О достаточных условиях разрешимости одного класса оптимизационных задач
Доведено теорему про розв’язність класу задач оптимального керування нелінійними операторними рівняннями з параметризованими операторами, що задовольняють умові (G)-замкненості на множині допустимих розв’язків. Наведено задачу оптимального керування в коефіцієнтах основної частини нелінійного еліпти...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210736 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О достаточных условиях разрешимости одного класса оптимизационных задач / В.Е. Капустян, О.П. Когут // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 3. — С. 78-85. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859675170812198912 |
|---|---|
| author | Капустян, В.Е. Когут, О.П. |
| author_facet | Капустян, В.Е. Когут, О.П. |
| citation_txt | О достаточных условиях разрешимости одного класса оптимизационных задач / В.Е. Капустян, О.П. Когут // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 3. — С. 78-85. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Доведено теорему про розв’язність класу задач оптимального керування нелінійними операторними рівняннями з параметризованими операторами, що задовольняють умові (G)-замкненості на множині допустимих розв’язків. Наведено задачу оптимального керування в коефіцієнтах основної частини нелінійного еліптичного рівняння, для якої виконуються всі умови даної теореми.
Solvability result for optimal control problems for nonlinear operator equations with operators, (G)-closed on the set of admissible solutions, is proved. The example of optimal control problem in coefficients of the main part of nonlinear elliptic operator equation, which satisfies all assumptions of the theorem, is given.
|
| first_indexed | 2025-12-17T12:04:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.Е. КАПУСТЯН, О.П. КОГУТ, 2010
78 ISSN 0572-2691
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
УДК 517.95.97
В.Е. Капустян, О.П. Когут
О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ РАЗРЕШИМОСТИ
ОДНОГО КЛАССА ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
Введение. Пусть X — рефлексивное банахово пространство, X — дуальное
к нему, U — пространство, дуальное к некоторому сеперабельному банахову
пространству ,Y *: XXUA — нелинейный оператор.
Основной объект исследования данной работы — абстрактная задача оп-
тимального управления нелинейным операторным уравнением:
,inf),( yuL (1)
,=),( fyuA (2)
,Uu (3)
где fX *
— фиксированный элемент, UU — ограничения на функции уп-
равления, а отображение XUL : задает функционал стоимости.
Обозначим через XU множество допустимых решений задачи (1)–(3),
т.е. пар ,),( XUyu которые связаны соотношениями (2), (3). Задачу (1)–(3)
будем называть регулярной, если для заданного *Xf найдется по крайней мере
одна пара ,),( XUyu удовлетворяющая уравнению (2) и ограничениям (3).
Далее предполагается, что .
Пусть — топология на ,XU которая является произведением -слабой
топологии пространства U и слабой топологии пространства X. Приведем один из
наиболее общих известных результатов, касающихся проблемы разрешимости
задачи (1)–(3).
Теорема 1 [1]. Пусть дополнительно выполняются следующие предположения:
1) U — ограниченное -слабозамкнутое подмножество U;
2) оператор *: XXUA на области своего определения удовлетворяет
свойству :)(M т.е. из того, что uun -слабо в U, yyn слабо в X,
dyuA nn ),( слабо в ,*X из неравенства XXnnn
n
ydyyuA
,),,(lim сле-
дует ;),(= yuAd
3) функционал XUL : -полунепрерывен снизу на ;XU
4) оператор A коэрцитивен в следующем смысле:
,при
),,(
inf
X
X
X
Gu
y
y
yyuA
(4)
где G — произвольное ограниченное подмножнство в U.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 79
При этих условиях задача (1)–(3) разрешима тогда и только тогда, когда она
регулярна.
Замечание 1. Под полунепрерывностью снизу функционала L в -топологии
пространства XU понимаем его секвенциальную -полунепрерывность снизу,
а именно, из того, что ,),(),( yuyu nn
следует .),(),(lim yuLyuL nn
k
Наиболее ограничительным условием теоремы 1 является выполнение свойст-
ва ,)(M которое даже в линейном случае для задачи (1)–(3) может не выполняться.
Фактически это свойство связано с понятием предельного перехода в произведе-
нии двух слабо сходящихся последовательностей, о котором без дополнительных
предположений ничего утверждать нельзя. Контрпримеры невыполнения свойства
)(M для параметризированных операторов приведены в работах [2, 3] и др. Следо-
вательно, проблема ослабления условия )(M в настоящей теореме актуальна.
В разд. 1 приведен и упорядочен ряд свойств, которые ослабляют свойство .)(M
В частности, в качестве области их выполнения предлагается брать не всю область
определения оператора A, а лишь множество допустимых пар . В разд. 2, показано,
что свойство )(M в теореме 1 можно заменить на более общее условие. Приведены
примеры, показывающие, что выполнение всех рассмотренных свойств суще-
ственно зависит от топологических свойств множества . В частности, рассмот-
рена одна задача оптимального управления в коэффициентах главной части суще-
ственно нелинейного эллиптического уравнения с условиями Неймана на границе
области, для которой выполняются все условия теоремы 1.
Свойства нелинейных операторов и их особенности. Данный раздел свя-
зан с упорядочением ряда свойств, обобщающих условие .)(M
Определение 1. Оператор *: XXUA удовлетворяет свойству )(M на
множестве , если для любой последовательности nnn yu ),( такой, что
),(),( yuyu nn
в XU и dyuA nn ),( слабо в *X при n из условия
XXnnn
n
ydyyuA
,),,(lim следует, что .),(= yuAd
Определение 2. Будем говорить, что оператор *: XXUA на множестве
XU обладает свойством ,)( kS если для любой последовательности
nnn yu }),({ такой, что ),(),( yuyu nn
в XU и dyuA nn ),( слабо
в *X при ,n из условия ,,0),,( nyyyuA Xnnn следует, что
),(),( yuAyuA nn слабо в .*X
Приведенное условие обобщает свойство ,)( kS впервые предложенное в ра-
боте [4] для операторов вида .: *XXA
Введем следующее понятие. Расширенным графиком отображения A назо-
вем множество упорядоченных троек:
)}.,(=:),,{(=)(Graph * yuAfXXUfyuA
Символ обозначает топологию нормы в пространстве .X
Определение 3. Оператор *: XXUA будем называть G-замкнутым на
множестве ,XU если справедливо соотношение
).(Graph)]()(Graph[lim)( AXAK
k
s
(5)
80 ISSN 0572-2691
Здесь k
k
s ZK lim)(
— секвенциальный предел по Куратовскому последователь-
ности множеств ZZ kk относительно -топологии нормированного прост-
ранства Z (см. [5]).
Данное понятие можно рассматривать как естественное обобщение понятия
G -замыкания, введеного в [6] для случая .= XU
Замечание 2. Далее, для идентификации зависимости свойств (M), )( kS
и G-замкнутости от множества XU будем использовать обозначения ,)( M
,)( ,kS G -замкнутость.
Утверждение 1. Пусть *: XXUA — заданный оператор, а — непус-
тое подмножество .XU Тогда справедливы импликации:
GSk )()()( ,MM — замкнутость оператора А.
Доказательство. Первая импликация очевидна. Докажем вторую. Пусть выпол-
няются условия опеределения 2: yyyu nknn ,}),{( слабо в ,X uun
-слабо в U, dyuA nn ),( слабо в *X при ,n 0),,( Xnnn yyyuA при
.n Тогда
0.=,),,(lim=),,(lim XXnnn
n
Xnnn
n
ydyyuAyyyuA
Поскольку оператор A удовлетворяет свойству ,)( M то .),(= yuAd
Проверим третью импликацию. Для доказательства справедливости включе-
ния (5) рассмотрим произвольную последовательность nnnn fyu )},,{(
,)()(Graph XA которая )( -сходится к некоторому элементу .),,( fyu
Покажем, что .)(Graph),,( Afyu Так как yyn слабо в X, uun -слабо
в U, ffyuA nnn =),( сильно в ,*X то 0, Xnn yyf и по условию
)( , kS получим .),(= yuAf Значит, ,)(Graph),,( Afyu что и доказывает
утверждение 1.
Достаточные условия разрешимости абстрактной задачи оптимального
управления. Сформулируем и докажем результат разрешимости оптимизаци-
онной задачи (1)–(3), заменив условие )(M одним из упомянутых выше свойств.
Теорема 2. Пусть — множество допустимых пар задачи (1)–(3). Тогда
результат теоремы 1 останется справедливым, если условие )(M на оператор A
заменить свойством его G -замкнутости.
Доказательство. Обратное утверждение очевидно. Докажем прямое. Пусть
. Тогда функционал ),( yuL ограничен снизу на множестве (доказа-
тельство см. в [1], теорема 1.1). Далее, пусть nnn yu )},{( — минимизирующая
последовательность для (1), т.е.
).,(inf=),(lim
),(
yuLdyuL
yu
nn
n
Здесь )(= nn uyy обозначает решение уравнения (2) при .= nuu Так как
),( nn yu , n то последовательность nnn yu )},{( ограничена в XU
(см. теорему 1.1 в [1]). Поэтому будем считать, что найдется пара
XUyu ),( 00 такая, что ),(),( 00 yuyu nn
в .XU Так как fyuA nn =),(
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 81
,n то )(Graph),,( Afyu nn n и эта последовательность -схо-
дится к ),,( 00 fyu в , XXU а значит,
.)]()(Graph[lim)(),,( 00
XAKfyu
k
s
Поскольку A G-замкнут на , то ,)(Graph),,( 00 Afyu т.е. ,=),( 00 fyuA
а значит, .),( 00 yu
Следуя схеме доказательства теоремы 1.1 из [1], легко показать, что пара
),( 00 yu оптимальная в задаче (1)–(3).
Тем самым теорема доказана.
Замечание 3. Как следствие утверждения 1, можно сделать такое уточнение:
теорема 2 останется справедливой, если вместо условия G -замкнутости опера-
тора A потребовать выполнения для него условия ,kS либо .)( M
Пример 1. Пусть — открытое ограниченное подмножество в n )2( n
с достаточно регулярной границей размерности .1n Пусть 21, — задан-
ные функции из )(L такие, что )()(<0 21 xx п. в. в . Символ W обо-
значает множество
,
вп.в.,)(
1,=,вп.в.)()(
1,=,)(=
})({=
2
1
1=,
2,1
n
jiij
n
ji
ij
ijji
njiij
xu
njixxu
njiLuu
xu
где .=
1/2
1
2
n
k
k Ясно, что W — непустое множество.
Пусть ,)(= 1
0 HX .)(= 1 nnLY Тогда )(= 1* HX и .)(== *
nnLYU
Рассмотрим оператор ,: *XXUA определенный правилом
.)(=))((div=),(
1=,
j
ij
i
n
ji x
y
xu
x
yxyA
Пусть .= XW Покажем, что свойство G -замкнутости оператора A будет
нарушаться, если в качестве топологии в XU взять произведение -слабой
топологии в пространстве )(
nnL и топологии слабой сходимости в .)(1
0 H Для
этого достаточно указать последовательность )(Graph}),,({ Afy kkkk
)( *X такую, что ),(),( 00 yykk
в XU и 0ffk сильно в ,*X где
),(= kkk yAf ,k для которой .),( 000 yAf
Пусть
*Xf — произвольный фиксированный элемент, а последователь-
ность Wkk }{ такая, что 0 k -слабо в U. Так как множество W се-
квенциально -слабо замкнуто, то .0 W В качестве последовательности
Xy kk }{ выберем соответствующие решения уравнения .=),( fyA kk По-
скольку оператор *:),( XXA k коэрцитивен, линеен и равномерно ограни-
82 ISSN 0572-2691
чен, то kky }{ — ограниченная последовательность в X. Поэтому можем счи-
тать, что существует элемент Xy 0 такой, что 0yyk слабо в .)(= 1
0 HX
В силу неравенства Фридрихса 0yyk слабо в ,)(2 nL значит, последо-
вательность kkk y )}{( ограничена в этом пространстве. Пусть )(2 nL —
слабый предел этой последовательности в .)(2 nL Покажем, что в этом случае
возможно выполнение неравенства ,),( 00 yAf т.е. .)(div)(div 00 y
Для этого обозначим
)),(,),(),((diag=)( 21 xuxuxux nkkkk
,,1,=),(),,,,,,(=)( 1121 nixkuxxxxxvxu iniiiik (6)
где )( Lvi ,,1,= ni )(u — любая 1-периодическая измеримая функция
скалярного аргумента такая, что )()()()( 21 xxuxvx ii п.в. в при всех
.,2,1,= ni Так как ><)( uxku i -слабо в ,)(L где >< u обозначает
среднее значение фунции u на периоде, то
0
2
1
00
00
00
uv
uv
uv
n
k
-слабо в ).(
nnL
Однако, как показано в [7, c. 24], вектор допусает представление
.
00
00
00
= 0
11
11
2
11
1
y
uv
uv
uv
n
Значит, равенство =00 y неверно, поскольку в общем случае .11 uu
Следовательно, оператор A не удовлетворяеыт условию G -замкнутости.
Вместе с тем добиться выполнения этого условия можно, если сузить класс
допустимых значений функционального параметра , а именно, рассмотрим
множество
}.,2,1,=0=div:)(,,,={= 21 niLV i
nn
n
uuuu
Будем считать, что пара ),( y принадлежит множеству ,sol XU если
,WV а .Xy Теперь покажем, что оператор ,),( yA как отображение
,)()(: 11
0 HHUA удовлетворяет условию
solG -замкнутости. Для этого
воспользуемся результатами, приведенными в [7 ,8].
Лемма 1. WV — непустое секвенциально компактное множество в
-слабой топологии пространства .)(
nnL
Лемма 2. (О компенсированной компактности.) Пусть ,kp ,0p ,kv 0v —
векторы из )(2 nL такие, что 0ppk и 0vvk слабо в .)(2 nL Если при
этом последовательности kkp }div{ и kkv }rot{ компактны в пространствах
)(1 H и );(1 nnH соответственно, то
).(,),(=),(lim 000
Cdxvpdxvp nnkk
k
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 83
Здесь для произвольной вектор-функции )(2 nLv элементы кососиммет-
рической матрицы vrot определяются как элементы пространства )(1 H по
правилу
,,1,=,),(=,rot 1
0
)(1
0
njiHdx
xx i
j
j
i
ji
H
vvv
а значение оператора div на вектор-функции )(2 nLu определяется как эле-
мент )(1 H такой, что ).(),(=,div 1
0)(1
0
HdxnH
uu
Тогда имеет место следующий результат.
Теорема 3. Оператор )()(: 11
0 HHUA является
solG -замкнутым.
Доказательство. Пусть kkk y )},{( — -сходящаяся последователь-
ность в )()(Graph 1
sol
HA такая, что ),(),( 00 yykk
в .YU Так как
множество VW секвенциально -слабо замкнуто, то .0 VW Значит,
),(),( 00 yykk
и .),)((div= kyxf kk Требуется доказать, что
.))((div= 00 yxf Действительно, для произвольного )(1
0 H справедливо
=),(),(=),(div
)(1
0
dxdxyy nnkkHkk
.,div=
)(1
0
H
Покажем, что в этом случае .= 00 y Положим ,= kikp u ,= 00 ip u
,= kk yv .= 00 yv Поскольку 0=div kp и 0=rot kv ,k 0yyk слабо
в )(2 nL и 0 k *-слабо в ,)(
nnL а значит, слабо в ,)(2 nnL то в силу
леммы 2 имеем
.)]([),(=),(=
),(lim=),(lim
00000
1=
1=
n
nini
n
i
inkki
k
n
i
nkk
k
Cdxydxy
dxydxy
u
u
Так как )(0 C плотно в ,)(1 L то 00= yykk -слабо в ,)(
nL
что и требовалось доказать.
Пример 2. Рассмотрим пример задачи оптимального управления, для ко-
торой выполняются все условия теоремы 2. Пусть — открытое ограничен-
ное подмножество в n )2( n с достаточно регулярной границей раз-
мерности .1n Пусть ,1 2 — заданные функции из )(L такие, что
)()(0 21 xx п.в. в . Пусть также ,
)(1
L
);1( p — за-
данное множество, а )(,
pM — класс квадратных симметричных матриц
njiij xax ,1)}({)( таких, что
},...,,2,1{,нап.в.)(|)(| 2 njixxaij (7)
,нап.в.0)),][])([(( 22
n
ppx (8)
84 ISSN 0572-2691
n
ji
p
pji
p
iij xxa
1,
1
2 ,нап.в.||)(||)( (9)
где },||...,,||,|{|diag][ 22
2
2
1
2 p
n
ppp
n
i
p
i
p
p
1
|||| .n Пусть
nQQQ ...,,, 21 — непустые компактные множества пространства ).(1
qW Рас-
смотрим множество
},...,,2,1,div:)(]...,,,[{ 21 niQLV ii
nn
n
uuuu
где значение оператора div на векторе )( n
qLu определяется как элемент про-
странства )(1
qW такой, что ).(),(,div 1
)(1
pW
Wdxn
p uu
Введем множество допустимых управлений ),(,
sol
pMVU предпола-
гая, что .)(,
pMV Для каждой матрицы sol,1)}({ Uxa njiij и за-
данных функций )( qLf и )( qLg рассмотрим краевую задачу Неймана
,в||)()( 2
0
1,
2
fyyxa
x
y
x
y
xa
x
y p
n
ji j
p
j
ij
i
(10)
,на
g
y
B
(11)
где ,),(cos)(
1,
2
n
ji
i
j
p
j
ij
B
x
x
y
x
y
xa
y
— вектор единичной внешней
нормали к границе .
Рассмотрим задачу оптимального управления:
inf,),( yL (12)
,на,в||)()( 2
0
1,
2
g
y
fyyxa
x
y
x
y
xa
x
y
B
p
n
ji j
p
j
ij
i
(13)
).(, 1
sol pWyU (14)
Множеством допустимых решений sol задачи (12)–(14) будем называть со-
вокупность пар ),(),( 1
sol pWUy связанных между собой соотношениями
(13), (14). По аналогии с [9], используя предположения (7)–(9), можно показать,
что задача (12)–(14) регулярна, а множество sol непустое и секвенциально
-замкнуто, где — произведение -слабой топологии в пространстве )(
nnL
и слабой топологии пространства ).(1 pW Свойство G -замкнутости для опера-
тора (13) — прямое следствие -замкнутости множества sol (схема доказатель-
ства аналогична доказательству теоремы 3). Условие коэрцитивности оператора
(13) выполняется в силу предположения (9). При условии полунепрерывности
снизу функционала L в -топологии разрешимость задачи (12)–(14) является
прямым следствием теоремы 2.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 3 85
Заключение. В работе показано, что в теореме о разрешимости задачи опти-
мального управления нелинейным операторным уравнением можно ослабить
условие на нелинейный параметризированный оператор, требуя выполнения )(M
либо подобных ему условий не на всей области определения оператора, а только
на множестве допустимых решений оптимизационной задачи. Выполнение каж-
дого из введенных свойств существенно зависит от топологических свойств этого
множества.
В.О. Капустян, О.П. Когут
ПРО ДОСТАТНІ УМОВИ РОЗВ’ЯЗНОСТІ
ОДНОГО КЛАСУ ОПТИМІЗАЦІЙНИХ ЗАДАЧ
Доведено теорему про розв’язність класу задач оптимального керування нелі-
нійними операторними рівняннями з параметризованими операторами, що за-
довольняють умові (G)-замкненості на множині допустимих розв’язків. Наве-
дено задачу оптимального керування в коефіцієнтах основної частини неліній-
ного еліптичного рівняння, для якої виконуються всі умови даної теореми.
V.Е. Kapustyan, O.P. Kogut
ON SUFFICIENT SOLVABILІTY CONDITIONS
FOR ONE CLASS OF OPTIMIZATION PROBLEMS
Solvability result for optimal control problems for nonlinear operator equations with
operators, (G)-closed on the set of admissible solutions, is proved. The example of
optimal control problem in coefficients of the main part of nonlinear elliptic operator
equation, which satisfies all assumptions of the theorem, is given.
1. Иваненко В.И., Мельник В.C. Вариационные методы в задачах управления для систем с
распределенными параметрами. — Киев : Наук. думка, 1988. — 324 с.
2. Райтум У.Е. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений. — Рига : Зи-
натне, 1989. — 274 с.
3. Tartar L. An introduction to the Homogenization method in optimal design // Lecture Notes. —
Department of Mathematical Sciences, Garnegie-Mellon University Pittsburgh (USA), 1998. —
77.
4. Скрыпник И.В. Методы исследования эллиптических краевых задач. — М. : Наука, 1990. —
442 с.
5. Kuratowski K. Topology. — New York : Academ. Press, 1968.
6. Pankov A. G-convergence and homogenization of nonlinear partial differential equations. — Vin-
nica Pedagogical Insitute, 1997. — 248 p.
7. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.Л. Усреднение дифференциальных операторов. — М.:
Физматлит, 1993. — 464 с.
8. Капустян В.О., Касьянов П.О., Когут О.П. Про розв’язність одного класу параметризова-
них операторних включень // Укр. мат. журн. — 2008. — 60, № 12. — С. 1619–1630.
9. Капустян В.О., Когут О.П. Про розв'язність одного класу задач оптимального керування
коефіцієнтами в головній частині нелінійного еліптичного оператора // Нелінійні коливан-
ня. — 2009. — 12, № 1. — С. 59–72.
Получено 08.02.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210736 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-03-14T21:40:47Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Капустян, В.Е. Когут, О.П. 2025-12-16T14:11:26Z 2010 О достаточных условиях разрешимости одного класса оптимизационных задач / В.Е. Капустян, О.П. Когут // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 3. — С. 78-85. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210736 517.95.97 10.1615/JAutomatInfScien.v42.i5.20 Доведено теорему про розв’язність класу задач оптимального керування нелінійними операторними рівняннями з параметризованими операторами, що задовольняють умові (G)-замкненості на множині допустимих розв’язків. Наведено задачу оптимального керування в коефіцієнтах основної частини нелінійного еліптичного рівняння, для якої виконуються всі умови даної теореми. Solvability result for optimal control problems for nonlinear operator equations with operators, (G)-closed on the set of admissible solutions, is proved. The example of optimal control problem in coefficients of the main part of nonlinear elliptic operator equation, which satisfies all assumptions of the theorem, is given. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Оптимальное управление и методы оптимизации О достаточных условиях разрешимости одного класса оптимизационных задач Про достатні умови розв’язності одного класу оптимізаційних задач On sufficient solvabilіty conditions for one class of optimization problems Article published earlier |
| spellingShingle | О достаточных условиях разрешимости одного класса оптимизационных задач Капустян, В.Е. Когут, О.П. Оптимальное управление и методы оптимизации |
| title | О достаточных условиях разрешимости одного класса оптимизационных задач |
| title_alt | Про достатні умови розв’язності одного класу оптимізаційних задач On sufficient solvabilіty conditions for one class of optimization problems |
| title_full | О достаточных условиях разрешимости одного класса оптимизационных задач |
| title_fullStr | О достаточных условиях разрешимости одного класса оптимизационных задач |
| title_full_unstemmed | О достаточных условиях разрешимости одного класса оптимизационных задач |
| title_short | О достаточных условиях разрешимости одного класса оптимизационных задач |
| title_sort | о достаточных условиях разрешимости одного класса оптимизационных задач |
| topic | Оптимальное управление и методы оптимизации |
| topic_facet | Оптимальное управление и методы оптимизации |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210736 |
| work_keys_str_mv | AT kapustânve odostatočnyhusloviâhrazrešimostiodnogoklassaoptimizacionnyhzadač AT kogutop odostatočnyhusloviâhrazrešimostiodnogoklassaoptimizacionnyhzadač AT kapustânve prodostatníumovirozvâznostíodnogoklasuoptimízacíinihzadač AT kogutop prodostatníumovirozvâznostíodnogoklasuoptimízacíinihzadač AT kapustânve onsufficientsolvabilítyconditionsforoneclassofoptimizationproblems AT kogutop onsufficientsolvabilítyconditionsforoneclassofoptimizationproblems |