Итеративная идентификация многосвязных дискретных систем

Розглянуто проблему ітеративної ідентифікації багатозв’язних дискретних систем. Показано, що при їх ідентифікації найскладнішою є задача визначення матриць керування та спостереження за наближено оціненими коефіцієнтами модального розкладу відгуку. Запропоновано та обґрунтовано спеціальні алгоритми...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Проблемы управления и информатики
Дата:	2009
Автор:	Жуков, А.О.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2009
Теми:	Методы идентификации и адаптивного управления
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210613
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Итеративная идентификация многосвязных дискретных систем / А.О. Жуков // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 5. — С. 53-64. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860095124153827328
author	Жуков, А.О.
author_facet	Жуков, А.О.
citation_txt	Итеративная идентификация многосвязных дискретных систем / А.О. Жуков // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 5. — С. 53-64. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто проблему ітеративної ідентифікації багатозв’язних дискретних систем. Показано, що при їх ідентифікації найскладнішою є задача визначення матриць керування та спостереження за наближено оціненими коефіцієнтами модального розкладу відгуку. Запропоновано та обґрунтовано спеціальні алгоритми розв’язання цієї задачі, що базуються на ідеях усереднення та логарифмування. Встановлено факт існування фундаментального взаємозв’язку між модальними коефіцієнтами та отримано співвідношення, що виражають такий зв’язок. Показано, що наявність багатоканальності системи підвищує інформативність даних та поліпшує якість отриманої моделі. The problem of iterative identification of the multi input–multi output discrete systems is considered. It is shown that in identification of such systems the most difficulty is the task of defining of controllability and observability matrices by use of the approximately estimated response modal expansion coefficients. The special algorithms of this task decision, based on averaging and logarithming ideas, are offered and proved. The fact of the existence of fundamental intercommunication between modal coefficients is established and correlations that express this connection are got. It is shown that the presence of the multichannel system increases the information content of the used data and improves the model quality.
first_indexed	2025-12-17T12:04:21Z
format	Article
fulltext	© А.О. ЖУКОВ, 2009 Проблемы управления и информатики, 2009, № 5 53 УДК 519.71 А.О. Жуков ИТЕРАТИВНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ Введение В работе [1] была поставлена задача идентификации многомерных линейных систем в условиях ограниченной неопределенности. Для ее решения применялся оригинальный подход, ориентированный на регуляризацию с помощью итератив- ной (рекурсивной) процедуры, идейные основы которой для систем с дискретным временем подробно изложены в [2]. Методология рекурсивной идентификации продемонстрировала свою эффек- тивность при построении моделей одноканальных дискретных систем как экспо- ненциального, так и осциллирующего типа [3]. Были исследованы условия иден- тифицируемости [4]. Однако до сих пор оставался открытым вопрос о примени- мости метода к общему случаю многосвязных (многоканальных) систем, имеющих несколько входов и выходов. Как показано в данной работе, основная трудность применения метода итеративной идентификации к многосвязным си- стемам связана с переопределенностью задачи оценивания матриц управления и наблюдения по коэффициентам модального разложения отклика, что обусловило необходимость создания специальных алгоритмов. Разработке этих алгоритмов и посвящена данная публикация, обобщающая итеративный подход на случай идентификации многосвязных линейных дискретных систем. 1. Описание модели Пусть динамика исследуемой устойчивой системы описывается моделью в дискретном времени:       , ,1 kkkk kkkk DuCxy BuAxx (1) где kx — n-мерный вектор внутренних переменных, определяющих текущее со- стояние системы, ku — r-мерный вектор управляющих воздействий, ky — m-мерный вектор реакции системы, A — квадратная матрица размерности ,nn B — матрица размерности ,rn C — матрица размерности ,nm D — матрица размерности ,rm k — n-мерный вектор, характеризующий неконтролируемые воздействия внешней среды, а также немоделируемую динамику системы, k — m-мерный вектор шумов в каналах измерения отклика системы. Неконтролируемые возмущения  и  предполагаются ограниченными по норме   пространства векторных последовательностей l (при этом для произвольного ,),,( 20  lzzz  n k Cz  :)sup 0 k k zz      и .   Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных исследо- ваний Украины и Российского фонда фундаментальных исследований в рамках совместного проекта Ф28.1/021 «Методы оценивания состояния, анализа достижимости и диссипативности динамических систем и синтез управления нелинейными объектами в условиях неопределенности». 54 ISSN 0572-2691 Модель (1) рассматриваемой системы определяет следующее разностное со- отношение вход-выход: , 1 0 1 0 kks k s skk k wDuBuCAxCAy     (2) в котором 0x — начальное состояние системы, а s sk k s kk ACw      1 1 0 — век- тор результирующего шума, приведенного к выходу системы. Уравнение (2) инвариантно относительно замены базиса в пространстве со- стояний (реализации системы), однако переходная матрица kA имеет наиболее простое аналитическое выражение лишь для канонической жордановой формы матрицы A, которая, с учетом эволюционирующего (экспоненциального) и осцил- лирующего (колебательного) характера движения моделируемой системы, примет вид . 0 0          C R A A A В данном представлении блок RA соответствует действительным собственным значениям i ),,1( Rni  характеризующим эволюционирующую часть системы, в то время как блок CA представляет пары комплексно-сопряженных собствен- ных чисел ji je   ),,1( Cnj  определяющие осциллирующую часть динамики. При этом полный порядок системы оказывается равным .CR nnn  Для систем с простыми собственными значениями матрицы A указанные блоки примут сле- дующий вид: , 0 01              Rn RA  . 0 0 1 1 1 1                            Cn C Cn C i n i n i i C e e e e A  Данное блочное разбиение матрицы A определяет соответствующее пред- ставление матриц B и C:          C R B B B ),( CR CCC  где            R n R R R B B B  1 )( 1 iri R i bbB  ),,1( Rni  , 1            C n C C C B B B             ImReIm 1 Re 1 ImReIm 1 Re 1 jrjrjj jrjrjjC j ibbibb ibbibb B   ),,1( Cnj  ),( 1 R n RR R CCC             mi i R i c c C  1 ),,1( Rni  Проблемы управления и информатики, 2009, № 5 55 )( 1 C n CC C CCC               ImReImRe Im 1 Re 1 Im 1 Re 1 mjmjmjmj jjjj C j iccicc iccicc C  ).,1( Cnj  Наконец, матрица обхода системы имеет вид . 1 111            mrm r dd dd D    Аналогичную структуру модели можно получить и для систем с кратными собственными значениями. 2. Генерация исходных данных Будем поочередно возбуждать каждый p-й вход системы , p ku полагая остальные входы равными нулю, и измерять соответствующий отклик каждого q- го выхода . , pq k y Как и при идентификации одноканальных систем, в качестве возбуждающего сигнала, подаваемого на p-й вход системы, будет использоваться периодический прямоугольный импульс амплитуды u и ширины N :         ,,0 ,, 12 2 l lp k Ik Iku u причем ),)1(()( NlklNIk l  где ....,3,2,1,0l Тогда для каждого вход- выходного канала системы можно получить следующее модальное разложение реакции системы: , 1 ,, 1 ,,, q k n j jpq k n i ipq k pq k wyyy CR    ),,1;,1( mqrp  (3) где ipq k y ,, и jpq k y ,, — отклики i-й действительной моды и j-й пары комплексно- сопряженных мод, сигналы которых имеют следующее аналитическое представ- ление: , ,,, k i pq i ipq k gy  (4) ).sincos( ,,,,,, j spq jj cpq j k j jpq k kgkgy  (5) Шумовую составляющую q kw отклика (3), в свою очередь, запишем в виде ,))1sin()1cos((2 1 1 0 1 1 1 0 )(1             CR n j k s jjjj sk j n i k s i s sk iqi q k q k skskcw где )(Im)(Re ImRe j sqj j sqjj cc  и .ReIm )(Im)(Re j sqj j sqjj cc  Связь коэффициентов , , pq ig cpq jg ,, и spq jg ,, с матрицами B и C определя- ется соотношениями: ,)( ,, pq ii pq i zfug   (6) ; , ipqi pq i bcz  (7) 56 ISSN 0572-2691         );(2 ),(2 Im,,ReRe,,Im,, Im,,ImRe,,Re,, pq jj pq jj spq j pq jj pq jj cpq j zfzfug zfzfug (8)        . , ReImImReIm,, ImImReReRe,, jpqjjpqj pq j jpqjjpqj pq j bcbcz bcbcz (9) Аналитические выражения коэффициентов ,if Re jf и Im jf в формулах (6), (8) имеют вид ).(Imи)(Re ,),1)(1()1()1( ,),1()1()1( )( ImRe 12 )1()1(1111 2 )12(1111 jj i jj i jj l Nl i Nl i N iii l Nl i N iii i effeff Ik Ik f             (10) Полученные выражения (3)–(8) позволяют на основе измеренной в экспери- менте реакции системы реализовать процедуру итеративной идентификации, которую для многосвязных (многоканальных) систем предлагается распаралле- лить и проводить независимо по каждому вход-выходному каналу системы по ал- горитму, рассмотренному в [3]. После восстановления спектра каждой субмодели и определения по методу наименьших квадратов соответствующих модальных коэффициентов разложения , , pq ig cpq jg ,, и spq jg ,, для каждого вход-выходного канала из формул (6), (8) вычисляются значения коэффициентов , , pq iz Re,, pq jz и . Im,, pq jz Далее необходимо оценить матрицы B и C согласно предложенной ниже методике. 3. Алгоритмы оценивания матриц B и C по коэффициентам разложения Задача восстановления матриц B и C по известным коэффициентам , , pq iz Re,, pq jz и Im,, pq jz имеет однозначное решение лишь для систем с одним входом и несколькими выходами или систем с несколькими входами и одним выходом, частным случаем которых являются тщательно рассмотренные в [3] одноканаль- ные системы с одним входом и одним выходом. Действительно, в случае систем с одним входом и несколькими выходами для всех Rni ,1 и Cnj ,1 удобно положить ,1ˆ 1 ib 1ˆRe 1 jb и .0ˆIm 1 jb В ре- зультате восстанавливается модель в канонической управляемой форме, а иско- мые элементы матрицы C окажутся равными соответствующим коэффициентам разложения: ,ˆˆ 1,q iqi zc  Re,1,Re ˆˆ q jqj zc  и .ˆˆ Im,1,Im q jqj zc  Аналогично для систем с несколькими входами и одним выходом модель удобнее восстанавливать в канони- ческой наблюдаемой форме, положив с этой целью для всех мод ,11̂ ic 1ˆRe 1 jc и ,0ˆIm 1 jc после чего получить ,ˆˆ ,1 p iip zb  Re,,1Re ˆˆ p jjp zb  и .ˆˆ Im,,1Im p jjp zb  В случае же многосвязных систем, имеющих много входов и выходов, задача определения матриц B и С по приближенно оцененным коэффициентам , , pq iz Re,, pq jz и Im,, pq jz становится переопределенной, поскольку для каждой кон- Проблемы управления и информатики, 2009, № 5 57 кретной моды число уравнений, равное ,)(dim)(dim mryu  при 1r и 1m оказывается бóльшим общего числа неизвестных .dimdim mryu  Поэтому для определения искомых матриц необходимо применять специальные процедуры усреднения, для разработки которых полезно поставленную задачу интерпретиро- вать следующим образом. С формальной точки зрения выражения (7), (9) позволяют поставить в соот- ветствие каждому i-му действительному собственному числу i ),1( Rni  и каждой j-й паре комплексно-сопряженных собственных чисел ji je   ),1( Cnj  матрицы A свою таблицу умножения, в которой приближенно известны результа- ты покомпонентных произведений блоков R iC и R iB (рис. 1) для действительных мод или C jC и C jB (рис. 2) для комплексно-сопряженных. Поэтому задача вос- становления указанных блоков матриц B и C может интерпретироваться как зада- ча отыскания усредненных значений неизвестных сомножителей, которые при перемножении дают результат, приведенный на рис. 1.  iripi bbb 1 mi qi i c c c   1 rm i pm i m i rq i pq i q i r i p ii zzz zzz zzz ,,1, ,,1, ,1,11,1      Рис. 1  ImReImReIm 1 Re 1 jrjrjpjpjj ibbibbibb   ImRe ImRe Im 1 Re 1 mjmj qjqj jj icc icc icc      Im,,Re,,Im,,Re,,Im,1,Re,1, Im,,Re,,Im,,Re,,Im,1,Re,1, Im,,1Re,,1Im,,1Re,,1Im,1,1Re,1,1 rm j rm j pm j pm j m j m j rq j rq j pq j pq j q j q j r j r j p j p jjj izzizzizz izzizzizz izzizzizz         Рис. 2 Приведенная арифметическая интерпретация поставленной задачи позволяет предложить следующие алгоритмы определения матриц В и C. Первый алгоритм ориентирован на восстановление модели в форме кано- нической наблюдаемой жордановой реализации, и для каждой i-й действительной моды ),1( Rni  и каждой j-й пары комплексно-сопряженных мод ),1( Cnj  предполагает последовательное выполнение следующих шагов. Шаг 1. Зафиксируем произвольный q * -й выход системы и положим для него ,1ˆ *  iq c 1ˆRe *  jq c и .0ˆ Im *  jq c Шаг 2. Для каждого rp ,1 получим ,ˆˆ ,* pq iip zb  Re,,Re * ˆˆ pq jjp zb  и .ˆˆ Im,,Im * pq jjp zb  58 ISSN 0572-2691 Шаг 3. Для всех выходов ,,1 mq  кроме q * -го, вычисляем оценки коэффи- циентов ,ˆqic Reˆqjc и ,ˆIm qjc соответствующие каждому p-му входу системы , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,, * pq i pq i ip pq i qi z z b z c  jp pq jjp pq jjp qj zbzb c    ˆ ˆˆˆˆ ˆ Im,,ImRe,,Re Re и , ˆ ˆˆˆˆ ˆ Re,,ImIm,,Re Im jp pq jjp pq jjp qj zbzb c    где .)ˆ()ˆ()ˆ()ˆ(ˆ 2Im,,2Re,,2Im2Re pq j pq jjpjpjp zzbb   Шаг 4. С помощью метода наименьших квадратов усредним по всем входам полученные на предыдущем шаге оценки коэффициентов ,ˆqic Reˆqjc и Imˆqjc :),,1( qqmq  , ˆ ˆ1 ˆ 1 ,    r p ip pq i qi b z r c      r p jp pq jjp pq jjp qj zbzb r c 1 Im,,ImRe,,Re Re ˆ ˆˆˆˆ 1 ˆ и . ˆ ˆˆˆˆ 1 ˆ 1 Re,,ImIm,,Re Im      r p jp pq jjp pq jjp qj zbzb r c Второй алгоритм аналогичен первому, но, в отличие от него, осуществляет восстановление модели в форме канонической управляемой жордановой реализа- ции и состоит в последовательном выполнении для каждой i-й действительной моды ),1( Rni  и каждой j -й пары комплексно-сопряженных мод ),1( Cnj  следующих действий. Шаг 1. Зафиксируем произвольный p -й вход системы и положим для него ,1ˆ * ipb 1ˆRe * jp b и .0ˆIm *  jp b Шаг 2. Для каждого mq ,1 получим ,ˆˆ , pq iqi zc  Re,,Re ˆˆ pq jqj zc  и .ˆˆ Im,,Im pq jqj zc  Шаг 3. Для всех входов ,,1 rp  кроме p -го, вычисляем оценки коэффициен- тов ,ˆ ipb Reˆ jpb и ,ˆIm jpb соответствующие каждому q-му выходу системы: , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,, pq i pq i qi pq i ip z z c z b  qj pq jqj pq jqj jp zczc b    ˆ ˆˆˆˆ ˆ Im,,ImRe,,Re Re и , ˆ ˆˆˆˆ ˆ Re,,ImIm,,Re Im qj pq jqj pq jqj jp zczc b    где .)ˆ()ˆ()ˆ()ˆ(ˆ 2Im,,2Re,,2Im2Re   pq j pq jqjqjqj zzcc Проблемы управления и информатики, 2009, № 5 59 Шаг 4. С помощью метода наименьших квадратов усредняем по всем выхо- дам полученные на предыдущем шаге оценки коэффициентов ,ˆ ipb Reˆ jpb и Imˆ jpb :),2( rp  , ˆ ˆ1ˆ 1 ,    m q qi pq i ip c z m b qj pq jqj pq jqj m q jp zczc m b      ˆ ˆˆˆˆ1ˆ Im,,ImRe,,Re 1 Re и . ˆ ˆˆˆˆ1ˆ Re,,ImIm,,Re 1 Im qj pq jqj pq jqjm q jp zczc m b      Относительно предложенных выше алгоритмов справедливо следующее за- мечание. В тех случаях, когда имеющийся уровень шума мал и значения коэффи- циентов разложения , , pq ig cpq jg ,, и spq jg ,, удается определить точно, усредне- ние, выполняемое в приведенных выше алгоритмах, излишне, поскольку в рас- сматриваемом случае значения коэффициентов, вычисляемых на третьем шаге, не зависят от номера входа (для первого алгоритма) или номера выхода (для второго алгоритма) соответственно. Наряду с рассмотренными выше алгоритмами для решения поставленной за- дачи может применяться также оптимизационный подход, непосредственно реа- лизующий метод наименьших квадратов. Согласно данному подходу для каждой моды соответствующие ей искомые вектор-столбец матрицы C и вектор-строка матрицы B должны минимизировать приведенный ниже функционал:  для i-й действительной моды :),1( Rni  min;)(),( 2, 11    ipqi pq i m q r p R i R i R i bczBCJ  для j-й пары комплексно-сопряженных мод :),1( Cnj     2ImImReReRe,, 11 )((),( jpqjjpqj pq j m q r p C j C j C j bcbczBCJ .min))( 2ReImImReIm,,  jpqjjpqj pq j bcbcz Наконец, для субмоделей, содержащих моды лишь с действительными соб- ственными значениями, задачу определения неизвестных матриц C и B предлага- ется сводить к задаче решения системы линейных алгебраических уравнений сле- дующим образом. Логарифмируя абсолютные значения правой и левой частей ра- венства (7), для каждой моды при фиксированном входе и выходе получим уравнение .lnlnln , ipqi pq i bcz  С учетом того, что это соотношение справедливо при любых rp ,1 и ,,1 mq  получим систему из rm линейных алгебраических уравнений с rm 60 ISSN 0572-2691 неизвестными следующего вида: .wV  Матрица данной системы допускает блочное представление: , 1                     r rmmm p rmmm rmmm HI HI HI V   где матрица mmI  — единичная матрица, в то время как матрица p rmH  ),1( rp  состоит из нулей, за исключением p-го столбца, состоящего из единиц. Вектор неизвестных запишем в виде ,            iB iC где            mi i iC c c ln ln 1  и . ln ln 1            ir i iB b b  Транспонированная правая часть системы имеет вид ),( TTT 1 T rp wwww  где .)lnln( ,,1T pm i p ip zzw  Решение приведенной выше системы линейных уравнений позволяет опреде- лить лишь абсолютные значения искомых элементов матриц С и B, знаки которых нетрудно установить в соответствии со знаками коэффициентов . , pq iz 4. Взаимосвязь между коэффициентами модального разложения отклика При отыскании матриц C и B по известным коэффициентам , , pq ig cpq jg ,, и , ,, spq jg а также при нахождении самих коэффициентов разложения, наряду с предложенными выше алгоритмами, большую помощь может оказать следующее обстоятельство. В силу единственности разложения реакции системы по соб- ственным базисным функциям при фиксированном входе и выходе коэффициен- ты разложения, соответствующие каждой моде, являются инвариантами по отно- шению к реализации системы в пространстве состояний. Указанную инвариант- ность следует понимать в том смысле, что значения коэффициентов , , pq ig , ,, cpq jg spq jg ,, (а значит, , , pq iz Re,, pq jz и ) Im,, pq jz не зависят от выбора кон- кретных матриц С, B и для канонической жордановой реализации определяются лишь произведением соответствующих элементов этих матриц. С другой сторо- ны, при решении задачи оценивания матриц C и B по известным коэффициентам , , pq iz , Re,, pq jz и Im,, pq jz число уравнений оказывается большим числа неиз- вестных, т.е. имеет место переопределенность задачи. Поэтому коэффициенты разложения не могут быть произвольными, между ними должна существовать взаимосвязь, выражаемая определенными соотношениями. Проблемы управления и информатики, 2009, № 5 61 Получить требуемые соотношения можно, если учесть, что задание матриц C и B однозначно определяет коэффициенты , , pq iz Re,, pq jz и Im,, pq jz из рис. 1 и 2. Для i-й действительной моды справедливы следующие соотношения:  при фиксированном mq ,1 для произвольного mq ,1 )(  qq ; , , , , 1, 1, rq i rq i pq i pq i q i q i qi z z z z z z c    при фиксированном rp ,1 для произвольного rp ,1 )(  qq . * , , , , ,1 ,1 pm i pm i pq i pq i p i p i ip z z z z z z b   Для j-й пары комплексно-сопряженных мод справедливы такие соотношения:  при фиксированном mq ,1 для произвольного mq ,1 )(  qq ; )ˆ()ˆ()ˆ()ˆ( 2Im,,2Re,, Im,,Im,,Re,,Re,, 2Im,1,2Re,1, Im,1,Im,1,Re,1,Re,1, Re rq j rq j rq j rq j rq j rq j q j q j q j q j q j q j qj zz zzzz zz zzzz c        ; )ˆ()ˆ()ˆ()ˆ( 2Im,,2Re,, Im,,Re,,Re,,Im,, 2Im,1,2Re,1, Im,1,Re,1,Re,1,Im,1, Im rq j rq j rq j rq j rq j rq j q j q j q j q j q j q j qj zz zzzz zz zzzz c         при фиксированном rp ,1 для произвольного rp ,1 )(  qq , )()()()( 2Im,,2Re,, Im,,Im,,Re,,Re,, 2Im,,12Re,,1 Im,,1Im,,1Re,,1Re,,1 Re pm j pm j pm j pm j pm j pm j p j p j p j p j p j p j jp zz zzzz zz zzzz b        . )()()()( 2Im,,2Re,, Im,,Re,,Re,,Im,, 2Im,,12Re,,1 Im,,1Re,,1Re,,1Im,,1 Im pm j pm j pm j pm j pm j pm j p j p j p j p j p j p j jp zz zzzz zz zzzz b        Полученные соотношения аналитически точные лишь тогда, когда коэффи- циенты , , pq iz Re,, pq jz и Im,, pq jz заданы точно. В противном случае они выпол- няются приближенно. Поэтому абсолютная или относительная погрешность их выполнения позволяет, с одной стороны, судить о качестве определения коэффи- циентов разложения , , pq ig cpq jg ,, и , ,, spq jg стоящих при соответствующих мо- дах, а с другой стороны, может выступать критерием согласованности усреднен- ных оценок матриц C и B, вычисляемых по приближенно известным значениям коэффициентов , , pq iz Re,, pq jz и Im,, pq jz с помощью предложенных выше алго- ритмов. Наконец, полученные соотношения служат отличным инструментом кор- ректировки значений модальных коэффициентов для отдельных каналов системы. 5. Результаты компьютерного моделирования Для проведения вычислительного эксперимента рассмотрим дискретную си- стему с двумя входами и тремя выходами, имеющую две действительные моды и 62 ISSN 0572-2691 одну пару комплексно-сопряженных мод, характеризующуюся следующими мат- рицами A, B и C: ; 75,0000 075,000 0082,00 00094,0 6 6                     i i e e A ; 3453 3453 82 35                ii ii B . 1158 272723 1111           ii iiC В ходе эксперимента в условиях ограниченной неопределенности задавалась величина , равная отношению нормы результирующего шума  w к норме де- терминированной части реакции системы .det  y Амплитуда входного воздей- ствия u и величины ,  выбирались таким образом, чтобы обеспечить выпол- нение заданного значения отношения . Приведенные ниже результаты получе- ны для случая .02,0 Для корректного сравнения модели с реальной системой исходные данные представлены в канонической наблюдаемой реализации. Результаты идентифика- ции по каждому отдельно взятому вход-выходному каналу приведены в табл. 1. Каждая ячейка данной таблицы соответствует некоторому вход-выходному кана- лу исследуемой системы и содержит сведения об оценках собственных чисел и соответствующих им истинных и оцененных значениях коэффициентов , , pq iz Re,, pq jz и . Im,, pq jz Таблица 1 Выходы системы Входы системы 1p 2p 1q 51,0ˆ 76,0ˆ 75,0ˆ 88,0ˆ 1 1 2 1     96,4ˆ 87,2ˆ 65,1ˆ 78,4ˆ Im,1,1 1 Re,1,1 1 1,1 2 1,1 1     z z z z 49,0ˆ 75,0ˆ 79,0ˆ 90,0ˆ 1 1 2 1     11,3ˆ 20,4ˆ 62,7ˆ 35,3ˆ Im,2,1 1 Re,2,1 1 2,1 2 2,1 1     z z z z 2q 52,0ˆ 77,0ˆ 87,0ˆ 91,0ˆ 1 1 2 1     21,41ˆ 78,10ˆ 04,4ˆ 21,15ˆ Im,1,2 1 Re,1,2 1 1,2 2 1,2 1     z z z z 54,0ˆ 75,0ˆ 83,0ˆ 93,0ˆ 1 1 2 1     30,29ˆ 65,21ˆ 78,15ˆ 73,8ˆ Im,2,2 1 Re,2,2 1 2,2 2 2,2 1     z z z z 3q 051ˆ 74,0ˆ 84,0ˆ 94,0ˆ 1 1 2 1     37,8ˆ 43,2ˆ 88,9ˆ 98,39ˆ Im,1,3 1 Re,1,3 1 1,3 2 1,3 1     z z z z 048ˆ 73,0ˆ 82,0ˆ 92,0ˆ 1 1 2 1     21,6ˆ 34,0ˆ 01,40ˆ 05,24ˆ Im,2,3 1 Re,2,3 1 2,3 2 2,3 1     z z z z Применяя предложенные алгоритмы оценивания матриц С и B по Проблемы управления и информатики, 2009, № 5 63 приближенно известным коэффициентам модального разложения, определяем усредненные значения элементов столбцов матрицы C и строк матрицы B, соот- ветствующих усредненным значениям найденных выше собственных значений. Результаты оценивания для жордановой наблюдаемой реализации приведены в табл. 2. Таблица 2 Усредненные оценки параметров Эволюционирующие моды Осциллирующие моды 93,0ˆ 1  81,0ˆ 2  75,0ˆ1  75,01ˆ  1ˆ11 c 11̂2 c 1ˆRe 11 c 0ˆIm 11 c 98,2ˆ21 c 45,2ˆ22 c 02,7ˆRe 21 c 03,2ˆIm 21 c 03,8ˆ31 c 32,4ˆ32 c 99,0ˆRe 31 c 01,1ˆIm 31 c 87,4ˆ 11 b 76,1ˆ 21 b 76,2ˆRe 11 b 95,4ˆIm 11 b 23,3ˆ 12 b 44,7ˆ 22 b 04,4ˆRe 12 b 05,3ˆIm 12 b Вычислительный эксперимент показывает, что наличие многоканальности системы повышает информативность используемых данных и улучшает качество получаемой модели. Заключение В ходе проведенных исследований было показано, что задача оценивания матриц управления и наблюдения по приближенно определенным коэффициентам модального разложения для многосвязных систем является переопределенной. Установлена взаимосвязь между коэффициентами разложения реакции мно- госвязной системы по собственным базисным функциям, играющая важную роль при оценивании матриц управления и наблюдения. Предложена оригинальная интерпретация задачи оценивания матриц управ- ления и наблюдения по приближенно определенным коэффициентам модального разложения, позволившая разработать специальные алгоритмы решения данной задачи для многосвязных систем, основанные на идеях усреднения и логарифми- рования. Методом компьютерного моделирования проведен вычислительный экспе- римент, подтвердивший работоспособность предложенных алгоритмов при иден- тификации многосвязных линейных систем. Показано, что в отличие от одноканальных систем, наличие многоканально- сти повышает информативность используемых данных, что, в свою очередь, улучшает качество получаемой модели. О.О. Жуков ІТЕРАТИВНА ІДЕНТИФІКАЦІЯ БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ Розглянуто проблему ітеративної ідентифікації багатозв’язних дискретних сис- тем. Показано, що при їх ідентифікації найскладнішою є задача визначення ма- триць керування та спостереження за наближено оціненими коефіцієнтами 64 ISSN 0572-2691 модального розкладу відгуку. Запропоновано та обґрунтовано спеціальні алго- ритми розв’язання цієї задачі, що базуються на ідеях усереднення та логариф- мування. Встановлено факт існування фундаментального взаємозв’язку між модальними коефіцієнтами та отримано співвідношення, що виражають такий зв’язок. Показано, що наявність багатоканальності системи підвищує інформа- тивність даних та поліпшує якість отриманої моделі. A.O. Zhukov THE ITERATIVE IDENTIFICATION OF THE MULTI INPUT–MULTI OUTPUT DISCRETE SYSTEMS The problem of iterative identification of the multi input–multi output discrete sys- tems is considered. It is shown that in identification of such systems the most diffi- culty is the task of defining of controllability and observability matrices by use of the approximately estimated response modal expansion coefficients. The special algo- rithms of this task decision, based on averaging and logarithming ideas, are offered and proved. The fact of the existence of fundamental intercommunication between modal coefficients is established and correlations that express this connection are got. It is shown that the presence of the multichannel system increases the information content of the used data and improves the model quality. 1. Губарев В.Ф., Тигунов П.А. Об особенностях идентификации многомерных непрерывных систем по данным с ограниченной неопределенностью // Проблемы управления и инфор- матики. — 2006. — № 1–2. — С. 231–246. 2. Губарев В.Ф., Жуков А.О. Исследование метода итеративной идентификации многомер- ных дискретных систем // Там же. — 2008. — № 5. — С. 23–38. 3. Жуков А.О. Рекурсивная идентификация дискретных динамических систем с одним входом и выходом // Там же. — 2009. — № 3. — С. 73–86. 4. Губарев В.Ф., Жуков А.О. Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации дискретных стационарных систем // Системні дослідження та інформаційні технології. 2009. — № 1. — С. 100–115. Получено 16.06.09 После доработки 20.07.09
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210613
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2025-12-17T12:04:21Z
publishDate	2009
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Жуков, А.О. 2025-12-13T11:05:56Z 2009 Итеративная идентификация многосвязных дискретных систем / А.О. Жуков // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 5. — С. 53-64. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210613 519.71 10.1615/JAutomatInfScien.v41.i10.40 Розглянуто проблему ітеративної ідентифікації багатозв’язних дискретних систем. Показано, що при їх ідентифікації найскладнішою є задача визначення матриць керування та спостереження за наближено оціненими коефіцієнтами модального розкладу відгуку. Запропоновано та обґрунтовано спеціальні алгоритми розв’язання цієї задачі, що базуються на ідеях усереднення та логарифмування. Встановлено факт існування фундаментального взаємозв’язку між модальними коефіцієнтами та отримано співвідношення, що виражають такий зв’язок. Показано, що наявність багатоканальності системи підвищує інформативність даних та поліпшує якість отриманої моделі. The problem of iterative identification of the multi input–multi output discrete systems is considered. It is shown that in identification of such systems the most difficulty is the task of defining of controllability and observability matrices by use of the approximately estimated response modal expansion coefficients. The special algorithms of this task decision, based on averaging and logarithming ideas, are offered and proved. The fact of the existence of fundamental intercommunication between modal coefficients is established and correlations that express this connection are got. It is shown that the presence of the multichannel system increases the information content of the used data and improves the model quality. Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований Украины и Российского фонда фундаментальных исследований в рамках совместного проекта Ф28.1/021 «Методы оценивания состояния, анализа достижимости и диссипативности динамических систем и синтез управления нелинейными объектами в условиях неопределенности». ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы идентификации и адаптивного управления Итеративная идентификация многосвязных дискретных систем Ітеративна ідентифікація багатозв’язних дискретних систем The iterative identification of the multi input–multi output discrete systems Article published earlier
spellingShingle	Итеративная идентификация многосвязных дискретных систем Жуков, А.О. Методы идентификации и адаптивного управления
title	Итеративная идентификация многосвязных дискретных систем
title_alt	Ітеративна ідентифікація багатозв’язних дискретних систем The iterative identification of the multi input–multi output discrete systems
title_full	Итеративная идентификация многосвязных дискретных систем
title_fullStr	Итеративная идентификация многосвязных дискретных систем
title_full_unstemmed	Итеративная идентификация многосвязных дискретных систем
title_short	Итеративная идентификация многосвязных дискретных систем
title_sort	итеративная идентификация многосвязных дискретных систем
topic	Методы идентификации и адаптивного управления
topic_facet	Методы идентификации и адаптивного управления
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210613
work_keys_str_mv	AT žukovao iterativnaâidentifikaciâmnogosvâznyhdiskretnyhsistem AT žukovao íterativnaídentifíkacíâbagatozvâznihdiskretnihsistem AT žukovao theiterativeidentificationofthemultiinputmultioutputdiscretesystems

Итеративная идентификация многосвязных дискретных систем

Репозитарії

Схожі ресурси