Задача линейного квадратичного регулятора для дескрипторных сосредоточенных и распределенных систем с дискретным временем
Вивчено лінійно-квадратичну дискретну задачу оптимального керування для дескрипторної системи з необмеженими операторними коефіцієнтами. Існування та єдиність оптимального керування встановлено за умови обмеження росту резольвенти в околі нескінченно віддаленої точки. За допомогою отриманих результа...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210683 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача линейного квадратичного регулятора для дескрипторных сосредоточенных и распределенных систем с дискретным временем / М.Ф. Бондаренко, Л.А. Власенко // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 1. — С. 76-85. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860086426089029632 |
|---|---|
| author | Бондаренко, М.Ф. Власенко, Л.А. |
| author_facet | Бондаренко, М.Ф. Власенко, Л.А. |
| citation_txt | Задача линейного квадратичного регулятора для дескрипторных сосредоточенных и распределенных систем с дискретным временем / М.Ф. Бондаренко, Л.А. Власенко // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 1. — С. 76-85. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Вивчено лінійно-квадратичну дискретну задачу оптимального керування для дескрипторної системи з необмеженими операторними коефіцієнтами. Існування та єдиність оптимального керування встановлено за умови обмеження росту резольвенти в околі нескінченно віддаленої точки. За допомогою отриманих результатів досліджено дескрипторні зосереджені та розподілені системи з дискретним часом.
A linear quadratic discrete optimal control problem for a descriptor system with unbounded operator coefficients is studied. The existence and uniqueness of optimal control are established under the condition of resolvent growth restriction in a neighbourhood of infinity. The results are applied to investigate descriptor lumped and distributed systems with discrete time.
|
| first_indexed | 2025-12-17T12:04:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
©, М.Ф. БОНДАРЕНКО, Л.А. ВЛАСЕНКО, 2010
76 ISSN 0572-2691
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
УДК 517.977.5
М.Ф. Бондаренко, Л.А. Власенко
ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО КВАДРАТИЧНОГО
РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ ДЕСКРИПТОРНЫХ
СОСРЕДОТОЧЕННЫХ И РАСПРЕДЕЛЕННЫХ
СИСТЕМ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
Дискретные динамические системы возникают при моделировании процес-
сов с дискретным временем, а также при дискретизации непрерывных моделей
для проведения практических расчетов (см. прикладные задачи в [1–3]). Системы
с сосредоточенными параметрами (сосредоточенные системы) характеризиру-
ются конечным числом степеней свободы и описываются с помощью конечно-
мерных фазовых пространств. Число степеней свободы распределенной системы
бесконечно, и состояния такой системы принимают значения в бесконечномер-
ном пространстве.
Рассмотрим дискретную динамическую систему управления в абстрактной
форме
....,,1,0,1 NnKufyByA nnnn (1)
Здесь A, B — замкнутые линейные операторы, действующие из вещественного
гильбертова пространства Y в вещественное гильбертово пространство X, с обла-
стями определения BA DD , соответственно; K — ограниченный линейный опе-
ратор, действующий из вещественного гильбертова пространства U в простран-
ство X; .Xf n Управление системой (1) осуществляется с помощью управления
,}...,,,{ 10 Nuuu где .Uun В случае сосредоточенной системы (1) пространства
UXY ,, конечномерные и KBA ,, задаются с помощью матриц. Модели процес-
сов, у которых пространственные распределения наблюдаются в дискретные
моменты времени, после квантования времени описываются конечным числом
дифференциальных уравнений с производными по пространственным перемен-
ным [1, гл. VI, § 2]. В абстрактной форме эти уравнения записываются в виде (1)
(производные по пространственным переменным заменяются дифференциальны-
ми операторами A, B). Наличие оператора A обусловлено тем, что соответству-
ющая модель с непрерывным временем описывается уравнением в частных про-
изводных не типа Ковалевской или типа Соболева, которое является не разрешен-
ным относительно старшей производной по времени [4, 5]. Ряд примеров уравнений
и систем уравнений не типа Ковалевской рассмотрен в [6, 7]. В [8, гл. 10] решают-
ся задачи оптимального управления системами с непрерывным временем, опи-
сываемыми псевдопараболическими уравнениями, которые относятся к классу
уравнений не типа Ковалевской. Обобщенное управление псевдопараболически-
ми системами и системами типа Соболева исследуется в [9, гл. 3, 7].
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 77
Система (1) является неявной, так как содержит оператор A при .1ny Если
оператор A имеет нетривиальное ядро, то оператор A и система (1) вырожденные.
В конечномерных пространствах такие системы управления также называют де-
скрипторными [10], сингулярными [11]. Оптимальное управление дискретными
дескрипторными системами в бесконечномерных пространствах с ограниченными
операторами исследуется в [12]. Методы из [13, 14] для исследования нестацио-
нарных дескрипторных систем допускают распространение на бесконечномерные
пространства. Их применение позволяет также исследовать системы вида (1) с не-
стационарными неограниченными операторами ., nn BA
Используем следующую систему обозначений: ],[ YX — пространство огра-
ниченных линейных операторов из X в Y; YYY N ...1 — декартово произ-
ведение пространства Y самого на себя; AKer — ядро оператора A; *A — со-
пряженный оператор к оператору A; Y , — скалярное произведение в прост-
ранстве Y.
Для системы (1) зададим начальное условие
.0 gyA (2)
1. Разрешимость задачи (1), (2)
В соотношениях (1), (2) известными являются операторы A, B, K и векторы
.,, XgUuXf nn Пусть }0{ BA DDD — совместная область опреде-
ления операторов A, B. Задача (1), (2) заключается в нахождении состояний
Dyyy N ...,,, 10 и элемента ,1 ADyA N которые удовлетворяют соотношени-
ям (1), (2). Вектор из таких состояний 1tr
10 )...,,,( N
N Yyyyy назовем реше-
нием задачи (1), (2) или траекторией системы. Для вырожденного уравнения,
когда ядро оператора А нетривиально, вектор DyN 1 находится неоднозначно.
Установим достаточные условия однозначной разрешимости задачи (1), (2)
в классе решений tr
10 )...,,,( Nyyyy и получим формулу вариации постоянных
для представления компонент решения.
С системой (1) связан характеристический пучок операторов .BA Перей-
дем к комплексным оболочкам XY
~
,
~
пространств XY , и комплексным расшире-
ниям BA
~
,
~
операторов ,, BA что позволит ввести в рассмотрение резольвенту ха-
рактеристического пучка. Всюду в дальнейшем будем предполагать, что в неко-
торой замкнутой окрестности бесконечно удаленной точки 2C определена
резольвента ],
~
,
~
[)
~~
( 1 YXBA
для которой выполнена оценка
,,)
~~
( 21
1 CCBA
(3)
где 21, CC — положительные постоянные. Предположение (3) позволяет вос-
пользоваться результатами п. 2.3.3 из [7], чтобы с помощью метода спектраль-
ных проекторов типа Рисса [15] получить прямые разложения линеала D и прост-
ранства X:
.)(,,Ker
,,,
1
1
1222
12121
XBADBDXDAD
ADXXXXDDD
(4)
78 ISSN 0572-2691
Рассмотрим спектральные проекторы 21, PP на 21, DD и 21, QQ на :, 21 XX
.,)(
2
1
,,)(
2
1
12
1
}|
1
12
1
}|
1
2
2
QEQdBAA
i
Q
PEPAdBA
i
P
X
C
Y
C
Здесь XY EE , — единичные операторы в пространствах ., XY Оператор
DDXDBQABPAG G ,:22
отображает kD в kX ),2,1( k имеет ограниченный обратный ],,[1 YXG ко-
торый обладает следующими свойствами:
22
1
1
1
22
1
1
1 ,;,, QQBGQAGDddPdBPGdPAdG
[7, п. 2.3.3].
Теорема 1. Предположим, что выполнено ограничение (3). Тогда для любого
вектора ADg задача (1), (2) имеет единственное решение, которое допускает
представление
)],([ 002
1
0 KufQgGy
,)()()()( 2
1
0
1
1111
nn
n
k
kk
knn
n KufQKufQBGgBGGy (5)
....,,1 Nn
Доказательство. Обозначим ].,[1
1 XXQBGW Согласно разложению
(4) система (1) распадается на две системы:
,...,,1,0),(11 NnKufQWvv nnnn (6)
,...,,1,0),(22 NnKufQByQ nnn (7)
где
.nn yAv (8)
Если y — решение задачи (1), (2), то вектор
1tr
10 )...,,,( N
N Xvvvv — ре-
шение системы (6) с начальным условием
.0 gv (9)
Наоборот, если v — решение задачи (6), (9), то вектор ,)...,,,( tr
10 Nyyyy где
,...,,1,0)],([ 2
1 NnKufQvGy nnnn
— решение задачи (1), (2). Действительно, непосредственно проверяется, что
компоненты ny удовлетворяют соотношениям (6)–(8), которые эквивалентны со-
отношениям (1). Условие (9) эквивалентно условию (2).
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 79
Доказательство теоремы 1 завершается использованием факта однозначной
разрешимости задачи (6), (9) и представлением ее решения в виде
....,,1,)(
1
0
1
1 NnKufQWgWv
n
k
kk
knn
n
Замечание 1. Неоднозначность выбора элемента 1Ny для вырожденной си-
стемы (1) обусловлена наличием нетривиальной проекции .12 NyP Проекция
11 NyP определяется однозначно как ).(1
1
11 NNNN ByKufQGyP
2. Решение задачи оптимального управления
Для оценки качества управления 1tr
10 )...,,,( N
N Uuuuu в задаче (1), (2)
определим функционал качества
.,,)( 11 NN UY
uFuyyRuJ (10)
Здесь ],[ 11 NN YYR и ],[ 11 NN UUF являются неотрицательно опреде-
ленными и, более того, ,, EFER ,0 E — единичный оператор в соот-
ветствующем пространстве. Для блочных операторов FR, используем обозначе-
ния ,}{ 0,,
N
jkjkRR ,}{ 0,,
N
jkjkFF ],,[, YYR jk ].,[, UUF jk Задача опти-
мального управления состоит в нахождении минимума
)(min
1
uJ
NUu
(11)
функционала качества (10) на решениях )(uyy задачи (1), (2). Управление
,)...,,,( tr
*1*0** Nuuuu на котором достигается минимум (11), назовем опти-
мальным управлением, а соответствующее решение )( ** uyy задачи (1), (2) —
оптимальным решением.
Теорема 2. Предположим, что выполнено ограничение (3). Тогда для любого
вектора ADg в начальном условии (2) существует единственное оптимальное
управление ,*u минимизирующее функционал качества (10).
Доказательство. Пусть
....,,1],)()[(
],[
2
1
0
1
1111
02
1
0
NnfQfQBGgBGGw
fQgGw
n
n
k
k
knn
n
(12)
Введем оператор :: 11 NN YUL
.00
000
0000
2
1
1
41
1
31
1
21
1
11
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
KQGKQWGKQWGKQWGKQWG
KQGKQGKWQG
KQGKQG
KQG
L
NNNN
(13)
80 ISSN 0572-2691
В силу теоремы 1 для любого управления 1 NUu существует единственное
решение 1)( NYuyy задачи (1), (2), представим его в виде
,wLuy (14)
где компоненты вектора 1tr
10 )...,,,( N
N Ywwww определены в (12). Тогда
функционал )(uJ (10) можно представить как
.,),()( 11 NN UY
uFuwLuwLuRuJ
Оператор
],[ 11* NN UURLLFM (15)
самосопряженный, а так как ,,
2
11 NN
UU
uuMu то существует ограни-
ченный обратный ],[ 111 NN UUM и справедлива оценка .
11
M Пока-
жем, что оптимальное управление имеет вид
.*1
* RwLMu (16)
Действительно, заметим, что
.),()()(
2
**** 11 NN
UU
uuuuuuMuJuJ
Отсюда следует, что *u (16) — единственное оптимальное управление.
Теорема доказана.
Из (14)–(16) получаем, что соотношение
0* yRLFu (17)
выполняется тогда и только тогда, когда *uu — оптимальное управление и
**)( yuy — оптимальное решение. Оператор ,: 11* NN YUL сопряженный
к оператору L (13), представляет собой
.
000
0
*1*
2
*
*12**
1
**1*
1
**1*
2
*
*11**
1
**1**
1
**1*
1
**1*
2
*
*
GQK
GWQKGQKGQK
GWQKGWQKGQKGQK
L
N
N
(18)
С учетом представления (18) соотношение (17) переписывается в виде
,0* pKFu (19)
где компоненты вектора
1tr
10 )...,,,( N
N Xpppp определяются как
.,1...,,1,0
,)(
0
,
*1*
2
0
,
*1*
2
1 0
,
*11**
1
N
j
jjNN
N
j
jjn
N
nk
N
j
jjk
nk
n
yRGQpNn
yRGQyRGWQp
(20)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 81
Вектор p (20) — единственное решение системы
.0,,1...,,1,0
,)(
*
1
0
,0
*1*
20
*
2
0
,1
*1
1
*1*
1
N
N
j
jj
N
j
jjnnn
pQyRGQpQNn
yRGpBGpQ
(21)
Таким образом, имеем следующий результат.
Теорема 3. Пусть выполнена оценка (3) и .ADg Тогда задача (1), (2), (19),
(21) имеет единственное решение: .,, 1
*
11
*
NNN UuuXpYyy Век-
тор *u является оптимальным управлением задачи (1), (2), (10), (11), а вектор
*y — соответствующим оптимальным решением.
Вспомогательный вектор ,p компоненты которого удовлетворяют систе-
ме (21), назовем вектором сопряженных состояний системы (1), (2). С помощью
соотношения (19) оптимальное управление однозначно определяется вектором
сопряженных состояний p
,*1
* pKFu (22)
здесь ,}ˆ{ 0,,
1 N
jkjkFF
],,[ˆ
, UUF jk поэтому для оптимального решения си-
стема (1) принимает вид
....,,1,0,ˆ
0
*
,1 NnpKFKfByAy
N
j
jjnnnn
(23)
Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда задача (23), (2), (21)
имеет единственное решение ., 11
*
NN XpYyy Оптимальное управление
определяется по формуле (22), а вектор *y является оптимальным решением.
Замечание 2. Если ],[, XYBA — ограниченные линейные операторы, то
система (21) переписывается в виде
.0,
,1...,,1,0,
*
0
,0
*1*
20
*
2
0
,11
**
N
N
j
jj
N
j
jjnnn
pAyRGQpQ
NnyRpBpA
(24)
Приложение 1
Приложение к дескрипторным сосредоточенным системам управления
рассмотрим на примере задачи (1), (2) в пространстве ,2
R UXY когда
.,,
10
01
,
10
01
,
10
10
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
u
u
u
y
y
yKBA
В этом случае соотношения (1), (2) принимают вид
.,...,,1,0,0,0 2
0
222
1
112
1 ayNnuyyuyy nnnnnn (25)
82 ISSN 0572-2691
Управление tr212
0
1
0 ),...,,,( NN uuuuu и решение tr212
0
1
0 ),...,,,( NN yyyyy — век-
торы в пространстве .22 N
R Изучим задачу минимизации функционала качества
N
n
nnn
u
uuyuJuJ
N
0
222122 ]|||||[|)(),(min
22R
(26)
на траекториях системы (25). Функционал (26) допускает абстрактное представ-
ление (11) с единичной матрицей F и блочной матрицей R, у которой все блоки,
кроме диагональных блоков ,
10
00
,
nnR нулевые. Здесь ,
~~ 2
С XY
.
~
,
~
BBAA Условие (3) выполнено, .
10
01
, 1
11
GGAPQ В силу тео-
ремы 2 задача оптимального управления (25), (26) однозначно разрешима. Со-
пряженное состояние np есть вектор .),( tr21
nnn ppp В принятых обозначениях
вспомогательная задача (23), (2), (24) записывается как система соотношений:
.0,0,1...,,1,0,,0
,,...,,1,0,0,0
211
0
2
1
2
1
211
1
2
0
222
1
112
1
NNnnnnn
nnnnnn
pppNnypppp
ayNnpyypyy
(27)
На основании следствия из теоремы 3 оптимальное управление и оптимальное
решение определяются из системы (27): ,),...,,,( tr212
0
1
0* NN pppppu .* yy
Например, для 2N находим ,02
2*
1
2*
1
1*
1
0* uuuu ,
5
32
0* au ;
5
12
1* au
;
5
1
,
5
1
,
5
2 1
2*
1
1*
1
0* ayayay ;
5
1
,
5
2
, 2
2*
2
1*
2
0* ayayay .
5
8
)( 2
* auJ
Приложение 2
Приложение к дескрипторным распределенным системам управления.
В вещественном пространстве ),0(2 LUXY рассмотрим систему вида (1)
с дифференциальными операторами :, BA
,...,,1,0),()()()(1 NnxuxfxByxAy nnnn (28)
},0)()0(),,0()({
,
)(
)(,
)(
)(
2
2
2
2
212
2
zzWxzDD
dx
xzd
xzBz
dx
xzd
xzAz
BA
(29)
где ),,0()(),( 2 Lxuxf nn .0,0 21 Пусть ),0(2
2 W — пространство Собо-
лева порядка 2 функций из ).,0(2 L Зададим начальное условие
).()(0 xgxAy (30)
Изучим задачу минимизации функционала качества
N
n
nn
Lu
dxxuxyuJuJ
N
0 0
22 ]|)(||)(|[)(),(min
1
2
(31)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 83
на решениях системы (28)–(30). Задача (28)–(30) является дискретным аналогом
начально-краевой задачи из [16], которая возникает при описании процесса филь-
трации жидкости в трещиновато-пористых породах [17] при наличии несвободно-
го распределенного внешнего источника [7, разд. 1.5].
Для функции ),0()( 2 Lxz mz обозначает ее коэффициенты Фурье в раз-
ложении
.sin)(
2
,sin)(
01
mxdxxzzmxzxz m
m
m
Пространство XY
~~
есть комплексное пространство ).,0(2 L Операторы BA
~
,
~
определяются теми же дифференциальными выражениями, что и операторы
BA, (29). Для резольвенты
,
3
4
||,sin)
~~
( 21
0
2
2
2
1
1
m
m
mx
mm
z
zBA
ограничение (3) выполнено. Имеем
.sin
1
sin
,sin
1
sin,sin
2
2
2
2111
2
2
21
1
11
22
m
m
m
m
mxz
m
m
xzzBG
mx
m
z
x
z
zGxzzQzP
(32)
К исследованию задачи (28)–(31) применим результаты разд. 1, 2. Здесь
FRK ,, — единичные операторы. Предположим, что функция )(xg в начальном
условии (30) удовлетворяет ограничению .0sin)(
0
xdxxg В силу теоремы 1 зада-
ча (28)–(30) имеет единственное решение, которое строится по формулам (5)
с учетом выражений для операторов BA, (29) и
11
2 ,, BGGQ (32). По теореме 2
задача оптимального управления (28)–(31) однозначно разрешима. С использовани-
ем формулы (22) оптимальное управление
tr
*1*0** ))(...,),(),(()( xuxuxuxu N
определяется вектором сопряженных состояний
:))(...,),(),(()( tr
10 xpxpxpxp N )()(* xpxu . Вспомогательная задача (23), (2),
(21) для нахождения оптимального решения и вектора сопряженных состояний
принимает вид
);()(,,...,1,0),()()()( 01 xgxyANnxfxpxyBxyA nnnn
;1...,,1,0),()()( 1
1
1
1
1
NnxyGxpBGxpQ nnn (33)
.0)(),()( 10
1
202 xpQxyGQxpQ N
В силу следствия из теоремы 3 задача (33) однозначно разрешима и преобразуется
в счетную систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов
Фурье
m
n
m
n py , функций :)(),( xpxy nn
84 ISSN 0572-2691
;)1(,,...,1,0,)()1( 0
22
211
2 mmm
n
m
n
m
n
m
n gymNnfpymym
,1...,,1,0,)()1( 11
2
21
2 Nnypmpm m
n
m
n
m
n
....,2,1,0,)( 11
0
1
021 mpyp m
N
Например, для 1N находим оптимальное управление
x
f
xu
mx
mm
mgmf
x
f
xu
m
mm
sin
1)(
)(
,sin
1)1(
)()1(
sin
1)(
)(
2
21
1
1
1*
2
232
2
2
1
2
0
2
21
1
0
0*
и оптимальное решение
.sin
1)1(
)()1(
sin
1)(
)(
)(
,sin
1
sin
1)(
)(
)(
2
22
2
2
1
2
0
2
21
21
1
1
1*
2
22
21
21
1
0
0*
m
mm
m
m
mx
m
mgmf
x
f
xy
mx
m
g
x
f
xy
В настоящей работе предложен новый метод решения линейно-квадратичной
задачи оптимального управления для дискретных дескрипторных систем с сосре-
доточенными и распределенными параметрами. Практическое применение метода
дано в приложениях.
М.Ф. Бондаренко, Л.А. Власенко
ЗАДАЧА ЛІНІЙНОГО КВАДРАТИЧНОГО
РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ ДЕСКРИПТОРНИХ
ЗОСЕРЕДЖЕНИХ ТА РОЗПОДІЛЕНИХ
СИСТЕМ З ДИСКРЕТНИМ ЧАСОМ
Вивчено лінійно-квадратичну дискретну задачу оптимального керування для
дескрипторної системи з необмеженими операторними коефіцієнтами. Існуван-
ня та єдиність оптимального керування встановлено за умови обмеження росту
резольвенти в околі нескінченно віддаленої точки. За допомогою отриманих
результатів досліджено дескрипторні зосереджені та розподілені системи з
дискретним часом.
M.F. Bondarenko, L.A. Vlasenko
A LINEAR QUADRATIC REGULATOR
PROBLEM FOR DESCRIPTOR LUMPED
AND DISTRIBUTED SYSTEMS
WITH DISCRETE TIME
A linear quadratic discrete optimal control problem for a descriptor system with un-
bounded operator coefficients is studied. The existence and uniqueness of optimal
control are established under the condition of resolvent growth restriction in
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 85
a neighbourhood of infinity. The results are applied to investigate descriptor lumped
and distributed systems with discrete time.
1. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными парамет-
рами. — М. : Наука, 1965. — 476 с.
2. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. — М. : Наука, 1973. —
448 с.
3. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. — М. : Наука, 1973. —
256 с.
4. Соболев С.Л. Задача Коши для частного случая систем, не принадлежащих типу Ковалев-
ской // Докл. АН СССР. — 1952. — 82, № 2. — C. 205–208.
5. Гальперн С.А. Задача Коши для уравнения типа С.Л. Соболева // Успехи мат. наук. —
1953. — 8, № 5 . — C. 191–193.
6. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М. : Мир, 1972. —
588 с.
7. Власенко Л.А. Эволюционные модели с неявными и вырожденными дифференциальными
уравнениями. — Днепропетровск : Системные технологии, 2006. — 273 с.
8. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Оптимальное управление неоднородными распределенными
системами. — Киев : Наук. думка, 2003. — 506 с.
9. Ляшко С.И. Обобщенное управление линейными системами. — Киев : Наук. думка,
1998.— 465 с.
10. Bender D.J., Laub A.J. The linear-quadratic optimal regulator for descriptor systems: discrete-
time case // Automatica. — 1987. — 23, N 1. — P. 71–85.
11. Dai L. Singular control systems. Lecture notes in control and information sciences. — Berlin;
Heidelberg; New York : Springer-Verlag, 1989. — 332 p.
12. Kurina G.A. Linear-quadratic discrete optimal control problem for descriptor systems in Hilbert
spaces // J. of Dynamic. and Control Systems. — 2004. — 10, N 3. — P. 365–375.
13. Bondarenko M.F., Rutkas A.G. On a class of implicit difference equations // Доп. НАН
України. — 1998. — № 7. — C. 11–15.
14. Бондаренко М.Ф., Власенко Л.А., Руткас А.Г. Периодические решения одного класса неяв-
ных разностных уравнений // Там же. — 1999. — № 1. — C. 9–14.
15. Руткас А.Г. Задача Коши для уравнения )()()( tftBxtxA // Диф. уравнения. — 1975. — 11,
№ 11. — C. 1996–2010.
16. Власенко Л.А., Руткас А.Г., Самойленко А.М. Проблема импульсного регулятора для одной
динамической системы типа Соболева // Укр. мат. журн. — 2008. — 60, № 8. —
С. 1027–1034.
17. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории филь-
трации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикл. математика и механи-
ка. — 1960. — 24. — C. 852–864.
Получено 09.11.2009
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210683 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-17T12:04:29Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бондаренко, М.Ф. Власенко, Л.А. 2025-12-15T07:36:11Z 2010 Задача линейного квадратичного регулятора для дескрипторных сосредоточенных и распределенных систем с дискретным временем / М.Ф. Бондаренко, Л.А. Власенко // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 1. — С. 76-85. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210683 517.977.5 10.1615/JAutomatInfScien.v42.i1.30 Вивчено лінійно-квадратичну дискретну задачу оптимального керування для дескрипторної системи з необмеженими операторними коефіцієнтами. Існування та єдиність оптимального керування встановлено за умови обмеження росту резольвенти в околі нескінченно віддаленої точки. За допомогою отриманих результатів досліджено дескрипторні зосереджені та розподілені системи з дискретним часом. A linear quadratic discrete optimal control problem for a descriptor system with unbounded operator coefficients is studied. The existence and uniqueness of optimal control are established under the condition of resolvent growth restriction in a neighbourhood of infinity. The results are applied to investigate descriptor lumped and distributed systems with discrete time. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Оптимальное управление и методы оптимизации Задача линейного квадратичного регулятора для дескрипторных сосредоточенных и распределенных систем с дискретным временем Задача лінійного квадратичного регулятора для дескрипторних зосереджених та розподілених систем з дискретним часом A linear quadratic regulator problem for descriptor lumped and distributed systems with discrete time Article published earlier |
| spellingShingle | Задача линейного квадратичного регулятора для дескрипторных сосредоточенных и распределенных систем с дискретным временем Бондаренко, М.Ф. Власенко, Л.А. Оптимальное управление и методы оптимизации |
| title | Задача линейного квадратичного регулятора для дескрипторных сосредоточенных и распределенных систем с дискретным временем |
| title_alt | Задача лінійного квадратичного регулятора для дескрипторних зосереджених та розподілених систем з дискретним часом A linear quadratic regulator problem for descriptor lumped and distributed systems with discrete time |
| title_full | Задача линейного квадратичного регулятора для дескрипторных сосредоточенных и распределенных систем с дискретным временем |
| title_fullStr | Задача линейного квадратичного регулятора для дескрипторных сосредоточенных и распределенных систем с дискретным временем |
| title_full_unstemmed | Задача линейного квадратичного регулятора для дескрипторных сосредоточенных и распределенных систем с дискретным временем |
| title_short | Задача линейного квадратичного регулятора для дескрипторных сосредоточенных и распределенных систем с дискретным временем |
| title_sort | задача линейного квадратичного регулятора для дескрипторных сосредоточенных и распределенных систем с дискретным временем |
| topic | Оптимальное управление и методы оптимизации |
| topic_facet | Оптимальное управление и методы оптимизации |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210683 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkomf zadačalineinogokvadratičnogoregulâtoradlâdeskriptornyhsosredotočennyhiraspredelennyhsistemsdiskretnymvremenem AT vlasenkola zadačalineinogokvadratičnogoregulâtoradlâdeskriptornyhsosredotočennyhiraspredelennyhsistemsdiskretnymvremenem AT bondarenkomf zadačalíníinogokvadratičnogoregulâtoradlâdeskriptornihzoseredženihtarozpodílenihsistemzdiskretnimčasom AT vlasenkola zadačalíníinogokvadratičnogoregulâtoradlâdeskriptornihzoseredženihtarozpodílenihsistemzdiskretnimčasom AT bondarenkomf alinearquadraticregulatorproblemfordescriptorlumpedanddistributedsystemswithdiscretetime AT vlasenkola alinearquadraticregulatorproblemfordescriptorlumpedanddistributedsystemswithdiscretetime |