Усталені коливання трансверсально-ізотропного шару з масивним тілом
Розглядається задача про усталені коливання трансверсально-ізотропного шару, що взаємодіє за умов ідеального контакту з масивним тілом. Методом функції Гріна в поєднанні з методом Фур’є (розвиненням в подвійні тригонометричні ряди за координатами у серединній площині шару) задача зведена до системи...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Datum: | 2006 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20976 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Усталені коливання трансверсально-ізотропного шару з масивним тілом / М. Сухорольський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 167-176. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860194828630884352 |
|---|---|
| author | Сухорольський, М. |
| author_facet | Сухорольський, М. |
| citation_txt | Усталені коливання трансверсально-ізотропного шару з масивним тілом / М. Сухорольський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 167-176. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| description | Розглядається задача про усталені коливання трансверсально-ізотропного шару, що взаємодіє за умов ідеального контакту з масивним тілом. Методом функції Гріна в поєднанні з методом Фур’є (розвиненням в подвійні тригонометричні ряди за координатами у серединній площині шару) задача зведена до системи трьох інтегральних рівнянь відносно контактних напружень. Сингулярні розв’язки відповідної крайової задачі зображено у вигляді границь слабко збіжних послідовностей узагальнених часткових сум рядів (підсумовуваних узагальненими методами). Побудова числового розв’язку відповідної системи інтегральних рівнянь ґрунтується на ідеї методу колокацій і апроксимації функцій послідовностями узагальнених часткових сум рядів.
The problem of stable oscillations of the transversal-isotropic layer interacting with the massive solid under conditions of their ideal contact is considered. The problem is reduced to the system of three integral equations relative to the contact stresses by the method of Green’s function as well as that of Fourier (by developing into double series by coordinates in the middle plane of the layer). Singular solutions of the corresponding boundary problem are presented in the form of boundaries of the weakly converging sequences of generalized partial sums of series (summarized by generalized methods). Constructing of the numerical solution of the corresponding system of integral equations is based on the idea of the method of collocations and approximation of the function by sequences of generalized partial sums of series.
Рассматривается задача об установившихся колебаниях трансверсально-изотропного шара, взаимодействующего при условии идеального контакта с массивным телом. Методом функции Грина в сочетании с методом Фурье (разложением в двойные тригонометрические ряды) задача сведена к системе трех интегральных уравнений относительно контактных напряжений. Сингулярные решения соответствующей краевой задачи представлено в виде пределов слабо сходящихся последовательностей обобщенных частичных сумм рядов (суммируемых обобщенными методами). Построение численного решения соответствующей системы интегральных уравнений основывается на идее метода коллокаций и аппроксимации функций последовательностями обобщенных частичных сумм рядов.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:08:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
Усталені коливання трансверсально-ізотропного
шару з масивним тілом
Михайло Сухорольський
Д. ф.-м. н., доцент, Національний університет «Львівська політехніка», вул. С. Бандери, 12, Львів, 79013,
e-mail: sukhorolsky@lviv.net
Розглядається задача про усталені коливання трансверсально-ізотропного шару, що взаємодіє за умов
ідеального контакту з масивним тілом. Методом функції Гріна в поєднанні з методом Фур’є (роз-
виненням в подвійні тригонометричні ряди за координатами у серединній площині шару) задача зве-
дена до системи трьох інтегральних рівнянь відносно контактних напружень. Сингулярні розв’язки
відповідної крайової задачі зображено у вигляді границь слабко збіжних послідовностей узагальнених
часткових сум рядів (підсумовуваних узагальненими методами). Побудова числового розв’язку відпо-
відної системи інтегральних рівнянь ґрунтується на ідеї методу колокацій і апроксимації функцій
послідовностями узагальнених часткових сум рядів .
Ключові слова: коливання шару, динамічні контактні задачі, послідовніс-
ний підхід до побудови розв’язків крайових задач.
Вступ. Аналітичні та числові розв’язки стаціонарних та нестаціонарних задач
про взаємодію пружних тіл з гладкими тілами та тілами, що мають в області
контакту кутові точки чи ребра, побудовані [1-3, 5] за наявності сингулярних
розв’язків в явному вигляді відповідних рівнянь теорії пружності. У роботі [6]
розглядаються задачі про усталені коливання ізотропного шару, що взаємодіє за
умов ідеального контакту з жорсткою основою по одній лицевій поверхні і ма-
сивним абсолютно жорстким тілом в довільній області другої лицевої поверхні.
Побудова числового розв’язку задачі ґрунтується на послідовнісному зображенні
узагальнених функцій, зведенні до інтегральних рівнянь та розв’язуванні їх ме-
тодом колокацій.
У даній роботі розглядається задача про усталені коливання трансверсаль-
но-ізотропного шару, що лежить на пружній основі Вінклера і взаємодіє за умов
ідеального контакту в довільній області іншої лицевої поверхні з масивним ті-
лом. Сингулярний розв’язок відповідної задачі теорії пружності зображено у виг-
ляді границь послідовностей узагальнених часткових сум подвійних рядів Фур’є
за тригонометричними системами функцій [4]. Задачу зведено до системи інтег-
ральних рівнянь відносно контактних напружень, що виникають в області взає-
модії масивного тіла і шару. Побудова числових розв’язків інтегральних рівнянь
ґрунтується на поєднанні методу колокацій і методу апроксимації функцій послі-
довностями узагальнених часткових сум рядів.
УДК 539.3
167
Михайло Сухорольський
Усталені коливання трансверсально-ізотропного шару з масивним тілом
168
1. Постановка задачі
Розглянемо задачу про взаємодію за умов ідеального контакту пружного транс-
версально-ізотропного шару (товщини 2h) з основою Вінклера по лицевій
поверхні −S і циліндричним абсолютно твердим тілом в області D (основою ци-
ліндра) на лицевій поверхні +S , +⊂ SD . Приймаємо також, що область D симет-
рична відносно двох взаємно перпендикулярних осей 1α′′O і 2α′′O , а зовнішні сили,
що діють на циліндр, приведені до точки O′ і задаються у вигляді
,,, 3032021101
tititi ePPeMMeMM θθθ ===
де M10 і M20 — амплітуди моментів відносно осей 1α′′O і 2α′′O ; P30 — амплітуда
рівнодійної сили, що напрямлена за віссю 3α′′O , перпендикулярно до площини
21 α′′α′O ; θ — частота вимушених коливань; t — часова координата.
Задача полягає у відшуканні амплітуд напружень −−− σσσ 333231 ,, (за напрям-
ками осей 1α′′O , 2α′′O , 3α′′O ) на поверхні −S і амплітуд напружень +++ σσσ 333231 ,,
в області +⊂ SD .
Усталені коливання шару описуються рівняннями
0
2
3
3
1
1
1
1 =ρθ+
α∂
σ∂
+
α∂
σ∂
+
α∂
σ∂
i
iii u ,
330
σλ′+
α∂
∂
ν+
α∂
∂
=σ
i
i
i
i
ii
uuE ,
α∂
∂
+
α∂
∂
+
α∂
∂
λ′′=σ
3
3
2
2
1
1
033
uuuE ,
α∂
∂
+
α∂
∂
=σ=σ
j
i
i
j
jiij
uu
G
( )jiji ≠= ,3,1, , (1)
де
)1( 20 ν−
=
EE ;
EE
EE
′ν′−ν−
ν−′
=′ 20 )(21
)1( ;
E
E
′ν−
ν′
=λ′
)1(
;
)1(2 ν−
=
EG ;
321 ,, ααα — прямокутні координати з початком у серединній площині шару;
0
111 α−α=α′ , 0
222 α−α=α′ , h−α=α′ 33 — формули переходу від системи коор-
динат 321 ,, ααα до системи координат 321 ,, α′α′α′ у точці ( )hO ,, 0
2
0
1 αα′ ; ijσ — амп-
літуди компонент тензора напружень; ui — амплітуди компонент вектора перемі-
щень; GEE ′ν′ν′ ,,,, — пружні сталі; ρ — густина матеріалу.
ISSN 1545-4567 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 167-176
169
Систему рівнянь (1) можна звести до двох ключових рівнянь відносно амп-
літуди переміщення u3 і функції
1
2
2
1
α∂
∂
−
α∂
∂
=ω
uu (амплітуди подвійного жорсткого
повороту)
( ) 03
4
3
2
5323
2
4314
3
2
4
3
3
4
3 =θ+∆θ+∆∆+θ+∆
α∂
∂
+
α∂
∂ uuAuAuAuAuA ,
02
2
3
2
=ωθ+ω∆+
α∂
ω∂′ GG , (2)
де
2
2
2
2
1
2
α∂
∂
+
α∂
∂
=∆ ; ( )GEEA ′λ′−′= 2001 ; ( )[ ]0
2
02 EEGA ′λ′+′= ; 03 EGA ′′= ;
04 EGA ′+′= ; ( ) GEEA ′+′λ′+= 0
2
05 .
Іншу комбінацію амплітуд компонент вектора переміщень
2
2
1
1
α∂
∂
+
α∂
∂
=
uue
знаходимо з такого рівняння
( ) 2
32
3
3
2
0
3
0 θ−∆′−
α∂
∂′−=
α∂
∂′λ′+′ uGuEeEG . (3)
Граничні умови взаємодії шару з основою Вінклера задаємо у вигляді
( ) ( )2,10,, 21 ==−αα ihui , ( ) ( )hhu −αασκ=−αα ,,,, 213213 , (4)
тут 3κ — коефіцієнт, що характеризує жорсткість основи.
На поверхні +S задаємо змішані граничні умови
( ) ( )2,10,, 21 ==αα ihui ,
( ) 22110213 ,, αψ+αψ+=αα uhu , ( ) D∈ααα 21, ; (5)
( ) ( )2,10,, 213 ==αασ ihi , ( ) D∈ααα 21, , (6)
де 21,ψψ — амплітуди кутів повороту відносно осей 1α′′O , 2α′′O ; u0 — ампулітуда
переміщення у напрямі осі 3α′′O основи масивного тіла.
Рівняння руху шару доповнюємо рівняннями руху тіла
300
2
33 Pumds
D
=θ−σ∫∫ + ,
101
2
1233 Mids
D
=ψθ−ασ∫∫ + , 202
2
2133 Mids
D
=ψθ−ασ∫∫ + , (7)
Михайло Сухорольський
Усталені коливання трансверсально-ізотропного шару з масивним тілом
170
де i1, i2 — моменти інерції відносно осей 1α′′O , 2α′′O ; m — маса абсолютно твер-
дого тіла.
Розв’язок задачі шукаємо у паралелепіпеді ( ){ ;0:,, 321 ii l<α<ααα=Π
}h<α3 (i = 1, 2) зі сторонами основи l1, l2 і висотою 2h, продовживши шукані
функції за межі бокових граней паралелепіпеда як періодичні функції. При цьому
приймаємо, що центр області D співпадає з центром нижньої основи паралелепі-
педа, 2,2 2
0
21
0
1 ll =α=α , і довжини сторін основи паралелепіпеда значно біль-
ші, ніж товщина шару та діаметр області D.
2. Побудова сингулярного розв’язку
Насамперед шукаємо систему регулярних розв’язків трьох задач про дію поверх-
невого ( )h=α3 навантаження на шар, що взаємодіє з основою Вінклера. Прийма-
ємо, що навантаження локалізовано у квадраті ( ){ }ε<α−ααα=Π 0
210 :, ii (i = 1, 2)
зі сторонами довжини 2ε, +⊂Π S . Амплітуди поверхневих навантажень задаємо
у формі
( ) i
jj h 3213 ,, σ=αασ , ( )3,1, =ji , (8)
де
( ) ( )εααδεααδδ=σ ,,,, 0
22
0
113 ij
ii
j P ( )3,1, =ji ; (9)
( )
ε>α−α
ε≤α−α
ε
α−α
ε=εααδ
0
0
0
0
,0
,,
2
1
,,
ii
ii
ii
ii
g
— (10)
дельтоподібна функція (з граничною δ-функцією); ( ) ( )10)cos(1 ≤≤π+= tttg ; Pi
— рівнодійні навантаження за координатними напрямами; 1=δij , якщо i = j,
0=δij , якщо ji ≠ .
Для періодичної дельтоподібної функції (10), продовженої на інтервал
( )0,il− як парної або непарної функції, маємо відповідно ряди [4], які рівномірно
збігаються при 0≠ε
( ) ( ) ( ) ( )
αλαλελϕ+=εααδ ∑
∞
=1
00 coscos
2
12,,
k
ikiikiki
i
ii l
,
( ) ( ) ( ) ( )iki
k
ikiki
i
ii l
αλαλελϕ=εααδ ∑
∞
=
sinsin2,,
1
00 ,
ISSN 1545-4567 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 167-176
171
де
( ) ( ) ( )dtttg kiki ελ=ελϕ ∫ cos
1
0
( )
( )21
1sin
πελ−ελ
ελ
=
kiki
ki ;
i
ki l
kπ
=λ .
Врахувавши ці подання у формулах (9), для амплітуд компонент локального
поверхневого навантаження одержимо такі розвинення у тригонометричні ряди
( ) ( ) ( )αΦαΦεδ=σ ∑
∞
=
j
km
i
km
mk
kmij
ii
j cP 0
0,
3 ( )3,1, =ji . (11)
Тут
( ) ( ) ( )2211
1 sincos αλαλ=αΦ mkkm ; ( ) ( ) ( )2211
2 cossin αλαλ=αΦ mkkm ;
( ) ( ) ( )2211
3 sinsin αλαλ=αΦ mkkm ; ( ) ( ) ( )2211
4 coscos αλαλ=αΦ mkkm ;
1
1 l
k
k
π
=λ ;
2
2 l
m
m
π
=λ ; ( ) ( )ελϕ=ε 1
21
2
kkm ll
c , якщо ∞== ,1,0 km ,
( ) ( )ελϕ=ε 2
21
2
mkm ll
c , якщо ∞== ,1,0 mk ,
( ) ( ) ( )ελϕελϕ=ε 21
21
4
mkkm ll
c , якщо ∞=∞= ,1,,1 km .
Невідомі функції системи рівнянь (1) і, відповідно, рівнянь (2) для кожної з
трьох задач шукаємо у вигляді
( ) ( ) ( )αΦαΦ
ασ
α
ε=
σ
∑
∞
==
1
1,0
0
3
3
31
1
)(
)(
31
1
km
mk
i
kmi
i
km
i
i
i
km
km
u
cP
u
,
( ) ( ) ( )αΦαΦ
ασ
α
ε=
σ
∑
∞
==
2
1,0
0
3
3
32
2
)(
)(
32
2
km
mk
i
kmi
i
km
i
i
i
km
km
u
cP
u
,
( ) ( ) ( )αΦαΦ
α
ασ
ασ
ασ
α
ε=
σ
σ
σ
∑
∞
==
3
1,1
0
3
333
322
311
33
33
22
11
3
)(
)(
)(
)(
)(
km
mk
i
km
i
km
i
km
i
km
i
km
i
km
km
i
i
i
i
i
i
e
u
cP
e
u
,
( ) ( )
( )
( ) ( )αΦαΦ
αω
ασ
ε=
ω
σ ∑
∞
==
40
3
312
0,0
12
km
i
kmi
km
i
km
mk
km
i
i
i
cP . (12)
Михайло Сухорольський
Усталені коливання трансверсально-ізотропного шару з масивним тілом
172
Підставивши відповідні ряди (12) у рівняння (2), прийдемо до звичайних
диференціальних рівнянь відносно коефіцієнтів цих рядів
03
3
422
5
4
2
2
3
3
2
3
2
4
2
1
4
3
3
4
=
θ+λθ−λ
+
α
θ−λ
−
α
i
km
kmkm
i
kmkm
i
km u
A
AA
d
ud
A
AA
d
ud
,
0
22
2
3
2
=ω
′
θ−∆
−
α
ω i
km
km
i
km
G
G
d
d ,
звідки знайдемо
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3433323133 shchshch α+α+α+α=α km
i
kmkm
i
kmkm
i
kmkm
i
km
i
km bcbcacacu ,
( ) ( ) ( )32313 shch α+α=αω km
i
kmkm
i
km
i
km cdcd . (13)
Тут
( )km
km
km K
A
AA
a +
θ−∆
= 1
2 3
2
4
2
12 ; ( )km
km
km K
A
AA
b −
θ−∆
= 1
2 3
2
4
2
12 ;
G
G
c km
km ′
θ−∆
=
22
2 ;
( )
( )2
4
2
1
422
5
4
24
1
θ−∆
θ+∆θ−∆
−=
AA
AA
K
km
kmkm
km ; 2
2
2
1
2
mkkm λ+λ=∆ ;
i
jkm
i
jkm dc , — сталі інтегрування.
З рівняння (3), з урахуванням подання (13), для визначення коефіцієнтів
рядів функцій ei одержимо такий вираз
( ) ( )( )+α+α= 32311 chsh km
i
kmkm
i
kmkm
i
km acacAe
( ) ( )( )34331 chsh α+α+ km
i
kmkm
i
kmkm bcbcB , (14)
де
( )0
22
0
2
1 EGa
aEG
A
km
kmkm
km ′λ′+′
θ−′−∆′
= , ( )0
22
0
2
1 EGb
bEG
B
km
kmkm
km ′λ′+′
θ−′−∆′
= .
Враховуючи співвідношення (12), з системи рівнянь (1) для коефіцієнтів
рядів функцій u1, u2 та амплітуд напружень одержуємо
i
km
km
ki
km
km
mi
km eu 2
2
2
2
1 ∆
λ
−ω
∆
λ
= , i
km
km
mi
km
km
ki
km eu 2
2
2
1
2 ∆
λ
−ω
∆
λ
−= ,
( ) ( ) i
km
km
mki
km
km
mk
i
km
i
km e
E
E
d
du
E
E
E
ω
∆
λλν−
−
′λ′
+
∆
νλ+λ
+
α
′λ′
=
σ
2
21
0
0
2
2
2
2
2
1
3
3
0
0
0
11 1 ,
( ) ( ) i
km
km
mki
km
km
km
i
km
i
km e
E
E
d
du
E
E
E
ω
∆
λλν−
+
′λ′
+
∆
νλ+λ
+
α
′λ′
=
σ
2
21
0
0
2
2
2
1
2
2
3
3
0
0
0
22 1 ,
ISSN 1545-4567 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 167-176
173
i
km
km
kmi
km
km
mk
i
km e
G
ω
∆
λ−λ
+
∆
λλ
−=
σ
2
2
1
2
2
2
2112 2 ,
3
2
2
3
2
1
31
13
α
ω
∆
λ
+
α∆
λ
−λ=
′
σ
d
d
d
deu
G
i
km
km
m
i
km
km
ki
kmk
i
km ,
3
2
1
3
2
2
32
23
α
ω
∆
λ
−
α∆
λ
−λ=
′
σ
d
d
d
deu
G
i
km
km
k
i
km
km
mi
kmm
i
km , i
km
i
km
i
km e
d
du
E
λ′+
α
=
′
σ
3
3
0
33 . (15)
Підстановкою відповідних формул (12) в умови (4) і (8) із врахуванням
формул (9), (13) і (15) прийдемо до таких послідовностей систем шести лінійних
алгебраїчних рівнянь щодо коефіцієнтів )4,1;3,1( == jici
jkm , )2,1;3,1( == jid i
jkm
( ) ( )[ ] ( )[ −λ+−λ hbcBhachacA km
i
kmkmkkm
i
kmkm
i
kmkmk shchsh 3112111
( )] ( ) ( ) 0shchch 22124 =λ−λ+− hcdhcdhbc km
i
kmmkm
i
kmmkm
i
km ,
( ) ( )[ ] ( )[ −λ+−λ hbcBhachacA km
i
kmkmmkm
i
kmkm
i
kmkmm shchsh 3122112
( )] ( ) ( ) 0shchch 221114 =λ+λ+− hbddhcdhbc km
i
km
i
kmkkm
i
kmkkm
i
km ,
( ) ( )[ ] ( )[ +−′κ+ haachaAEhaac kmkm
i
kmkmkmkmkm
i
km shshch 23031
( )] ( ) ( )[ ] −′κ++′κ+ hbBEhbbchaAE kmkmkmkm
i
kmkmkm shchch 3033303
( ) ( )[ ] 0chsh 034 =′κ+− hbBEhbbc kmkmkmkm
i
km ,
( ) ( )[ ] ( )[ +
∆
λ
++
∆
λ hbcBhachacA
km
i
km
km
kmk
km
i
kmkm
i
km
km
kmk chshch 32
21
212
21
( )] ( ) ( )[ ] ikm
i
kmkm
i
km
km
kmm
km
i
km G
hbdhcdchbc 1212
2
4
1chshsh δ
′
=+
∆
λ
++ ,
( ) ( )[ ] ++
∆
λ hachacA
km
i
kmkm
i
km
km
kmm shch 212
22 ( )[ +
∆
λ hbcB
km
i
km
km
kmm ch32
22
( )] ( ) ( )[ ] ikm
i
kmkm
i
km
km
kmk
km
i
km G
hbdhcdchbc 2212
1
4
1chshsh δ
′
=+
∆
λ
−+ ,
( ) ( )[ ]++ hachacaA km
i
kmkm
i
kmkmkm chsh 213
( ) ( )[ ] ikm
i
kmkm
i
kmkmkm E
hbchbcbB 3
0
433
1chsh δ
′
=++ , (16)
де kmkmkmkm aAA 1
2
2 +∆= ; kmkmkmkm bBB 1
2
2 +∆= ; kmkm AA 13 1 λ′+= ; kmkm BB 13 1 λ′+= .
Розв’язки систем рівнянь (16) існують у разі відмінності від нуля визнач-
ників системи. З умови рівності нулю визначників цієї системи одержуємо рів-
няння для визначення власних частот коливань шару.
Михайло Сухорольський
Усталені коливання трансверсально-ізотропного шару з масивним тілом
174
Підставивши числові значення сталих інтегрування у формули (13) та (12),
одержимо відповідні розв’язки задачі. Ряди (12) при 0≠ε рівномірно збігаються
внаслідок порядку росту гіперболічних функцій і рівномірної збіжності рядів (11).
Границя при 0→ε сум рядів (12) називається узагальненим (в розумінні
слабкої збіжності [4]) розв’язком задачі про навантаження шару зусиллями,
зосередженими у точці ( )h,, 0
2
0
1 αα . Для амплітуд переміщень маємо подання
( ) ( ) ( )αΦαΦαε= ∑
∞
=→ε
j
km
mk
i
km
i
km
ii
j jkm
ucPU
0,
0
30
)(lim ( )3,1, =ji ,
які ще можна записати у вигляді границь послідовностей узагальнених часткових
сум рядів
( ) ( ) ( )αΦαΦαε= ∑
=∞→
j
km
n
mk
i
km
i
jkmkmn
ii
j ucPU
0,
0
3 )(lim ( )3,1, =ji , (17)
де ( ) 10,, 00 <γ<=εε=ε=ε γ constnn .
Зазначимо, що послідовності (17) збігаються рівномірно в будь-якій облас-
ті, що лежить у паралелепіпеді Π і не містить точки ( )h,, 0
2
0
1 αα .
3. Побудова розв’язку задачі
Сформулюємо в інтегральній формі задачу про взаємодію шару і абсолютно твер-
дого тіла. Використавши подання (17), запишемо амплітуди переміщень точок
шару, навантаженого контактними напруженнями ( )ασ+
i3 ( ,3,1=i ( ))21,αα=α
( ) ( ) ( ) ( )00
3
3
1
3
0
3 ,,, αασααα=αα +
=
∫∫∑ dsUu i
D i
i
jj ( )3,1=j . (18)
Тут
( ) ( ) ( ) ( )αΦαΦαε=ααα ∑
=∞→
j
km
n
mk
i
km
i
jkmkmn
i
j ucU
0,
0
33
0 )(lim,, .
Підставивши вирази (18) в умови контакту (5), одержимо систему трьох
інтегральних рівнянь
( ) ( ) ( ) 22110
00
3
3
1
0
3 ,, αψ+αψ+=αασαα +
=
∫∫∑ udshU i
D i
i ,
( ) ( ) ( ) 0,, 00
3
3
1
0 =αασαα +
=
∫∫∑ dshU i
D i
i
j , ( ) D∈αα=α 21, , ( )2,1=j . (19)
Приєднуємо до цих рівнянь ще три інтегральні співвідношення (7), що містять
невідомі контактні напруження ( )0
3 ασ+
i і параметри 021 ,, uψψ .
Значення контактних напружень на лицевій поверхні −S шукаємо за відпо-
відними формулами (12) при h−=α3 .
ISSN 1545-4567 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 167-176
175
Числовий розв’язок системи рівнянь (7), (19) шукаємо методом колокацій
[4]. Область D наближуємо системою квадратів ( ){ }sD r
ii
r <α−ααα= :, 21
( )Nr ,1= , на кожному з яких constr
ii =σ=σ+
33 , а також справджуємо рівняння
(7), (18) у контрольних точках ( )qqq
21 ,αα=α ( )Nq ,1= , які збігаються з центра-
ми квадратів qD . Після дискретизації рівнянь і обчислення відповідних
інтегралів прийдемо до такої системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно
33 +N невідомих ( ),3,13 =σ ir
i 021 ,, uψψ
( ) 0,,4 22110
3
1 1
33
2 =ψα−ψα−−σαα∑∑
= =
qq
i
N
r
r
i
rqi uhUs ,
( ) 0,, 3
3
1 1
=σαα∑∑
= =
r
i
i
N
r
rqi
j hU , ( )Nqj ,1;2,1 == ,
300
2
1
33
24 Pums
N
r
r =ω−σ∑
=
, 101
2
12
1
33
24 Mis r
N
r
r =ψω−ασ∑
=
,
202
2
21
1
33
24 Mis r
N
r
r =ψω−ασ∑
=
, (20)
де
( ) ( ) ( ) ( ) ( )qj
km
n
mk
ri
km
i
jkmkmkmn
rqi
j huscchU αΦαΦε=αα ∑
=∞→ 0,
0 )(lim,, ;
( ) ( ) ( )
s
s
s
s
sc
m
m
k
k
km
2
2
1
10 sinsin
λ
λ
λ
λ
= .
Розв’язок системи рівнянь (20) існує, якщо визначник системи не дорівнює
нулеві. З рівності нулю визначника цієї системи (при змінній частоті вимушених
коливань) одержуємо рівняння для визначення власних частот коливань шару з
масивним тілом.
4. Числова реалізація та висновки
Для обчислення коефіцієнтів системи (20) використовуємо часткові суми рядів (20).
При цьому довжини відрізків цих сум вибираємо з умови s≤ε , в якій параметр
( )nε=ε визначається за аналогією з формулою (17). Наприклад, зафіксувавши
числове значення параметра s, що характеризує дискретизацію області D, і прий-
нявши 1,1,00 ≈γ=ε , одержимо нижню межу довжин відрізків часткових сум
рядів, sn 10> . Інтервал вибору значень іншого параметра N є достатньо
широкий. При великих значеннях параметра N запропонована числова схема
розв’язування задачі приводить до достатньо точного її розв’язку, а при малих
значеннях цього параметра отриманий наближений розв’язок відповідає матема-
тичній моделі дискретної взаємодії масивного тіла з шаром.
Михайло Сухорольський
Усталені коливання трансверсально-ізотропного шару з масивним тілом
176
Література
[1] Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. — М.: Наука,
1980. — 304 с.
[2] Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. — М.: Мир, 1989. — 510 с.
[3] Кубенко В. Д., Попов С. Н. Осесимметричная задача удара жесткого затупленого
тела о поверхность упругого пространства // Прикл. механика. — 1989. — Т. 25,
№ 7. — С. 16-24.
[4] Рівняння математичної фізики. Узагальнені розв’язки крайових задач / Рудавсь-
кий Ю. К., Костробій П. П., Сухорольський М. А. та ін. — Львів: Національний ун-т
«Львівська політехніка», 2002. — 226 с
[5] Сеймов В. М. Динамические контактные задачи. — К.: Наук. думка, 1976. — 284 с.
[6] Сухорольський М. А., Микитюк О. А. Усталені поперечні коливання шару з масив-
ним тілом // Вісник національного університету «Львівська політехніка». Фіз.-мат.
науки. — 2004. — № 518. –– С. 70-75.
Stable Oscilations of the Transversal-Іsotropic Layer
with Massive Body
Mychailo Sykhorolsky
The problem of stable oscillations of the transversal-isotropic layer interacting with the massive solid under
conditions of their ideal contact is considered. The problem is reduced to the system of three integral
equations relative to the contact stresses by the method of Green’s function as well as that of Fourier (by
developing into double series by coordinates in the middle plane of the layer). Singular solutions of the
corresponding boundary problem are presented in the form of boundaries of the weakly converging
sequences of generalized partial sums of series (summarized by generalized methods). Constructing of the
numerical solution of the corresponding system of integral equations is based on the idea of the method of
collocations and approximation of the function by sequences of generalized partial sums of series.
Установившиеся колебания трансверсально-изотропного
шара с массивным телом
Михаил Сухорольский
Рассматривается задача об установившихся колебаниях трансверсально-изотропного
шара, взаимодействующего при условии идеального контакта с массивным телом. Мето-
дом функции Грина в сочетании с методом Фурье (разложением в двойные тригонометри-
ческие ряды) задача сведена к системе трех интегральных уравнений относительно кон-
тактных напряжений. Сингулярные решения соответствующей краевой задачи представлено в
виде пределов слабо сходящихся последовательностей обобщенных частичных сумм рядов
(суммируемых обобщенными методами). Построение численного решения соответствую-
щей системы интегральных уравнений основывается на идее метода коллокаций и аппрок-
симации функций последовательностями обобщенных частичных сумм рядов.
Отримано 08.09.05
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-20976 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-1545 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:08:15Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сухорольський, М. 2011-06-13T18:54:54Z 2011-06-13T18:54:54Z 2006 Усталені коливання трансверсально-ізотропного шару з масивним тілом / М. Сухорольський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 167-176. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20976 539.3 Розглядається задача про усталені коливання трансверсально-ізотропного шару, що взаємодіє за умов ідеального контакту з масивним тілом. Методом функції Гріна в поєднанні з методом Фур’є (розвиненням в подвійні тригонометричні ряди за координатами у серединній площині шару) задача зведена до системи трьох інтегральних рівнянь відносно контактних напружень. Сингулярні розв’язки відповідної крайової задачі зображено у вигляді границь слабко збіжних послідовностей узагальнених часткових сум рядів (підсумовуваних узагальненими методами). Побудова числового розв’язку відповідної системи інтегральних рівнянь ґрунтується на ідеї методу колокацій і апроксимації функцій послідовностями узагальнених часткових сум рядів. The problem of stable oscillations of the transversal-isotropic layer interacting with the massive solid under conditions of their ideal contact is considered. The problem is reduced to the system of three integral equations relative to the contact stresses by the method of Green’s function as well as that of Fourier (by developing into double series by coordinates in the middle plane of the layer). Singular solutions of the corresponding boundary problem are presented in the form of boundaries of the weakly converging sequences of generalized partial sums of series (summarized by generalized methods). Constructing of the numerical solution of the corresponding system of integral equations is based on the idea of the method of collocations and approximation of the function by sequences of generalized partial sums of series. Рассматривается задача об установившихся колебаниях трансверсально-изотропного шара, взаимодействующего при условии идеального контакта с массивным телом. Методом функции Грина в сочетании с методом Фурье (разложением в двойные тригонометрические ряды) задача сведена к системе трех интегральных уравнений относительно контактных напряжений. Сингулярные решения соответствующей краевой задачи представлено в виде пределов слабо сходящихся последовательностей обобщенных частичных сумм рядов (суммируемых обобщенными методами). Построение численного решения соответствующей системы интегральных уравнений основывается на идее метода коллокаций и аппроксимации функций последовательностями обобщенных частичных сумм рядов. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Усталені коливання трансверсально-ізотропного шару з масивним тілом Stable Oscilations of the Transversal-Іsotropic Layer with Massive Body Установившиеся колебания трансверсально-изотропного шара с массивным телом Article published earlier |
| spellingShingle | Усталені коливання трансверсально-ізотропного шару з масивним тілом Сухорольський, М. |
| title | Усталені коливання трансверсально-ізотропного шару з масивним тілом |
| title_alt | Stable Oscilations of the Transversal-Іsotropic Layer with Massive Body Установившиеся колебания трансверсально-изотропного шара с массивным телом |
| title_full | Усталені коливання трансверсально-ізотропного шару з масивним тілом |
| title_fullStr | Усталені коливання трансверсально-ізотропного шару з масивним тілом |
| title_full_unstemmed | Усталені коливання трансверсально-ізотропного шару з масивним тілом |
| title_short | Усталені коливання трансверсально-ізотропного шару з масивним тілом |
| title_sort | усталені коливання трансверсально-ізотропного шару з масивним тілом |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20976 |
| work_keys_str_mv | AT suhorolʹsʹkiim ustaleníkolivannâtransversalʹnoízotropnogošaruzmasivnimtílom AT suhorolʹsʹkiim stableoscilationsofthetransversalísotropiclayerwithmassivebody AT suhorolʹsʹkiim ustanovivšiesâkolebaniâtransversalʹnoizotropnogošarasmassivnymtelom |