Математическая модель недетерминированных процессов на основе теоретико-множественной интерпретации неопределенности

Розроблено нову математичну модель недетермінованих процесів, що базується на теоретико-множинній інтерпретації невизначеності. Введено статистичні характеристики недетермінованої дискретної послідовності та її першої різниці у вигляді певних інтервальних функцій від ширини розглядуваного ковзного і...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Проблемы управления и информатики
Дата:	2010
Автор:	Лычак, M.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Теми:	Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210686
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Математическая модель недетерминированных процессов на основе теоретико-множественной интерпретации неопределенности / M.М. Лычак // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 1. — С. 102-116. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859668736486670336
author	Лычак, M.М.
author_facet	Лычак, M.М.
citation_txt	Математическая модель недетерминированных процессов на основе теоретико-множественной интерпретации неопределенности / M.М. Лычак // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 1. — С. 102-116. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Розроблено нову математичну модель недетермінованих процесів, що базується на теоретико-множинній інтерпретації невизначеності. Введено статистичні характеристики недетермінованої дискретної послідовності та її першої різниці у вигляді певних інтервальних функцій від ширини розглядуваного ковзного інтервалу. При збільшенні вказаної ширини в результаті граничного переходу ці функції можуть стати однозначними і відповідати відомим характеристикам теорії ймовірностей. A new mathematical model for nondeterminate processes is developed. We introduce statistical characteristics of nondeterminate discrete sequence and its first difference of a certain interval functions of the width of the considered sliding interval. When increasing the width specified by the limit, these functions can be unique and consistent with known characteristics in the theory of probability.
first_indexed	2025-12-17T12:04:29Z
format	Article
fulltext	© M.М. ЛЫЧАК, 2010 102 ISSN 0572-2691 МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ И ОЦЕНИВАНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ УДК 519.71:510.22:519.21 M.М. Лычак МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Введение При управлении динамическим объектом важную роль играют внешние воз- мущения, которые действуют на объект, и подключенные к нему устройства, а так- же шумы, определяющие погрешности измерений. Указанные возмущения (шумы) в основном недетерминированные и неконтролируемые. Поэтому возникает про- блема определения статистических закономерностей проявлений этих недетерми- нированных возмущений, что возможно лишь путем исследований достаточно больших последовательностей соответствующих данных. Но в действительности всегда приходится иметь дело лишь с конечными последовательностями, и по- этому невозможно гарантировать для них точное выполнение таких закономерно- стей. Это противоречие в предложенном подходе разрешается на основе методо- логии интервального анализа, а именно: вводятся статистические характеристики недетерминированных последовательностей в виде некоторых интервальных функций от ширины рассматриваемого скользящего временнóго интервала. Это качественно отличает предлагаемый подход от теории вероятностей, где исполь- зуются только однозначные функции [1, 2]. Как известно, значения всех реальных процессов, а также первые разности этих значений ограниченные. Из их ограниченности следует ограниченность среднеарифметических величин самих значений и их первых разностей на конеч- ных интервалах обработки сигнала. При реализации предлагаемого подхода ана- лизируется последовательность внутри скользящего временнóго интервала уста- навливаемой ширины [3]. Рассматривается теоретико-множественная модель не- определенности на основе использования интервального анализа, когда вводятся интервальные характеристики неизвестных ограниченных сигналов [4–6]. Интервальные характеристики могут использоваться для оценки и прогнози- рования неизвестных значений недетерминированных процессов в условиях их неопределенности и непредсказуемости, что позволяет на их основе решать зада- чи интервального (множественного) оценивания определенных информационных параметров [7–10].  Работа выполнена при финансовой поддержке НАН Украины (постановление № 104 от 02.04.2008) в рамках совместного проекта НАН Украины и Российского фонда фундаментальных исследований «Управление динамическими системами в условиях неопределенности и возмущений», а также Госу- дарственного фонда фундаментальных исследований Украины и Российского фонда фундаментальных исследований в рамках совместного проекта Ф28.1/021 «Методы оценивания состояния, анализа до- стижимости и диссипативности динамических систем и синтез управления нелинейными объектами в условиях неопределенности». Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 103 В настоящее время большое распространение получило цифровое измерение выходных координат и цифровое управление динамическим объектом. Поэтому при построении статистических характеристик внешних возмущений и получае- мых погрешностей измерений имеется в виду именно тот случай, когда они рас- сматриваются как последовательности дискретных по времени значений. Введены гарантированные ограничения среднеарифметической и среднеквадратичной ве- личин значений этих последовательностей в границах скользящего временнóго интервала устанавливаемой ширины, а также среднеарифметической и средне- квадратичной величин первой разности этих значений (которые характеризуют текущую среднюю скорость и мощность их изменений). 1. Интервальные статистические характеристики значений ограниченного процесса Рассмотрим дискретную последовательность значений скалярного дискрет- ного возмущения ));(( nfn для всех n. Введенное предположение о суще- ствовании возмущения при всех n, т.е. и при отрицательном дискретном времени, — известный теоретический прием, применяемый для того, чтобы не рассматривать дополнительно краевой эффект появления возмущения начиная с некоторого начального (например, нулевого) момента времени. Этот прием используется, например, при доказательстве теоремы Котельникова [11]. На практике работа с любым сигналом, в частности его прямое или косвенное измерение, имеет начальный момент времени, и это надо учитывать при обработке начального участка измеренных данных (так же, как есть и момент времени окончания изме- рений, что надо учитывать при обработке конечного участка измеренных дан- ных). Однако это не значит, что сигнала не было перед началом измерений или он перестает существовать после окончания этой процедуры. В отличие от вероятностного подхода, рассмотрим случай, когда использу- ются интервальные характеристики ограниченных возмущений [4–6]. Наиболее известны и физически обоснованы предположения об ограниченности значений возмущений (помех) ,const nfn  (1) а также скорости их изменения .,const 1 nnnn fffnf   (2) При этом будем считать, что nf не содержит постоянной составляющей (центри- рованная помеха). В задачах интервального (множественного) оценивания при наличии неизвестной постоянной составляющей в возмущении она относится к неизвестным параметрам объекта или измеренного процесса. Рассмотрим также возможность получения сглаженных значений дискретно- го возмущения и скорости их изменения скользящими окнами с выбранной фик- сированной шириной [3]. Самое простое скользящее окно, которое используется для этого, — прямоугольное окно шириной .0const,120  NNN (3) Тогда для каждого N-го, ,0N значения сглаженной последовательности nf определяются по формуле .,2,1,0,1 0       NnfNf in Ni Ni n (4) Отметим, что именно при использовании на практике процедуры сглажива- ния измеренных данных в зависимости от ширины скользящего интервала дис- 104 ISSN 0572-2691 кретного времени возникают краевые эффекты на начальном и конечном участках измеренной реализации. То же самое происходит и при вычислении первой раз- ности (2) на начальной и конечной точках. Однако эти проблемы решаются путем уменьшения длины сглаженной реализации по сравнению с исходной. Для первой разности это уменьшение происходит ровно на одну конечную точку. Поскольку (по предположению) процесс nf центрированный и не содержит постоянной составляющей, получаем .0lim 1 0       in Ni NiN fN (5) Из (1) и (2) следует, что существуют ограниченные функции )(Nml и ),(Nmu для которых в пределах скользящего временнóго интервала устанавливаемой ши- рины справедливы неравенства ,)( 1 )( 0 nNmf N Nm uin Ni Ni l      (6) .)0()0(,,2,1,0  lu mmN  Для помех измерения функции )(Nml и )(Nmu можно определить экспери- ментально. В этом случае следует провести предварительные измерения извест- ного эталонного сигнала в условиях, которые для данного измерительного прибо- ра и типа измеряемого процесса останутся неизменными и в случае измерений ре- ального неизвестного сигнала такого же типа. Измеряя прибором эталонный сигнал, можно вычислить разность между измеренными и эталонными значения- ми, и таким образом вычислить погрешности измерений. Обработав достаточное количество представительных реализаций исследуемого процесса, можно полу- чить значения неизвестных ограничений из (6) для помех измерения в конкретном случае. Понятие представительной реализации целесообразно связать с фактом многократного достижения этой реализацией значений, близких к граничным, — соответственно (1), (2). Кроме того, можно рассмотреть сглаженную последовательность значений скорости изменения погрешностей .,2,1,0,1 0       NnfNf in Ni Ni n (7) Очевидно, что в соответствии с (2) .nf n  (8) Тем не менее   NnNnNnNn ffff ...21   123121 ... nnNnNnNnNnNnNn ffffffff .... 111121 NnNnNnNnNnNnnnnn ffffffffff   Таким образом, вместо (7) можно записать .,2,1,0,)( 1 1 0    NnffNf NnNnn (9) Тогда, согласно (1), из (9) находим оценку ./2 0 nNf n  (10) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 105 Окончательно получаем, что справедлива система неравенств ,,2,1,0,)()( 1 )( 1 1 0 0        NnNmffNf N Nm uNnNnin Ni Ni l (11) где )(Nml и )(Nmu ))0()0((  lu mm — нижняя и верхняя границы ин- тервальной функции арифметического среднего значений скорости изменения помех. При этом, согласно (8) и (10), справедливы такие оценки для указанных границ: .другихвсехдля)12/(2)(),12/(2)( );12/(2что,0такихдля)(,)( NNNmNNm NNNmNm ul ul   (12) Система неравенств, аналогичная (12), справедлива и относительно значений самой последовательности помех. Введем понятие интегрирующей последова- тельности , ~ nf которая представляет собой решение разностного уравнения ,0 ~ , ~~ , ~ 01   nnnnnn fnfffff (13) где 0n — некоторый начальный момент времени, с которого начинается исследо- вание последовательности .nf Будем считать, что известно ограничение .const ~ 0nnfn  (14) Тогда систему неравенств (6) можно переписать в виде ,,2,1,0,)() ~~ ( 1 )( 01 1 0 0        NnnNmffNf N Nm uNnNnin Ni Ni l (15) где для )(Nml и )(Nmu (соответственно нижней и верхней границ интервальной функции арифметического среднего значений помехи) справедливы оценки .другихвсехдля)12/(2)(),12/(2)( ),12/(2что,0такихдля)(,)( NNNmNNm NNNmNm ul ul   (16) Оценки (12) и (16) можно использовать как границы интервальной функции арифметического среднего значения помехи и скорости ее изменения, когда ис- тинные пределы в (6) и (11) неизвестны. Таким образом, получены интервальные характеристики (6) и (11) ограни- ченных центрированных последовательностей, которые существенно отличаются от характеристик случайных последовательностей типа функций распределения их значений [1, 2]. Тем не менее оказывается, что для них можно также ввести другие интервальные характеристики, которые, с одной стороны, обобщают из- вестные в теории вероятностей характеристики, а с другой — теоретически обос- новывают характеристики вида (6) и (11). При этом в основу развиваемого подхода закладывается концепция семантического доминирования «статистических харак- теристик над характеристиками вероятностными», отстаиваемая в работе [12]. Будем считать, что задано некоторое множество 0F допустимых числовых значений неопределенной последовательности, которое будем называть множе- 106 ISSN 0572-2691 ством элементарных событий, в частности числовой интервал, на котором выпол- няются ограничения (1). При этом некоторый алгоритм выбора элементов данного множества, вполне определенный, формирует из них последовательности чисел определенного класса. Тогда можно ввести интервальные характеристики данного класса последовательностей, которые будем называть хаотичными. Алгоритм вы- бора, с помощью которого они формируются, также будем называть хаотичным. Введем индикативную функцию от некоторого порогового значения ];[  и членов хаотической последовательности :nf        .при0 ,при1 ),( n n n f f fI (17) Определение 1. Для последовательности хаотических событий ,nf ),;( n которая формируется с помощью определенного хаотичного алгоритма выбора элементов из некоторого множества 0F элементарных событий, существуют та- кие функции ,0),(1  NPl ,1),(0  NdPu (18) где ];;[ d ,2,1,0N — последовательные значения, определяющие, со- гласно (3), ширину 0N скользящего окна сглаживания, что для них и членов хао- тичной последовательности справедлива система неравенств .,2,1,0,),(),( 1 ),( 0     NnNPfI N NP uin N Ni l (19) Эти функции будем называть соответственно нижней и верхней границами интервальной функции распределения членов указанной последовательности. По аналогии с теорией случайных процессов установим признак, по которо- му хаотичную последовательность можно назвать случайной [1]. Определение 2. Если для всех 0F существуют предельные переходы ),(),(lim),(lim   PNPNP u N l N (20) то такую хаотичную последовательность будем называть случайной, а однознач- ную функцию распределения )(P — функцией распределения членов случайной последовательности на множестве 0F как случайных событий. Таким же образом может быть введена интервальная функция частот членов хаотичной последовательности, с помощью которой можно получить полный аналог плотности распределения членов случайной последовательности [1]. На множестве 0F в указанном пространстве введем такую индикативную функцию )(I от ,0F ,0F и членов хаотичной последовательности )),;(( nfn которая задается следующим образом:       .илипри0 ,при1 ),,( nn n n ff f fI (21) Определение 3. Для членов любой хаотичной последовательности ,nf для которых справедлива система неравенств (19), существуют такие функции ,1),,(0  NPl ,1),,(0  NPu (22) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 107 где ,0F ,0F ,,2,1,0 N что выполняется система неравенств ,),,(),,( 1 ),,( 0 nNPfI N NP uin N Ni l     (23) .,2,1,0 N Функции ),,( NPl  и ),,( NPu  будем называть соответственно нижней и верхней границами интервальной функции частот членов хаотичной по- следовательности на множестве .0F Очевидно, что при , т.е. , выполняются соотношения ),,(),,( ),,(),,( NPNP NPNP uu ll   (24) что доказывает существование функций ),,( NPl  и ),,( NPu  для других значений , так как, согласно (19) и (24), для них существуют ограниче- ния снизу и сверху. С другой стороны, справедливы неравенства ),(),(),,( ),,(),(),,( NPNPNP NPNPNP ull luu   (25) .,2,1,0,, 00  NFF Следствие 1. Если для случайной последовательности, по определению 2, существует функция распределения ее членов )(P на множестве ,0F то, соглас- но определению 3, существует функция частот членов этой случайной последова- тельности ),,,(lim),,(lim),( NPNPP u N l N   (26) причем .,)()(),( 00 FF  PPP (27) Справедливость соотношений (26) и (27) непосредственно следует из (20), (23) и (25). Следствие 2. Если для членов случайной последовательности, по определе- нию 2, существует непрерывная и дифференцированная функция их распределе- ния ),(P а значит, согласно следствию 1 (соотношения (26) и (27)), существует функция частот их распределения ),()(),(  PPP то существу- ет функция ),( которую будем называть плотностью распределения членов случайной последовательности на множестве элементарных событий ,0F и эта функция определяется следующим образом: . )( ))()(( 1 lim),( 1 lim)( 00         d dP PPP (28) Из последнего выражения следует .)()( duuP     (29) 108 ISSN 0572-2691 Значения функции )( для конкретных ];[  отвечают понятию плот- ности вероятности реализации членов случайной последовательности nf [1] при ее формировании путем случайного выбора элементов из множества элементар- ных событий .0F Для существования функции )( необходимо выполнение до- статочно жестких требований вида (20) и дополнительно — непрерывность и су- ществование производной функции распределения ).(P Этим обусловлены труд- ности, с которыми сталкивались исследователи, старавшиеся заложить понятие ве- роятности в основу методологии работы со случайными последовательностями. В рамках настоящего подхода понятие вероятности не используется, а функции )( и )(P — некоторые предельные случаи, которые возможны лишь при опре- деленных условиях. Они получены на основе общих понятий интервальной функ- ции распределения хаотичных событий и интервальной функции частот этих событий в соответствии с определениями 1 и 3. Установим взаимосвязь между интервальными характеристиками хаотичной последовательности, для которой выполняются неравенства вида (6) и (19). Вычислим ,),( n f n fddfI n     (30) откуда получим ).( 1 ),( 1 ),( 1 000 in N Ni N Ni inin N Ni f N dfI N dfI N                      Взяв такой же интеграл от других членов соотношения (19) для этого случая (рассматривая N как параметр), получаем неравенства .),()( 1 ),( 0         dNPf N dNP uin N Ni l (31) Таким образом, справедливо следующее утверждение. Утверждение 1. Пусть существует хаотичная дискретная последователь- ность ,nf для которой выполняются неравенства вида (19). Тогда значения чле- нов любой ее части удовлетворяют системе неравенств вида (6), где .),()(,),()(       dNPNmdNPNm luul (32) Эти функции будем называть соответственно нижней и верхней границами интервальной функции от величины N, которая характеризует ширину рассматри- ваемого интервала, среднего арифметического на этом интервале хаотичной по- следовательности .nf Таким образом, соотношения (32) устанавливают прямую взаимосвязь между границами интервальной функции распределения хаотичных событий и интер- вальными ограничениями на среднеарифметическое значение членов любой части хаотичной последовательности определенной длины. Следствие 3. Если выполняются (20) и (32), то существует ,0)()(lim)(lim      dPNmNm u N l N (33) так как, согласно условию (5), процесс nf не содержит постоянной составляю- щей и является центрированным. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 109 С другой стороны, среднеарифметическая величина значений последователь- ности случайных событий, которая определяется условием (33), полностью соо- тветствует понятию математического ожидания случайной величины теории веро- ятностей. Указанное соответствие вытекает из (33) и того факта, что математическое ожидание .)()()( )( }{              dPdPPd d dP fM n 2. Интервальные статистические характеристики пар значений ограниченного процесса На множестве 0F введем такую индикативную функцию от ,0 )1( F 0 )2( F и членов хаотичной последовательности ,nf что .,2,1,0, илипри0 ипри1 ),,,( )2()1( )2()1( )2()1(            n ff ff ffI nn nn nn (34) Таким образом, единичными значениями функция (34) отмечает определен- ную взаимосвязь между поведением значений хаотичной последовательности nf в каждый момент времени n и ее же значениями в момент времени, сдвинутый на  тактов по отношению к исходному. Определение 4. Нижней и верхней границами взаимной интервальной функ- ции распределения членов ограниченной согласно (1) и (14) последовательности ),;(, nfn которая формируется с помощью определенного хаотичного ал- горитма выбора элементов из некоторого множества элементарных событий ,0F будем называть такие функции ,0),,,(1 )2()1(  NPl ,1),,,(0 )2()1(  NPu где ];[],;[ )2()1(  — некоторые пороговые значения, ,2,1,0N — последовательные значения, определяющие, согласно (3), ширину 0N скользяще- го окна сглаживания, а ...,2,1,0 — последовательные значения, определяю- щие количество тактов сдвига, что для них и членов хаотичной последовательно- сти справедлива система неравенств ,),,,(),,,( 1 ),,,( )2()1()2()1( 0 )2()1( nNPffI N NP uinn N Ni l     (35) .,2,1,0,,2,1,0   N Следовательно, существует взаимная интервальная функция распределения всех пар хаотичных дискретных событий последовательности nf в моменты вре- мени, которые отличаются на  тактов. Естественно, что в этом случае для 0 взаимные характеристики определяются собственными характеристиками такой хаотичной последовательности: ),,()0,,,(),,()0,,,( NPNPNPNP uull  ],),,([min)0,,,( )2()1()2()1( NPNP ll  (36) ].),,([min)0,,,( )2()1()2()1( NPNP uu  110 ISSN 0572-2691 В общем случае при 0 .,2,1,0,0)],(),,([min),,,( )2()1()2()1(  NNPNPNP uuu Определение 5. Если для всех ];[],;[ )2()1(  существует ),,,(),,,(lim),,,(lim )2()1()2()1()2()1(   PNPNP u N l N (37) то будем говорить о взаимно случайной последовательности ,nf а функцию ),,( )2()1( P назовем взаимной функцией распределения всех пар случайных событий в последовательности, которые отличаются по времени на  тактов. В силу (36) из (37) следует (20), а поэтому из понятия взаимной случайности, соответствующего определению 5, следует понятие случайности, соответствую- щее определению 2. Однако, наверное, возможны особые случаи, когда из (20) не следует (37), т.е. из случайности всех отдельных событий не обязательно следует случайность всех их соответствующих пар, так как при этом накладываются более жесткие условия в виде существования предельных переходов вида (37). По функции )(I в виде (34) для всех пар членов хаотичной последователь- ности можно определить аналогичную функцию в виде (17) для отдельных членов этой последовательности ).0,,,,(),( ),0,,,,(),( )2()2( )1()1( nnn nnn ffIfI ffIfI   (38) Соответственно ).0,,,(),( ),0,,,(),( )1()1( )1()1( NPNP NPNP uu ll   (39) На множестве элементарных событий 0F введем функцию ),,,,,( )2()2()2()1()1()1(  nn ffI от 0 )2()2()2()1()1()1( ),,,( F и всех пар членов хаотичной последова- тельностей nf и ,nf ),;( n такую, что                .илитакжеа ,илипри0 ,и при1 )( )2()2()2( )1()1()1( )2()2()2( )1()1()1( nn nn n n ff ff f f I (40) Определение 6. Если для всех пар хаотичных дискретных событий последова- тельности ),;(, nfn в моменты времени, которые отличаются на  тактов, справедлива система неравенств (35), то существуют такие соответствующие функции ,1),,,,,(0 )2()2()2()1()1()1(  NPl ,1),,,,,(0 )2()2()2()1()1()1(  NPu где ,, 0 )1()1( 0 )1( FF  ,, 0 )2()2( 0 )2( FF  ;,2,1,0 N ,,2,1,0  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 111 что выполняется система неравенств ,)(),,,,,( 1 )( )4()3()2()1( 2 0 nPffI N P uinin N Ni l     (41) .,2,1,0,,2,1,0   N Функции )( lP и )( uP будем называть соответственно нижней и верхней границами взаимной интервальной функции частот всех пар хаотичных событий последовательности ),;(, nfn на множестве элементарных событий .0F Очевидно, что при  )2()2()1()1( ).,,,(),,,,,( ),,,,(),,,,,( )2()1()2()1( )2()1()2()1(   NPNP NPNP вu ll (42) Выражения (42) доказывают существование функций )( lP и )( uP при других значениях ,, )2()1(  так как, согласно (35) и (42), для них существуют ограни- чения снизу и сверху. С другой стороны, справедливы неравенства ),,,(),,,()( ),,,,(),,,()( )2()2()1()1()2()1( )2()2()1()1()2()1(   NPNPP NPNPP ull luu (43) ,, 0 )1()1( 0 )1( FF  .,2,1,0,,2,1,0,, 0 )2()2( 0 )2(   NFF Неравенства (35) и (41) устанавливают связь между границами взаимной ин- тервальной функции распределения или функции частот и ограничениями на зна- чения всех пар хаотичных дискретных событий последовательности nf в момен- ты времени, которые отличаются на  тактов. Следствие 4. Если, согласно определению 5, для значений всех пар случай- ных дискретных событий последовательности nf в моменты времени, которые отличаются на  тактов, существует взаимная функция их распределения ),,( )2()1( P на множестве элементарных событий ,0F то в соответствии с определением 6 существует функция частот этих случайных событий  ),,,,( )2()2()2()1()1()1(P   ),,,,,(lim )2()2()2()1()1()1( NPl N ),,,,,,(lim )2()2()2()1()1()1(   NPu N (44) причем  ),,,,( )2()2()2()1()1()1(P ),,(),,( )2()2()1()1()2()1(  PP ,,1,0  (45) ,, 0 )1()1( 0 )1( FF  ., 0 )2()2( 0 )2( FF  Справедливость соотношений (44) и (45) непосредственно следует из (37), (41) и (43). 112 ISSN 0572-2691 Следствие 5. Пусть, согласно определению 5, для значений всех пар случай- ных дискретных событий последовательности nf в моменты времени, которые от- личаются на  тактов, на множестве элементарных событий 0F существует взаим- ная функция их распределения ),,,( )2()1( P которая имеет непрерывную сме- шанную частную производную второго порядка при любых  ( рассматривается как параметр). Тогда, согласно следствию 4, существует взаимная функция частот их распределения вида (44), а значит, существует функция ),,,( )2()1(  которую будем называть плотностью распределения пар случайных событий на множестве элементарных событий ,0F и эта функция определяется следующим образом:     )2()1( )2()1(2 )2()1( ),,( ),,( P      ),,,,( 11 lim )2()2()2()1()1()1( )2()1( 0 0 )2( )1( P )).,,(),,(( 11 lim )2()2()1()1()2()1( )2()1( 0 0 )2( )1(      PP (46) Из последнего выражения получаем .),,(),,( 2121 )2()1( )1( )2( duudkuuP        (47) Значения функции ),,( )2()1(  для конкретных ],;[)1(  ];[)2(  соответствуют понятию плотности вероятности пар случайных событий последо- вательности nf в моменты времени, которые отличаются на  тактов, на множе- стве элементарных событий 0F [1]. Вычислим для каждого фиксированного n и  последовательный двойной ин- теграл                )2()1()2()1( ),,,( ddffI inin ),)(()2()1(      inin ff ffdd inin (48) так как индикативная функция )(I из (40) принимает единичное значение, когда )1(inf и .)2(inf Поэтому интегрирование по )1( в (48) начинается со значения ,)1( inf  а интегрирование по )2( — со значения .)2(  inf Следовательно,                  )2()1()2()1( 0 ),,,( 1 ddffI N inin N Ni ).)(( 1 0     inin N Ni ff N Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 113 Тогда, проинтегрировав систему неравенств (35), получаем следующую систему неравенств:         ))(( 1 ),,,( 0 )2()1()2()1( inin N Ni l ff N ddNP .,2,1,0,,2,1,0,),,,( )2()1()2()1(        NnddNPu (49) Неравенства (49) можно записать в виде ,,2,1,0,,2,1,0,),(),,(),(   NnNRNnRNR ul (50) где )),(( 1 ),,( 0 inininin N Ni ffff N NnR     (51) ,),,,(),( 2)2()1()2()1(       ddNPNR ll (52) .),,,(),( 2)2()1()2()1(       ddNPNR uu (53) Таким образом, получаем следующее утверждение. Утверждение 2. Пусть для всех пар хаотичных дискретных событий после- довательности ));(( nfn справедлива система неравенств (35). Тогда зна- чения пар членов любой части этой последовательности (в моменты времени, которые отличаются на  тактов) удовлетворяют системе неравенств (50) для функционала (51), где функция ),( NRl из (52) и функция ),( NRu из (53) — соответственно нижняя и верхняя границы интервальной автокорреляционной функции членов хаотичной последовательности. Следует отметить, что функционал (51) имеет вид, отличающийся от вида, принятого в теории стохастических процессов, наличием не только средней сум- мы произведений этих пар членов последовательности, но и среднеарифметиче- ских их значений. Тем не менее они становятся идентичными, если утверждение 2 рассматривается для случайной стационарной последовательности, когда учиты- вается только асимптотическое поведение при ;N тогда среднеарифметиче- ские значения приравниваются к нулю, так как последовательность центрирована. Неравенства (50) с учетом (51)–(53) устанавливают связь между границами взаимной интервальной функции распределения и нелинейными (среднеквадра- тичными) ограничениями на значения членов хаотичной последовательности. Следствие 6. При условиях утверждения 2 для случайной последовательности согласно определению 5 можно ввести понятие автокорреляционной функции (от ) .),,( 12 1 lim)( 2)2()1()2()1(           ddPff N R inin N NiN (54) Рассмотрев в рамках утверждения 2 в отдельности случай ,0 можно вве- сти понятие интервального второго момента членов хаотичной последовательности. Следствие 7. При условиях утверждения 2 справедливы неравенства ),()2( 12 1 )( 2 NDff N ND uinin N Ni l       (55) 114 ISSN 0572-2691 где функции )0,()( NRND ll  из (52) и )0,()( NRND uu  из (53) — соответ- ственно нижняя и верхняя границы интервальной функции второго момента чле- нов хаотичной последовательности .nf Следствие 8. При условиях утверждения 2 для центрированной взаимной случайной последовательности согласно определению 5 можно ввести понятие дисперсии ее членов .)0,,( 12 1 lim 2)2()1()2()1(2           ddPf N D in N NiN (56) 3. Интервальные статистические характеристики для последовательности значений скорости изменения ограниченного процесса Изложенная методология введения интервальных статистических характери- стик для последовательности nf значений ограниченного процесса может быть распространена на последовательность nf значений скорости изменения этого процесса. Эти значения удовлетворяют ограничениям (2), а значит, можно счи- тать, что они принадлежат некоторому множеству элементарных событий ,0F которое содержит числа из интервала ].;[  Введем индикативную функцию от некоторого порогового значения ];[  и членов ограниченной неопределенной последовательности nf        .при0 ,при1 ),(ˆ n n n f f fI (57) Определение 7. Нижней и верхней границами интервальной функции распре- деления членов ограниченной по (2) последовательности nf )),;(( n ко- торая формируется как первая разность последовательности nf значений ограни- ченного процесса, будем называть такие функции ,0),(ˆ1  NPl ,1),(ˆ0  NPu (58) где ],;[  ,2,1,0N — последовательные значения, которые определя- ют, согласно (3), ширину 0N скользящего окна сглаживания, что для них и чле- нов хаотичной последовательности справедлива система неравенств ),(ˆ),(ˆ 1 ),(ˆ 0 NPfI N NP uin N Ni l     .,2,1,0,  Nn (59) Определение 8. Если для всех 0F существуют предельные переходы ),(ˆ),(ˆlim),(ˆlim   PNPNP u N l N (60) то хаотичную последовательность )];([  nfn будем называть случайной, а однозначную функцию )(ˆ P — функцией распределения членов этой случай- ной последовательности как случайных событий. Тогда справедлив аналог утверждения 1. Утверждение 3. Пусть существует хаотичная дискретная числовая последо- вательность ,nf для которой выполняются неравенства вида (1), (2) и (19), а так- же сформированная из нее как ее первая разность хаотичная дискретная последо- вательность ,nf для которой выполняются неравенства вида (59). Тогда значе- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 1 115 ния членов любой части последовательности nf удовлетворяют системе нера- венств (11), где       ,),(ˆ)(,),(ˆ)( dNPNmdNPNm lull (61) которые будем называть соответственно нижней и верхней границами интерваль- ной функции среднего арифметического на этом интервале значений хаотичной последовательности nf от величины N, которая характеризует ширину рассмат- риваемого интервала. Согласно неравенствам (11), фактически эта функция зави- сит от разницы между следующим значением последовательности nf после кон- ца скользящего интервала времени и первым ее значением в начале этого интер- вала, разделенной на ширину указанного интервала. Отметим, что границы интервальной характеристики в (11) могут быть определены экспериментально для помех измерений с помощью той же процедуры, что и границы интервальной характеристики в (6). Аналогично и все другие рассмотренные нами интервальные статистические характеристики (для последовательности )nf могут быть перенесены на случай последовательности nf (первой разности значений ограниченной последова- тельности), в том числе для пар значений ,nf которые по времени отличаются на  тактов. Выводы Разработана математическая модель ограниченных по величине и по скоро- сти изменения неопределенных возмущений на основе теоретико-множественной интерпретации неопределенности. Введены статистические характеристики неде- терминированной дискретной последовательности, которые позволяют гаранти- ровать при определенных условиях выполнение линейных неравенств (вида (6)) для ее членов, а также квадратичных неравенств (вида (50)–(53)) для пар ее чле- нов (в моменты времени, которые отличаются на  тактов). Можно установить аналогичную взаимосвязь между поведением значений первой разности хаотичной последовательности nf в каждый момент времени n и ее же значениями в момент времени, сдвинутый на  тактов по отношению к ис- ходному, т.е. гарантировать выполнение линейных неравенств вида (11), а также квадратичных неравенств — аналогов (50)–(53) для пар ее членов (в моменты времени, которые отличаются на  тактов). Все полученные неравенства могут служить основой для интервального (множественного) оценивания информативных параметров в задачах аппроксима- ции (фильтрации) [7–9] и идентификации [10]. М.М. Личак МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ НЕДЕТЕРМІНОВАНИХ ПРОЦЕСІВ НА ОСНОВІ ТЕОРЕТИКО-МНОЖИННОЇ ІНТЕРПРЕТАЦІЇ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ Розроблено нову математичну модель недетермінованих процесів, що базується на теоретико-множинній інтерпретації невизначеності. Введено статистичні ха- рактеристики недетермінованої дискретної послідовності та її першої різниці у вигляді певних інтервальних функцій від ширини розглядуваного ковзного інтервалу. При збільшенні вказаної ширини в результаті граничного переходу ці функції можуть стати однозначними і відповідати відомим характеристикам теорії ймовірностей. 116 ISSN 0572-2691 M.M. Lychak MATHEMATICAL MODEL FOR NONDETERMINATE PROCESSES ON THE BASIS OF SET-THEORETIC INTERPRETATION OF UNCERTAINTY A new mathematical model for nondeterminate processes is developed. We introduce statistical characteristics of nondeterminate discrete sequence and its first difference of a certain interval functions of the width of the considered sliding interval. When increasing the width specified by the limit, these functions can be unique and con- sistent with known characteristics in the theory of probability. 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М. : Высш. шк., 1972. — 368 с. 2. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. — М. : Мир, 1978. — 848 с. 3. Лычак М.М. Анализ циклических процессов солнечной активности // Проблемы управле- ния и информатики. — 2006. — № 1–2. — С. 248–259. 4. Лычак М.М. Интервальные характеристики хаотических последовательностей // Киберне- тика и системный анализ. — 2004. — № 5. — С. 58–71. 5. Личак М.М. Альтернативна модель невизначеності — інтервальні характеристики хаотич- них процесів // Зб. праць Міжнародного семінару з індуктивного моделювання. — К. : МННЦ ІТіС, 2005. — С. 197–206. 6. Личак М.М. Інтервальна функція розподілу обмеженої хаотичної послідовності як основа неаксіоматичної теорії ймовірностей // Український математичний журнал. — 2008. — 60, № 8. — С. 1128–1137. 7. Лычак М.М. Интервальные функции распределения и скользящего среднего возмущений как основа множественного оценивания // Тр. Всероссийского (с международным участи- ем) совещания по интервальному анализу и его приложениям. — СПб., 2006. — С. 78–82. 8. Личак М.М. Інтервальні характеристики обмежених збурень як основа інтервального (мно- жинного) оцінювання інформативних параметрів // Мат. проблемно-наукової міжгалузевої конференції «Інформаційні проблеми комп’ютерних систем, юриспруденції, економіки та моделювання» (ПНМК-2008). — Бучач : Бучачський інститут менеджменту і аудиту, 2008. — С. 170–172. 9. Личак М.М. О решении задачи структурной параметрической идентификации (дискретной аппроксимации) в условиях неопределенности // Автоматика. — 1990. — № 6. — С. 72–77. 10. Личак М.М. Теоретико-множинна модель невизначеності як основа гарантованого оці- нювання та моделювання // Мат. проблемно-наукової міжгалузевої конференції «Інфор- маційні проблеми комп’ютерних систем, юриспруденції, економіки та моделювання» (ПНМК-2009). — Бучач : Бучачський інститут менеджменту і аудиту, 2009. — С. 174–178. 11. Солодов А.В. Теория информации и ее применение к задачам автоматического управления и контроля. — М. : Наука, 1967. — 432 с. 12. Алимов Ю.И. Утилитарная логика построения теории вероятностей // Семантика и инфор- матика. — М. : ВИНИТИ, 1985. — Вып. 24. — C. 58–86. Получено 10.07.2009 После доработки 17.08.2009
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210686
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2025-12-17T12:04:29Z
publishDate	2010
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Лычак, M.М. 2025-12-15T14:35:39Z 2010 Математическая модель недетерминированных процессов на основе теоретико-множественной интерпретации неопределенности / M.М. Лычак // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 1. — С. 102-116. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210686 519.71:510.22:519.21 10.1615/JAutomatInfScien.v42.i1.50 Розроблено нову математичну модель недетермінованих процесів, що базується на теоретико-множинній інтерпретації невизначеності. Введено статистичні характеристики недетермінованої дискретної послідовності та її першої різниці у вигляді певних інтервальних функцій від ширини розглядуваного ковзного інтервалу. При збільшенні вказаної ширини в результаті граничного переходу ці функції можуть стати однозначними і відповідати відомим характеристикам теорії ймовірностей. A new mathematical model for nondeterminate processes is developed. We introduce statistical characteristics of nondeterminate discrete sequence and its first difference of a certain interval functions of the width of the considered sliding interval. When increasing the width specified by the limit, these functions can be unique and consistent with known characteristics in the theory of probability. Работа выполнена при финансовой поддержке НАН Украины (постановление № 104 от 02.04.2008) в рамках совместного проекта НАН Украины и Российского фонда фундаментальных исследований «Управление динамическими системами в условиях неопределенности и возмущений», а также Государственного фонда фундаментальных исследований Украины и Российского фонда фундаментальных исследований в рамках совместного проекта Ф28.1/021 «Методы оценивания состояния, анализа достижимости и диссипативности динамических систем и синтез управления нелинейными объектами в условиях неопределенности». ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы управления и оценивания в условиях неопределенности Математическая модель недетерминированных процессов на основе теоретико-множественной интерпретации неопределенности Математична модель недетермінованих процесів на основі теоретико-множинної інтерпретації невизначеності Mathematical model for nondeterminate processes on the basis of set-theoretic interpretation of uncertainty Article published earlier
spellingShingle	Математическая модель недетерминированных процессов на основе теоретико-множественной интерпретации неопределенности Лычак, M.М. Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
title	Математическая модель недетерминированных процессов на основе теоретико-множественной интерпретации неопределенности
title_alt	Математична модель недетермінованих процесів на основі теоретико-множинної інтерпретації невизначеності Mathematical model for nondeterminate processes on the basis of set-theoretic interpretation of uncertainty
title_full	Математическая модель недетерминированных процессов на основе теоретико-множественной интерпретации неопределенности
title_fullStr	Математическая модель недетерминированных процессов на основе теоретико-множественной интерпретации неопределенности
title_full_unstemmed	Математическая модель недетерминированных процессов на основе теоретико-множественной интерпретации неопределенности
title_short	Математическая модель недетерминированных процессов на основе теоретико-множественной интерпретации неопределенности
title_sort	математическая модель недетерминированных процессов на основе теоретико-множественной интерпретации неопределенности
topic	Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
topic_facet	Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210686
work_keys_str_mv	AT lyčakmm matematičeskaâmodelʹnedeterminirovannyhprocessovnaosnoveteoretikomnožestvennoiinterpretaciineopredelennosti AT lyčakmm matematičnamodelʹnedetermínovanihprocesívnaosnovíteoretikomnožinnoíínterpretacííneviznačeností AT lyčakmm mathematicalmodelfornondeterminateprocessesonthebasisofsettheoreticinterpretationofuncertainty

Математическая модель недетерминированных процессов на основе теоретико-множественной интерпретации неопределенности

Репозитарії

Схожі ресурси