Модель оптимального управления нелинейным процессом фильтрации для задачи подтопления территорий

Розглянуто модель оптимального керування процесом підтоплення обмежених територій ґрунтовими водами на основі початково-крайової задачі для квазілінійного рівняння параболічного типу. Для початково-крайової задачі доведено принцип максимуму, достатні умови існування та єдиності узагальненого розв’яз...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Проблемы управления и информатики
Дата:	2010
Автори:	Акименко, В.В., Митрохин, С.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Теми:	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210748
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Модель оптимального управления нелинейным процессом фильтрации для задачи подтопления территорий / В.В. Акименко, С.А. Митрохин // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 4. — С. 73-89. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860163674631569408
author	Акименко, В.В. Митрохин, С.А.
author_facet	Акименко, В.В. Митрохин, С.А.
citation_txt	Модель оптимального управления нелинейным процессом фильтрации для задачи подтопления территорий / В.В. Акименко, С.А. Митрохин // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 4. — С. 73-89. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто модель оптимального керування процесом підтоплення обмежених територій ґрунтовими водами на основі початково-крайової задачі для квазілінійного рівняння параболічного типу. Для початково-крайової задачі доведено принцип максимуму, достатні умови існування та єдиності узагальненого розв’язку, отримано достатні умови існування оптимального керування даною системою. Побудовано чисельний алгоритм розв’язку задачі оптимального керування та наведено чисельні розрахунки для модельного прикладу The model of optimal control of the process of underflooding bounded territories with subsoil waters on the basis of initial boundary value problem for the quasilinear parabolic equation is considered. For the initial boundary value problem the maximum principle, sufficient conditions of existence and uniqueness of generalized solution are proved and sufficient conditions of existence of optimal control of the given system are obtained. The numerical algorithm for the problem of optimal control is considered and numerical result is obtained for a model sample.
first_indexed	2026-03-20T07:05:20Z
format	Article
fulltext	© В.В. АКИМЕНКО, С.А. МИТРОХИН, 2010 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 73 УДК 532.516 В.В. Акименко, С.А. Митрохин МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМ ПРОЦЕССОМ ФИЛЬТРАЦИИ ДЛЯ ЗАДАЧИ ПОДТОПЛЕНИЯ ТЕРРИТОРИЙ Введение Модель оптимального управления подтоплением грунтовыми водами замкну- той ограниченной территории рассматривается на основе двухуровневой организа- ционной системы. Моделирование динамики уровня грунтовых вод (процесс под- топления) территории городской агломерации в современных математических ме- тодах прикладной гидрогеологии основывается на начально-краевых задачах для квазилинейных уравнений параболического типа [1, 2] с нелинейным коэффициен- том диффузии. Для исследования аналитических свойств решений данного класса задач используются методы математической физики [3, 4], в частности, теоремы принципа максимума и методы исследования свойств обобщенных решений квази- линейных систем уравнений. Последние представляют интерес в связи с возникно- вением в квазилинейных параболических уравнениях эффектов с обострением, ко- гда решение задачи неограниченно возрастает за конечный промежуток времени в ограниченной области [5–7]. Исследование достаточных условий существования оптимального управления системой и развитие соответствующих методов для ква- зилинейных уравнений параболического типа основывается на теории оптимально- го управления для линейных уравнений в частных производных [8–11] с использо- ванием априорных оценок классических и обобщенных решений начально-краевых задач. Компьютерная реализация результатов теоретического исследования задач оптимального управления процессами нелинейной фильтрации грунтовых вод для ограниченных территорий в системе поддержки принятия решений (CППР) осно- вывается на теории разностных схем [12], теорем принципа максимума для линей- ных и квазилинейных многослойных разностных схем [13–16], численных методов оптимизации [17], теории принятия решений в условиях неопределенности [18]. В данной статье рассмотрена начально-краевая задача для квазилинейного уравнения параболического типа с полиномиальной зависимостью коэффициента параболичности от решения задачи. Для различных частных случаев построены оценки классического решения задачи в норме непрерывных функций и получены достаточные условия существования и единственности обобщенного решения за- дачи с разрывными коэффициентами уравнения. На основе априорных оценок обобщенного решения получены достаточные условия существования оптималь- ных управлений, когда от функции управления зависят функция источника в уравнении и внешний поток на границе области. Для рассмотренной модели раз- работан алгоритм решения задачи оптимального управления процессом подтоп- ления ограниченной территории с контролем превышения уровня грунтовых вод заданной критической глубины. Приведены результаты тестовых расчетов для модельного примера одного из сценариев точечного управления подтоплением с помощью функции источника. Постановка общей задачи Рассмотрим процесс фильтрации грунтовых вод в прямоугольной двумерной об- ласти }.2,1,0),,({ 21  iLxxxxx ii Для задачи предотвращения подтоп- ления территорий рассмотрим модель двухуровневой системы управления (рис. 1). 74 ISSN 0572-2691 Уровень 2 Техническое, геологическое и организационное управление Начальная ситуация: уровень грунтовых вод превышает норму; начальный этап подтопления Управление: комплекс технических, геологических и организационных мер по ликвидации подтопления (стихийного бедствия) Уровень 1 Моделирование процесса, управление по рекомендациям СППР Начальная ситуация: уровень грунтовых вод в пределах нормы Управление: моделирование процесса и решение задачи оптимального управления по предотвращению критического подъема уровня грунтовых вод Процесс подтопления территории  h w u z r g  Рис. 1 1. На первом уровне системы управления начальная глубина залегания грунто- вых вод )(x находится ниже критического значения ).()( xyx  На вход этого уровня системы поступают данные о входящих  и исходящих h водных потоках на границе рассматриваемой области (подземные, наземные источники и осадки) и о физических свойствах грунта (интегрированный параметр )).,( hzz  Задача данного уровня заключается в определении оптимального управления ),( txu уровнем грунтовых вод )),(,,( txutxy с целью не допустить его уменьшения ниже критического уровня )(),( xytxy  в пределах доступных технических, геологи- ческих средств и мощностей. В зависимости от результатов определения систем- ным аналитиком уровня грунтовых вод на защищаемых территориях должны про- водиться мероприятия против возможного, развивающегося или уже развившегося подтопления. Выбор управленческих решений, применимых в данной ситуации, описывается схемой, включающей два этапа: формирование универсального мно- жества альтернатив UA и выделение множества альтернатив, допустимых в ситу- ации .UD AA  Универсальное множество альтернатив формируется на основе управляющих мероприятий, предупреждающих активизацию процесса подтопления, а также различных способов защиты оснований отдельных зданий, коммуникаций или территории в целом от воздействия подземных вод и связанных с процессом под- топления опасных экзогенных процессов [1, 2]. Универсальное множество аль- тернатив UA может включать в себя, например, управляющие организационно- технические мероприятия : iUa 1Ua — искусственное повышение рельефа территории до незатопляемых планировочных отметок; 2Ua — обвалование территорий со стороны реки, водохранилища или друго- го водного объекта; 3Ua — организация и ускорение стока поверхностных вод с затопленных, временно затопляемых, орошаемых территорий и низинных нарушенных земель; 7Ua — устройство русло-регулирующих сооружений на водотоках, распо- ложенных на защищаемой территории; 8Ua — предупреждение постоянных и/или аварийных утечек из водопрово- дящих сооружений; 9Ua — устройство защитной гидроизоляции подземных частей зданий, со- оружений и подземных коммуникаций; Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 75 10Ua — сооружение профилактических пристенных, пластовых и сопутству- ющих дренажей; 11Ua — прокладка профилактических дренажных и вентиляционных каналов в основаниях подземных сооружений; 12Ua — создание противофильтрационных экранов в основании накопителей и завес вокруг них; 13Ua — сооружение дренажей, перехватывающих подземный поток; 14Ua — мероприятия по ликвидации просадочных свойств грунтов; 15Ua — повышение водоотводящей и дренирующей роли гидрографической сети путем расчистки русел и стариц; 16Ua — организационно-технические мероприятия, обеспечивающие про- пуск весенних половодий и летних паводков; 17Ua — устройство систематического горизонтального дренажа; 18Ua — сооружение однолинейного горизонтального дренажа; 19Ua — сооружение двухлинейного горизонтального дренажа; 20Ua — сооружение кольцевых (контурных) дренажей; 21Ua — сооружение лучевого дренажа; 22Ua — сооружение галерейного дренажа; 23Ua — сооружение вертикального дренажа; 24Ua — сооружение комбинированного дренажа; 25Ua — осушение слабопроницаемых пород посредством создания вакуум- ного дренажа; 26Ua — сооружение пневмонагнетательных систем осушения грунтов. В рассматриваемой математической модели фильтрации подземных вод функ- ция управления вводится как регулирование уровня подземных вод во внутренних точках области с помощью функции источника, регулирование внешнего потока и уровня подземных вод на границе рассматриваемой территории с помощью гра- ничных условий. Связь функции оптимального управления ),( txu с множеством допустимых альтернатив UA устанавливается в прикладной СППР на основе экс- пертных оценок. На данном уровне также решается задача прогнозирования уровня подзем- ных вод (параметр )r на основе прогнозирования входных данных задачи (пара- метр )g о возможном поведении входящих и исходящих водных потоков и осад- ках. Результаты работы первого уровня предоставляются заинтересованным орга- низациям в виде рекомендаций СППР по предотвращению процесса подтопления территорий (городских агломераций, населенных пунктов и т.д.). Если рассчитан- ное оптимальное управление ),( txu не позволяет предотвратить возможное превышение уровнем грунтовых вод критического значения ),(),( xytxy  то моделирование прекращается и управление процессом передается на второй уро- вень системы. 2. Информация об уровне залегания грунтовых вод ),( 0txy в виде сигнала ),,,,( yzuhrr  поступает на второй уровень системы управления в том случае, если в некоторых подобластях  данный уровень залегания меньше крити- ческого ),(),( 0 xytxy  .),( 21  xxx Задача второго уровня системы управ- ления заключается в использовании дополнительных технических, геологических 76 ISSN 0572-2691 и организационных мер по ликвидации опасного подъема грунтовых вод (подтоп- ления территорий). Такая ситуация характерна для стихийных бедствий и техно- генных катастроф. Рассмотрим математическое обеспечение первого уровня данной системы управления. Сложность моделирования процессов фильтрации в задачах подтоп- ления территорий связана с нелинейным поведением диффузионного члена в про- гностическом уравнении. Известно, что задачи с нелинейным коэффициентом диффузии в уравнениях параболического типа приводят к возникновению не- устойчивых решений [5–7]. При так называемых режимах с обострением ампли- туда решения задачи в ограниченной области за конечный промежуток времени может неограниченно возрастать. Однако построенная модель двухуровневой си- стемы управления (см. рис. 1) позволяет избежать случаев обострения за счет контроля амплитуды решения задачи. При моделировании процесса фильтрации подземных вод будем исходить из упрощающих допущений: жидкость, полностью заполняющая поры грунта в об- ласти течения, однородна и несжимаема; под водоносной средой понимается грунт, отдельные частицы которого неподвижны и устойчивы в своем взаимном расположении, при этом грунт считаем несжимаемым; капиллярные силы вдоль свободной поверхности не учитываются; физические параметры водоносного пласта — пористость, водопроводимость — считаем неизменяющимися во време- ни; силы сопротивления зависят только от трения частиц жидкости о частицы грунта; допускается, что скорости фильтрации невелики, силы инерции прене- брежимо малы по сравнению с силой тяжести и силами трения. Для ),( txy в об- ласти ),0( TQT  рассмотрим начально-краевую задачу ),,,()),,(( 2 1 utxfyytxay ii x i xit   (1) ,),(),(),(),,( 1 2 1 12     K k k ik J j j ijii ytxytxtxytxa (2) ),( 0 xy t   ),,,(1 1 uts n y S          ),,,(2 2 utsy S  (3) где ,0),(  txi ,0),(  txij 0),(  txik — заданные наборы функций, ,1J 1K — заданные показатели полиномиальных коэффициентов диффузии ),,,( ytxai ),,,(),(),(),,( 321 utxftxftxfutxf  0),(1 txf — функция источника (про- никновение осадков в грунтовые воды), 0),(2 txf — функция испарения влаги с грунта, 0),,(3 utxf — функция увеличения глубины подземных вод за счет применения технических средств (управляющее воздействие), Utxu ),( — функция управления из множества управлений .U Момент времени T окончания процесса моделирования определяется из условия },,ˆmin{  TTT (4) где T̂ — планируемое время завершения процесса моделирования, T — время, за которое глубина залегания подземных вод уменьшается до заданного критиче- ского значения )(xy : ,)(),(:   xyTxyx (5) )(x — начальное распределение глубины залегания грунтовых вод, удовлетворя- ющее ограничениям ,)()(0 0hxxy   (6) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 77 где 0h — максимально возможная глубина залегания грунтовых вод. В (3) ),(1 ts — заданный внешний поток (сток) на границе 1S области , ),(2 ts — заданная глубина залегания грунтовых вод на границе 2S области , 21 SSS  — грани- ца  , состоящая из боковых ориентированных (по отношению к внешней норма- ли) сторон прямоугольника  по переменным ,1x ,2x ),( 21 SS перемен- ная .Ss Обозначим ),,0( TSS iiT  . 2 1    i iTT SS Коэффициенты ),,,( ytxai ),( tsi удовлетворяют условиям ,max),(min,),,(0 1 2 0 1 12 0 ,, 0 ,, 000             K k k ik J j j iji txi i txi i hhytxa (7) ,),,( 11  uts ,),,()(0 02 hutsxy   (8) где 01  — заданная константа. Обобщенное решение задачи (1), (2) будем искать на классе функций ).(1 2 TQV На пространстве })({ 1 2 UQV TJ  введем также критерий качества управления — функционал ).,( uyJ Задача оптимального управ- ления для системы (1)–(3) имеет вид ).,(minarg),( uyJtxu Uu   (9) Для теоретического анализа условий существования оптимального управле- ния системой (1)–(3), (9) в следующем разделе рассматриваются общие свойства критерия качества управления ),( uyJ и множества управлений U. И уже на осно- вании данных результатов в последнем разделе рассматривается физическая поста- новка задачи (9) по оптимальному управлению процессом подтопления территории на модельном примере. Принцип максимума и оценки для классического решения задачи (1)–(8) Для анализа данного класса начально-краевых задач будем использовать тео- рию обобщенных решений для квазилинейных уравнений параболического типа. Для теоретического анализа свойств решения задачи нелинейной фильтрации важно, существуют ли условия возникновения режимов с обострением, когда амп- литуда решения может неограниченно возрастать в ограниченной области за ко- нечный промежуток времени. Это существенно и для компьютерного моделиро- вания данного вида процессов. Проведем анализ решения квазилинейного урав- нения (1) в предположении достаточной гладкости коэффициентов задачи (1)–(8) и в предположении ее локальной разрешимости. Пусть классическое решение су- ществует на некотором временнóм интервале ],0[ Tt  в области .x Рассмот- рим первую краевую задачу (множество ).1 S Теорема 1. Пусть ),( txy — классическое решение задачи (1)–(8) в области ,TQ ,1 S функции ,0),(  txi ,0),(  txij 0),(  txik , ),,( utxf , ),(x ),(2 ts — достаточно гладкие ограниченные функции своих аргументов. При этом выполняются ограничения (4), (6)–(8). Тогда для решения задачи ),( txy справедлива оценка .)),((max);(max));((maxmax),()( 2 2           txfTxtxyxy TT QS (10) 78 ISSN 0572-2691 Доказательство. Перейдем в уравнении (1) к новой функции  ),(),( txytxV )./(exp Tt Записывая уравнение (1) в развернутом виде, получаем задачу для функции :),( txV                iiii xx i j J j ij i xxit VVTtjVV T V 2 1 12 1 2 1 )/)12((exp 1                           iii xx i k K k ijx i j J j ij VVTktVVTtjj 2 1 2 1 2 2 1 22 1 )/2(exp)/)22((exp)12( ),,,()/(exp)/)12((exp2 2 2 1 12 1 utxfTtVVTtkk ix i k K k ij               (11) ),( 0 xV t   .),()/exp( 2 2 tsTtV S  (12) Для получения оценки (10) рассмотрим максимум функции ),( txV в некото- рой точке ).,( 00 tx В силу условия (6) ),( txV может достигать только положи- тельного максимума. Возможны два варианта. 1. Положительный максимум ),( 00 txV достигается на границе области ,TQ кроме точки .Tt  Если ,2Sx то справедливо неравенство ).,()/exp(),()/exp()( 0020000 tsTttxVTtxy  (13) Если ,0t то справедливо неравенство ).(),()( 0000 xtxVxy  (14) 2. Положительный максимум ),( 00 txV достигается во внутренней точке об- ласти TQ или в точке .Tt  Тогда справедливы неравенства ,0)/)12((exp,0,0 2 1 12 1 2 1                iiii xx i j J j ij i xxit VVTtjVV ,0)/2(exp 2 1 2 1              iixx i k K k ij VVTkt .0 ixV С учетом данных неравенств из ограничения (6) и уравнения (11) следует оценка ).,()/(exp),()/(exp)( 000000 txfTtTtxVTtxy  (15) Оценка минимума функции ),( txV на границе и во внутренних точках обла- сти TQ полностью определяется условием (6) и ограничениями (7), (8): ).,()/(exp)( 000 txVTtxy  (16) Из неравенств (13)–(16) следует оценка (10) для функции ).,( txy Теорема доказана. Проведем анализ решения задачи (1)–(8) при отсутствии ограничений (4), (6)–(8), для случая .T̂T  Поскольку функция источника в уравнении (1) может принимать отрицательные значения ,0),,( utxf то решение задачи (1)–(8) также может быть отрицательным: .0),( txy В этом случае, если при некоторых ji, коэффициенты ,0),(  txij то коэффициенты диффузии могут принимать отри- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 79 цательные значения ,0),,( ytxai уравнение (1) вырождается и решение задачи (1)–(3) становится неустойчивым. Поэтому рассмотрим задачу (1)–(3) в предпо- ложении 0ij при ,2,1i .,1 Jj  Как и в теореме 1, будем предполагать до- статочную гладкость коэффициентов задачи (1)–(3) и существование ее классиче- ского решения на некотором временнóм интервале ],0[ Tt  в области .x Рассмотрим первую краевую задачу (множество ).1 S Теорема 2. Пусть ),( txy — классическое решение задачи (1)–(3) в облас- ти ,TQ ,1 S коэффициенты ,0),(  txi ,0),(  txij ,0),(  txik функции ),,,( utxf ),(x ),(2 ts — достаточно гладкие ограниченные функции своих ар- гументов. Тогда для ),( txy справедлива оценка .)),((max;)(max;))((maxmax),( 2 2          txfTxtxy TT QS (17) Доказательство. Перейдем в уравнении (1) к новой функции  ),(),( txytxV )./exp( Tt Записывая уравнение (1) в развернутом виде, для функции ),( txV получаем начально-краевую задачу (11), (12), где в уравнении (11) следует поло- жить .0ij Для получения оценки (17) рассмотрим максимум функции ),( txV в некоторой точке ).,( 00 tx Возможны три варианта. 1. Максимум .0),( 00 txV Тогда следует доказать оценку (17) для неполо- жительного минимума, которая будет справедливой и для неположительного мак- симума. Этот случай рассмотрим позже. 2. Положительный максимум 0),( 00 txV достигается на границе облас- ти ,TQ кроме точки .Tt  Если ,20 Sx  то положительный максимум возможен только в случае .0),( 002  ts Тогда справедливо неравенство ).,()/(exp),(),( 002000 tsTttxVtxV  (18) Если ,00 t то положительный максимум возможен только в случае .0)( 0  x Тогда справедливо неравенство ).(),(),( 000 xtxVtxV  (19) 3. Положительный максимум ),( 00 txV достигается во внутренней точке об- ласти TQ или в точке .Tt  Тогда в этой точке справедливы неравенства ,0),(,0 2 1   i xxit ii VtxV ,0)/2(exp),( 2 1 2 1              iixx i k K k ij VVTkttx .0 ixV Из данных неравенств и уравнения (11) следует, что положительный макси- мум ),( 00 txV возможен только в случае .0),( 00 txf С учетом данных нера- венств из уравнения (11) следует оценка ).,()/(exp),(),( 00000 txfTtTtxVtxV  (20) Для получения оценки (17) рассмотрим также минимум функции ),( txV в не- которой точке ).,( 00 tx Возможны три варианта. 1. Минимум .0),( 00 txV Тогда для положительного максимума из нера- венств (18)–(20) следует оценка (17), которая справедлива и для положительного минимума. 2. Отрицательный минимум 0),( 00 txV достигается на границе облас- ти ,TQ кроме точки .Tt  80 ISSN 0572-2691 Если ,20 Sx  то отрицательный минимум возможен только в случае .0),( 002  ts Тогда справедливо неравенство ).,()/exp(),(),( 002000 tsTttxVtxV  (21) Если ,00 t то отрицательный минимум возможен только в случае .0)( 0  x Тогда справедливо неравенство ).(),(),( 000 xtxVtxV  (22) 2. Отрицательный минимум ),( 00 txV достигается во внутренней точке обла- сти TQ или в точке .Tt  Тогда в этой точке справедливы неравенства ,0),(,0 2 1   i xxit ii VtxV ,0)/2(exp),( 2 1 2 1              iixx i k K k ij VVTkttx .0 ixV Из данных неравенств и уравнения (11) следует, что отрицательный минимум ),( 00 txV возможен только в случае .0),( 00 txf С учетом данных неравенств, из уравнения (11) следует оценка ).,()/exp(),(),( 00000 txfTtTtxVtxV  (23) Объединив неравенства (18)–(23) и сделав замену функции  ),(),( txytxV )/exp( Tt , получим оценку (17). Теорема доказана. Замечание 1. Оценки (10), (17) показывают, что решение ),( txy задачи (1)–(8) при 0ij всегда ограничено по модулю оценками коэффициентов уравнения, начальными и граничными условиями и не может неограниченно возрастать за конечный интервал времени. Поскольку правая часть уравнения — функция ис- точника ),,( utxf — зависит от функции управления ),,( txu которая, в свою очередь, может зависеть непосредственно от поведения решения ),,( txy то необ- ходимо исследование условий существования оптимального управления для зада- чи (1)–(9). Достаточные условия существования и единственности обобщенного решения задачи (1)–(3) В правой части уравнения (1) функция источника f и коэффициенты ,1 2 в граничных условиях (3) зависят от функции управления ).,( txu В различ- ных прикладных задачах функция управления может задаваться на множестве ку- сочно-гладких разрывных функций U [4, 10, 11]. В этом случае задача (1)–(8) может иметь разрывные коэффициенты и не иметь классического решения. По- этому важным для практической реализации задачи оптимального управления (1)–(8) является анализ достаточных условий существования и единственности обобщенного решения задачи (1)–(8). Умножим уравнение (1) на произвольную функцию ),(),( 1 2 TQWtx  удо- влетворяющую условию 0),(  Tx и граничным условиям ),,(1 1 ts n S          ).,(2 2 ts S  Проинтегрируем полученное уравнение по области .TQ После интегрирования по частям и использования (3) получаем интегральное тождество                         dtdxyyyy T ii Q i xx K k k ik J j j ijit 2 1 1 2 1 12 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 81                 TS i K k k ik J j j iji dtdsyy 1 1 2 1 1 2 1 12 .)0,()( 2 2 2 1 1 2 1 12 dxxxdtdxfdtdsyyy TT i QS x i K k k ik J j j iji                 (24) Функцию ),( txy определим как обобщенное решение задачи (1)–(8), если она удовлетворяет интегральному тождеству (24) и ограничениям (4), (6)–(8). Умножим уравнение (1) на функцию ),( txy и проинтегрируем по .tQ После интегрирования по частям получим уравнение энергетического баланса                  ddxyyytxy t i Q i x K k k ik J j j iji 2 1 2 1 2 1 122 ,2 ),(5,0                 tS i K k k ik J j j iji dtdsytsyy 1 ),(1 2 1 1 2 1 12                 t i S x i K k k ik J j j iji dtdsytsyy 2 ),(2 2 1 1 2 1 12 .)0,(5,0 2 ,2    xyddxyf tQ (25) Для построения энергетического неравенства из (25) будем использовать не- равенства Гельдера и «Коши с », а также оценки для коэффициентов (7), (8): , 2 ,20 2 1 2 1 2 1 12 t t i Qx Q i x K k k ik J j j iji yddxyyy                (26)                tS i K k k ik J j j iji dtdsytsyy 1 ),(1 2 1 1 2 1 12 ,max)(2 1,21,20 10 tSt ytC   (27)                t i S x i K k k ik J j j iji dtdstsyyy 2 ),(2 2 1 1 2 1 12            2 ,22 2 ,20 22 1 2 tt SSxy ,max)( 1 )( 2 2,22,20 3 2 ,220             tt StQx ytCytC (28) где ,0)(1 tC ,0)(2 tC 0)(3 tC — положительные функции, зависящие от па- раметров области , границы S, времени t и ограниченные в ограниченной обла- сти .TQ Из (26)–(28) получаем неравенство   tt StQx ytCytxy 1,21,20 10 2 ,20 2 ,2 max)(2),(5,0             tt StQx ytCytC 2,22,20 3 2 ,220 max)( 1 )( 2 .)5,0(max ,2,1,2,20   tQt fy (29) 82 ISSN 0572-2691 Зададим )),(/( 200 tC умножим (29) на 2, воспользуемся ограничения- ми (8) и получим неравенство   tt StQx tCyytxy 1,2110,20 2 ,20 2 ,2 )(4(max),( .)2)()(2 ,2,1,2,2232 1 0 2 0 2    tt QS ftCtC (30) Воспользовавшись преобразованиями, рассмотренными в [3], из (30) полу- чим энергетическое неравенство    ttt SQx tQ tCyxyy 1,2110 1 0,2,20 )(4()1(),(max    )2)()(2 ,2,1,2,2232 1 0 2 0 2 tt QS ftCtC ,)()( ,2,1,2,22,21 21   ttt QSS fTC (31) где tQ y — энергетическая норма из [3], 0)( TC — заданная константа, зави- сящая от параметров области , границы S, времени T, ,0 .0 На основе по- лученных неравенств докажем теорему. Теорема 3. Пусть выполнены ограничения (6)–(8) на коэффициенты задачи (1)–(3), тогда при произвольных ),(1,2 TQLf  )(2  L существует единствен- ное решение задачи (1)–(3) ),( txy на классе функций ).(1 2 TQV Доказательство. Доказательство существования обобщенного решения си- стемы (1)–(7) проведем на основе метода Галеркина. Зафиксируем произвольную функцию 0)(  t из ]).,0([1 2 TW Возьмем фундаментальную систему функций )}({ xl в ),(1 2 W ортонормированных в )(2 L и удовлетворяющих граничным условиям: ),(/),( )( 1 1 tts n x S l          ).(/),()( 2 2 ttsx Sl  Будем предпола- гать ,))(),(( pllp xx  ,)(),(max ppxp x cxx l   где 0pc — заданные кон- станты ).,1( Np  Для каждого приближенного решения    N p p N p N xtctxy 1 )()(),( воспользуемся интегральным тождеством (24), в котором формально положим ).()(),( xttx l В силу произвольности )(t избавляемся от интеграла по t и получаем систему N обыкновенных дифференциальных уравнений для опреде- ления коэффициентов :)(tcN p                               1 1 2 1 11 2 1 1 ,,,, S l i N r r N ri N p lx i px N r r N ri N p N tl dsctxadxctxacc ii ,,, 1 2 2 1 1 2                  N p l S i px N r r N ri N p dxfdsctxac i (32)    dxc l N l )0( , ).,1( Nl  (33) На основе полученных ранее оценок для интегралов в (25) коэффициенты си- стемы (32), (33) — ограниченные и непрерывные по t функции, поэтому для су- ществования, по крайней мере, одного решения задачи (32), (33) на всем интерва- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 83 ле ],0[ T достаточно знать, что все ее возможные решения равномерно ограниче- ны на отрезке ].,0[ T Такая ограниченность вытекает из (31), откуда следует оценка ),( ~ TCy tQ N  где константа )( ~ TC не зависит от N, а выражается через T и константы, ограничи- вающие коэффициенты и функции задачи (1)–(3). Из неравенства (31), ограниче- ний (7), (8) следует также равностепенная непрерывность функций )(, tl pN ))(),,(( xtxy p N  при любом фиксированном p для ],0[ Tt  и оценка ),( ~ )(max , ],0[ TCtl pN Tt   (34) справедливая для всех ,N .,1 Np  Согласно [3] из (34) следует, что из ограни- ченной последовательности )},,({ txy N ,...,2,1N можно выделить подпосле- довательность )},,({ txy pN ,...,2,1p слабо сходящуюся в )(2 L равномерно по ],0[ Tt  к некоторому элементу ),( txy с нормой ).( ~ TCy tQ  Из оцен- ки (31) следует, что из этой подпоследовательности можно выделить новую подпо- следовательность )},,({ txy rN для которой )},({ txy r i N x слабо сходятся к ),( txy ix в ).(2,1 TQL Используя методы доказательства теоремы существования и един- ственности обобщенного решения начально-краевой задачи для квазилинейного уравнения параболического типа из [3] (на основе теорем компактного вложения пространства )(1 2 TQW в пространство абсолютно непрерывных функций) далее получаем, что предельная функция ),( txy является обобщенным решением зада- чи (1)–(3) в классе функций ).(1 2 TQV Для доказательства единственности решения задачи (1)–(3) от противного, предположим существование двух различных решений: ),,( txy ),,( txy  удовле- творяющих интегральному тождеству (24) для произвольной непрерывно диффе- ренцируемой функции ),(),( 1 2 TQWtx  ,0),(  Tx удовлетворяющей гранич- ным условиям (3). Вычтем из одного интегрального тождества другое и запишем приращение для :),( txai      1 0 ))1(,,( ),,(),,( d y yytxa vytxaytxaa i iii         1 0 1 22))1()(,()12( J j j ij yytxjv ,ˆ))1()(,(2 1 12 vadyytxk i K k k ik          (35) где ).,(),( txytxyv  Для ),( txv получаем интегральное тождество .0ˆ 2 1             dtdxvav T ii Q i xxit (36) В силу (35), свойств (7) функции ),,,( ytxa произвольности  и теорем о су- ществовании и единственности обобщенных решений для линейных уравнений пара- болического типа [3] из тождества (36) следует, что 0),(),(),(  txytxytxv для ),,( txy ).(),( 1 2 TQVtxy  Теорема 3 доказана. 84 ISSN 0572-2691 Несмотря на теоретический характер теоремы 3, ее результаты — достаточ- ные условия существования и единственности решения начально-краевой зада- чи — используются при получении условий существования оптимального управ- ления процессом и при разработке проекта СППР по оптимальному управлению процессом подтопления территорий. Достаточные условия существования оптимального управления для задачи квазилинейной фильтрации Рассмотрим достаточные условия существования оптимального управления процессом поднятия грунтовых вод с помощью функции источника ),,( utxf , внешнего потока на границе области ),,,(1 uts уровня грунтовых вод на границе области ),,(2 uts для задачи (1)–(9). Исследования проведем для обобщенного решения задачи (1)–(3), воспользовавшись результатами теоремы 3. В случае до- статочно гладких коэффициентов задачи (1)–(3) и существования ее классическо- го решения результаты данного исследования можно распространить на классиче- ское решение задачи, используя результаты теорем 1 и 2. Обозначим множество функций },:),,({ UuutxfF  },),(:),,({ Utxuutsii  ).2,1( i Теорема 4. Пусть коэффициенты начально-краевой задачи (1)–(3) удовлетворя- ют условиям (6)–(8), множества функций F, i )2,1( i ограничены и слабозамкну- ты в пространствах ),(1,2 TQL )(1,2 iTSL соответственно, функционал )(),( yJuyJ  из (9) слабо полунепрерывный снизу на пространстве .J Тогда существует, по крайней мере, одно оптимальное управление Utxu ),( задачи (1)–(9). Доказательство. Пусть }{ lu — минимизирующая последовательность для (9). Выделим из последовательностей ),,,(),( ll utxftxf  ),,(),( liil utsts  )2,1( i слабо сходящиеся подпоследовательности ),,(ˆ),( txftxf pl  ).,(ˆ),( tsts iilp  Поскольку множества F, i )2,1( i слабозамкнутые, то существует оптималь- ное управление ,ˆ Uu  такое что ),ˆ,,(),(ˆ utxftxf  ).ˆ,,(),(ˆ utsts ii  Из оцен- ки (31) следует, что последовательности решений }{ ly задачи (1)–(3), соответ- ствующие значениям },{ lf },{ il ограничены в пространстве ).(1 2 TQV Из }{ ly можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность }{ ply к некоторой функции }.ˆ{y В то же время элементы подпоследовательности }{ ply являются обобщенными решениями задачи (1)–(3), т.е. удовлетворяют (24) при ,),( plftxf  ).,(),( tsts pil Переходя в (24) к пределу при ,pl получаем, что }ˆ{y — обобщенное решение (1)–(3) при ),,(ˆ),( txftxf  ).,(ˆ),( tsts ii  Тогда из сла- бой полунепрерывности функционала )(yJ следует, что Uuˆ — оптимальное управление задачи (1)–(9). Теорема 4 доказана. Замечание 2. Для практического использования результатов теоремы 4 в ком- пьютеризированных СППР условие ограниченности и слабозамкнутости множеств F, i )2,1( i в пространствах ),(1,2 TQL )(1,2 iTSL можно заменить более силь- ным условием компактности этих множеств в )( TQC и )( iTSC соответственно. Это следует из теорем компактного вложения пространства )(1 2 TQW в простран- ство абсолютно непрерывных функций [3]. В то же время условия компактности множеств F, i можно заменить условиями для U : если функции ),,,( utxf ),,,(1 uts ),,(2 uts непрерывно зависят от управления ),( txu и множество Uu компактно в ),( TQC то теорема 4 будет справедливой. Это следует из тео- рем о непрерывных отображениях компактных пространств [19]. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 85 Численное моделирование оптимального управления динамикой грунтовых вод Методы численного моделирования позволяют исследовать оптимальные режи- мы управления процессом подтопления территорий. Для тестового примера рассмот- рим случай, когда от управления зависит только функция источника ).,,(3 utxf Для двумерной области }2,1,0),,({ 21  iLxxxxx ii с 40001 L м, 40002 L м рассмотрим задачу (1)–(9): ),,,(),(),())),(),((( 321 2 1 10 utxftxftxfyytxtxy ii x i xiit   (37)       ];3500,2900[],,0[если, ];4000,3500[]2900,0[],,0[если, ),( 2111 2110 0 xLx xLx txi ,01 i (38)       ];,[если,0 ];,0[если)),/1(sin( ),( 1 1 TTt TtTtc txf       ];,[если, ];,0[если,0 ),( 2 2 TTtc Tt txf (39)          ;,если,0 ;,если),,( ),,( 2211 22113 3 kk kk xxxx xxxxtxuc utxf (40) ,1 1 11 q x y S           ]},3400,3000[,0),{( 212111  xxxxS (41) ,2 1 12 q x y S           ]},3400,3000[,),{( 2112112  xLxxxS (42) ]},,0[},,0{),{( ),(\,0 22112114 12111413 1 13 LxLxxxS SSSS x y S            (43) ,0 15 2           S x y }},,0{],,0[),{( 22112115 LxLxxxS  (44) .)0,,( 021  hxxy (45) Таблица 1c 2c 3c 0 1 0 1q 2q  0h 0,5 0,015 0,9 0,05 0,1 0,2 0,003 0,004 2,0 Введем два критерия качества управления — полунепрерывные снизу функци- оналы ),,,(1 tuyJ :),(2 uyJ ,)),()(ˆ()),()(ˆ(),,( 2 1    dxtxyxytxyxytuyJ (46) ,)),()(ˆ()),()(ˆ(),( 2 2   TQ dtdxtxyxytxyxyuyJ (47) где ),()(ˆ txyty  — заданное распределение предкритического уровня грунто- вых вод, )(x — функция Хевисайда. В случае ),()(ˆ txyxy  функция Хевисайда ,0)),()(ˆ(  txyxy подынтегральные выражения обращаются в ноль. Критерии (46), (47) отличны от нуля только в моменты превышения уровнем подземных 86 ISSN 0572-2691 грунтовых вод заданного предкритического уровня )(ˆ ty . Критерий (46) использу- ется для анализа поведения уровня грунтовых вод во времени при моделировании процесса, а критерий (47) — для вычисления функции оптимального управле- ния (52). При численном исследовании задачи (37)–(45) будем предполагать вы- полнение условий теорем 3, 4. Поскольку уравнение (37) двумерное, для его численного решения методом конечных разностей применим интегро-интерполяционный метод [12] совмест- но с явной трехслойной разностной схемой для квазилинейных параболических уравнений. Схемы данного типа достаточно простые и эффективные в модели- ровании многомерных процессов, хотя и накладывают жесткие ограничения на шаг по времени. Примеры эффективного использования подобных схем для многомерных систем квазилинейных уравнений параболического типа и мно- гомерных нелинейных уравнений гидротермодинамики приводятся в [4, 20]. Введем в рассматриваемой области равномерную разностную сетку  21hh = }.2,1,0,0,,),,{( 21 21  kMjIijthixtxx kkjkkikjii k Применение ин- тегро-интерполяционного метода для начально-краевой задачи (37)–(45) связано с необходимостью корректной аппроксимации разрывных коэффициентов задачи, в результате получаем редукцию исходной дифференциальной задачи к сглажен- ной разностной задаче. Пусть ,y  yy ˆ, — значения функции y в моменты времени ,1jt ,jt 1jt соответственно. Для уравнения (37) рассмотрим условно- монотонную явную трехслойную схему второго порядка точности c использова- нием сглаживающего оператора из схемы Дюфорта и Франкела [12]:   2 115,0115,01 /))(ˆ)(ˆ()2/()ˆ( 2121212121212121 hyyayyayy iiiiiiiiiiiiiiii    2 215,0215,02 /))(ˆ)(ˆ( 212121212121 hyyayya iiiiiiiiiiii ,ˆ)2ˆ)(/1/1( 21212121 2 2 2 10 yiiiiiiii fyyyhh   (48) где ),,(ˆ yaa kklm 21 ˆ iif — шаблонные функционалы [12], обеспечивающие второй порядок точности ),( 2 2 2 1 hhO  )2ˆ)(/1/1( 212121 2 2 2 10 iiiiii yyyhhy   — сгла- живающий оператор, имеющий порядок малости , 1 22             n s shO 0 — константа из (7). Схема (48) обладает условной аппроксимацией и имеет погрешность                      2 1 22 2 1 2 2 1 22 s s s s s s hOhhO при . 2 1 2           s shO Используя (48), запишем окончательно разностную схему для задачи (37)–(45):    2 115,01 2 2 2 10 12 2 2 10 /ˆ2))(21(())(21(ˆ 21212121 hyayhhhhy iiiiiiii    2 215,02 2 215.02 2 115,01 /ˆ2/ˆ2/ˆ2 212121212121 hyahyahya iiiiiiiiiiii    2 15,015,01 2 2 2 10 /)ˆˆ()(2(2 2121 haahh iiii ),ˆ2)/)ˆˆ( 21212121 2 25,015,01 iiiiiiii fyhaa   (49) ,ˆ)0,,( 2121 iixxy  ,ˆˆ 21221 2 iiSiiy  ,ˆˆ 21121 1 iikSii hy  (50) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 87 где ,ˆ 21ii ,ˆ 211 ii 212ˆ ii — шаблонные функционалы [12], обеспечивающие первый порядок точности ),( 21 hhO  21 ˆ iiy — приращение функции на границе области. Так как начальное значение функции ,0 21  ii значение параметра  5,00 ),ˆˆ( 2121 5,015,01 iiii aa   ),ˆˆ(5,0 5,015,010 2121   iiii aa то для того чтобы схема (49), (50) формально удовлетворяла разностной теореме принципа максимума из [12], достаточно наложить следующие ограничения на параметр : ./)(5,0 0 2 2 2 1   hh (51) Условие (51) гарантирует неотрицательность и ограниченность сверху реше- ния ,ˆ 21iiy т.е. решение остается ограниченным в течение любого ограниченного промежутка времени. Монотонность разностных схем является важным параметром при моделировании широкого класса физических процессов и часто применяется в практических расчетах [14–16, 20, 21]. Для трехслойных разностных схем необхо- димо также задать дополнительное условие в начальный момент времени. Для рассматриваемого класса систем корректным дополнительным условием будет .0 0  tty Рассмотрим модель оптимального управления для задачи (37)–(45) со следу- ющими параметрами. Единственное решение задачи (35) определяется как управ- ление с минимальной нормой на множестве оптимальных управлений :U ),,(minarg),( 2 uyJtxu Uu   , Uu (52) .minarg )(2 TQL U uu   (53) Согласно замечанию 1 к теореме 4 решение задачи (52), (53) можно искать на классе кусочно-постоянных ограниченных функций (компакте) следующего вида: ,)()()( 1 1    m j jjj ttttutu (54) где }{ ju — набор ограниченных коэффициентов ),(0( 0 tuu jj   3,0)(0 tu j )005,0 t на интервалах ],,[ 1 jj tt  )(t — функция Хевисайда. В этом случае за- дача на минимум функционала (52) сводится к задаче на минимум функции не- скольких переменных ).,,( 12 muuJ  Результаты решения задачи оптимального управления (52), (53) на множестве функций управления вида (54) для начально- краевой задачи (37)–(45) с помощью разностной схемы (49), (50) для параметров из таблицы приведены на рис. 2, 3. На рис. 2 показаны изолинии уровня грунто- вых вод для максимального значения функционала качества ).,,(max 11 tuyJJ t  На рис. 3 изображен график функционала 4 1 10),,( tuyJ для оптимального ми- нимального значения функционала ),(2 uyJ и соответствующий график функции оптимального управления ).(tu 88 ISSN 0572-2691 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 y (x1, x2, t) )(ˆ ty 1 5 9 13 t 17 21 25 29 33 37 41 45 Рис. 2 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 J1 (y, u, t)10 4 1 4 7 10 t 13 16 19 22 25 28 31 34 0,00 0,05 u (t) 37 40 43 46 Рис. 3 Из тестовых расчетов следует, что разработанный численный алгоритм ре- шения задачи (37)–(45), (52), (53) позволяет получить в режиме реального време- ни физически корректные значения глубины залегания грунтовых вод для выде- ленной ограниченной области. На рис. 2 показаны изолинии уровней грунтовых вод, соответствующие процессу подтопления территории за счет достаточно вы- сокого первоначального уровня вод и выпадения большого количества осадков. Оптимальная функция управления (см. рис. 3) на начальном этапе выходит на максимальные граничные значения )(0 jj tuu  и не допускает поднятия уровня грунтовых вод выше критического ).,( txy Этот сценарий соответствует первому уровню двухуровневой системы управления. Полученные теоретические резуль- таты и разработанные численные алгоритмы могут использоваться в прикладных СППР по оптимальному управлению процессами подтопления территорий [18]. Акіменко В.В., Митрохін С.О. МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ НЕЛІНІЙНИМ ПРОЦЕСОМ ФІЛЬТРАЦІЇ ДЛЯ ЗАДАЧІ ПІДТОПЛЕННЯ ТЕРИТОРІЙ Розглянуто модель оптимального керування процесом підтоплення обмежених територій ґрунтовими водами на основі початково-крайової задачі для квазілі- нійного рівняння параболічного типу. Для початково-крайової задачі доведено принцип максимуму, достатні умови існування та єдиності узагальненого розв’язку, отримано достатні умови існування оптимального керування даною системою. Побудовано чисельний алгоритм розв’язку задачі оптимального ке- рування та наведено чисельні розрахунки для модельного прикладу. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 89 Akimenko V.V., Mitrokhin S.A. THE MODEL OF OPTIMAL CONTROL OF NONLINEAR FILTRATION PROCESS FOR THE PROBLEM OF TERRITORIES UNDERFLOODING The model of optimal control of the process of underflooding bounded territories with subsoil waters on the basis of initial boundary value problem for the quasilinear parabolic equation is considered. For the initial boundary value problem the maxi- mum principle, sufficient conditions of existence and uniqueness of generalized solu- tion are proved and sufficient conditions of existence of optimal control of the given system are obtained. The numerical algorithm for the problem of optimal control is considered and numerical result is obtained for a model sample. 1. Рекомендации по методике оценки и прогноза гидрогеологических условий при подтопле- нии городских территорий. — М. : Стройиздат, 1983. — 284 с. 2. Рекомендации по прогнозам подтопления промышленных площадок грунтовыми вода- ми. — М. : ВНИИ ВОДГЕО, 1976. — 324 c. 3. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравне- ния параболического типа. — М. : Наука, 1967. — 736 с. 4. Акименко В.В., Сугоняк И.И. Нелинейное моделирование многомерного процесса диффу- зии инноваций на основе метода расщепления // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 4. — С. 120–133. 5. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. — М. : Наука, 1987. — 478 c. 6. Еленин Г.Г., Курдюмов С.П., Самарский А.А. Нестационарные диссипативные структуры в нелинейной теплопроводной среде // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1983. — 23, № 2. — C. 380–390. 7. Курдюмов С.П., Куркина Е.С. Тепловые структуры в среде с нелинейной теплопровод- ностью / Новое в синергетике. Новая реальность, новые проблемы, новое поколение. — М. : Наука, 2007. — 383 с. 8. Menaldi J.L., Rofman E., Sulem A. Optimal control and partial differential equations — innova- tions & applications. — Amsterdam : IOS Press, 2001. — 600 p. 9. Kunisch K., Leugering G., Sprekels J., Troltzsch F. Control of coupled partial differential equa- tions. Intern. Ser. of Numer. Mathemat. — Berlin : Springer, Birkhauser, 2007. — 155. — 382 p. 10. Акименко В.В., Наконечный А.Г. Модели оптимального управления процессами межрегио- нальной миграции в условиях рисков // Кибернетика и системный анализ. — 2006. — № 3. — С. 107–122. 11. Акименко В.В., Наконечный А.Г., Трофимчук О.Ю. Модель оптимального управления для системы интегро-дифференциальных уравнений с вырождающейся параболичностью // Там же. — 2007. — № 6. — С. 90–102. 12. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1989. — 616 c. 13. Акименко В.В. Принцип максимума и нелинейные монотонные схемы для уравнений парабо- лического типа // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1999. — 39, № 4. — С. 618–629. 14. Horvath R. Sufficient conditions of the discrete maximum-minimum principle for parabolic prob- lems on rectangular meshes. // Comput. and Mathemat. with Appl. — 2008. — 55 (10). — P. 2306–2317. 15. Borisov V.S., Sorek S. On monotonicity of difference schemes for computational physics // J. of Scient. Comput. — 2004. — N 25 (5). — P. 1557–1584. 16. Balsara D.S., Shu C.-W. Monotonicity preserving weighted essentially non-oscillatory schemes with increasingly high order of accuracy // J. of Comput. Physics. — 2000. — 160 (2). — P. 405–452. 17. Сергиенко И.В., Шило В.П. Задачи дискретной оптимизации. — Киев : Наук. думка, 2003. — 263 с. 18. Акименко В.В., Митрохин С.А. Компьютеризированная система оценки, прогнозирования и управления процессом подтопления территорий // Кибернетика и вычисл. техника. — 2003. — Вып. 140. — С. 85–94. 19. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М. : Наука, 1989. — 624 с. 20. Акименко В.В., Черемных О.К. Моделирование вихревых течений на фоне двумерного про- цесса конвективного тепломассобмена // Проблемы управления и информатики. — 2004. — № 2. — С. 64–80. 21. Harten A., Engquist B., Osher S., Chakravarthy S.R. Uniformly high order accurate essentially non-oscillatory schemes. III // J. of Comput. Physics. — 1987. — 71 (2). — P. 231–303. Получено 22.02.2010 После доработки 25.03.2010 http://www.scopus.com/search/submit/author.url?author=Horva%cc%81th%2c+R.&origin=resultslist&authorId=8297550500&src=s http://www.scopus.com/search/submit/author.url?author=Borisov%2c+V.S.&authorId=7202734143&origin=recordpage http://www.scopus.com/search/submit/author.url?author=Sorek%2c+S.&authorId=7006490179&origin=recordpage
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210748
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2026-03-20T07:05:20Z
publishDate	2010
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Акименко, В.В. Митрохин, С.А. 2025-12-17T11:45:37Z 2010 Модель оптимального управления нелинейным процессом фильтрации для задачи подтопления территорий / В.В. Акименко, С.А. Митрохин // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 4. — С. 73-89. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210748 532.516 10.1615/JAutomatInfScien.v42.i8.80 Розглянуто модель оптимального керування процесом підтоплення обмежених територій ґрунтовими водами на основі початково-крайової задачі для квазілінійного рівняння параболічного типу. Для початково-крайової задачі доведено принцип максимуму, достатні умови існування та єдиності узагальненого розв’язку, отримано достатні умови існування оптимального керування даною системою. Побудовано чисельний алгоритм розв’язку задачі оптимального керування та наведено чисельні розрахунки для модельного прикладу The model of optimal control of the process of underflooding bounded territories with subsoil waters on the basis of initial boundary value problem for the quasilinear parabolic equation is considered. For the initial boundary value problem the maximum principle, sufficient conditions of existence and uniqueness of generalized solution are proved and sufficient conditions of existence of optimal control of the given system are obtained. The numerical algorithm for the problem of optimal control is considered and numerical result is obtained for a model sample. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Модель оптимального управления нелинейным процессом фильтрации для задачи подтопления территорий Модель оптимального керування нелінійним процесом фільтрації для задачі підтоплення територій The model of optimal control of nonlinear filtration process for the problem of territories underflooding Article published earlier
spellingShingle	Модель оптимального управления нелинейным процессом фильтрации для задачи подтопления территорий Акименко, В.В. Митрохин, С.А. Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
title	Модель оптимального управления нелинейным процессом фильтрации для задачи подтопления территорий
title_alt	Модель оптимального керування нелінійним процесом фільтрації для задачі підтоплення територій The model of optimal control of nonlinear filtration process for the problem of territories underflooding
title_full	Модель оптимального управления нелинейным процессом фильтрации для задачи подтопления территорий
title_fullStr	Модель оптимального управления нелинейным процессом фильтрации для задачи подтопления территорий
title_full_unstemmed	Модель оптимального управления нелинейным процессом фильтрации для задачи подтопления территорий
title_short	Модель оптимального управления нелинейным процессом фильтрации для задачи подтопления территорий
title_sort	модель оптимального управления нелинейным процессом фильтрации для задачи подтопления территорий
topic	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
topic_facet	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210748
work_keys_str_mv	AT akimenkovv modelʹoptimalʹnogoupravleniânelineinymprocessomfilʹtraciidlâzadačipodtopleniâterritorii AT mitrohinsa modelʹoptimalʹnogoupravleniânelineinymprocessomfilʹtraciidlâzadačipodtopleniâterritorii AT akimenkovv modelʹoptimalʹnogokeruvannânelíníinimprocesomfílʹtracíídlâzadačípídtoplennâteritoríi AT mitrohinsa modelʹoptimalʹnogokeruvannânelíníinimprocesomfílʹtracíídlâzadačípídtoplennâteritoríi AT akimenkovv themodelofoptimalcontrolofnonlinearfiltrationprocessfortheproblemofterritoriesunderflooding AT mitrohinsa themodelofoptimalcontrolofnonlinearfiltrationprocessfortheproblemofterritoriesunderflooding

Модель оптимального управления нелинейным процессом фильтрации для задачи подтопления территорий

Репозитарії

Схожі ресурси