Идентификация параметров задач термоупругости составной полой сферы при нестационарном поле температур
Побудовано явні вирази градієнтів функціоналів-нев’язок для ідентифікації градієнтними методами різних параметрів задач термопружного деформування складеної порожнистої сфери при нестаціонарному полі температур. Градієнти побудовано на основі теорії оптимального керування станами багатокомпонентних...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210733 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Идентификация параметров задач термоупругости составной полой сферы при нестационарном поле температур / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 3. — С. 29-56. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859634641167712256 |
|---|---|
| author | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. |
| author_facet | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. |
| citation_txt | Идентификация параметров задач термоупругости составной полой сферы при нестационарном поле температур / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 3. — С. 29-56. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Побудовано явні вирази градієнтів функціоналів-нев’язок для ідентифікації градієнтними методами різних параметрів задач термопружного деформування складеної порожнистої сфери при нестаціонарному полі температур. Градієнти побудовано на основі теорії оптимального керування станами багатокомпонентних розподілених систем.
Explicit expressions of the functional-residuals gradients for gradient methods of identification of different parameters of thermoelastic deformation problems for compound hollow sphere under nonstationary temperature field are constructed. The gradients are constructed on the basis of multicomponent distributed systems states optimal control theory.
|
| first_indexed | 2025-12-17T12:04:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
© И.В. СЕРГИЕНКО, В.С. ДЕЙНЕКА, 2010
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 29
МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 539.3:519.6
И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ЗАДАЧ
ТЕРМОУПРУГОСТИ СОСТАВНОЙ ПОЛОЙ СФЕРЫ
ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУР
В работах [1–3] на основе результатов теории оптимального управления [4–6]
получены явные выражения градиентов функционалов-невязок для идентифика-
ции градиентными методами О.М. Алифанова [7] различных параметров задач
упругого деформирования составной полой сферы, составного цилиндра и термо-
упругого деформирования составного пространственного тела соответственно.
В данной статье аналогичные вопросы рассматриваются для идентификации
различных параметров задач термоупругого деформирования составной полой
сферы при нестационарном поле температур.
1. Идентификация термонапряженного состояния по поверхностным сме-
щениям. Рассмотрим изотропную полую сферу. С учетом симметрии, следуя [8, 9],
ее термонапряженное состояние в предположении малости инерционных членов
y (у радиальное смещение) описывается уравнением
,),(,0
)()()(2)(
T
rr tr
r
yyy
r
y
(1)
где ),0(,0),,(),,0( 2121 TrrrrTT временнóй интервал,
.)23(
)(2
,)23(2)2(
Ty
rr
y
T
r
y
r
y
r
(1)
Здесь , упругие постоянные Ляме, коэффициент линейного расшире-
ния, Т изменение температуры 1T от ее начального состояния .10T
Равенство (1) с учетом (1) легко преобразуется к виду
.),(,0)23(2)2( 22
Ttr
r
T
ry
r
y
r
r
(2)
Изменение температуры Т удовлетворяет уравнению
,),(,
1 2
2 Ttrf
r
T
kr
rrt
T
c
(3)
где с объемная теплоемкость, k коэффициент теплопроводности, f
мощность источников/стоков тепла.
30 ISSN 0572-2691
На внутренней и внешней поверхностях сферы заданы напряжения
),,0(,2,1,)( Ttipy irrr
i
(4)
плотность теплового потока на внутренней поверхности
),,0(,, 1 Ttrru
r
T
k
(5)
которую считаем неизвестной, а на внешней поверхности краевое условие тре-
тьего рода
.),0(,, 2 TtrrT
r
T
k
(6)
В начальный момент времени известно распределение изменения поля тем-
ператур
.,00 rTT t (7)
Предполагаем, что на внешней поверхности сферы известно ее смещение
.),0(),(),( 02 Tttftry (8)
Тем самым получена задача (2)–(8), состоящая в определении элемента Uu
]),,0([ TC при котором первая компонента у классического решения Y (y, T)
начально-краевой задачи (2)–(7) удовлетворяет равенству (8).
Введем в рассмотрение функционал-невязку
,
2
1
)(
0
2
0 dtfAuuJ
T
(9)
где .),,;( 002 fAufAutruyAu
При каждом фиксированном Uu вместо классического решения Y (y, T)
начально-краевой задачи (2)–(7) будем использовать ее обобщенное решение.
Определение 1. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением
начально-краевой задачи (2)–(7) называется вектор-функция
,))(),(()( VuTuyuYY которая 021 ),( Vzzz удовлетворяет системе тож-
деств:
),,0(),;(),( 11 TtzTlzya (10)
),,0(),;(),(, 21212
2 TtzulzTaz
t
T
cr
(11)
),,()0)(,( 20
2
2
2 zTcrzcTr (12)
где
;2,1)),(;,0(),(:)),(),,(( 2
221
221
iLTL
t
v
WvtrvtrvvV i
,],,0[
2
1
2
)(
0
1
2
i
Wi
T
dtvTt
},2,1),(:))(),(()({ 1
2210 iWvrvrvrvV i
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 31
,22)2(),( 111112
1
2
1
dr
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
rzya
r
r
),(),(),( 222
2
2
22
21
2
1
rztrTrdr
r
z
r
T
krzTa
r
r
),()(
2
)23();( 212
2
2111
2
1
112
1
2
1
rzprrzprdr
r
z
r
z
TrzTl
r
r
.)()();( 22
2
212
2
12
2
21
2
1
rzrruzrdrzfrzul
r
r
Задачу (10)–(12), (9), состоящую в определении элемента u, минимизирую-
щего на U функционал (9) при ограничениях (10)–(12), будем решать приближен-
но с помощью градиентных методов [7]. Итерационная последовательность для
определения )1( n -го приближения 1nu решения Uu задачи (9)–(12) имеет
вид
,1 nnnn puu (13)
начинается с некоторого начального приближения ,0 Uu где направление спус-
ка np и коэффициент n определяются выражениями [7]:
для метода минимальных ошибок
;,
2
2
n
n
u
n
nun
J
e
Jp
(14)
для метода скорейшего спуска
;,
2
2
n
n
n
u
u
nun
JA
J
Jp
(15)
для метода сопряженных градиентов
,
),(
,,0,
22
2
01
1 n
nu
n
u
u
nnnun
Ap
pJ
J
J
pJp n
n
n
n
(16)
где uJ градиент функционала (9) в точке ,nuu ,0fuAe nn nuA
).,;( 2 truy n
Введем в рассмотрение обозначения
,))0()(),0(()(
,))0()(),0()((),(
2
2
0 L
L
yvyyfvL
yvyyuyvu
(17)
где ),;(),,;()( 22 trvytrvyvyv U первая компонента решения )(vYY
))(),(( vTvy задачи (10)–(12) при u v, .),(
0
2
T
L dt
Имеет место равенство
32 ISSN 0572-2691
.)0()(2),()(2
2
0
2L
yfvLvvvJ (18)
Пусть u, v U . При )1,0( .U )()1( uvuuvz С учетом
(17), (18) получаем
)(),(
)())((
lim
0
uvLuvu
uJuvuJ
.,))()(,)((
20 uvJиyvyfuy uL (19)
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (9)(12), следуя [13, 10],
введем в рассмотрение следующую сопряженную задачу:
,),(,02)2( 2
Ttr
r
r
r
),,0(),),;((
1
)(,0)( 022
2
21
Ttftruy
r
nrrrrrr
,),(,0))()()(()23(222
Tr trr
r
p
kr
rt
p
cr
(20)
),,0(),,(,0 2
21
Tttrp
r
p
k
r
p
k
rrrr
,,0
rp
Tt
где .)()(,)(,2)2()(),,0(
rrrr
T rrT
Определение 2. Обобщенным решением начально-краевой задачи (20) назы-
вается вектор-функция ,),( VpY
которая 021 ),( Vzzz удовлетворяет
системе тождеств:
),,0(),()),;((),( 21021 Ttrzftruyza n (21)
),,0(,0
2
)23(),(, 2
2
212
2 Ttdr
rr
zrzpaz
t
p
cr
(22)
.0))(,( 2
2 Tzcpr (23)
Заменив в (21) 1z разностью ),()( 1 nn uyuy а в (22), (23) 2z разностью
),()( 1 nn uТuТ с учетом (10)–(12) получаем:
T
nn
T
nnn dtuyuyadttruytruyftruy
0
1
0
22102 ))()(,()),;(),;()(),;((
dtuТuTpadtp
t
uТuT
cr
T
nn
T
nn ))()(,(,
))()((
0
11
0
12
,),(
2
))()(()23(
0
1
2
11
0
2 dttrрrudtdr
rr
uТuТr
T
nnn
T
т.е.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 33
.),(,
21
2
1 Lrrnnu рruuJ
n
(24)
Следовательно,
,~
nun
J (25)
где .)~(~),,(~ 2
0
2
1
2
1 dttrрr
T
nnn
Наличие градиента
nuJ позволяет использовать градиентные методы (13) для
определения )1( n -го приближения 1nu искомого решения Uu задачи (9)–(12).
Замечание 1. Если восстанавливаемый тепловой поток и предполагается по-
стоянным, т.е. если ),,( U то на основании (24) получаем ,~
nun
J где
,),(~
0
1
2
1 dttrрr
T
n .~
nun
J
Замечание 2. Если восстанавливаемый тепловой поток и u(t) предполагает-
ся представимым в виде
),()(
1
ttuu
m
i
iim
(26)
где m
ii t 1)}({ система линейно независимых функций, то получаем параметри-
ческий способ восстановления потока. На основании (24) имеем
.)~(,),(~,}~{~,~ 2
1
2
0
1
2
11
m
i
i
nu
T
i
i
n
m
i
i
nnnu nn
JdttrрrJ (26)
Наличие градиента
nuJ позволяет использовать метод минимальных ошибок
(13), (14) для определения )1( n -го приближения
m
i
n
inu 1
1
1 }{
решения
mm
ii Ru U1}{ задачи (9)–(12), где восстанавливаемый поток и краевого
условия (5) ищется в виде (26). В этом случае при определении решения )( 1nuY
задачи (9)–(12)
.)()()();( 22
2
212
1
12
12
2
211
2
1̀
rzrrztrdrzfrzul
m
i
i
n
i
r
r
n
Решив задачу определения вектор-функции )),(),((
nn uu JTJyY которая
021 ),( Vzzz удовлетворяет системе тождеств:
),,0(),;)((),( 21 TtzJTlzya
nu
),,0(),;(),(, 21212
2 TtzJlzTaz
t
T
cr
nu
(27)
),,()0)(,( 20
2
2
2 zTcrzcTr
получим ),,;( 2 trJyJA
nn uu что позволит использовать метод скорейшего
спуска (13), (15) для нахождения )1( n -го приближения 1nu решения задачи
(9)(12), где ),()();( 22
2
212
2
12
2
21
2
1
rzrrzJrdrzfrzJl
nn u
r
r
u если ]),,0([ TCu U
34 ISSN 0572-2691
и ,)()()(~);( 22
2
212
1
2
12
2
21
2
1
rzrrztrdrzfrzJl
m
i
i
i
n
r
r
un
если восстанавливаемый
параметр u краевого условия (5) ищется в виде (26).
Определив направление спуска np с помощью выражений (16), можем ре-
шить задачу вида (27), где вместо
nuJ используем .np Это позволит применить
метод сопряженных градиентов (13), (16) для нахождения )1( n -го приближения
1nu решения Uu задачи (9)–(12).
2. Идентификация термонапряженного состояния полой сферы по сме-
щениям ее внутренней точки. Пусть при каждом фиксированном Uu
]),0([ TC термоупругое состояние полой сферы описывается начально-краевой
задачей (2)–(7), т.е. обобщенной задачей (10)–(12). Предполагаем, что во внутрен-
ней точке ),( 211 rrd известно смещение, заданное равенством
.),0(),(),( 11 Tttftdy (28)
В этом случае функционал-невязка имеет вид
,)(
2
1
)(
0
2
1 dtfAuuJ
T
(29)
где ),;(),,;( 1 truytduyAu первая компонента решения )(uYY
))(),(( uTuy задачи (10)–(12).
Имеют место выражения вида (17)–(19), где ),;(),,;()( 1 trvytdvyvy
первая компонента решения ),( TyY задачи (10)–(12) при u v.
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (10)–(12), (29) сопря-
женная задача имеет вид:
,),(,02)2( 2
dTtr
r
r
r
),,0(,2,1,0)( Tti
irrr
),,0()),(),;((
1
)]([,0][ 112
1
11
Tttftduy
d
ndrd
,),(,0
2
)23(222
dTtr
rr
r
r
p
kr
rt
p
cr
(30)
),,0(,0,0][
1
1
Tt
r
p
kp
d
d
),,0(),,(,0 2
21
Tttrp
r
p
k
r
p
k
rrrr
,,0 rp
T
где ),,0())(\( 1 TdrdT компонента )(r определена в разд. 1.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 35
Определение 3. Обобщенным решением начально-краевой задачи (30) назы-
вается вектор-функция ,),(*
dVрY которая 0
21 ),( dVzzz удовлетворя-
ет системе тождеств
),,0(),())(),;((),( 11111 Ttdztftduyza n (31)
),,0(,0
2
)23(),(, 2
2
212
2 Ttdr
rr
zrzpz
t
p
cr
(32)
,0))(,( 2
2 Tzpcr (33)
где
,2,1,,0][),(:)),(),,((
1
1
221
jivWvtrvtrvvV
drijid
j
,2,1)),(;,0(,],0[ 2
222
)(
2
10
1
2
iLTL
t
v
dtvTt iWi
j
T
i
j
.}2,1,,0][),(:))(),(({
1
1
221
0
jivWvrvrvvV
drijid
j
Выбирая в тождестве (31) вместо функции 1z разность ),()( 1 nn uyuy а в
(32), (33) вместо 2z разность ),()( 1 nn uТuТ с учетом (10)–(12) получаем
dttduytduyftduyuJ nn
T
nnun
)),;(),;(()),;((, 111
0
11
T
nn
T
nn dtdr
rr
uТuТrdtuyuya
0
1
2
0
1
2
))()(()23(),)()((
T
nn
T
nn dtрuТuТadtp
t
uТuТ
cr
0
11
0
12 )),()((,
))()((
.),());();((
0
1
2
1111
0
T
nnn
T
dttrрrudtрulрul
Следовательно, ,~
nun
J где .~),,(~
0
22
1
2
1 dtJtrpr
T
nun n
Замечание 3. Если кроме условия (28) также имеем условие (8), то функцио-
нал-невязку запишем
.,))(),;((
2
1
)( 20
1
0 0
2 rddttftduyuJ
i
T
ii
(34)
В этом случае имеем задачу (10)–(12), (34).
Введем обозначения
,))0()(),0(()(
,))0()(),0()((),(
2
2
L
L
уvууfvL
уvууuуvu
36 ISSN 0572-2691
где ,)),;(),,;(()( 10 tdvytdvyvy ),,( 10 fff )),(),(( 21 tt )),(),(( 21 tt
.)()(),(
0
2
1
2
dttt i
T
i
iL
Так как
,)0()(2),()(2
2
2L
уfvLvvvJ
то
)(),(
)())((
lim
0
uvLuvu
uJuvuJ
.,))()(,)((
2
uvJиуvуfuу uL (35)
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (10)–(12), (34) сопря-
женная задача имеет вид (30), где вместо второго ограничения, отражающего за-
дание краевых условий, примем
.),0(,))(),;((
1
)(,0)( 022
2
21
Tttftruy
r
nrrrrrr
Для этой начально-краевой задачи обобщенная задача состоит в нахождении
вектор-функции ,),(*
dVрY которая 0
21 ),( dVzzz удовлетворяет тож-
дествам
),,0(,)())(),;((),(
1
0
11 Ttdztftduyza
i
iiin
),,0(,0
2
)23(),(, 2
2
212
2 Ttdrz
rr
rzpаz
t
p
cr
(36)
.0))(,( 2
2 Tzcpr
На основании (36) с учетом (35) получаем ).,(~
1
2 trрrJ nun
3. Восстановление коэффициента линейного расширения по поверхност-
ным смещениям. При неизвестном коэффициенте линейного расширения ком-
поненты )(),(),( yyyr вместо (1) принимают вид
,)23(
)(2
)()(
,)23(2)2()(
Tuy
rr
y
yy
Tu
r
y
r
y
yr
(37)
где неотрицательная вещественная постоянная ),0[ Uu подлежит опреде-
лению.
Учитывая (37), на основании (1) уравнение равновесия принимает вид
,),(,0)2(2)23()2( 22
Ttry
r
Т
иr
r
y
r
r
(38)
где .),(),,0( 21 rrTT
Изменение температуры Т удовлетворяет уравнению (3). На внутренней и
внешней поверхностях полой сферы заданы напряжения (4), а изменение темпе-
ратуры Т удовлетворяет смешанным краевым условиям
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 37
.),0(,),(),(
2
2
01 TtТ
r
T
ktutrT
rr
rr
(39)
При t 0 начальное условие имеет вид
.),()0,( 0 rrTrT (40)
Предполагаем, что на внешней поверхности сферы известны смещения, за-
данные равенством (8).
Тем самым получена задача (38)–(40), (3), (4), (8), состоящая в определении
неотрицательного числа ,Uu при котором первая компонента у классического
решения Y (y, T) начально-краевой задачи (38)–(40), (3), (4) удовлетворяет ра-
венству (8).
При каждом фиксированном Uu вместо классического решения Y (y, T)
начально-краевой задачи (38)(40), (3), (4) будем использовать ее обобщенное
решение.
Определение 4. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением
начально-краевой задачи (38)–(40), (3), (4) называется вектор-функция
,),( VTyY которая 021 ),( Vzzz удовлетворяет системе тождеств:
),,0(),;,(),( 11 TtzTиlzya
),,0(),(),(, 21212
2 TtzlzTaz
t
T
cr
(41)
),,()0)(,( 20
2
2
2 zTcrzcTr
где билинейные формы ),(),,( 1 aa определены в разд. 1,
),()(
2
)23();,( 212
2
2111
2
1
112
1
2
1
rzprrzprdr
r
z
r
z
иTrzTul
r
r
),()( 2
2
22
2
21
2
1
rzrdrzfrzl
r
r
),(),(),(:)),(),,(( 012
1
221 tutrvWvtrvtrvvV i
,))(;,0(,2,1,],,0[ 2
222
)(
0
1
2
LTL
t
v
idtvTt
Wi
T
}.0)(,2,1),(:))(),(({ 12
1
2210
rviWvrvrvvV i
Функционал-невязка имеет вид (9). Задачу (9), (41) будем решать с помощью
градиентных методов (13).
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (9), (41) сопряженная
задача имеет вид
),,0(),);((
1
)(,0)(
,),(,02)2(
022
2
2
21
Ttfruy
r
tr
dr
d
r
r
nrrrrrr
T
(42)
38 ISSN 0572-2691
где компонента )(r определена в разд. 1.
Определение 5. Обобщенным решением краевой задачи (42) называется
функция ,],,0[)(:),(),(
0
2
)(
1
21 1
2
T
W
dtvTtWvtrvVtr которая
)()( 1
2
0
11 WVrz удовлетворяет тождеству
).,0(),())((),( 2101 2
Ttrzfuyza rrn (43)
Заменив в (43) функцию 1z разностью ),()( 1 nn uyuy с учетом первого
тождества системы (41) получим
dtuyuyadtuyuyfuy nn
T
rrnnn
T
))()(,())()()()(( 1
0
10
0
2
,
2
)23());,();,(( 2
0
1
0
2
1
dtdr
rr
TrudtTulTul
r
r
T
nnn
T
(44)
где Т решение задачи, определенной вторым и третьим тождествами систе-
мы (41).
Следовательно, ,~
nun
J где
,
2
)23(~
0
2
2
1
dtdr
rr
Тr
T r
r
n
.~
nun
J
Замечание 4. Если u u( t), то на основании (44) имеем ,~
nun
J где
.)~(,
2
)23(~
0
222
2
1
T
nu
r
r
n dtJdr
rr
Тr
n
Замечание 5. Если u u( r), то ,~
nun
J где
.)~(,
2
)23(~
2
1
22
0
2
r
r
nu
T
n drJdt
rr
Тr
n
Замечание 6. Если u u( r, t), то ,~
nun
J где
.)~(,
2
)23(~
0
222
2
1
T r
r
nun dtdrJ
rr
Тr
n
4. Идентификация термонапряженного состояния на основе задачи упру-
гого равновесия. Пусть уравнение равновесия имеет вид
,),(,0)23(2)2( 22
Ttr
r
и
ry
r
y
r
r
(45)
где изменение температуры )(12,
TCu U считаем неизвестным. На внутрен-
ней и внешней поверхностях полой сферы заданы напряжения (4). Предполагаем,
что на внешней поверхности сферы известны смещения, заданные равенством (8).
Получена задача (45), (4), (8), состоящая в определении функции ,Uu
при которой решение у у(u) у(u; r, t) краевой задачи (45), (4) удовлетворяет
равенству (8).
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 39
Определение 6. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением
краевой задачи (45), (4) называется функция ,),;()( 1Vtruyuyy которая
0
111 )( Vrzz удовлетворяет тождеству
),,0();(),( 11 Ttzиlzya (46)
где ).()(
2
)23();( 212
2
2111
2
1
112
1
2
1
rzprrzprdr
r
z
r
z
иrzul
r
r
Замечание 7. При решении задачи (46), (9) можем принять .)( TС U
Вместо задачи (46), (8) будем решать градиентными методами (13) задачу
(46), (9). Для каждого приближения nu решения Uu задачи (46), (9) сопряжен-
ная задача имеет вид (42) с соответствующей обобщенной (43). Заменив в (43)
функцию 1z разностью ),()( 1 nn uyuy с учетом (46) получаем
T
nnnu dtuyuyauJ
n
0
1 ))()(,(,
.
2
)23());();((
0
2
0
1
2
1
dtdr
rr
urdtulul
T r
r
n
T
nn
(47)
Следовательно,
,~
nun
J (48)
где .~,
2
)23(~
0
222
2
1
dtdrJ
rr
r
T r
r
пun n
Замечание 8. Если
m
ii r 1)}({ система линейно независимых функций,
а восстанавливаемая функция u ищется в виде
),()(
1
rtuu
m
i
iim
(48)
то с учетом (47) получаем ,~
пun
J где
.)~(,
2
)23(~,}~{}~{
1 0
222
1
2
1
m
i
T
i
nui
r
r
i
n
m
i
i
nп dtJdr
rr
r
n
(49)
Замечание 9. Если кроме точки 2rr решение у задачи (46) также известно в
некоторых других, например, ,,1, Nidi т.е.
),,0(,,0),(),( TtNitftdy ii (50)
то функционал-невязка имеет вид
,))(),;((
2
1
)(
0 0
2
N
i
T
ii dttftduyuJ (51)
где .20 rd
Задачу (46), (51) будем решать с помощью градиентных методов (13). В этом
случае для каждого приближения nu решения Uu задачи (46), (51) сопряжен-
ная задача имеет вид:
40 ISSN 0572-2691
,),(,02)2( 2
Tdtr
r
r
r
),,0(,,1,))((
1
)]([,0][
2
TtNifuy
d iii din
i
drd
(52)
),,0()),(),;((
1
)(,0)( 022
2
21
Tttftruy
r
nrrrrrr
где компонента r определена в разд. 1, ),,0( TddT
,
0
i
N
i
d
),
~
,
~
( 1 iii dd .,1,
~
,
~
1021 Nirdrd N
Определение 7. Обобщенным решением краевой задачи (52) называется
функция ,),( 1dVtr которая 0
11 dVz удовлетворяет тождеству
,),0(),);((),( 11 Ttzuylza n (53)
где
,),,0(,,1,0][,,0),(:),(
0
21
21 1
2
T
Wdid dtvTtNivNiWvtrvV
ii
).()),;(());((, 1
0
1
0
2
)(
2
1
2
1
2
i
N
i
iiпn
N
i
WW
dzftduyzuylvv
i
Учитывая (46), (51), (53), можем записать
dtuyuyftduyuJ
in dn
N
i
T
niinnu ))()()(),;((,
0 0
1
.
2
)23())()(,(
0
2
0
1
2
1
dtdr
rr
urdtuyuya
T r
r
n
T
nn
(54)
На основании (54) получаем выражение (48).
5. Параметрическая идентификация изменения температуры тела. Рас-
смотрим задачу (46), (51) в предположении, что искомое изменение температуры
тела Т u можно представить в виде
,),(),(),(
1
m
i
iim trtrutru (55)
где
m
ii tr 1)},({ система линейно независимых функций. С учетом (55) на ос-
новании (54) получаем
.
2
)23(,
1 0
2
2
1
dtdr
rr
ruJ
m
i
T r
r
iinnun
Следовательно, ,~
пun
J где
.)~(,
2
)23(~,}~{~
1
22
0
2
1
2
1
m
i
i
пu
T r
r
i
i
n
m
i
i
nп n
Jdtdr
rr
r
6. Идентификация по заданным смещениям термонапряженного состоя-
ния двухслойного тела со слаботеплопроницаемым прослоем. Пусть на интер-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 41
валах ),,( 11 r ),( 22 r )0( 21 rr уравнение равновесия имеет
вид
,),(,0)23(2)2( 22
Ttr
r
T
ry
r
y
r
r
(56)
где .),,0( 21 TT
Изменение температуры Т удовлетворяет уравнению
.),(,
1 2
2 Ttrf
r
T
kr
rrt
T
c
(57)
На внутренней и внешней поверхностях составной полой сферы заданы напряжения
),,0(,2,1,)( Ttipy irrr
i
(58)
плотность теплового потока на внутренней поверхности
),,0(,, 1 Ttrru
r
T
k
(59)
которую считаем неизвестной, а на внешней поверхности краевое условие тре-
тьего рода
.),0(,, 2 TtrrT
r
T
k
(60)
На сферической поверхности радиуса r контакта составляющих составной
сферы имеем условия сопряжения:
,0)]([,0][ yy r
],[21 T
r
T
kR
r
T
kR
(61)
),,0(, Tt
r
T
k
где компоненты )(),(),( yyyr имеют вид (1).
При t 0 имеем начальное условие
.),()0,( 210 rrTrT (62)
Предполагаем, что на внешней поверхности составной сферы известно смещение
).,0(),(),( 02 Tttftry (63)
Получена задача (56)–(63), состоящая в определении функции )(tuu
]),,0([ TCU при которой первая компонента у классического решения
Y (y, T) начально-краевой задачи (56)–(62) удовлетворяет равенству (63).
Определение 8. Обобщенным решением начально-краевой задачи (56)(62)
называется вектор-функция ,),( VTyY которая 021 ),( Vzzz удовлетво-
ряет тождествам:
,),0(),;(),( 11 TtzTlzya (64)
42 ISSN 0572-2691
),,0(),;(),(, 21212
2 TtzulzTaz
t
T
cr
(65)
).,()0)(,( 20
2
2
2 zTcrzcTr (66)
Здесь
,22)2(),(
2
1
111112
1
r
r
dr
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
rzya
,
][][
),(
2
1 2
2
2
2
21
2222
21
r
r rr
zTr
RR
zT
dr
r
z
r
T
krzTa
,)()(
2
)23();( 212
2
2111
2
1
112
1
2
1
rzprrzprdr
r
z
r
z
TrzTl
r
r
,)()(][);( 22
2
212
2
12
2
2
21
22
2
2
21
2
1
rzrrzurzz
RR
R
drzfrzul
r
r
;2,1,)),(;,0(),(:)),(),,(( 2
221
221
jiLTL
t
v
WvtrvtrvvV iji
i
j
,2,1,],,0[,0][
2
)(
2
10
1 1
2
idtvTtv
jWi
j
T
r
}.0][,2,1,),(:))(),(({ 1
1
2210
rji vjiWvrvrvvV
j
Функционал-невязка имеет вид (9). Справедливы выражения вида (17)–(19).
Для каждого приближения nu решения ]),0([ TCu U задачи (64)(66), (9) со-
пряженная задача имеет вид:
,),(,02)2( 2
Ttr
r
r
r
),,0(,))((
1
)(,0)(
221
02
2
Ttfuy
r
rrnrrrrrr
,),(,0
2
)23(222
Ttr
rr
r
r
p
kr
rt
p
cr
),,0(),,(,0 2
21
Tttrp
r
p
k
r
p
k
rrrr
(67)
,0)]([,0][
rrr
,
][
,0
21 RR
p
r
p
k
r
p
k
r
,,0
rp
Tt
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 43
где компонента )(r определена в разд. 1.
Определение 9. Обобщенным решением начально-краевой задачи (67) назы-
вается вектор-функция ,),( VpY которая 021 ),( Vzzz удовлетворяет
тождествам:
,),0(),()),;((),( 21021 Ttrzftruyza n (68)
),,0(,0
2
)23(),(, 2
2
212
2 Ttdr
rr
zrzpаz
t
p
cr
(69)
.0))(,( 2
2 Tzpcr (70)
Выбирая в тождестве (68) вместо функции 1z разность ),()( 1 nn иyиy а в
тождествах (69), (70) вместо 2z разность ),()( 1 nn иTиT с учетом (64)(66)
получаем
T
nn
T
nnn dtuyuyadttruytruyftruy
0
1
0
22102 )),()(()),;(),;()(),;((
dtpuТuTadtdr
rr
uТuТr
T
nnnn
T
),)()((
2
))()(()23(
0
111
0
2
.),());();((
0
1
2
11
0
11 dttrрrudtpulpul
T
nn
T
n (71)
С учетом (19) на основании (71) имеем
dttrpruuJ
T
nnun
0
1
2
1 ),(, . (72)
Следовательно, ,~
nun
J где
.~),,(~
0
22
1
2
1 dtJtrpr
T
nun n (73)
Наличие градиента
nuJ позволяет использовать градиентные методы (13)
для определения )1( n -го приближения un+1 решения Uu задачи (64)–(66), (9).
Замечание 10. Если имеет место представление (26), то справедливы выраже-
ния (26).
7. Одновременная идентификация плотности теплового потока и терми-
ческого сопротивления. Пусть на области ),0( TT )( 21 зада-
но уравнение упругого равновесия
0)23(2)2( 22
r
T
ry
r
y
r
r
(74)
и уравнение диффузии
.
1 2
2
f
r
T
kr
rrt
T
c
(75)
44 ISSN 0572-2691
На концах отрезка ],[ 21 rr заданы краевые условия (58), (60) и ограничение
.),0(,, 11 Ttrru
r
T
k
(76)
В точке r условия сопряжения имеют вид
.),0(],[,0
,0)]([,0][
2 TtTu
r
T
k
r
T
k
yy r
(77)
При t 0 имеем начальное условие
.),()0,( 210 rrTrT (78)
Предположим, что на внешней поверхности сферы, в точке r и в некоторых
внутренних точках ,id ,,2 Ni известны смещения, заданные равенствами
.),0(,,,,0),(),( 120 TtdrdNitftdy ii (79)
Получена задача (74)–(79), (58), (60), состоящая в определении вектора
]),,0([]),0([),( 21 TCTCuuu U при котором первая компонента у класси-
ческого решения Y ( y, T) начально-краевой задачи (74)–(78), (58), (60) удовле-
творяет равенствам (79).
Определение 10. Обобщенным решением начально-краевой задачи (74)–(78),
(58), (60) называется вектор-функция ,),( VTyY которая 021 ),( Vzzz
удовлетворяет тождествам
),,0(),;(),( 11 TtzTlzya (80)
),,0(),;(),;(, 21212
2 TtzulzTuaz
t
T
cr
(81)
),,()0)(,( 20
2
2
2 zTcrzcTr (82)
где множества ,, 0VV формы );(),,( la определены в разд. 6,
),(),(][][),;( 222
2
222
222
21
2
1
rztrTrzTudr
r
z
r
T
krzTua
r
r
.)()();( 22
2
2121
2
12
2
21
2
1
rzrrzurdrzfrzul
r
r
Функционал-невязка имеет вид
.))(),;((
2
1
)(
0 0
2
N
i
T
ii dttftduyuJ (83)
Полученную задачу (80)–(83) будем решать с помощью градиентных мето-
дов (13). Для каждого приближения nu решения Uu задачи (80)–(83) при ,u
Uv введем обозначения:
,))()(),(()(
,))()(),()((),(
2
2
Lnn
Lnn
uyvyuyfvL
uyvyuyuyvu
(84)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 45
где Uv ),;(,)},;({,)( 0 trvytdvyAvAvvу N
ii первая компонента реше-
ния ),( TyY задачи (80)–(82) при u v, ,),(
0 0
2
dt
N
i
T
iiL
,)}({ 0
N
ii t
,)}({ 0
N
ii t N
iiff 0}{ .
Имеет место выражение
.)()(2),()(2
2
2LnuуfvLvvvJ (85)
На основании задачи (80)–(83) при каждом приближении ,nu пренебрегая
членами второго порядка малости, определим функцию VTyY )
~
,~(
~
как реше-
ние задачи:
),,0(),;
~
(),~( 11 TtzTlzya
),,0(),(][)]([);(
),
~
;(,
~
12
2
1122
2
21
212
2
TtrzruzuTuzul
zTuaz
t
T
cr
nnnn
n
(86)
.),(),()0)(,
~
( 02120
2
2
2 VzzzzTcrzTcr
Имеем
,))()(~()()( 1 nnnnn uyuyuyuuy (87)
где .)},;(~{)(~
011
N
iinn tduyuy
С учетом (87), (84), (85) можем записать
.))()(~,)((
)()(
lim,
21
0
Lnnn
nnn
nu иyuyfuy
uJuuJ
uJ
n
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (80)–(83) введем в рас-
смотрение следующую сопряженную задачу:
,),(,02)2( 2
Тdtr
r
r
r
,),(,0
2
)23(222
Тdtr
rr
r
r
p
kr
rt
p
cr
,))((
1
)(,0)(
221
02
2
rrnrrrrrr fuy
r
),,0(,,1,))((
1
)]([,0][
),,0(),,(,0
2
2
21
TtNifuy
d
Tttrp
r
p
k
r
p
k
iii drin
i
drd
rrrr
(88)
),,0(,,2,00][ TtNi
r
p
kp
i
i
d
d
46 ISSN 0572-2691
),,0(,],[,0 2 Ttrpu
r
p
k
r
p
k n
,,0
rp
Tt
где .,\),,0(
2
i
N
i
ddddd dT
T
Определение 11. Обобщенным решением начально-краевой задачи (88) назы-
вается вектор-функция ,),( dVpY которая 0
21 ),( dVzzz удовлетворя-
ет тождествам
),,0(),())(),;((),( 1
0
1 Ttdztftduyza i
N
i
iin
(89)
),,0(,0
2
)23(),;(, 2
2
212
2 Ttdr
rr
zrzpuaz
t
p
cr n
(90)
,0))(,( 2
2 Tzpcr (91)
где
,1,1;2,1),(:)),(),,(( 1
221
NjiWvtrvtrvvV jid
j
;,2,0][;,1,0][,1,1)),(;,0( 212
22 NivNivNjLTL
t
v
ii
j
ddj
,2,1,
0
1
1
2
)(1
2
T N
j
Wi idtv
j
;2,1),(:))(),(( 1
221
0
iWvrvrvvV jid
j
.,2,0][,,1,0][ 21
NivNiv
ii dd
Выбирая в тождестве (89) вместо функции 1z разность ),()(~
1 nn uyuy а в
(90), (91) вместо 2z разность ),()(
~
1 nn иTиT с учетом (86) полагаем
T
nnLnnnnu dtuyuyauyuyfuyuJ
n
0
11 ))()(~,())()(~,)((,
2
dtdr
rr
uTuTr
T
nn
2
))()(
~
)(23(
0
1
2
.][)]([),()),()(
~
;(
0
2
2
0
1
2
11
0
11
T
nn
T
n
T
nnn dtpuTudttrprudtpuTuTua
(92)
Следовательно,
,~
nun
J (93)
где
T
i
i
nunnni
i
nn dtJpuTtrpr
n
0
2
1
2222
1
2
1
12
1 .)~(],[)]([~),,(~,}~{~
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 47
Замечание 11. На основании выражения (92) можем легко получить прибли-
жение градиента
nuJ (93) в случае параметрического представления одного или
обоих одновременно параметров ,, 21 uu т.е. представляя их аналогично (55).
Замечание 12. Если ,const, 21 uu то на основании (92) получаем ,~
nun
J
где
.)~(,][)]([~,),(~,}~{~
2
1
22
0
22
1
0
2
1
12
1
i
nu
T
nn
T
ni
i
nn n
JdtpuTdttrpr
8. Идентификация коэффициентов теплопроводности составляющих со-
ставной полой сферы. Пусть на области T )( 21 определено уравне-
ние упругого равновесия
.),(,0)23(2)2( 22
Ttr
r
T
ry
r
y
r
r
(94)
Изменение температуры T удовлетворяет уравнению
,),(,
1 2
2 Ttrf
r
T
ur
rrt
T
c
(95)
где .2,1,),,0(),0(),( 21
iuuuuu
i
iU
На концах отрезка ],[ 21 rr заданы краевые условия
).,0(,,
,2,1,)(
2211
2
21
TtT
r
T
u
r
T
u
ipy
rr
rrrr
irrr
i
(96)
В точке r ),0( Tt условия сопряжения имеют вид
.][,0
,0)]([,0][
Tr
r
T
u
r
T
u
yy r
(97)
При t 0 имеем начальное условие
., 2100
rTT
t
(98)
Предполагаем, что на внешней поверхности сферы, в точке r и в некото-
рых внутренних точках ,id Ni ,2 ),0( Tt известны смещения, задан-
ные равенствами (79).
Получена задача (94)–(98), (79), состоящая в определении вектора
,),( 21 U uuu при котором первая компонента у классического решения
),( TyY начально-краевой задачи (94)–(98) удовлетворяет равенствам (79).
Функционал-невязка имеет вид (83).
При каждом фиксированном Uu вместо классического решения начально-
краевой задачи (94)–(98) будем использовать ее обобщенное решение.
Определение 12. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением
начально-краевой задачи (94)(98) называется вектор-функция ,),( VTyY ко-
торая 021 ),( Vzzz удовлетворяет тождествам:
48 ISSN 0572-2691
),,0(),;(),( 11 TtzTlzya (99)
),,0(),(),;(, 21212
2 TtzlzTuaz
t
T
cr
(100)
),,()0)(,( 20
2
2
2 zTcrzcTr (101)
где множества ,, 0VV формы );(),,( la определены в разд. 6,
),(),(][][),;( 222
2
22
222
21
2
1
rztrTrzTrdr
r
z
r
T
urzTua
r
r
).()()( 22
2
22121
2
12
2
21
2
1
rzrrzrdrzfrzl
r
r
Для каждого приращения Y решения Y(u), соответствующего прираще-
нию u элемента ,Uu на основе краевой задачи (94)–(98) получаем следую-
щую начально-краевую задачу:
,),(,0)23(2)2( 22
1
12
Ttr
r
r
dr
d
r
r
,),(,
)(11 2
2
22
2
2
Ttr
r
uT
ur
rrr
ur
rrt
c
),,0(,2,1,0)( Tti
irrr
),,0(,,
)(
11
2
1 Ttrr
r
uT
u
r
u
(102)
),,0(,,
)(
222
2
2 Ttrr
r
uT
u
r
u
),,0(,,0)]([][ 1 Ttrr
),,0(,,
)(
][,
)(
2
22 Ttr
r
uT
ur
r
u
r
uT
u
r
u
,,0
02
r
t
где .,),,(,,,, 21211212 Tyuuuuuuuu
Определение 13. Обобщенным решением начально-краевой задачи (102)
называется вектор-функция ,V которая 021 ),( Vzzz удовлетворяет си-
стеме тождеств
),,0(),;(),( 1
1
11 Ttzulza
),,0(),);(,(),;(, 2
1
12212
22 TtzuTulzuaz
t
cr
(103)
,0)0)(,( 22
2 zcr
где
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 49
,
2
)23();(
2
1
11
2
2
1
1
r
r
dr
r
z
r
z
rzul
)(
)()(
));(,( 12
2
112
2
1
2
2
1
1
1
rz
r
uT
rudrz
r
uT
ru
r
zuTul
rri
i
i
.
)()(
)(
)(
2
2
12
2
2222
2
2
2
z
r
uT
uz
r
uT
urz
r
uT
ur
rr
Имеют место выражения (84), (85), (87), где .)()(~
11 nn иyиy
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (99)(101), (83) сопря-
женную задачу запишем так:
,),(,02)2( 2
Tdtr
r
r
r
,),(,0
2
)23(222
Tdn tr
rr
r
r
p
ur
rt
p
cr
),,0(,,0
2
21
21 Ttp
r
p
u
r
p
u
rr
rr
n
rr
n
,,2,0,0][
,,1),),;((
1
)]([,0][
2
Ni
r
p
up
Niftduy
d
i
i
ii
d
nd
iin
i
drrdr
(104)
),),;((
1
)(,0)( 022
2
21
ftruy
r
nrrrrrr
),,0(,],[,0 Ttrpr
r
p
u
r
p
u nn
,,0
rp
Tt
где .][][,2)2()(
ii drdr
rr
Определение 14. Обобщенным решением начально-краевой задачи (104)
называется вектор-функция ,),( dVpY которая
0
21 ),( dVzzz удовле-
творяет тождествам
),,0(),()),;((),( 1
0
1 Ttdzftduyza i
N
i
iin
(105)
),,0(,0
2
)23(),;(, 2
2
212
2 Ttdr
rr
zrzpuaz
t
p
cr
(106)
,0))(,( 2
2 Tzpcr (107)
где множества
0, dd VV определены в разд. 7, .nuu
50 ISSN 0572-2691
Выбирая в тождестве (105) вместо функции 1z разность ),()(~
1 nn uyuy а в
(106), (107) вместо 2z — разность ),()(
~
1 nn иTиT с учетом (103) получаем
T
nnLnnnnu dtuyuyauyuyfuyuJ
n
0
11 ))()(~,())()(~,)((,
2
dtdr
rr
uTuTr nn
T
2
))()(
~
()23( 1
0
2
.));(,()),()(
~
;(
0
1
1
0
11
T
nn
T
nnn dtpuTuldtpuTuTua (108)
Следовательно,
,~
nun
J
где
,}~{~ 2
1 i
i
nn
T
n
rr
n
T
r
T
n
n dtp
r
uT
dtp
r
uT
rdtdrp
r
uT
r
r
0
2
0 0
2
1
21 ,
)()()(~
11
,
)()()(~
0
2
0 0
2
2
22
2
2
dtp
r
uT
dtp
r
uT
rdtdrp
r
uT
r
r
n
T
rr
n
T r T
n
n
2
1
22
.)~(
i
i
nun
J
Замечание 13. На основании выражения (108) можно получить представление
приближения n~ градиента
nuJ при других предположениях относительно мно-
жества U, например параметрических представлений, изменяющихся от перемен-
ных r, t и др.
9. Идентификация термонапряженного состояния по заданным смеще-
ниям (неоднородные смешанные условия сопряжения). Пусть на области T
)( 21 определено уравнение упругого равновесия
.),(,0)23(2)2( 22
Ttr
r
T
ry
r
y
r
r
(109)
Изменение Т температуры удовлетворяет уравнению
.),(,
1 2
2 Ttrf
r
T
kr
rrt
T
c
(110)
На концах отрезка ),0(],[ 21 Ttrr заданы краевые условия
.,
,2,1,)(
2
21
rr
rrrr
irrr
T
r
T
ku
r
T
k
ipy
i
(111)
В точке r ),0( Tt условия сопряжения расклинивающего давления
[11, 12] и составного слаботеплопроницаемого прослоя имеют вид:
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 51
,)}({,)}({,][ pypyy rr
],[21 T
r
T
kR
r
T
kR
(112)
,
r
T
k
где ,const, 21 RR ,021 RR ,]),0([)( TCt p величина расклинива-
ющего давления.
При t 0 задано начальное условие (98). Предполагаем, что в точке 2rr
известно смещение
.),0(),(),( 02 Tttftry (113)
Получена задача (109)–(113), (98), состоящая в определении вещественной
функции ]),,0([)( TCtuu U при которой первая компонента у классическо-
го решения ),( TyY начально-краевой задачи (109)–(112), (98) удовлетворяет
равенству (113). Вместо классического решения начально-краевой задачи
(109)–(112), (98) будем использовать ее обобщенное решение.
Определение 15. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением
начально-краевой задачи (109)–(112), (98) называется вектор-функция ,),( VTyY
которая 021 ),( Vzzz удовлетворяет системе тождеств:
),,0(),;(),( 11 TtzTlzya
),,0(),;(),(, 21212
2 TtzulzTaz
t
T
cr
(114)
),,()0)(,( 20
2
2
2 zTcrzcTr
где
,2,1)),(;,0(),,0(,][:),( 2
22
121
iLTL
t
v
TtvVvvvV ir
i
},0][:{ 100
r
vVvV
,),0(;2,1,,),(:)),(),,((
0
2
)(
1
221 1
2
TtjidtvWvtrvtrvvV
T
Wiji
jj
},2,1,),(:))(),(({ 1
2210
jiWvrvrvvV ji
j
формы ),(),,( 1 aa определены в разд. 6,
),()()(2
2
)23();( 212
2
2111
2
11
2112
1 rzprrzprzpdr
r
z
r
z
TrzTl
.][)()();( 2
2
2
21
22
22
2
212
2
12
2
21
2
1
zz
RR
R
rzrruzrdrzfrzul
r
r
52 ISSN 0572-2691
Функционал-невязка имеет вид (9). Задачу (114), (9) будем решать с помо-
щью градиентных методов (13). Имеют место выражения вида (17)–(19).
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (114), (9) сопряженную
задачу запишем следующим образом:
,),(,02)2( 2
Ttr
r
r
r
,),(,0
2
)23(222
Ttr
rr
r
r
p
kr
rt
p
cr
),),;((
1
)(,0)( 022
2
21
ftruy
r
nrrrrrr
),,(,0 2
21
trp
r
p
k
r
p
k
rrrr
(115)
,0)]([,0][
rrr
,
][
,0
21 RR
p
r
p
k
r
p
k
r
.,0
rp
Tt
Определение 16. Обобщенным решением начально-краевой задачи (115)
называется вектор-функция ,),( dVpY которая 021 ),( Vzzz удовле-
творяет системе тождеств:
),,0(),()),;((),( 21021 Ttrzftruyza n (116)
),,0(,0
2
)23(),(, 2
2
212
2 Ttdr
rr
zrzpaz
t
p
cr
(117)
,0))(,( 2
2 Tzpcr (118)
где
2
1, 0
2
)(1 ,),,0(,0][: 1
2
ji
T
Wird dtvTtvVvV
j
.2,1,))(;,0( 2
22
iLTL
t
v
i
i
Выбирая в тождестве (116) вместо функции 1z разность ),()( 1 nn иyиy а в
(117), (118) вместо 2z разность ),()( 1 nn иTиT с учетом (114) имеем
2
))()(,)((, 10 Lnnnnu uyuyfuyuJ
n
T
nn
T
nn dtdr
rr
uТuТrdtuyuya
0
1
2
0
1
2
))()(()23())()(,(
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 53
.),())()(,(
0
1
2
1
0
11 dttrрrudtuТuТpa
T
n
T
nn (119)
На основании (119) получаем ,~
nun
J где .~),,(~
0
22
1
2
1 dtJtrpr
T
nun n
Наличие градиента
nuJ позволяет использовать градиентные методы (13)
для определения )1( n -го приближения 1nu решения Uu задачи (114), (9).
10. Одновременная идентификация плотности теплового потока и источ-
ника/стока. Пусть на области )( 21 T определено уравнение упруго-
го равновесия (109), а изменение температуры Т удовлетворяет уравнению (110).
На концах отрезка ),0(],[ 21 Ttrr заданы краевые условия:
.),(,
,2,1,)(
21
21
trT
r
T
ku
r
T
k
ipy
rrrr
irrr
i
(120)
В точке ),0( Ttr условия сопряжения имеют вид:
,)}({,)}({,][ pypyy rr
],[21 T
r
T
kR
r
T
kR
(121)
.2u
r
T
k
При t 0 зададим начальное условие (98). Предполагаем, что в точках ,id
,,0 Ni известны смещения, заданные равенствами
),,0(,,0),(),( TtNitftdy ii (122)
где .,1,,20 Nidrd i
Получена задача (109), (110), (120)–(122), (98), состоящая в определении век-
тора ]),,0([]),0([),( 21 TCTCuuu U при котором первая компонента у
классического решения ),( tyY начально-краевой задачи (109), (110), (120),
(121), (98) удовлетворяет равенствам (122). Вместо классического решения
),( TyY начально-краевой задачи (109), (110), (120), (121), (98) будем использо-
вать ее обобщенное решение.
Определение 17. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением
начально-краевой задачи (109), (110), (120), (121), (98) называется вектор-функция
,),( VTyY которая 021 ),( Vzzz удовлетворяет системе тождеств
),,0(),;(),( 11 TtzTlzya (123)
),,0(),;(),(, 21212
2 TtzulzTaz
t
T
cr
(124)
),,()0)(,( 20
2
2
2 zTcrzcTr (125)
54 ISSN 0572-2691
где множества 0, VV определены в разд. 9, а билинейные формы ),(,),( 1 aa —
в разд. 6,
),()()(2
2
)23();( 212
2
2111
2
11
2112
1 rzprrzprzpdr
r
z
r
z
TrzTl
.][)()();( 22
2
2
21
22
2
22
2
2121
2
12
2
21
2
1
zuz
RR
uR
rzrrzurdrzfrzul
r
r
Функционал-невязка имеет вид (51). Задачу (51), (123)–(125) будем решать
с помощью градиентных методов (13).
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (51), (123)–(125) со-
пряженную задачу запишем так:
,),(,02)2( 2
Tdtr
r
r
r
,),(,0
2
)23(222
Tdtr
rr
r
r
p
kr
rt
p
cr
),),;((
1
)(,0)( 022
2
21
ftruy
r
nrrrrrr
),,(,0 2
21
trp
r
p
k
r
p
k
rrrr
,,1),),;((
1
)]([,0][
2
Niftduy
d
iin
i
drrdr ii
(126)
,0)}({)}({,0][
rrr
,,2,0,0][ Ni
r
p
kp
i
i
dr
dr
),,0(,
][
,0
21
Tt
RR
p
r
p
k
r
p
k
r
rr
,,0
rp
Tt
где .2)2()(),,0(,,\
1 rr
Td rddi
N
i
ddd T
Определение 18. Обобщенным решением начально-краевой задачи (126)
называется вектор-функция ,),( dVpY которая
0
21 ),( dVzzz удовле-
творяет системе тождеств:
,),0(,)()),;((),(
0
11
N
i
iiin Ttdzftduyza (127)
),,0(,0
2
)23(),(, 2
2
212
2 Ttdr
rr
zrzpaz
t
p
cr
(128)
.0))(,( 2
2 Tzcpr (129)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 55
Выбирая в тождестве (127) вместо функции 1z разность ),()( 1 nn иyиy а в
тождествах (128), (129) вместо 2z разность ),()( 1 nn иTиT с учетом (123)–(125)
имеем
2
))()(,)((, 10 Lnnnnu uyuyfuyuJ
n
T
nn
T
nn dtdr
rr
uТuТrdtuyuya
0
1
2
0
1
2
))()(()23())()(,(
dtpulpuldtpuTuTa
T
nn
T
nn
0
111
0
11 ));();(()),()((
.][),( 2
21
2
0
2
0
1
2
11 dtpp
RR
R
udttrрru
T
n
T
n
Следовательно, ,~
nun
J где
2
1 0
222
21
212
1
2
1
12
1
.)~(,~
),,(~,}~{~
i
T
i
nun
ni
i
nn
dtJ
RR
pRpR
trpr
n
(130)
Наличие градиента
nuJ позволяет использовать градиентные методы (13) для
определения )1( n -го приближения 1nu решения Uu задачи (123)–(125), (51).
І.В. Сергієнко, В.С. Дейнека
ІДЕНТИФІКАЦІЯ ПАРАМЕТРІВ
ЗАДАЧ ТЕРМОПРУЖНОСТІ
СКЛАДЕНОЇ ПОРОЖНИСТОЇ СФЕРИ
ПРИ НЕСТАЦІОНАРНОМУ ПОЛІ ТЕМПЕРАТУР
Побудовано явні вирази градієнтів функціоналів-нев’язок для ідентифікації
градієнтними методами різних параметрів задач термопружного деформу-
вання складеної порожнистої сфери при нестаціонарному полі температур.
Градієнти побудовано на основі теорії оптимального керування станами бага-
токомпонентних розподілених систем.
I.V. Sergienko, V.S. Deineka
PARAMETERS IDENTIFICATION
OF THERMOELASTIC PROBLEMS
FOR COMPOUND HOLLOW SPHERE
UNDER NONSTATIONARY TEMPERATURE FIELD
Explicit expressions of the functional-residuals gradients for gradient methods of
identification of different parameters of thermoelastic deformation problems for
compound hollow sphere under nonstationary temperature field are constructed. The
gradients are constructed on the basis of multicomponent distributed systems states
optimal control theory.
1. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Идентификация напряженно-деформированного состояния
составного сферического полого тела // Проблемы управления и информатики. 2009.
№ 4. — С. 5–31.
56 ISSN 0572-2691
2. Sergienko I.V., Deineka V.S. Identification of stress-strained states of compound cylinder by
known displacements // J. of Autom. аnd Inform. Sciences. 2009. 41, N 6. P. 1–29.
3. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Идентификация параметров квазистационарных задач термо-
упругости // Кибернетика и системный анализ. 2010. № 2. С. 59–85.
4. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Оптимальное управление неоднородными распределенными
системами. Киев : Наук. думка, 2003. 506 с.
5. Дейнека В.С. Оптимальное управление эллиптическими многокомпонентными распреде-
ленными системами. Киев : Наук. думка, 2005. 364 с.
6. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal control of distributed systems with conjugation
conditions. New York : Kluwer Aсadem. Publ., 2005. 400 p.
7. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некоррект-
ных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.
8. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев: Наук. думка, 1970. 308 с.
9. Мотовиловец И. А., Козлов В.И. Механика связанных полей в элементах конструкций.
Т. 1. Киев : Наук. думка, 1987. 264 с.
10. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Системный анализ многокомпонентных распределенных сис-
тем. Киев : Наук. думка, 2009. 640 с.
11. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. К определению осесимметричного напряженного состояния
составного тела при расклинивающем давлении // Прикл. механика. — 1999. 35, № 1.
С. 50–57.
12. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Модели и методы решения задач в неоднородных средах.
Киев : Наук. думка, 2001. 606 с.
Получено 24.02.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210733 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-03-14T10:56:35Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. 2025-12-16T13:51:01Z 2010 Идентификация параметров задач термоупругости составной полой сферы при нестационарном поле температур / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 3. — С. 29-56. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210733 539.3:519.6 10.1615/JAutomatInfScien.v42.i6.10 Побудовано явні вирази градієнтів функціоналів-нев’язок для ідентифікації градієнтними методами різних параметрів задач термопружного деформування складеної порожнистої сфери при нестаціонарному полі температур. Градієнти побудовано на основі теорії оптимального керування станами багатокомпонентних розподілених систем. Explicit expressions of the functional-residuals gradients for gradient methods of identification of different parameters of thermoelastic deformation problems for compound hollow sphere under nonstationary temperature field are constructed. The gradients are constructed on the basis of multicomponent distributed systems states optimal control theory. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы идентификации и адаптивного управления Идентификация параметров задач термоупругости составной полой сферы при нестационарном поле температур Ідентифікація параметрів задач термопружності складеної порожнистої сфери при нестаціонарному полі температур Parameters identification of thermoelastic problems for compound hollow sphere under nonstationary temperature field Article published earlier |
| spellingShingle | Идентификация параметров задач термоупругости составной полой сферы при нестационарном поле температур Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Методы идентификации и адаптивного управления |
| title | Идентификация параметров задач термоупругости составной полой сферы при нестационарном поле температур |
| title_alt | Ідентифікація параметрів задач термопружності складеної порожнистої сфери при нестаціонарному полі температур Parameters identification of thermoelastic problems for compound hollow sphere under nonstationary temperature field |
| title_full | Идентификация параметров задач термоупругости составной полой сферы при нестационарном поле температур |
| title_fullStr | Идентификация параметров задач термоупругости составной полой сферы при нестационарном поле температур |
| title_full_unstemmed | Идентификация параметров задач термоупругости составной полой сферы при нестационарном поле температур |
| title_short | Идентификация параметров задач термоупругости составной полой сферы при нестационарном поле температур |
| title_sort | идентификация параметров задач термоупругости составной полой сферы при нестационарном поле температур |
| topic | Методы идентификации и адаптивного управления |
| topic_facet | Методы идентификации и адаптивного управления |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210733 |
| work_keys_str_mv | AT sergienkoiv identifikaciâparametrovzadačtermouprugostisostavnoipoloisferyprinestacionarnompoletemperatur AT deinekavs identifikaciâparametrovzadačtermouprugostisostavnoipoloisferyprinestacionarnompoletemperatur AT sergienkoiv ídentifíkacíâparametrívzadačtermopružnostískladenoíporožnistoísferiprinestacíonarnomupolítemperatur AT deinekavs ídentifíkacíâparametrívzadačtermopružnostískladenoíporožnistoísferiprinestacíonarnomupolítemperatur AT sergienkoiv parametersidentificationofthermoelasticproblemsforcompoundhollowsphereundernonstationarytemperaturefield AT deinekavs parametersidentificationofthermoelasticproblemsforcompoundhollowsphereundernonstationarytemperaturefield |