Релейное управление нелинейной системой при неточно заданных значениях параметров

Досліджуються задачі оптимального керування об’єктами, описаними системами звичайних диференційних рівнянь, на класі релейних кусково-сталих керуючих функцій при неточній вихідній інформації про значення початкових умов і параметрів об’єкта. В задачі оптимізуючими є кусково-сталі значення керувань,...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Проблемы управления и информатики
Date:	2010
Main Authors:	Айда-заде, К.Р., Рагимов, А.Б.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Subjects:	Оптимальное управление и методы оптимизации
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210746
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Релейное управление нелинейной системой при неточно заданных значениях параметров / К.Р. Айда-заде, А.Б. Рагимов // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 4. — С. 53-63. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859949906401165312
author	Айда-заде, К.Р. Рагимов, А.Б.
author_facet	Айда-заде, К.Р. Рагимов, А.Б.
citation_txt	Релейное управление нелинейной системой при неточно заданных значениях параметров / К.Р. Айда-заде, А.Б. Рагимов // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 4. — С. 53-63. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Досліджуються задачі оптимального керування об’єктами, описаними системами звичайних диференційних рівнянь, на класі релейних кусково-сталих керуючих функцій при неточній вихідній інформації про значення початкових умов і параметрів об’єкта. В задачі оптимізуючими є кусково-сталі значення керувань, і найважливіше, оптимізуються межі інтервалів сталості. При заданому числі інтервалів сталості керувань отримано необхідні умови оптимальності і формули для градієнта функціонала, які дозволяють для чисельного розв’язання задач використовувати ефективні методи оптимізації першого порядку. Для випадку, коли число інтервалів сталості не задано, запропоновано алгоритм оптимізації. Optimal control problems for objects described by systems of ordinary differential equations on the class of relay piecewise constant control functions with uncertain initial information on the parameters of initial conditions and on object parameters are investigated. In the problem, piecewise-constant values of the controls and what is most important, the boundaries of constancy intervals of the controls are optimized. For the case when the number of constancy intervals of the controls is given, the necessary optimality conditions and formulas for the gradient of the functional are obtained. These formulas allow using efficient first order optimization methods. For a case when the number of constancy intervals is not given, the algorithm of optimization is suggested.
first_indexed	2026-03-17T22:27:35Z
format	Article
fulltext	© К.Р. АЙДА-ЗАДЕ, А.Б. РАГИМОВ, 2010 Международный научно-технический журнал Проблемы управления и информатики, 2010, № 4 53 УДК 517.977.58 К.Р. Айда-заде, А.Б. Рагимов РЕЛЕЙНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ ПРИ НЕТОЧНО ЗАДАННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРОВ Введение Известно, что при управлении реальными процессами исходная информация о начальном состоянии и параметрах, от которых зависит поведение управляемой системы, может быть неточной. Для широкого класса задач априорную неопреде- ленность можно свести к параметрической, когда вероятностные законы распре- деления для исследуемых ситуаций, величин и наблюдаемых процессов известны с точностью до конечного числа параметров. В работах [1–4] задача оптимального управления рассматривается относительно усредненного значения критерия каче- ства в условиях, когда известны функции распределения реализации неизвестных параметров и начальных условий. В данной публикации рассматривается анало- гичная задача оптимального управления процессами, описываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений при неточной исходной информа- ции о начальных условиях и параметрах, но на классе релейных (кусочно- постоянных) управляющих функций. Важно, что границы интервалов постоянства управляющих воздействий неизвестны и оптимизируются. В статье получены необходимые условия оптимальности и формулы для градиента функционала в пространстве оптимизируемых параметров, позволяющие для решения задач оптимального управления использовать численные методы конечномерной опти- мизации первого порядка. Исследован также случай, когда число интервалов по- стоянства управляющих воздействий не задано, а оптимизируется. Предложен ал- горитм определения оптимального числа переключений. Приводятся результаты численных экспериментов. 1. Постановка задачи Предположим, что m-вектор y из компактного множества mEY  имеет рас- пределение на этом множестве, заданное функцией ).(yY При каждом значении вектора Yy управляемый объект описывается следующей системой обыкно- венных дифференциальных уравнений: .,)0(],,0(),,,()( 00 YyEXxxTtyuxftx n  (1) Здесь начальный вектор 0x принимает значения из заданного компактного множест- ва 0X и имеет распределение на множестве ,0X заданное функцией );( 00 xX ],,0[,)( TtEtxx n  — фазовый вектор; ,)( rEtuu  ],,0[ Tt  — управле- ние. Каждому допустимому управлению ),(tu значениям вектора параметров y и начального вектора 0x в силу (1) соответствует траектория ),,,;()( 0xyutxtx  ].,0[ Tt  Управление системой (1) рассматривается на классе кусочно-постоянных (релейных) функций, принимающих постоянные значения на каждом полуинтер- вале ,...,,1),,[ 1 Ljjj   полученном разбиением отрезка ],0[ T )1( L оптими- зируемыми точками ,1...,,1,  Ljj т.е. 54 ISSN 0572-2691 ,,0,...,,1, ,),,[,const)( 01 1 TLj Evtvtu Ljj r jjjj     (2) а значения управления ,...,,1, LjEv r j  должны принадлежать некоторому за- данному допустимому множеству U, в частности, следующему параллелепипеду: .}...,,1,,,,),...,,(:{ 1 LjEvvvvvvU r jjjjjjL  (3) Задача заключается в нахождении кусочно-постоянных значений управле- ния ),(tu т.е. значений конечномерных векторов ,...,,1, LjEv r j  и границ ин- тервалов постоянства этих значений, определяемых вектором ),...,,( 11  L при которых заданный функционал  ),()( vIuJ             Y YX T X ydxdyxuTxdttuyxutxf )()()),,;(())(),,,;(( 000 0 0 0 0 (4) при условиях (1)–(3) принимает минимальное значение .),( 1)1(  rLEv Предпо- лагается, что заданные функции ,0f и вектор-функция f непрерывны вместе с частными производными по своим аргументам. Эту задачу оптимального управления можно отнести к специальному классу задач конечномерной оптимизации, в которой для вычисления целевой функции ),()(  vIuJ требуется решить задачу Коши (1) и вычислить интеграл из (4). 2. Формулы для градиента функционала Для решения задачи (1)–(4), т.е. для определения оптимальных значений век- торов LrEv и ,1 LE предлагается использовать конечномерные методы оп- тимизации первого порядка. Для этого нужно получить аналитические формулы градиента целевого функционала )).,(),,((),()(grad   vIvIvIuJ v Рассмотрим следующую функцию Гамильтона–Понтрягина и соответствую- щую сопряженную систему: ),,,(),,;(),(),,,,( 0 0 0 yuxfyxutuxfyxuxH  (5) , )),,;(( ),,;( ),,,;( ),,(),(),,,,( ),,;( 0 0 0 0 0 0 x yxuTx yxuT yxut x yuxf x uxf x yxuxH yxut                (6) где nEyxutt  ),,;()( 0 — решение задачи Коши (6), отвечающее допусти- мому управлению ,)( Utuu  начальному условию 00 Xx  и значению пара- метра .Yy  Введем следующее обозначение: )).,,;(())(),,,;((),;( 00 0 0 00 yxuTxdttuyxutxfyxuJ T   Международный научно-технический журнал Проблемы управления и информатики, 2010, № 4 55 Учитывая, что значения управления ),(tu начальные условия 00 Xx  и вектор- параметров Yy взаимно независимы, получаем    Y YX X ydxdyxuJuJvI ).()(),;(grad)(grad),( 000 0 0 Пусть при каких-либо заданных значениях вектора параметров Yy и начального вектора 00 Xx  допустимое управление )(tu получило приращение ),(tuu  причем .)()( Ututu  Тогда соответствующее приращение функционала (4) можно записать следующим образом [1]:  )()()(),( uJuuJuJvI    Y YX X ydxdyxuJyxuuJ )()()),;(),;(( 00000 0 0 ,)()())(()( ),,,,( 0 0 0 0 0                 Y YX T X ydxduodttu u yxuxH (7) где ,)()()( 2/1 2 0 ],0[2           dttututu rE T TL .0 )( lim 0     u uo u Для получения формул для компонент градиента ),(  vIv (с учетом кусоч- но-постоянного управления) приращение )(tu выберем из предположения, что произвольно выбранная i-я компонента управления, ,...,,1 ri  на каком-либо j-м интервале постоянства, ,...,,1 Lj  получила приращение ,ijv т.е.          ,,const ,,0,0 )( 1 1 jjji jj tv Ttt tu (8) где ).0...,,0,,0...,,0( ijji vv  Преобразуем соответствующее приращению управления (8) выражение приращения функционала (7):  )(),( uJvIv                     Y X dtu u yxuxH dtu u yxuxH j j j ),,,,(),,,,( 00 0 1 1 0 ).()())(( ),,,,( 0 0 0 ydxduodtu u yxuxH YX T j              (9) Тогда с учетом (8) запишем                    Y YXji X v ydxduodtv u yxuxH vI j j )()())(( ),,,,( ),( 0 0 0 10 56 ISSN 0572-2691                     Y YXij iX ydxddtv u yxuxH j j )()( ),,,,( 0 0 0 10 .)()())(( 00 0    Y YX X ydxduo (10) Разделив обе части (10) на ijv и перейдя к пределу при ,0 ijv с учетом, что в силу (8) и компактности множеств 0, XY справедливо ,0)()( ))(( lim 0 0 0 0       Y YX ijX v ydxd v uo ij будем иметь ....,,1,...,,1 ,)()(),,;( ),,(),( )()( ),,,,(),( 00 0 0 0 0 10 0 10 riLj ydxddtyxut u yuxf u uxf ydxddt u yxuxH vd vdI Y YX iiX Y YX iXij j j j j                                                     (11) Теперь получим формулу для ).,(  vI Пусть j имеет приращение ,j причем 0 j и .1 jjj Такое изменение значения j соответствует тому, что в этом случае управление получит приращение :)(tu         ., ,,0,0 )( 1 jjjjj jjj tvv Ttt tu (12) Для приращения функционала (7), соответствующего приращению управле- ния (12), будем иметь  )(),( uJvI                   Y X dtu u yxuxH dtu u yxuxH jj j j ),,,,(),,,,( 00 00              )()())(( ),,,,( 0 0 0 ydxduodtu u yxuxH YX T jj                   Y YX X ydxduodtu u yxuxH jj j )()())(( ),,,,( 0 0 0 0                    Y YX X jj ydxddt u yxuxH vv jj j )()( ),,,,( )( 0 0T 1 0 0 .)()())(( 00 0    Y YX X ydxduo (13) Международный научно-технический журнал Проблемы управления и информатики, 2010, № 4 57 Разделим обе части (13) на j и перейдем к пределу .0 j Используя тео- рему о среднем значении, в силу (12) и компактности множеств 0, XY имеем .0)()( ))(( lim 0 0 0 0       Y YX jX ydxd uo j В результате .1...,,1 ,)()(),,;( ),,(),( )( ),( 00 0 1 0 0                                     Lj ydxdyxut u yuxf u uxf vv d vdI Y YX tX jj j j (14) Если j получит отрицательное приращение 0 j такое, что ,1 jjj то управление )(tu будет иметь приращение         ., ,,0,0 )( 1 jjjjj jjj tvv Ttt tu Повторив выкладки, аналогичные (13), снова получим формулу (14). Таким образом компоненты градиента функционала задачи (1)–(4) в простран- стве релейных управляющих функций, определяемых параметрами ,),( 1)1(  rLEv при выполнении наложенных выше условий на функции, имеющиеся в задаче, определяются формулами (6), (11), (14). 3. Оптимизация числа интервалов постоянства управления Выше предполагалось, что управляющие воздействия в задаче (1)–(4) ищутся на классе кусочно-постоянных функций с заранее заданным числом L переключе- ний управления с одного значения на другое. При практических применениях число переключений, как правило, заранее не определено и его нужно выбрать оптимальным. В связи с этим рассмотрим следующий подход «рационального» выбора чис- ла переключений, основанный на результатах работы [5]. Из практических сооб- ражений очевидно, что рациональное число переключений управляющих воздей- ствий должно хотя бы частично удовлетворять условию возможной минимально- сти их числа. Пусть ),,( LvJJ LL L   — минимальное значение функционала задачи (1)–(4) при заданном числе L интервалов постоянства управления, LLv , — соответ- ственно оптимальные кусочно-постоянное управление и границы интервалов по- стоянства. Ясно, что ),,( LvJJ LL L   как сложная функция третьего аргумента L является невозрастающей, т.е. в общем случае имеет место неравенство ),,(),,()( 21 2211 LvJLvJuJ LLLL   при ,21 LL  (15) где )(   uJJ — оптимальное значение функционала исходной задачи управ- ления (1)–(4) на классе кусочно-непрерывных управляющих функций. Таким об- 58 ISSN 0572-2691 разом, из (15) следует, что за счет увеличения числа интервалов постоянства можно лишь уменьшать оптимальные значения целевого функционала и прибли- жать сколь угодно близко к J (рис. 1): .),,(lim    JLvJ LL L Если окажется, что решение задачи оптимального управления (1)–(4) на классе кусочно-непрерывных функций — кусочно-постоянное (релейное, не скользящее) управление, то ясно, что существует некоторое ,L для которого имеет место (рис. 2) )(),,(   uJLvJ LL при . LL 0 L J  LJ L Рис. 2 В качестве рационального (оптимального) числа интервалов постоянства управления предлагается принять такое минимальное значение ,L при котором впервые будет выполняться одно из неравенств: ,),,(),,(),,(   LvJLLvJLvJ LLLLLLLL ,),,(/),,(   LvJLvJ LLLL ./),,(   LLvJ LL Здесь 0L — заданное целое число, определяющее приращение числа интер- валов постоянства управлений,  — заданное положительное число, определяемое требуемой точностью решения задачи оптимизации числа интервалов постоянства управления. Для определения искомого рационального числа интервалов постоянства L можно использовать какой-либо из алгоритмов одномерного поиска, например, методы деления пополам, золотого сечения. По результатам решения задачи управления на классе кусочно-постоянных управляющих воздействий с заранее заданным числом L интервалов постоянства можно рассмотреть вопрос уменьшения числа L, если для оптимальных L и Lv на каких-либо двух последовательных j- и ( j+1)-м временнх интервалах, ,1...,,0  Lj выполнилось одно из условий: ,11   L j L j (16) ,...,,1,21 rivv L ij L ij   (17) для заданных достаточно малых значений .0, 21  В случае выполнения (16) j-й интервал постоянства управления можно сократить в силу его малости, а в слу- 0 2L 1L L LL  L J  LJ Рис. 1 Международный научно-технический журнал Проблемы управления и информатики, 2010, № 4 59 чае (17) j- и ( j+1)-й интервалы можно объединить, поскольку значения управле- ния на этих интервалах совпадают. Следовательно, в обоих случаях число интер- валов постоянства управления L уменьшится на единицу. 4. Результаты численных экспериментов С помощью формул градиента (6), (11), (14) можно предложить следующий итерационный алгоритм для определения оптимальных значений кусочно-посто- янных управлений, основанный на методах оптимизации первого порядка. Шаг 1. Множества YX ,0 покрываются узлами сеточной области ),,( 0 ji yx где ji, — номера узлов сетки, используемые в квадратурных формулах для ап- проксимации интегралов в (4) по множествам 0X и Y, относительно которых проводятся последующие вычисления по определению значений компонент гра- диента. Шаг 2. При текущем значении вектора 1)1(),(  rLkk Ev и для ,00 Xx i  Yy j  численным методом решается задача Коши (1) и определяется ).,,,;( 0 ji kkk yxvtx  Шаг 3. Для соответствующего решения ),,,;( 0 ji kkk yxvtx  численным ме- тодом находится решение сопряженной задачи Коши (6) ).,,,;( 0 ji kkk yxvt  Шаг 4. По формулам (11), (14) с использованием какой-либо квадратурный формулы вычисляются слагаемые интегральной суммы для компонент вектора градиента функционала. Шаг 5. Применяя численные методы конечномерной оптимизации первого по- рядка, например итерационный метод проекции градиента на ограничения (2), (3), вычисляется новое приближение ...,,1,0)],,(),[(),( 11T11 )3(),2( T11   kvIvPv kkkkkk где ),()3),(2( vP — оператор проектирования вектора ),( v на допустимую область параметров, определяемую ограничениями (2), (3); ),( 00 v — некоторое заданное начальное приближение;  — шаг одномерной минимизации. В случае невыполне- ния условия оптимальности или останова итерационного процесса (например, усло- вий  или ,),(),( 11   kkkk vIvI  — заданная точность оптимизации) повторяются шаги 2–5. Приведем численные результаты применения полученных формул в следу- ющих тестовых задачах. Задача 1. Используя формулу (11), (14), применим предложенный подход к тестовой задаче, в основе которой лежит модельная задача с точно заданными значениями параметра 1y и начальными условиями ),0;5(0 x при известном оптимальном управлении ),1;1;1(),,( 321   vvvv :)55,4;95,0(),( 21   ],5;0[,1)(],1,1;9,0[,0)0(],2,5;8,4[)0( ,sin , 21 12 21        ttuyxx xyux xx   (18) .min)()()],;5(),;5([)( 00 2 20 2 1 1,1 9,0 2,5 8,4 0 u YX ydxdyxxyxxuJ   (19) 60 ISSN 0572-2691 Пусть функции )( 00 xX и )(yY имеют равномерное распределение на соот- ветствующих множествах, в которых они определены, т.е. ),9,0( 2,0 1 )(),8,4( 4,0 1 )( 000  yyxx YX тогда функционал (19) примет вид .min)],;5(),;5([ 08,0 1 )( 00 2 20 2 1 1,1 9,0 2,5 8,4 u dydxyxxyxxuJ   (20) Будем полагать, что число интервалов постоянства кусочно-постоянного управления )(tu — ,3L т.е. оптимизируется вектор ).,,,,(),( 32121 vvvv  Таким образом, сравнивая задачу (18), (20) с исходной задачей (1)–(4), заключаем, что здесь ,2n ,1m ,3L ],1,1;9,0[Y :),{( 02010 xxX  }.0,2,58,4 0201  xx В произвольно взятой точке )50,0;60,0;70,0;46,3;78,0(),(  v вектор гра- диента, рассчитанный по формулам (11), (14), равен ).10,900110,3567;8,5500;12,7888;10,8616;(),(grad  vI Для сравнения использовались также центральная, правая и левая схемы раз- ностных аппроксимаций производных в этой точке: ),()2/())()(()( 2hohhxIhxIxI  (21) ),(/))()(()( hohxIhxIxI  (22) ).(/))()(()( hohhxIxIxI  (23) Значения компоненты ),,( vI  как видно из табл. 1, существенно зависят от h и наилучшее значение получено при применении центральной схемы при 005,0h и ,001,0h т.е. оно близко к значению, рассчитанному по форму- лам (11), (14). Эксперименты показали, что это верно и для других значений оп- тимизирующих параметров. Таблица 1 H СХЕМА РАЗНОСТНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ ПРОИЗВОДНЫХ Центральная (21) Левая (23) Правая (22) 0,1 (– 10,7143; – 12,7849; – 8,5426; 10,6442; 10,8991) (– 12,0919; – 12,9078; – 8,7913; 9,3894; 10,7204) (– 9,3368; – 12,6620; – 8,2938; 11,8989; 11,0777) 0,05 (– 10,7849; – 12,8012; – 8,5481; 10,4282; 10,8998) (– 11,4715; – 12,8623; – 8,6723; 9,8072; 10,8105) (– 10,0983; – 12,7402; – 8,4240; 11,0492; 10,9891) 0,01 (– 10,8610; – 12,7888; – 8,5499; 10,3596; 10,9001) (– 10,9460; – 12,7952; – 8,5747; 10,2358; 10,8822) (– 10,7760; – 12,7824; – 8,5251; 10,4834; 10,9179) 0,005 (– 10,8615; – 12,7888; – 8,5500; 10,3574; 10,9001) (– 10,9040; – 12,7920; – 8,5624; 10,2955; 10,8911) (– 10,8190; – 12,7856; – 8,5376; 10,4193; 10,9090) 0,001 (– 10,8616; – 12,7888; – 8,5500; 10,3567; 10,9001) (– 10,8701; – 12,7894; – 8,5525; 10,3444; 10,8983) (– 10,8531; – 12,7881; – 8,5475; 10,3691; 10,9018) Международный научно-технический журнал Проблемы управления и информатики, 2010, № 4 61 В табл. 2 приведены результаты численных экспериментов по решению (18), (20) (задача 1) с точностью оптимизации 001,0 при различных началь- ных значениях ),( 00 v управляющего вектора ),,( v в табл. 3 — результаты оптимизации кусочно-постоянных управлений в (18), (20) (задача 1, )5L с пя- тью интервалами постоянства управления для двух различных начальных точек итерационного процесса. Из условий (16), (17) и результатов оптимизации, при- веденных в табл. 3, следует, что оптимальное решение, полученное из первой начальной точки, имеет компоненты   21, вектора , которые удовлетворяют условию (16), а компоненты  43 , vv вектора v — условию (17). Для оптималь- ного решения, полученного из второй начальной точки, значения компонент   321 ,, вектора  удовлетворяют условию (16). Следовательно, объединяя компоненты с близкими значениями, получаем результаты, аналогичные табл. 2, и .3L Таблица 2 № ),( 00 v ),( 00 vI  ),(  v ),(  vI Число итераций 1 (0,78; 3,46; 0,70; – 0,60; 0,50) 33,0325 (0,9651; 4,5500; 1,0000; – 1,0000; 1,0000) 13,0587 34 2 (0,78; 3,46; 2,00; – 2,00; 0,50) 7,9791 (0,9709; 4,5500; 1,0000; – 1,0000; 1,0000) 13,0591 28 3 (0,52; 2,73; 0,80; – 0,80; 0,40) 44,2627 (0,9659; 4,5485; 1,0000; – 1,0000; 1,0000) 13,0595 68 4 (0,28; 3,26; 0,26; – 0,40; 0,32) 43,1466 (0,9690; 4,5500; 1,0000; – 1,0000; 1,0000) 13,0589 35 5 (0,64; 2,82; 0,85; – 0,30; 0,40) 43,1901 (0,9668;4,5500; 1,0000; – 1,0000; 1,0000) 13,0588 27 Таблица 3 № ),( 00 v ),( 00 vI  ),(  v ),(  vI Число итера- ций 1 (0,62; 0,78; 2,26; 3,76; 0,4; 0,5; – 0,6; – 0,8; 0,8) 31,1464 (0,950; 0,971; 1,875; 4,552; 1,00; 0,613; – 1,00; – 1,00; 1,00) 13,0589 16 2 (1,11; 0,76; 0,81; 4,76; 0,45; 0,85; – 0,7; – 0,8; 0,8) 19,1692 (0,983; 0,983; 0,983; 4,550; 1,00; 0,845; – 0,646; – 1,00;1,00) 13,0774 5 Задача 2. Применим предложенный подход к следующей тестовой задаче, в основе которой лежит модельная задача с точно заданными значениями пара- метра 1y и начальными условиями ),0;1(0 x при известном оптимальном управлении ),1;4(),( 21   vvv : 4 1    , 4 3 ;0,4)(1],1,1;9,0[,0)0(],2,1;7,0[)0( ,)( , 21 12 21               ttuyxx xtyux xx   (24) 62 ISSN 0572-2691 .min)()(,; 4 3 )( 001 1,1 9,0 2,1 7,0 0 u YX ydxdyxxuJ          (25) Функции распределения )( 00 xX и )(yY выберем следующим образом: ).9,0( 2,0 1 )(),7,0( 5,0 1 )( 000  yyxx YX Тогда функционал (25) примет вид .min,; 4 3 1,0 1 )( 001 1,1 9,0 2,1 7,0 u dydxyxxuJ          (26) Здесь число интервалов постоянства кусочно-постоянного управления )(tu — ,2L т. е. оптимизируется вектор ).,,(),( 211 vvv  В табл. 4 приведены результаты численного решения (24), (26) (задача 2) для различных начальных значений ),( 00 v управляющего вектора ).,( v Таблица 4 № ),( 00 v ),( 00 vI  ),(  v ),(  vI Число итераций 1 (1,231; 3,200; 1,500) – 1,2582 (0,82466; 4,0000; 1,0000) – 1,8908 6 2 (0,522; 2,850; 1,200) – 1,2410 (0,82467; 4,0000; 1,0000) – 1,8908 6 3 (0,953; 3,150; 2,430) – 0,8868 (0,82467; 4,0000; 1,0000) – 1,8908 5 4 (1,847; 3,540; 1,820) – 0,5380 (0,82467; 4,0000; 1,0000) – 1,8908 5 5 (1,368; 2,180; 1,470) – 1,1169 (0,82467; 4,0000; 1,0000) – 1,8908 4 6 (2,092; 1,890; 0,750) – 0,9739 (0,82467; 4,0000; 1,0000) – 1,8908 5 Заключение В данной работе получены формулы для градиента функционала в задаче оп- тимального управления объектами, описываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений на классе кусочно-постоянных функций при не- точной информации о начальных условиях и параметрах. Они позволяют приме- нить методы оптимизации первого порядка для численного решения задачи опти- мального управления. Учитывая возможность достаточно точной реализации кусочно-постоянных управляющих воздействий, предлагаемый подход к решению рассмотренной за- дачи оптимального управления может найти широкое применение в системах авто- матизированного и автоматического управления при неточно заданной информа- ции о начальных условиях и параметрах. К.Р. Айда-заде, А.Б. Рагімов РЕЛЕЙНЕ КЕРУВАННЯ НЕЛІНІЙНОЮ СИСТЕМОЮ ПРИ НЕТОЧНО ЗАДАНИХ ЗНАЧЕННЯХ ПАРАМЕТРІВ Досліджуються задачі оптимального керування об’єктами, описаними система- ми звичайних диференційних рівнянь, на класі релейних кусково-сталих керу- Международный научно-технический журнал Проблемы управления и информатики, 2010, № 4 63 ючих функцій при неточній вихідній інформації про значення початкових умов і параметрів об’єкта. В задачі оптимізуючими є кусково-сталі значення керу- вань, і найважливіше, оптимізуються межі інтервалів сталості. При заданому числі інтервалів сталості керувань отримано необхідні умови оптимальності і формули для градієнта функціонала, які дозволяють для чисельного розв’яза- ння задач використовувати ефективні методи оптимізації першого порядку. Для випадку, коли число інтервалів сталості не задано, запропоновано алгоритм оп- тимізації. K.R. Aida-zade, A.B. Rahimov RELAY CONTROL OF NONLINEAR SYSTEM WITH UNCERTAIN VALUES OF PARAMETERS Optimal control problems for objects described by systems of ordinary differential equations on the class of relay piecewise constant control functions with uncertain in- itial information on the parameters of initial conditions and on object parameters are investigated. In the problem, piecewise-constant values of the controls and what is most important, the boundaries of constancy intervals of the controls are optimized. For the case when the number of constancy intervals of the controls is given, the nec- essary optimality conditions and formulas for the gradient of the functional are ob- tained. These formulas allow using efficient first order optimization methods. For a case when the number of constancy intervals is not given, the algorithm of optimiza- tion is suggested. 1. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. — М. : Наука и техника, 1974. — 272 с. 2. Третьяков В.Е., Целищева И.В., Шишкин Г.И. Оптимальное управление системами с не- полной и неточной информацией // Сб. науч. тр. ИММ. — 1992. — 2. — С. 176–187. 3. Chen S.B. The robust optimal control of uncertain systems-state space method // IEEE Transact. on Automat. Contr. — 1993. — 38, N 6. — P. 951–957. 4. Quincampoix M., Veliov V.M. Optimal control of uncertain systems with incomplete information for the disturbances // SIAM J. on Contr. and Optimiz. — 2004. — 43, N 4. — P. 1373–1399. 5. Айда-заде К.Р., Рагимов А.Б. О решении задач оптимального управления на классе кусоч- но-постоянных функций // Автоматика и вычисл. техника. — 2007. — № 1. — С. 27–36. Получено 18.01.2010 После доработки 10.02.2010 http://ieeexplore.ieee.org/xpl/RecentIssue.jsp?punumber=9 http://ieeexplore.ieee.org/xpl/RecentIssue.jsp?punumber=9 http://ieeexplore.ieee.org/xpl/tocresult.jsp?isnumber=5795&isYear=1993
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210746
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2026-03-17T22:27:35Z
publishDate	2010
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Айда-заде, К.Р. Рагимов, А.Б. 2025-12-16T22:57:19Z 2010 Релейное управление нелинейной системой при неточно заданных значениях параметров / К.Р. Айда-заде, А.Б. Рагимов // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 4. — С. 53-63. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210746 517.977.58 10.1615/JAutomatInfScien.v42.i7.40 Досліджуються задачі оптимального керування об’єктами, описаними системами звичайних диференційних рівнянь, на класі релейних кусково-сталих керуючих функцій при неточній вихідній інформації про значення початкових умов і параметрів об’єкта. В задачі оптимізуючими є кусково-сталі значення керувань, і найважливіше, оптимізуються межі інтервалів сталості. При заданому числі інтервалів сталості керувань отримано необхідні умови оптимальності і формули для градієнта функціонала, які дозволяють для чисельного розв’язання задач використовувати ефективні методи оптимізації першого порядку. Для випадку, коли число інтервалів сталості не задано, запропоновано алгоритм оптимізації. Optimal control problems for objects described by systems of ordinary differential equations on the class of relay piecewise constant control functions with uncertain initial information on the parameters of initial conditions and on object parameters are investigated. In the problem, piecewise-constant values of the controls and what is most important, the boundaries of constancy intervals of the controls are optimized. For the case when the number of constancy intervals of the controls is given, the necessary optimality conditions and formulas for the gradient of the functional are obtained. These formulas allow using efficient first order optimization methods. For a case when the number of constancy intervals is not given, the algorithm of optimization is suggested. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Оптимальное управление и методы оптимизации Релейное управление нелинейной системой при неточно заданных значениях параметров Релейне керування нелінійною системою при неточно заданих значеннях параметрів Relay control of nonlinear system with uncertain values of parameters Article published earlier
spellingShingle	Релейное управление нелинейной системой при неточно заданных значениях параметров Айда-заде, К.Р. Рагимов, А.Б. Оптимальное управление и методы оптимизации
title	Релейное управление нелинейной системой при неточно заданных значениях параметров
title_alt	Релейне керування нелінійною системою при неточно заданих значеннях параметрів Relay control of nonlinear system with uncertain values of parameters
title_full	Релейное управление нелинейной системой при неточно заданных значениях параметров
title_fullStr	Релейное управление нелинейной системой при неточно заданных значениях параметров
title_full_unstemmed	Релейное управление нелинейной системой при неточно заданных значениях параметров
title_short	Релейное управление нелинейной системой при неточно заданных значениях параметров
title_sort	релейное управление нелинейной системой при неточно заданных значениях параметров
topic	Оптимальное управление и методы оптимизации
topic_facet	Оптимальное управление и методы оптимизации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210746
work_keys_str_mv	AT aidazadekr releinoeupravlenienelineinoisistemoiprinetočnozadannyhznačeniâhparametrov AT ragimovab releinoeupravlenienelineinoisistemoiprinetočnozadannyhznačeniâhparametrov AT aidazadekr releinekeruvannânelíníinoûsistemoûprinetočnozadanihznačennâhparametrív AT ragimovab releinekeruvannânelíníinoûsistemoûprinetočnozadanihznačennâhparametrív AT aidazadekr relaycontrolofnonlinearsystemwithuncertainvaluesofparameters AT ragimovab relaycontrolofnonlinearsystemwithuncertainvaluesofparameters

Релейное управление нелинейной системой при неточно заданных значениях параметров

Institution

Similar Items