных примесей в фазах имеет место их пространственное перераспределение с образованием двойного электрического слоя в окрестности поверхности контакта фаз. Третья модель учитывает то, что контактное взаимодействие приводит к изменению физико-механических свойств жидкости в приконтактной области и возникает структурированная (связанная) жидкость. Получены уравнения математических моделей механических и механоэлектромагнитных процессов в пористом теле, которые базируются на приведенных физических моделях. Количественно проанализировано влияние связанной жидкости на фильтрацию в гетеропористом теле.
|
| first_indexed | 2025-11-29T08:08:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
До математичного моделювання фізико-механічних
процесів у пористих насичених тілах
Василь Кондрат
Д. ф.-м. н., с. н. с., Центр математичного моделювання ІППММ ім. Я. С.Підстригача НАН України, вул. Дж. Ду-
даєва, 15, Львів, 79005, e-mail: kon@cmm.lviv.ua
Об’єктом дослідження є двофазне тверде тіло, яке складається з деформівного пористого
скелета і рідини, що заповнює його пори. Пористість відкрита. У вихідному стані тіло
статистично однорідне та ізотропне. Розглядаються різні умови взаємодії твердої та
рідкої фаз, а відтак — різні фізичні моделі пористого тіла. Згідно першої (класичної)
моделі обидві фази у вихідному стані мають сталі властивості і є однорідними у прос-
торових областях, які вони займають. За другою моделлю рідина є розчином електроліту,
а скелет — твердим розчином. Тоді, у зв’язку з різницею хімічних потенціалів заряджених
домішок у фазах, відбувається їх просторовий перерозподіл з утворенням подвійного
електричного шару в околі поверхні контакту фаз. Третя модель враховує те, що кон-
тактна взаємодія приводить до зміни фізико-механічних властивостей рідини в прикон-
тактній області і виникає структурована (зв’язана) рідина. Отримані рівняння мате-
матичних моделей механічних та механоелектромагнітних процесів у пористому тілі, які
ґрунтуються на згаданих фізичних моделях. Кількісно проаналізовано вплив зв’язаної рідини
на фільтрацію в гетеропористому тілі.
Ключові слова: пористе насичене середовище, гетеропористе тіло, прос-
торове та статистичне усереднення, подвійний електричний шар, зв’язана
рідина, механоелектромагнітні процеси, фільтрація.
Вступ. До пористих відносять широкий клас природних і виготовлених людиною
матеріалів, таких як ґрунти, гірські породи, дерево, шкіра, кістка, цегла, бетон,
спечені метали тощо. Характерною їхньою особливістю є неоднорідність власти-
востей у межах виділеного елемента, якого можна вважати фізично малим порів-
няно з масштабом макроскопічних процесів, що протікають у тілі (локальна не-
однорідність). Йдеться про структурну, фазову і фізичну неоднорідності. Остан-
ня пов’язана, в основному, із поверхневою взаємодією фаз. Наслідком такої взає-
модії є зміна фізико-механічних властивостей матеріалу скелету та порової ріди-
ни в околі поверхні їхнього контакту (зокрема, виникнення зв’язаної рідини [3,
4]), а також сепарація заряджених частинок залежно від величини їхнього хіміч-
ного потенціалу у фазах — утворення подвійного електричного шару [5, 15].
Відзначимо, що при математичному моделюванні механічних процесів у порис-
тих тілах фізичну локальну неоднорідність, як правило, не враховують [11, 17].
Однак відомо ряд експериментально спостережуваних і практично важливих
УДК 539.3:537.8
103
Василь Кондрат
До математичного моделювання фізико-механічних процесів у пористих насичених тілах
104
ефектів, існування яких спричинено фізичною неоднорідністю. Сюди можна від-
нести, зокрема, існування початкового градієнта напору при фільтрації полярних
рідин у дрібнодисперсних пористих тілах [3], що пояснюється наявністю зв’яза-
ної рідини. Ще одним важливим спостережуваним ефектом є сейсмоелектричний
(акустоелектричний) [6], зумовлений існуванням подвійного електричного шару
в околі поверхні контакту рідкої та твердої фаз. Таким чином, розробка матема-
тичних моделей, які б враховували локальну фізичну неоднорідність складових
фаз пористого тіла, є актуальною задачею механіки пористих тіл. У цій роботі
розглянемо підходи до такого врахування.
1. Фізичні моделі пористого насиченого рідиною тіла
Розглянемо деформівне пористе тіло fS KKK U= , яке складається з твердого
пружного неферомагнітного непровідного поляризовного пористого скелету (ті-
ло SK ), пори якого заповнює електропровідна неферомагнітна в’язка рідина –
розчин електроліту (тіло fK ). Тіло K займає область )()()( 21 VVV U= евклідо-
вого простору, де )( 1V і )( 2V — області, які займають відповідно тіла fK і SK .
Пористість відкрита, тому області )( 1V і )( 2V є однозв’язними. Розміри пор та
неоднорідностей скелету достатньо великі, так що для тіл fK і SK виконуються
базові положення механіки та електродинаміки суцільного середовища [2, 9, 13].
У вихідному стані пористий матеріал статистично однорідний та ізотропний.
У більшості робіт із механіки пористих тіл [11, 17] за основу приймається
фізична модель, яка враховує лише структурну і фазову локальну неоднорідність
тіла. У рамках такої моделі вважається, що пористий скелет є однорідним, як і
рідина, яка заповнює його пори. Поверхневою взаємодією твердої та рідкої фаз
нехтується. Надалі зупинимося на моделях, які враховують фізичну локальну
неоднорідність, а саме, подвійний електричний шар в околі поверхні контакту
фаз, та зв’язану (структуровану) рідину біля цієї поверхні.
1.1 Врахування подвійного електричного шару. Подвійний електричний шар
в околі межі контакту твердої та рідкої фаз утворює вихідну зарядову систему
тіла. Структура подвійного електричного шару є такою, що одна його частина
(адсорбційна, щільна) зв’язана з твердою фазою, а інша (дифузна) може перемі-
щатися разом з рідиною [5, 15]. Приймемо, що межею )( 12S контакту фаз є по-
верхня ковзання [15], для якої справджуються умови гладкості, а самі фази (тіла
SK і fK ) електрично заряджені, хоча тіло K є макроскопічно електронейтраль-
ним, так що для нього виконується умова
( ) ( ) 02
020
1
010 =ρα+ρα ee . (1)
Тут 10α — вихідне значення параметра пористості VV /11=α , 1V — об’єм поро-
вого простору в області (V) середовища, V — об’єм області (V), 12 1 α−=α ,
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 103-115
105
1020 1 α−=α , )2,1()(
0 =ρ jj
e — середні густини зарядів фаз у початковий момент
часу. Тут і надалі значення j = 1 верхнього індексу відповідає поровій рідині, а
j = 2 — твердій фазі.
Вихідні електричні параметри подвійного електричного шару — густина
електричного заряду )(
0
′ρ j
e , електричний потенціал )(
0
′ϕ j , вектори )(
0
′jE
r
, =′)(
0
jD
r
)(
0
)( ′′ε= jj E
r
, )(
0
)()(
0
′′′ χ= jjj EP
rr
напруженості та індукції електричного поля і поля-
ризації відповідно — є характеристиками розглядуваного пористого середовища.
Тут )()( , ′′ χε jj — абсолютні діелектричні проникність та сприйнятливість фаз, які
приймаємо [5, 15] сталими в областях )( 1V і )( 2V .
Якщо товщина подвійного електричного шару значно менша за розміри
пор і можна знехтувати впливом кривини шару на його параметри, то вектори
вихідного електричного поля і густина електричного заряду будуть залежати ли-
ше від координати x і їх можна подати
dx
xdxEexExEE
j
j
x
jjj )()(,)()(
)(
0)(
0
)(
0
)(
0
)(
0
′
′′′′ ϕ
−===
rrr
,
x
jjj
x
jjj exPxPPexDxDD
rrrrrr
)()(,)()( )(
0
)(
0
)(
0
)(
0
)(
0
)(
0
′′′′′′ ==== , )()(
0
)(
0 xj
e
j
e
′′ ρ=ρ , (2)
де xe
r
— орт осі ОX, нормальної до поверхні ковзання і спрямованої в сторону
рідини.
Наприклад, якщо порова рідина є розчином симетричного бінарного елект-
роліту, в наближенні Дебая-Хюккеля 12/)(
0 <<ϕ ′ RTzF j
f , ( −+ −== zzz , z+, z- —
валентності катіонів та аніонів, )(
0
′ϕ j — електричний потенціал точок дифузного
шару, Ff — стала Фарадея, R — газова стала, T — абсолютна температура), для
електричного потенціалу та густини електричного заряду в дифузному шарі мож-
на записати [5, 15]
( )xe
)1(
1
)1(
0 exp ′′ κ−ϕ=ϕ , ( ) ( ) 1
2)1()1()1(
00
)1()1(
00
)1(
0 ,exp ϕκε−=ρκ−ρ=ρ ′′′′′′
eeeee x ,
( ) RTCzFfe
)1(
0
222)1( /2 ′′ επ=κ , (3)
де φ1 — потенціал поверхні найбільшого наближення іонів [5], С0 — концентра-
ція електроліту. Можна покласти [15], що потенціал φ1 дорівнює електрокінетич-
ному потенціалу ζ. Усереднені густини електричного заряду )2,1()(
0 =ρ jj
e у
фазах визначаються співвідношеннями
20
)1(
012)2(
0
0
)1(
0
)1(
0
10
)1(
012)1(
0 ,)(,
α
ρ
−=ρρ=ρ
α
ρ
=ρ ∫
∞
′ se
eese
se
e
sdxxs , (4)
де VSs /1212 = — густина поверхні контакту фаз, S12 — площа поверхні контакту
фаз в області (V).
Василь Кондрат
До математичного моделювання фізико-механічних процесів у пористих насичених тілах
106
Враховуючи співвідношення Козені-Кармана ( )kfTs 23
1
2
12 / Γα= , вираз (4)
для )1(
0eρ у прийнятому наближенні можна записати
Γ
ϕαε
=ρ
T
zF
fRTk
C f
e
110
)1(
)1(
0
2 . (5)
Тут )1(ε — середня абсолютна діелектрична проникність рідкої фази, f — пара-
метр форми пор, ΓT — звивистість, k — коефіцієнт проникності.
1.2. Врахування зв’язаної рідини. Зв’язана рідина утворюється внаслідок взає-
модії порової рідини з поверхнею скелету. Вона має особливу структуру і за свої-
ми властивостями відрізняється від об’ємної (вільної) фази. Іншою є її густина,
в’язкість, діелектрична проникність, температуропровідність, розчинна здатність,
вона характеризується скінченним модулем зсуву [4]. Приповерхневе структуру-
вання спостерігається тільки у полярних рідинах, зокрема, у воді. З підвищенням
температури (для води до 65о-70о) зв’язана рідина деструктурується і набуває
властивостей вільної [4]. Руйнування структури зв’язаної рідини спостерігається
також у разі досягненні зсувними напруженнями у ній критичного значення [3].
Саме цим можна пояснити існування початкового градієнта тиску при фільтрації
полярних рідин у дрібнодисперсних середовищах [3] та вібраційне збільшення
швидкості фільтрації таких рідин [8].
У роботі [1] приймалося, що шар зв’язаної рідини біля поверхні твердої
фази має товщину h, рух рідини описується рівнянням Нав’є-Стокса, однак
коефіцієнт в’язкості 2µ є нелінійною функцією швидкості і визначається вира-
зом (модель 1)
[ ]ϑµ=µ )(/)()( 212 yvhvy , (6)
де 1µ = const — коефіцієнт в’язкості вільної рідини, )(hv — швидкість межі кон-
такту вільна-зв’язана рідина, )(2 yv — швидкість зв’язаної рідини, ϑ — число-
вий параметр, y — координата, перпендикулярна до стінки каналу та потоку
рідини. Характерною особливістю цієї моделі є неврахування можливості руйну-
вання структури зв’язаної рідини за певного рівня механічних зсувних напру-
жень у ній.
У роботі [16] вважалося, що при фільтрації рідини за малих градієнтів
тиску (малих зсувних напруженнях у рідині) шар зв’язаної рідини залишається
нерухомим, а за певного (критичного) значення величини зсувних напружень на
поверхні контакту «зв’язана рідина»–«тверда фаза» (де рівень напружень найви-
щий) відбувається «зрив» та деструктурування цього шару (модель 2). У під-
сумку за певного рівня зсувних напружень ефективний коефіцієнт проникності
пористого тіла та швидкість фільтрації рідини збільшуються. Величина зсувних
напружень на поверхні контакту «зв’язана рідина»–«скелет» залежить від попе-
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 103-115
107
речного розміру H пори, тому умову руйнування шару зв’язаної рідини можна
записати як умову для поперечного розміру пори
при *HH < зв’язана рідина нерухома,
при *HH ≥ пора заповнена вільною рідиною. (7)
Тут *H — критичний поперечний розмір пор, який визначається критичним зна-
ченням *τ зсувних напружень
PH ∇τ=
r
/** , (8)
де P — тиск у рідині.
Розглянемо одномірний рух рідини вздовж щілини шириною 2H (вісь Oz
паралельна стінкам щілини, а вісь Oy — перпендикулярна до них). Вільна (нью-
тонівська) рідина займає область ( ) hHyhH −<<−− щілини, а зв’язана —
області ( )hHyH −−<<− , HyhH <<− , де h — товщина шару зв’язаної
рідини. У рідині створений постійний градієнт тиску 0/ <==− constpdzdP .
Тоді для середньої швидкості v руху рідини в каналі отримуємо [1, 2]:
для моделі 1 зв’язаної рідини
( ) ( ) 212
0
1
1 v
H
hv
H
hHdyyvdyyv
H
v
H
hH
hH
+
−
=
+= ∫∫
−
−
, (9)
де
( ) ( )( ) ( )
−+−−ϑ−
µ
= 222
1
1 3
21
2
hHhHHpv ,
( ) ( )( ) ( )∫
−
ϑ−
ϑ−
ϑ
−
−
−−
µ
ϑ−
=
H
hH
dyyH
h
hHHpv 1
1
22
122
1
2 2
1 ; (10)
для моделі 2 зв’язаної рідини
( )2
13
hHpv −
µ
= , для *HH < ,
2
13
Hpv
µ
= , для *HH ≥ . (11)
2. Математична модель для макроскопічного опису механоелектромагніт-
них процесів
Отримання такої моделі [7, 14] базується на врахуванні подвійного електричного
шару в околі поверхні контакту рідкої та твердої фаз та взаємодії збурення елект-
ромагнітного поля, зумовленого деформацією подвійного шару, з механічними
полями. Схема отримання макроскопічних рівнянь електромагнітомеханіки поля-
гає у формулюванні мезорівнянь моделі та їх просторовому усередненні.
Василь Кондрат
До математичного моделювання фізико-механічних процесів у пористих насичених тілах
108
2.1. Система мезорівнянь. Система рівнянь, яка описує взаємозв’язані механічні
та електромагнітні процеси в скелеті та поровій рідині (мезорівняння) включає
рівняння механіки з урахуванням пондеромоторних сил, співвідношення елект-
родинаміки повільно рухомого середовища для кожної з фаз і контактні умови,
записані на поверхні їх розділу. Зазначимо, що рівняння електродинаміки та ме-
ханіки пов’язані між собою і складають повну систему співвідношень моделі.
У лабораторній системі координат (змінні Ейлера) ці рівняння, записані для
збурень параметрів напружено-деформованого стану, можна подати так [7, 14]
( ) 0)()(
)(
=ρ⋅∇+
∂
∂ρ ′′
′
jj
j
v
t
rr
; (12)
)()()()(
)(
)( ˆ ′
Λ
′′′
′
′ +ρ+σ⋅∇=ρ jjjj
j
kjj FF
dt
vd rrr
r
; (13)
t
B
E
j
pj
p ∂
∂
−=×∇
′
′
)(
)(
r
rr
, 0)( =⋅∇ ′j
pB
rr
, t
D
jH
j
pj
p
j
p ∂
∂
+=×∇
′
′′
)(
)()(
r
rrr
, )()( ′′ ρ=⋅∇ j
ep
j
pD
rr
; (14)
)()()( ˆˆ ′′′ Π+−=σ jjj Ip
)
, )(
2
)(
21
)( ˆ2ˆ
3
2ˆ ′′′ ωη+ω
η−η=Π jjj I ,
)2()2()2()2()2()2( ˆ2ˆ
3
2ˆ ′′′′′′ +
−=σ eGIeGK , ( )
⊗∇+⊗∇= ′′′ T
uue )2()2()2( 5,0ˆ rrrr
,
( )
⊗∇+⊗∇=ω ′′′ T
vv )1()1()1( 5,0ˆ rrrr
; (15)
( ) )()(
00
)()()()()( ′′′′′′′ ×εµ−εµ+ε= j
p
jjjj
p
jj
p HvED
rrrr
,
( ) )()(
00
)()()()()( ′′′′′′′ ×εµ−εµ+µ= j
p
jjjj
p
jj
p EvHB
rrrr
; (16)
)()(
0
)( ′′′ ρ+ρ=ρ j
e
j
e
j
ep ; )()()(
*
)( ′′′′ ρ+= jj
ep
jj
p vjj
rrr
,
0,, )2(
*
)1()1()1()1(
*
)1(
*
)1()1(
* =×+=σ= ′′′′′′′′ jBvEEEj e
rrrrrrr
(17)
в областях (Vj) (j = 1, 2);
)2()1( ′′ = uu
rr
, ( ) ( ) 0ˆˆˆˆ )2()2()2()1()1()1( =⋅+σ+⋅+σ ′′′′ nTnT
rr
,
( ) ( ) sesppnpp vDDvinHH ′ρ′+−′+′=′×− ′′′′ rrrrrrr )2()1()2()1( , ( ) 0)2()1( =′⋅− ′′ nBB pp
rrr
,
( ) ( ))1()2()2()1( ′′′′ −′=′×− ppnpp BBvnEE
rrrrr
, ( ) espp nDD ρ′−=′⋅− ′′ rrr
)2()1( (18)
на поверхні (S12).
Тут )( ′ju
r
— вектори переміщення, а dtudv j
j
j /)()( ′′ =
rr
— швидкостей фаз; )(ˆ ′σ j ,
)2(ˆ ′e )1( ′p — відповідно збурення тензорів напружень Коші у фазах, тензора
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 103-115
109
деформації твердої фази та тиску в рідині щодо тензорів )(
0ˆ ′σ j , )2(
0ˆ
′e , )1(
0
′p у вихід-
ній ситуації; ( )′ω 1ˆ — тензор швидкості деформації у рідині; αβ
βα δ⊗= iiI
rrˆ —
одиничний тензор, αβδ — символ Кронекера, )(ˆ ′Π j — тензор в’язких напружень
в електроліті; +×
∂
∂
++ρ= ′
′
′′′′
Λ
)(
)(
)()(
*
)()( )( j
j
jjj
e
j B
t
PjEF
r
r
rrr
)()( ′
α∗
′
α ∇ jj EP
r
— вектор густи-
ни пондеромоторної сили; )( ′jF
r
— вектор масової сили; )()( , ′
α∗
′
α
jj EP — компо-
ненти векторів )()( , ′
∗
′ jj EP
rr
; )(
0
)()( ˆˆˆ ′′′ −= jj
p
j TTT — збурення тензорів натягу Макс-
вела у фазах, ( )IDEDET jjjjj ˆ5,0ˆ )(
0
)(
0
)(
0
)(
0
)(
0
′′′′′ ⋅−⊗=
rrrr
— тензори Максвела у
вихідній, а ( +⋅−⊗+⊗= ′′′′′′′ )()()()()()()( 5,0ˆ j
p
j
p
j
p
j
p
j
p
j
p
j
p DEBHDET
rrrrrr )IBH j
p
j
p
ˆ)()( ′′ ⋅
rr
—
актуальній ситуаціях;
)()()()(
0
)( , ′′′′′ =+= jj
p
jjj
p HHEEE
rrrrr
, )()()()(
0
)( , ′′′′′ =+= jj
p
jjj
p BBDDD
rrrrr
(19)
— вектори напруженостей та індукцій електричного і магнітного полів у фазах, а
)()( , ′′ jj HE
rr
та )()( , ′′ jj BD
rr
— їхні збурення; )(
0
)()( ′′′ ε−= j
p
j
p
j
p EDP
rr
— вектор
поляризації, )(
0
)()( ′′′ −= jj
p
j PPP
rrr
— його збурення; )()()()(
*
′′′′ ×+= jjjj BvEE
rrrr
— век-
тор напруженості електричного поля у системі відліку центра мас j-ої фази; )( ′j
pj
r
,
)(
*
′jj
r
— вектори густини електричного струму та струму провідності у фазах, i ′
r
— вектор густини поверхневого струму; )( ′ρ j
ep — густина електричного заряду у
фазах, а )'( j
eρ — її збурення; esρ′ — густина поверхневого заряду; )( ′µ j —
абсолютна магнітна проникність фази j , 00,εµ — магнітна й електрична сталі;
)1( ′σe — коефіцієнт електропровідності рідини; ( )jn
r
— нормаль до поверхні ( )12S ,
яка є зовнішньою до фази j, nvvnn sn ′⋅′=′=′ ′ rrrr
,)1( , sv′
r
— швидкість переміщення
точок поверхні ( )12S .
2.2. Просторове усереднення. Для переходу від мезорівнянь (12)-(19) до макро-
скопічних рівнянь використаємо метод просторового усереднення [10, 11]. Нехай
процеси, які протікають у тілі, характеризуються віддаллю L>>l, де l — харак-
терний розмір пор і зерен скелету. Введемо усереднені функції [10, 11]
( )
∫
δ
′′ ′ϕ
δ
=ϕ≡ϕ
jV
j
j
j
jj Vd
V
)()()( 1 ,
( )
∫
δ
′′ ϕ
δ
=ϕ≡ϕ
jS
j
j
j
s
jj
s dS
S
)()()( 1)(
( )
∫
δ
′′ ϕ
δ
=ϕ≡ϕ
12
12
)(
12
12
)()(
12
1)(
S
jjj dS
Vs
. (20)
Василь Кондрат
До математичного моделювання фізико-механічних процесів у пористих насичених тілах
110
Тут )( ′ϕ j — довільна шукана функція системи рівнянь (12)-(19), ( ) ( ) ( )jj
s
j
12,, ϕϕϕ —
відповідні їй усереднені за об’ємом, поверхнею та поверхнею розділу фаз функ-
ції, ( ) ( ) ( )21 VVV δδ=δ U , ( ) ( ) ( )21 SSS δδ=δ U .
Характерний розмір d областей усереднення вибирається так (l << d << L),
щоб усереднені функції були стійкими, тобто нечутливими до малих змін облас-
тей ( ) ( ) ( )12),2,1(, SjSV jj δ=δδ . Вимагаємо також, щоб вони були регулярними
та представницькими [10].
2.3. Система макроскопічних рівнянь. Застосувавши оператори усереднення (20)
до рівнянь (12)-(19) після деяких перетворень отримаємо таку систему взаємо-
зв’язаних рівнянь електромагнітомеханіки для визначення функцій макроскопіч-
них полів [7, 14]
( )( ) ( ) ( )( ) 0=ρα⋅∇+
∂
ρα∂ jj
j
j
j v
t
rr
; (21)
( ) ( ) )1()1(
1
1
1
1
1
)1(
1)1(
1 FFRp
dt
vd rrrr
r
ρα+α++∇α−=ρα Λ ,
( ) ( ) )2()2(
2
)2(2
2
1
2
)2(
2)2(
2 ˆ FRFRp
dt
vd
f
k
rrrrrrr
ρα++α+−∇α−σ⋅∇=ρα ΛΛ ; (22)
t
BE
∂
∂
−=×∇
r
rr
, 0=⋅∇ B
rr
,
t
DjH M ∂
∂
+=×∇
r
rrr
, eMD ρ=⋅∇
rr
; (23)
ν++
−α=σ IpeGIeGK fffff
ˆˆ2ˆ
3
2ˆ )1()2()2(
2 , ( ))()()(
0
)( 1 jjjj pβ−ρ=ρ
fpp σ
α
−=
2
)1()2( 1 , ( ) ( )dtvddtvdvvAR // )1(
1
)2(
212
)1()2( rrrrr
−ρ−−= ,
∑
=α
ααΛ ∇+×
∂
∂
++ρ=
3
1
)(
*
)()(
)(
)()(
*
)()( jjj
j
jjj
e
j EPB
t
P
jEF
rrr
r
rrr
,
( ) ( ))1()2(
1202
)1()2()2( ˆˆ EEsDTTR s
rrrr
−+α∇⋅−=Λ ; (24)
( )[ ]Tuue )2()2()2(
2
1ˆ rrrr
⊗∇+⊗∇= ; (25)
HBED
rrrr
µ=ε= , , BkM jjjj
rrrr
++= * , Ej e
rr
σ=* ,
( ) ( ))2()1(1
1 5,0 EEesee ff +σ+σα=σ , ( ) +⋅∇ε+ργα= )1()1()1()1(
011 vEfj Eek
rrrr
( )[ ] )2(
1
)2()2()1()1()2()2(
2211
20
)1(
0 vEffEf EEE
e rrrrr
α∇⋅ε−ε+⋅∇εα+γα
α
ρ
+ ,
( )[ ] Bvvj eseseB
rrrr
×σ+σ+σα= )2()1()1(
1 5,05,0 ,
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 103-115
111
eseeM ρ+ρ=ρ , ( ) 1
)2()2()1()1( α∇⋅ε−ε=ρ
rr
Eff EEes ,
HHEfE jj
E
j
rrrr
== )()()( , , 2,1,
)( )3()(
)3(
)( =
ε−εα
ε−ε
= −
−
jf jj
j
j
j
E (26)
У записаних формулах символи без штрихів мають той самий фізичний зміст, що
й штриховані символи у мезорівняннях (12)-(19), але відповідають усередненим
величинам; 11α — збурення коефіцієнта пористості; 12ρ — параметр приєднаної
маси; kA /21ηα= ; ff GK , — ефективні модулі стиску і зсуву скелета; )( jβ —
усереднена стисливість фаз; )(
0
jρ — вихідна (початкова) усереднена густина маси
j-ої фази; fν — зцементованість скелета; µε, — усереднені діелектрична та
магнітна проникності пористого матеріалу; esσ — усереднений коефіцієнт
поверхневої електропровідності; sD0 значення індукції електричного поля на
поверхні ( )12S у вихідній ситуації; коефіцієнти 11 ≤γ та 12 ≤γ відображають
відмінність між середніми швидкостями руху маси та початкового заряду в
рідині та скелеті [14].
Відзначимо, що існування ненульового збурення векторів електромагнітно-
го поля в пористому тілі за відсутності зовнішніх чинників, як це видно з рівнянь
(23), (26), у цій моделі можливе лише у разі відмінності від нуля вихідних зна-
чень характеристик подвійного електричного шару (густини електричного заря-
ду, індукції електричного поля тощо), які є параметрами моделі. Отримана систе-
ма співвідношень (21)-(26) може бути використана для дослідження взаємозв’я-
заних механічних та електромагнітних процесів у пористих тілах, насичених
рідиною. У ній відсутні обмеження, прийняті в роботах [12 ,18]. Пондеромоторні
сили дії на матеріальні континууми зі сторони електромагнітного поля врахову-
ють як сили Кулона, Ампера, силу дії на дипольний момент у неоднорідному
електричному полі, так і силу, яка діє на межу розділу фаз. Враховано також
вплив поверхневого заряду на збурення електричного заряду та струму.
3. Вплив зв’язаної рідини на фільтрацію в гетеропористому тілі
Розглянемо пружне тверде тіло, яке містить сукупність паралельно орієнтованих
каналів (щілин), заповнених рідиною. Поперечний розмір таких каналів є випад-
ковою величиною. Приймемо, що за заданої зовнішньої дії на поверхні тіла,
вздовж кожного з каналів створено сталий градієнт тиску, який викликає ламі-
нарний фільтраційний потік рідини. При описі руху рідини щілину віднесемо до
декартової системи координат (x,y,z), вісь OZ якої співпадає з напрямом руху
рідини, а вісь OY — перпендикулярна до її стінок (щілина займає область
),( HHy −∈ , де H — її півширина). Шар зв’язаної рідини товщини Hh < займає
область ),(),( HhHhHHy −+−−∈ U . Приймемо також, що густина ймовірності
розподілу розмірів каналів визначається виразом
Василь Кондрат
До математичного моделювання фізико-механічних процесів у пористих насичених тілах
112
( )[ ]
><
≤≤ξ−−=
21
21
22
1
,,0
,2exp)(
HHHH
HHHHHBHf (27)
де H — середнє значення, 2ξ — дисперсія,
( ) ( )[ ]12
1
1
2
1
HH
B
Φ−Φξπ
= ,
( ) ( )[ ]dxxxx
x
∫
∞−
ξ−−
ξπ
=Φ 22 2exp
2
1 .
При цьому приймемо також, що 1Hh < .
Середня швидкість протікання рідини в кожній щілині за постійних граді-
єнта тиску та в’язкості рідини визначається шириною щілини і є випадковою ве-
личиною з густиною розподілу ймовірності (27). Середнє статистичне (матема-
тичне сподівання) швидкості визначаємо за формулою
pkdHHvHfvvs
10
)()(
µ
==≡ ∫
∞
; (28)
для моделі 1
( ) ( ) ( )[ ] ( ) +−+−ϑ−
−
= ∫
∞
2
0 3
221
2
1 hHhHh
H
hHHfk
( ) ( )[ ] ( ) dHdyyHhHhH
H
hH
−−ϑ−+
ϑ−
−
ϑ−
ϑ
−− ∫
1
1
22
1
1 21 ; (29)
для моделі 2
( )*13
1 HHk −θ= ( )( ) +−∫
2
1
2
H
H
dHhHHf ( ) ( ) +−θ ∫
2
1
2
2*3
1 H
H
dHHHfHH
( ) ( )[ ]2*1*3
1 HHHH −θ−−θ ( )( ) ( )
+− ∫∫
2
*
*
1
22
H
H
H
H
dHHHfdHhHHf , (30)
де )(xθ — функція Гевісайда.
Рівняння (28)-(30) відображають узагальнений закон Дарсі для гетеропорис-
того тіла, який враховує наявність зв’язаної рідини в порах за моделями 1 та 2.
Графіки на рис. 1 і 2 ілюструють відповідно залежність ефективного коефіцієнта
проникності від параметра Hz /ξ= дисперсії розмірів каналів та швидкості
фільтрації від величини градієнта тиску p. Розрахунки проводилися при 5,0=ϑ ,
м10 7
1
−=H , м105 7
2
−⋅=H , м103 7−⋅=H , Па106 2
*
−⋅=τ . На рис. 1 взято r =
м10 7−= , а на рис. 2 — м103 7−⋅=ξ . Суцільні лінії відповідають моделі 1, а
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 103-115
113
штрихові — моделі 2 зв’язаної рі-
дини. Для порівняння пунктирни-
ми лініями показано графіки таких
залежностей за відсутності зв’яза-
ної рідини. Цифри 1, 2, 3, на рис. 1
відповідають значенням 105, 2·105,
3·105 Па/м градієнта тиску. Бачимо
(рис. 1), що за відсутності зв’яза-
ної рідини та для її моделі 1 ефек-
тивний коефіцієнт проникності не
залежить від величини градієнта
тиску. При цьому залежність швид-
кості фільтрації від градієнта тис-
ку є лінійною (рис. 2). Наявність
зв’язаної рідини для цієї моделі
проявляється у менших величинах
коефіцієнта проникності та швид-
кості фільтрації. Для моделі 2 ефек-
тивний коефіцієнт проникності
збільшується з ростом градієнта
тиску p (рис. 1), закон Дарсі відо-
бражає нелінійність залежності
швидкості фільтрації від p (рис. 2),
що спостерігається для дрібнопо-
ристих середовищ [3].
Висновки. Враховано локальну фі-
зичну неоднорідність стану ріди-
ни та твердої фази пористого тіла,
пов’язану з їхньою поверхневою
взаємодією, а саме — неоднорід-
ність розподілу електричного за-
ряду та структурованості порової
рідини в околі поверхні контакту
фаз. Це дозволило побудувати ма-
тематичні моделі для опису у вза-
ємозв’язку механічних та електромагнітних процесів у пористому насиченому
рідиною тілі, а також отримати узагальнений закон Дарсі для гетеропористого
тіла, який враховує наявність зв’язаної рідини в порах. Кількісно проаналізовано
вплив зв’язаної рідини на фільтраційні процеси за різних моделей її опису. По-
казано, що врахування деструктурування зв’язаної рідини під впливом зсувних
напружень приводить до нелінійності закону Дарсі.
0.5 1 1.50.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
1
2
3
Рис. 1. Залежність ефективного коефіцієнта
проникності гетеропористого тіла від
параметра дисперсії z для різних значень
градієнта тиску
0,1
0,15
0,2
0,3
0,35
0,5 1
0,25
z
Рис. 2. Залежність швидкості фільтрації рідини
від величини градієнта тиску
1 .105 2 .105 3 .105
0
2 .10 6
4 .10 6
6 .10 6
8 .10 6
1 .10 5
p
v
v
p
v
p
k
Василь Кондрат
До математичного моделювання фізико-механічних процесів у пористих насичених тілах
114
Література
[1] Алтоиз Б. А., Асланов С. К. Моделирование структурированного приповерхностно-
го слоя в динамике вязкой жидкости // Доп. НАН України. — 2003. — № 9. —
С. 76-79.
[2] Бреховских Л. М., Гончаров В. В. Введение в механику сплошных сред. — М.: Нау-
ка, 1982. — 335 с.
[3] Грунтоведение / Под ред Ю. С. Сергеева. — М.: Изд. МГУ. — 1983. — 465 с.
[4] Дерягин Б. В., Чураев Н. В. Новые свойства жидкостей. — М.: Наука, 1971. — 176 с.
[5] Дерягин Б. В., Чураев Н. В., Муллер В. М. Поверхностные силы. — М.: Наука, 1985. —
398 с.
[6] Иванов А. Г. Эффект электризации пластовых залежей при прохождении через них
упругих волн // Доклады АН СССР. — 1939. — Т. 24, № 11. — С. 41-44.
[7] Кондрат В. Рівняння електромагнітної механіки пористого насиченого середови-
ща // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. — 2005. —
Вип. 1. — С. 84-96.
[8] Кузнецов О. Л., Симкин Э. М. Преобразование и взаимодействие геофизических
полей в литосфере. — М.: Недра, 1990. — 269 с.
[9] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1982. —
620 c.
[10] Нигматулин Р. Н. Динамика многофазных сред. Ч. 1. — М.: Наука, 1987. — 464 с.
[11] Нигматулин Р. Н. Основы механики гетерогенных сред. — М.: Наука, 1978. —
336 с.
[12] Основы сейсмоэлектроразведки / Потапов О. А., Кондрат В. Ф., Лизун С. А. и др.
М.: Недра. — 1995. — 268 с.
[13] Седов Л. И. Механика сплошной среды. В 2-х томах. — М.: Наука, 1976. — Т. 1. —
526 с.
[14] Фізико-математичне моделювання складних систем / Я. Бурак, Є. Чапля, Т. Нагір-
ний та ін. Під ред. Я. Бурака, Є. Чаплі. — Львів: Сполом, 2004. — 264 с.
[15] Фридрихсберг Д. А. Курс коллоидной химии. — Л.: Химия, 1974. — 352 с.
[16] Чапля Є., Кондрат В., Строгуш В. Вплив механічних коливань на перенос домі-
шок в твердому тілі. Пороватий шар // Машинознавство. — 2000. — № 8. —
С. 15-19.
[17] Kubik J., Cieszko M., Kaczmarek M. Podstawy dynamiki nasyconych ośrodków poro-
watych. — Warszawa, 2000. — 240 s.
[18] Pride S. Governing equations for the coupled electromagnetics and acoustics of porous
media // Phys. Rev. B. — 1994. — Vol. 50, № 21. — P. 15678-15696.
On the Mathematical Modelling of Physical Mechanical Processes
in the Porous Saturated Medium
Vasyl Kondrat
The two-phase rigid body is considered which consists of a deformable porous skeleton and liquid,
that fills its pores. Porosity is open. In an initial state a body is statistically homogeneous and
isotropic. The different conditions of interaction of solid and liquid phases and corresponding
different physical analogies of a porous body are considered. According to the first (classic)
model both phases in an initial state have steadied properties and are homogeneous in spatial
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 103-115
115
domains, they occupy. By the second model the liquid is an aquosystem and skeleton is solid
solution. Then in connection with a difference of chemical potentials of charged impurity
(additives) in phases their spatial reallocation takes place with derivation to a double electrical
layer in environ of a surface of a contact of phases. The third model takes into account that the
contact interaction results in change of physical mechanical characteristics of a liquid in contact
area and a structured (bound) liquid arises. The equations of mathematical models of mechanical
and mechano-electromagnetic processes in a porous body are obtained. They are founded on
reduced physical analogs. The influence of a bound liquid on filtration in heteroporous body is
quantitatively parsed.
К математическому моделированию физико-механических
процессов в пористых насыщенных телах
Василь Кондрат
Объектом исследования есть двухфазное твердое тело, которое состоит из дефор-
мируемого пористого скелета и жидкости, заполняющей поры. Пористость открытая. В
начальном состоянии тело статистически однородное и изотропное. Рассматриваются
различные условия взаимодействия твердой и жидкой фаз, а в связи с этим различные
физические модели пористого тела. Согласно первой (классической) модели обе фазы в на-
чальном состоянии имеют установившиеся свойства и являются однородными в прост-
ранственных областях, которые они занимают. За второй моделью жидкость является
раствором электролита, а скелет твердым раствором. Тогда в связи с разницей хими-
ческих потенциалов заряженных примесей в фазах имеет место их пространственное
перераспределение с образованием двойного электрического слоя в окрестности поверх-
ности контакта фаз. Третья модель учитывает то, что контактное взаимодействие
приводит к изменению физико-механических свойств жидкости в приконтактной области
и возникает структурированная (связанная) жидкость. Получены уравнения математи-
ческих моделей механических и механоэлектромагнитных процессов в пористом теле,
которые базируются на приведенных физических моделях. Количественно проанализиро-
вано влияние связанной жидкости на фильтрацию в гетеропористом теле.
Отримано 24.02.06
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-20974 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-1545 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-29T08:08:04Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кондрат, В. 2011-06-13T18:45:57Z 2011-06-13T18:45:57Z 2006 До математичного моделювання фізико-механічних процесів у пористих насичених тілах / В. Кондрат // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 103-115. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20974 539.3:537.8 Об’єктом дослідження є двофазне тверде тіло, яке складається з деформівного пористого скелета і рідини, що заповнює його пори. Пористість відкрита. У вихідному стані тіло статистично однорідне та ізотропне. Розглядаються різні умови взаємодії твердої та рідкої фаз, а відтак — різні фізичні моделі пористого тіла. Згідно першої (класичної) моделі обидві фази у вихідному стані мають сталі властивості і є однорідними у просторових областях, які вони займають. За другою моделлю рідина є розчином електроліту, а скелет — твердим розчином. Тоді, у зв’язку з різницею хімічних потенціалів заряджених домішок у фазах, відбувається їх просторовий перерозподіл з утворенням подвійного електричного шару в околі поверхні контакту фаз. Третя модель враховує те, що контактна взаємодія приводить до зміни фізико-механічних властивостей рідини в приконтактній області і виникає структурована (зв’язана) рідина. Отримані рівняння математичних моделей механічних та механоелектромагнітних процесів у пористому тілі, які ґрунтуються на згаданих фізичних моделях. Кількісно проаналізовано вплив зв’язаної рідини на фільтрацію в гетеропористому тілі. The two-phase rigid body is considered which consists of a deformable porous skeleton and liquid, that fills its pores. Porosity is open. In an initial state a body is statistically homogeneous and isotropic. The different conditions of interaction of solid and liquid phases and corresponding different physical analogies of a porous body are considered. According to the first (classic) model both phases in an initial state have steadied properties and are homogeneous in spatial domains, they occupy. By the second model the liquid is an aquosystem and skeleton is solid solution. Then in connection with a difference of chemical potentials of charged impurity (additives) in phases their spatial reallocation takes place with derivation to a double electrical layer in environ of a surface of a contact of phases. The third model takes into account that the contact interaction results in change of physical mechanical characteristics of a liquid in contact area and a structured (bound) liquid arises. The equations of mathematical models of mechanical and mechano-electromagnetic processes in a porous body are obtained. They are founded on reduced physical analogs. The influence of a bound liquid on filtration in heteroporous body is quantitatively parsed. Объектом исследования есть двухфазное твердое тело, которое состоит из деформируемого пористого скелета и жидкости, заполняющей поры. Пористость открытая. В начальном состоянии тело статистически однородное и изотропное. Рассматриваются различные условия взаимодействия твердой и жидкой фаз, а в связи с этим различные физические модели пористого тела. Согласно первой (классической) модели обе фазы в начальном состоянии имеют установившиеся свойства и являются однородными в пространственных областях, которые они занимают. За второй моделью жидкость является раствором электролита, а скелет твердым раствором. Тогда в связи с разницей химических потенциалов заряженных примесей в фазах имеет место их пространственное перераспределение с образованием двойного электрического слоя в окрестности поверхности контакта фаз. Третья модель учитывает то, что контактное взаимодействие приводит к изменению физико-механических свойств жидкости в приконтактной области и возникает структурированная (связанная) жидкость. Получены уравнения математических моделей механических и механоэлектромагнитных процессов в пористом теле, которые базируются на приведенных физических моделях. Количественно проанализировано влияние связанной жидкости на фильтрацию в гетеропористом теле. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології До математичного моделювання фізико-механічних процесів у пористих насичених тілах On the Mathematical Modelling of Physical Mechanical Processes in the Porous Saturated Medium К математическому моделированию физико-механических процессов в пористых насыщенных телах Article published earlier |
| spellingShingle | До математичного моделювання фізико-механічних процесів у пористих насичених тілах Кондрат, В. |
| title | До математичного моделювання фізико-механічних процесів у пористих насичених тілах |
| title_alt | On the Mathematical Modelling of Physical Mechanical Processes in the Porous Saturated Medium К математическому моделированию физико-механических процессов в пористых насыщенных телах |
| title_full | До математичного моделювання фізико-механічних процесів у пористих насичених тілах |
| title_fullStr | До математичного моделювання фізико-механічних процесів у пористих насичених тілах |
| title_full_unstemmed | До математичного моделювання фізико-механічних процесів у пористих насичених тілах |
| title_short | До математичного моделювання фізико-механічних процесів у пористих насичених тілах |
| title_sort | до математичного моделювання фізико-механічних процесів у пористих насичених тілах |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20974 |
| work_keys_str_mv | AT kondratv domatematičnogomodelûvannâfízikomehaníčnihprocesívuporistihnasičenihtílah AT kondratv onthemathematicalmodellingofphysicalmechanicalprocessesintheporoussaturatedmedium AT kondratv kmatematičeskomumodelirovaniûfizikomehaničeskihprocessovvporistyhnasyŝennyhtelah |