Определение температурного поля в пласте при тепловом воздействии на основе решения обратной задачи
Розглянуто задачу визначення температурного поля, що виникло в нафтовому пласті при тепловому впливі. Розподіл температури в початковий момент часу, а також температура на зовнішній межі пласта вважаються невідомими. Ця задача відноситься до класу граничних обернених задач без початкових умов. Для...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210741 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Определение температурного поля в пласте при тепловом воздействии на основе решения обратной задачи / Х.М. Гамзаев // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 3. — С. 130-137. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859545759223906304 |
|---|---|
| author | Гамзаев, Х.М. |
| author_facet | Гамзаев, Х.М. |
| citation_txt | Определение температурного поля в пласте при тепловом воздействии на основе решения обратной задачи / Х.М. Гамзаев // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 3. — С. 130-137. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглянуто задачу визначення температурного поля, що виникло в нафтовому пласті при тепловому впливі. Розподіл температури в початковий момент часу, а також температура на зовнішній межі пласта вважаються невідомими. Ця задача відноситься до класу граничних обернених задач без початкових умов. Для її числового розв’язку запропоновано різницевий метод.
The problem of definition of the temperature field arising in an oil layer at thermal influence is considered. Distribution of temperature during the initial moment of time, and also temperature on external border of a layer are considered to be unknown. The task in view refers to a class of boundary inverse problems without initial conditions. For the numerical solution of a problem a difference method is offered.
|
| first_indexed | 2025-12-17T12:03:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Х.М. ГАМЗАЕВ, 2010
130 ISSN 0572-2691
УДК 519.6:532.546
Х.М. Гамзаев
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ
В ПЛАСТЕ ПРИ ТЕПЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
Известно, что для более эффективной разработки нефтяных месторождений
повышенной вязкости важная роль отводится тепловым методам — использова-
ние большого арсенала средств для воздействия теплом на пласт в целом и на его
призабойную зону. Тепловое воздействие позволяет значительно снизить вязкость
и плотность нефтепластов, увеличить подвижность нефти, вернуть в растворенное
состояние выпавшую из нефти твердую фазу, снизить влияние капиллярных сил
и т.д. Повышение температуры в пласте существенно влияет как на текущие
фильтрационные характеристики, так и на конечную нефтеотдачу. При разработ-
ке нефтяных месторождений используются в основном следующие тепловые ме-
тоды воздействия [1]:
1) создание внутрипластового движущегося очага горения;
2) нагнетание теплоносителей в пласт (горячая вода, пар, пароводяная смесь);
3) нагрев призабойной зоны пласта.
Очевидно, что для установления оптимального технологического режима
теплового воздействия необходимо знать температурное поле пласта. Однако
определить распределение температуры в пласте экспериментальным путем не-
возможно, поскольку процесс теплового воздействия проводится на значительной
глубине и не может быть проконтролирован.
Одним из основных инструментов исследования температурных полей, воз-
никающих на нефтяном пласте при тепловом воздействии, является компьютер-
ное моделирование процессов теплопереноса в пласте. Традиционно при модели-
ровании процессов теплопереноса в пласте используется дифференциальное
уравнение в частных производных, выражающее закон сохранения энергии. Для
однозначного определения температурного поля в пласте дифференциальное
уравнение дополняется начальными и граничными условиями, описывающими
начальное тепловое состояние пласта и теплообмена пласта с окружающими по-
родами. Обычно граничные условия задаются относительно температуры или ко-
личества теплоты на скважине и на внешней границе пласта.
Однако процессы, происходящие на внешней границе пласта при тепловом
воздействии, а также начальное состояние пласта недоступны для непосредствен-
ного наблюдения. Условия на внешней границе пласта и его начального состоя-
ния невозможно точно представить аналитически. Основной источник информа-
ции о процессах, происходящих в пласте при тепловом воздействии, — скважины,
где температуру и количество теплоты, вносимой в пласт, можно измерить.
В связи с этим для разработки нефтяных пластов методами теплового воз-
действия очень важное значение имеет определение температурного поля пласта
на основании информации, полученной из скважин.
Постановка задачи
Предположим, что горизонтальный нефтяной пласт протяженностью L,
постоянной толщины H и ширины b разрабатывается с применением теплового
воздействия. Тепло подается в пласт через галерею эксплуатационных скважин,
расположенную в сечении .0x Известно, что перенос тепла в пласте осуществ-
Международный научно-технический журнал
Проблемы управления и информатики, 2010, № 3 131
ляется, во-первых, конвективно, т.е. вместе с движущимися частицами нефти, во-
вторых, за счет теплопроводности вдоль пласта. Предположим, что кровли и по-
дошвы пласта теплоизолированы, а теплообмен между скелетом пласта и филь-
трующейся сквозь него нефтью происходит мгновенно, вследствие чего их темпе-
ратуры равны. Тогда математическую модель процесса теплопереноса в пласте
можно представить в виде [1]
,))1((
x
T
c
bH
q
x
T
xt
T
cmmc fpf
,0 Lx ,0t (1)
где ),( txT — температура в пласте, )(x — коэффициент теплопроводности плас-
та, m — коэффициент пористости, pf cc , — объемные теплоемкости нефти и
скелета пласта, )(tq — дебит галереи.
Предположим, что температура галереи и количество тепла, вносимого в
пласт через галерею, изменяются с течением времени по заданным законам, т.е.
для уравнения (1) условия следующие:
),(0 tTT wx ,0t (2)
),(0 tQTqc
x
T
bH xf
.0t (3)
Поскольку температура и поток тепла на внешней границе пласта, а также
начальное распределение температуры в пласте недоступны непосредственным
измерениям, сформулировать начальное и граничное условия, соответствующие
теплообмену пласта с окружающей средой, не представляется возможным.
Таким образом, задача определения температурного поля пласта при тепловом
воздействии сводится к решению уравнения (1) при выполнении условий (2), (3).
Задача (1)–(3) относится к классу граничных обратных задач без начальных усло-
вий [2, 3].
Метод решения
Уравнение (1) и условия (2), (3) представим в безразмерной форме, что поз-
воляет выбрать диапазон изменения безразмерных переменных таким образом,
чтобы улучшить обусловленность задачи. Введем следующие безразмерные пе-
ременные:
,,,,,,,,
L
bHT
Q
T
T
T
Q
Q
Q
q
q
q
T
T
T
t
t
t
L
x
x w
w
,
))1(( 2
Lcmmc
t
pf
,
Lc
bH
q
f
где
QqtT ,,,, — характерные размерные величины.
Опуская черту над безразмерными переменными, задачи (1)–(3) запишем в
виде
,
x
T
q
x
T
xt
T
(4)
},0,10{ txD
132 ISSN 0572-2691
),(0 tTT wx ,0t (5)
,0 QqT
x
T
x
.0t (6)
Для численного решения (4)–(6) используем метод конечных разностей.
С этой целью введем в области D равномерную разностную сетку
...},2,1,0,...,,2,1,0,,:),{( jNijtihxxt jiijh
с шагами: h по переменной x и по переменной t. Представим с помощью веще-
ственного параметра разностный аналог уравнения (4) на сетке h
11
)1(
j
i
j
i
j
i
j
i TTTT
,
2
1 111
2/1
1
2/1
h
TT
q
h
TT
h
TT
h
j
i
j
ij
j
i
j
i
i
j
i
j
i
i
(7)
,1....,,3,2,1...,,3,2,1 Nij
где ),2/(2/1 hxii ),,( ji
j
i txTT ).( j
j tqq
Аппроксимируя условия (5), (6), имеем
),(0 jw
j
tTT
),()0(
0
01
j
jj
jj
tQTq
h
TT
(8)
.,3,2,1,0 j
Таким образом, задачам (4)–(6) поставили в соответствие разностную схе-
му (7), (8). Необходимо отметить, что с помощью разложения членов в уравне-
нии (7) как функций двух независимых переменных в ряды Тейлора в окрестности
точки ),( ji tx можно получить дифференциальное приближение этого уравнения.
При 2/1 дифференциальным приближением разностного уравнения (7) явля-
ется дифференциальное уравнение гиперболического типа
,
2
2
x
T
q
x
T
xt
T
t
T
(9)
где .2/)21(
Следовательно, задача с начальными условиями
),(0 tTT wx
QqT
x
T
x
0 (10)
для уравнения (9), а также эквивалентные в известном смысле ей разностные за-
дачи (7), (8) являются корректно поставленными.
Международный научно-технический журнал
Проблемы управления и информатики, 2010, № 3 133
Разностному уравнению (7) соответствует шаблон
, где крестики ука-
зывают, что уравнение (7) в узловой точке ),( ij xt связывает между собой значе-
ния искомой функции в пяти точках: ),,( 1 ij xt ),,( 1ij xt ),,( ij xt ),,( 1 ij xt
).,( 1ij xt Так как разностное уравнение (7) однозначно определяет ,1
j
iT то чис-
ленную реализацию разностной схемы (7), (8) можно осуществить по формулам:
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i T
hq
T
h
T
h
T 12/1
1
2
1
2
1 2
)1(
,
2
)12(
1
2/1
2
2/12/1
j
i
j
iii
hq
T
h
),(0 jw
j
tTT (11)
.
)0(
)(
)0(
101
j
j
jj thQhq
TT
Предположим, что в произвольной узловой точке A с координатами ),,( nm xt где
,2n ,1m нужно вычислить значение m
nT с помощью (11). Положим .1 ni
Тогда из (11) следует, что m
nT определяется значениями ,11
m
nT .,, 2
1
11
m
n
m
n
m
n TTT
Если ,12 n то значения ,,,, 2
1
11
1
1
m
n
m
n
m
n
m
n TTTT
в свою очередь, по форму-
лам (11) могут быть выражены значениями на низших слоях: ,, 1
2
2
2
m
n
m
n TT
.,,,,, 1
3
2
23
1
2
1
32
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n TTTTTT В конечном счете значение m
nT может быть
выражено значениями
j
T0 и
j
T1 ,( lmj ).1,,2,1,0 ml Все они
находятся внутри треугольника, вершина которого лежит в точке A, одна сторона
— на прямой ,0x две другие проходят через точку A и образуют с прямой
0x углы ABC и ,ACB равные соответственно
h
arctg и
h
arctg (рисунок).
ABC — треугольник определенности разностной схемы (7), (8) для узловой точ-
ки ).,( nm xtA Таким образом, значение m
nT в точке ),( nm xtA определяется
начальными значениями
j
T0 и ,1
j
T лежащими на отрезках BC и DE.
Известно, что точное значение решения задачи (9), (10) в этой же точке
),( nm xtA определяется уравнением (9) и начальными условиями, содержащими-
ся на отрезке, определяемом характеристиками
,
dt
dx
,
dt
dx
(12)
проходящими через точку ),,( nm xtA на прямой .0x При этом треугольником
определенности дифференциального уравнения (9) является криволинейный тре-
угольник AFS, стороны которого выступают отрезками характеристик (12), а ос-
нование лежит на прямой .0x Следует отметить, что задача (9), (10) имеет
единственное решение в криволинейном треугольнике AFS [4].
134 ISSN 0572-2691
x
t
A
B C
D E
F S
Разностная схема (7), (8) явная, и можно ожидать, что численная реализация
ее по формулам (11) возможна лишь при определенных ограничениях на h и .
Для установления устойчивости численной реализации разностной схемы (7), (8)
можно использовать условие, сформулированное Курантом, Фридрихсом и Ле-
ви [5]. Согласно условию Куранта–Фридрихса–Леви численная реализация явной
разностной схемы (7), (8) будет устойчива, если треугольник определенности
дифференциального уравнения (9) для произвольной точки ),( nm xtA содержится
внутри треугольника определенности разностной схемы (7), (8) для точки
).,( nm xtA А это условие будет выполняться при
,max
h
где ).(max
]1,0[
max x
x
Следовательно, условием устойчивости разностной схемы (7), (8) будет сле-
дующее условие, накладывающее на шаги h и ограничение
.
21
2 max
2
h
(13)
При построении разностной схемы для задачи (4)–(6) предполагается, что
решение задачи (4)–(6) отыскивается при ,0t причем 0t соответствует неиз-
вестному начальному состоянию пласта. Однако, как видно из рисунка, узловые
точки, лежащие на прямой ,0t не принадлежат треугольникам определенности
разностной схемы (7), (8). Следовательно, вычислить значения искомой функции
),( txT при ,0t ]1,0[x по формуле (11) не представляется возможным.
В связи с этим продолжим решение задачи (4)–(6) для ,0t т.е. тепловое со-
стояние пласта представим как результат предыдущего состояния, продолжение
которого для последующих значений времени управляется теми же законами.
В области }0,10{ tx также введем равномерную разностную сетку с шагами
,h и координаты узловых точек ),( ij xt определим по формулам ,ihxi
, jt j ...,2,1,0,...,,2,1,0 jNi . Очевидно, что разностный аналог за-
дачи (4), (6) на вновь введенной разностной сетке также будет записываться в ви-
де (7), (8), а значения искомой функции во вновь введенных узловых точках опре-
деляться по формулам (11). После расширения сеточной области для каждой уз-
ловой точки ),,0( nx ,...,4,3,2n лежащей на прямой ,0t будем иметь
треугольник определенности с вершиной в точке ),0( nx и основанием отрезка
Международный научно-технический журнал
Проблемы управления и информатики, 2010, № 3 135
прямой ,0x проходящей через точки )0,( n и ).0,( n Так как в каждом тре-
угольнике решение системы разностных уравнений (7), (8) определяется одно-
значно, то по формулам (11) можно вычислить значения ,...,,, 00
3
0
2 NTTT т.е. значе-
ния искомой функции при .0t
Результаты численных расчетов
Предложенный разностный метод решения задачи (4)–(6) апробован на мо-
дельных задачах. Ниже приведены результаты численных расчетов, проведенных
для задачи:
),,( txf
x
T
q
x
T
xt
T
,0,10 tx
),(0 tTT wx ,0t
,0 QqT
x
T
x
,0t
где ,8,0 ,3q ,
2
cos5,3730),( 2,0 x
etxf t ,60)( tTw .10188 2,0 teQ
Функция
2
sin251060),( 2,0 x
extxT t — точное решение этой задачи. Чис-
ленные расчеты проводились при .49,0,5,0,05,0 h Результаты числен-
ных расчетов по определению значений искомой функции в начальный момент
времени 0t представлены в табл. 1, где )0,( ixT — точные значения,
0
iT —
вычисленные значения.
Таблица 1
ix
Значения функции
)0,( ixT 0
iT
0,00 60,000 60,000
0,05 60,125 60,125
0,10 60,249 60,250
0,15 60,373 60,373
0,20 60,496 60,496
0,25 60,617 60,617
0,30 60,736 60,736
0,35 60,853 60,853
0,40 60,967 60,967
0,45 61,078 60,078
0,50 61,185 61,186
0,55 61,289 61,289
0,60 61,388 61,389
0,65 61,483 61,483
0,70 61,572 61,573
0,75 61,657 61,658
0,80 61,735 61,736
0,85 61,808 61,809
0,90 61,874 61,875
0,95 61,933 61,934
1,00 61,986 61,987
136 ISSN 0572-2691
Из табл. 1 видно, что при 5,0,05,0 h условие устойчивости разностной
схемы (7), (8), представленное в виде (13), выполняется и значения искомой функ-
ции в начальный момент времени определяются достаточно точно. Численный экс-
перимент показывает, что нарушение условия (13) приводит как к потере точности,
так и к невозможности продолжать вычисления из-за роста величин.
Результаты численных расчетов по восстановлению значений искомой функ-
ции на границе 1x представлены в табл. 2, где jt — время, ),,1( jtT
j
NT —
точное и вычисленное значения искомой функции на границе .1x
Таблица 2
Время,
jt
Значения функции
),1( jtT j
NT
0,0 61,986 61,987
0,5 60,845 60,846
1,0 59,813 59,814
1,5 58,879 58,880
2,0 58,034 58,035
2,5 57,270 57,270
3,0 56,578 56,578
3,5 55,952 55,952
4,0 55,385 55,386
4,5 54,873 54,873
5,0 54,409 54,410
5,5 53,990 53,990
6,0 53,610 53,610
6,5 53,266 53,267
7,0 52,956 52,956
7,5 52,674 52,675
8,0 52,420 52,420
Полученные результаты показывают, что предложенный метод позволяет
восстановить граничные значения искомой функции с высокой точностью.
Численные расчеты свидетельствуют, что для значений искомой функции в
начальный момент времени, а также для граничных значений свойственна высо-
кая точность при значениях параметра , близких к .2/1
Таким образом, на основе предложенной разностной схемы, дифференциаль-
ным приближением которой является уравнение гиперболического типа, можно
найти распределение температуры в пласте в любой момент времени.
Х.М. Гамзаєв
ВИЗНАЧЕННЯ ТЕМПЕРАТУРНОГО
ПОЛЯ В ПЛАСТІ ПРИ ТЕПЛОВОМУ ВПЛИВІ
НА БАЗІ РОЗВ’ЯЗАННЯ ОБЕРНЕНОЇ ЗАДАЧІ
Розглянуто задачу визначення температурного поля, що виникло в нафтовому
пласті при тепловому впливі. Розподіл температури в початковий момент часу,
Международный научно-технический журнал
Проблемы управления и информатики, 2010, № 3 137
а також температура на зовнішній межі пласта вважаються невідомими. Ця за-
дача відноситься до класу граничних обернених задач без початкових умов.
Для її числового розв’язку запропоновано різницевий метод.
Kh.M. Hamzayev
DEFINITION OF THE TEMPERATURE
FIELD AT THERMAL INFLUENCE
ON THE LAYER ON THE BASIS
OF THE DECISION OF THE INVERSE PROBLEM
The problem of definition of the temperature field arising in an oil layer at thermal in-
fluence is considered. Distribution of temperature during the initial moment of time, and
also temperature on external border of a layer are considered to be unknown. The task
in view refers to a class of boundary inverse problems without initial conditions. For the
numerical solution of a problem a difference method is offered.
1. Басниев К.С., Власов А.М., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидравлика. — М. : Нед-
ра. — 1986. — 303 с.
2. Латтес Р., Лионс Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. — М. : Мир. — 1970. —
335 с.
3. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некоррект-
ных задач. — М. : Наука. — 1988. — 288 с.
4. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М. : Мир. — 1964. — 830 с.
5. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. — М. : Наука. — 1977. — 440 с.
Получено 11.01.2010
После доработки 11.02.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210741 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-03-13T11:23:50Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гамзаев, Х.М. 2025-12-16T14:31:54Z 2010 Определение температурного поля в пласте при тепловом воздействии на основе решения обратной задачи / Х.М. Гамзаев // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 3. — С. 130-137. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210741 519.6:532.546 10.1615/JAutomatInfScien.v42.i5.60 Розглянуто задачу визначення температурного поля, що виникло в нафтовому пласті при тепловому впливі. Розподіл температури в початковий момент часу, а також температура на зовнішній межі пласта вважаються невідомими. Ця задача відноситься до класу граничних обернених задач без початкових умов. Для її числового розв’язку запропоновано різницевий метод. The problem of definition of the temperature field arising in an oil layer at thermal influence is considered. Distribution of temperature during the initial moment of time, and also temperature on external border of a layer are considered to be unknown. The task in view refers to a class of boundary inverse problems without initial conditions. For the numerical solution of a problem a difference method is offered. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы обработки информации Определение температурного поля в пласте при тепловом воздействии на основе решения обратной задачи Визначення температурного поля в пласті при тепловому впливі на базі розв’язання оберненої задачі Definition of the temperature field at thermal influence on the layer on the basis of the decision of the inverse problem Article published earlier |
| spellingShingle | Определение температурного поля в пласте при тепловом воздействии на основе решения обратной задачи Гамзаев, Х.М. Методы обработки информации |
| title | Определение температурного поля в пласте при тепловом воздействии на основе решения обратной задачи |
| title_alt | Визначення температурного поля в пласті при тепловому впливі на базі розв’язання оберненої задачі Definition of the temperature field at thermal influence on the layer on the basis of the decision of the inverse problem |
| title_full | Определение температурного поля в пласте при тепловом воздействии на основе решения обратной задачи |
| title_fullStr | Определение температурного поля в пласте при тепловом воздействии на основе решения обратной задачи |
| title_full_unstemmed | Определение температурного поля в пласте при тепловом воздействии на основе решения обратной задачи |
| title_short | Определение температурного поля в пласте при тепловом воздействии на основе решения обратной задачи |
| title_sort | определение температурного поля в пласте при тепловом воздействии на основе решения обратной задачи |
| topic | Методы обработки информации |
| topic_facet | Методы обработки информации |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210741 |
| work_keys_str_mv | AT gamzaevhm opredelenietemperaturnogopolâvplastepriteplovomvozdeistviinaosnoverešeniâobratnoizadači AT gamzaevhm viznačennâtemperaturnogopolâvplastípriteplovomuvplivínabazírozvâzannâobernenoízadačí AT gamzaevhm definitionofthetemperaturefieldatthermalinfluenceonthelayeronthebasisofthedecisionoftheinverseproblem |