Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составного цилиндра
Розглянуто питання побудови явних виразів градієнтів функціоналів-нев’язок для ідентифікації градієнтними методами параметрів задач осесиметричного динамічного деформування складеного довгого циліндра. Construction of explicit expressions for functional-discrepances gradients for parameters identifi...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210680 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составного цилиндра / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 1. — С. 22-49. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859950809965395968 |
|---|---|
| author | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. |
| author_facet | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. |
| citation_txt | Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составного цилиндра / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 1. — С. 22-49. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглянуто питання побудови явних виразів градієнтів функціоналів-нев’язок для ідентифікації градієнтними методами параметрів задач осесиметричного динамічного деформування складеного довгого циліндра.
Construction of explicit expressions for functional-discrepances gradients for parameters identification of problems of axisymmetrical dynamical deformation of long compound cylinder is considered.
|
| first_indexed | 2025-12-17T12:04:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
© И.В. СЕРГИЕНКО, В.С. ДЕЙНЕКА, 2010
22 ISSN 0572-2691
МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 539.3:519.6
И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ ДЛЯ СОСТАВНОГО ЦИЛИНДРА
В работах [1–4] на основании результатов теории оптимального управле-
ния [5, 6] рассмотрены вопросы построения явных выражений градиентов функ-
ционалов-невязок для идентификации градиентными методами Алифанова [7] па-
раметров задач: динамических прогибов составной тонкой пластины, гиперболи-
ческих многокомпонентных распределенных систем, динамического упругого
деформирования многокомпонентных тел, термоупругого деформирования со-
ставных тел и др.
В данной статье аналогичные вопросы рассмотрены для задач осесимметрич-
ного динамического деформирования составного длинного цилиндра.
1. Идентификация напряженно-деформированного состояния по извест-
ным смещениям. Рассмотрим длинный полый изотропный круговой цилиндр.
С учетом симметрии и принципа Даламбера, следуя [7–9], его напряженно-
деформированное состояние (НДС) описывается уравнением равновесия
,),0(),,(, 212
2
Ttrrr
rrt
у rr
(1)
где 0const, 21 rr радиусы соответственно внутренней и внешней круговых
поверхностей цилиндра, r радиальная координата цилиндрической системы
координат (r, z), ось z совпадает с осью вращения рассматриваемого тела;
плотность; ,r компоненты тензора напряжений,
,)2()(
,)2(2)(
r
rrrr
y
y
(1)
r
y
r
y
r
, компоненты тензора деформаций, ,zr .0z
Равенство (1) с учетом (1) принимает вид
,),(,)2(
2
2
Ttr
r
y
r
y
r
rt
у
r
(2)
где у у(r) радиальное смещение точки с координатой ,r ),,0( TT
.),( 21 rr
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 23
Пусть на внутренней и внешней поверхностях цилиндра заданы напряжения
),,0(,2,1,)( Ttipу irrr
i
(3)
где 1p считаем неизвестным, а )(22 tрр задано.
При t 0 заданы начальные условия
.,, 10
rу
t
у
уу (4)
Считаем, что на внешней поверхности цилиндра известны смещения, т.е.
.),0(),(),( 02 Tttftry (5)
Получена задача (2)–(5), состоящая в определении элемента )(tuu
,]),0([)(1 TCtp U при котором решение ),;()( truyuyy начально-
краевой задачи (2)–(4) удовлетворяет равенству (5).
Вместо классического решения начально-краевой задачи (2)–(4) будем ис-
пользовать ее обобщенное решение. Для этого домножим обе части равенства (2)
на произвольную функцию )()( 1
20 WVrzz и результат проинтегрируем
по . С учетом ограничений (3)
,),0(),;(),(,
2
2
Ttzulzуaz
t
у
r
(6)
где ,),(
2
1
r
r
dr
.)()();(
,)2()2(),(
22211
2
1
rzprruzrzul
dr
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
rzya
r
r
На основании (4) получаем
).,()0(,
),,()0)(,(
1
0
zуrz
t
у
r
zуrzуr
(7)
Определение 1. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением
начально-краевой задачи (2)–(4) называется функция ,),0(),;()( TWtruyuуу
которая 0Vz удовлетворяет равенствам (6), (7), где
.))(;,0(,)),(;,0(:),(),0( 2
2
2
2
1
2
2
LTL
t
v
t
v
WTLvtrvTW
Исходя из [5], легко установить справедливость следующего утверждения.
Теорема 1. При каждом фиксированном Uu начально-краевая задача
(2)–(4) имеет единственное обобщенное решение.
Функционал-невязку запишем в виде
.)),;((
2
1
)(
0
2
02 dtftruyuJ
T
(8)
24 ISSN 0572-2691
Таким образом, получена задача (6)–(8), состоящая в отыскании элемента u,
минимизирующего на U функционал (8) при ограничениях (6), (7). Эту задачу бу-
дем решать приближенно с помощью градиентных методов [7], где )1( n -е при-
ближение 1nu решения Uu находим по формуле
,...,,1,0,1
nnpuu nnnn (9)
начиная с некоторого начального приближения ,0 Uu а направление спуска np
и коэффициент n определяем, используя такие выражения:
для метода минимальных ошибок —
;,
2
2
n
n
u
n
nun
J
e
Jp
(10)
для метода скорейшего спуска —
;,
2
2
n
n
n
u
u
nun
JA
J
Jp
(11)
для метода сопряженных градиентов —
,
),(
,,0,
22
2
01
1 n
nu
n
u
u
nnnun
Ap
pJ
J
J
pJp n
n
n
n
(12)
где uJ — градиент функционала (8) в точке ,nuu ,0fAue nn nAu
).,;( 2 truy n
Введем обозначения
,))0()(),0(()(
,))0()(),0()((),(
2
2
0 L
L
уvууfvL
уvууuуvu
(13)
где .),(,)(
0
2
dtАvvy
T
L
Поскольку
,))0(),0(()(2),()(2
200 LуfуfvLvvvJ
то
)(),(
)())((
lim
0
uvLuvu
uJuvuJ
.,))()(,)((
20 uvJиуvуfuу
nuL (14)
Следуя [1–4], для каждого приближения nu решения Uu задачи (6)–(8)
рассмотрим следующую сопряженную задачу:
,),(,)2(
2
2
Ttr
rr
r
rt
r
),,0(),),;((
1
)(
),,0(,0)(
02
2
2
1
Ttftruy
r
Tt
nrrr
rrr
(15)
.,0
r
t Tt
Tt
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 25
Определение 2. Обобщенным решением начально-краевой задачи (15) назы-
вается функция ),,0(),( TWtr которая 0Vz удовлетворяет тождествам
,0)(,,0))(,(
),,0(),);((),(,
2
2
Tz
t
rTzr
Ttzuуlzaz
t
r n
(16)
где ).()),;(());(( 202 rzftruyzuyl nn
Заменим функцию z в тождествах (16) разностью ).()( 1 nn uyuy Тогда с уче-
том (6), (7), (14)
T
nnLnnnnu dtuyuy
t
ruyuyfuyuJ
n
0
12
2
10 )()(,))()(,)((,
2
dt
t
uyuy
rdtuyuya
T
nn
T
nn
0
2
1
2
0
1 ,
))()((
))()(,(
,),()),()(( 1
0
1
0
1 dttrurdtuyuya
T
n
T
nn
т.е.
.),(, 1
0
1 dttruruJ
T
nnun
(16)
Следовательно,
,~
nun
J (17)
где .~),,(~
0
22
11 dtJtrr
T
nun n
Наличие градиента
nuJ позволяет использовать градиентные методы (9) для
определения )1( n -го приближения 1nu решения Uu задачи (6)–(8).
Замечание 1. Если
),()(
1
ttuu i
m
i
im
(18)
где m
ii t 1)}({ система линейно независимых функций, то на основании (16)
.)~(,),(~,}~{~,~
1
22
1
0
11
m
i
i
nui
T
i
n
m
i
i
nnnu nn
JdttrrJ
2. Идентификация НДС по известным смещениям внутренней точки
тела. Пусть на области T определено уравнение (2). На внешней поверхности
цилиндра известно напряжение
.),0(,, 22 Ttrrpr (19)
На внутренней поверхности напряжение считаем неизвестным
).,0(,, 1 Ttrrur (20)
26 ISSN 0572-2691
При 0t заданы начальные условия (4). Предполагаем, что во внутренней
точке 1d известно смещение
).,0(),(),( 11 Tttftdy (21)
Получена задача (2), (4), (19)–(21), состоящая в определении функции ,Uu
при которой классическое решение ),;( truy начально-краевой задачи (2), (4),
(19), (20) удовлетворяет равенству (21).
Функционал-невязка имеет вид
.))(),;((
2
1
)(
0
2
11
T
dttftduyuJ (22)
Вместо классического решения начально-краевой задачи (2), (4), (19), (20)
будем использовать ее обобщенное решение, т.е. решение задачи (6), (7).
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (6), (7), (22) рассмот-
рим сопряженную задачу
,),(,)2(
2
2
Tdtr
rr
r
rt
r
),,0(,)),(),;((
1
)]([,0][
),,0(,0)(,0)(
111
1
21
Ttdrtftduy
d
Tt
nr
rrrrrr
(23)
,,0,0
r
t Tt
Tt
где
),,(),(),,0(,)2()( 2111 rddrТ
rr
dddr Т
.),0(,][][ 1
1
td
d
Вместо классического решения начально-краевой задачи (23) будем исполь-
зовать ее обобщенное решение.
Определение 3. Обобщенным решением начально-краевой задачи (23) назы-
вается функция ,),( dWtr которая
0
)( dVrzz удовлетворяет тождествам
,0)(,,0))(,(
),,0(),;)((),(,
2
2
Tz
t
rTzr
Ttzuуlzaz
t
r n
(24)
где
,))(;,0(,),;,0(:),(),0( 2
2
2
2
2
LTL
t
v
t
v
VTLvtrvTW dd
).()),;(());((},2,1),(:),({ 111
1
2 dzftduyzuyliWvtrvV nnid
i
Следуя [6], легко показать существование и единственность решения задачи (24).
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 27
Заменив в тождестве (24) функцию z разностью ),()( 1 nn иyиy с учетом (6),
(7) получаем
.),()),;(),;()(),;(( 1
0
1
0
11111 dttrurdttduytduyftduy
T
n
T
nnn
Следовательно,
,~
nun
J (25)
где .~),,(~
0
22
11
T
nun dtJtrr
n
Замечание 2. Если кроме условия (21) задано также условие (5), то функцио-
нал-невязка имеет вид
,,)),;((
2
1
)( 20
1
0 0
2 rddtftduyuJ
i
T
ii
а при определении сопряженной задачи (23) вместо ограничений, заданных в точ-
ках ,, 21 rr необходимо задать
).,0(),),;((
1
)(,0)( 02
2
21
Ttftruy
r
nrrrrrr
.
В этом случае градиент
nuJ также определяется выражением (25).
3. Идентификация начального состояния. Пусть на области T определе-
но уравнение равновесия (2). На внешней и внутренней поверхностях цилиндра
заданы напряжения
).,0(,2,1,)( Ttipу irrr
i
(26)
При 0t заданы начальные условия
.),(),( 2
0
10
rru
t
у
ruу
t
t
(27)
В N точках ,,1, Nidi известны смещения, заданные равенствами
).,0(,,1),(),( TtNitftdy ii (28)
Функционал-невязка имеет вид
.))(),;((
2
1
)(
1 0
2
N
i
T
ii dttftduyuJ (29)
При каждом фиксированном )()())(),(( 1
221 CWruruu U вместо
классического решения начально-краевой задачи (2), (26), (27) будем использо-
вать ее обобщенное решение.
Определение 4. При фиксированном Uu обобщенным решением начально-
краевой задачи (2), (26), (27) называется функция ,),0()( ТWuy которая 0Vz
удовлетворяет равенствам
28 ISSN 0572-2691
),,0(),()(),(, 2221112
2
Ttrzprrzprzуaz
t
у
r
(30)
),,()0(,,,)0)(,( 21 zurz
t
y
rzurzyr
(31)
множества 0),0( VTW определены в разд. 1.
На основании задачи (2), (26), (27) или задачи (30), (31) для приращения
y решения у(и) задачи (2), (26), (27), соответствующего приращению u
элемента ,Uu получаем задачу определения функции ),,0( ТW которая
0Vz удовлетворяет тождествам
.),()0(,,),()0)(,(
),,0(,0),(,
21
2
2
zurz
t
rzurzr
Ttzaz
t
r
(32)
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (29)(31) сопряженная
задача имеет вид
,),(,)2(
2
2
Tdtr
rr
r
rt
r
),,0(,,1),),;((
1
)]([,0][
),,0(,2,1,0)(
TtNiftduy
d
Tti
iin
i
drd
rrr
ii
i
(33)
,,0,0
r
t Tt
Tt
где .,),,(,),,0( 21101
0
rdrdddТ Niiii
N
i
dddТ
Определение 5. Обобщенным решением начально-краевой задачи (33) назы-
вается функция ),,0( TWd которая
0dVz удовлетворяет системе тождеств
,0)(,,0))(,(
),,0(),);((),(,
2
2
Тz
t
rТzr
Ttzuylzaz
t
r n
(34)
где
,)()),;(());((
1
N
i
iiinn dzftduyzuyl
,))(;,0(,),;,0(:),(),0( 2
2
2
2
2
LTL
t
v
t
v
VTLvtrvTW dd
)}.,0(,,0),(:),({ 1
2 TtNiWvtrvV id
i
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 29
Заменив в тождествах (34) функцию z разностью ),()( 1 nn иyиy с учетом
(32) получаем
dttduytduyftduyuJ
N
i
T
ininiinnun
1 0
1 )),;(),;()(),;((,
dtuyuyadtuyuy
t
r
T
nn
T
nn
0
1
0
12
2
))()(,()()(,
T
nn
T
nn
t
uyuy
ruyuy
t
r
0
1
0
1
))()((
,)()(,
dtuyuyadtuyuy
t
r
T
nn
T
nn
0
1
0
12
2
)),()(()),()((
),0)(,()0(, 21 nn uru
t
r
т.е.
)0)(,()0(,, 21 nnnu uru
t
ruJ
n
. (35)
Следовательно,
,~
nun
J
где
.)~(,~,~,}~{~
2
1
22
0
2
0
12
1 drJr
r
r
i
i
пutn
t
ni
i
nп n
Замечание 3. Если
),()(),()( 2
1
2
22
1
1
1
11
21
rruurruu i
m
i
imi
m
i
im
то, учитывая (35), получаем ,~
nun
J где
,2,1,}~{~,}~{~
1
2
1 llm
i
l
ni
l
ni
i
nn
.)~(),0)(,(~),0(,~
2
1 1
222211
l
m
i
l
niuiniini
l
n
Jr
t
r
4. Идентификация начальных деформаций, напряжений. На основании [11]
,)( 00 D (36)
где векторы элементов тензоров напряжений, деформаций; 0 0
начальные напряжение и деформация; D матрица упругих постоянных.
С учетом (36) и симметрии для кругового цилиндра
,))()(2())(()(
,))(())()(2()(
0
00
0
00
ууу
ууу
rr
rrrr
(37)
где
).,(),,(,)(,)( 00
0000
rrr
r
y
y
r
y
y
30 ISSN 0572-2691
Векторы ,0 0 считаем неизвестными. Примем ),(1
10 rur ),(1
20 ru
),(2
1
0 rur ).(2
2
0 ru
Уравнение равновесия имеет вид
.),(,
)()()(
2
2
T
rr tr
r
yy
r
y
t
у
(38)
На внутренней и внешней поверхностях цилиндра заданы напряжения
).,0(,2,1),()( Ttitpу irrr
i
(39)
При 0t начальные условия такие:
.),()0,(),()0,( 10
rryr
t
у
ryry (40)
Предполагаем, что в N точках id известны смещения
.),0(,,1),(),( TtNitftdy ii (41)
Равенство (38) с учетом (37) преобразуем к виду
rrr
r
t
у
r r
rr
0
002
2
)()()2(
00
00 )(2)(2 rrr
)())(()2( 00 rrrrr
r
00
00 )())(2())(( rr
r
r
r
)))())(2((( 0
00 rrrr
r
.))(2()( 0
00 rr (42)
Пусть у у(u; r, t) — классическое решение начально-краевой задачи (38)–
(40). Тогда )()( 1
20 WVrzz справедливы тождества
),,0(),;(),(,
2
2
Ttzulzуaz
t
у
r
(43)
),,()0(,),,()0)(,( 10 zуrz
t
у
rzуrzуr
(44)
где
.2,1,}{),,(
,)2()2();(
,)2(),(
2
121
2
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
iuuuuu
dr
r
z
и
r
z
и
r
z
и
r
z
и
r
z
и
r
z
иrzиl
dr
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
rzya
j
i
ji
r
r
r
r
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 31
Для допустимого приращения и элемента Uu приращение y реше-
ния у(и) можно определить на основании (43), (44) как решение такой задачи:
найти функцию ),,0( ТW которая )(1
20 WVz удовлетворяет тождествам
),,0(),;(),(,
2
2
Ttzulzaz
t
r
(45)
,0)0(,,0)0)(,(
z
t
rzr (46)
где
1
1)2();(
2
1
и
r
z
r
z
rzиl
r
r
.
.)2( 2
2
2
1
1
2 dr
r
z
и
r
z
ии
r
z
r
z
Функционал-невязка имеет вид
.))(),;((
2
1
)(
1 0
2
N
i
T
ii dttftduyuJ (47)
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (43), (44), (47) сопря-
женная задача имеет вид (23) с соответствующей ей обобщенной задачей (24).
Заменив в тождествах системы (24) функцию z разностью ),()( 1 nn иyиy
с учетом (45), (46) получим
dttduytduyftduyuJ
N
i
T
ininiinnun
1 0
1 )),;(),;()(),;((,
T
nn
r
r
и
rr
и
rr
r
0
1
2
1
1 )2()2(
2
1
.2
2
2
1 dtdr
r
и
r
и nn
(47)
Следовательно,
nun
J ~ ,
где
,)2(~,2,1,}~{~,}~{~ 1
1
2
1
2
1
rr
ri nj
i
nj
i
ni
i
nп
.)~(,~,~,)2(~
2
1, 0
222
2
2
1
1
2
2
1
ji
T r
r
i
пjunnn dtdrJ
r
r
rr
r
n
Замечание 4. Если ,2,1,),(
1
jlrи l
ji
m
i
l
ji
l
j
l
j
то на основании (47)
,)2(~,}~{~ 1
1
0
1
11
2
1
dtdr
rr
r l
T r
r
l
n
m
l
il
nj
i
nj
i
j
32 ISSN 0572-2691
,~,)2(~
0
2
1
2
1
1
2
0
1
2
2
1
2
1
drdt
r
rdtdr
rr
r
T r
r
l
l
nl
T r
r
l
n
.)~(,~
2
1, 1
22
0
2
2
2
2
2
1
ji
m
l
il
пju
T r
r
l
l
n
i
j
n
Jdtdr
Замечание 5. Если u = const, то на основании (47)
,)2(~,)2(~
0
1
2
0
1
1
2
1
2
1
rdtd
rr
rdtdr
rr
r
T r
r
n
T r
r
n
.)~(,~,~
2
1,
22
0
2
2
0
2
1
2
1
2
1
ji
i
пju
T r
r
n
T r
r
n n
Jdtdrdrdt
r
r
5. Параметрическая идентификация начальных деформаций и напряже-
ний на основе дифференциальной задачи. Рассмотрим задачу (38)–(41). Пусть
.;2,1,),(
1
Rjlrи l
ji
l
ji
m
i
l
ji
l
j
l
j
(48)
Для допустимого приращения и элемента u приращение y решения
у(и) с учетом (38)–(40) можно определить как решение начально-краевой задачи:
)()2(
1
1
1
1
1
1
12
2
r
r
r
rt
r
m
i
ii
)()()(
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2 r
r
rr
r
m
i
ii
m
i
ii
m
i
ii
),()()()2()2(
),()()2(
2
1
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
rrr
rr
rr
r
m
i
ii
m
i
ii
m
i
ii
m
i
ii
m
i
ii
(48)
),,0(,2,1, Ttlrr l
.,0,0
0
0
r
t t
t
Определение 6. Обобщенным решением начально-краевой задачи (48) назы-
вается функция ),,0(),( ТWtr которая 0)( Vrz удовлетворяет тождествам
,0)0(,,0)0)(,(
),,0(),;(),(, 1
2
2
z
t
rzr
Ttzulzaz
t
r
(49)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 33
где
drzr
r
zul
m
i
r
r
iii
1
1 2
11
1
1
1
1
1
1
1 ))2(();(
)()()2()()()2( 22
1
1211
1
11 rzrrrzrr ii
)()()()()2()( 22
1
2211
1
21
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
rzrrrzrrzdrr
r
ii
r
r
ii
m
i
i
.)()()()()(
2
2 2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
222
2
1211
2
11
2
1
1
2
1 zdrrzrrrzrrzdrr
r
m
i
r
r
iiii
r
r
i
m
i
i
Следовательно, ,~
пun
J где
,}~{~,}~{~,}~{~
1
2
1
2
1
l
jm
i
li
nj
l
njj
l
nj
l
nl
l
nп
dtdrr
r
T r
r
ii
i
n
0
1
1
1
1
1
1
2
1
))2((~
,)),()()2(),()()2(( 22
1
12
0
11
1
11 dttrrrtrrr i
T
i
dtdrr
r
T r
r
ii
i
n
0
1
2
1
2
1
2
2
1
)2()(~
,)),()(),()(( 22
1
22
0
11
1
21
dttrrrtrrr i
T
i
,),()(),()()(~
0
22
2
12
0
11
2
11
0
2
1
2
1
2
1
dttrrrdttrrrdtdrr
r
Т
i
T
i
T r
r
i
i
n
.)~(,~
2
1, 1
22
0
2
2
2
2
2
1
jl
m
i
li
пju
T r
r
i
i
n
l
j
n
Jrdtd
6. Идентификация начальных деформаций и напряжений в классе R4 на
основе дифференциальной задачи. Рассмотрим задачу (38)–(41). Пусть Uu
22 RR . Для допустимого приращения и элемента u приращение y на
основании (38)–(40) можно определить как решение начально-краевой задачи
2
1
1
2
1
12
2
)2( ии
r
и
r
r
rt
r
),,0(,2,1,,)2()2(
,),(,)2(
2
1
1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
Ttlrrиии
rr
trии
r
и
r
l
T
(50)
.,0,0
0
0
r
t t
t
34 ISSN 0572-2691
Определение 7. Обобщенным решением начально-краевой задачи (50) называет-
ся функция ),,0(),( TWtr которая 0)( Vrz удовлетворяет системе тождеств
,0)0(,0)0(),(
),,0(),;(),(, 2
2
2
z
t
rzr
Ttzulzaz
t
r
(51)
где
2
1
)()2()()2())2(();( 2211
1
1
2
r
r
rzrrzrdrzzuzul
)()())2(( 2211
1
2
2
1
rzrrzrdrzzu
r
r
.)()(
2
1
2
1
2
22211
2
1 drzurzrrzrzdru
r
r
r
r
Следовательно,
,~
пun
J
где
,}~{~,}~{~ 2
1
2
1 j
i
nj
i
ni
i
nп
,),()2(),()2()(2~
0
22
0
11
0
1
1
2
1
dttrrdttrrdtdr
TTT r
r
n
,),(),()(2~
0
22
0
11
0
1
2
2
1
dttrrdttrrdtdr
TTT r
r
n
,),(),(~
0
22
0
11
0
2
1
2
1
dttrrdttrrdtdr
TTT r
r
n
.)~(,~
2
1,
22
0
2
2
2
1
ji
i
пju
T r
r
n n
Jdtdr
7. Восстановление плотности материала. Пусть на области T определено
уравнение равновесия
.)2(
2
2
r
y
r
y
r
rt
у
иr (52)
На внутренней и внешней поверхностях цилиндра заданы напряжения
),,0(,2,1,)( Ttipу irrr
i
(53)
где величина )(yr определена соответствующим выражением (1).
При t 0 заданы начальные условия
.,, 10
rу
t
у
уу (54)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 35
Считаем, что на внешней поверхности цилиндра известны смещения, задан-
ные равенством (5).
Определение 8. При каждом фиксированном ),0( Ru U обобщен-
ным решением начально-краевой задачи (52)–(54) называется функция )(uyy
),,0(),;( TWtruy которая 0)( Vrzz удовлетворяет равенствам
),,0(),(),(,
2
2
Ttzlzуaz
t
у
иr
(55)
,,, 1
0
00
ry
t
y
yy
t
t
(56)
множества W(0, T), 0V и билинейная форма ),( a определены в разд. 1,
.)()()( 222111 rzprrzprzl
Функционал-невязка имеет вид (8).
Приращение y решения у у(u), соответствующее приращению u
элемента ,Uu на основании (52)–(54) можно определить, пренебрегая членами
второго порядка малости, как решение начально-краевой задачи
,),(,
)(
)2(
2
2
2
2
Ttr
t
uу
ur
rr
r
rt
rи
),,0(,2,1,,0)2( Ttirr
rr
i
(57)
.,0,0
0
0
r
t t
t
Определение 9. Обобщенным решением начально-краевой задачи (57) назы-
вается функция ),,0(),( TWtr которая 0)( Vrz удовлетворяет равенствам
,,0
),,0(),;(),(,
0
0
2
2
r
t
Ttzulzaz
t
ur
t
t
(58)
где .),();(
2
2
zu
t
y
ruzul
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (55), (56), (8) сопря-
женная задача имеет вид
,),(,)2(
2
2
Tп tr
rr
r
rt
ur
),,0(),),;((
1
)2(
),,0(,,0)2(
02
2
1
Ttftruy
rrr
Ttrr
rr
n
(59)
.,0
r
t Tt
Tt
36 ISSN 0572-2691
Определение 10. Обобщенным решением начально-краевой задачи (59) назы-
вается функция ),,0(),( TWtr которая 0Vz удовлетворяет равенствам
,,0
),,0(),;)((),(,
2
2
r
t
Ttzuylzaz
t
ur
Tt
Tt
nп
(60)
где ).()),;(());(( 202 rzftruyzuyl nп
Введем обозначения
,))()(),(()(
,))()(),()((),(
2
2
Lпп
Lпп
иуvуиуfvL
иуvуиуuуvu
(61)
где .,),(),,;()( 0
0
2 2
ffdttrvyvy
T
L
С учетом (61) получаем
.))0(),0(()(2),()(2
2LуfуfvLvvvJ (62)
Для каждого приближения 1nu решения Uu задачи (55), (56), (8) опреде-
лим функцию )(~~
1 пиуу как решение начально-краевой задачи
,),(,
)(~~
)2(
~
2
2
2
2
T
п
пп tr
t
uу
ur
r
у
r
у
r
rt
у
иr
),,0(,2,1,,
~~
)2( Ttirrр
r
у
r
у
ii
(63)
.,
~
,~
1
0
00
ry
t
у
yу
t
t
Определение 11. Обобщенным решением начально-краевой задачи (63) назы-
вается функция ),,0(~ TWу которая 0Vz удовлетворяет равенствам
.,
~
,~
),,0(),;()(),~(,
~
1
0
00
2
2
ry
t
у
yу
Ttzulzlzуaz
t
у
ur
t
t
nп
(64)
С учетом (8), (61), (62)
.))()(~,)((
)()(
lim,
21
0
Lппп
ппп
nu иуuуfuу
uJuuJ
uJ
n
(65)
На основании (60), учитывая (65), (58), получаем
T
nnпLпппnu dtuyuy
t
urиуuуfuуuJ
n
0
12
2
1 )()(~,))()(~,)((,
2
,);())()(~,(
00
1 dtuldtuyuya
T
n
T
nn
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 37
или
.,
)(
,
0
2
2
T
n
пnu dt
t
uy
ruuJ
n
(66)
Следовательно, ,~
nun
J где
.~,
)(~
0
2
22
1
nu
T r
r
n
n n
Jdtdr
t
uy
r
Замечание 6. Если },0:)()({)( vCrvCU то на основании (66)
,~
nun
J где .~,
)(~ 2
0
2
2
drJdt
t
uy
r пu
T
n
n n
8. Параметрическая идентификация плотности материала. Пусть кроме
условия (5)
).,0(,,1,),(),( TtNidtftdy iii (67)
Функционал-невязка имеет вид
.,)),;((
2
1
)( 20
0 0
2 rddtftduyuJ
N
i
T
ii
(68)
Справедливы выражения вида (61), (62), (64)–(66), где .)},;({)( 0
N
ii tdvyvy
На основании (66) можно получить явные выражения приближения градиен-
та ,~
nun
J когда искомый параметр ищется в виде ),()(
1
rruu i
m
i
im
,0mu где m
ii 1}{ система линейно независимых функций. Выполняется со-
отношение ,~
nun
J где
.)~(,,
)(~,}~{~
1
22
2
2
0
1
m
i
i
nu
n
i
T
i
n
m
i
i
nn n
Jdt
t
uy
r
Замечание 7. При наличии условий (5), (67) для задачи (55) (56), (68) сопря-
женная задача имеет вид
,),(,)2(
2
2
Tdп tr
rdr
d
r
rt
ur
),,0(),),;((
1
)(,0)(
),,0(,,1),),;((
1
)]([,0][
02
2
21
Ttftruy
r
TtNiftduy
d
nrrrrrr
iin
i
drrdr ii
(69)
.,0
r
t Tt
Tt
Определение 12. Обобщенным решением начально-краевой задачи (69) назы-
вается функция ),,0(),( TWtr d которая
0dVz удовлетворяет равенствам
38 ISSN 0572-2691
,,0
),,0(),);((),(,
2
2
r
t
Ttzuylzaz
t
ur
Tt
Tt
nп
где .)()),;(());((
0
N
i
iiinп dzftduyzuyl
9. Идентификация постоянной Ляме по известному смещению внешней
поверхности цилиндра. Пусть на области T
.),(,)2(
2
2
Ttr
r
y
r
y
r
r
и
t
у
r
(70)
На внешней и внутренней поверхностях цилиндра существуют напряже-
ния (3), при t 0 заданы начальные условия (4); считаем, что на внешней поверх-
ности известны ее смещения, заданные равенством (5).
Получена задача (70), (3)–(5), состоящая в определении положительного ве-
щественного числа , Ru U при котором решение ),;()( truyuyy задачи
(70), (3), (4) удовлетворяет равенству (5).
Вместо классического решения задачи (70), (3), (4) будем использовать ее
обобщенное решение.
Определение 13. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением
начально-краевой задачи (70), (3), (4) называется функция ),;()( truyuyy
),,0( TW которая 0Vz удовлетворяет системе тождеств
),,()0(,),,()0)(,(
),,0(),(),;(,
10
2
2
zуrz
t
у
rzуrzуr
Ttzlzуиaz
t
у
r
(71)
где множества W(0, T), 0V определены в разд. 1,
).()()(
,)2(),;(
222111
2
1
rzprrzprzl
dr
r
z
r
y
r
z
r
y
и
r
z
r
y
r
z
r
y
иrzyиa
r
r
Задачу (71), (8) будем решать с помощью градиентных методов (9). На осно-
вании (70), (3), (4) для приращения y решения у у(u), соответствующего
приращению u элемента ,Uu пренебрегая членами второго порядка малости,
получаем начально-краевую задачу
,),(,)2(
2
2
Ttr
r
у
r
у
r
r
u
rr
r
r
и
t
r
),,0(,2,1,)2( Tti
r
у
r
y
u
r
u
r
ii rrrr
(72)
.,0
0
0
r
t t
t
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 39
Определение 14. Обобщенным решением начально-краевой задачи (72)
называется функция ),,0(),( TWtr которая 0Vz удовлетворяет системе
тождеств
,0)0(,,0)0)(,(
),,0(),;(),;(,
2
2
z
t
rzr
Ttzulzuaz
t
r
(73)
где
).()1(
)()(
);(
2
1
1
i
rri
i rz
r
y
r
y
udrz
r
иy
r
иy
r
r
uzul
i
На каждом шаге итерационного процесса (9) определения )1( n -го прибли-
жения 1nu решения Uu задачи (71), (8) полагаем ),(~~)( 11 пп иууиу где
у~ решение начально-краевой задачи
,),(,
)()(~~
)2(
~
2
2
T
пп
пп tr
r
uу
r
uу
r
r
u
r
у
r
у
r
r
u
t
у
r
),,0(,2,1,
)()(~~
)2( Tti
r
uу
r
uу
uр
r
у
u
r
у
u
ii rr
пп
пi
rr
пп
(74)
.,
~
,~
1
0
00
ry
t
у
yу
t
t
Определение 15. Обобщенным решением начально-краевой задачи (74) назы-
вается функция ),,0(~ TWу которая 0Vz удовлетворяет системе тождеств
),,()0(,
~
),,()0)(,~(
),,0(),;()(),~;(,
~
10
2
2
zуrz
t
у
rzуrzуr
Ttzulzlzуuaz
t
у
r nп
(75)
где
);( zul п
.)()(
)()(
)1(
)()( 2
1
1
2
1
ii
nn
i
i
r
r
nn
n rzr
r
иy
r
иy
drz
r
иy
r
иy
r
r
u
Пусть .U пп uu Тогда U пп uu ).1,0( С учетом начально-
краевой задачи (74) или соответствующей ей обобщенной задачи (75) получаем
)()()(~)( 0 пппппп uуuуuuуuuу , (76)
где )(0 пиу решение задачи (73) при .пuи Поскольку )(0 nuу
)),( )(~( 1 nn uуuу то )),()(~ ()()( 1 ппппп иуиуиуииу где )(~
1пиу
).,;(~
21 trиy п
Справедливы выражения вида (61), (62), (65).
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (71), (8) рассмотрим
сопряженную задачу
40 ISSN 0572-2691
,),(,)2(
2
2
Tп tr
rr
r
r
u
t
r
),,0(),),;((
1
)2(
),,0(,0)2(
02
2
2
1
Ttftruy
rr
u
r
u
Tt
r
u
r
u
n
rr
пп
rr
пп
(77)
.,0
r
t Tt
Tt
Определение 16. Обобщенным решением начально-краевой задачи (77) называ-
ется функция ),,0(),( TWtr которая 0Vz удовлетворяет системе тождеств
.0)(,,0))(,(
),,0());(();,(,
2
2
Tz
t
rTzr
Ttzuylzuaz
t
r nn
(78)
Заменив в тождествах (78) функцию z разностью )()(~
1 nn иyиy и учитывая
(65), находим
T
nnLпппnu dtuyuy
t
rиуuуfuуuJ
n
0
12
2
10 )()(~,))()(~,)((,
2
.);())()(~,;(
00
1 dtzuldtuyuyua
T
n
T
nnn (79)
На основании (79) с учетом (73) получаем
,~
nun
J
где
,
)()(
)1(
)()(~
0
2
1
1
0
dt
r
иy
r
иy
dtdr
r
иy
r
иy
r
r
Т
rr
пп
i
i
T
пп
n
i
.~
nun
J
Наличие приближения n~ градиента
nuJ позволяет использовать градиент-
ные методы (9) для определения )1( n -го приближения 1nu решения Uu за-
дачи (71), (8).
10. Параметрическая идентификация постоянной Ляме . Пусть состоя-
ние системы описывается начально-краевой задачей (70), (3), (4), а в точках ,id
,,0 Ni известны смещения, заданные равенствами
),,0(,),( Ttftdy ii (80)
где .,1,,20 Nidrd i
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 41
Функционал-невязка имеет вид (68). Полученную задачу (71), (68) будем ре-
шать с помощью градиентных методов (9). Предполагаем, что
,0)()(),(
1
rttruu i
m
i
im (81)
где m
ii r 1)}({ система линейно независимых функций, ]),,0([)( TCti .,1 mi
На основании (79) с учетом (81) получаем
dtdr
r
иy
r
иy
r
r
dtzuluJ n
i
n
i
m
i
in
TТ
тnun
)()(
);(,
1 00
.
)(
)1(
2
1 1 0
1 dt
r
y
r
иy
lrr
n
l
i
m
i
in
T
l
(82)
Следовательно,
,~
nun
J
где
,}~{~
1
m
i
i
nn
,
)(
)1(
)()(~
2
1
1
l rr
n
i
ln
i
n
i
i
n
l
r
y
r
иy
dr
r
uy
r
uy
r
r
.)~(
0
22
dtJ
T
i
nun
Замечание 8. Если в представлении (81) ,consti то на основании (82)
T
п
i
п
i
i
n dtdr
r
иy
r
иy
r
r
0
)()(~
.)~(,
)()(
)1(
1
22
0
2
1
1
m
i
i
nu
Т
rr
пп
i
l
l
n
i
Jdt
r
иy
r
иy
11. Идентификация НДС двухслойного цилиндра по поверхностным пе-
ремещениям. Рассмотрим двухслойный полый изотропный цилиндр. С учетом
симметрии НДС внутреннего и внешнего цилиндров описывается уравнением
равновесия
,),(,)2()2(
2
2
Ttr
r
y
r
y
r
rt
y
r
(83)
где ),,0( TT ,21 ),,( 11 r ),,( 22 r ,0 21 rr
21, rr соответственно радиусы внутренней и внешней поверхностей составного
цилиндра, радиус круговой поверхности контакта этих цилиндров.
На внешней поверхности цилиндра задано напряжение
.),0(,)( 2
2
Ttpу
rrr
(84)
42 ISSN 0572-2691
На внутренней поверхности напряжение неизвестно
.),0(,)(
1
Ttиу
rrr
(85)
В точке r условия неидеального контакта расклинивающего давления
имеют вид
),,0(,}{,][ 0 Ttpny r (86)
где ),,0(}{ t ,][ 0n нормаль к поверхности i со-
ставляющей ,i ,2,1i составного цилиндра , p величина расклини-
вающего давления, ]),0([)( TСt известная непрерывная функция.
При t 0 начальные условия следующие:
.,, 10
rу
t
у
уу (87)
Считаем, что на внешней поверхности цилиндра известны смещения
).,0(),(),( 02 Tttftry (88)
Получена задача (83)–(88), состоящая в определении непрерывной функции
]),,0([)( TCtuu U при которой решение ),;()( truyuyy начально-крае-
вой задачи (83)–(87) удовлетворяет равенству (88).
При каждом фиксированном Uu вместо классического решения начально-
краевой задачи (83)–(87) будем использовать ее обобщенное решение. Для этого рас-
смотрим пространство },0][;2,1),(:)({ 1
20
viWvrvV i
i
где .][][
r
vv
Пусть у классическое решение начально-краевой задачи (83)–(87). После
домножения обеих частей равенства (83) на 0Vz и интегрирования результата
по , с учетом ограничений (84)–(86) получаем
l
rrr zуrzуrzуaz
t
у
r
0
0
2
2
)()(),(,
1
),,0(,)()(2)( 22211 Ttzzprzprzur
где
.)2(),(
2
1
dr
r
z
r
y
r
z
z
y
r
z
r
y
r
z
r
y
rzya
r
r
Определение 17. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением
начально-краевой задачи (83)–(87) называется функция ),;()( truyuyу
),,0( ТW которая 0Vz удовлетворяет системе тождеств
,),()0(,,),()0)(,(
),,0(),;(),(,
10
2
2
zyrz
t
y
rzyrzyr
Ttzulzуaz
t
у
r
(89)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 43
где
,))(;,0(,:);,0(),0( 2
2
2
2
2
LTL
t
v
t
v
VTLvTW
},),0(,][:),({ TtvVtrvV
r
]},,0[,2,1),(:),({ 1
2 TtiWvtrvV i
i
.)()(2)();( 22211 zzprzprzurzul
Следуя [5, 6], легко установить справедливость такого утверждения.
Теорема 2. При каждом фиксированном Uu решение ),0()( ТWuy за-
дачи (89) существует и единственно.
Функционал-невязка имеет вид
.
2
1
)(
0
2
0 dtfAuuJ
T
(90)
Для приращения y решения у у(и) начально-краевой задачи (83)–(87),
соответствующего приращению u элемента ,Uu на основании (83)–(87) полу-
чаем начально-краевую задачу
,),(,)2()2(
2
2
Ttr
rr
r
rt
r
),,0(,,0)}({,0][
),,0(,0)(,)(
21
1
Ttr
Ttи
r
rrrrrr
(91)
,,0
0
0
r
t t
t
где .)2()(
rr
r
Определение 18. Обобщенным решением начально-краевой задачи (91) называ-
ется функция ),,0(),( 0 TWtr которая 0)( Vrz удовлетворяет системе тождеств
,0)0(,,0)0)(,(
),,0(),;(),(,
2
2
z
t
rzr
Ttzulzaz
t
r
(92)
где
),();( 11 rzurzul
,))(;,0(,:);,0(),(),0( 2
2
2
2
02
0
LTL
t
v
t
v
VTLtrvTW
.)},0(,0][:{0 TtvVvV
r
Замечание 9. Задачу (92) легко можно сформулировать на основании зада-
чи (89).
44 ISSN 0572-2691
Пусть .U nn uu Тогда U nn uu ).1,0( С учетом (89), (92)
получаем
),()()( 0 nnnn uyuyuuy (93)
где )(0 nuy решение задачи (92) при nuu .
Учитывая (93), находим
,))()(,)((
)()(
lim,
210
0
Lnnn
nnn
nu uуuуfuу
uJuuJ
uJ
n
(94)
где ),;();,;()( 22 trvytrvyvy — решение задачи (89) при u v.
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (89), (90) рассмотрим
сопряженную задачу
,),(,)2()2(
2
2
Ttr
rr
r
rt
r
),,0(,0)2(
1
Tt
rr rr
),,0(,,0][,0)2( Ttr
rr
(95)
),,0(),),;((
1
)2( 02
2
2
Ttftruy
rrr
п
rr
.,0
r
t Tt
Tt
Определение 19. Обобщенным решением начально-краевой задачи (95) называ-
ется функция ),,0(),( 0 TWtr которая 0Vz удовлетворяет системе тождеств
,0)(,,0))(,(
),,0(),;)((),(,
2
2
Tz
t
rTzr
Ttzuуlzaz
t
r n
(96)
где ).()),;(());(( 202 rzftruyzuyl nn
Заменив в тождествах (96) функцию z разностью ),()( 1 nn uyuy с учетом
(92) получаем
.),())()(,)((, 1
0
110 2
dttruruyuyfuyuJ
T
Lnnnnun
Следовательно,
,~
nun
J
где .~),,(~
0
22
11 dtJtrr
T
пun n
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 45
Замечание 10. Если u const, то
.~,),(~
0
11 nu
T
nu nn
JdttrrJ
Замечание 11. Если ),()(
1
ttuu i
m
i
im
где m
ii t 1)}({ система линейно
независимых функций, то ,~, nu
m
n
JR U где
.)~(,),(~,}~{~
1
22
1
0
11
m
i
i
nui
T
i
n
m
i
i
nn n
Jdttrr
12. Идентификация НДС двухслойного цилиндра при нескольких точках
наблюдения. Пусть напряженно-деформированное состояние двухслойного кру-
гового цилиндра описывается начально-краевой задачей (83)–(87). Считаем, что в
)1( N -й точке id известны смещения
),,0(),(),( Tttftdy ii (97)
где .,1,,20 Nidrd i
Функционал-невязку запишем в виде
.)),;((
2
1
)(
0 0
2
N
i
T
ii dtftduyuJ (98)
Вместо задачи (83)–(87), (97) будем рассматривать задачу (89), (98), состоя-
щую в определении элемента u, минимизирующего на U функционал (98) при
ограничениях (89). Эту задачу будем решать с помощью градиентных методов (9).
Пусть .U nn uu Тогда )1,0( выполняется равенство вида (93).
С учетом (93) запишем
,))()(,)((
)()(
lim,
21
0
Lnnn
nnn
nu uуuуfuу
uJuuJ
uJ
n
(99)
где
,}{ 0
N
iiff ,}),;({)( 0
N
ii tdvyvy
.)}({,)}({,),(
00
0 0
2
N
ii
N
ii
T
ii
N
i
L ttdt
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (89), (98) рассмотрим
сопряженную задачу
,),(,)2()2(
2
2
Ttr
rr
r
rt
r
46 ISSN 0572-2691
),,0(,0)2(
1
Tt
rr rr
),,0(,,1),),;((
1
)2(,0][
),,0(,,0][,0)2(
TtNiftduy
drr
Ttr
rr
iiп
idr
dr
i
i
(100)
),,0(),),;((
1
)2( 02
2
2
Ttftruy
rrr
п
rr
.,0
r
t Tt
Tt
где .,\),,0(
1
i
N
i
ddddd dT
T
Определение 20. Обобщенным решением начально-краевой задачи (100)
называется функция ),,0(),( TWtr d которая
0dVz удовлетворяет системе
тождеств
,0)(,,0))(,(
),,0(),;)((),(,
2
2
Tz
t
rTzr
Ttzuуlzaz
t
r n
(101)
где
,))(;,0(,:);,0(),(),0( 2
2
2
2
2
LTL
t
v
t
v
VTLtrvTW dd
)},,0(,0][,,1,0][:),({ TtvNivVtrvV
rdrdd
i
)},,0(,,1),(:),({ 1
2 TtNiWvtrvV id
i
области i составляющие области ,\ d
).()),;(());((
0
iiin
N
i
п dzftduyzuyl
Заменив в тождествах (101) функции z разностью ),()( 1 nn uyuy с учетом
(99) получаем
,~
nun
J
где .~),,(~
0
22
11 dtJtrr
T
пun n
Замечание 12. Если наблюдения проведены лишь во внутренних точках
,id ,,1 Ni то
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 47
,)),;(()( 2
01
dtftduyuJ iin
TN
i
а в сопряженной задаче (100) в точке 2rr необходимо задать ограничение
).,0(,0)2(
2
Tt
rr rr
Тогда ),()),;(());((
1
iiin
N
i
п dzftduyzuyl
а ,~
nun
J где ).,(~
11 trrn
13. Идентификация постоянной Ляме составляющей 1 по известному
смещению внешней поверхности двухслойного цилиндра. Пусть на области
T1 определено уравнение
,)2()2(
2
2
r
y
и
r
y
иr
rt
у
r
(102)
а на T2 уравнение
.)2()2(
2
2
r
y
r
y
r
rt
у
r
(103)
На внутренней и внешней поверхностях составного цилиндра заданы
напряжения
).,0(,2,1, Ttipirrr
i
(104)
В точке r соприкосновения составляющих рассматриваемого тела условия
неидеального контакта имеют вид
).,0(,}{,][ 0 Ttpny r (105)
При t 0 заданы начальные условия
.,, 2110
rу
t
у
уу (106)
Предполагаем, что на внешней поверхности цилиндра известны смещения,
заданные равенством (88).
Получена задача (102)–(106), (88), состоящая в определении положительного
вещественного числа , Ru U при котором решение ),;()( truyuyy
начально-краевой задачи (102)–(106) удовлетворяет равенству (88).
Вместо классического решения начально-краевой задачи (102)–(106) будем
использовать ее обобщенное решение.
Определение 21. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением
начально-краевой задачи (102)–(106) называется функция ),;()( truyuyy
),,0( TW которая 0Vz удовлетворяет системе тождеств
),,0(),(),;(,
2
2
Ttzlzуиaz
t
у
r
(107)
48 ISSN 0572-2691
),,()0(,),,()0)(,( 10 zyrz
t
y
rzyrzyr
(108)
где множества 0),,0( VTW определены в разд. 12,
,)2),((),()2),((),;(
2
1
r
r
dr
r
z
r
y
u
r
z
r
y
r
z
r
y
u
r
z
r
y
urzyиa
1)(,)()(),( 21 iuu при 0)(, iir при .ir
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (107), (108), (90) со-
пряженная задача имеет вид:
,),(,)2()2( 12
2
Tпп tr
r
и
r
иr
rt
r
,),(,)2()2( 22
2
Ttr
rr
r
rt
r
),,0(,0)2(
2
Tt
r
u
r
u
rr
nn
),,0(,,0][,0)2( Ttr
rr
(109)
),,0(,,0)2( Ttr
r
u
r
u пп
),,0(),),;((
1
)2( 02
2
2
Ttftruy
rrr
п
rr
.,0
r
t Tt
Tt
На основании задачи (109) с учетом (107), (108) получаем
nun
J ~ ,
где
Т T
rr
пппп
п dt
r
иy
r
иy
rdtdr
r
иy
r
иy
r
r
0 01 1
)()()()(~
.~,
)()(
0
nu
пп
T
n
Jdt
r
иy
r
иy
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 49
І.В. Сергієнко, В.С. Дейнека
ІДЕНТИФІКАЦІЯ ПАРАМЕТРІВ
ДИНАМІЧНИХ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ
ДЛЯ СКЛАДЕНОГО ЦИЛІНДРА
Розглянуто питання побудови явних виразів градієнтів функціоналів-нев’язок
для ідентифікації градієнтними методами параметрів задач осесиметричного
динамічного деформування складеного довгого циліндра.
I.V. Sergienko, V.S. Deineka
PARAMETERS IDENTIFICATION
OF DYNAMICAL PROBLEMS OF ELASTIC
THEORY FOR COMPOUND CYLINDER
Construction of explicit expressions for functional-discrepances gradients for
parameters identification of problems of axisymmetrical dynamical deformation of
long compound cylinder is considered.
1. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Идентификация параметров составной тонкой пластины,
находящейся под динамическим воздействием // Проблемы управления и информатики.
2007. № 6. С. 33–56.
2. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Решение комплексных обратных задач для гиперболических
многокомпонентных распределенных систем // Кибернетика и системный анализ.
2008. № 2. С. 55–80.
3. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Идентификация параметров динамической задачи теории
упругости тела с включением // Там же. 2009. № 3. С. 75–97.
4. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Системный анализ многокомпонентных распределенных сис-
тем. Киев : Наук. думка, 2009. 640 с.
5. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Оптимальное управление неоднородными распределенными
системами. Киев : Наук. думка, 2003. 506 с.
6. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal control of distributed systems with conjugation
conditions. New York : Kluwer Aсadem. Publ., 2005. 400 p.
7. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некоррект-
ных задач. М. : Наука, 1988. 288 с.
8. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев : Наук. думка, 1970. 308 с.
9. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Киев : Наук. думка, 1972. 508 с.
10. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М. : Наука, 1980. 384 с.
11. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М. : Мир, 1975. — 541 с.
Получено 17.10.2009
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210680 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-17T12:04:29Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. 2025-12-15T07:25:38Z 2010 Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составного цилиндра / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 1. — С. 22-49. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210680 539.3:519.6 10.1615/JAutomatInfScien.v42.i2.10 Розглянуто питання побудови явних виразів градієнтів функціоналів-нев’язок для ідентифікації градієнтними методами параметрів задач осесиметричного динамічного деформування складеного довгого циліндра. Construction of explicit expressions for functional-discrepances gradients for parameters identification of problems of axisymmetrical dynamical deformation of long compound cylinder is considered. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы идентификации и адаптивного управления Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составного цилиндра Ідентифікація параметрів динамічних задач теорії пружності для складеного циліндра Parameters identification of dynamical problems of elastic theory for compound cylinder Article published earlier |
| spellingShingle | Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составного цилиндра Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Методы идентификации и адаптивного управления |
| title | Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составного цилиндра |
| title_alt | Ідентифікація параметрів динамічних задач теорії пружності для складеного циліндра Parameters identification of dynamical problems of elastic theory for compound cylinder |
| title_full | Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составного цилиндра |
| title_fullStr | Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составного цилиндра |
| title_full_unstemmed | Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составного цилиндра |
| title_short | Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составного цилиндра |
| title_sort | идентификация параметров динамических задач теории упругости для составного цилиндра |
| topic | Методы идентификации и адаптивного управления |
| topic_facet | Методы идентификации и адаптивного управления |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210680 |
| work_keys_str_mv | AT sergienkoiv identifikaciâparametrovdinamičeskihzadačteoriiuprugostidlâsostavnogocilindra AT deinekavs identifikaciâparametrovdinamičeskihzadačteoriiuprugostidlâsostavnogocilindra AT sergienkoiv ídentifíkacíâparametrívdinamíčnihzadačteoríípružnostídlâskladenogocilíndra AT deinekavs ídentifíkacíâparametrívdinamíčnihzadačteoríípružnostídlâskladenogocilíndra AT sergienkoiv parametersidentificationofdynamicalproblemsofelastictheoryforcompoundcylinder AT deinekavs parametersidentificationofdynamicalproblemsofelastictheoryforcompoundcylinder |