Особенности и взаимосвязь задач идентификации и управления в условиях неопределенности
Розглянуто два аспекти взаємозв’язку задач ідентифікації систем в умовах невизначеності, а також керування на основі математичних моделей, отриманих за наближеними експериментальними даними. Перший стосується придатності редукованих моделей для синтезу керування, а другий — можливості уточнення стру...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210681 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Особенности и взаимосвязь задач идентификации и управления в условиях неопределенности / В.Ф. Губарев, А.В. Гуммель, А.О. Жуков // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 1. — С. 50-62. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860174241425522688 |
|---|---|
| author | Губарев, В.Ф. Гуммель, А.В. Жуков, А.О. |
| author_facet | Губарев, В.Ф. Гуммель, А.В. Жуков, А.О. |
| citation_txt | Особенности и взаимосвязь задач идентификации и управления в условиях неопределенности / В.Ф. Губарев, А.В. Гуммель, А.О. Жуков // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 1. — С. 50-62. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглянуто два аспекти взаємозв’язку задач ідентифікації систем в умовах невизначеності, а також керування на основі математичних моделей, отриманих за наближеними експериментальними даними. Перший стосується придатності редукованих моделей для синтезу керування, а другий — можливості уточнення структури та параметрів моделі при повторній ідентифікації вже замкнутої зворотним зв’язком за виходом системи.
Two aspects of interdependence of the problems of system identification under uncertainty and control on the basis of mathematical models obtained using approximate experimental data are considered. The first is concerned with the fitness of the truncated models for control synthesis and the second dealing with potential of refining structure and parameters of model while reiterated identification of the system closed by the feedback with respect to system output to obtain more precise model.
|
| first_indexed | 2025-12-17T12:04:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.Ф. ГУБАРЕВ, А.В. ГУММЕЛЬ, А.О. ЖУКОВ, 2010
50 ISSN 0572-2691
УДК 519.7:681.5
В.Ф. Губарев, А.В. Гуммель, А.О. Жуков
ОСОБЕННОСТИ И ВЗАИМОСВЯЗЬ
ЗАДАЧ ИДЕНТИФИКАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Введение
При синтезе управления, как правило, необходимо знание структуры матема-
тической модели управляемого объекта и значений ее параметров. Если модель
априори неизвестна, то следует прибегнуть к методам идентификации систем.
При этом в случае, когда исходная для идентификации информация содержит
стохастическую неопределенность типа белого шума, структура модели и ее па-
раметры могут быть определены с большой точностью при условии, что выпол-
няются необходимые для этого требования идентифицируемости системы (управ-
ляемость, наблюдаемость), а входное воздействие является постоянно возбужда-
ющим и достаточно информативным [1]. Если же вся доступная информация о
погрешностях в исходных данных сводится лишь к ограничивающим их неравен-
ствам, то восстановление модели, включающей все моды, характеризующие пол-
ную динамику исследуемой системы, оказывается принципиально невозможным
по ряду объективных причин, связанных главным образом с тем, что условия
идентифицируемости системы в данном случае существенно усложняются. Так,
плохо управляемые или плохо наблюдаемые моды в условиях ограниченной не-
определенности бывает невозможно отличить от строго неуправляемых и нена-
блюдаемых мод. При этом параметрическая область неразличимости растет с рас-
ширением множества погрешностей и возмущений. В результате приходится
ограничиваться построением усеченной модели, отражающей, на фоне помех,
только существенную динамику системы.
В этой связи возникает естественный вопрос, позволяет ли усеченная модель
синтезировать эффективное управление? Приближенная модель в большинстве
случаев приемлема для синтеза управления, так как в рамках имеющихся ресур-
сов по входу для части степеней свободы системы не удалось получить информа-
тивный сигнал, но тогда и управляющее воздействие при тех же ресурсах вряд ли
существенно повлияет на динамические характеристики неидентифицированых
мод. Однако наличие у системы структурных особеностей может сказаться на ка-
честве регулирования, синтезированного на основе приближенной модели, в час-
тности, если некоторые моды системы характеризуются близкими собственными
значениями и на фоне шумов плохо различимы.
В данной статье описывается и исследуется именно этот случай. Кроме того,
рассмотрена итеративная схема, в которой процедура идентификации системы
чередуется с синтезом уточненного управления, применяя которую в определен-
ных случаях можно получить приемлемое управление. Цель предполагаемой
схемы — сначала попытаться развести корни с помощью обратной связи по
выходу, а затем повторно провести идентификацию замкнутой системы, чтобы
уточнить модель.
Работа выполнена в рамках тематики совместного проекта № 0108U004830 НАН Украины и Россий-
ского фонда фундаментальных исследований «Управление динамическими системами в условиях не-
определенности и возмущений».
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», № 1 51
1. Идентификация и структурные особенности систем
При рассмотрении внутреннего строения и свойств линейных систем, особе-
нно многомерных, т.е. с большим количеством степеней свободы, широко испо-
льзуются такие понятия, как структура системы и структурные свойства. Не менее
важную роль они играют и в теории идентификации систем, когда требуется
установить условия, при которых может быть найдена модель, адекватно и с
приемлемой точностью описывающая процессы, протекающие в системе. Под
структурой чаще имеют в виду способ описания и сложость, например размер-
ность внутренних переменных. Структурные свойства анализируются в рамках
рассматриваемого способа описания. Для линейных систем с описанием в про-
странстве состояний их, как правило, связывают со свойствами матриц, входящих
в модель. Традиционно к структурным свойствам относят устойчивость, управля-
емость, наблюдаемость, связность, минимальную фазовость, инвариантность к
преобразованиям, определяемым особенностями отдельных матриц или их ком-
бинаций. Этим, конечно, далеко не исчерпывается перечень всех свойств систем,
представляющих интерес при исследованиях методов управления и идентифи-
кации. Например, в идентификации вводится понятие идентифицируемости, ко-
торое включает выполнение условий управляемости и наблюдаемости, кроме то-
го, предъявляются определенные требования к входному воздействию, которое
должно обеспечивать достаточную информаивность выходных сигналов. В усло-
виях неопределенности к тому же следует учитывать и особенности возмущений
на входе и выходе системы. Ряд структурных свойств линейных систем устана-
вливается с помощью ранговых критериев или условий невырожденности опреде-
ленных матриц. В полностью детерминированных системах такие критерии впол-
не естественны и конструктивны. Однако, когда соответствующие матрицы, по
которым можно судить о структурных свойствах системы, формируются из нето-
чных эксперементальных данных, они становятся полноранговыми при любом
информативном входном воздействии и/или плохо обусловленными. В результате
проблема структурной идентификации существенно усложняется. Становятся бо-
лее сложными условия, при которых может быть восстановлена модель, хотя и
приближенная, но имеющая внутреннюю размерность, равную числу степеней
свободы исследуемого объекта. Строгая неуправляемость или ненаблюдаемость
превращаются в плохую наблюдаемость и плохую управляемость, границы ко-
торых размыты и зависят от оценок погрешности задания исходных данных.
Здесь полная аналогия с неразличимостью вырожденных и плохо обусловленных
квадратных матриц, поэтому эффективность методов идентификации может су-
щественно снижаться при приближении к указанным границам. Особенно это ка-
сается многомерных систем, поскольку в условиях неопределенности многомер-
ность часто приводит к некорректным постановкам задач.
В данной статье продемонстрированы некоторые эффекты, связанные с пло-
хой управляемостью и наблюдаемостью систем. Сначала дадим некоторые сведе-
ния, полезные при идентификации систем. Как известно, для линейных стацио-
нарных систем матрицы наблюдаемости n и управляемости n имеют вид
,
1
n
n
AC
CA
C
,)( 1BAABB n
n
(1)
где матрицы A, B, C представляют в пространстве состояний некоторую линей-
ную динамическую систему, например дискретную, следующего вида:
52 ISSN 0572-2691
.
,1
kkk
kkkk
Cxy
BuAxx
(2)
В (2) с помощью k и k учитывается некоторая неопределенность системы,
обусловленная наличием в ней неконтролируемых возмущений и погрешностей
при измерениях. Предполагается, что априорная информация о неопределенности
имеет более реалистический характер по сравнению с вероятностным и сводится
к ограничительным неравенствам на величины k и ,k в пределах которых лю-
бая реализация помехи равновероятна. Для простоты полагаем, что входное воз-
действие ku
непосредственно не влияет на выход ,ky т.е. отсутствует в уравне-
ниях измерений.
Важную роль в идентификации играет матрица Ганкеля, являющаяся произ-
ведением матриц наблюдаемости и управляемости. Остановимся на ее свойствах.
Сформулируем и докажем следующую лемму.
Лемма. Детерминант матрицы Ганкеля полностью управляемой и наблюдае-
мой системы ,nnnH где n
— матрица наблюдаемости, а n
— матрица
управляемости, для системы с простыми действительными собственными значе-
ниями и скалярным входом и выходом является инвариантом относительно базиса
и определяется для жордановой реализации соотношением
.)(det
1,
2
n
ij
ji
jiiin bcH (3)
Доказательство. Действительно, пусть имеем систему S с матрицей A и
векторами b и c. С помощью неособой матрицы T можно перейти к системе S
с матрицей A и векторами b и .c Для матриц управляемости справедливо сле-
дующее отношение:
),,,,( 1bAAbb n
n
,),,,( 1
n
n
n TbAbAb
поскольку ,bTb .111 TTAA nn
Аналогично для матриц наблюдаемости
имеем
,
1T
T
T
n
n
Ac
Ac
c
,1
1T
T
T
T
Ac
Ac
c
n
n
n
поскольку .1T Tcc Тогда
nnnnn TTH detdetdetdetdetdetdet 1
nn detdet . Кроме того, .const
1
TT
n
i
iibccbbc Таким образом, устано-
вив инвариантность ,det nH достаточно вычислить его значение для одной из ре-
ализаций системы.
Возьмем жорданову форму реализации и получим
n
A
00
00
00
2
1
,
k
n
k
k
kA
00
00
00
2
1
.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», № 1 53
Тогда ndet и ndet представляются в виде
,)(
1
1
detdetdet
1,
1
1
21
1
1
111
n
ij
ji
jii
n
n
n
n
nnn
n
n bbbb
bbb
bbb
так как
1
1
1
1
n
n
— матрица Вандермонда.
Аналогично имеем ,)(det
1,
n
ij
ji
jiin c откуда
.)(det
1,
2
n
ij
ji
jiiin bcH
Лема доказана.
Поскольку матрица nn является определяющей для идентифицируе-
мости динамической системы, выбор реализации не принципиален для решения
задачи идентификации, в том числе структурной, по крайней мере, в детермини-
рованной постановке. Например, для системы с действительными простыми соб-
ственными значениями, используя жорданову реализацию, по матрице nn
можно качественно судить об идентифицируемости системы отдельно по каждо-
му входу и каждому выходу. Если )(ic — i-я строка матрицы C (i-й выход,
),,1 mi а )(jb — j-й столбец матрицы B ( j-й вход, ),,1 rj то матрица иден-
тифицируемости для этого входа и выхода будет иметь вид
,
00
00
00
),)((
22
11
T V
bc
bc
bc
Vji
njin
ji
ji
nn
(4)
где
12
1
2
2
22
1
1
2
11
1
1
1
n
nnn
n
n
V
— матрица Вандермонда, составленная из простых
значений ,k
.,1 nk По детерминанту матрицы ),)(( jinn и будем судить о
хорошей или плохой управляемости системы и каждой отдельной моды:
.)()(),)(det(
1
2
n
k ms
mskjiknn bcji (5)
На основании (5) сделаем следующие заключения. Чем меньше величина
,kjikbc тем труднее идентифицировать k-ю моду на i-м выходе и j-м входе, т.е.
54 ISSN 0572-2691
погрешность оценивания для нее в условиях неопределенности может быть боль-
шой. Мода k плохо идентифицируемая на i-м выходе при j-м входе может стать
идентифицируемой на других входах и выходах. Мода k, для которой величина
kjikbc мала на всех входах и выходах, будет плохо идентифицируемой, т.е. будет
иметь большую ошибку оценивания ее параметров или будет неразличимой на
фоне шумов и возмущений. Второе произведение в (5) свидетельствует о том, что
моды с близкими собственными значениями также плохо различимы. Более того,
если минимальный многочлен не совпадает с характеристическим многочленом
матрицы А, которая при этом может быть приведена к простому диагональному
виду, то моды ms неразличимы. Важно также то, что даже при большом
значении детерминанта матрицы Ганкеля отдельные моды все же могут быть пло-
хо идентифицируемыми.
Выражение, аналогичное (5), можно построить для случаев, когда матрица А
кроме действительных корней содержит еще и простые комплексные корни, т.е.
ее элементы могут быть из комплексного поля F. Однако дальнейшие условия
идентифицируемости целесообразно рассматривать на основе вход-выходных со-
отношений с модальным разложением, полученным в [2]. На их основе можно
учитывать не только свойства управляемости и наблюдаемости, но и устанавли-
вать информативность входных воздействий.
2. Структурная идентификация
Структуру модели, т.е. ее размерность, будем определять по данным измере-
ний реакции системы ky на входные воздействия в виде последовательности
прямоугольных импульсов. Для этого из осуществляемых измерений формируем
расширенную ганкелеву матрицу вида
.)(
21
21
21
1
1
,,
NN
NN
kNN
yy
yy
yY
(6)
Как следует из уравнения (2), для системы с одним входом и выходом на уча-
стках со свободным движением будет выполняться матричное уравнение
,
212121 ,,,,,, NNNNNN VXY (7)
где ),( 1CAACC
матрица
21,, NNX определяется вектором состояния
системы и имеет вид ,))1(,),1(),(( 111,, 21
NxNxNxX NN а матрица
21,, NNV имеет аналогичное матрице
21,, NNY представление и формируется из
вектора k и скаляра ,k причем k входит в (7) в виде, преобразованном им-
пульсной переходной матрицей. При отсутствии возмущений и помех в системе
имеем ,0
21 ,, NNV и если больше предполагаемой размерности идентифици-
руемого объекта, то ранг матрицы
21,, NNY будет строго равен числу степеней
свободы объекта n. При наличии возмущения или помех измерения, или того и
другого, матрица
21,, NNY с вероятностью 1 будет полноранговой, т.е равной ,
если .1212 NN Последнее всегда будем полагать выполненным, что легко
обеспечивается выбором достаточно большой последовательности данных.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», № 1 55
Предполагая, что погрешности исходных данных малы, можно попытаться
определить размерность модели, используя для этого сингулярное разложение
матрицы
21,, NNY в виде
,T
,, 21
RLH NN (8)
где L и R — ортогональные матрицы, а — диагональная матрица с веще-
ственными сингулярными числами на диагонали, расположенными в порядке не-
возрастания. В детерминированном случае ,0
21,, NNV количество ненулевых
сингулярных чисел всегда равно ,n т.е. числу независимых степеней свободы
объекта. При наличии помех, т.е. в полноранговом случае, можно попытаться
представить матрицу в виде
,
0
0
2
1
где 1 соответствует «существенным» сингулярным числам, характеризующим
наблюдаемые моды, в то время как матрица 2 соответствует сингулярным чис-
лам, порожденным неопределенностью исходных данных. Такое разбиение в об-
щем представляет нетривиальную задачу. Дело в том, что во многих случаях гра-
ница между 1 и 2 не является выраженной, например, различием на порядок
и более, между последним сингулярным числом из 1 и первым из .2 Более то-
го, некоторые моды, особенно для многомерных систем, могут давать сигнал на
уровне, который меньше сигнала имеющихся погрешностей, в результате чего
могут даже оказаться среди не первых сингулярных чисел матрицы .2 Тем не
менее в большинстве существующих методов идентификации такой прием ис-
пользуется для оценивания порядка модели .n Процедура выделения в матрице
существенных сингулярных чисел, которые определяют порядок модели, фак-
тически является регуляризацией, обеспечивающей приближенное решение зада-
чи идентификации, согласованное по точности с исходными данными (рис. 1, 2).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
3
10
2
10
1
10
0
10
1
10
2
10
3
i
i
Рис. 1
56 ISSN 0572-2691
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
3
10
2
10
1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
i
i
Рис. 2
Матрица
21,, NNY формировалась из последовательности данных измерений
}{ ky на участках свободного движения (в интервалах между импульсами), кото-
рые генерировались апериодически устойчивой системой второго порядка с дей-
ствительными собственными значениями при шуме порядка 0,2 % по отношению
к сигналу на выходе. При этом ограничивался модуль амплитуды возмущений
и шума, хотя при ограничениях на их мощность (ограничения по норме в )2l ре-
зультат оставался таким же. Значения сингулярных чисел i ),3,2,1( i при
5,01 и 7,02 представлены на рис. 1, где четко выделяются два «суще-
ственных» сингулярных числа: 1 и 2 , которые определяют точное значение
размерности системы. Когда же собственные числа близки так, что
01,021 , при том же уровне шумов размерность системы определяется, как
видно из рис. 2, равной единице, поскольку вторую моду невозможно выделить из
остальных сингулярных чисел i )1( i . На рис. 3 представлены кривые для
2
1
1 lg
и
3
2
2 lg
в зависимости от величины 21 при шумах
%2,02 (рис. 3, а) и %102 3
1
(рис. 3, б). Видно, что слева от точки пере-
сечения кривых существенным будет только одно сингулярное число, определя-
ющее модель первого порядка, а справа от нее идентифицируется модель второго
порядка, поскольку наибольший разрыв между вторым и третьим сингулярными
числами.
Аналогичная ситуация имеет место, когда плохая идентифицируемость воз-
никает из-за малых значений iibc для отдельных мод или за счет разных по знаку
этих величин для мод с близкими собственными значениями.
После установления размерности модели переходим к задаче параметриче-
ской идентификации. Ее можно решить различными способами. Наиболее
распространен и хорошо отработан 4SID метод, называемый еще методом выде-
ляемого подпространства, в различных его модификациях [3–5]. Преимущества
этого
метода в том, что имеется его алгоритмическая и программная реализации, пред-
ставленные в виде подключаемых модулей к пакету прикладных программ
MATLAB [6]. Хотя состоятельность этого метода доказана только для случая, ко-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», № 1 57
гда имеющиеся погрешности считаются случайными в виде белого шума, на
практике его широко применяют в более общих случаях. Можно использовать
также рекурсивный метод идентификации [7, 8], разработанный специально для
систем с ограниченной неопределенностью.
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
1
2
а
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45
0
1
2
3
4
5
6
7
1
2
б
Рис. 3
Для рассматриваемой двумерной апериодической системы с близкими харак-
теристическими показателями восстанавливается аппроксимирующая модель
первого порядка, у которой собственное значение близко к реальному, а коэффи-
циент c уравнения наблюдения равен ,21 ссс где 1с и 2с соответствуют ге-
нерирующей системе второго порядка с одним входом и выходом. При этом и
генерирующая система, и идентифицированная приведены к нормальной управ-
ляемой форме с .121 bbb
3. Идентификация и обратная связь
Использование наряду с возбуждающим воздействием аддитивной обратной
связи по выходу системы изменяет структурные свойства исходной системы и в
определенных случаях может благотворно повлиять на результаты последующей
за этим идентификации.
Итак, модель идентифицируемого объекта может структурно отличаться от
реальной системы тем, что часть ее динамики немоделируема. Это достаточно ти-
58 ISSN 0572-2691
пичная ситуация, особенно для многомерных систем с идентификацией по неточ-
ным исходным данным.
Здесь возникает два аспекта. Первый связан с пригодностью усеченной моде-
ли для синтеза управления по принципу, скажем, обратной связи, которая должна
обеспечить заданные динамические свойства замкнутой системы; второй — с воз-
можностью улучшить качество восстанавливаемой модели, если задействовать
в процедуре идентификации обратную связь. Например, идентификацию прово-
дить итеративно, замыкая систему на каждой итерации обратной связью, которая
синтезируется для приближенной модели, полученной на предшествующем шаге.
В результате таким итеративным способом можно уточнять модель и синтезиру-
емое управление. Такой метод получил в последние годы признание и стал одним
из направлений исследований по идентификации, ориентированной на управле-
ние [9].
В данной работе на простом примере системы, генерирующей исходные дан-
ные, продемонстрировано, какие проблемы могут возникнуть при реализации
указанных выше подходов. Сначала рассмотрим, что может быть при замыкании
обратной связью системы второго порядка с близкими действительными соб-
ственными значениями, которая в соответствии с рис. 3 идентифицирована как
система первого порядка. Для полученной в результате идентификации модели
первого порядка замыкание отрицательной обратной связью по выходу будет
только повышать запас устойчивости с увеличением коэффициента усиления. В
то же время для реальной системы второго порядка замыкание ее обратной свя-
зью по скалярному выходу )( 2
2
1
1 kkkk xcxckyku даст следующий результат.
Собственные значения замкнутой системы будут иметь вид
,
2
2~ 2
222
11
12,1
qkkqKq
(9)
где ),( 22111 bcbcq ),( 22112 bcbcq .21
Поведение собственных значений с увеличением k зависит от параметров
системы и здесь можно выделить четыре случая.
Случай 1. При 01 q и 1
)(
4
2
1
22
kq
cbk
с увеличением k одно собственное
значение изменяется мало, а второе перемещается в положительном направлении
по действительной оси.
Случай 2. Когда 01 q и ,1
)(
4
2
1
22
kq
cbk
одно из значений также мало изме-
няется с ростом ,k а второе двигается в отрицательном направлении по действи-
тельной оси.
Случай 3. Если 01 q и ,1
4 22
cbk
то с увеличением k собственные
значения расходятся в разных направлениях по действительной оси.
Случай 4. Если 01 q и ,1
4 22
cbk
корни становятся комплексно сопря-
женными и с увеличением k удаляются друг от друга на комплексной плоскости.
Поэтому необходимо учитывать, что для сохранения устойчивости системы
при замыкании системы обратной связью, в отличие от аппроксимирующей моде-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», № 1 59
ли первого порядка, нельзя неограниченно увеличивать .k Устойчивость будет
сохраняться, если выполняется следующее неравенство:
.1
2
2 2
222
11
1
kqkqkq
(10)
Таким образом, в зависимости от структурных особенностей реальной систе-
мы, ее идентификация может дать модель меньшего порядка, а замкнутая систе-
ма, синтезированная по усеченной модели, может не обеспечить желаемых дина-
мических свойств, а в ряде случаев приведет к неустойчивости.
Рассмотрим, как изменяются структурные свойства системы при замыкании
ее обратной связью по выходу. Для двумерного случая матрица наблюдаемости
замкнутой системы имеет вид
,
)()( 12122221221111
21
2
cckbckbccckbckbc
cc
а матрица управляемости —
.
)(
)(
22122222
22111111
2
bckbckbbb
bckbckbbb
Детерминанты этих матриц, определяющие их обусловленность, равны
,det 122 cc ,det 122 bb (11)
т.е. остаются инвариантными относительно замыкания обратной связи. Следова-
тельно, условия идентифицируемости системы не изменились. Если замкнутую
систему представить в управляемой )1
~~
( 21 bb жордановой форме при условии,
что исходная (без управления) система имела то же каноническое управляемое
)1( 21 bb представление, то получим
,~
~~~~
det 12
122
cc
cc ,
~~
det 2 (12)
где ,
~~~
21 2
~
и 2
~
— матрицы наблюдаемости и управляемости канони-
ческой жордановой реализации.
Из (11), (12) следует, что при изменении расстояния между собственными
значениями
~
коэффициенты 1
~c и 2
~c будут меняться так, что детерминант мат-
рицы Ганкеля в соответствии с леммой будет оставаться инвариантным, т.е.
.)
~~
(det
~
det)(detdet 2
12222222 ccHH (13)
Кроме того, инвариантным к преобразованиям будет и скалярное произведение
., 1qcb
Таким образом, с увеличением расстояния между собственными зна-
чениями коэффициенты 1c и 2c изменяются так, что сохраняются указанные ин-
варианты. Данный результат поведения параметров замкнутой системы в зависи-
мости от k продемонстрирован на рис. 4–6. Рис. 4 соответствует случаю 1, когда
одно из собственных значений увеличивается. Кривая 1 иллюстрирует поведение
60 ISSN 0572-2691
разности собственных значений
~
с увеличением .k Кривая 2 показывает изме-
нения 1
~c с увеличением ,k а кривая 3 — поведение .~
2c Рис. 5 соответствует слу-
чаю 2, который соответствует уменьшению одного из собственных значений.
Здесь кривые 1–3 показывают поведение тех же величин ,
~
1
~c и 2
~c при увели-
чении .k Аналогичные результаты для случая 3 продемонстрированы на рис. 6.
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
3
1
4
2
k
Рис. 4
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
3
1
0,5
2
0
k
Рис. 5
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
2
1,5
1
0,5
0
0,5
1
1,5
3
1
2
2
k
Рис. 6
После замыкания системы обратной связью на вход подавалось воздействие
,~
kkk ukyu где ku~ — информативный тестовый сигнал, и проводилась повтор-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», № 1 61
ная идентификация. Начальная разность выбиралась так, чтобы исходная си-
стема )0( k идентифицировалась как система первого порядка. Затем варьиро-
валось значение k и по данным отклика замкнутой системы на воздействие ku~
формировалась расширенная ганкелева матрица и проводилась структурная иден-
тификация по сингулярным числам. В случаях 1 и 2 для широкого диапазона k
в результате идентификации получали модель первого порядка. Хотя при этом
~
росло, но один из коэффициентов ic~ быстро (уже при очень малых )k становился
существенно малым и соответствующая мода оказывалась неразличимой на фоне
шумов. В случае 3, начиная с некоторого значения ,k идентификация замкнутой
системы давала модель второго порядка. В таблице приведены значения первых
шести сингулярных чисел is расширенной матрицы Ганкеля, по которым уста-
навливался порядок модели во всех трех случаях.
Таблица
i
Сингулярные числа замкнутой модели si
для случая на рис. 4 для случая на рис. 5 для случая на рис. 6
1 023+2.1742E 85,0292 0,0416
2 006+7.1009E 0046.0275E 0,0123
3 006+2.0532E 0044.1844E 0047.1737E
4 006+1.7701E 0042.8760E 0044.7098E
5 006+1.4771E 0042.6243E 0044.5866E
6 005+3.2460E 0042.0917E 0043.8745E
Заключение
Идентификация динамических систем при ограниченной неопределенности
очень часто, особенно для многомерных систем, приводит к построению прибли-
женных моделей пониженного порядка по сравнению с системой, генерирующей
данные. Чтобы ответить на вопрос, можно ли использовать их для синтеза управ-
ления, необходимо провести соответствующие исследования. В данной работе
для простейшего случая системы второго порядка показана правомерность поста-
новки такого вопроса. Заметим, что синтез управления по усеченной модели в
определенных случаях не только не улучшает динамические свойства реальной
системы, но может приводить даже к неустойчивости. В многомерных случаях
ситуация может быть еще более запутанной. Нужны дальнейшие исследования,
поскольку на практике имеется достаточно много объектов, подлежащих управ-
лению, но для которых нет подходящего математического описания протекающих
в них процессов, и которое может быть получено с помощью процедуры иденти-
фикации.
В.Ф. Губарев, О.В. Гуммель, О.О. Жуков
ОСОБЛИВОСТІ ТА ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК
ЗАДАЧ ІДЕНТИФІКАЦІЇ ТА КЕРУВАННЯ
В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ
Розглянуто два аспекти взаємозв’язку задач ідентифікації систем в умовах не-
визначеності, а також керування на основі математичних моделей, отриманих
за наближеними експериментальними даними. Перший стосується придатності
редукованих моделей для синтезу керування, а другий — можливості уточнен-
ня структури та параметрів моделі при повторній ідентифікації вже замкнутої
зворотним зв’язком за виходом системи.
62 ISSN 0572-2691
V.F. Gubarev, A.V. Gummel, A.O. Zhukov
PECULIARITIES AND INTERDEPENDENCE
OF IDENTIFICATION AND CONTROL
PROBLEMS UNDER UNCERTAINTY
Two aspects of interdependence of the problems of system identification under un-
certainty and control on the basis of mathematical models obtained using approxi-
mate experimental data are considered. The first is concerned with the fitness of
the truncated models for control synthesis and the second dealing with potential
of refining structure and parameters of model while reiterated identification of the
system closed by the feedback with respect to system output to obtain more precise
model.
1. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователей. — М. : Наука, 1991 — 432 с.
2. Губарев В.Ф. Метод итеративной идентификации многомерных систем по неточным дан-
ным. Часть 1. Теоретические основы // Проблемы управления и информатики. — 2006. —
№ 5. — С. 16–31.
3. Van Overschee P., De Moor B. Subspace identification for linear systems. — Dordrecht (Nether-
lands) : Kluwer Academ. Publ., 1996. —157 p.
4. Van Overschee P., De Moor B. 4SID : Subspace algorithms for the identification of combined
deterministic-stochastic systems // Automatica. — 1994. — 30, N 1. — P. 75–93.
5. Vimberg M. Subspace-based methods for identification of linear time-invariant systems // Ibid. —
1995. — 31, N 12. — P. 1835–1851.
6. Губарев В.Ф., Жуков А.О. Исследование метода итеративной идентификации многомерных
дискретных систем // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 5. — С. 23–38.
7. Губарев В.Ф., Жуков А.О. Исследование условий идентифицируемости при итеративной
идентификации дискретных стационарных систем // Системні дослідження та інформаційні
технології. — 2009. — № 1. — С. 100–115.
8. Жуков А.О. Рекурсивная идентификация дискретных динамических систем с одним входом
и выходом // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 3. — С. 73–86.
9. Жуков А.О. Итеративная идентификация многосвязных дискретных систем // Там же. —
2009. — № 5. — С. 53–65.
10. Hjalmarsson H. From experimental design to closed-loop control // Automatica. — 2005. — 41,
N 3. — P. 393–438.
Получено 30.10.2003
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210681 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-17T12:04:29Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Губарев, В.Ф. Гуммель, А.В. Жуков, А.О. 2025-12-15T07:29:35Z 2010 Особенности и взаимосвязь задач идентификации и управления в условиях неопределенности / В.Ф. Губарев, А.В. Гуммель, А.О. Жуков // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 1. — С. 50-62. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210681 519.7:681.5 10.1615/JAutomatInfScien.v42.i2.20 Розглянуто два аспекти взаємозв’язку задач ідентифікації систем в умовах невизначеності, а також керування на основі математичних моделей, отриманих за наближеними експериментальними даними. Перший стосується придатності редукованих моделей для синтезу керування, а другий — можливості уточнення структури та параметрів моделі при повторній ідентифікації вже замкнутої зворотним зв’язком за виходом системи. Two aspects of interdependence of the problems of system identification under uncertainty and control on the basis of mathematical models obtained using approximate experimental data are considered. The first is concerned with the fitness of the truncated models for control synthesis and the second dealing with potential of refining structure and parameters of model while reiterated identification of the system closed by the feedback with respect to system output to obtain more precise model. Работа выполнена в рамках тематики совместного проекта № 0108U004830 НАН Украины и Российского фонда фундаментальных исследований «Управление динамическими системами в условиях неопределенности и возмущений» ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы идентификации и адаптивного управления Особенности и взаимосвязь задач идентификации и управления в условиях неопределенности Особливості та взаємозв’язок задач ідентифікації та керування в умовах невизначеності Peculiarities and interdependence of identification and control problems under uncertainty Article published earlier |
| spellingShingle | Особенности и взаимосвязь задач идентификации и управления в условиях неопределенности Губарев, В.Ф. Гуммель, А.В. Жуков, А.О. Методы идентификации и адаптивного управления |
| title | Особенности и взаимосвязь задач идентификации и управления в условиях неопределенности |
| title_alt | Особливості та взаємозв’язок задач ідентифікації та керування в умовах невизначеності Peculiarities and interdependence of identification and control problems under uncertainty |
| title_full | Особенности и взаимосвязь задач идентификации и управления в условиях неопределенности |
| title_fullStr | Особенности и взаимосвязь задач идентификации и управления в условиях неопределенности |
| title_full_unstemmed | Особенности и взаимосвязь задач идентификации и управления в условиях неопределенности |
| title_short | Особенности и взаимосвязь задач идентификации и управления в условиях неопределенности |
| title_sort | особенности и взаимосвязь задач идентификации и управления в условиях неопределенности |
| topic | Методы идентификации и адаптивного управления |
| topic_facet | Методы идентификации и адаптивного управления |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210681 |
| work_keys_str_mv | AT gubarevvf osobennostiivzaimosvâzʹzadačidentifikaciiiupravleniâvusloviâhneopredelennosti AT gummelʹav osobennostiivzaimosvâzʹzadačidentifikaciiiupravleniâvusloviâhneopredelennosti AT žukovao osobennostiivzaimosvâzʹzadačidentifikaciiiupravleniâvusloviâhneopredelennosti AT gubarevvf osoblivostítavzaêmozvâzokzadačídentifíkacíítakeruvannâvumovahneviznačeností AT gummelʹav osoblivostítavzaêmozvâzokzadačídentifíkacíítakeruvannâvumovahneviznačeností AT žukovao osoblivostítavzaêmozvâzokzadačídentifíkacíítakeruvannâvumovahneviznačeností AT gubarevvf peculiaritiesandinterdependenceofidentificationandcontrolproblemsunderuncertainty AT gummelʹav peculiaritiesandinterdependenceofidentificationandcontrolproblemsunderuncertainty AT žukovao peculiaritiesandinterdependenceofidentificationandcontrolproblemsunderuncertainty |