Стабилизация движения колесного транспортного робота без рулевого колеса

Розглянуто модель колісного транспортного робота без рульового колеса з урахуванням динамічних ефектів. Запропоновано нелінійний алгоритм стабілізації руху такої моделі. Цей алгоритм узагальнено на випадок відстежування роботом заданої програмної траєкторії. Ефективність запропонованих алгоритмів пр...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Проблемы управления и информатики
Date:	2009
Main Author:	Ларин, В.Б.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2009
Subjects:	Роботы и системы искусственного интеллекта
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210380
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Стабилизация движения колесного транспортного робота без рулевого колеса / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 4. — С. 149-156. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859543090694455296
author	Ларин, В.Б.
author_facet	Ларин, В.Б.
citation_txt	Стабилизация движения колесного транспортного робота без рулевого колеса / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 4. — С. 149-156. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто модель колісного транспортного робота без рульового колеса з урахуванням динамічних ефектів. Запропоновано нелінійний алгоритм стабілізації руху такої моделі. Цей алгоритм узагальнено на випадок відстежування роботом заданої програмної траєкторії. Ефективність запропонованих алгоритмів проілюстровано прикладами. By taking into account the dynamic effects, the model of the wheeled transport robot without a steering wheel is considered. The nonlinear algorithm of stabilization of movement of such model is offered. This algorithm is generalized for the case of tracking the program trajectory by the robot. Efficiency of the suggested algorithms is illustrated by the examples
first_indexed	2025-12-07T21:25:21Z
format	Article
fulltext	© В.Б. ЛАРИН, 2009 148 ISSN 0572-2691 РОБОТЫ И СИСТЕМЫ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА УДК 621.865.5:007.52 В.Б. Ларин СТАБИЛИЗАЦИЯ ДВИЖЕНИЯ КОЛЕСНОГО ТРАНСПОРТНОГО РОБОТА БЕЗ РУЛЕВОГО КОЛЕСА Введение. Задачи управления различными подвижными объектами, в част- ности системами с неголономными связями [1], к которым относятся и колесные транспортные роботы [2–5], продолжают привлекать внимание исследователей. Среди колесных транспортных роботов можно выделить класс простейших ко- лесных транспортных роботов, которые не содержат рулевых колес. Задачи управления такими устройствами можно рассматривать как в кинематическом приближении [6], так и с учетом динамических эффектов [7]. Далее применитель- но к модели колесного транспортного робота, аналогичной рассмотренной в [7], решается, с учетом динамических эффектов, задача синтеза нелинейного алго- ритма стабилизации. Этот алгоритм обобщается на случай отслеживания роботом заданной программной траектории. 1. Описание модели [7]. Модель колесного транспортного робота без руле- вого колеса приведена на рис. 1. Эта модель содержит два управляемых колеса, расположенных на оси AB, и пассивное колесо, которое расположено в точке F. Скорости точек A (VA) и B (VB) перпендикулярны оси AB. Масса робота равна m, его центр тяжести расположен в точке C, момент инерции относительно точки C равен J. Расстояние между колесами — r, расстояние между точками C и D — d. Y F VB  VA X d A B D С r Рис. 1 Инерционность колес и приводов не учитывается. Предполагается, что в ре- зультате моментов, развиваемых приводами, к точкам A, B приложены усилия Ap , ,Bp линии действия которых перпендикулярны оси AB. Уравнения движения такой системы запишем в форме, аналогичной [7]: ,)( ,)( BPM     (1) Проблемы управления и информатики, 2009, № 4 149 ,][ T yx ,][ T BA VV ,][ T BA ppP  , 22 sinsin coscos 2 1 )(                 rr , 4 1 12 21 2        mm mm r M ,42 1 dJmrm  ,42 2 dJmrm  ,2mdJJd  , 01 10ˆ )(       r md  . 31 13 2 1       B Предполагая, что ,0 BA VV произведем замену переменных во втором уравнении (1): ,1 BA BA VV VV u    .2 BA VVu  (2) Выполнив соответствующие преобразования, запишем второе уравнение (1) в виде ,),ˆ(ˆ PBuFu u  ,][ T 21 uuu  ,ˆ),ˆ( 2 1       F F uF , 2 1        u u u B B B (3) , 2 )4( 22 1 1 d d rJ mrJud F   , 2 21 2 r udu F  ],22[ 1 2 1 2 1 2 1 mrJumrJu Jmu B dd d u  ].11[ 2 2 m Bu  Таким образом, задача состоит в разработке алгоритмов управления роботом, движения которого описываются уравнениями (1), (3), путем выбора управляю- щих усилий ., BA pp Отметим, что, в отличие от колесных роботов, управляемых рулевыми коле- сами [5], применительно к рассматриваемой модели, в которой отсутствует руле- вое колесо, не представляется возможным произвести декомпозицию исходной задачи на задачу разработки алгоритма управления в кинематическом приближе- нии и последующий учет динамических эффектов [5]. 2. Редукция задачи. Ограничимся рассмотрением задачи, когда .0ˆ x В этом случае можно исключить время как независимую переменную и принять в качестве независимой переменной координату x. Это позволит понизить порядок системы уравнений, описывающих движение робота. Итак, разделив уравнения (1) на первое уравнение системы (1) и приняв во внимание (2), получаем следующую систему уравнений: ,tg dx dy y , cos 2 cos 2 , cos 2 1 11 2 1 1 1         r u FPB udx du u r u dx d u (4) 150 ISSN 0572-2691 . cos 2 cos 2 1 22 2 2 2     r u FPB udx du u u В (4) и далее штрих означает дифференцирование по x. Принимая во внимание, что , cos 2 cos 3 1 2      r u y , cos sin12 cos 2 52 2 1 3 1       r u r u y (5) перепишем систему (4) следующим образом: , coscos 2 , , cos sin12 cos 4 cos 4 , 2 1 2 2 2 52 2 1 142 1 14 2 F r u PB u u r u F r u PB ur y u u            (6) причем, согласно (4), (5), ),(arctg y . 2 cos3 1   ry u (7) 3. Стабилизации движения. Пусть движение объекта описывается уравне- нием (4). Задача состоит в таком выборе P как функции ,,,, 21 uuy  чтобы реше- ние уравнения (4) было асимптотически устойчивым. Для решения этой задачи используем подход, аналогичный рассмотренному в [8]. Цепи обратных связей формируем так. Зададим  как линейную функцию yyy ,, и  как функцию 2u таким образом, чтобы замкнутые обратными свя- зями системы были асимптотически устойчивыми. Далее из соотношения (6) найдем ,Ap Bp как функции текущих значений фазовых координат и получим решение задачи синтеза цепи обратной связи исходного объекта. Итак, начнем с первого уравнения системы (6). Переменную  в (6) выберем следующим образом: .cyybya  (8) В этом случае первое уравнение (6) принимает вид .0 cyybyay (9) Перейдем ко второму уравнению системы (6). Пусть константа du2 — про- граммное значение переменной .2u Пусть также );( 22 duuK  (10) следовательно, второе уравнение (6) принимает вид ).( 222 duuKu  (11) Очевидно, выбором констант Kcba ,,, можно обеспечить устойчивость си- стем (9), (11). Учитывая (8), (10), получаем, согласно (6), систему линейных урав- нений, определяющих силы Ap и ,Bp которые должны реализовать законы це- пей обратных связей, определяемых (8), (10). Найденные описанным способом выражения для ,Ap Bp имеют следующий вид: Проблемы управления и информатики, 2009, № 4 151 . 2 )( cos )2( 8 1 cos cossin cos 12 2 cos 4 1 , 2 )( cos )2( 8 1 cos cossin cos 12 2 cos 4 1 2 2 2 2 1 22221 2 1 3 52 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 22221 2 1 3 52 2 1 2 2 2 r dmuu uuK r uuJmr m dur r uJ r up r dmuu uuK r uuJmr m dur r uJ r up dd d B dd d A                                                       (12) Принимая во внимание (2), (7), можно говорить, что, согласно (12), силы ,Ap Bp являются функциями текущих значений фазовых координат объекта (1). В случае малых значений угла , отбрасывая члены порядка 2 и выше, по- лучаем аналог (12): ),12)(24 )(2( 8 1 2 122212 2 1 22 3 12 2 23 2   uJuuuKruJudmru uuKmrdmruuJru r u p ddd ddA ).12)(24 )(2( 8 1 2 122212 2 1 22 3 12 2 23 2   uJuuuKruJudmru uuKmrdmruuJru r u p ddd ddB Таким образом, имеется нелинейный алгоритм стабилизации, гарантирую- щий устойчивость системы в большом. Требуется указать процедуру выбора кон- стант, фигурирующих в этом алгоритме. Закон обратной связи, определяемый со- отношением (12), гарантирует устойчивость системы в большом при условии, что значения констант Kcba ,,, обеспечивают асимптотическую устойчивость си- стем (8), (10), т.е. 0,, cba и ,abdc  .0K Естественно попытаться выбрать эти константы, исходя из какой-либо оптимизационной процедуры. Сделаем это применительно к уравнению (8), так как задача выбора константы K тривиальна. Итак, согласно (8) уравнение объекта имеет вид .y Введя фазовый вектор ,][ Tyyyz  первое уравнение (6) можно записать в виде , BAz dx dz , 000 100 010         A . 1 0 0         B (13) Согласно (8), константы cba ,, определяются законом цепи обратной связи ,zf который (матрица коэффициентов усиления f ) может быть найден в ре- зультате решения линейной квадратичной задачи (см., например, [9, 10]). Итак, пусть система (13) оптимизируется в соответствии с квадратичным критерием качества ,)( 0 2T    dxRzQzI (14) в котором можно выбрать следующую структуру для матрицы :Q ,}0,0,1diag{ TNNQ  .]001[N 152 ISSN 0572-2691 Очевидно, для решения задачи (13), (14) (определения матрицы f ) можно ис- пользовать стандартную процедуру метода пространства состояний (отыскание решения матричного алгебраического уравнения Риккати [9, 10]). Однако, учиты- вая вид матрицы Q, в данной задаче, по-видимому, целесообразно использовать частотный метод [10, 11], связанный с факторизацией характеристического опре- делителя )(s гамильтоновой матрицы вариационной задачи, определяемой со- отношениями (13), (14). Известно, что корни этого полинома, лежащие в левой полуплоскости, совпадают с корнями характеристического полинома оптималь- ной замкнутой системы «объект + регулятор». В принятых обозначениях полином )(s выглядит так (см., например, соотношение (3.473) из монографии [11]): ,)()( 1 1)()()(        sHsH R sss ),det()( AEss  ,)()( 1BAEsNsH  здесь и далее E — единичная матрица соответствующего размера. Принимая во внимание, что ,)( 3ss  , 1 )( 3s sH  получаем . 1 )( 6 r ss  Нетрудно проверить, что корни полинома ),(s расположенные в левой полу- плоскости, совпадают с корнями полинома .0 122 3 2 6 3  R s R s R s (15) Сравнивая (8) и (15), находим, что константы cba ,, можно выразить через пара- метр R: , 2 6 R a  , 2 3 R b  . 1 R c  (16) Пример 1. Кинематические и динамические параметры робота аналогичны принятым в [7]: ,5,1r ,3,0d ,30m .15J При синтезе системы стабилиза- ции было принято, что в функционале (14) ,10 4R .3K Эти константы и па- раметры аппарата полностью определяют соотношения (12). При моделировании предполагалось, что в начальный момент ,0)0( x ,1)0( y 2,0)0(  скорости точек ,05,0)0( AV ,05,0)0( BV т.е. ,0)0(1 u ,1,0)0(2 u .4,02 du Результаты интегрирования системы (1), которая охвачена петлей обратной связи, определяемой (12), представлены на рис. 2–5. На рис. 2 приведен гра- фик );(tx на рис. 3 показаны зависимости от времени координаты y (сплошная линия), угол  (штриховая линия) и u2 (штрихпунктирная линия). Как видно из этого рисунка, , 2 )( 2     t .0)(2 tu Таким образом, можно констатировать, что принятое предположение        0cos 2 2u x соблюдается при всех значениях t (это видно из рис. 2). Далее, на рис. 4, 5 показаны зависимости от времени скоро- стей ,AV BV и сил ,Ap Bp (VB и PB показаны штриховыми линиями). Проблемы управления и информатики, 2009, № 4 153 0 5 10 t 15 1,5 1 0,5 0 0,5 y, , u2 Рис. 3 0 5 10 t 15 pA , pB 0 1 2 1 Рис. 5 Приведенные результаты свидетельствуют о достаточно высокой эффектив- ности синтезированной системы стабилизации. 4. Синтез следящей системы. Обобщим алгоритм (12) стабилизации транс- портного робота на случай отслеживания им заданной траектории. Рассмотрим эту задачу в случае, когда программное движение не сильно отличается от пря- мой [8]. В связи с тем, что наш объект фактически охвачен двумя цепями обрат- ной связи — (8) и (10), рассмотрим этот вопрос применительно к каждой из этих цепей. Итак, пусть )(xyd — программное значение траектории аппарата (точ- ки D). Соотношение (8) перепишем в виде )),(( xyycybya d (17) что дает возможность «отслеживать» заданную траекторию )(xyd координатой y точки D аппарата. Однако такой сравнительно простой алгоритм может не обес- печить достаточное качество слежения, если )(xyd — сравнительно быстро ме- няющаяся функция. Рассмотрим вопрос повышения качества слежения. С этой целью запишем передаточную функцию между входом )(xyd и выходом )(xy системы, которая описывается уравнением (17). Эта передаточная функция )(sH имеет следующий вид: .)( 23 cbsass c sH   (18) При сравнительно низких частотах 1 )(  is модуль передаточной функции (18) близок к 1. В этой области частот основная погрешность воспроиз- ведения выходом системы )(xy входного воздействия )(xyd обусловлена фазо- x 2 1 0 0 5 10 t 15 Рис. 2 0,2 0 5 10 t 15 0 0,2 0,4 VA , VB Рис. 4 154 ISSN 0572-2691 вым запаздыванием. Фазовое запаздывание , которое имеет система с переда- точной функцией (18) на частоте , определяется выражением .tg 2 2     ac b При малых  . c b (19) Это фазовое запаздывание можно компенсировать, вводя в алгоритм стабилиза- ции (17) программное значение )(xyd с некоторым опережением , т.е. )).()((  xyxycybya d (20) Действительно, передаточная функция ),(1 sH соответствующая (20), имеет вид [12, 13] .)()( 231 s s esH cbsass ce sH      Фазовое запаздывание этой системы в области низких частот (аналог (19)) можно записать так: . c b (21) Выбирая  из условия, что ,0 с учетом (21) и (16) находим .26 R (22) Таким образом, в случае отслеживания заданной траектории закон цепи об- ратной связи (12) может быть модифицирован путем замены выражения для , определяемого (8), на выражение, определяемое (20), (22). Что касается цепи обратной связи, определяемой (10), то здесь последова- тельность рассуждений аналогична. Пусть в (11) )(2 xu d — медленно меняющая- ся функция x. Передаточная функция между 2u и ,2du согласно (11), имеет вид .)( sK K sHu   (23) Фазовое запаздывание  на частоте  для передаточной функции (23) определя- ется соотношениями .tg K   Это запаздывание при малых  можно компенсировать, вводя программное зна- чение du2 с некоторым опережением . В этом случае передаточная функция между 2u и du2 имеет вид .)(1 sK Ke sH s u    (24) При малых  фазовое запаздывание в системе с передаточной функцией (24) определяется соотношением .   K Проблемы управления и информатики, 2009, № 4 155 Положив ,0 получаем следующее выражение для оптимального значения : . 1 K  (25) Таким образом, для эффективного отслеживания программного сигнала du2 целесообразно в (12) использовать ),(2 xu d где величина  определяется (25). Пример 2. Кинематические и динамические параметры робота такие, как и в примере 1. В функционале (14) ,10 4R .3K В качестве программной траек- тории принята ),cos1()( xAxyd  ,3,0A . 2   Начальные условия выбраны следующими: ,0)0(,0,0)0(  yx ,05,0 BA VV т.е. ,0)0(1 u .1,0)0(2 u Как и в примере 1, принято, что .4,02 du При моделировании предполагалось, что  определяется (20), а  — (22). Вторая цепь обратной связи формировалась в соответствии с (11), т.е. принималось, что в этой цепи величина опережения )( программного значения сигнала равна нулю ).0(  Результаты моделирования движения системы (1), когда обратная связь формируется в соответствии с (11), (12), (20), (22), приведены на рис. 6–8. На рис. 6 представлены графики координат y и dy (сплошная линия). Как видно, эти кривые практически совпадают. Далее на рис. 7, 8 показаны зависимости от времени усилий BA pp , и скоростей ., BA VV На этих графиках Bp и BV нанесены штриховыми линиями. На рис. 9 представлены графики ,y dy (сплошная линия), но в случае, когда величина  формировалась в соответствии с (17), т.е. принималось, что .0 Сравнивая рис. 6 и рис. 9, можно констатировать, что предложенный алгоритм синтеза сле- дящей системы (введение программного сигнала с опережением ) существенно повышает качество отслеживания программной траектории. 0 5 10 t 15 5 5 10 pA, pB 0 10 15 Рис. 7 0 5 10 t 15 0,7 0,5 0,3 0,1 y, yd Рис. 9 0 5 10 t 15 0,7 0,5 0,3 0,1 y, yd Рис. 6 0 5 10 t 15 0,1 0,2 0,3 VA , VB 0 Рис. 8 156 ISSN 0572-2691 Следует еще отметить, что в данном алгоритме, как и в [8], повышение каче- ства отслеживания программного сигнала достигнуто без использования инфор- мации о производных этого сигнала. В.Б. Ларін СТАБІЛІЗАЦІЯ РУХУ КОЛІСНОГО ТРАНСПОРТНОГО РОБОТА БЕЗ РУЛЬОВОГО КОЛЕСА Розглянуто модель колісного транспортного робота без рульового колеса з ура- хуванням динамічних ефектів. Запропоновано нелінійний алгоритм стабілізації руху такої моделі. Цей алгоритм узагальнено на випадок відстежування робо- том заданої програмної траєкторії. Ефективність запропонованих алгоритмів проілюстровано прикладами. V.B. Larin STABILIZING OF MOTION OF THE WHEELED TRANSPORT ROBOT WITHOUT A STEERING WHEEL By taking into account the dynamic effects, the model of the wheeled transport robot without a steering wheel is considered. The nonlinear algorithm of stabilization of movement of such model is offered. This algorithm is generalized for the case of tracking the program trajectory by the robot. Efficiency of the suggested algorithms is illustrated by the examples. 1. Bloch A.M. Nonholonomic mechanics and control // Interdisciplinary Applied Mathematics. Vol. 24. Systems and Control. — New York : Springer-Verlag, 2003. — 483 p. 2. Larin V.B. About stabilization of movement of the wheeled transport robot // Int. Appl. Mech. — 2007. — 42, N 7. — P. 452–459. 3. Larin V.B. About problem of control of the composite wheeled vehicle// Ibid. — 2007. — 42, N 11. — P. 592–598. 4. Larin V.B About finding of reactions of constraints of the wheeled transport robot with one steer- ing wheel // Ibid. — 2008. — 44, N 11. — P. 1302–1308. 5. Ларин В.Б. Задачи управления колесными транспортными роботами // Прикл. механика. — 2009. — 45, № 4. — С. 20–51. 6. Conudas de Wit C., Sordalen O.J. Exponential stabilization of mobile robots with nonholonomic Constraints // IEEE Trans. Automat. Control. — 1992. — 37, N 11. — P. 1791–1797. 7. Do K.D., Jiang Z.P., Pan J. Simultaneous tracking and stabilization of mobile robots : An adap- tive approach // Ibid. — 2004. — 49, N 7. — P. 1147–1152. 8. Ларин В.Б. О стабилизации движения систем с неголономными связями // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 1–2. — С. 218–230. 9. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. Оптимизация, оцен- ки и управление. — М. : Мир, 1972. — 544 с. 10. Aliev F.A., Larin V.B. Optimization of linear control systems (analytical methods and computa- tional algorithms) stability and control theory, methods and application. — Amsterdam : Gordon and Breach, 1998. — 272 p. 11. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. — М. : Мир, 1977. — 652 с. 12. Ларин В.Б. Об устойчивости систем с неопределенностью, содержащих запаздывание // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 1. — С. 5–15. 13. Larin V.B. On stabilization of systems with delay // Int. Appl. Mech. — 2008. — 44, N 10. — P. 1148–1160. Получено 19.03.2009
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210380
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2025-12-17T12:03:23Z
publishDate	2009
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Ларин, В.Б. 2025-12-06T15:38:50Z 2009 Стабилизация движения колесного транспортного робота без рулевого колеса / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 4. — С. 149-156. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210380 621.865.5:007.52 10.1615/JAutomatInfScien.v41.i7.50 Розглянуто модель колісного транспортного робота без рульового колеса з урахуванням динамічних ефектів. Запропоновано нелінійний алгоритм стабілізації руху такої моделі. Цей алгоритм узагальнено на випадок відстежування роботом заданої програмної траєкторії. Ефективність запропонованих алгоритмів проілюстровано прикладами. By taking into account the dynamic effects, the model of the wheeled transport robot without a steering wheel is considered. The nonlinear algorithm of stabilization of movement of such model is offered. This algorithm is generalized for the case of tracking the program trajectory by the robot. Efficiency of the suggested algorithms is illustrated by the examples ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Роботы и системы искусственного интеллекта Стабилизация движения колесного транспортного робота без рулевого колеса Стабілізація руху колісного транспортного робота без рульового колеса Stabilizing of motion of the wheeled transport robot without a steering wheel Article published earlier
spellingShingle	Стабилизация движения колесного транспортного робота без рулевого колеса Ларин, В.Б. Роботы и системы искусственного интеллекта
title	Стабилизация движения колесного транспортного робота без рулевого колеса
title_alt	Стабілізація руху колісного транспортного робота без рульового колеса Stabilizing of motion of the wheeled transport robot without a steering wheel
title_full	Стабилизация движения колесного транспортного робота без рулевого колеса
title_fullStr	Стабилизация движения колесного транспортного робота без рулевого колеса
title_full_unstemmed	Стабилизация движения колесного транспортного робота без рулевого колеса
title_short	Стабилизация движения колесного транспортного робота без рулевого колеса
title_sort	стабилизация движения колесного транспортного робота без рулевого колеса
topic	Роботы и системы искусственного интеллекта
topic_facet	Роботы и системы искусственного интеллекта
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210380
work_keys_str_mv	AT larinvb stabilizaciâdviženiâkolesnogotransportnogorobotabezrulevogokolesa AT larinvb stabílízacíâruhukolísnogotransportnogorobotabezrulʹovogokolesa AT larinvb stabilizingofmotionofthewheeledtransportrobotwithoutasteeringwheel

Стабилизация движения колесного транспортного робота без рулевого колеса

Institution

Similar Items