Мера устойчивости к сингулярным возмущениям и робастные свойства линейных систем

Для лінійних систем показано можливість представлення робастних властивостей через критичне значення параметра сингулярних збурень. При цьому властивість негрубості характеризується жорсткістю системи. Наведено спосіб визначення оцінок жорсткості. Усі результати описано для безперервних та дискретни...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Проблемы управления и информатики
Date:	2010
Main Authors:	Дубовик, С.А., Кабанов, А.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Subjects:	Проблемы динамики управляемых систем
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210732
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Мера устойчивости к сингулярным возмущениям и робастные свойства линейных систем / С.А. Дубовик, А.А. Кабанов // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 3. — С. 17-28. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860211809034698752
author	Дубовик, С.А. Кабанов, А.А.
author_facet	Дубовик, С.А. Кабанов, А.А.
citation_txt	Мера устойчивости к сингулярным возмущениям и робастные свойства линейных систем / С.А. Дубовик, А.А. Кабанов // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 3. — С. 17-28. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Для лінійних систем показано можливість представлення робастних властивостей через критичне значення параметра сингулярних збурень. При цьому властивість негрубості характеризується жорсткістю системи. Наведено спосіб визначення оцінок жорсткості. Усі результати описано для безперервних та дискретних систем. The possibility of robust property presentation of the linear system is shown through the critical value of singular perturbation parameter. Although not roughness property is specified by system hardness. The way of hardness estimation is represented. All results are shown for continuous-time and discrete-time systems.
first_indexed	2025-12-17T12:04:37Z
format	Article
fulltext	© С.А. ДУБОВИК, А.А. КАБАНОВ, 2010 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 17 УДК 519.711 С.А. Дубовик, А.А. Кабанов МЕРА УСТОЙЧИВОСТИ К СИНГУЛЯРНЫМ ВОЗМУЩЕНИЯМ И РОБАСТНЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Введение В реальных задачах в математическом описании системы есть некоторая не- определенность. В современной теории управления широко применяются пара- метрические способы описания неопределенности в виде интервального или аф- финного семейства полиномов (регулярные возмущения динамики), для которых на основе принципа исключения нуля и теоремы Харитонова выводятся критерии робастной устойчивости [1]. Между тем существуют и другие подходы к описанию неопределенности. Зачастую неопределенность в описании системы можно охарактеризовать с по- мощью сингулярных возмущений [2, 3], т.е. малого параметра  перед производ- ными в нормальной форме Коши. Такие возмущения в форме балластной динами- ки — обязательный элемент любой практической реализации любого управления. Это давно известно и широко используется в реальном проектировании [4, 5]. Так, область нормальной работы промышленного регулятора характеризуется ве- личиной постоянной времени балластного звена, повышающего размерность за- мкнутой системы. Описание робастных свойств системы при подходе, основанном на сингу- лярных возмущениях, базируется на теореме Климушева–Красовского [6], дис- кретный аналог которой используется для дискретных систем [7]. Очевидно еще одно преимущество предлагаемого подхода: известно [8], что результат типа теоремы Харитонова не имеет места в дискретном случае, поэтому эффектив- ных средств анализа и синтеза робастных дискретных систем управления на базе интервального способа описания неопределенности в настоящее время не существует. Теорема Климушева–Красовского фактически подтверждает существование асимптотически устойчивого семейства систем, параметризированных значениями  из интервала }.0:{  При различных  обозначим }.0:{  Конечная величина  sup критическая в том смысле, что для достаточно ма- лого 0 при   система теряет устойчивость (при неограниченном  принимаем ). Таким образом,  можно рассматривать, с одной стороны, как меру устойчивости к сингулярным возмущениям, а с другой, — как характе- ристику грубости или нежесткости [2, 3]. Обратную ей величину   /1 есте- ственно называть жесткостью, она характеризует негрубость системы. Итак, зада- ча заключается в определении критического значения параметра сингулярных возмущений  и соответствующего ему значения жесткости . Понятно, что в общем случае для нелинейных систем определить точное значе- ние  практически нереально. С существующими результатами можно ознако- миться в [9]. Но для линейных стационарных систем задача определения критиче- 18 ISSN 0572-2691 ского значения  вполне разрешима и существуют разные подходы к ее решению. Назовем только те из них, которые позволяют получить точное значение. В [10] кри- тическое значение  определялось на основе построения амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) некоторой матричной функции ),( jM позже этот результат получили другие исследователи на основе преобразования Мебиуса (LFT-преобразования) [11, 12]. Метод АФЧХ графический и не аналити- ческий; кроме того, сложность его реализации зависит от размерности «быстрой» компоненты состояния. Другой подход, которому и посвящена настоящая работа, основан на методе D-разбиения характеристического полинома замкнутой системы по параметру сингулярных возмущений . Существующие результаты для непрерывных си- стем дают точное значение жесткости в случае, когда характеристическое уравне- ние задано явно при размерности «быстрой» компоненты k не более двух [2, 3]. Для остальных случаев они представляют собой асимптотическое приближение искомого значения. Для дискретных систем аналогичный результат для 1k по- лучен в [13], а для 2k оценка жесткости определена лишь в частном случае, о котором речь пойдет ниже. В настоящей работе получены результаты для опре- деления точного значения жесткости для непрерывных и дискретных систем с яв- но заданным характеристическим уравнением с размерностью «быстрой» компо- ненты ,3k а также разработан графический способ нахождения жесткости для произвольного k. Основное преимущество метода D-разбиения при этом заключа- ется в возможности получения аналитического результата. 1. Постановка задачи D-разбиения по параметру сингулярных возмущений Рассмотрим непрерывную линейную сингулярно возмущенную систему ,, ),()()( 1 1 0 1 11 1 10 0100                  B B B AA AA A tButAxtx (1) где ;,,,,),( 10 TT 1 T 0 kmnxxxxxx kmn  A — )( nn -матрица; B — )( rn -матрица;  — положительный малый параметр (здесь и далее Т — транспонирование). В предположении управляемости пары ),( BA задача выбора управления в виде линейной формы по состоянию )()( txGtu  эквивалента определению ко- эффициентов полинома в характеристическом уравнении системы (1) ,0)()( 11 1 1 1        sMsasassP kmk m km km km km  (2) где ,/1  .)( 01 1 1 asasasasM m m m m     Из теоремы Климушева–Красовского следует [6], что при условии гурви- цевости «быстрой» подсистемы с характеристическим полиномом )(sF mm k km k asasas     1 1 1  динамика «медленных» переменных аппрок- симируется вырожденной системой, получаемой из (1) при 0 с «внешним» характеристическим полиномом masMsS /)()(  [2]. Таким образом, если поли- номы )(sF и )(sS устойчивы, то существует такое ,0 что  0: по- лином )(sP km устойчив. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 19 В дискретном случае рассмотрим линейную сингулярно возмущенную си- стему вида [7] ., ),()()1( 2 1 2221 1211                 B B B AA AA A kBukAxkx (3) При условии управляемости пары ),( BA задача выбора управления в виде линейной формы по состоянию )()( kGxku  эквивалента определению коэффи- циентов полинома в характеристическом уравнении системы (3) ,0)()( 11 1 1 1        zMzazazzP kmk m km km km km  (4) где .)( 01 1 1 azazazazM m m m m     В такой постановке задачи из [7] следует, что ввиду устойчивости «внешне- го» полинома mzzS )( (корни полинома лежат внутри окружности единичного радиуса), при устойчивости «быстрого» полинома mazMzF /)()(  существует такое ,0 что  0: полином )(zP km устойчив [7]. Задача опять сводится к нахождению критического значения параметра сингулярных возмуще- ний . 2. Оценка жесткости второго порядка 2.1. Непрерывный случай. При размерности «быстрой» компоненты состо- яния 2k характеристическое уравнение (2) примет вид .0)()( 21 1 2 2      sMsassP m m m m (5) В [2, 3] жесткость 2 (нижний индекс показывает порядок оценки) вычисля- ется методом D-разбиения по нелинейному параметру , т.е. сначала уравнение (5) разрешалось относительно , а затем к полученному выражению применялся метод D-разбиения. В результате для 2 в [2, 3] имеем: ,12, )( )( max 1 ,2, )( )( max 1 10)(: 2 10)(: 2               m Va R m Ra V mm m N mm m N V R (6) где ),()()1( ),()()1( 22 1 22 1       m m mmV m m mmR RaVN VaRN )(mR и )(mV — вещественная и мнимая части полинома )( jM соответ- ственно. Прежде всего заметим, что эту оценку 2 можно упростить. Выразим из по- следнего соотношения )(/)(  mm RV : .12),(/)1()(/)( ,2),(/)1()(/)( 2 1 2 1       mRaVR mVaRV mmmm mmmm 20 ISSN 0572-2691 Подставив полученные соотношения в (8), получим более простые соотношения для оценки :2 .12, )( )1( max ,2, )( )1( max 1 1 0)(: 2 1 1 1 0)(: 2                 m R a m V a m m m N m m m N V R Рассмотрим теперь задачу нахождения 2 методом D-разбиения в плоскости двух вещественных параметров .,:},{ 2 2121  Для этого приведем ха- рактеристическое уравнение (7) к виду ,0)()()()( ~ 122  sMsQsPsPm где .)(,)( 1 1 2     m m m sasQssP Далее, в соответствии с техникой D-разбиения [14] введя замену  js в преобразованное характеристическое уравнение, получим систему из двух урав- нений: 0),,(Re 212  jPm и .0),,(Im 212  jPm Из их решения получа- ем выражения для параметров :)(),( 2211  ,12, )()1( )(, )()1( )( ,2, )()1( )(, )()1( )( 221 1 1 221 1 1 1                         m V a R m R a V m m m m m m m m m m (7) где ).(Im)(),(Re)(  jMVjMR mm Соотношения (7) имеют особенность в точке ,0 этому значению частоты соответствует особая прямая .02  (8) Выражения (7), (8) определяют в плоскости },{ 21  границы области устойчиво- сти .D На рис. 1 эта область выделена жирными линиями. Критическое значение параметра сингулярных возмущений определяется так: ),(min 1    где  — множество частот ,i которые удовлетворяют условию ).()( 2 2 1 ii  (9) Условие (9) вытекает из принятых обозначений, оно соответствует точкам пересечения кривой D-разбиения с параболой )(2 1  в плоскости параметров },{ 21  (см. рис. 1).   2 2  0 2() 1() Рис. 1 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 21 Подставив (7) в условие (9), запишем конечные выражения, определяющие множество частот : .12},0)(:{,2},0)(:{  mNmN VR Окончательно для оценки жесткости второго порядка получим ,12, )( )1( max/1 ,2, )( )1( /1 1 1 0)(: 2 1 1 1 2                  m R a m V a m m m N m m m V (10) что совпадает с результатами из [2, 3]. 2.2. Дискретный случай. Запишем характеристическое уравнение (4) при 2k .0)()( 21 1 2 2      zMzazzP m m m m По аналогии с непрерывным случаем приведем данное характеристическое уравнение к виду, удобному для применения метода D-разбиения по двум пара- метрам: .0)()()()( ~ 122  zMzQzPzPm (11) Здесь ,)( 2 mzzP ,)( 1 1   m m zazQ ,/11  ./1 22 2  Подставляя в (11) , jez находим выражения для параметров в виде ),(11  :)(22  . sin )1sin(sin )( , sin )2sin(2sin )( 0 2 1 0 1        maa a maa m m m   (12) При частотах 0 и  соотношения (12) имеют особенности, поэтому для этих частот строятся особые прямые: ).(Re)(),(Re)(),(Re)( ,,0,0)()()( 12    j q j p j m mqp eQRePReMR RRR (13) Выражения (12), (13) определяют границы области устойчивости характери- стического многочлена )(2 zPm в плоскости }.,{ 21  Критическое значение жесткости равно ),(max 1    где  — множество частот ,i которые удо- влетворяют условию (9). Условие (9), так же, как и в непрерывном случае, можно интерпретировать как множество точек пересечения кривой D-разбиения с параболой )(2 1  (рис. 2). Подставив (12) в (9), для множества  будем иметь   ))1sin(sin(sin:{ 0 2 1 maaa mm  }.0))2sin(2sin( 2 0  maam  (14) Заметим, что если парабола )(2 1  пересекает кривую D-разбиения в точках пересечения с особыми прямыми (как показано на рис. 3), т.е. корнями (14) явля- ются 01  или ,2  то критическое значение жесткости нельзя определить 22 ISSN 0572-2691 из (12), поскольку при этих значениях частоты выражение для )(1 i имеет осо- бенности. В таких случаях критическое значение жесткости будет определяться как ),(max 1 },0{    где )(1  — решение следующих уравнений: .,0,0)()()( 1 2 1  mqp RRR (15) Учитывая (12), (14), (15), для оценки жесткости второго порядка окончатель- но запишем: ,,0, )(2 )()(4)()( max ,,0, sin )2sin(2sin max 2 1 0 2           p mpqq m m R RRRR a maa  (16) множество  определяется формулой (14).   2 0)()()( 12  mQP RRR 2() 1() 0)0()0()0( 12  mQP RRR Рис. 2   2 0)()()( 12  mQP RRR 2() 1() 0)0()0()0( 12  mQP RRR Рис. 3 Соотношения (16) однозначно определяют оценку жесткости второго поряд- ка для дискретных систем, в отличие от [13], где не рассматривались случаи  ,0 . Заметим, что когда 0 и (или) , для оценки (16) можно полу- чить аналитическое представление для произвольной размерности «медленной» компоненты. 3. Оценка жесткости третьего порядка 3.1. Непрерывный случай. Рассмотрим характеристическое уравнение (2) сингулярно возмущенной системы (1) при :3k .0)()( 312 1 2 2 3 3        sMsasassP m m m m m m (17) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 23 Приведем данное уравнение к виду ,0)()()()()( ~ 12123  sMsQsPsLsPm где ,)(,)( 2 2 3     m m m sasPssL а остальные обозначения соответствуют приня- тым ранее. Используя технику D-разбиения, получаем следующие выражения для параметров 1 и :2 .12 при )()1( )(, )1()( )( )( ;2 при )()1( )(, )1()( )( )( 2 2 21 12 1 2 1 2 2 21 12 1 2 1                             m a V aaV aR m a R aaR aV m m m m mmm mm m m m m mmm mm (18) Здесь также имеет место особая прямая ,02  которая вместе с (18) определяет границы области устойчивости характеристического полинома (17) в плоскости }.,{ 21  Как и ранее, критическое значение параметра сингулярных возмущений определяется как ),(min 1    где  — множество частот ,i которые удо- влетворяют условию (9). В обозначениях )(mR и )(mV это условие выглядит так:      2 21 223 2 2 )(2)()( m mmm m mmR aaVaRN ,2),)()(()1( 222 2 2 1 231     maaVV m mmmm (19)      2 21 223 2 2 )(2)()( m mmm m mmV aaRaVN .12),)()(()1( 222 2 2 1 231     maaRR m mmmm (20) Учитывая, что ),(min 1    для оценки жесткости третьего порядка получаем ,12, )( )1()( max ,2, )( )1()( max 2 1 12 1 0)(: 3 2 1 12 1 0)(: 3                   m aR aaV m aV aaR mm m mmm N mm m mmm N V R где )(RN и )(VN определяются формулами (19), (20). 3.2. Дискретный случай. Случай 3k приводит характеристическое урав- нение (4) к виду .0)()( 312 1 2 2 3 3        zMzazazzP m m m m m m (21) По аналогии с непрерывным случаем представим (21) в виде, удобном для приме- нения метода D-разбиения .0)()()()()( ~ 12213  zMzQzPzLzPm Здесь ,)(,)( 2 2 3     m m m zazPzzL а остальные обозначения соответствуют принятым ранее. Существенное отличие дискретного случая от непрерывного за- 24 ISSN 0572-2691 ключается в том, что уравнения D-разбиения, получающиеся при подстановке , jez зависят одновременно и от ,1 и от ,2 причем эта зависимость нели- нейная. Запишем их: .0)()()()()( ~ Im ,0)()()()()( ~ Re 12213 12213       mqpl j m mqpl j m VVVVeP RRRReP Разрешая последние уравнения относительно 1 и ,2 получаем , )()()( )()()( )( , )(2 )()(4)()( )( 1 1 2 2 1       lp mq RR RR a cabb (22) где ).2sin)2sin(()( ,sin)(,sin)( 02 211     mm mmm amaac aabaa  При  ,0 из (21) получаем уравнения особых кривых: .0)()()()( ,0)0()0()0()0( 1221 1221   mqpl mqpl RRRR RRRR (23) Вместе с (22) они определяют область устойчивости многочлена (21) в пространст- ве }.,{ 21  Нужное нам критическое значение параметра сингулярных возмуще- ний определяется по точке пересечения параболы )(2 1  с границей области устойчивости в пространстве }.,{ 21  Тогда оценка жесткости третьего порядка будет определяться выражением , )(2 )()(4)()( max 2 3     a cabb (24) где множество  находим из условия (9). 4. Оценки жесткости высоких порядков Понятно, что с ростом порядка оценки усложняется процесс ее нахождения, и получить аналитическое представление для жесткости все труднее, но это не исключает возможности ее численного определения. Покажем графический спо- соб определения жесткости для непрерывных систем с произвольными «быстрой» и «медленной» компонент состояния. Рассмотрим характеристическое уравнение (2), в котором обозначим ,1  .2 2  Вводя замену , js в зависимости от k и m получим одну из следу- ющих систем:  при  2,12 mk Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 25 );()1()1()( ~ Im ),()1()1()( ~ Re 1 1121 2 22 11 2           m m m km km m m m km km VajP RajP    при 12,12  mk );()1()1()( ~ Im ),()1()1()( ~ Re 2 22 11 2 1 11 1 21 1           m m m km km m m m km km VajP RajP    при  2,2 mk (25) );()1()1()( ~ Im ),()1()1()( ~ Re 1 11 1 21 1 2 22 1 2           m m m km km m m m km km VajP RajP    при 12,2  mk ).()1()1()( ~ Im ),()1()1()( ~ Re 2 22 11 2 1 1 11 1 21           m m m km km m m m km km VajP RajP   Особенность уравнений (25) заключается в том, что независимо от k и m одно из уравнений зависит от 1 и ,2 причем от 1 линейно, а другое — только от ,2 и эта зависимость нелинейная. Исходя из этого параметр 1 выразим через ,2 а параметр 2 найдем через решение степенного уравнения. Получив таким образом выражения для параметров )(1  и ),(2  можно построить кривую D-разбиения. Тогда критическое значение параметра сингулярных возмущений будет определяться пересечением кривой D-разбиения с параболой ).(2 1  Ниже приведем примеры, показывающие работоспособность такого подхода. Замечание. Дальнейшие усилия по развитию метода D-разбиения для опреде- ления жесткости стационарных систем могут быть нацелены на упрощение полу- ченных алгоритмов. В этом направлении, вероятно, новые достижения можно по- лучить, используя последние результаты по методу D-разбиения для полиноми- альных семейств специального вида [15, 16]. 5. Примеры определения жесткости 5.1. Непрерывный случай. Пусть система имеет двумерную «медленную» и двумерную «быструю» компоненты состояния, при этом характеристический многочлен системы такой: .)1,43,87s3,45s(25,4)( 2234 4  sssP Оценка жесткости равна .099,1max 2 2   В данном случае },0,80,8,{ тог- да .704,02  Корни ir характеристического уравнения при 2 такие: ,0,802,1 jr  0,425,3 r .2,6144 r Система находится на границе устойчи- вости. Рассмотрим систему с .4,2  mk Характеристическое уравнение имеет вид 0. )2,4 16,038,4s s 47,0 30,4s( 9.1 )( 234256 6  ssssP 26 ISSN 0572-2691 Жесткость , 1,755,131 max 3 5             },1,31,3,{  получаем .429,02  Корни :ir ir 0,330,442,1  ,1,333 ir  ,1,334 ir  2,73., 0.,30 65  rr Система находится на границе устойчивости. Рассмотрим систему с .2,3  mk Характеристическое уравнение имеет вид 0. )19,5 7,738,09s( ,36 ,18)( 233245 5  sssssP Жесткость , 7,7 3,6)65,438,2( max 32             },1,51,5,{  получаем .789,02  Корни :ir ,1,52,1 jr  ,0,820,084,3 jr  6,30.5 r Система находится на границе устойчивости. Проанализируем системы высокого порядка. Пусть .2,8  mk Характери- стический многочлен запишем так: . )0,43 10,0385,04 (344,5726,8859,5 604,49265,92 75,0612,82)( 28374655 647382910 10   sssss ssssssP Понятно, что определить численно множество  частот, при которых годо- граф D-разбиения пересекается с параболой ),(2 1  достаточно трудно. Но это и необязательно, критическое значение параметра сингулярных возмущений можно определить графически (рис. 4: сплошная линия — годограф D-разбиения; пунк- тирная линия — парабола )).(2 1  0 6 8 4 2 5 5 10 2,305 Рис. 4 Графический способ показал, что ,305,2 следовательно, жесткость .433,08  Корни :ir ,0,120,000332,1 jr  0,0622,3 r ,0,270,385,4 jr  ,1,10,597,6 jr  ,0,0990,979,8 jr  1,58.10 r Корни 2,1r практически лежат на мнимой оси, значит, 305,2 можно считать мерой «грубости» дан- ной системы. 5.2. Дискретный случай. Пусть для системы 2,2  mk имеем характери- стический многочлен .)0,0230,1970,38(548,0)( 2234 4  zzzzzP Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 27 В данном случае ,}2,12,1,{ тогда . sin 4sin3sin2sin max 3 012 2             a aaa Получаем .763,02  Корни ir многочлена )(4 zP при 31,1/1 3  такие, что ,12,1 r .4,3,1  iri Система находится на границе устойчивости. Рассмотрим систему с ,8,2  mk характеристическое уравнение которой имеет вид 0. )0,0010,00250.056 48,01,034034,1 66,02,00,76( 1,85 )( 2345 6782910 10   zzzzz zzzzzzP В данном случае },0{ тогда .998,0 )0(2 )0()0(4)0()0( 2    p mpqq R RRRR Корни ir многочлена )(10 zP при 002,1/1 3  такие, что ,999,01 r ,1ir .10,2i Понятно, что при таком значении жесткости система находится на гра- нице устойчивости. Рассмотрим систему с 2,3  mk и характеристическим многочленом 0. )001,00025,00,056(058,00,483)( 233245 5  zzzzzzP Жесткость .789,02  Корни ir многочлена )(5 zP при 381,2/1 3  такие, что ,997,02,1 r ,112,03 r ,74,04 r .17,05 r Система находится на гра- нице устойчивости. Заключение Для линейных стационарных систем на основе метода сингулярных возму- щений построены критерии робастности и запасов устойчивости. Свойство негру- бости при этом определяется жесткостью системы. Получены результаты как для непрерывных, так и для дискретных линейных систем. С.А. Дубовик, О.О. Кабанов МІРА СТІЙКОСТІ ДО СИНГУЛЯРНИХ ЗБУРЕНЬ І РОБАСТНІ ВЛАСТИВОСТІ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ Для лінійних систем показано можливість представлення робастних властивос- тей через критичне значення параметра сингулярних збурень. При цьому влас- тивість негрубості характеризується жорсткістю системи. Наведено спосіб ви- значення оцінок жорсткості. Усі результати описано для безперервних та дис- кретних систем. S.A. Dubovik, A.A. Kabanov STABILITY MEASURE AGAINST SINGULAR PERTURBATION AND ROBUST PROPERTY OF LINEAR SYSTEMS The possibility of robust property presentation of the linear system is shown through the critical value of singular perturbation parameter. Although not rough- ness property is specified by system hardness. The way of hardness estimation is represented. All results are shown for continuous-time and discrete-time systems. 28 ISSN 0572-2691 1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. — М. : Наука, 2002. — 303 с. 2. Дубовик С.А. Синтез грубых систем управления на основе сингулярно возмущенных пред- ставлений // Тр. V Междунар. конф. «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO’06, г. Москва, 30 января – 2 февраля 2006 г. — М. : ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 2006. — С. 2323–2333. 3. Дубовик С.А. Свойство робастности и запасы устойчивости линейных систем // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 6. — С. 26–32. 4. Клюев А.С., Лебедев А.Т., Клюев С.А., Товарнов А.Г. Наладка средств автоматизации и ав- томатических систем регулирования : Справочное пособие / Под ред. А.С. Клюева. — М. : Энергоатомиздат, 1989. — 368 с. 5. Аязян Г.К. Расчет автоматических систем с типовыми алгоритмами регулирования: Уч. по- собие. — Уфа : Изд. Уфим. нефт. ин-та, 1989. — 136 с. 6. Климушев А.И., Красовский Н.Н. Равномерная асимптотическая устойчивость систем диф- ференциальных уравнений с малым параметром при производных // ПММ. — 1961. — 25, № 4. — С. 680–694. 7. Bouyekhf R., A. El-Moudni A. On analysis of discrete singularly perturbed non-linear systems: application to the study of stability properties // J. of Franklin Institute. — 1997. — 334, N 2. — P. 199–212. 8. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в задачах управления и идентификации. — Киев : Наук. думка, 2006. — 264 с. 9. Kokotovic P.V., Khalil H.K., O’Reilly J. Singular perturbation methods in control: analysis and design. — Orlando : Academ. Press, 1986. — 371 p. 10. Feng W. Characterization and computation for the bound  in linear time-invariant singularly perturbed systems // Systems and Contr. Letters. — 1988. — 11. — P. 195–202. 11. Chen S.J., Lin J.L. Maximal stability bounds of singularly perturbed systems // J. of the Franklin Institute. — 1999. — 336, N 8. — P. 1209–1218. 12. Chen S.J., Lin J.L. Maximal stability bounds of discrete-time singularly perturbed systems // Control and Cybernetics. — 2004. — 1. — P. 95–108. 13. Кабанов А.А., Дубовик С.А. Оценка робастности непрерывных и дискретных систем на ос- нове сингулярных возмущений // Материалы Четвертой Междунар. конф. по проблемам управления, г. Москва, 26–30 января 2009 г. — М. : ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 2009. — С. 583–590. 14. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. — М. : Наука, 1978. — 336 с. 15. Поляк Б.Т., Грязина Е.Н. Новые аспекты D-разбиения // Тр. IX Междунар. Четаевской конф. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», г. Иркутск, 12–16 июня 2007 г. — 2007. — 1. — С. 141–158. 16. Поляк Б.Т., Грязина Е.Н., Тремба А.А. Современное состояние метода D-разбиения // Авто- матика и телемеханика. — 2008. — № 11. — С. 3–40. Получено 09.04.2009 После доработки 02.03.2010
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210732
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2026-03-20T19:50:25Z
publishDate	2010
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Дубовик, С.А. Кабанов, А.А. 2025-12-16T13:47:20Z 2010 Мера устойчивости к сингулярным возмущениям и робастные свойства линейных систем / С.А. Дубовик, А.А. Кабанов // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 3. — С. 17-28. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210732 519.711 10.1615/JAutomatInfScien.v42.i6.40 Для лінійних систем показано можливість представлення робастних властивостей через критичне значення параметра сингулярних збурень. При цьому властивість негрубості характеризується жорсткістю системи. Наведено спосіб визначення оцінок жорсткості. Усі результати описано для безперервних та дискретних систем. The possibility of robust property presentation of the linear system is shown through the critical value of singular perturbation parameter. Although not roughness property is specified by system hardness. The way of hardness estimation is represented. All results are shown for continuous-time and discrete-time systems. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем Мера устойчивости к сингулярным возмущениям и робастные свойства линейных систем Міра стійкості до сингулярних збурень і робастні властивості лінійних систем Stability measure against singular perturbation and robust property of linear systems Article published earlier
spellingShingle	Мера устойчивости к сингулярным возмущениям и робастные свойства линейных систем Дубовик, С.А. Кабанов, А.А. Проблемы динамики управляемых систем
title	Мера устойчивости к сингулярным возмущениям и робастные свойства линейных систем
title_alt	Міра стійкості до сингулярних збурень і робастні властивості лінійних систем Stability measure against singular perturbation and robust property of linear systems
title_full	Мера устойчивости к сингулярным возмущениям и робастные свойства линейных систем
title_fullStr	Мера устойчивости к сингулярным возмущениям и робастные свойства линейных систем
title_full_unstemmed	Мера устойчивости к сингулярным возмущениям и робастные свойства линейных систем
title_short	Мера устойчивости к сингулярным возмущениям и робастные свойства линейных систем
title_sort	мера устойчивости к сингулярным возмущениям и робастные свойства линейных систем
topic	Проблемы динамики управляемых систем
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210732
work_keys_str_mv	AT duboviksa meraustoičivostiksingulârnymvozmuŝeniâmirobastnyesvoistvalineinyhsistem AT kabanovaa meraustoičivostiksingulârnymvozmuŝeniâmirobastnyesvoistvalineinyhsistem AT duboviksa mírastíikostídosingulârnihzburenʹírobastnívlastivostílíníinihsistem AT kabanovaa mírastíikostídosingulârnihzburenʹírobastnívlastivostílíníinihsistem AT duboviksa stabilitymeasureagainstsingularperturbationandrobustpropertyoflinearsystems AT kabanovaa stabilitymeasureagainstsingularperturbationandrobustpropertyoflinearsystems

Мера устойчивости к сингулярным возмущениям и робастные свойства линейных систем

Institution

Similar Items