Міжфазна тріщина на межі розділу кругового включення і матриці
Розглянуто напружений стан жорстко з’єднаних між собою пружних матриці і кругового включення з різних матеріалів, на межі розділу яких є тріщина. Враховано контакт берегів тріщини поблизу її вершин і сили тертя в області контакту. Із застосуванням методу Вінера-Гопфа розв’язок інтегрального рівняння...
Saved in:
| Published in: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2006
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20975 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Міжфазна тріщина на межі розділу кругового включення і матриці / А. Улітко, В. Острик // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 138-149. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859671926284222464 |
|---|---|
| author | Улітко, А. Острик, В. |
| author_facet | Улітко, А. Острик, В. |
| citation_txt | Міжфазна тріщина на межі розділу кругового включення і матриці / А. Улітко, В. Острик // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 138-149. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| description | Розглянуто напружений стан жорстко з’єднаних між собою пружних матриці і кругового включення з різних матеріалів, на межі розділу яких є тріщина. Враховано контакт берегів тріщини поблизу її вершин і сили тертя в області контакту. Із застосуванням методу Вінера-Гопфа розв’язок інтегрального рівняння задачі отримано в замкненій формі. Знайдено в явному вигляді довжину області контакту берегів тріщини, розподіл напружень в області контакту та на межі розділу матриці та включення поза тріщиною.
The tension state of rigidly connected elastic matrix and circular inclusion from different materials with the crack on their interface is studied. The contact of shore of the crack close to its vertices is taken into account. Friction forces are taken into account in the contact zone. Using Wiener-Hopf method the solving of the integral equation of the problem is received in the closed form. The size of the contact domain of the shores of the crack, the distribution of tensions in the contact domain and on their interface of matrix and inclusion out of the crack are found in the closed form.
Рассмотрено напряженное состояние жестко соединенных между собой упругих матрицы и кругового включения из разных материалов, на границе раздела которых находится трещина. Учтен контакт берегов трещины вблизи ее вершин и силы трения в области контакта. С использованием метода Винера-Хопфа решение интегрального уравнения задачи получено в замкнутой форме. Найдены в явном виде длина области контакта берегов трещины, распределение напряжений в области контакта и на границе раздела матрицы и включения вне трещины.
|
| first_indexed | 2025-11-30T14:23:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
Міжфазна тріщина на межі розділу
кругового включення і матриці
Андрій Улітко1, Володимир Острик2
1 член-кор. НАН України, Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, вул. Володимирська, 64,
Київ, 01033, e-mail: ulitko@univ.kiev.ua
2 д. ф.-м. н., Інститут прикладної фізики НАН України, вул. Петропавлівська, 58, Суми, 40030,
e-mail: ostrik_v@rambler.ru
Розглянуто напружений стан жорстко з’єднаних між собою пружних матриці і кругового
включення з різних матеріалів, на межі розділу яких є тріщина. Враховано контакт берегів
тріщини поблизу її вершин і сили тертя в області контакту. Із застосуванням методу Ві-
нера-Гопфа розв’язок інтегрального рівняння задачі отримано в замкненій формі. Знайдено
в явному вигляді довжину області контакту берегів тріщини, розподіл напружень в облас-
ті контакту та на межі розділу матриці та включення поза тріщиною.
Ключові слова: міжфазна тріщина, контакт, тертя, напруження.
Вступ. Розв’язкам задач про рівновагу пружних тіл із тріщинами на межі розділу
середовищ із різних матеріалів властива сингулярна осциляція напружень і
обмежена за амплітудою осциляція переміщень в околах вершин тріщини [1].
Осцилюючі розв’язки не можна вважати фізично допустимими, оскільки вони пе-
редбачають взаємне проникнення середовищ поблизу вершин тріщини. Незважаючи
на те, що у низці випадків зони осциляцій надзвичайно малі порівняно з розміром
тріщини, нехтування цими зонами не дає змоги отримати розподіл напружень в
околах вершин міжфазної тріщини і коректно ввести коефіцієнт інтенсивності
напружень.
У роботах М. Комніноу, огляд яких наведено в [2], для знаходження ко-
ректних розв’язків запропоновано вводити малі області контакту берегів тріщини
поблизу її вершин. При цьому чисельно досліджено моделі гладкого та фрикцій-
ного контакту. Аналітичні розв’язки для міжфазної тріщини в однорідному полі
напружень були одержані в [3, 4]. У роботах [5-7] одержано розв’язки в замкне-
ній формі для тріщини з однією зоною контакту між різнорідними ізотропними,
ортотропними та п’єзоелектричними матеріалами. У [8] знайдено аналітичний
розв’язок для системи міжфазних тріщин у полі зосереджених сил та моментів і
чисельно проаналізовано випадок однієї тріщини з урахуванням тільки однієї
зони контакту. У роботах [9-12] відповідно з моделями гладкого та фрикційного
контакту отримано точні та асимптотично точні розв’язки задач для напівнескін-
ченної та скінченної міжфазної тріщини у разі дії нормальних зосереджених сил,
прикладених до берегів тріщини. У статті [13] досліджено фрикційний контакт
берегів міжфазної тріщини у полі зсувних та розтягуючих напружень, коли
УДК 539.3
138
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 138-149
139
область контакту біля однієї з вершин тріщини може займати значну частину трі-
щини. В усіх згаданих роботах розглядалися задачі плоскої деформації для двох
жорстко з’єднаних різнорідних півплощин із тріщиною на межі. Розв’язок осеси-
метричної контактної задачі для кругової тріщини на межі розділу двох
різнорідних півпросторів, одержано в [14, 15] чисельно та в [16, 17] аналітично.
Нижче в рамках фрикційної моделі контакту у замкненому вигляді дається роз-
в’язок контактної задачі для міжфазної тріщини на межі кругового включення у
пружній площині.
1. Постановка задачі
Розглянемо всесторонній розтяг пружної півплощини з відшарованим включен-
ням (рис. 1). Модуль зсуву і коефіцієнт Пуассона включення позначимо 1G і 1ν , а
матриці (площини з круговим отво-
ром) — відповідно 2G і 2ν . Приймемо
радіус включення R = 1. Межа розділу
(r = 1) складається із дуг L′ та L ′′ , при-
чому вздовж дуги L′ ( α−π≤ϑ≤α 2 )
включення і матриця жорстко з’єдна-
ні, а вздовж дуги L ′′ ( α<ϑ<α− ) є трі-
щина з вершинами у точках α−= iea і
α= ieb комплексної площини ϑire . Бе-
реги розрізу L ′′ вільні від зовніш-
нього навантаження, а на нескінченності
задано розтягуючі напруження
∞∞∞ σ=σ=σ yx ( 0=τ∞xy ). Згідно з мо-
деллю Комніноу вважаємо, що береги
тріщини вступають у контакт вздовж дуг )1(
0L і )2(
0L , прилеглих до вершин b і a
тріщини. Приймаємо, що в областях контакту )1(
0L і )2(
0L спостерігається взаємне
проковзування берегів тріщини і нормальний тиск та дотичні зусилля
підпорядковуються закону тертя Амонтона (Кулона). Кутовий розмір ε областей
контакту заздалегідь невідомий і підлягає визначенню.
Маємо наступні змішані умови на межі розділу LL ′′′U ( LLL ′′⊂)2(
0
)1(
0 U )
матриці та включення
1
)2(
1
)1(
==
=
rrrr uu , =σµ⋅ϑ=τ=τ
==ϑ=ϑ 1
)1(
01
)2(
1
)1( sign
rrrrrr
1
)2(
0sign
=
σµ⋅ϑ=
rr ( α<ϑ≤ε−α || ), (1.1)
0
1
)2(
1
)1( =σ=σ
== rrrr , 0
1
)2(
1
)1( =τ=τ
=ϑ=ϑ rrrr ( ε−α<ϑ || ), (1.2)
∞σ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
← 22 , νG →
← b )1(
0L →
← 11, νG 1=R ε ),( ϑr →
← r →
← 0 α ϑ p →
← L ′′ →
← L′ )2(
0L →
← a →
← →
← →
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ∞σ
Рис. 1.
Андрій Улітко, Володимир Острик
Міжфазна тріщина на межі розділу кругового включення і матриці
140
1
)2(
1
)1(
=ϑ=ϑ =
rr
uu ,
1
)2(
1
)1(
==
=
rrrr uu ,
1
)2(
1
)1(
==
σ=σ
rrrr ,
1
)2(
1
)1(
=ϑ=ϑ τ=τ
rrrr ( α−π≤ϑ≤α 2 ). (1.3)
Тут верхній індекс (1) відповідає включенню, (2) — матриці; 0µ — коефіцієнт
тертя. Знак ϑsign при 0µ у формулі (1.1) вибрано згідно припущення, що для ко-
лових переміщень в областях контакту з проковзуванням справджується умова
0)(signsign
1
)1()2( <−⋅ϑ=∆⋅ϑ
=ϑϑϑ r
uuu ( α<ϑ≤ε−α || ), (1.4)
у виконанні якої слід пересвідчитися після розв’язання задачі.
2. Інтегральне рівняння задачі
Введемо невідому функцію контактного тиску
1
)1(
12
1)(
=
σ−=σ
rrGt ( )1(
0Lt ∈ , α<ϑ≤ε−α ). (2.1)
Тоді напруження на берегах тріщини L ′′ запишемо у вигляді
′′∈
∈σ−
=σ
= ,\,0
,),(2
0
01
1
)(
LLt
LttG
r
j
r
′′∈
∈σ⋅ϑµ−
=τ
=ϑ
0
001
1
)(
\,0
,),(sign2
LLt
LttG
r
j
r
(j = 1, 2), )2(
0
)1(
00 LLL U= . (2.2)
Розв’язок виразимо через комплексні потенціали Колосова-Мусхелішвілі
)(zjΦ , )(zjΨ у вигляді [18]
])()([2)()( zz jj
jj
r Φ+Φ=σ+σ ϑ ,
)()()()()()( zz
zzzzzi jjjj
j
r
j
r Ψ−Φ′−Φ+Φ=τ+σ ϑ ,
])()()([)(2 )()( zzzzeiuuG jjjj
ijj
rj ψ−ϕ′−ϕκ=+ ϑ−
ϑ ,
)()( zz jj Φ=ϕ′ , )()( zz jj Ψ=ψ′ , jj ν−=κ 43 (j = 1, 2). (2.3)
При цьому
)(2)( 2
2
−∞ +σ=Φ zOz , )()( 2
2
−=Ψ zOz , ∞→|| z . (2.4)
Скористаємося розв’язком задачі (1.3), (2.2) без урахування областей кон-
такту, одержаним у [19], де показано, що з введенням допоміжних функцій
( ) ( ) ( )
zzzzzz jjjj
11111)( 2 Ψ+Φ′+Φ−=Ω (2.5)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 138-149
141
знаходимо
)()( zCz jj Φ−=Ω , (2.6)
де C — невідома стала, підпорядкована умові
C−σ=Φ ∞ 2)0(1 , (2.7)
а також
+Ψ
+κ
=Φ
−− jjjj
j G
Cz
GG
GGz
33
21
2
)(2)( ( 2,1=j ), (2.8)
121
212
0 24
)(
G
C
GG
GGC −σ
+κ
==∞Ψ ∞ , (2.9)
де )(zΨ — функція, аналітична поза розрізом.
Для компонент тензора напружень маємо
( ) ( ) +Φ′−−Φ−+Φ=τ+σ ϑ )(1)(11)()()( zzzzzzzi jjj
j
r
j
r
( )
κ
−Ψ
+κ
+
−
−
−−
C
GzzzGG
GG
j
j
jjj 3
3
33
21
2
112 ( 2,1=j ). (2.10)
Із (2.10) отримуємо умову спряження
)()()(
212
121 tht
GG
GGt =Ψ
+κ
+κ
+Ψ −+ ( Lt ′′∈ ), (2.11)
де )(t+Ψ означає граничне значення функції )(zΨ на контурі L ′′ з області
1|| <z , а )(t−Ψ — з області 1|| >z . Права частина рівності (2.11) є такою
C
GG
i
GG
GGth
rrr )(2
1)(
2
)(
212
21
1
)1()1(
21
121
+κ
−κκ
+τ+σ
+κ
=
=ϑ . (2.12)
Розв’язок задачі спряження (2.11) з урахуванням (2.9) має вигляд [18]
)()(
))((
)(
2
)()( 10 zCzC
ztt
dtth
i
zz
L
Χ++
−Χπ
Χ
=Ψ ∫
′′
,
θ+−θ−− −−=Χ ii bzazz 2121 )()()( , 0ln2
1
121
212 >
+κ
+κ
π
=θ
GG
GG ,
)()( tt Χ=Χ+ , )()(
121
212 t
GG
GGt Χ
+κ
+κ
−=Χ− , 01 )sin2(cos CC αθ+α−= . (2.13)
Андрій Улітко, Володимир Острик
Міжфазна тріщина на межі розділу кругового включення і матриці
142
З урахуванням (2.12), (2.2) і формули [18]
αθ+α+−
Χ+
π
=
−Χ πθ−
′′
∫ sin2cos
)(
1
1
2
))(( 2 z
ze
i
ztt
dt
L
(2.14)
із співвідношень (2.13) маємо
+−
Χ+
′
+
−Χ
σ
π
µ+
+κ−=Ψ πθ−∫ z
ze
C
ztt
dtt
ii
G
Gz
L )(
1
1))((
)(
2
1)1()( 20
2
1
1
0
)(sin2cos 10 zCzC Χ
++
αθ+α+ ,
212
21 1
2 GG
CC
+κ
−κκ
=′ . (2.15)
Якщо у розв’язку (2.15) знехтувати значенням інтеграла при 0=z (величи-
ною порядку )( 1 θ−ε iO при 0→ε ), то, враховуючи вираз (2.8), з умови (2.7) отри-
маємо
021210
1221
2121
0212121
2)1(
)1()1(
)1(
)(
2 α−+κ+α−
+κ++κ
−κκ
α+κ−+κσ
=
∞
GGG
GG
GG
GGGGC , (2.16)
де
)sin2(cos2
0 αθ+α=α θα−e .
Розв’язок (2.15) задачі (1.3), (2.2) використаємо далі як інтегральне пред-
ставлення розв’язку контактної задачі (1.1)-(1.3), (2.2). При цьому функція )(zΨ
із формули (2.15) задовольняє всі граничні умови (1.1)-(1.3) окрім першої з умов (1.1)
на радіальні переміщення в областях контакту, з якої отримаємо інтегральне рів-
няння для визначення функції контактного тиску )(tσ .
Також, як і для прямолінійної міжфазної тріщини в однорідному полі роз-
тягуючих напружень [2], приймемо, що розмір областей контакту значно (на
декілька порядків) менший за розмір самої тріщини. Це припущення буде
підтверджено далі фактичним розв’язком задачі. Тоді у поданні (2.3) для пере-
міщень у точках контуру )1(
0L покладемо α−ϑ− = ii ee і перейдемо до виразів для
похідних переміщень (j = 1, 2)
Ψ+Φ′−Φ−Φκ=+
ϑ
±±±±
=ϑ )()()()()(2
1
)()( tt
tttttiiuud
dG jjjjjr
jj
rj , )1(
0Lt ∈ , (2.17)
звідки на підставі (2.5)-(2.8) будемо мати
[ ] )]()([)(
1
)1()2()1()2( ttiuuiuud
d
rrr
−+
=ϑϑ Ψ−Ψ=−+−
ϑ
, )1(
0Lt ∈ . (2.18)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 138-149
143
Якщо знехтувати взаємовпливом малих областей контакту )1(
0L і )2(
0L , то,
диференціюючи першу граничну умову (1.1) по ϑ і задовольняючи її за допомо-
гою виразів (2.18), (2.15), отримуємо інтегральне рівняння відносно функції )(tσ
( ) =
−ττΧ
ττσ
π
Χ
µ+−σπθµ ∫
)1(
0
))((
)()()1(Im)(th 00
L
t
d
i
tit
)]()[(Im2
10
121
2 tCtC
GG
CG
Χ+
+κ
′′
−= , )1(
0Lt ∈ , (2.19)
де
)1(
1 2
0
πθ−+
′
−=′′
eC
CC . (2.20)
З огляду на малість кутового розміру ε області контакту )1(
0L дамо асимпто-
тичне спрощення при 0→ε рівняння (2.19). Виконуючи заміну змінних
)1( η−α ε−=τ eiei , )1( ξ−α ε−= eiet i , ( ∞<ξη< ,0 ) (2.21)
і переходячи до нової невідомої функції
[ ] η−η−α ε−σ=ηϕ eeiei )1()( , (2.22)
отримаємо інтегральне рівняння на півосі з різницевим ядром
)()()(
0
ξ=ηηϕη−ξ∫
∞
fdk , ( ∞<ξ≤0 ), (2.23)
( ) λλ
π
=η−ξ η−ξλ−∫
∞
∞−
deKk i)(2
1)( ,
)(ch)(ch
)(chsh)(
θ−λπθ+λπ
γ+λππλ
=λ
iK ,
θ−
ε
α⋅πγ′′σ
=ξ ξθ−−α
εθ−αα−πθ
∞
)21(sin2
ln2)(
1
)21(Re2
sincos
2
)( iii eeeieC
iG
f ,
де
)th(arctg 0
1 πθµ=γ π . (2.24)
3. Розв’язування інтегрального рівняння
Для знаходження точного розв’язку інтегрального рівняння (2.23) застосуємо ме-
тод Вінера-Гопфа [20]. Для функцій
∫
∞
ξ+ ξξϕ
π
=Φ
0
)(
2
1)( dez iz , ηηϕη−ξξ
π
=Φ ∫∫
∞
∞−
ξ− dkdez iz )()(
2
1)(
0
0
, (3.1)
Андрій Улітко, Володимир Острик
Міжфазна тріщина на межі розділу кругового включення і матриці
144
аналітичних відповідно у верхній ( +> czIm , 0<+c ) і нижній ( −< czIm , 0>−c )
півплощинах комплексної площини, маємо функціональне рівняння
)()()()( zFzzzK =Φ−Φ −+ ( −+ << czc Im ), (3.2)
де
∫
∞
ξ ξξ
π
=
0
)(
2
1)( defzF iz . (3.3)
Факторизуємо коефіцієнт )(zK і праву частину )(zF рівняння (3.2)
)()()( zKzK
z
zK −+= ,
)21()1(
)21()21()(
γ±ΓΓ
θ±ΓθΓ
=±
iziz
iiziizzK
mm
mmm ,
)()()()( zfzfzKzF −+− −= ,
+θ−
+
+θ+π
−=+
222
1)(
iz
N
iz
Nzf ,
( ) α
εθ−αα−πθ
∞
θ−Γ
θ−γ−Γθ−
ε
απγπ′′σ
−= sin8
ln22)(
1 )1(
)1()21(2
sincos
2
ii eei
iieC
G
N . (3.4)
Розв’язок функціонального рівняння (3.2) має вигляд [20]
)(
)()(
zzK
zfz +
+
+ =Φ , )()()( zfzKz −−− =Φ (3.5)
за умови, що 0)0( =+f , тобто
0
21
Re =
θ− i
N . (3.6)
Умову (3.6) з урахуванням виразу для N із (3.4) запишемо у вигляді рівняння
0
)1(
)1()21(argsin8ln2cos =
θ+Γ
θ+γ−Γ
θ+−
α
εθ−α
i
ii , (3.7)
найменший додатний корінь якого визначає кутовий розмір області контакту
θ+Γ
θ+γ−Γ
θ++α−π
θ
−⋅α=ε
)1(
)1()21(arg2
1expsin8
i
ii . (3.8)
Інші додатні корені дають нефізичні розв’язки, для яких протилежні береги трі-
щини поза областю контакту взаємно перекриваються [9]. Від’ємні корені також
приводять до нефізичних розв’язків, коли область контакту займає більше, ніж
половину тріщини ( α>ε ).
За допомогою оберненого перетворення Фур’є з формул (3.1) з урахуван-
ням (3.5) отримуємо розв’язок інтегрального рівняння (2.23)
∫
∞
∞−
λξ−
+
+
λ
λλ
λ
π
=ξϕ de
K
f i
)(
)(
2
1)( . (3.9)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 138-149
145
4. Розподіл напружень
Знайдемо розподіл напружень на межі розділу матриці та включення (r = 1) в ε-околі
вершини тріщини b: в області контакту берегів тріщини ( α<ϑ≤ε−α ) і на продов-
женні тріщини ( ε+α<ϑ≤α ). Обчислюючи інтеграл із (3.9) за теорією лишків і
переходячи від функції )(ξϕ за формулами (2.1), (2.22) до
1
)1(
=
σ
rr , з урахуванням (3.8)
отримаємо вираз для нормальних напружень в області контактного тиску (r = 1,
α<ϑ≤ε−α ) через гіпергеометричну функцію Гауса );;,( 32112 zaaaF [21]
−
ε
ϑ−αγ−θ−θ+
γ−Γ
θ+γ−Γ
⋅πθ
θ+Γ
=σ
=
;;,
)23(
)1(
ch
)1( 2
3
2
1
2
1
121
)1( iiF
i
i
A
rr
( )
ε
ϑ−α
ε
ϑ−αγ+θ−γθ+γ
θ+γ−Γγ+(Γ
π
−
γ+− 21
2
1
12 ;;,
)1()21
iiF
i
, (4.1)
де
ε
απθ+θ′′σ= α−πθ∞
2
sin41 )(2eCA . (4.2)
Із формули (4.1) визначаємо асимптотичну поведінку контактних напружень в
околі вершини тріщини
γ+−
=
ε
ϑ−α
θ+γ−Γθ+Γγ+(Γ
π
−σ
21
1
)1(
)1()1()21
~
ii
A
rr , 0−α→ϑ . (4.3)
У випадку гладкого контакту (γ = 0) гіпергеометричні функції, які входять
у співвідношення (4.1), виражаються через елементарні функції [21], і співвідно-
шення (4.1) набуде вигляду
ε
ϑ−αθ
ϑ−α
ε
πθ
−=σ
=
arccos2sh
1
)1( A
rr ( α<ϑ≤ε−α , 00 =µ ). (4.4)
Виходячи із співвідношень (2.10), (2.8), отримаємо напруження на лінії L′
спряження матриці та включення. В ε-околі вершини b тріщини маємо
[ ]
×−λ
θ−λπ
λΦ
π
µ+πθ=τ+σ ξθ−
∞
∞−
λξ−
+ξ
=ϑ ∫ )21(
011
)1()1(
)(ch
)(
2
)1(2ch)( iii
rrr iAedeeiGi
θ+Γ
θ+γ−Γ
−θ×
)1(
)1(arg2ln2exp
i
ii ,
ε
α−ϑ=ξ−e ( ε+α<ϑ≤α ). (4.5)
Після обчислення інтеграла з (4.5) за теорією лишків, знаходимо
( )
ε
ϑ−αγ−θ−θ+
θ+Γγ−Γ
πθθ+γ−Γ
=σ
=
;;,
)1()23(
ch1(
2
3
2
1
2
1
121
)1( iiF
i
iA
rr ,
Андрій Улітко, Володимир Острик
Міжфазна тріщина на межі розділу кругового включення і матриці
146
×
πγθ+γ−Γθ+Γγ+Γ
πθπ
−σµ=τ
==ϑ cos)1()1()21(
cth
1
)1(
01
)1(
ii
A
rrrr
( ) γ+−
ε
α−ϑ
ε
ϑ−αγ+θ−γθ+γ×
21
2
1
12 ;;, iiF ( ε+α<ϑ≤α ). (4.6)
Нормальні напруження мають скінченне значення при 0+α→ϑ
)1()23(
ch1(
0,1
)1(
θ+Γγ−Γ
πθθ+γ−Γ
=σ
+α=ϑ= i
iA
rr . (4.7)
Дотичні напруження мають степеневу особливість у вершині тріщини
γ+−
=ϑ
ε
α−ϑ
πγθ+γ−Γθ+Γγ+Γ
πθπ
−τ
21
1
)1(
cos)1()1()21(
cth~
ii
A
rr , 0+α→ϑ . (4.8)
На основі асимптотичної поведінки дотичних напружень (4.8) поблизу вершини
тріщини визначаємо коефіцієнт інтенсивності зсувних напружень
( ) =τ
ε
α−ϑ
α
ε
σ
π−=
=ϑ
γ−
+α→ϑ∞ 1
)1(21
0II lim2
rrK
α
α
πγθ+γ−Γθ+Γγ+Γ
πθθ+θ′′π
= α−πθ sin
cos)1()1()21(
cth41 )(
22
e
ii
C . (4.9)
У випадку гладкого контакту із співвідношень (4.6) отримуємо наступний
розподіл напружень на продовженні тріщини
ε
α−ϑθ
α−ϑ
ε
πθ
πθ
=σ
=
arsh2sinch
1
)1( A
rr ,
ε
α−ϑθ
α−ϑ
ε
πθ
πθ
−=τ
=ϑ arsh2cosch
1
)1( A
rr ( ε+α<ϑ≤α , 00 =µ ). (4.10)
Перевіримо виконання умови (1.4) на тангенціальні переміщення в облас-
тях контакту. Із (2.18) отримуємо ( ππθµ=ρ )cth(arctg 0 )
[ ]
( ) ( )
×
θ+Γγ+Γπρπθµ+
θ+γΓγ−ρπεµ
ν−
+
ν−
−=∆ ϑ
)1()23(sinsh1
)()(cos11
2
0
0
2
2
1
1
i
iA
GG
u
( ) γ+
ε
ϑ−α
ε
ϑ−αγ+θ−γθ+γ×
21
2
3
12 ;;, iiF ( α<ϑ≤ε−α ). (4.11)
З огляду на те, що гіпергеометрична функція ( )εϑ−αγ+θ−γθ+γ )(;;, 2
3
12 iiF ,
яка входить до виразу (4.11), при даних значеннях своїх параметрів та аргументу
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 138-149
147
набуває тільки дійсних додатних значень, в усіх точках області контакту біля
вершини тріщини b різниця переміщень ϑ∆u згідно (4.11) завжди від’ємна:
0<∆ ϑu , що підтверджує припущення (1.4) про напрямок відносного перемі-
щення берегів тріщини в областях контакту і вибір знаку при коефіцієнті тертя µ0
у другій граничній умові (1.1).
5. Результати обчислень
Числові значення кутового розміру області контакту ε і коефіцієнта інтенсивнос-
ті напружень IIK , які обчислені за формулами (3.8) і (4.9) для різних відношень
модулів зсуву 21 GG і кутів піврозхилу тріщини α та 3,021 =ν=ν , подано у
табл. 1, 2. Верхні значення відповідають гладкому контакту (µ0 = 0), нижні —
фрикційному контакту (µ0 = 0,5) берегів тріщини. Припущення, що α<<ε , зроб-
лене при виведенні інтегрального рівняння, підтверджується табличними даними
величини ε, яка істотно залежить як від кутового розміру тріщини, так і від від-
ношення модулів зсуву включення та матриці. Із зростанням відношення модулів
зсуву 21 GG матеріалів включення та матриці розмір області контакту ε і коефі-
цієнт інтенсивності напружень IIK збільшуються. Разом з тим коефіцієнт IIK
зменшується зі збільшенням кутового розміру тріщини 2α. Врахування сил тертя
в областях контактного тиску берегів тріщини дає поправку до значення коефі-
цієнта інтенсивності зсувних напружень до 7%, якщо коефіцієнт тертя µ0 = 0,5.
Таблиця 1. Значення ε (ν1 = ν2 = 0,3, µ0 = 0 та 0,5)
α
G1/G2
1° 30° 60° 90° 120° 150°
1,5 1,05⋅10−39
1,06⋅10−39
3,26⋅10−32
3,31⋅10−32
9,91⋅10−26
1,01⋅10−25
2,01⋅10−19
2,04⋅10−19
3,05⋅10−13
3,10⋅10−13
3,09⋅10−7
3,14⋅10−7
4 9,34⋅10−15
9,77⋅10−15
2,64⋅10−11
2,76⋅10−11
5,29⋅10−9
5,53⋅10−9
7,06⋅10−7
7,39⋅10−7
7,07⋅10−5
7,40⋅10−5
4,72⋅10−3
4,94⋅10−3
∞ 1,08⋅10−9
1,17⋅10−9
4,64⋅10−7
5,01⋅10−7
1,32⋅10−5
1,42⋅10−5
2,50⋅10−4
2,70⋅10−4
3,56⋅10−3
3,84⋅10−3
3,37⋅10−2
3,64⋅10−2
Таблиця 2. Значення KII (ν1 = ν2 = 0,3, µ0 = 0 та 0,5)
α
G1/G2
1° 30° 60° 90° 120° 150°
1,5 1,905
1,930
1,815
1,839
1,604
1,625
1,321
1,338
1,003
1,016
0,652
0,661
4 2,194
2,282
2,066
2,149
1,825
1,898
1,511
1,571
1,151
1,197
0,746
0,776
∞ 2,520
2,694
2,349
2,511
2,082
2,225
1,739
1,859
1,335
1,427
0,864
0,923
Андрій Улітко, Володимир Острик
Міжфазна тріщина на межі розділу кругового включення і матриці
148
Висновки. Таким чином, розмір областей контакту берегів міжфазної тріщини
на межі розділу кругового включення та матриці, як і у випадку тріщини на межі
розділу двох різнорідних півплощин, в умовах усестороннього розтягу на декіль-
ка порядків менший від розміру самої тріщини. З огляду на надзвичайно малий
розмір областей контактного тиску, врахування контакту берегів міжфазної трі-
щини не впливає поза малими околами вершин тріщини на напружено-дефор-
мований стан пружної матриці з включенням. Проте введення областей контакту,
по-перше, усуває фізичну суперечливість розв’язку щодо перекриття берегів трі-
щини і, по-друге, дає можливість коректно визначити коефіцієнт інтенсивності
зсувних напружень.
Література
[1] Williams M. L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular
corners of plates in extension // Trans. ASME. J. Appl. Mech. — 1952. — Vol. 19, № 4. —
P. 526-535.
[2] Дундурс Я., Комниноу М. Обзор и перспективы исследования межфазной трещины //
Разрушение композит. материалов. — Рига, 1979. — С. 78-87.
[3] Симонов И. В. Межфазная трещина в однородном поле напряжений // Механика
композит. материалов. — 1985. — № 6. — С. 969-976.
[4] Gautesen A. K., Dundurs J. The interface crack under a combined loading // Trans. ASME.
J. Appl. Mech. — 1988. — Vol. 55. — P. 580-586.
[5] Loboda V. V. The quasi-invariant in the theory of interface crack // Eng. Fract. Mech. —
1993. — Vol. 44. — P. 573-580.
[6] Herrmann K. P., Loboda V. V. On interface crack models with contact zones situated in
an anisotropic bimaterial // Arch. Appl. Mech. — 1999. — Vol. 69. — P. 311-335.
[7] Herrmann K. P., Loboda V. V. Fracture-mechanical assessment of electrically permeable
interface cracks in piezoelectric bimaterials by consideration of various contact zone mo-
dels // Arch. Appl. Mech. — 2000. — Vol. 70. — P. 127-143.
[8] Харун І. В., Лобода В. В. Міжфазні тріщини з зонами контакту в полі зосереджених
сил і моментів // Мат. методи та фіз.-мех. поля. — 2002. — Т. 45, № 2. — С. 103-113.
[9] Улитко А. Ф. Полубесконечный разрез вдоль границы жестко соединенных полу-
плоскостей из различных материалов // Соврем. проблемы механики сплошной
среды. — Ростов-на-Дону, 1995. — С. 185-193.
[10] Острик В. І., Улітко А. Ф. Тріщина на межі розділу півплощин з різних матеріалів //
Мат. методи та фіз.-мех. поля. — 2000. — Т. 43, № 2. — С. 119-126.
[11] Острик В. І., Улітко А. Ф. Контактна задача для міжфазної напівнескінченної трі-
щини // Мат. методи та фіз.-мех. поля. — 2001. — Т. 44, № 3. — С. 88-95.
[12] Улітко А. Ф., Острик В. І. Міжфазна тріщина за умови фрикційного контакту бе-
регів // Вісник Київ. ун-ту. Сер.: Фіз.-мат. науки. — 2002. — Вип. 2. — С. 133-141.
[13] Острик В. І. Контакт з тертям берегів міжфазної тріщини за розтягу та зсуву //
Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2003. — Т. 39, № 2. — С. 58-65.
[14] Martin-Moran C. J., Barber J. R., Comninou M. The penny-shaped interface crack with
heat flow. Part 1: Perfect contact // J. of Applied Mechanics. — 1983. — Vol. 50, № 1. —
P. 29-36.
[15] Barber J. R., Comninou M. The penny-shaped interface crack with heat flow. Part 2:
Imperfect contact // J. of Applied Mechanics. — 1983. — Vol. 50, № 4a. — P. 770-776.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 138-149
149
[16] Острик В. І., Улітко А. Ф. Осесиметрична контактна задача для міжфазної тріщи-
ни // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2004. — Т. 40, № 1. — С. 21-26.
[17] Острик В. І., Улітко А. Ф. Кругова міжфазна тріщина за умови фрикційного кон-
такту поверхонь // Мат. методи та фіз.-мех. поля. — 2004. — Т. 47, № 1. — С. 84-94.
[18] Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругос-
ти. — М.: Наука, 1966. — 707 с.
[19] Черепанов Г. П. О напряженном состоянии в неоднородной пластинке с разрезами //
Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. — 1962. — № 1.
[20] Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962. — 280 с.
[21] Справочник по специальным функціям; под ред. Абрамовича М. и Стиган И. —
М.: Наука, 1979. — 832 с.
Межфазная трещина на границе раздела
кругового включения и матрицы
Андрей Улитко, Владимир Острик
Рассмотрено напряженное состояние жестко соединенных между собой упругих матри-
цы и кругового включения из разных материалов, на границе раздела которых находится
трещина. Учтен контакт берегов трещины вблизи ее вершин и силы трения в области
контакта. С использованием метода Винера-Хопфа решение интегрального уравнения за-
дачи получено в замкнутой форме. Найдены в явном виде длина области контакта берегов
трещины, распределение напряжений в области контакта и на границе раздела матрицы и
включения вне трещины.
An Interphase Crack on Circular Inclusion and Matrix Interface
Andriy Ulitko, Volodimir Ostrik
The tension state of rigidly connected elastic matrix and circular inclusion from different mate-
rials with the crack on their interface is studied. The contact of shore of the crack close to its
vertices is taken into account. Friction forces are taken into account in the contact zone. Using
Wiener-Hopf method the solving of the integral equation of the problem is received in the closed
form. The size of the contact domain of the shores of the crack, the distribution of tensions in the
contact domain and on their interface of matrix and inclusion out of the crack are found in the
closed form.
Отримано 22.12.05
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-20975 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-1545 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T14:23:08Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Улітко, А. Острик, В. 2011-06-13T18:49:57Z 2011-06-13T18:49:57Z 2006 Міжфазна тріщина на межі розділу кругового включення і матриці / А. Улітко, В. Острик // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 138-149. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20975 539.3 Розглянуто напружений стан жорстко з’єднаних між собою пружних матриці і кругового включення з різних матеріалів, на межі розділу яких є тріщина. Враховано контакт берегів тріщини поблизу її вершин і сили тертя в області контакту. Із застосуванням методу Вінера-Гопфа розв’язок інтегрального рівняння задачі отримано в замкненій формі. Знайдено в явному вигляді довжину області контакту берегів тріщини, розподіл напружень в області контакту та на межі розділу матриці та включення поза тріщиною. The tension state of rigidly connected elastic matrix and circular inclusion from different materials with the crack on their interface is studied. The contact of shore of the crack close to its vertices is taken into account. Friction forces are taken into account in the contact zone. Using Wiener-Hopf method the solving of the integral equation of the problem is received in the closed form. The size of the contact domain of the shores of the crack, the distribution of tensions in the contact domain and on their interface of matrix and inclusion out of the crack are found in the closed form. Рассмотрено напряженное состояние жестко соединенных между собой упругих матрицы и кругового включения из разных материалов, на границе раздела которых находится трещина. Учтен контакт берегов трещины вблизи ее вершин и силы трения в области контакта. С использованием метода Винера-Хопфа решение интегрального уравнения задачи получено в замкнутой форме. Найдены в явном виде длина области контакта берегов трещины, распределение напряжений в области контакта и на границе раздела матрицы и включения вне трещины. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Міжфазна тріщина на межі розділу кругового включення і матриці An Interphase Crack on Circular Inclusion and Matrix Interface Межфазная трещина на границе раздела кругового включения и матрицы Article published earlier |
| spellingShingle | Міжфазна тріщина на межі розділу кругового включення і матриці Улітко, А. Острик, В. |
| title | Міжфазна тріщина на межі розділу кругового включення і матриці |
| title_alt | An Interphase Crack on Circular Inclusion and Matrix Interface Межфазная трещина на границе раздела кругового включения и матрицы |
| title_full | Міжфазна тріщина на межі розділу кругового включення і матриці |
| title_fullStr | Міжфазна тріщина на межі розділу кругового включення і матриці |
| title_full_unstemmed | Міжфазна тріщина на межі розділу кругового включення і матриці |
| title_short | Міжфазна тріщина на межі розділу кругового включення і матриці |
| title_sort | міжфазна тріщина на межі розділу кругового включення і матриці |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20975 |
| work_keys_str_mv | AT ulítkoa mížfaznatríŝinanamežírozdílukrugovogovklûčennâímatricí AT ostrikv mížfaznatríŝinanamežírozdílukrugovogovklûčennâímatricí AT ulítkoa aninterphasecrackoncircularinclusionandmatrixinterface AT ostrikv aninterphasecrackoncircularinclusionandmatrixinterface AT ulítkoa mežfaznaâtreŝinanagranicerazdelakrugovogovklûčeniâimatricy AT ostrikv mežfaznaâtreŝinanagranicerazdelakrugovogovklûčeniâimatricy |