Нелинейная математическая модель двухуровневого переноса типа «фильтрация–консолидация»
Побудовано нелінійну математичну модель масопереносу типу «фільтрація–консолідація» в середовищі вологонасичених частинок мікропористої структури з використанням методів лінеаризації та інтегральних перетворень Фур’є і Лапласа. Проведено чисельне моделювання і отримано розподіли тисків в макропорах...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210725 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нелинейная математическая модель двухуровневого переноса типа «фильтрация–консолидация»/ / М.Р. Петрик, Д.М. Михалик // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 2. — С. 74-85. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860180349733044224 |
|---|---|
| author | Петрик, М.Р. Михалик, Д.М. |
| author_facet | Петрик, М.Р. Михалик, Д.М. |
| citation_txt | Нелинейная математическая модель двухуровневого переноса типа «фильтрация–консолидация»/ / М.Р. Петрик, Д.М. Михалик // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 2. — С. 74-85. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Побудовано нелінійну математичну модель масопереносу типу «фільтрація–консолідація» в середовищі вологонасичених частинок мікропористої структури з використанням методів лінеаризації та інтегральних перетворень Фур’є і Лапласа. Проведено чисельне моделювання і отримано розподіли тисків в макропорах міжчастинкового простору і в мікропорах частинок, а також профілі залежностей коефіцієнтів консолідації від часу і координати положення.
Nonlinear mathematical model of «filtering–consolidation» mass transfer in liquid containing particles media of microporous structure has been built taking advantage of linearization method and Fourier and Laplace transform methods. Numerical modeling has been carried out and pressure distribution in macroporous of interparticle space and particles microporous and profiles of consolidation coefficients versus time and position has been obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-17T12:04:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
© М.Р. ПЕТРИК, Д.М. МИХАЛИК, 2010
74 ISSN 0572-2691
УПРАВЛЕНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
УДК 519.6
М.Р. Петрик, Д.М. Михалик
НЕЛИНЕЙНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ДВУХУРОВНЕВОГО ПЕРЕНОСА ТИПА
«ФИЛЬТРАЦИЯ–КОНСОЛИДАЦИЯ»
Введение. Перенос типа «фильтрация–консолидация» в среде влагонасыщен-
ных частиц микропористой структуры — важная технологическая операция при
экстрагировании жидкостей из разных материалов биологической и физико-хими-
ческой природы. Структура влагосодержащих микро- и нанопористых сред —
разветвленная система влагонасыщенных частиц, клеток, межклеточных поло-
стей, микро- и нанопор, через которые осуществляется массоперенос [1]. Массо-
перенос типа «фильтрация–консолидация» основывается на положениях теории
фильтрационной консолидации почв [2, 3]. В то же время в классической теории,
применяемой для малосжимаемых почв, скелет пористой массы в основном счита-
ется линейно деформируемым или деформируемым в отдельных зонах определен-
ных градиентов. Такого рода предположения не оправдывают себя для сред микро-
пористых частиц, насыщенных влагой, которые поддаются сжатию [4–6]. Важно,
что при таком переносе в предварительно сформированном пласте тонких влаго-
насыщенных частиц микропористой структуры, поддающихся механическому
сжатию, возникают внутренние и внешние градиенты давлений соответственно
в самих частицах и междучастичном пространстве, вызывающих оттоки жидкости
из пласта (скелета) и частиц. При этом внутренние потоки жидкости направлены
с середины микропор влагосодержащих частиц к их поверхностям. Дальше форми-
руются промежуточные (транзитные) потоки, направленные от внешних поверхно-
стей частиц в макропоры междучастичного пространства (interparticle spaces).
В макропорах внутричастичного пространства (intraparticle spaces) возникают
внешние оттоки жидкости на внешний пласт среды.
Физико-математическое описание проблемы. Рассматривается нелинейная
математическая модель двухуровневого переноса типа «фильтрация–консолида-
ция» в системе «междучастичное пространство – микропористые частицы» для
неоднородной нанопористой среды, состоящих из n (ограниченного количества)
тонких нанопористых слоев, перпендикулярно расположенных к основному
направлению переноса (рис. 1: а — слой, б — частица). Кроме того, в этой модели
также учтено влияние транзитного потока жидкости между микропорами внутри-
частичного пространства и макропорами междучастичного пространства. Оттоки
жидкости, которые возникают во внутричастичном пространстве, направлены
в междучастичное пространство и, следовательно, наружу пласта среды. Пласт ча-
стиц рассматривается как двухуровневая система пор: система микропор с высо-
кой степенью вместимости и низкой гидравлической проницаемостью в влагона-
сыщенных частицах и систему макропор с низким уровнем вместимости и высо-
кой гидравлической проницаемостью.
В модели также вместе с взаимовлиянием «частица среда» учитывается взаи-
мовлияние системы многоинтерфейсных взаимодействий, вызванное интерфейс-
ными условиями между неоднородными нанопористыми слоями (сегментами) сре-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики, 2010, № 2 75
ды. Кроме рассматриваемых двух пространств: пространства микропор частиц (внут-
ричастичного пространства) и пространства макропор (междучастичного пространст-
ва) также рассматривается пространство отдельного сегмента неоднородной среды —
segment spaces. Массоперенос в отдельном сегменте рассматривается в системе взаи-
мовлияния всех других элементов системы: внутричастичное пространство сег-
менты междучастичного пространства междучастичное пространство.
h
z
I
pE
ln
0
l1
l1
a
R
I
0
x
б
Рис. 1
Математическая модель. Математическую модель переноса с учетом указан-
ных физических факторов можно описать в виде следующей нелинейной смешан-
ной краевой задачи в матричном виде [7, 8]: построить ограниченное в
области
lllllzRrtzxtD n
n
i
kk 10
1
1
1 0);,(,0,0:),,( решение си-
стемы уравнений в частых производных:
)111
)212
)111
1
2
1
(1
(1
(1
1
1
1
00
00
00
),(
),(
),(
nnn p
p
p
G
G
G
ztp
ztp
ztp
t
),(
),(
),(
)(
1
00
0
)(
1
0
00
)(
1
1
2
1
11
22
11
1
1
1
11
11
11
ztp
ztp
ztp
z
pr
pr
pr
z
n
nn
,
),,(
),,(
),,(
1
1
2
1
2
2
2
0
2 dx
zxtp
zxtp
zxtp
tR
n
R
(1)
76 ISSN 0572-2691
)(...00
............
0...)(0
0...0)(
),,(
...
),,(
),,(
11
22
11
1
2
1
22
22
22
2
2
2
nnn
pG
pG
pG
zxtp
zxtp
zxtp
t
;
),,(
...
),,(
),,(
)(
1
...00
............
0...
)(
1
0
0...0
)(
1
1
2
1
11
22
11
2
2
2
22
22
22
zxtp
zxtp
zxtp
z
pr
pr
pr
z
n
nn
(2)
с начальными условиями —
,
)(
)(
)(
),(
),(
),(
1
2
1
1
2
1
0
1
1
1
zp
zp
zp
ztp
ztp
ztp
nn E
E
E
t
),(
),(
),(
),,(
),,(
),,(
12
22
12
1
2
1
0
2
2
2
zxp
zxp
zxp
zxtp
zxtp
zxtp
nn E
E
E
t
(3)
(в частном случае) );(),(
2
zpzxp EE
c краевыми условиями и системой n-интерфейсных взаимодействий
(интерфейсными условиями между сегментами неоднородной среды) по перемен-
ной z —
,
),(
),(
),(
1
2
1
1
2
1
0
1
1
1
nn st
st
st
z
p
p
p
ztp
ztp
ztp
,0
),(
),(
),(
1
2
1
1
1
1
lz
ztp
ztp
ztp
z
n
(4)
;,1,0)],(),([,0)],(),([
11 1111 nkztpztp
z
ztpztp
kkkkkk zz
(5)
c краевыми условиями по переменной х —
,0
),,(
),,(
),,(
1
2
1
2
2
2
Rx
zxtp
zxtp
zxtp
x
n
.
),(
),(
),(
),,(
),,(
),,(
1
2
1
1
2
1
1
1
1
2
2
2
ztp
ztp
ztp
zxtp
zxtp
zxtp
nn Rx
(6)
Схема линеаризации системы уравнений нелинейной неоднородной кра-
евой задачи. Применяя схему линеаризации [9], получаем систему линеаризован-
ных краевых задач в матричной форме.
Задача
0j
Q (нулевого приближения): построить ограниченное в области nD
решение системы уравнений в частных производных:
),(
),(
),(
0,1
0,2
0,1
1
1
1
ztQ
ztQ
ztQ
t
n
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики, 2010, № 2 77
,
),,(
...
),,(
),,(
1
),(
...
),(
),(
00
00
00
0
2
2
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
0,1
0,2
0,1
0,1
0,2
0,1
0,1
0,1
20
0,2
10
0,1
R
dx
zxtQ
zxtQ
zxtQ
tR
ztQ
ztQ
ztQ
z
r
G
r
G
r
G
nn
n
n
(7)
;
),,(
),,(
),,(
00
00
00
),,(
),,(
),,(
0,1
0,2
0,1
0,1
0,1
0,2
0,2
0,1
0,1
0,1
0,2
0,1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
zxtQ
zxtQ
zxtQ
z
r
G
r
G
r
G
zxtQ
zxtQ
zxtQ
t
n
n
n
n
(8)
с начальными условиями —
,
)(
)(
)(
),(
),(
),(
1
2
1
0,1
0,2
0,1
0
1
1
1
zP
zP
zP
ztQ
ztQ
ztQ
nn E
E
E
t
;
),(
),(
),(
),,(
),,(
),,(
1
2
1
0,1
0,2
0,1
2
2
2
0
2
2
2
zxp
zxp
zxp
zxtQ
zxtQ
zxtQ
nn E
E
E
t
(9)
c краевыми условиями и системой n-интерфейсних взаимодействий (интер-
фейсными условиями между сегментами неоднородной среды) по переменной z —
,
),(
),(
),(
1
2
1
0,1
0,2
0,1
0
1
1
1
nn st
st
st
z
P
P
P
ztQ
ztQ
ztQ
,0
),(
),(
),(
0,1
0,2
0,1
1
1
1
lz
ztQ
ztQ
ztQ
z
n
(10)
;,1,0)],(),([;0)],(),([
0,10,0,10, 1111 nkztQztQ
z
ztQztQ
kkkkkk zz
(11)
c краевыми условиями по переменной х —
,0
),,(
),,(
),,(
0,1
0,2
0,1
2
2
2
Rx
zxtQ
zxtQ
zxtQ
x
n
.
),(
),(
),(
),,(
),,(
),,(
0,1
0,2
0,1
0,1
0,2
0,1
1
1
1
2
2
2
ztQ
ztQ
ztQ
zxtQ
zxtQ
zxtQ
nn Rx
Задача
mj
Q (m-е приближение :),1 m построить ограниченное решение
системы уравнений в частых производных:
),(
),(
),(
0,1
0,2
0,1
1
1
1
ztQ
ztQ
ztQ
t
n
78 ISSN 0572-2691
dx
ztQ
ztQ
ztQ
tR
ztQ
ztQ
ztQ
z
r
G
r
G
r
G
nn
n
n
R
),(
),(
),(
1
),(
),(
),(
00
00
00
0,1
0,2
0,1
0,1
0,2
0,1
0,1
0,1
0,2
0,2
0,1
0,1
2
2
2
0
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
,
),,(],,,[
),,(],,,[
),,(],,,[
0,11,11,10,11,11
0,21,21,20,21,22
0,11,11,10,11,11
211111
211111
211111
zxtQQQQb
zxtQQQQb
zxtQQQQb
nmnnnmnn
mm
mm
(12)
),(
),(
),(
00
00
00
),(
),(
),(
0,1
0,2
0,1
0,1
0,1
0,2
0,2
0,1
0,1
0,1
0,2
0,1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ztQ
ztQ
ztQ
z
r
G
r
G
r
G
ztQ
ztQ
ztQ
t
n
n
n
n
),,](,,,[
),,(],,,[
),,(],,,[
1,11,10,11,1
1,21,20,21,2
1,11,10,11,1
2222
2222
2222
zxtQQQ
zxtQQQ
zxtQQQ
mnnnmn
mm
mm
(13)
c нулевыми начальными и краевыми условиями по переменной z и краевыми
условиями по переменной x —
.
),(
...
),(
),(
),,(
...
),,(
),,(
;0
),,(
),,(
),,(
,1
,2
,1
,1
,2
,1
,1
,2
,1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
ztQ
ztQ
ztQ
zxtQ
zxtQ
zxtQ
zxtQ
zxtQ
zxtQ
x
mn
m
m
mn
m
m
mn
m
m
RxRx
(14)
Аналитическое решение модели: профили давления в пространстве от-
дельного сегмента неоднородной среды и внутричастичном пространстве.
Рассмотрим одну из линеаризованных моделей переноса «фильтрация–консоли-
дация» в среде влагонасыщенных микропористых частиц как систему краевых за-
дач для уравнений в частных производных: построить в области nD ограничен-
ное решение уравнения консолидации для пласта дисперсной среды:
,),,(
1),(
0
222
1
2
1
1
R
dxzxtP
tRz
P
b
t
ztP
k
k
k
k (15)
2
2
2
2
2
x
P
b
t
P
k
k
k
(16)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики, 2010, № 2 79
с начальными условиями —
);,(),,(),(),(
20201 zxPzxtPzPztP
kkkk EtEt
(17)
с краевыми условиями по переменной z —
,0),(
011
z
ztP ,011
lz
z
P
n (18)
;,1,0)],(),([,0)],(),([
11 1111 nkztPztP
z
ztPztP
kkkkkk lzlz
(19)
с краевыми условиями по переменной х —
,0
0
2
x
x
P
k .),(112 ztPP
kk x
(20)
Здесь
kk
PP 21 , — безразмерные распределения давлений в пространстве отдель-
ного сегмента и микропорах внутричастичного пространства k-го слоя неоднород-
ной нанопористой среды.
Применив конечное интегральное превращение Фурье [10] к уравнению (16)
с условиями (17), (20), получим
xe
R
zPzxtP m
tb
m m
m
E
mk
kk
cos
)1(2
)(),,(
2
2
0
2
,cos),()1(
2
1
0
)(
2
0
2
2 xdzPeb
R
m
t
tb
m
m
m
k
mk
k
(21)
tb
m m
E
R
mk
kk
e
R
zPdxzxtP
R
2
2
0
22
0
2
12
)(),,(
1
,),(
2
0
1
0
)(
22
2
2
m
t
tb
dzPeb
R
k
mk
k
(22)
где ,cos),( xx mm ,,0,
2
12
m
R
m
m — спектральные функции и
спектральные значения интегрального преобразования.
Применение интегрального преобразование Лапласа к задаче (15), (17)–(19)
дает
),(
12
1
),(
*
1
0 2
2
2
2
2
1
2
1 zsP
b
sR
s
zd
zsPd
b
k
k
k
k
m
m
);(
12
)1(
0 2
2
222
22 zP
b
sRb
s
k
k
k
E
m
mm
(23)
,0011
zP ,01
lz
n
dz
dP
(24)
.,1;0)],(),([,0)],(),([
11 1111 nkzsPzsP
z
ztPzsP
kkkkkk lzlz
(25)
80 ISSN 0572-2691
В результате применения к задаче (23)–(25) конечного интегрального преоб-
разования Фурье для неоднородной среды [11] имеем
)(
12
1 ,1
0 2
2
22
2
1
sP
b
sR
s n
m
m
n
nE
m
mm
P
b
s
b
s
R
0 2
2
2
2
22
1
12
11 . (26)
Используя разложения [12]
,
ch
sh
2
1
11
1
1 22
2
0 2
2
R
b
s
b
s
R
b
s
R
b
s
m
m
,
11
0 2
2
2
0 2
2
2
2
1
1
1
m
mmm
mm b
s
b
s
b
s
,
2
1 2
0
2
R
m m
,
2
12
R
m
m
получаем
.
ch
sh
1
th
1
)(
11
1
1
1
22
2
2
2
2
2
2
,1
R
b
s
R
b
s
R
b
s
R
b
s
R
bs
s
PsP
n
En n
(27)
Возвращаясь в (27) к оригинал-функции, имеем
R
b
s
R
bs
s
LPtP
n
En n
1
1
2
2
2
2
1
,1
th
1
)(
.
ch
sh
th
1
11
1
1
1
22
21
2
2
2
2
1
2
R
b
s
R
b
s
R
b
s
L
R
b
s
R
bs
s
L
n
(28)
где «» — свертка двух функций.
На основании теоремы разложения Хевисайда получим оригинал-функцию [13]:
1
2
22
22
,1
1
1
1
2
cos
1
tg
2
1
)(
j
jn
jn
jn
t
En
b
Rb
R
R
b
e
PtP
jn
n
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики, 2010, № 2 81
de
R
b
i
b
t
jni
0
)(
0
2
2
21
22
121
2
. (29)
Здесь ,,0,,1, njjm — множество корней трансцендентного уравнения
,0tg
1
1
2
2
2
22
R
bR
b
n .,1 ,
2
)2( 1
i
R
i
i
Переход к оригинал-функции по переменной z дает выражение для компо-
нентов вектор-функции ),,(1 ztP
k
которая описывает распределение давления в
пространстве отдельного сегмента:
,)(),,(),(
1
1
11
1
11,
1
11
dPztztP
n
k
E
l
l
kkk
k
k
k
(30)
где элементы матрицы функций влияния ,1,1,)],,,([ 11
1,
nkkzt
kk
имеют вид
),,(
1,1 zt
kk
.
1
1
12
1
cos
1
tg
2
1
0
2
2
2
2
)(
22
0 1
2
22
22
1
2
12
2
12
2
12
i i
i
jn
tbb
n j
jn
jn
jn
tb
b
e
R
b
Rb
R
R
b
e jnijn
(31)
Подставив значение выражения в (21), вычислим выражения для компонен-
тов вектор-функции, которая описывает распределение давления в микропорах
внутричастичного пространства:
,
cos)1(
)(),,()(
2
),,(
0
,
1
1
2
1
11
11
2
2
m
m
m
m
l
l
Ekk
n
k
tb
E
x
dPzpezP
R
zxtP
k
k
k
mk
kk
(32)
где элементы матрицы функций влияния ,1,1,)],,,([ 12
1,
nkkzt
kk
имеют вид
,
cos
1
tg
2
1
),,(
),(
),(),(
),,(
1 0
2
22
22
22
1
1,
j n
jn
jn
jn
mjnk
j
jkjk
b
Rb
R
R
b
t
zV
zVV
zt
kk
(33)
где
),,( mjnk t
.
1
1
11
2
1
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
1
1
2
2
2
12
1
2
2
2
12
1
2
2
2
12
i i
i
jn
m
i
tbtb
m
jn
tbtb
m
jn
tbtb
b
b
b
ee
b
b
ee
R
b
b
ee k
mki
k
mkjn
k
mkjn
(34)
82 ISSN 0572-2691
;1),(sin)()(cos)(
,,1),(sin)()(cos)(
),(
,11,,12,
,2,1,2,1,1
nmzqzq
nmzqzqq
zV
jnjnjnjn
n
mi
jmjmjmjmji
jk
;)],([),(
1
1
22
1
n
m
mjm
l
l
j dzzVzV
m
m
,
1
,
m
b
q
j
jm
1}{ jj — спектр собственных значений интегрального превращения, которые
являются корнями трансцендентного уравнения
.0)()()()( 2,1
2,1
221,1
2,1
22
nn
n
nn
n lqVlqV
Функции )( 1
2,1
22 lqV n
n
, )(, im и ,2,1, im определены в [10].
Численное моделирование и идентификация кинетических параметров
переноса. Для выполнения процедуры численного моделирования разработано
программное обеспечение на платформе J2SE, основанное на аналитическом ре-
шении описанной модели (1)–(6). С помощью данного программного обеспечения
удалось посчитать распределение давлений в макропорах междучастичного прост-
ранства и в микропорах внутричастичного пространства. Также получены зависи-
мости коэффициентов консолидации от времени и положения в среде. Кривые
распределения давлений представлены как функции времени и безразмерных
геометрических координат ,/ RxX ./ hzZ
Для процесса моделирования, результаты которого приведены ниже, исполь-
зовались следующие характеристики физического процесса: ,01,0h ,008,0R
,05,02 ,102/ 10
0,10,1
rG ,101/ 9
0,20,2
rG ,10 3 ,0002,0 .1EP
На рис. 2 изображены профили изменения давления в макропорах междуча-
стичного пространства ),(1 ztP с течением времени t (с) для разных значений без-
размерной координаты толщины Z пласта среды, где 1 — Z 1,0; 2 — Z 0,7;
3 — Z 0,6; 4 — Z 0,2; 5 — Z 0,05. Видно, что давление почти экспоненциаль-
но спадает. Но по сравнению с линейной моделью здесь четко прослеживаются
нелинейности в профиле давления.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
P1(t, z)
160 320 480 640 800
t, c
1
2
3
4
5
Рис. 2
На рис. 3 представлены вычисленные профили ),,(2 ZXtP безразмерного
давления в микропорах частицы внутричастичного пространства как функции от
времени для разных значений безразмерной координаты Х толщины частицы.
Здесь значение Z 1 соответствует положению частицы на поверхности слоя (а),
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики, 2010, № 2 83
Z 0.5 — положению частицы в середине слоя (б), Z 0 — положению на филь-
тровальной мембране (в). Как и для давления в междучастичном пространстве,
в общем, наблюдается подобие с линейной моделью с выраженными нелинейно-
стями в профиле давления (1 — X 1; 2 — X 0,8; 3 — X 0,6; 4 — X 0,4;
5 — X 0,05).
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
P2(t, x, z)
160 320 480 640 800
t, c
1
2
3
4 5
а
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
P2(t, x, z)
160 320 480 640 800
t, c
1
2
3
4
5
б
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
P2(t, x, z)
160 320 480 640 800
t, c
1
2
3
4
5
в
Рис. 3
На рис. 4 представлены идентифицированные зависимости нелинейного ко-
эффициента консолидации от значения давления: а — зависимость коэффициента
консолидации от значения давления; б (Z 1), в (Z 0,5), г (Z 0,05) — динами-
ческие изменения отношения коэффициентов нелинейной консолидации в меж-
дучастичном и внутричастичном пространствах во времени для разных положе-
ний в пористой среде, соответственно (1 — X 0,95; 2 — X 0,5; 3 — X 0,05).
84 ISSN 0572-2691
0,0
2,00 10
7
b1(P1)
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
1,9910
7
t
а
0
0,2
2
1
2
1
P
P
b
b
160 320 480 640 800
0,199
1
2
3
t
б
0
0,2
2
1
2
1
P
P
b
b
160 320 480 640 800
0,199
1
2
3
t
в
0
0,2
2
1
2
1
P
P
b
b
160 320 480 640 800
0,199
1
2
3
t
г
Рис. 4
Заключение. Построена нелинейная математическая модель массопереноса
типа «фильтрация–консолидация» в среде влагонасыщенных частиц микропори-
стой структуры с использованием методов линеаризации и интегральных преоб-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики, 2010, № 2 85
разований Фурье и Лапласа. Полученное решение модели позволяет анализиро-
вать потоки жидкости с микропор в макропоры с учетом нелинейностей, а также
моделировать распределение давлений в макропорах междучастичного простран-
ства и в микропорах частиц и получать зависимости коэффициентов консолида-
ции от времени и положения в среде.
М.Р. Петрик, Д.М. Михалик
НЕЛІНІЙНА МАТЕМАТИЧНА
МОДЕЛЬ ДВОРІВНЕВОГО ПЕРЕНОСУ ТИПУ
«ФІЛЬТРАЦІЯ–КОНСОЛІДАЦІЯ»
Побудовано нелінійну математичну модель масопереносу типу «фільтрація–
консолідація» в середовищі вологонасичених частинок мікропористої струк-
тури з використанням методів лінеаризації та інтегральних перетворень
Фур’є і Лапласа. Проведено чисельне моделювання і отримано розподіли
тисків в макропорах міжчастинкового простору і в мікропорах частинок,
а також профілі залежностей коефіцієнтів консолідації від часу і координати
положення.
M.R. Petryk, D.M. Mykhalyk
NONLINEAR MATHEMATICAL
MODEL OF TWO-LEVEL TRANSFER
OF «FILTERING–CONSOLIDATION» TYPE
Nonlinear mathematical model of «filtering–consolidation» mass transfer in liquid
containing particles media of microporous structure has been built taking advantage
of linearization method and Fourier and Laplace transform methods. Numerical
modeling has been carried out and pressure distribution in macroporous of inter-
particle space and particles microporous and profiles of consolidation coefficients
versus time and position has been obtained.
1. Флорин В.А. Основы механики грунтов. — М. : Госстройиздат, 1961. — Т. 2. — 544 с.
2. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. — М. :
Мир, 1971. — 452 с.
3. Van Schilfgaarde J. Theory of flow to drains // Adv. in Hydroscience. — 1970. — N 6. —
P. 43–106.
4. Krimitsas N., Vorobiev E., Petryk M. Continuous solid/liquid expression in screw press: process
analysis and modelling // 8-th World Filtration Congres. Procedings, Braiton (UK). — 1999. —
2. — P. 763−766.
5. Variable-pressure/variable-rate expression of semisolid materials / Т. Murase, М. Iwata, М. Wa-
kita, Т. Adachi, N. Hagashi, М. Shirato // J. Chem. Eng. Jap. — 1987. — 20(6). — P. 603.
6. Lanoiselle I.L. Vorobyov E., Bouvier I.M. Modelisation du pressage о pression constante. Cas des
produits a structure cellulaire // Entropie. — 1994. — 30(186). — P. 39–50.
7. Petryk M., Vorobiev E. Liquid flowing from porous particles during the pressing of biological
materials // Computer & Chem. Eng. — 2007. — N 31. — P. 1336–1345.
8. Petryk M., Leclerc S., Canet D., Fraissard J. Modeling of gas transport in a microporous solid
using a slice selection procedure: Application to the diffusion of benzene in ZSM5 // Catalysis
Today. — 2008. — 139, N 3. — P. 234–240.
9. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных ко-
лебаний. — М. : Физматгиз, 1958 — 408 с.
10. Ленюк М.П., Петрик М.Р. Інтегральні перетворення Фур’є, Бесселя із спектральним пара-
метром в задачах математичного моделювання масопереносу в неоднорідних середови-
щах. — Київ : Наук. думка, 2000. — 372 c.
11. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория массопереноса. — М. : Госэнергоиздат, 1963. — 535 с.
12. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М. :
Наука, 1971. — 1108 с.
13. Лыков А.В. Теория теплопроводности. — М. : Высш. шк., 1967. —599 c.
Получено 15.01.2010
Статья представлена к публикации членом редколлегии В.В. Скопецким.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210725 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-17T12:04:35Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Петрик, М.Р. Михалик, Д.М. 2025-12-15T19:14:10Z 2010 Нелинейная математическая модель двухуровневого переноса типа «фильтрация–консолидация»/ / М.Р. Петрик, Д.М. Михалик // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 2. — С. 74-85. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210725 519.6 10.1615/JAutomatInfScien.v42.i3.50 Побудовано нелінійну математичну модель масопереносу типу «фільтрація–консолідація» в середовищі вологонасичених частинок мікропористої структури з використанням методів лінеаризації та інтегральних перетворень Фур’є і Лапласа. Проведено чисельне моделювання і отримано розподіли тисків в макропорах міжчастинкового простору і в мікропорах частинок, а також профілі залежностей коефіцієнтів консолідації від часу і координати положення. Nonlinear mathematical model of «filtering–consolidation» mass transfer in liquid containing particles media of microporous structure has been built taking advantage of linearization method and Fourier and Laplace transform methods. Numerical modeling has been carried out and pressure distribution in macroporous of interparticle space and particles microporous and profiles of consolidation coefficients versus time and position has been obtained. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Нелинейная математическая модель двухуровневого переноса типа «фильтрация–консолидация» Нелінійна математична модель дворівневого переносу типу «фільтрація–консолідація» Nonlinear mathematical model of two-level transfer of «filtering–consolidation» type Article published earlier |
| spellingShingle | Нелинейная математическая модель двухуровневого переноса типа «фильтрация–консолидация» Петрик, М.Р. Михалик, Д.М. Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами |
| title | Нелинейная математическая модель двухуровневого переноса типа «фильтрация–консолидация» |
| title_alt | Нелінійна математична модель дворівневого переносу типу «фільтрація–консолідація» Nonlinear mathematical model of two-level transfer of «filtering–consolidation» type |
| title_full | Нелинейная математическая модель двухуровневого переноса типа «фильтрация–консолидация» |
| title_fullStr | Нелинейная математическая модель двухуровневого переноса типа «фильтрация–консолидация» |
| title_full_unstemmed | Нелинейная математическая модель двухуровневого переноса типа «фильтрация–консолидация» |
| title_short | Нелинейная математическая модель двухуровневого переноса типа «фильтрация–консолидация» |
| title_sort | нелинейная математическая модель двухуровневого переноса типа «фильтрация–консолидация» |
| topic | Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами |
| topic_facet | Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210725 |
| work_keys_str_mv | AT petrikmr nelineinaâmatematičeskaâmodelʹdvuhurovnevogoperenosatipafilʹtraciâkonsolidaciâ AT mihalikdm nelineinaâmatematičeskaâmodelʹdvuhurovnevogoperenosatipafilʹtraciâkonsolidaciâ AT petrikmr nelíníinamatematičnamodelʹdvorívnevogoperenosutipufílʹtracíâkonsolídacíâ AT mihalikdm nelíníinamatematičnamodelʹdvorívnevogoperenosutipufílʹtracíâkonsolídacíâ AT petrikmr nonlinearmathematicalmodeloftwoleveltransferoffilteringconsolidationtype AT mihalikdm nonlinearmathematicalmodeloftwoleveltransferoffilteringconsolidationtype |