Инвариантные множества нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями и задачи управления
Стаття складається з двох взаємозв’язаних частин. У першій частині наведено оцінки зверху інваріантних множин і їх радіусів сімейств нестаціонарних лінійних і деяких класів нелінійних дискретних систем, підданих впливу обмежених збурень, для яких задано їх апріорні множинні оцінки. У другій частині...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210622 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Инвариантные множества нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями и задачи управления / В.М. Кунцевич, Б.Т. Поляк // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 6. — С. 6-21. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859472181862334464 |
|---|---|
| author | Кунцевич, В.М. Поляк, Б.Т. |
| author_facet | Кунцевич, В.М. Поляк, Б.Т. |
| citation_txt | Инвариантные множества нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями и задачи управления / В.М. Кунцевич, Б.Т. Поляк // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 6. — С. 6-21. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Стаття складається з двох взаємозв’язаних частин. У першій частині наведено оцінки зверху інваріантних множин і їх радіусів сімейств нестаціонарних лінійних і деяких класів нелінійних дискретних систем, підданих впливу обмежених збурень, для яких задано їх апріорні множинні оцінки. У другій частині на основі отриманих оцінок зверху радіусів інваріантних множин розв’язано задачі синтезу керування, що мінімізує ці оцінки для замкнених систем зі зворотним зв’язком.
The paper consists of the two interdependent parts. In the first part, we calculate the upper-bound estimates of invariant sets and their radiuses for the class of nonstationary linear discrete systems and certain nonlinear discrete systems under
|
| first_indexed | 2025-12-17T12:03:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.М. КУНЦЕВИЧ, Б.Т. ПОЛЯК, 2009
6 ISSN 0572-2691
ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 621.391
В.М. Кунцевич, Б.Т. Поляк
ИНВАРИАНТНЫЕ МНОЖЕСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С ОГРАНИЧЕННЫМИ
ВОЗМУЩЕНИЯМИ И ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ
Введение
Важнейшей характеристикой динамических систем, подверженных ограни-
ченным возмущениям, и систем управления в частности, является инвариантное
множество (близкие понятия — достижимое множество, область притяжения, об-
ласть диссипативности). Для линейных непрерывных систем эта задача была
поставлена и решена Б.В. Булгаковым [1], обзор и продолжение его работ можно
найти в [2]. Эта же тематика ограниченных возмущений с разных точек зрения
рассматривалась в работах [3–14].
В связи с возросшим пониманием того фундаментального положения, что
при решении реальных задач управления для параметров объекта управления из-
вестны лишь их некоторые оценки, в последнее время возрос интерес к обобще-
ниям задачи Б.В. Булгакова на семейства управляемых динамических систем
линейных и нелинейных, непрерывных и дискретных, содержащих разного рода
неопределенности (см., например, [15–19]).
В указанных выше работах в основном изучались инвариантные множества
или их оценки сверху семейств линейных непрерывных систем. Ниже для некото-
рых классов нелинейных дискретных систем рассмотрены оценки сверху инвари-
антных множеств и их использование для решения задач синтеза управления. По-
скольку такая характеристика инвариантного множества системы как его ради-
ус — аналог дисперсии при стохастической природе возмущений — служит
мерой воздействия ограниченных возмущений на управляемую систему, то есте-
ственно использовать эту величину как критерий качества функционирования си-
стемы управления при выборе управления из условия максимального подавления
ограниченных возмущений.
В настоящей работе получены решения двух взаимосвязанных задач: опреде-
ление оценки сверху инвариантного множества (области диссипативности) семей-
ства нелинейных в общем случае нестационарных дискретных систем с ограни-
ченными возмущениями и задачи синтеза управления семейством нелинейных
объектов с ограниченными аддитивными возмущениями из условия минимизации
оценки сверху радиуса инвариантного множества.
Работа выполнена в рамках совместного российско-украинского проекта при финансовой под-
держке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 10-08-90436-УКР_а) и На-
циональной академии наук Украины (Постановление Президиума НАН Украины № 104 от
02.04.2008).
Проблемы управления и информатики, 2009, № 6 7
1. Оценки сверху инвариантных множеств (областей диссипативности)
Рассмотрим семейство нелинейных дискретных систем
,),(1 nnnn ZLXFX (1)
где m
nX R — вектор состояния, m
nZ R — возмущение, ограниченное во все
моменты времени
);;0[:
1
nzZZ
m
i
innn Z (2)
k
nL R — вектор в общем случае переменных во времени параметров, для кото-
рого задана его априорная оценка
LnL — ограниченное выпуклое множество );;0[ n (3)
),( nn LXF — нелинейная однозначная непрерывная функция, линейная по пара-
метрам, такая что .0),0( nLF Остальные ее свойства оговорены ниже.
Поскольку ограниченное инвариантное множество семейства нелинейных
систем (1)–(3) существует тогда и только тогда, когда семейство систем (1), (3),
неподверженное воздействию возмущений ,nZ робастно устойчиво в некоторой
области ,X то нам прежде всего понадобятся достаточные условия робастной
устойчивости «в области» таких систем [19–21]. Для этого, следуя Е.А. Барбаши-
ну [19], представим вектор-функцию ),( nn LXF в квазилинейной форме
,),,(),( nnnnn XSLXLXF (4)
элементы ,;1);,( miLXf inni вектор-функции )(F определим ниже.
В (4) ),,(T
iinni SLX — i-я строка функциональной матрицы ;),,( SLX nn
;;1 mi
m
jiji sS
1
— вектор подлежащих определению параметров. Функции
,;1);(T mii примем в виде
,)(),,(
1
T m
jijijinni sSLX
где .;1);,()( 1 miLXfx nnijnij (5)
Для исключения из рассмотрения таких функций ),,( nni LXf которые при
0X порождают неограниченные значения ,0/0),0( nj L потребуем, чтобы
значения
j
nni
x
LXf
),(
при 0X были ограниченными.
В [19, 20, 22] подробно изложен метод определения вектора параметров S из
условия получения наибольшей области робастной устойчивости. Поэтому ниже
будем считать, что вектор параметров S уже определен.
С учетом (4) перепишем (1) в виде
.),,(1 nnnnn ZXSLXX (6)
8 ISSN 0572-2691
Примем далее, что вектор-функция )(F и множество L таковы, что в за-
данной области
m
i
ixXX
1
const:X (7)
справедливо неравенство
,1),,(max
qSLX nn
L
X
n
n
L
X
(8)
являющееся [7] достаточным условием робастной устойчивости в области X се-
мейства нелинейных систем
,),,(1 nnnn XSLXX где .LnL (9)
Приняв норму матрицы )( в (8)
,),(),,(max
1
T
;1
innij
m
j
ijnni
mi
LXsSLX
неравенство (8) запишем в виде
.1),(max
1;1
qLXs
m
j
innijij
L
X
mi
n
n
L
X
(10)
Теперь, располагая достаточным условием робастной устойчивости «в обла-
сти» семейства систем (9), (3), перейдем к определению оценки сверху инвари-
антного множества семейства систем (6), (2), (3). Приведем очевидное утвержде-
ние.
Утверждение. Ограниченное инвариантное множество (область диссипатив-
ности)
X семейства систем (6), (2), (3) существует тогда и только тогда, когда
имеет место включение ,
XX
где
X — область робастной устойчивости, опре-
деляемая необходимым и достаточным условиями.
Отсутствие таких условий робастной устойчивости семейства нелинейных
систем (9), (13) вынуждает ограничиться в общем случае достаточно грубым при-
ближением условия
XX
в виде существования включения
,
XX
(11)
где X — область устойчивости, определяемая достаточным условием робастной
устойчивости (8) этого семейства систем.
Оценить степень близости областей
X и X в общем случае можно лишь пу-
тем компьютерного моделирования.
Для семейства систем (6), (2), (3) введем функцию Ляпунова
Везде ниже норму вектора принимаем, определенной выражением (7).
Проблемы управления и информатики, 2009, № 6 9
.nn Xv (12)
В силу (6) ее первая разность равна
.),,( nnnnnn XZXSLXv (13)
Оценку сверху
X области диссипативности (инвариантного множества)
X
семейства систем (6), (2), (3), т.е. оценку сверху той области, на которой первая
разность nv функции Ляпунова (12) обращается в ноль, найдем, приравняв пра-
вую часть равенства нулю
.0),,( nnnnn XZXSLX
Гарантированный результат получим, приняв во внимание неравенство (10) и
условие (2), в виде
.)1( 1 qX (14)
Из (14) имеем оценку сверху инвариантного множества
X (области диссипа-
тивности) семейства систем (6), (2), (3) в виде
.})1(:{ 1
qXXX (15)
Из (15) и (7) следует, что включение (11) существует только при выполнении
неравенства
,)1( 1 q (16)
поскольку при этом справедливы неравенства (8), (10).
Рассмотрим теперь несколько частных случаев семейства систем (1)–(3),
начав с простейшего, когда вместо (1) имеем
,)(1 nnn ZXnAX (17)
где для строк ,;1);(T minAi матрицы )(nA заданы априорные оценки
.;1);;0[)(T minnA ii A (18)
Здесь iA — выпуклые ограниченные множества, такие что
minqnAi
nA ii
;1;;01)(max
)(
A
. (19)
Из (19) следует, что
,);0[1)(max
)(
nqnA
nA A
где .21 AAAA (20)
Неравенство (20) — достаточное условие робастной устойчивости семейства
линейных нестационарных систем
nn XnAX )(1 (21)
с оценкой строк )(T nAi матрицы )(nA в виде системы (18).
Первая разность nv функции nv (12), вычисленной в силу уравнения (17),
равна
10 ISSN 0572-2691
.)( nnnn XZXnAv (22)
Из (22) следует, что
.)1)(( nnn ZXnAv (23)
Так же, как и выше, приравняв нулю правую часть этого неравенства и при-
няв во внимание неравенство (20), из (23) после элементарных преобразований
получим оценку сверху
X области диссипативности семейства линейных неста-
ционарных систем (17), (2) в виде (15). При выполнении неравенства (20) семей-
ство систем (25) робастно устойчиво в целом.
Заметим, что выбор функции nv (12), не содержащей каких-либо парамет-
ров, продиктован тем обстоятельством, что речь идет об исследовании инвари-
антного множества семейства нестационарных систем. Естественно, что при
определении оценки инвариантного множества фиксированной системы более
точная оценка получается при выборе функции Ляпунова в виде квадратичной
формы с матрицей, определяемой из решения модифицированного матричного
уравнения Ляпунова [16].
Рассмотрим теперь часто встречающийся в приложениях частный случай се-
мейства нелинейных нестационарных систем (1)
,)()()(1 nnnn ZnBXfXnAX (24)
где
)(
0
0
)(
T nA
nA
m
I
; ;
)(
0
0
)(
nb
nB
m
(25)
)( nXf — скалярная однозначная непрерывная функция, такая что ,0)0( f а
остальные ее свойства такие же, как у рассмотренных выше функций ).,( nni LXf
Пусть для m-й строки )(T nAm матрицы )(nA и элементов )(nbm заданы их
априорные оценки
),;0[)(T nnAm A где A — выпуклое множество, (26)
,);0[)( nnbm b b — ограниченный интервал. (27)
Представим функцию )( nXf в виде
,),()( T
nnn XSXXf (28)
где
.;)()(;
11
T
1
m
jj
m
jnjj
m
jjnn sSXsxX
Здесь S — вектор варьируемых коэффициентов, определенный, как упоми-
налось выше, по методу, описанному в [19, 20, 22].
Подставив (28) в (24), запишем эту систему в квазилинейной форме
,]),(),(,[1 nnnn ZXSnbnAXHX где ),()()(][ T SXnBnAH n . (29)
При этом матрица ][H — матрица Фробениуса, m-я строка которой )(T mH
имеет вид
Проблемы управления и информатики, 2009, № 6 11
.),()()(]),(),(,[ TTT SXnbnASnbnAXH nmmnm
Примем, что
miXfxX ii ;1);()( 1 , (30)
и ограничимся рассмотрением только таких функций ),(Xf для которых
)0(i — ограниченные величины, что имеет место, когда
ix
xf
)(
при 0X огра-
ниченные.
Отметим тот частный случай функции ),(Xf для которого представление ее
в квазилинейной форме не требует введения вектора неопределенных параметров и
его последующего определения. Начиная с работ М.А. Айзермана и Ф.Р. Гантмахера
по абсолютной устойчивости систем с нелинейной функцией вида )],([)( XfXf
где XCT)( , такой класс нелинейных стационарных непрерывных и дискретных
систем широко исследовался в работах В. Пóпова, Я.З. Цыпкина, В.А. Якубовича,
Р. Калмана, Е. Джури и многих других. Для такой нелинейности представление
)(Xf в квазилинейной форме осуществляется следующим образом. Пусть
.)]([)()]([ 1 XfXX Тогда )(f в квазилинейной форме имеет вид
),)](([)]([ T XCXXf что позволяет записать уравнение (24) в квазилинейной
форме ,)](),(,[
~
1 nnmnn ZXnbnAXHX где .)()]([)(][
~ TCnBXnAH n
В [7] показано, что неравенство
1)()()()((][
~
max
1
T
)(
)(
qXnbsnahH
m
i
imimimim
nb
nA
X
m
m
n
b
A
X
(31)
— достаточное условие робастной устойчивости в области X семейства систем
.]),(),(,[1 nmnn XSnbnAXHX (32)
Если при выполнении неравенства (31) 1][ H , то необходимо восполь-
зоваться другой (по сравнению с изложенной выше) схемой определения инва-
риантного множества (области диссипативности) рассматриваемого семейства си-
стем.
Предположим, что для этого семейства систем существует инвариантное
множество ,
X такое что XX
(далее определим условия, при которых
это включение имеет место). По описанию инвариантного множества, если
,
XnX то и
Xnnmmnn ZXSnbnAXHX ]),(),(,[1 при любых .ZnZ
Из этого следует, что для m-й строки ]),(),(,[T SnbnAXH mmnm матрицы
]),(),(,[ SnbnAXH mmn справедливо неравенство
.1]),(),(,[max T
)(
)(
qSnbnAXH mmnm
nb
nA
X
m
m
n
b
A
X
(33)
12 ISSN 0572-2691
Неравенства, аналогичные (33), имеет место и для всех ,kn где k1
,1 m из чего следует справедливость леммы, приведенной в работах [19, 20],
которую для удобства читателя приведем здесь.
Лемма. Норма матрицы
]),1(),1(,[][ 1 SmnbmnAXH mmmnmnH
,]),(),(,[]),1(),1(,[ 11 SnbnAXHXSnbnAXH mmnnmmn (34)
для которой m-е строки всех матриц в произведении (34) удовлетворяют неравен-
ствам, аналогичным неравенству (33), удовлетворяет условию
.1][max
)1(,),1(),(
)1(,),1(),(
,,, 11
qmn
mnbnbnb
mnAnAnA
XXX
mmm
mmm
mnnn
H
b
A
X
(35)
Далее, следуя работам [19, 20], из последовательности векторов ,, 1nn XX
,, mnX ,,, 122,1 mnmnmn XXX выделим подпоследовательность ,nX
,mnX ,, 32 mnmn XX .
В силу уравнения (32) связь между векторами mnX и nX имеет вид
111 ]),1(),1(,[ mnmnmmmnmn ZXSmnbmnAXHX
])),2(),2(,([ 122 mnmnmmmn ZZSmnbmnAXHH
.11 mnmn ZX (36)
Из принятого выше предположения о том, что ,
XknX где k1
,1 m следует справедливость неравенств, аналогичных (35), и как следствие
имеют место равенства
.1]),(),(,[max
)(
)(
SknbknAXH mmkn
knb
knA
X
m
m
kn
b
A
Из (36) получаем
1][ mnnmnmn ZXX H
22 ]),2(),2(,[ mnmmmn ZSmnbmnAXH
,]),1(),1([ 1 nmmn ZSnbnAXH (37)
где
.]),(),(,()),2(),2(,[
]),1(),1(,[][
2
1
SnbnAXHSmnbmnAXH
SmnbmnAXH
mmnmmmn
mmmnmn
H
Для системы (37), как и выше, введем функцию Ляпунова (12). Ее первая
расширенная разность ,mnv вычисленная в силу уравнения (37), равна
Проблемы управления и информатики, 2009, № 6 13
.][ 1 nmnnmnnmnmn XZXvvv H
Отсюда получаем, что
].]),1(),1(,[
]),2(),2(,[
]1][[
1
22
1
nmmn
mnmmmn
mnnmnmn
ZSnbnAXH
ZSmnbmnAXH
ZXv
H
Оценку сверху
X области диссипативности получим, приравняв правую
часть этого неравенства нулю. Но так как для величин )(nAm и )(nb заданы лишь
их оценки, то, воспользовавшись для гарантированного результата экстремаль-
ными значениями nZ и утверждением леммы, будем иметь
.0)1( mXq n
Отсюда оценку сверху
X инвариантного множества (области диссипативно-
сти) получаем в виде
.})1(:{ 1
qmXXX (38)
Теперь необходимо проверить справедливость принятого выше предположе-
ния о том, что ,XX
так как только при его выполнении справедливы равен-
ства, использованные при получении оценки (38). Включение XX
имеет место
при выполнении неравенства .)1( 1 qm
2. Синтез управления нелинейными нестационарными объектами
Теперь, располагая зависимостью оценки сверху радиуса инвариантного мно-
жества от параметров системы, рассмотрим задачу синтеза управления, миними-
зирующего эту величину.
Задано семейство нелинейных, в общем случае нестационарных объектов
,),,(1 nnnnn ZLUXFX (39)
где
k
nU R — вектор управления;
RnLmk ; — вектор в общем случае пе-
ременных во времени параметров, для которого задана его априорная оценка
,);0[ nLn L (40)
)(F — m-мерная нелинейная вектор-функция, линейная по параметрам, такая
что ,0),,0( nn LUF
m
nZ R — возмущение, для которого задана его априорная
оценка (2).
Примем, что вектор состояния nX измеряется полностью и без помех.
Целью управления будем считать определение такого управления
),( nn XUU которое наряду с обеспечением робастной устойчивости семейства
систем (39), (40) в области X минимизирует оценку сверху инвариантного мно-
14 ISSN 0572-2691
жества
X (если оно существует при заданных свойствах функции )(F и
оценках (2), (40)). Для того чтобы воспользоваться изложенным выше методом
определения оценки инвариантного множества семейства систем (39), (40), (2),
так же как и выше, введем функцию Ляпунова (12) и вычислим в силу (39) ее
первую разность
.),,( nnnnnn XZLUXFv
Управление nU найдем из решения задачи
,}),,({min nnnnnn
U
XZLUXFv
n
которая для получения гарантированного результата сводится к задаче
.),,(maxmin nnnn
X
L
XU
ZLUXF
n
n
nn
Z
L
X
(41)
В такой общей форме задача (41) не имеет конструктивного решения. Поэто-
му далее проанализируем несколько частных случаев системы (39), наиболее ча-
сто встречающихся в приложениях.
Рассмотрим семейство нелинейных динамических систем с линейной неста-
ционарной частью и скалярной нелинейной функцией
,)(1 nnnnnnnn ZCuBXXAX (42)
где )(x — скалярная однозначная функция, такая что )(;0)( nAx — матрица
Фробениуса; nu — скалярное управление; nB и m
nR R — векторы стандарт-
ной формы
.)1,0,,0();1,0,,0( TT nnnn cCbB (43)
Примем, что для m-й строки
T
,nmA матрицы ,nA величин nb и nC заданы их
априорные оценки
},{conv
;1
T
,
k
Kk
nm AA
A (44)
где kA — k-я вершина множества ,A K — число вершин
.}:{};:{ cccccbbbbb nn cb (45)
Без потери общности примем, что 0b и .0c Нелинейную скалярную
функцию ),(X как и выше, представим в квазилинейной форме (28), где вектор
параметров S считаем уже определенным.
Нелинейную функцию ),( nn Xuu как и выше, запишем в квазилинейной
форме
,)(T
nnn XXRu (46)
где нелинейная вектор-функция )(T
nXR подлежит определению.
Подставив (28) и (46) в (42), получим
,][
~
1 nnn ZXHX где ).(),(][
~ TT
nnnnn XRCSXBAH (47)
Проблемы управления и информатики, 2009, № 6 15
Поскольку ][
~ H — матрица Фробениуса, то уравнение (47) с точностью до
обозначений совпадает с уравнением (34). Для семейства систем (34), (2), (22)
выше уже была получена оценка сверху
X ее инвариантного множества в ви-
де (38). Из (38) следует, что наименьшее значение оценки сверху радиуса инвари-
антного множества
X достигается при минимальном значении величины ,q т.е.
при минимальном значении .][
~ T mH Следовательно, искомую вектор-функцию
)( nXR найдем из решения задачи
.)(),(][
~
min TTT
,
T
)(T
nnnnnmm
XR
XRcSXbAH
Так как для величин nnm bA ,T
, и nc заданы лишь их оценки, то эта задача не-
корректная. Поэтому доопределим ее и для получения гарантированного резуль-
тата вектор-функцию )( nXR найдем из решения задачи
.)(),(][
~
maxmin TTT
,
T
;
)(
T
,
T nnnnnmm
cb
A
XXR
XRcSXbAH
nn
nm
nn
cb
A
X
(48)
Представим множества bA, и c в центрированной форме
,;;; ccbbAAAA
cbAA mm (49)
где mA
— определенный в режиме «off-line» с помощью алгоритма [23] центр
сферы минимального радиуса, описанный вокруг :A
.)}(5,0:{)};(5,0:{);(5,0 ccccbbbbbbb cb
(50)
На основании (49), (50) выражение (48) перепишем в виде
.)()(),()()(maxmin TTT
,
)(
T
,
T
nnnnnmm
c
b
A
XXR
XRccSXbbAA
n
n
nm
nn
c
b
A
X
(51)
При cbA ;; решение этой задачи тривиально
.)],([
0
)( T
1
T SXbA
c
XR nmn
(52)
После подстановки (52) в (46) и далее в (47) получим числовую матрицу
],[
~
H так что необходимость проверки устойчивости системы nn XHX )(
~
1
отпадает.
Сложнее обстоит дело, когда .;; cbA
Задача (51) с точностью до обозначений совпадает с задачей, решенной
в [10]. Для удобства читателя приведем в обозначениях задачи (51) содержащую-
ся там теорему.
Теорема. Решение задачи (47) для множеств bA , и c с центрами в
начале координат имеет вид (52).
16 ISSN 0572-2691
Подставив (52) в (51), получим нелинейную систему с функциональной мат-
рицей Фробениуса
,][1 nn XHX
(53)
для которой ее m-я строка ][T mH
имеет вид
.)](),([][ TTT
,
1
0
T
nnnnnmm XRcSXbAcH
(54)
Достаточным условием робастной устойчивости семейства систем (53), (44),
(45) является выполнение неравенства, аналогично неравенству (31),
)),((),(][max TTTTT1
T
,
SXbAcSXbAHcq nmnnnmm
c
b
A
X
n
n
nm
n
c
b
A
X
.1 q (55)
Если множества bA , и c и вектор-функция ),(T SXn таковы, что не-
равенство (55) выполнено, то система (47) имеет инвариантное множество ,
X
определяемое выражением (14), если справедливо неравенство
.}1{ 1
q
Рассмотрим теперь более общий случай, когда управление nU — вектор.
Пусть задано семейство нелинейных в общем случае нестационарных объектов,
которое описано уравнением
,)(1 nnnnnnnn ZUCBXFXAX (56)
где nU — в общем случае p-мерный вектор управления ),( mp )(nA — матри-
ца ),( mm для i-х строк )(T nAi которой заданы их множественные оценки
},{conv)(
)(
;1)(
ik
i
Kik
ii AnA
i
A
где
)(ik
iA — )(ik -я вершина множества ,iA iK — число вершин;
m
nXF R)( —
нелинейная непрерывная однозначная функция, такая что 0)0( F и для элемен-
тов )( ni X которой имеются лишь их оценки
.;1,)()()( miXsXfXs iiiii (57)
Здесь )(Xi — заданные функции, такие что 0)0( i и со свойствами та-
кими же, как у функций ),(Xfi ii ss , — заданные числа.
Рассмотрим сначала тот случай, когда матрица )(nC — квадратная невы-
рожденная для всех ),0[ n , для i-х строк )(T nCi которой заданы ее множе-
ственные оценки
};{conv)(
)(
;1)(
T iq
i
Qiq
ii CnC
i
C ,;1 mi
где
)(iq
iC — )(iq -я вершина множества ,iC iQ — число вершин.
Проблемы управления и информатики, 2009, № 6 17
Введем, как и выше, функцию Ляпунова в (12) и в силу (56) найдем ее
первую разность
.)()()(1 nnnnnnn XUnCXFXnAvvv (58)
Примем, что
X0X и что при выбранном управлении nU система (56)
должна функционировать в области ,
X заданной в виде (7). Управление nU бу-
дем искать из решения задачи
,)()()(maxmin
)(
nnn
nC
A
XU
UnCXFXnA
n
nn
C
A
X
где .; 2121 mm CCCCAAAA
В силу наличия для функции )( nXF лишь ее оценки эта задача некорректная
и поэтому заменим ее задачей
nnn
S
nC
A
XU
UnCXSXnA
n
nn
)()()(maxmin
)(
S
C
A
X
, (59)
где
;)()(
1
m
inin XX
},{diag isS ;;1 mi
;21 msssS ;}:{ iiiiii sssss s .;1 mi
В соответствии с принятым выше определением нормы матрицы задача (59)
сводится к задаче
.)()()(maxmin TT
,)(
,)(
;1
T
niniini
s
nC
nA
X
miU
UnCXsXnA
ii
ii
ii
n
n
s
C
A
X
Представим множество ii CA , в центрированной форме
,iii A AA
где },{conv
)()(
;1)(
i
is
i
is
i
Sis
i AAA
i
A
,iii C CC
где },{conv
)()(
;1)(
i
iq
i
iq
i
Qiq
i CCC
i
C
,iii s ss
где };{conv),(5,0 21
2;1
iiiiii
i
iiii sssssssss
s
и перепишем эту задачу в виде
niiniiinii
s
nC
nA
X
miU
UnCCXssXnAA
ii
ii
ii
n
n
TT
)(
)(
;1
))(()()())((maxmin
s
C
A
X
, (60)
18 ISSN 0572-2691
На основании теоремы решения задачи (60) имеют вид
.;1)];([
T
miXsXAUC niinini
(61)
Введя обозначения
,)()(,)()(;
11
T
1
T m
inin
m
iiinini
m
ii XXXsXAXCC
запишем систему уравнений (61) так:
,)( nn XUC
(62)
откуда окончательно получим
.)()( 1
nn XCU
Далее, подставив найденные значения nU
в (56), необходимо проверить вы-
полнение неравенства
,0]),(),(),(,[max
,)(,)(,
SnCnAXXv nnn
SnCnAX n SCAX
(63)
где .; 211 m
m
iisS sssS
Если функция )(x строго монотонная, то ее максимум принадлежит вер-
шине множества X, а так как множества CA , и S — выпуклые многогранни-
ки, то отыскание максимума левой части неравенства (63) сводится к комбина-
торной задаче. В противном случае максимум левой части неравенства (63)
найдем с помощью стандартных программ оптимизации.
Рассмотрим теперь общий случай, когда )(nC — прямоугольная матрица.
Для определения искомого управления nU
из уравнения (62) воспользуемся
псевдообращением матрицы. Для этого обе части уравнения (62) умножим слева
на матрицу ,T
C а затем — на матрицу ,)( 1T
CC что окончательно даст
.)()( T1T
nn XCCCU
Заключение
Выше был изложен метод получения оценок сверху инвариантных множеств
для некоторого класса нелинейных, в общем случае нестационарных объектов,
подверженных воздействию ограниченных возмущений.
Для задачи синтеза робастного управления семейством нелинейных нестаци-
онарных объектов, подверженных воздействию ограниченных возмущений, из
условия минимизации радиуса инвариантного множества замкнутой системы
предложен конструктивный метод ее решения.
Мера неопределенности (радиусы множественных оценок) относительно
свойств объекта управления может быть настолько велика, что полученное выше
достаточное условие робастной устойчивости в области может не выполняться.
В этом случае необходимо изменить условия задачи, прежде всего уменьшив, ес-
ли это допустимо по условиям функционирования системы управления, величину
области
X , либо потребовать более точных оценок всех неопределенных вели-
чин, т.е. сузить заданный класс объектов управления. Если это в силу тех или
иных причин невозможно, то тогда необходимо перейти к использованию адап-
тивных алгоритмов управления, позволяющих (благодаря получению в процессе
Проблемы управления и информатики, 2009, № 6 19
управления уточняющихся оценок неопределенных параметров) сузить класс ста-
билизируемых объектов. Подробное рассмотрение последнего способа достиже-
ния поставленной цели управления выходит за рамки этой статьи.
Приложение
Проиллюстрируем описанный выше метод определения инвариантного мно-
жества системы (24) при 2m на примере
,
)(
0
)()(
10 2
,2
2
,1
,2
,1
2221
1 nnn
n
n
n Z
nb
xkx
x
x
nana
X (П.1)
где ,
1
0
nn zZ }:{ zzzn z ).,0[ n
Нелинейную функцию ,0,)( 2
,2
2
,1 kxkxXf nnn представим в квазилинейной
форме
,)]();([)( 2211 nnnn XXksXksXf , (П.2)
где ;)( 2
,2,11 nn xkx .)( ,2
2
,12 nn xkx
Подставив (П.2) в (П.1), получим
n
n
n
nnnn
n z
x
x
xxnkbsnaxxnkbsna
X
1
0
)()()()(
10
,2
,1
,2
2
,1222
2
,2,1121
1
. (П.3)
Примем далее, что для элементов )(),( 2221 nana и )(nb заданы их априорные
оценки
),;0[}:{)( 212121212121 naaaana a (П.4)
),;0[}:{)( 222222222222 naaaana a (П.5)
).;0[}:{)( nbbbbnb b (П.6)
Выберем в (7) 2 и примем начальные условия, при которых .0
XX
Достаточные условия робастной устойчивости (31) для семейства систем
(П.3)–(П.6) при nz имеет вид
.1})(5,0)()(5,0)({max)( ,1222,2121
)(
)(
)(
2222
2121
qkxnbsnakxnbsnaS nn
na
na
nb
Xn
a
a
b
X
(П.7)
Проведено компьютерное моделирование рассматриваемого семейства нели-
нейных систем как при фиксированных значениях параметров ;3,02221 aa
,4,02221 aa 5,0 bb и var,k так и при вариации параметров )(21 na и
)(22 na от генератора случайных чисел с равномерным распределением внутри
интервалов 3,02221 aa и .4,02221 aa
Возмущения nz генерировались от другого генератора случайных чисел с
равномерным распределением внутри интервала ]1;1[ с последующим умноже-
нием на величину .var
20 ISSN 0572-2691
Так как в рассматриваемом примере неопределенные величины a и b поло-
жительны, а максимум (П.7) достигается на границе допустимых множеств ,
X
21a и ,22a то
)(5,08,0)( 21 sskS . (П.8)
Поскольку 121 ss (см. [7]) и минимум функции (П.8) равен ,5,08,0 k то
при принятых выше предельных величинах параметров условие робастной устой-
чивости (П.7) приобретает вид
.15,08,0 qk (П.9)
Неравенство (П.9) справедливо при значениях .4,0k
Компьютерное моделирование показало, что определение того предельного
значения интенсивности возмущений
, при котором при его воздействии на ди-
намическую систему она покидает область устойчивости невозмущенной систе-
мы, существенно зависит от выбора начальных условий .0
XX Поэтому вычис-
ления на интервале ]100;1[n проводились при таком наборе начальных усло-
вий: 1) ;1;1 0,20,1 xx 2) ;1;1 0,20,1 xx 3) .1;1 0,20,1 xx
При 25,0k и 4,0 полученная в результате моделирования гарантиро-
ванная оценка сверху величины радиуса инвариантного множества равна
.65,2)( XR При указанном наборе параметров величина .925,0q Подставив
значения 4,0 и 925,0q в (38), имеем, что ,2,3)( XR что достаточно хоро-
шо согласуется с приведенной выше оценкой, полученной с помощью моделиро-
вания.
При ,25,0k но 5,0 ограниченного инвариантного множества уже не
существует.
В.М. Кунцевич, Б.Т. Поляк
ІНВАРІАНТНІ МНОЖИНИ НЕЛІНІЙНИХ
ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ З ОБМЕЖЕНИМИ
ЗБУРЕННЯМИ І ЗАДАЧІ КЕРУВАННЯ
Стаття складається з двох взаємозв’язаних частин. У першій частині наведено
оцінки зверху інваріантних множин і їх радіусів сімейств нестаціонарних ліній-
них і деяких класів нелінійних дискретних систем, підданих впливу обмежених
збурень, для яких задано їх апріорні множинні оцінки. У другій частині на ос-
нові отриманих оцінок зверху радіусів інваріантних множин розв’язано задачі
синтезу керування, що мінімізує ці оцінки для замкнених систем зі зворотним
зв’язком.
V.M. Kuntsevich, B.Т. Polyak
INVARIANT SETS FOR NONLINEAR
DISCRETE SYSTEMS WITH BOUNDED
DISTURBANCES AND CONTROL PROBLEMS
The paper consists of the two interdependent parts. In the first part, we calculate the
upper-bound estimates of invariant sets and their radiuses for the class of non-
stationary linear discrete systems and certain nonlinear discrete systems under
Проблемы управления и информатики, 2009, № 6 21
bounded disturbances with the given a priori set-valued estimates. In the second part,
based on the calculated upper-bound estimates of the radiuses of invariant sets, we
synthesize control that minimizes these estimates for the closed-loop systems with
a feedback.
1. Булгаков Б.В. О накоплении возмущений в линейных колебательных системах с постоян-
ными параметрами // Докл. АН СССР. — 1946. — 5, вып. 5. — С. 339–342.
2. Гноенский Л.С. Задача Булгакова о накоплении возмущений // Задача Булгакова о макси-
мальном отклонении и ее применение / Под ред. В.В. Александрова. — М. : Изд-во МГУ,
1993. —
3. Барабанов А.Е., Граничин О.Н. Оптимальный регулятор для линейных объектов с ограни-
ченным шумом // Автоматика и телемеханика. — 1984. — № 5. — С. 39–46.
4. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированно-
го результата. — М. : Наука, 1985. — 516 с.
5. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. — М. : Наука,
1977. — 392 с.
6. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. — М. : Наука,
1988. — 319 с.
7. Якубович Е.Д. Решение задачи оптимального управления для линейных дискретных си-
стем // Автоматика и телемеханика. — 1975. — № 9. — С. — С. 73–79.
8. Кунцевич В.М., Пшеничный Б.Н. Минимальные инвариантные множества динамических
систем с ограниченными возмущениями // Кибернетика и системный анализ. — 1996. —
№ 1. — С. 74–81.
9. Kuntsevich V.M., Pshenichny B.N. Analysis of some classes of nonlinear discrete systems under
bounded disturbances / Prepr. of the 4th Symposium IFAC Nonlinear Control Systems Design,
1998.
10. Bertsekas D.P., Rhodes I.B. On the minimax reachability of target sets and target tubes // Auto-
matica. — 1971. — 7. — P. 233–247.
11. Schweppe F.C. Uncertain Dynamic Systems. — NJ : Prentice Hall, 1973.
12. Dahleh M.A., Pearson J.B. l1-Optimal feedback controllers for MIMO discrete-time systems //
IEEE Trans. Automat. Control. — 1987. — N 32. — P. 314–322.
13. Glover D., Schweppe F. Control of linear dynamic systems with set constrained disturbances //
Ibid. — 1971. — 16. — P. 411–423.
14. Abedor J., Nagpal K., Poolla K. A linear matrix inequality approach to peak-to-peak gain mini-
mization // Int. Journal on Robust and Nonlinear Control. — 1996. — 6. — P. 899–927.
15. Овсеевич А.И., Тарабанько Ю.В. Явные формулы для эллипсоидов, аппроксимирующих
области достижимости // Изв. РАН. ТиСУ. — 2007. — № 2. — С. 33–44.
16. Назин С.А., Поляк Б.Т., Топунов М.В. Подавление ограниченных внешних возмущений с
помощью метода инвариантных эллипсоидов // Автоматика и телемеханика. — 2007. —
№ 3. — С. 106–125.
17. Polyak B.T., Shcherbakov P.S., Topunov M.V. Invariant ellipsoids approach to robust rejection of
persistent disturbances // Proc. 17th World IFAC Congress, Seoul, July 6–11, 2008. Seoul,
2008. — P. 3976–3981.
18. Blanchini F., Miani S. Set-theoretic methods in control. — Boston : Birkhauser, 2008.
19. Кунцевич В.М., Кунцевич А.В. Синтез робастно устойчивых дискретных систем управления
нелинейными объектами // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 12. — С. 105–118.
20. Kuntsevich V.M., Kuntsevich A.V. Robust stability and synthesis of nonlinear discrete control
systems under uncertainty // Proc. of the of 17th IFAC World Congress (Seoul, 2008). —
Р. 14330–14335.
21. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. — М. : Наука, 1978. — 287 c.
22. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты
в задачах управления и идентификации. — Киев : Наук. думка, 2006. — 264 c.
23. Shor N.Z., Berezovski O.A. New algorithms for constructing optimal circumscribed and inscribed
ellipsoid // Optimization Methods and Software. — 1992. — 1. — P. 283–299.
Получено 16.09.2009
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210622 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-17T12:03:35Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кунцевич, В.М. Поляк, Б.Т. 2025-12-13T20:02:26Z 2009 Инвариантные множества нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями и задачи управления / В.М. Кунцевич, Б.Т. Поляк // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 6. — С. 6-21. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210622 621.391 10.1615/JAutomatInfScien.v41.i11.10 Стаття складається з двох взаємозв’язаних частин. У першій частині наведено оцінки зверху інваріантних множин і їх радіусів сімейств нестаціонарних лінійних і деяких класів нелінійних дискретних систем, підданих впливу обмежених збурень, для яких задано їх апріорні множинні оцінки. У другій частині на основі отриманих оцінок зверху радіусів інваріантних множин розв’язано задачі синтезу керування, що мінімізує ці оцінки для замкнених систем зі зворотним зв’язком. The paper consists of the two interdependent parts. In the first part, we calculate the upper-bound estimates of invariant sets and their radiuses for the class of nonstationary linear discrete systems and certain nonlinear discrete systems under Работа выполнена в рамках совместного российско-украинского проекта при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 10-08-90436-УКР_а) и Национальной академии наук Украины (Постановление Президиума НАН Украины № 104 от 02.04.2008). ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем Инвариантные множества нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями и задачи управления Інваріантні множини нелінійних дискретних систем з обмеженими збуреннями і задачі керування Invariant sets for nonlinear discrete systems with bounded disturbances and control problems Article published earlier |
| spellingShingle | Инвариантные множества нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями и задачи управления Кунцевич, В.М. Поляк, Б.Т. Проблемы динамики управляемых систем |
| title | Инвариантные множества нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями и задачи управления |
| title_alt | Інваріантні множини нелінійних дискретних систем з обмеженими збуреннями і задачі керування Invariant sets for nonlinear discrete systems with bounded disturbances and control problems |
| title_full | Инвариантные множества нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями и задачи управления |
| title_fullStr | Инвариантные множества нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями и задачи управления |
| title_full_unstemmed | Инвариантные множества нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями и задачи управления |
| title_short | Инвариантные множества нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями и задачи управления |
| title_sort | инвариантные множества нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями и задачи управления |
| topic | Проблемы динамики управляемых систем |
| topic_facet | Проблемы динамики управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210622 |
| work_keys_str_mv | AT kuncevičvm invariantnyemnožestvanelineinyhdiskretnyhsistemsograničennymivozmuŝeniâmiizadačiupravleniâ AT polâkbt invariantnyemnožestvanelineinyhdiskretnyhsistemsograničennymivozmuŝeniâmiizadačiupravleniâ AT kuncevičvm ínvaríantnímnožininelíníinihdiskretnihsistemzobmeženimizburennâmiízadačíkeruvannâ AT polâkbt ínvaríantnímnožininelíníinihdiskretnihsistemzobmeženimizburennâmiízadačíkeruvannâ AT kuncevičvm invariantsetsfornonlineardiscretesystemswithboundeddisturbancesandcontrolproblems AT polâkbt invariantsetsfornonlineardiscretesystemswithboundeddisturbancesandcontrolproblems |