Нестохастический подход к определению размерности и параметров линейных авторегрессионных моделей по результатам измерения входных и выходных переменных
Розглянуто задачу ідентифікації розмірності та параметрів авторегресійної моделі лінійної динамічної системи з одним входом та одним виходом за вимірюваними часовими послідовностями входів та виходів. Завади вимірювання вважаються обмеженими. Показано, що керованість динамічної системи — необхідна т...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210682 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нестохастический подход к определению размерности и параметров линейных авторегрессионных моделей по результатам измерения входных и выходных переменных / И.А. Кременецкий, Н.Н. Сальников // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 1. — С. 63-75. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859788957495066624 |
|---|---|
| author | Кременецкий, И.А. Сальников, Н.Н. |
| author_facet | Кременецкий, И.А. Сальников, Н.Н. |
| citation_txt | Нестохастический подход к определению размерности и параметров линейных авторегрессионных моделей по результатам измерения входных и выходных переменных / И.А. Кременецкий, Н.Н. Сальников // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 1. — С. 63-75. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглянуто задачу ідентифікації розмірності та параметрів авторегресійної моделі лінійної динамічної системи з одним входом та одним виходом за вимірюваними часовими послідовностями входів та виходів. Завади вимірювання вважаються обмеженими. Показано, що керованість динамічної системи — необхідна та достатня умова визначення розмірності та параметрів системи за відсутності завад. У загальному випадку точний розв’язок задачі можна отримати, якщо завади досягають своїх граничних значень.
Identification task of dimension and parameters determination of autoregressive model of linear single input and single output dynamical system on measured time series of inputs and outputs is considered. Measurement noise is assumed to be bounded. It was shown that controllability of dynamical systems is necessary and sufficient condition of dimension and parameters determination when noise is absent. In general an exact solution of the problem can be obtained if noise reaches its boundary values.
|
| first_indexed | 2025-12-17T12:04:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
© И.А. КРЕМЕНЕЦКИЙ, Н.Н. САЛЬНИКОВ, 2010
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 63
УДК 681.5.015; 519.23
И.А. Кременецкий, Н.Н. Сальников
НЕСТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ
РАЗМЕРНОСТИ И ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ
АВТОРЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ИЗМЕРЕНИЯ ВХОДНЫХ
И ВЫХОДНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Введение
Задача определения математической модели изучаемого объекта по резуль-
татам измерений его входных и выходных переменных — одна из основных
в теории идентификации. Необходимость ее решения связана с решением двух
важных прикладных задач: получение апостериорной информации об объекте
для построения системы управления и модели прогноза поведения исследуемого
объекта [1].
При идентификации динамических объектов наибольшее применение нахо-
дят авторегрессионные модели [1]. Построение модели предполагает решение
двух взаимосвязанных задач: выбор структуры модели и определение ее парамет-
ров. При использовании линейных авторегрессионных моделей задача выбора
структуры сводится к определению порядка или размерности авторегрессионной
модели. Известно [2–4], что при наличии шумов измерения в данных точно уста-
новить порядок модели невозможно. При предположении, что шумы измерения
обладают устойчивыми стохастическими свойствами, начиная с работы [5], был
предложен целый ряд так называемых информационных критериев [4–7] для вы-
бора порядка модели. В основе этих критериев лежит требование о минимизации
дисперсии отклонения выхода модели от выхода объекта. Эта величина, рассмат-
риваемая как функция порядка модели, имеет минимум [8]. Аналогичное свой-
ство при выборе порядка регрессионных моделей при условии отсутствия полез-
ных стохастических свойств у шумов отмечено в [9, 10].
Непосредственно воспользоваться этим естественным информационным кри-
терием не представляется возможным, так как в него входят величины, недоступ-
ные непосредственному измерению, а именно, значение выхода объекта и диспер-
сия оценки вектора параметров. Для практического использования вместо этих
величин используются их оценки. Различные оценки приводят к разным критери-
ям [4–7] и соответственно к разным значениям порядка модели.
В данной работе рассматривается задача идентификации размерности и па-
раметров линейной авторегрессионной модели с одним входом и одним выходом
на основе использования зашумленных последовательностей измеренных значе-
ний входных и выходных переменных динамической системы. Шумы измерения
считаются ограниченными. Никаких иных предположений о свойствах помех
измерения не делается, т.е. задача рассматривается в так называемой нестохасти-
ческой постановке [10–16]. Известно, что при такой постановке параметры моде-
лей, совместимых с измеренными данными, образуют множество. В данной рабо-
те исследуется вопрос об определении размерности модели, при которой множе-
ство ее параметров будет ограниченным. Показано, что размерности таких
моделей не могут быть больше истинной размерности динамической системы и в
общем случае образуют непрерывный интервал значений.
64 ISSN 0572-2691
1. Постановка задачи
Уравнения конечномерной линейной динамической системы в дискретном
времени ,0 tkttk ,,1,0 k в пространстве состояний в векторно-матрич-
ных обозначениях имеют следующий вид:
),(1 kkkk uBAxx (1)
.T
kkk xCy (2)
В этих уравнениях n
kk Rtxx )( — вектор состояния системы в момент дис-
кретного времени k, nR — n-мерное вещественное евклидово пространство, n —
размерность системы, ky и ku — измеренные скалярные значения выходной
и входной переменных, A — матрица, B и C — векторы соответствующего разме-
ра. Предполагается, что входная и выходная переменные системы измеряются с
ошибками k и k соответственно. Поэтому в уравнение (1) входит величина
),( kku представляющая собой точное, недоступное измерению значение
входной переменной. Уравнение (1) получается из соответствующего уравнения в
непрерывном времени при условии постоянства значения входной переменной на
интервале дискретности .t Невыполнение этого условия может быть учтено
введением дополнительного слагаемого в ошибку измерения .k
При условии наблюдаемости [17, 18] рассматриваемой системы
0])([det T1T CACAC n (3)
из уравнений (1) и (2) можно исключить [19, 20] вектор kx и привести эти урав-
нения к так называемому виду «вход–выход», т.е. получить следующую авторе-
грессионную модель:
.1111 knknknknkk ububyayay (4)
Здесь величина
nknknknkkk bbaa 1111 (5)
представляет собой погрешность, связанную с неточностью измерений входных и
выходных переменных системы. В выражениях (4) и (5) ,, ii ba ,,1 ni — неко-
торые числа, связанные алгебраическими соотношениями с A, B и C.
Предположим также, что система (1) полностью управляемая
.0][det 1 BAABB n (6)
В этом случае полиномы nn
nn aaaa
11
1)( и nbb 1)(
nn bb 1 не имеют общих делителей [19, 21]. Ниже покажем, что это свой-
ство существенно при определении порядка и параметров модели (4).
Будем считать, что априорная информация о свойствах помех измерения
входных и выходных переменных минимальна, а именно, о них известно только
то, что они ограничены:
, ck ck .k (7)
Здесь положительные константы c и c предполагаются известными.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 65
Пусть заданы последовательности измеренных значений входных и вы-
ходных переменных
N
kku
0
}{
и
N
kky
0
}{
, число .nN Предполагается, что
эти последовательности получены в силу уравнений (4) и (5) при ограничении (7),
при некотором фиксированном, но неизвестном значении вектора параметров
T
11
T
21 ),,,,,(),,( nnn bbaappp и числа . nn Число n будем
называть истинной размерностью системы, а вектор p — истинным вектором
параметров.
Заметим, что для заданных последовательностей
N
kky
0
}{
и
N
kku
0
}{
при из-
вестном n задача определения или идентификации вектора p не имеет един-
ственного решения, т.е. в общем случае можно построить целое множество P ,
содержащее вектор p [10, 16]. При выполнении некоторых дополнительных
условий, налагаемых на последовательности
N
kk 0
}{
и ,}{
0
N
kk
например при
достаточно низком уровне помех, числах c и ,c это множество будет ограни-
ченным.
Назовем число n̂ и соответствующее ограниченное замкнутое множество P̂
)ˆ(
ˆ2nRP векторов T
ˆ1ˆ1
T
ˆ21 )ˆ,,ˆ,ˆ,,ˆ()ˆ,,ˆ(ˆ nnn bbaappp оценкой порядка
и параметров системы (4), (5), если для каждого из векторов Pp ˆˆ существуют
последовательности
N
kk 0
}{
и ,}{
0
N
kk
удовлетворяющие условию (7), при под-
становке которых в (4) и (5) эти уравнения превращаются в тождества. Иными
словами, множество P̂ представляет собой множество параметров моделей ви-
да (4) порядка ,n̂ совместимых с измеренной информацией. Каждая модель вида
(4) характеризуется парой ).ˆ,ˆ( Pn В задаче требуется указать способ определения
пар )ˆ,ˆ( Pn и исследовать их свойства.
Рассмотрим задачу определения пар )ˆ,ˆ( Pn при отсутствии помех: 0c
и .0c
2. Решение задачи при отсутствии помех
Зафиксируем некоторое значение числа n. Необходимо найти такой вектор
параметров p, чтобы уравнение (4) при подстановке в него значений последова-
тельностей
N
kku
0
}{
и
N
kky
0
}{
тождественно удовлетворялось при каждом
,,0 Nkk .0 nk Уравнение (4) можно записать в виде уравнения линейной ре-
грессии
,T
kk zpy ,,0 Nkk (8)
где обозначены вектор параметров
T
11 ),,,,,( nn bbaap (9)
и вектор регрессоров
.),,,,,( T
11 nkknkkk uuyyz (10)
Задача определения искомого вектора параметров p будет решена, если си-
стема линейных уравнений (8), которую запишем в виде
,)( pnZY (11)
66 ISSN 0572-2691
имеет решение. В (11) обозначены вектор T),,(
0 Nk yyY и матрица )(nZ
.)( T
0 Nk zz Символ n в обозначении матрицы )(nZ указывает на то, что
векторы ,kz ,,,0 Nkk составляющие эту матрицу, имеют размерность .2n
По предположению вектор
,)( pZpnZY (12)
где ).( nZZ Подставляя (12) в (11), получаем
.pZpZ (13)
Рассмотрим решение этого уравнения для разного соотношения числа n и ис-
тинной размерности .n
При nn (13) принимает вид
.0)( ppZ (14)
Очевидно, что это уравнение имеет решение . pp Известно [22], что это
решение будет единственным, если матрица Z имеет полный ранг, т.е.
.2rank nZ
Выясним вопрос о ранге матрицы .Z Используя определение вектора ,kz
а также уравнение (4) (рассматриваемое при отсутствии помех), можно убедиться,
что изменение kz во времени описывает динамическая система
,1 kkk uBzAz (15)
где матрицы
,
1)1(
21
)1(1
TT
nnn
n
nnn
E
E
ba
A .1
1)1(
1
n
n
B (16)
В этих выражениях ),,( 1
T
naaa и ),,( 1
T
nbbb (звездочки (*) опущены),
lE — единичная ll -матрица, ml — нулевая матрица, имеющая l строк и m
столбцов.
Если система (15) управляема, то вектору kz можно придать любое значение
путем надлежащего выбора последовательности входных воздействий
1
0
}{
k
ssu
[17, 18]. Если система управляема, но не полностью, то вектор kz при любой по-
следовательности входных воздействий }{ ku будет меняться в некотором под-
пространстве. Управляемость системы (15) [19, 21] зависит от наличия общих де-
лителей у полиномов )(a и )(b . По предположению общих делителей у этих
полиномов нет. Поэтому система (15) полностью управляемая и, следовательно,
матрица Z имеет полный ранг при соответствующей последовательности вход-
ных воздействий .}{
0
N
kku
В этом случае решение (11) единственное, . pp
При nn уравнение (13) запишем в виде
,0))(( ppnZ (17)
где ),,( TT bap векторы a и b имеют следующий вид:
,)0,,0,,,( T
1
naaa .)0,,0,,,( T
1
nbbb (18)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 67
Можно убедиться, что строки матрицы )(nZ представляют собой транспониро-
ванные векторы системы (15), в которой векторы a и b определяются выражени-
ями (18). В этом случае полиномы )(a и ),(b соответствующие значениям па-
раметров вида (18), имеют общие делители и, следовательно, векторы kz будут
изменяться в подпространстве размерности меньше .2n Это означает, что
.2)(rank nnZ В этом случае решение однородной системы (17) является подпро-
странством L пространства nR2 размерности 0)(rank2 nZn [22]. Поэтому
можно записать, что
ppp .Lp (19)
Таким образом, при nn решение (11) неединственно и множество его решений
неограничено.
Для случая nn уравнение (13) приводится к неоднородному виду
,)~)(( dppnZ (20)
где векторы
,),,,,,(~ T
11 nn bbaap (21)
.)(
1
n
ni
iinii bZaZd (22)
Здесь iZ — i-й столбец матрицы .Z Система (20) имеет решение [22], если
ранг матрицы )(nZ совпадает с рангом матрицы dnZ )( , или, что то же самое,
что вектор d является линейной комбинацией столбцов матрицы );(nZ которыми
выступают столбцы матрицы ,Z не вошедшие в выражение (22) для вектора d.
По предположению столбцы матрицы Z линейно независимы. Поэтому вектор
d в силу своего определения может быть линейной комбинацией столбцов мат-
рицы )(nZ только при условии, что .0d В этом случае в силу линейной неза-
висимости столбцов iZ из (22) получаем
.;1,0,0 nniba ii (23)
Это равенство противоречит предположению об управляемости объекта (4), т.е.
об отсутствии общих делителей у полиномов )(a и ).(b Поэтому система (20)
или (11) при nn решения не имеет.
Тем самым доказано следующее утверждение.
Утверждение 1. Пусть последовательность 0
0
}{
N
kky
генерируется в силу
уравнения (4) (при отсутствии помех) при некоторой 0
0
}{
N
kku
и некоторых nn
и , pp причем система (4) управляемая, а последовательность входных воз-
действий 0
0
}{
N
kku
такова, что ранг матрицы Z равен .2 n Тогда уравнение (11)
для определения параметров модели не имеет решения при , nn имеет неогра-
ниченное множество решений при nn и единственное решение при . nn
Таким образом, при отсутствии помех измерения размерность модели опре-
делим так: выберем некоторое начальное значение n, составим систему (11) с ис-
пользованием элементов последовательностей
N
kky
0
}{
и
N
kku
0
}{
и найдем ее
решение. Если при данном n решения нет, значит, nn и n надо увеличивать.
68 ISSN 0572-2691
Если решение (11) не единственно, то nn и его величину надо уменьшать.
Большинство методов решения систем линейных алгебраических уравнений поз-
воляет определить отсутствие или наличие решения, а также его единственность.
В частности, этим качеством обладают метод Гаусса [22], рекуррентный метод
наименьших квадратов (РМНК) [23], метод эллипсоидов [24] и др.
Таким образом, во всех рассмотренных случаях ранг матрицы )(nZ не может
превысить значения n2 и о размерности модели (4) можно судить по изменению
ранга матрицы )(nZ с ростом n.
3. Решение задачи при наличии помех измерения
В реальных условиях помехи всегда присутствуют в измерениях. В результа-
те ранг матрицы ),(nZ как правило, максимальный [2], т.е. равен размерности
вектора ,kz n2 при любом числе n. Поэтому судить о размерности модели по
изменению ранга матрицы )(nZ в зависимости от размерности n не представляет-
ся возможным.
Определение размерности системы в отсутствие помех опирается на анализ
решения системы уравнений (11) для определения параметров модели. Поэтому
рассмотрим аналогичную процедуру определения параметров модели в случае
наличия помех измерения.
Зафиксируем некоторое значение размерности n. Тогда задача определе-
ния параметров модели (4), совместимой с данными измерений (последова-
тельностями
N
kku
0
}{
и ),}{
0
N
kky
заключается в нахождении вектора парамет-
ров ,),,,,,( T
11 nn bbaap для которого найдутся последовательности
N
kk 0
}{
и ,}{
0
N
kk
удовлетворяющие условию (7), которые превращают уравне-
ния (4) и (5) в тождества.
Опишем процедуру получения параметров модели (4), совместимой с изме-
ренной информацией. Для этого запишем уравнения (4) и (5) в следующем виде:
)()( 111 nknknkkk yayay
.)()( 111 nknknkk ubub (24)
Последнее уравнение с учетом введенных обозначений можно записать
.)(T
kkkk zpy (25)
Здесь
T
11 ),,,,,( nkknkkk — неизвестный вектор. В силу
условий (7) можно утверждать, что
,k (26)
где множество представляет собой параллелепипед
}.:{ (27)
Векторы
,),,,,,( Tcccc , а неравенства для векторов в
(27) следует понимать покоординатно.
Построим множество векторов ,p̂ для которых найдутся такие вектор k
и скаляр ,k удовлетворяющие условиям (26) и (7) соответственно, которые пре-
вращают уравнение (25) в тождество. При некотором фиксированном (но неиз-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 69
вестном) k с учетом ограниченности k ck( ) из уравнения (25) следует,
что искомый вектор параметров p̂ удовлетворяет неравенству
,)(ˆT
czpy kkkk (28)
что также можно записать в виде
).(ˆ kkzp (29)
Здесь множество })(:{)( T
czpypz kkkkk представляет собой
многомерный слой, т.е. множество, заключенное между двумя параллельными
гиперплоскостями. При каждом k должно выполняться включение (29). По-
этому можно заключить, что вектор p̂ может принадлежать каждому из сло-
ев (29), т.е.
,ˆ kp (30)
где множество
)( kk z (31)
представляет собой объединение слоев ),( kkz k является множеством,
содержащим неизвестный вектор ,p̂ которое можно получить в момент време-
ни k, пользуясь уравнением (25) при условии ограничений (7) и вытекающих из
них (26).
Множество ,k как следует из его определения (31), — объединение беско-
нечного числа слоев ),( kkz .k Кроме того, можно показать, что при
этом оно является невыпуклым. Структура множества k для случая, когда
множество возможных значений вектора k представляет параллелепи-
пед (27), определена и подробно исследована в [25, 10]. В частности, показано,
что граница множества k образована конечным (а не бесконечным) числом ги-
перплоскостей, направляющие векторы которых являются вершинами параллеле-
пипеда .}{ kz Кроме того, множество k является выпуклым в пределах каж-
дого координатного октанта [25, 10].
Включение (30) записано для измерения в дискретный момент времени k.
Модель вида (4) с вектором параметров p̂ совместима с измеренными данными
от начального момента до момента k в том случае, если этот вектор удовлетворяет
включению (30) для всех моментов времени, предшествующих k. Откуда следует,
что
,ˆ kPp (32)
где
k
ks skP
0
(33)
— множество, представляющее пересечение множеств .k Непосредственно из
определения (33) для множества kP следует справедливость рекуррентного
равенства
kkk PP 1 ,0kk (34)
где .
00 kkP
Конструктивные алгоритмы построения множества kP приведены в [25, 10].
Алгоритмы [26, 27] позволяют получить оценку для области kP в виде эллипсои-
да, содержащего множество .kP Получаемое в результате множество NP может
быть ограниченным, неограниченным или пустым.
70 ISSN 0572-2691
Замечание. В дальнейшем нижний символ N у множества NP будем опус-
кать, а чтобы подчеркнуть его зависимость от размерности модели, обозначим
его ).(nP
Если множество )(nP оказалось пустым, то это означает, что при данной
размерности n не существует модели, совместимой с данными измерений. Если
множество )(nP оказалось неограниченным, то это означает, что при данном n
существуют модели, совместимые с измеренной информацией, со сколь угодно
большими значениями параметров. Очевидно, что для целей прогноза или управ-
ления такие модели неприемлемы.
Рассмотрим модели такой размерности, при которой множество их парамет-
ров )(nP будет ограниченным.
Проанализируем, как размерность n моделей с ограниченным )(nP соотно-
сится с истинной размерностью .n Заметим, что наличие помех измерения никак
не влияет на справедливость утверждения 1, т.е. множество )(nP будет содер-
жать при каждой размерности n множество решений уравнения (11). Если вы-
бранная размерность , nn то в соответствии с утверждением 1 множество )(nP
будет неограниченным.
При истинной размерности nn в общем случае нельзя утверждать, что
множество )( nP будет ограниченным. Можно лишь утверждать, что ).( nPp
Действительно, предположим, что границы значений помех c и c в условии (7)
выбраны завышенными. Для определенности положим
, cc , cc (35)
где c и c — истинные границы значений помех измерений, положительный
вещественный параметр .1 При этом задача определения множеств )( nP
становится зависимой от параметра , ).,()( nPnP Пусть 1 и 2 — неко-
торые произвольные значения параметра,
.1 21 (36)
Тогда, используя соответствующие определения, легко показать справедливость
следующих строгих включений:
),,(),()1,()( 21 kkkkkkkk zzzz (37)
),()()1( 21 (38)
),()()1( 21 kkkk (39)
и, как следствие, получаем
).,(),()1,()( 21 nPnPnPnP kkkk (40)
Таким образом, с ростом параметра множество ),( nP будет расширяться и
при некотором станет неограниченным. Действительно, при достаточно боль-
шом будет выполнено условие
yc и ,uc (41)
где обозначено
,max k
k
yy .max k
k
uu (42)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 71
В этом случае kz .k В силу симметрии множества оно содержит
вектор . kz Это означает, что объединение (31) содержит множество
,}:{}:{)()( T
cypcpypz kkk
где — нулевой вектор. Поскольку в силу (41) и (42) , cyk то
n
R
2
)(
и, как следует из (31),
n
k R
2
для всех k.
Таким образом, завышенные границы для интенсивности помех измерения
могут привести к тому, что множество )(nP будет неограниченным даже при
. nn Более того, приведенные рассуждения справедливы для любой размерно-
сти n. Поэтому из них следует, что при достаточно высокой интенсивности помех
и низком значении измеренного сигнала, т.е. при выполнении (41), при любой
размерности невозможно получить ограниченное множество параметров модели.
Также нельзя утверждать, что множество )(nP будет пустым при размерно-
сти , nn как это имеет место при отсутствии помех в силу утверждения 1. Это
можно пояснить с помощью следующих рассуждений. Предположим, что послед-
ние истинные параметры
na и
nb достаточно малы, т.е.
0aan
и ,0bbn
(43)
где — достаточно малое положительное число, ,0 0a и 0b — некоторые
фиксированные числа. По определению вектор истинных параметров удовлетво-
ряет уравнению (24), которое запишем в виде
)()( 111111 *** nknknkkk yayay
,
~
)()( 111111 *** knknknkk ubub (44)
где
.)()(
~
knknknnknknk ubya
(45)
Пусть реализация помехи }{ k такова, что она не достигает своего максимально-
го значения, т.е.
.max ck
k
(46)
С учетом этой оценки, а также (43) и (45) для величины k
~
можно получить
.))()((
~
max 00 cubcyak
k
(47)
Отсюда следует, что при достаточно малом , т.е. при малых значениях
na и
nb
можно получить, что
.
~
max ck
k
(48)
Это означает, что усеченный вектор параметров T
1111 ),,,,,(
*
nn bbaap
удовлетворяет уравнению (44) при условии (48) и, следовательно, соответствую-
щее множество )1( nP будет непустое. Можно провести аналогичные рассуж-
дения для случая нескольких малых коэффициентов или даже для всех коэффици-
ентов, если они достаточно малы.
72 ISSN 0572-2691
В обоих рассмотренных случаях при nn и nn предполагалось, что
помехи не достигали своих максимальных значений.
Рассмотрим, как реализация помех может повлиять на ограниченность множе-
ства )( nP или, точнее, при каких условиях оно будет состоять из одной точки .p
Для простоты рассмотрения предположим, что вектор p находится в определен-
ном октанте, т.е. все координаты вектора p отличны от нуля. Как отмечалось
ранее, множество )( nP в этом октанте выпуклое, как пересечение выпуклых в
этом октанте множеств .k Его границами являются границы множеств ,k
,,1, 00 kkk которые в пределах каждого октанта задаются двумя гипер-
плоскостями. Поэтому в рассматриваемом октанте множество )( nP можно опи-
сать системой линейных неравенств. Из теории линейных неравенств [28, 29] из-
вестно, что множество )( nP будет состоять из одной точки p , если эта точка
принадлежит 12 n граничным гиперплоскостям множества ),( nP у которых,
по крайней мере, один из направляющих векторов не принадлежит выпуклому
конусу, натянутому на остальные n2 направляющих векторов. В то же время
вектор p принадлежит границе множества k при условии, что помеха k
принимает одно из своих экстремальных значений и одновременно вектор k
находится в одной из вершин параллелепипеда , так как именно в этом случае
векторы вершин множества }{ kz являются направляющими векторами гра-
ничных гиперплоскостей множества .k
Таким образом, достижение помехами своих предельных значений служит
достаточным условием точного оценивания параметров модели при условии
. nn А в случае nn для множества )(nP можно получить результат, сфор-
мулированный в утверждении 1.
Заметим, что приведенное выше требование для помех не является каким-то
особенным. Для его выполнения достаточно предположений, обычно используе-
мых при стохастическом подходе [2]. А именно, это требование будет выполнено,
если помехи }{ k и }{ k представляют собой реализации случайных процессов
типа белого шума, статистически независимых с незашумленной последователь-
ностью входных воздействий и между собой, а каждая из величин k и k имеет
отличную от нуля функцию распределения в каждой точке интервалов ),( cc
и ),( cc соответственно.
Подытожим приведенные рассуждения в виде утверждений.
Утверждение 2. Пусть помехи измерения
N
kk 0
}{
и
N
kk 0
}{
удовлетворяют
условию (7). Тогда:
1) для избыточных моделей )( nn множества )(nP будут гарантированно
неограниченными;
2) при условии kz существует достаточно малый уровень помех, c и ,c
при котором множество )( nP ограничено;
3) для неполных моделей )( nn множество )(nP может оказаться непу-
стым, ;)( nP
4) при низком уровне измеренных сигналов kz множество )(nP совпа-
дает со всем пространством, ,)( 2nRnP для модели любого порядка.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 73
Утверждение 3. Пусть помехи измерения удовлетворяют (7), а также сфор-
мулированным выше дополнительным условиям, измеренная реализация входных
и выходных переменных бесконечная, причем .kzk Тогда существует пре-
дел )()( nPnPk при ,k где
.при
,при}{
,при
)(
0 nnP
nnp
nn
nP
Здесь 0P — линейное многообразие решений системы (11), упомянутое в утвер-
ждении 1.
Результаты, сформулированные в утверждении 2 качественно совпадают с
выводами работы [8], касающимися зависимости получаемой по идеальному ин-
формационному критерию размерности модели от отношения уровня помех к из-
меряемому сигналу.
Заключение
В настоящей публикации проанализирована задача определения порядка и
параметров линейной авторегрессионной модели, аппроксимирующей значения
временнх рядов, содержащих измеренные значения входных и выходных пере-
менных линейной динамической системы. При отсутствии шумов измерения за-
дача определения параметров модели сводится к решению системы линейных ал-
гебраических уравнений. Показано, что при неполной модели )( nn эта систе-
ма оказывается несовместной, в случае избыточной модели )( nn она имеет
множество решений. Для истинного порядка nn соответствующая система
имеет единственное решение. При наличии шумов измерения задача определения
параметров модели сводится к решению системы невыпуклых неравенств специ-
ального вида. Показано, что в зависимости от значения размерности модели мно-
жество, состоящее из решений этой системы, может быть пустым, ограниченным
или неограниченным. Предложено в качестве моделей, совместимых с измерен-
ной информацией, рассматривать модели такой размерности, при которой множе-
ство решений системы неравенств ограничено.
Показано, что для определения размерности и параметров модели необходи-
мо знание интенсивности или границ изменения помех измерения входных и вы-
ходных переменных. При условии, что последовательности входных и выходных
переменных заданы, это требование означает, что должно быть известно отноше-
ние интенсивностей помех и измеренных сигналов. При значении этого отноше-
ния, равного единице, множество решений системы неравенств становится не-
ограниченным при любой размерности n, т.е. множество параметров модели лю-
бой размерности неограниченно. Этот результат качественно совпадает с
результатами выбора порядка модели с использованием информационных крите-
риев [8].
Для определения истинного порядка и параметров динамической системы по
зашумленным данным необходимо, чтобы границы значений помех были выбра-
ны существенными, т.е. чтобы помехи достигали этих граничных значений.
В заключение отметим, что предлагаемый анализ не использует каких-либо
упрощений и оценок и позволяет определить целый ряд моделей, совместимых с
измеренными данными. По мнению авторов, эта информация может быть полезна
при окончательном выборе модели с привлечением дополнительных критериев.
74 ISSN 0572-2691
І.О. Кременецький, М.М. Сальніков
НЕСТОХАСТИЧНИЙ ПІДХІД
ДО ВИЗНАЧЕННЯ РОЗМІРНОСТІ ТА ПАРАМЕТРІВ
ЛІНІЙНИХ АВТОРЕГРЕСІЙНИХ МОДЕЛЕЙ
ЗА РЕЗУЛЬТАТАМИ ВИМІРЮВАННЯ ВХІДНИХ
ТА ВИХІДНИХ ЗМІННИХ
Розглянуто задачу ідентифікації розмірності та параметрів авторегресійної мо-
делі лінійної динамічної системи з одним входом та одним виходом за вимірю-
ваними часовими послідовностями входів та виходів. Завади вимірювання вва-
жаються обмеженими. Показано, що керованість динамічної системи — необ-
хідна та достатня умова визначення розмірності та параметрів системи за
відсутності завад. У загальному випадку точний розв’язок задачі можна отри-
мати, якщо завади досягають своїх граничних значень.
I.A. Kremenetskiy, N.N. Salnikov
UNSTOCHASTIC APPROACH
TO DIMENSION AND PARAMETERS
DETERMINATION OF LINEAR AUTOREGRESSIVE
MODELS ON MESUAREMENTS OF INPUT
AND OUTPUT VARIABLES
Identification task of dimension and parameters determination of autoregressive
model of linear single input and single output dynamical system on measured time
series of inputs and outputs is considered. Measurement noise is assumed to be
bounded. It was shown that controllability of dynamical systems is necessary and
sufficient condition of dimension and parameters determination when noise is absent.
In general an exact solution of the problem can be obtained if noise reaches its
boundary values.
1. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временнх рядов. Прогноз и управление. — М. : Мир,
1974. — 604 с.
2. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. — М. : Финансы и статистика, 1981. —
302 с.
3. Перельман И.И. Методология выбора структуры модели при идентификации объектов
управления // Автоматика и телемеханика. — 1983. — № 11. — С. 5–29.
4. Weisberg S. Applied linear regression. — Hoboken; New Jersey : John Wiley & Sons Inc.,
2005. — 310 p.
5. Akaike H.A. A new look at the statistical model identification // IEEE Trans. Automat. Contr. —
1974. — 19, N 6. — P. 716–723.
6. Miller A. Subset selection in regression. — Boca Raton; London; New York : Chapman &
Hall/CRC, 2002. — 234 p.
7. Степашко В.С., Кочерга Ю.Л. Методы и критерии решения задач структурной идентифи-
кации // Автоматика. — 1985. — № 5. — С. 29–37.
8. Степашко В.С. Потенциальная помехоустойчивость моделирования по комбинаторному
алгоритму МГУА без использования информации о помехах // Там же. — 1983. — № 3. —
С. 18–28.
9. Кунцевич В.М. О точности построения аппроксимирующих моделей при ограниченных по-
мехах измерений // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 5. — С. 125–133.
10. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты
в задачах управления и идентификации. — Киев : Наук. думка, 2006. — 264 с.
11. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. — М. : Наука, 1968. — 476 с.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 75
12. Бакан Г. М. Фильтрация в условиях нестатистически заданной неопределенности // Авто-
матика. — 1980. — № 2. — С. 13–21.
13. Куржанский А.Б. Задача идентификации — теория гарантированных оценок // Автоматика
и телемеханика. — 1991. — № 4. — С. 9–26.
14. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. — М. : Наука,
1977. — 392 с.
15. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем: метод эллипсои-
дов. — М. : Наука, 1988. — 320 с.
16. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез оптимальных и адаптивных систем управления. Игро-
вой подход. — Киев : Наук. думка, 1985. — 248 с.
17. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. — М. : Наука, 1976. —
424 с.
18. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. — М. : Мир,
1977. — 653 с.
19. Фомин В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами. — Л. : ЛГУ, 1985. —
336 с.
20. Сальников Н.Н. Адаптивное управление динамическим объектом с ограниченными возму-
щениями и шумами измерений // Кибернетика и вычисл. техника. — 1995. — Вып. 105. —
С. 30–36.
21. Бекетов Р.А., Сальников Н.Н., Храмов С.А. Адаптивное модальное управление дискретным
динамическим объектом // Автоматика. — 1993. — №. 6. — С. 12–21.
22. Постников М.М. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. Лекции по геомет-
рии. — М. : Наука, 1979. — 312 с.
23. Альберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. — М. : Наука, 1977. —
223 с.
24. Бакан Г.М., Нижниченко Е.А. Алгоритм решения счетной системы линейных алгебраиче-
ских уравнений с использованием операции растяжения пространства // Кибернетика. —
1980. — № 5. — С. 42–48.
25. Кунцевич В.М., Лычак М.М., Никитенко А.С. Решение системы линейных уравнений при
наличии неопределенности в ее обеих частях // Там же. — 1988. — № 4. — С. 47–52.
26. Нижниченко Е.А. Идентификация параметров линейного статического объекта при неточ-
но реализуемых управляющих воздействиях // Автоматика. — 1984 — № 5. — С. 20–27.
27. Сальников Н.Н. О задаче одновременного оценивания вектора состояния и параметров ли-
нейного дискретного объекта // Кибернетика и вычисл. техника. — 1988. — Вып. 79. —
С. 4–13.
28. Черников С.Н. Линейные неравенства. — М. : Наука, 1968. — 488 с.
29. Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирова-
ния. — М. : Наука, 1976. — 192 с.
Получено 07.10.2009
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210682 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-17T12:04:29Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кременецкий, И.А. Сальников, Н.Н. 2025-12-15T07:32:57Z 2010 Нестохастический подход к определению размерности и параметров линейных авторегрессионных моделей по результатам измерения входных и выходных переменных / И.А. Кременецкий, Н.Н. Сальников // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 1. — С. 63-75. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210682 681.5.015; 519.23 10.1615/JAutomatInfScien.v42.i1.20 Розглянуто задачу ідентифікації розмірності та параметрів авторегресійної моделі лінійної динамічної системи з одним входом та одним виходом за вимірюваними часовими послідовностями входів та виходів. Завади вимірювання вважаються обмеженими. Показано, що керованість динамічної системи — необхідна та достатня умова визначення розмірності та параметрів системи за відсутності завад. У загальному випадку точний розв’язок задачі можна отримати, якщо завади досягають своїх граничних значень. Identification task of dimension and parameters determination of autoregressive model of linear single input and single output dynamical system on measured time series of inputs and outputs is considered. Measurement noise is assumed to be bounded. It was shown that controllability of dynamical systems is necessary and sufficient condition of dimension and parameters determination when noise is absent. In general an exact solution of the problem can be obtained if noise reaches its boundary values. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы идентификации и адаптивного управления Нестохастический подход к определению размерности и параметров линейных авторегрессионных моделей по результатам измерения входных и выходных переменных Нестохастичний підхід до визначення розмірності та параметрів лінійних авторегресійних моделей за результатами вимірювання вхідних та вихідних змінних Unstochastic approach to dimension and parameters determination of linear autoregressive models on mesuarements of input and output variables Article published earlier |
| spellingShingle | Нестохастический подход к определению размерности и параметров линейных авторегрессионных моделей по результатам измерения входных и выходных переменных Кременецкий, И.А. Сальников, Н.Н. Методы идентификации и адаптивного управления |
| title | Нестохастический подход к определению размерности и параметров линейных авторегрессионных моделей по результатам измерения входных и выходных переменных |
| title_alt | Нестохастичний підхід до визначення розмірності та параметрів лінійних авторегресійних моделей за результатами вимірювання вхідних та вихідних змінних Unstochastic approach to dimension and parameters determination of linear autoregressive models on mesuarements of input and output variables |
| title_full | Нестохастический подход к определению размерности и параметров линейных авторегрессионных моделей по результатам измерения входных и выходных переменных |
| title_fullStr | Нестохастический подход к определению размерности и параметров линейных авторегрессионных моделей по результатам измерения входных и выходных переменных |
| title_full_unstemmed | Нестохастический подход к определению размерности и параметров линейных авторегрессионных моделей по результатам измерения входных и выходных переменных |
| title_short | Нестохастический подход к определению размерности и параметров линейных авторегрессионных моделей по результатам измерения входных и выходных переменных |
| title_sort | нестохастический подход к определению размерности и параметров линейных авторегрессионных моделей по результатам измерения входных и выходных переменных |
| topic | Методы идентификации и адаптивного управления |
| topic_facet | Методы идентификации и адаптивного управления |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210682 |
| work_keys_str_mv | AT kremeneckiiia nestohastičeskiipodhodkopredeleniûrazmernostiiparametrovlineinyhavtoregressionnyhmodeleiporezulʹtatamizmereniâvhodnyhivyhodnyhperemennyh AT salʹnikovnn nestohastičeskiipodhodkopredeleniûrazmernostiiparametrovlineinyhavtoregressionnyhmodeleiporezulʹtatamizmereniâvhodnyhivyhodnyhperemennyh AT kremeneckiiia nestohastičniipídhíddoviznačennârozmírnostítaparametrívlíníinihavtoregresíinihmodeleizarezulʹtatamivimírûvannâvhídnihtavihídnihzmínnih AT salʹnikovnn nestohastičniipídhíddoviznačennârozmírnostítaparametrívlíníinihavtoregresíinihmodeleizarezulʹtatamivimírûvannâvhídnihtavihídnihzmínnih AT kremeneckiiia unstochasticapproachtodimensionandparametersdeterminationoflinearautoregressivemodelsonmesuarementsofinputandoutputvariables AT salʹnikovnn unstochasticapproachtodimensionandparametersdeterminationoflinearautoregressivemodelsonmesuarementsofinputandoutputvariables |