Основы общей теории независимого управления собственными деформациями
В работе излагаются основы решения задач управления напряжениями одновременно с деформациями путем наложения поля собственных деформаций. Под собственными деформациями (eigenstrain) понимаются неупругие деформации любой природы, например, температурные, пьезоэлектрические, деформации фазовых переход...
Saved in:
| Published in: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2006
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20983 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Основы общей теории независимого управления собственными деформациями / Ю. Няшин, В. Лохов // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 129-137. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-20983 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Няшин, Ю. Лохов, В. 2011-06-13T19:14:17Z 2011-06-13T19:14:17Z 2006 Основы общей теории независимого управления собственными деформациями / Ю. Няшин, В. Лохов // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 129-137. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20983 539.3 В работе излагаются основы решения задач управления напряжениями одновременно с деформациями путем наложения поля собственных деформаций. Под собственными деформациями (eigenstrain) понимаются неупругие деформации любой природы, например, температурные, пьезоэлектрические, деформации фазовых переходов, ростовые в живых тканях и другие. Метод основан на свойствах решения краевой задачи с собственными деформациями, которые получены с использованием функционального анализа. Основная идея метода состоит в разложении собственной деформации на нильпотентную (не создающую полной деформации) и импотентную (не создающую напряжений) части. Показано, что такое разложение всегда можно реализовать для любой существующей в теле собственной деформации. Предложенный метод позволяет строить решение задачи управления без полного решения задачи с собственными деформациями и избежать трудоемких и многочисленных решений краевых задач при поиске оптимального решения. У роботі подаються основи розв’язування задач керування напруженнями одночасно з деформаціями шляхом накладання поля власних деформацій. Під власними деформаціями (eigenstrain) розуміють непружні деформації довільного походження, наприклад, температурні, п’єзоелектричні, деформації фазових переходів, росту у живих тканинах тощо. Метод ґрунтується на властивостях розв’язків крайової задачі з власними деформаціями, які отримують з використанням функціонального аналізу. Основна ідея методу полягає у розкладі власної деформації на нільпотентну (яка не створює повної деформації) й імпотентну (яка не створює напружень) частини. Показано, що такий розклад завжди можна реалізувати для будь-якої власної деформації, що існує в тілі. Запропонований метод дає змогу будувати розв’язок задачі керування без повного розв’язування задачі з власними деформаціями та уникнути трудомістких і численних розв’язувань крайових задач при пошуку оптимального розв’язку. The foundation of solution of independent stress and deformation control problems by eigenstrain is given. By eigenstrain it is possible to consider inelastic strain of any nature such as thermal expansion strain, piezoelectric strain, deformation due to phase transitions, growth and remodeling deformations in living tissues, etc. The approach is based on the properties of solution of boundary value problem with eigenstrain obtained by means of functional analysis. The main idea is the decomposition of existing eigenstrain into impotent (stress-free) and nilpotent (deformation-free) constituents. It is shown that there is a possibility to perform the decomposition for any eigenstrain existing in the body and that obtained decomposition is unique one. Suggested theory allows us to obtain the solution of stress and deformation control problem without straightforward solution of boundary value problem with eigenstrain. In addition, the novel method avoids numerous and cumbersome solutions of boundary value problem with eigenstrain. Работа выполнена в рамках Соглашения о сотрудничестве между Венским тех- ническим университетом (Vienna University of Technology) и Пермским государственным техническим университетом. Авторы благодарны профессору Францу Циглеру (Венский Технический Университет) за полезные дискуссии. ru Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Основы общей теории независимого управления собственными деформациями Fundamentals of the Theory of Independent Stress and Deformation Control by Eigenstrain Основи загальної теорії незалежного управління власними деформаціями Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Основы общей теории независимого управления собственными деформациями |
| spellingShingle |
Основы общей теории независимого управления собственными деформациями Няшин, Ю. Лохов, В. |
| title_short |
Основы общей теории независимого управления собственными деформациями |
| title_full |
Основы общей теории независимого управления собственными деформациями |
| title_fullStr |
Основы общей теории независимого управления собственными деформациями |
| title_full_unstemmed |
Основы общей теории независимого управления собственными деформациями |
| title_sort |
основы общей теории независимого управления собственными деформациями |
| author |
Няшин, Ю. Лохов, В. |
| author_facet |
Няшин, Ю. Лохов, В. |
| publishDate |
2006 |
| language |
Russian |
| container_title |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Fundamentals of the Theory of Independent Stress and Deformation Control by Eigenstrain Основи загальної теорії незалежного управління власними деформаціями |
| description |
В работе излагаются основы решения задач управления напряжениями одновременно с деформациями путем наложения поля собственных деформаций. Под собственными деформациями (eigenstrain) понимаются неупругие деформации любой природы, например, температурные, пьезоэлектрические, деформации фазовых переходов, ростовые в живых тканях и другие. Метод основан на свойствах решения краевой задачи с собственными деформациями, которые получены с использованием функционального анализа. Основная идея метода состоит в разложении собственной деформации на нильпотентную (не создающую полной деформации) и импотентную (не создающую напряжений) части. Показано, что такое разложение всегда можно реализовать для любой существующей в теле собственной деформации. Предложенный метод позволяет строить решение задачи управления без полного решения задачи с собственными деформациями и избежать трудоемких и многочисленных решений краевых задач при поиске оптимального решения.
У роботі подаються основи розв’язування задач керування напруженнями одночасно з деформаціями шляхом накладання поля власних деформацій. Під власними деформаціями (eigenstrain) розуміють непружні деформації довільного походження, наприклад, температурні, п’єзоелектричні, деформації фазових переходів, росту у живих тканинах тощо. Метод ґрунтується на властивостях розв’язків крайової задачі з власними деформаціями, які отримують з використанням функціонального аналізу. Основна ідея методу полягає у розкладі власної деформації на нільпотентну (яка не створює повної деформації) й імпотентну (яка не створює напружень) частини. Показано, що такий розклад завжди можна реалізувати для будь-якої власної деформації, що існує в тілі. Запропонований метод дає змогу будувати розв’язок задачі керування без повного розв’язування задачі з власними деформаціями та уникнути трудомістких і численних розв’язувань крайових задач при пошуку оптимального розв’язку.
The foundation of solution of independent stress and deformation control problems by eigenstrain is given. By eigenstrain it is possible to consider inelastic strain of any nature such as thermal expansion strain, piezoelectric strain, deformation due to phase transitions, growth and remodeling deformations in living tissues, etc. The approach is based on the properties of solution of boundary value problem with eigenstrain obtained by means of functional analysis. The main idea is the decomposition of existing eigenstrain into impotent (stress-free) and nilpotent (deformation-free) constituents. It is shown that there is a possibility to perform the decomposition for any eigenstrain existing in the body and that obtained decomposition is unique one. Suggested theory allows us to obtain the solution of stress and deformation control problem without straightforward solution of boundary value problem with eigenstrain. In addition, the novel method avoids numerous and cumbersome solutions of boundary value problem with eigenstrain.
|
| issn |
1816-1545 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20983 |
| citation_txt |
Основы общей теории независимого управления собственными деформациями / Ю. Няшин, В. Лохов // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 129-137. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT nâšinû osnovyobŝeiteoriinezavisimogoupravleniâsobstvennymideformaciâmi AT lohovv osnovyobŝeiteoriinezavisimogoupravleniâsobstvennymideformaciâmi AT nâšinû fundamentalsofthetheoryofindependentstressanddeformationcontrolbyeigenstrain AT lohovv fundamentalsofthetheoryofindependentstressanddeformationcontrolbyeigenstrain AT nâšinû osnovizagalʹnoíteoríínezaležnogoupravlínnâvlasnimideformacíâmi AT lohovv osnovizagalʹnoíteoríínezaležnogoupravlínnâvlasnimideformacíâmi |
| first_indexed |
2025-11-25T22:49:35Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:49:35Z |
| _version_ |
1850574389122170880 |
| fulltext |
Основы общей теории независимого управления
собственными деформациями
Юрий Няшин1, Валерий Лохов2
1 д. т. н., профессор, Пермский государственный технический университет, Комсомольский проспект, 29, Пермь,
Россия, 614000, e-mail: nyashin@pstu.ru
2 к. ф.-м. н., Пермский государственный технический университет, Комсомольский проспект, 29, Пермь, Россия,
614000, e-mail: lva@pstu.ru
В работе излагаются основы решения задач управления напряжениями одновременно с де-
формациями путем наложения поля собственных деформаций. Под собственными дефор-
мациями (eigenstrain) понимаются неупругие деформации любой природы, например, тем-
пературные, пьезоэлектрические, деформации фазовых переходов, ростовые в живых тканях
и другие. Метод основан на свойствах решения краевой задачи с собственными деформа-
циями, которые получены с использованием функционального анализа. Основная идея метода
состоит в разложении собственной деформации на нильпотентную (не создающую полной
деформации) и импотентную (не создающую напряжений) части. Показано, что такое
разложение всегда можно реализовать для любой существующей в теле собственной де-
формации. Предложенный метод позволяет строить решение задачи управления без полного
решения задачи с собственными деформациями и избежать трудоемких и многочисленных
решений краевых задач при поиске оптимального решения.
Ключевые слова: собственная деформация, управление, энергетическое
пространство, теорема о декомпозиции.
Введение. Задачи управления напряжениями и деформациями являются необходи-
мым звеном в разработке современных конструкций. Особо эти вопросы важны при
проектировании интеллектуальных конструкций, которые способны адаптироваться
к изменяющимся условиям эксплуатации. Примерами таких систем могут служить
задачи сохранения формы зеркала телескопа, а также опорной конструкции зеркала.
Часто возникают задачи создания в теле заданных напряжений при сохранении в
нем существующих деформаций или создания заданной деформации при сохране-
нии существующих напряжений. В частности, это задачи об исправлении усадки
конструкций или опор вследствие форс-мажорных причин (например, при нагреве в
условиях открытого космоса). Кроме того, это могут быть задачи об управлении
ростовыми деформациями, к примеру, при лечении расщелины твердого неба.
Изначально механизмом управления служил нагрев. Затем с развитием тех-
ники стали применять пьезоэлектрическое управление. С математической точки
зрения, температурные, ростовые, пьезоэлектрические деформации идентичны.
В современной литературе такие деформации называются собственными дефор-
мациями.
УДК 539.3
129
Юрий Няшин, Валерий Лохов
Основы общей теории независимого управления собственными деформациями
130
Термин «собственные деформации» впервые ввел Рейснер (Reissner) в 1931 году
[1]. Под этим термином он понимал неупругие деформации, соответствующие
самоуравновешенным остаточным напряжениям. В 1991 году Мура (Mura) [2]
предложил более общее определение собственной деформации (eigenstrain), при-
нятое в современной научной литературе. В рамках геометрически линейной тео-
рии это могут быть неупругие деформации любой природы (температурные, пье-
зоэлектрические, пластические, ростовые, фазовые и др.). В этой же работе Мура
предложил понятие импотентной (impotent) собственной деформации (например,
температурной деформации) как деформации, не вызывающей напряжения в сис-
теме. Позже, в 2001 году, Иршик (Irschik) и Циглер (Ziegler) [3] ввели понятие
нильпотентной (nilpotent) собственной деформации, как не создающей полной
деформации в любой точке системы.
Использование термина собственной деформации позволяет исследователю
абстрагироваться от природы возникновения той или иной собственной деформа-
ции. Тем самым, задача решается в два этапа: определение собственной деформа-
ции, необходимой для достижения целей управления; создания найденной собст-
венной деформации. При этом в инженера есть возможность выбора или комби-
нирования типов собственных деформаций.
Теоретические исследования различных аспектов собственных деформаций
исследовались учеными различных стран [4-7]. В работе [4] собственная дефор-
мация называется дисторсией, монографию [7] отличает обилие прикладных за-
дач. Однако решение задач управления основывается на решении краевой задачи
теории упругости с собственными деформациями, что представляет трудности.
Алгоритм решения задачи управления основывается на свойствах решения
краевой задачи, полученных с использованием функционального анализа, и не
требует поиска самого решения.
1. Постановка задачи и основные понятия
Рассмотрим обобщенную постановку краевой задачи. Исследуемое тело занимает
ограниченную область Ω трехмерного евклидова пространства E3. Замыкание
области обозначено через Ω , граница (которая считается достаточно гладкой) —
через Г (Ω =Ω ΓU ). Деформации считаются малыми и аддитивными. Тогда тен-
зор малой деформации ε̂ является суммой упругой ˆeε и собственной *ε̂ деформаций
*ˆ ˆ ˆeε = ε + ε , x∈Ωr . (1)
Граница области Г делится на две взаимно непересекающиеся части:
u σΓ = Γ ΓU . На границе uΓ заданы нулевые кинематические граничные условия,
на σΓ — вектор напряжений
0, ,uu x= ∈Γ
r r
ˆ , .n P x σ⋅σ = ∈Γ
rr r (2)
Здесь кинематические граничные условия предполагаются такими, что
движение тела как жесткого целого невозможно.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 129-137
131
Назовем обобщенным решением задачи симметричный тензор σ% , который
определяется обобщенным законом Гука
(4) *ˆ ˆ ˆˆ : ( )C u σ = ε − ε
r , где 1 3
2( ( ))u W∈ Ω
r , 0u =
r , ux∈Γr , (3)
и для которого имеет место соотношение
ˆˆ : ( ) 0w dV P wdS Q wdV
σΩ Γ Ω
σ ε − ⋅ − ⋅ =∫ ∫ ∫
rrr r r , (4)
1 3
2( ( ))w W∈ Ω
r , 0w =
r , ux∈Γr .
Здесь 1
2W — пространство Соболева функций, имеющих первую обобщенную
производную и интегрируемых в квадрате вместе с производной. Деформации
( )uε
r
% и ( )wε
r
% определяются геометрическими соотношениями Коши, где произ-
водные понимаются в обобщенном смысле. Значения перемещений ur и wr на
границе вычисляются посредством оператора следа [8]. В обобщенной поста-
новке задачи считается, что 3
2( ( ))P L σ∈ Γ
r
, 3
2( ( ))Q L∈ Ω
r
, * 6
2ˆ ( ( ))Lε ∈ Ω , компонен-
ты ( , , , 1, 2, 3)ijklC i j k l = являются кусочно-непрерывными функциями координат.
В работе [8] доказана теорема, утверждающая, что для решаемой задачи
обобщенное решение существует и единственно.
Благодаря малости и аддитивности деформаций задачу (1)-(4) можно раз-
делить на две:
1. задачу теории упругости с нулевой собственной деформацией;
2. задачу теории упругости с собственными деформациями при отсутствии
объемных и поверхностных сил.
Решением исходной задачи будет сумма решений задач 1 и 2. Первая зада-
ча решается классическими методами теории упругости, а решение второй зада-
чи часто бывает затруднительным, особенно в задачах управления.
Для дальнейшего изложения и анализа второй задачи необходимо ввести
пространство H тензоров деформации, компоненты которых принадлежат функ-
циональному пространству L2. Скалярное произведение в H введено следующим
образом
ˆ ˆ( , )H ij ijkl klA B A C B dV
Ω
= ∫ . (5)
Норма порождена скалярным произведением (5)
ˆ ˆ ˆ( , )HH
A A A= . (6)
Можно показать, что выражение (5) удовлетворяет аксиомам скалярного
произведения.
Далее выделено подпространство совместных деформаций.
Юрий Няшин, Валерий Лохов
Основы общей теории независимого управления собственными деформациями
132
Тензор f̂ H∈ принадлежит подпространству Hu, если существует такая
вектор-функция (перемещение) 1 3
2( ( ))u W∈ Ω
r , что 0u =
r при ux∈Γr и
1ˆ ( )
2
f u u= ∇ + ∇
r rr r ,
где производные понимаются в обобщенном смысле, а значение функции ur на
границе Гu определяется посредством оператора следа.
Импотентная собственная деформация принадлежит подпространству Hu.
И наоборот, если собственная деформация принадлежит подпространству Hu, то
она является импотентной [9].
Подпространство нильпотентных собственных деформаций Hσ введено
посредством условия, что полные деформации системы (1) равны нулю, тогда
собственная деформация вычисляется следующим образом
1* (4)ˆˆ ˆ:C
−
σ ε = − σ , x∈Ωr , (7)
где напряжения σ̂ являются статически допустимыми при отсутствии внешних
сил (уравновешенные напряжения)
ˆˆ : ( ) 0w dV
Ω
σ ε =∫
r , ( )( )31
2w W∀ ∈ Ω
r , 0w =
r , ux∈Γr . (8)
Эти напряжения не ограничиваются классом самоуравновешенных напря-
жений ввиду наличия реакций опор на границе Гu.
Множество собственных деформаций *ˆσε в выражении (7) образует линей-
ное подпространство Hσ .
Для того, чтобы собственная деформация была нильпотентной необходимо
и достаточно, чтобы выполнялись условия (7), (8).
На основе введенных понятий формулируется теорема, определяющая об-
щие свойства собственной деформации.
2. Теорема о декомпозиции
Теорема. Любая существующая в теле собственная деформация *ε̂ может быть
единственным образом разложена на импотентную *ˆuε и нильпотентную *ˆσε части
* * *ˆ ˆ ˆu σε = ε + ε , (9)
где *ˆu uHε ∈ и *ˆ Hσ σε ∈ .
Доказательство. Сначала докажем существование разложения. Рассмот-
рим произвольное распределение собственных деформаций *ε̂ , существующих в
теле. Это вызывает в теле упругие деформации ˆeε и полные деформации ε̂
*ˆ ˆ ˆeε = ε + ε . (10)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 129-137
133
Очевидно, что собственная деформация, равная полной деформации ( *
1ˆ ˆε = ε ),
принадлежит подпространству Hu. Она является импотентной и не создает в теле
напряжений. Собственная деформация *
1ˆ( )−ε обладает аналогичными свойства-
ми. После добавления импотентной собственной деформации *
1ˆ( )−ε к собствен-
ной деформации *ε̂ состояние системы описывается следующим соотношением
* *
1ˆ ˆ ˆ 0eε + ε − ε = . (11)
С учетом обозначения
* * *
1 2ˆ ˆ ˆε − ε ≡ ε , (12)
выражение (11) принимает вид
*
2ˆ ˆ 0eε + ε = . (13)
Из выражения (13) можно сделать вывод, что собственная деформация *
2ε̂
дает состояние с нулевой полной деформацией и поэтому является нильпотент-
ной. Перегруппированное выражение (12) показывает, что выполнено разложе-
ние собственной деформации
* * *
1 2ˆ ˆ ˆε = ε + ε ,
где *
1ˆ uHε ∈ и *
2ˆ Hσε ∈ . Таким образом, доказана возможность разложения собст-
венной деформации.
На следующем шаге покажем, что разложение единственно. Для этого
предположим, что существуют *
1ˆ uHε ∈ и *
2ˆ Hσε ∈ , но разложение (9) не единст-
венно. Иными словами, предположим, что существует иное разложение
* * *
1 2ˆ ˆ ˆv vε = + , (14)
где *
1̂ uv H∈ и *
2v̂ Hσ∈ . Тогда
* * * *
1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆv vε + ε = + , (15)
* * * *
1 1 2 2ˆ ˆˆ ˆv vε − = − ε . (16)
Подстановка следующих обозначений
* * *
1 1 1ˆ ˆ ˆ uv w Hε − = ∈ , * * *
2 2 2ˆˆ ˆv w Hσ− ε = ∈ , (17)
в уравнение (16) позволяет просто показать, что
* *
1 2ˆ ˆw w= . (18)
Юрий Няшин, Валерий Лохов
Основы общей теории независимого управления собственными деформациями
134
Элемент, который принадлежит обоим подпространствам Hu и Hσ (то есть
не вызывает ни напряжений, ни деформаций системы), должен быть нулевым.
Поэтому
* *
1 2ˆ ˆ 0w w= = , * *
1 1ˆ v̂ε = , * *
2 2ˆ v̂ε = . (19)
Следовательно, разложение (9) единственно.
Кроме того, подпространства Hu и Hσ взаимно ортогональны, то есть любые
элементы *
1ˆ uHε ∈ и *
2ˆ Hσε ∈ ортогональны в смысле скалярного произведения.
Если выполнена декомпозиция собственной деформации, то напряжения σ̂
и полная деформация ε̂ тела с собственной деформацией *ε̂ при отсутствии
внешних сил на границе σΓ вычисляются следующим образом
(4) * *ˆ ˆ ˆ ˆˆ : , uC σσ = − ε ε = ε . (20)
Таким образом, решение задачи теории упругости с собственными дефор-
мациями сводится к выполнению декомпозиции существующей в теле собствен-
ной деформации.
Введенные понятия импотентных и нильпотентных собственных деформа-
ций, а также теорема о декомпозиции открывают возможность независимого уп-
равления напряжениями (посредством нильпотентных собственных деформаций)
и деформациями (посредством импотентных собственных деформаций).
Как правило, разложение элемента на составляющие проводится путем исполь-
зования базиса в подпространствах. Задача состоит в построении указанного базиса,
то есть необходимо найти базисные элементы 1 2ˆ ˆ( , , ...) Hσψ ψ ∈ и 1 2ˆ ˆ( , , ...) uHπ π ∈
(рис. 1.). Отметим, что базисные элементы в подпространстве Hu или Hσ могут не
обладать свойством ортогональности, ˆ ˆ( , ) 0i j Hπ π ≠ , но базисные элементы
разных подпространств ортогональны ˆ ˆ( , ) 0i j Hψ π = .
Hσ
uH
H*ˆσε
*ε̂
*ˆuε
1π̂ 2π̂
1ψ̂
Рис. 1. Иллюстрация к разложению собственной деформации
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 129-137
135
3. Формула Майзеля
В качестве примера приведем новый вывод формулы Майзеля, основанный на
теореме о декомпозиции. Применение принципа возможных перемещений сов-
местно с разложением собственной деформации дает альтернативный и доста-
точно простой вывод формулы Майзеля.
Рассмотрим единичную силу, приложенную к точке xr в направлении eα
r , и
выберем деформации, вызванные наложением собственной деформации как воз-
можные. Тогда принцип возможных перемещений дает следующее соотношение [7]
( ) ( )1 ( ) ( , ) ( )ij iju x x dVα ε α
Ω
= σ ξ ε ξ∫
r rr r , (21)
где ( ) ( )u xα ε
r — перемещение частицы xr в направлении α, ( ) ( , )ij xασ ξ
r r — напря-
жение в точке ξ
r
от действия единичной силы в точке xr в направлении α, ( )ijε ξ
r
—
существующая в теле деформация.
Полная деформация ijε является суммой упругой деформации e
ijε , вызван-
ной наложением собственной деформации, и собственной деформации *
ijε
*e
ij ij ijε = ε + ε .
Согласно теореме о декомпозиции любая собственная деформация *
ijε мо-
жет быть разложена на импотентную *( )u
ijε и нильпотентную *( )
ij
σε части
* *( ) *( )u
ij ij ij
σε = ε + ε .
Таким образом, с учетом свойств нильпотентной собственной деформации
полная деформация принимает вид
* *( )e u
ij ij ij ijkl kl ij ijkl klC Cε = ε + ε = σ + ε − σ ,
*( )u
ij ijε = ε .
В результате соотношение (21) преобразуется к следующему виду
* ( )
( ) ( )1 ( ) ( , ) ( )u
ij iju x x dVα ε α
Ω
= σ ξ ε ξ∫
r rr r . (22)
Так как нильпотентная часть не влияет на полные деформации системы, то
соотношение (22) можно переписать в форме обобщенной формулы Майзеля
*
( ) ( )1 ( ) ( , ) ( )ij iju x x dVα ε α
Ω
= σ ξ ε ξ∫
r rr r . (23)
Юрий Няшин, Валерий Лохов
Основы общей теории независимого управления собственными деформациями
136
Таким образом, представлен простой вывод формулы Майзеля для случая,
когда тело подвержено воздействию собственной деформации.
Выводы. Доказана общая теорема, позволяющая разделить решение задачи
управления напряжениями и деформациями на две независимые задачи. Пред-
ложенная методика оказывается полезной при решении задач о компенсации
осадки опор, лечении расщелины твердого неба у детей и других задач механики
и биомеханики.
Работа выполнена в рамках Соглашения о сотрудничестве между Венским тех-
ническим университетом (Vienna University of Technology) и Пермским государственным
техническим университетом. Авторы благодарны профессору Францу Циглеру (Венский
Технический Университет) за полезные дискуссии.
Литература
[1] Reissner H. Eigenspannungen und Eigenspannungsquellen // ZAMM. — 1931. —
Vol. 11. — P. 1-8.
[2] Mura T. Micromechanics of Defects in Solids // Martinus Nijhoff. — Dordrecht, 1987.
[3] Irschik H., Ziegler F. Eigenstrain without stress and static shape control of structures //
AIAA Journal. — 2001. — Vol. 39, № 10. — P. 1985-1990.
[4] Новацкий В. Термоупругость.— М.: Мир, 1975.
[5] Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. — М.: Мир, 1964.
[6] Мелан Э., Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными тем-
пературными полями. — М.: ФизматГИЗ, 1958.
[7] Циглер Ф. Механика твердых тел и жидкостей. — Москва-Ижевск: РХД, 2002.
[8] Дюво Г., Лионс Х.-Л. Неравенства в механике и физике. — М.: Наука, 1980.
[9] Nyashin Y., Lokhov V., Ziegler F. Decomposition method in linear elastic problems with
eigenstrain // ZAMM. — 2005. — Vol. 85, № 8. — P. 557-570.
[10] Nyashin Y., Lokhov V., Ziegler F. Stress-free displacement control of structures // Acta
Mechanica. — 2005. — Vol. 175, № 1-4. — P. 45-56.
Fundamentals of the Theory of Independent Stress
and Deformation Control by Eigenstrain
Yuriy Nyashin, Valeriy Lokhov
The foundation of solution of independent stress and deformation control problems by eigenstrain
is given. By eigenstrain it is possible to consider inelastic strain of any nature such as thermal
expansion strain, piezoelectric strain, deformation due to phase transitions, growth and
remodeling deformations in living tissues, etc. The approach is based on the properties of solution
of boundary value problem with eigenstrain obtained by means of functional analysis. The main
idea is the decomposition of existing eigenstrain into impotent (stress-free) and nilpotent
(deformation-free) constituents. It is shown that there is a possibility to perform the decomposition
for any eigenstrain existing in the body and that obtained decomposition is unique one. Suggested
theory allows us to obtain the solution of stress and deformation control problem without
straightforward solution of boundary value problem with eigenstrain. In addition, the novel
method avoids numerous and cumbersome solutions of boundary value problem with eigenstrain.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 3, 129-137
137
Основи загальної теорії незалежного управління
власними деформаціями
Юрій Няшин, Валерій Лохов
У роботі подаються основи розв’язування задач керування напруженнями одночасно з
деформаціями шляхом накладання поля власних деформацій. Під власними деформаціями
(eigenstrain) розуміють непружні деформації довільного походження, наприклад, темпе-
ратурні, п’єзоелектричні, деформації фазових переходів, росту у живих тканинах тощо.
Метод ґрунтується на властивостях розв’язків крайової задачі з власними деформаціями,
які отримуються з використанням функціонального аналізу. Основна ідея методу полягає у
розкладі власної деформації на нільпотентну (яка не створює повної деформації) й імпо-
тентну (яка не створює напружень) частини. Показано, що такий розклад завжди можна
реалізувати для будь-якої власної деформації, що існує в тілі. Запропонований метод дає
змогу будувати розв’язок задачі керування без повного розв’язування задачі з власними де-
формаціями та уникнути трудомістких і численних розв’язувань крайових задач при
пошуку оптимального розв’язку.
Отримано 10.09.05
|