Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составной полой сферы
Розглянуто питання побудови явних виразів градієнтів функціоналів-нев’язок для ідентифікації градієнтними методами параметрів задач осесиметричного динамічного деформування складеної порожнистої сфери. Questions of building of functionals-residuals gradients explicit expressions for identification o...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210757 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составной полой сферы / И.В. Сергиенк, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 4. — С. 5-30. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859987934574280704 |
|---|---|
| author | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. |
| author_facet | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. |
| citation_txt | Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составной полой сферы / И.В. Сергиенк, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 4. — С. 5-30. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглянуто питання побудови явних виразів градієнтів функціоналів-нев’язок для ідентифікації градієнтними методами параметрів задач осесиметричного динамічного деформування складеної порожнистої сфери.
Questions of building of functionals-residuals gradients explicit expressions for identification of parameters of axisymmetrical dynamical deformation of compound sphere problems by means of gradient methods are considered.
|
| first_indexed | 2026-03-18T08:07:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
© И.В. СЕРГИЕНКО, В.С. ДЕЙНЕКА, 2010
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 5
МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 539.3:519.6
И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ДЛЯ СОСТАВНОЙ ПОЛОЙ СФЕРЫ
В работах [15] на основании результатов теории оптимального управле-
ния [6, 7] рассмотрены вопросы построения явных выражений градиентов функци-
оналов-невязок для идентификации градиентными методами О.М. Алифанова [8]
параметров задач: динамических прогибов составной тонкой пластины, гипербо-
лических многокомпонентных распределенных систем, динамического упругого
деформирования многокомпонентных тел, динамического упругого деформирова-
ния составного цилиндра, термоупругого деформирования составных тел и др.
В данной статье аналогичные вопросы рассмотрены для задач осесимметрич-
ного динамического деформирования составной полой сферы.
1. Идентификация напряженно-деформированного состояния по извест-
ным смещениям. Рассмотрим полую изотропную сферу. С учетом симметрии
и принципа Даламбера, следуя [9, 10], ее напряженно-деформированное состоя-
ние (НДС) описывается уравнением равновесия
),,0(),,(,
2
212
2
Ttrrr
rrt
у rr
(1)
где 0const, 21 rr радиусы соответственно внутренней и внешней поверх-
ностей полой сферы, r радиальная координата сферической системы координат
(r, ), плотность; ,r , компоненты тензора напряжений:
,)2()(
,)2()(
,)2()(
r
r
rrr
y
y
y
(1)
r
y
r
y
r
y
r
,, компоненты тензора деформаций.
Равенство (1) с учетом (1) принимает вид
,),(,2)2( 2
2
2
2
Ttry
r
y
r
rt
у
r
(2)
где )(ryy радиальное смещение точки с координатой ,r ),,0( TT
).,( 21 rr
6 ISSN 0572-2691
Пусть на внутренней и внешней поверхностях сферы заданы напряжения
),,0(,2,1,)( Ttipу irrr
i
(3)
где 1p считаем неизвестным, а )(22 tрр известно.
При 0t имеем начальные условия
.,, 10
rу
t
у
уу (4)
Считаем, что на внешней поверхности сферы известны смещения, т.е.
).,0(),(),( 02 Tttftry (5)
Получена задача (2)–(5), состоящая в определении элемента )()( 1 tptuu
]),,0([ TCU при котором решение ),;()( truyuyy начально-краевой за-
дачи (2)–(4) удовлетворяет равенству (5).
Вместо классического решения начально-краевой задачи (2)–(4) используем
ее обобщенное решение. Для этого домножим обе части равенства (2) на произ-
вольную функцию )()( 1
20 WVrzz и результат проинтегрируем по . С уче-
том ограничений (3) получим
),,0(),;(),(,
2
2
2 Ttzulzуaz
t
у
r
(6)
где ,),(
2
1
r
r
dr
,)2(22)2(),(
2
1
2 dr
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
rzya
r
r
.)()();( 22
2
21
2
1 rzprruzrzul
На основании (4) имеем
).,()0(,
),,()0)(,(
1
22
0
22
zуrz
t
у
r
zуrzуr
(7)
Определение 1. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением
начально-краевой задачи (2)–(4) называется функция ),;()( truyuуу
),,0( TW которая 0Vz удовлетворяет равенствам (6), (7), где
.))(;,0(,)),(;,0(:),(),0( 2
2
2
2
1
2
2
LTL
t
v
t
v
WTLvtrvTW
Следуя [6], легко установить справедливость утверждения.
Теорема 1. При каждом фиксированном Uu начально-краевая задача (2)(4)
имеет единственное обобщенное решение.
Функционал-невязку запишем в виде
.)),;((
2
1
)(
0
2
02 dtftruyuJ
T
(8)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 7
Тем самым получена задача (6)–(8), состоящая в нахождении элемента u, ми-
нимизирующего на U функционал (8) при ограничениях (6), (7). Эту задачу будем
решать приближенно с помощью градиентных методов [8], где )1( n -е прибли-
жение 1nu решения Uu находим по формуле
,,...,1,0,1
nnpuu nnnn (9)
начиная с некоторого начального приближения ,0 Uu а направление спуска np
и коэффициент n определим, используя выражения:
для метода минимальных ошибок
;,
2
2
n
n
u
n
nun
J
e
Jp
(10)
для метода скорейшего спуска
;,
2
2
n
n
n
u
u
nun
JA
J
Jp
(11)
для метода сопряженных градиентов
,
),(
,,0,
22
2
01
1 n
nu
n
u
u
nnnun
Ap
pJ
J
J
pJp n
n
n
n
(12)
где
nuJ — градиент функционала (8) в точке ,nuu ,0fAue nn nAu
).,;( 2 truy n
Введем обозначения
,))0()(),0(()(
,))0()(),0()((),(
2
2
0 L
L
уvууfvL
уvууuуvu
(13)
где .),(,)(
0
2
dtАvvy
T
L
Так как
,))0(),0(()(2),()(2
200 LуfуfvLvvvJ
то
)(),(
)())((
lim
0
uvLuvu
uJuvuJ
.,))()(,)((
20 uvJиуvуfuу
nuL (14)
Следуя [15], для каждого приближения nu решения Uu задачи (6)–(8)
введем в рассмотрение следующую сопряженную задачу:
,),(,2)2( 2
2
2
2
Ttr
r
r
rt
r
),,0(),),;((
1
)(
),,0(,0)(
022
2
2
1
Ttftruy
r
Tt
nrrr
rrr
(15)
.,0
r
t Tt
Tt
8 ISSN 0572-2691
Определение 2. Обобщенным решением начально-краевой задачи (15) назы-
вается функция ),,0(),( TWtr которая 0Vz удовлетворяет тождествам
,0)(,,0)(),(
),,0(),;)((),(,
22
2
2
2
Tz
t
rTzr
Ttzuуlzaz
t
r n
(16)
где ).()),;(());(( 202 rzftruyzuyl nn
Выберем в качестве функции z тождеств (16) разность ).()( 1 nn uyuy
С учетом (6), (7), (14) имеем
T
nnLnnnnu dtuyuy
t
ruyuyfuyuJ
n
0
12
2
2
10 )()(,))()(,)((,
2
dt
t
uyuy
rdtuyuya
T
nn
T
nn
0
2
1
2
2
0
1 ,
))()((
))()(,(
,),()),()(( 1
0
2
1
0
1 dttrurdtuyuya
T
n
T
nn
т.е.
.),(, 1
0
2
1 dttruruJ
T
nnun
(16)
Следовательно,
,~
nun
J (17)
где .~),,(~
0
22
1
2
1 dtJtrr
T
nun n
Наличие градиента
nuJ позволяет использовать градиентные методы (9) для
определения )1( n -го приближения 1nu решения Uu задачи (6)–(8).
Замечание 1. Если предположим, что
),()(
1
ttuu i
m
i
im
(18)
где m
ii t 1)}({ система линейно независимых функций, то на основании (16)
получаем
.)~(,),(~,}~{~,~
1
22
1
0
2
11
m
i
i
nui
T
i
n
m
i
i
nnnu nn
JdttrrJ
2. Идентификация НДС по известным смещениям внутренней точки тела.
Пусть на области T определено уравнение (2). На внешней поверхности сферы
известно напряжение
).,0(,, 22 Ttrrpr (19)
На внутренней поверхности напряжение считаем неизвестным
.),0(,, 1 Ttrrur (20)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 9
При t 0 заданы начальные условия (4). Предполагаем, что во внутренней
точке 1d известно смещение
).,0(),(),( 11 Tttftdy (21)
Получена задача (2), (4), (19)–(21), состоящая в определении функции ,Uu
при которой классическое решение ),;( truy начально-краевой задачи (2), (4),
(19), (20) удовлетворяет равенству (21).
Функционал-невязка имеет вид
.))(),;((
2
1
)(
0
2
11
T
dttftduyuJ (22)
Вместо классического решения начально-краевой задачи (2), (4), (19), (20)
будем использовать ее обобщенное решение, т.е. решение задачи (6), (7).
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (6), (7), (22) введем в
рассмотрение следующую сопряженную задачу:
,),(,2)2( 2
2
2
2
Tdtr
r
r
rt
r
),,0(,)),(),;((
1
)]([,0][
),,0(,0)(,0)(
1112
1
21
Ttdrtftduy
d
Tt
nr
rrrrrr
(23)
,,0,0
r
t Tt
Tt
где ,2)2()(
rr
r
),,0( ТddТ
),,(),( 2111 rddrd ][
,][
1
d
).,0( 1 td
Вместо классического решения начально-краевой задачи (23) будем исполь-
зовать ее обобщенное решение.
Определение 3. Обобщенным решением начально-краевой задачи (23) назы-
вается функция ,),( dWtr которая
0
)( dVrzz удовлетворяет тождествам
,0)(,,0)(),(
),,0(),;)((),(,
22
2
2
2
Tz
t
rTzr
Ttzuуlzaz
t
r n
(24)
где
,))(;,0(,,0][),;,0(:),(),0( 2
2
2
2
2
1
LTL
t
v
t
v
vVTLvtrvTW ddd
)},,0(,2,1),(:),({ 1
2 TtiWvtrvV id
i
).()),;(());(( 111 dzftduyzuyl nn
Следуя [6], легко показать существование и единственность решения за-
дачи (24).
10 ISSN 0572-2691
Выбирая в тождестве (24) вместо функции z разность ),()( 1 nn иyиy с уче-
том (6), (7) получаем
.),()),;(),;()(),;(( 1
0
2
1
0
11111 dttrurdttduytduyftduy
T
n
T
nnn
Следовательно,
,~
nun
J (25)
где .~),,(~
0
22
1
2
1
T
nun dtJtrr
n
Замечание 2. Если кроме условия (21) также задано условие (5), то функцио-
нал-невязка имеет вид
,,)),;((
2
1
)( 20
1
0 0
2 rddtftduyuJ
i
T
ii
а при определении сопряженной задачи (23) вместо ограничений, заданных в точ-
ках ,, 21 rr необходимо задать
.),0(),),;((
1
)(,0)( 022
2
21
Ttftruy
r
nrrrrrr
В этом случае градиент
nuJ также определяется выражением (25).
3. Идентификация начального состояния. Пусть на области T определе-
но уравнение равновесия (2). На внешней и внутренней поверхностях сферы зада-
ны напряжения
).,0(2,1,)( Ttipу irrr
i
(26)
При t 0 заданы начальные условия
.,)(),( 2
0
10
rru
t
у
ruу
t
t
(27)
В N точках ,,1, Nidi известны смещения, заданные равенствами
.),0(,,1),(),( TtNitftdy ii (28)
Функционал-невязка имеет вид
.))(),;((
2
1
)(
1 0
2
N
i
T
ii dttftduyuJ (29)
При каждом фиксированном )()())(),(( 1
221 CWruruu U вместо
классического решения начально-краевой задачи (2), (26), (27) будем использо-
вать ее обобщенное решение.
Определение 4. При фиксированном Uu обобщенным решением начально-
краевой задачи (2), (26), (27) называется функция ),0()( ТWuy , которая 0Vz
удовлетворяет равенствам
),,0(),()(),(, 22
2
211
2
12
2
2 Ttrzprrzprzуaz
t
у
r
(30)
,),()0(,),,()0(),( 2
22
1
22 zurz
t
y
rzurzyr
(31)
где множества W(0,T), 0V определены в разд. 1.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 11
На основании задачи (2), (26), (27) или задачи (30), (31) для приращения
y решения у(и) задачи (2), (26), (27), соответствующего приращению u
элемента ,Uu получаем задачу определения функции ),,0( ТW которая
0Vz удовлетворяет тождествам
.),()0(,,),()0(),(
),,0(,0),(,
2
22
1
22
2
2
2
zurz
t
rzurzr
Ttzaz
t
r
(32)
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (29)–(31) сопряженная
задача имеет вид
,),(,2)2( 2
2
2
2
Tdtr
r
r
rt
r
),,0(,,1),),;((
1
)]([,0][
),,0(,2,1,0)(
2
TtNiftduy
d
Tti
iin
i
drd
rrr
ii
i
(33)
,,0,0
r
t Tt
Tt
где .,),,(,),,0( 21101
0
rdrdddТ Niiii
N
i
dddТ
Определение 5. Обобщенным решением начально-краевой задачи (33) назы-
вается функция ),,0( TWd которая
0dVz удовлетворяет системе тождеств
,0)(,,0))(,(
),,0(),);((),(,
22
2
2
2
Тz
t
rТzr
Ttzuylzaz
t
r n
(34)
где
,)()),;(());((
1
N
i
iiinn dzftduyzuyl
)),(;,0(,),;,0(:),(),0( 2
2
2
2
2
LTL
t
v
t
v
VTLvtrvTW dd
,),0(,,1,0][
TtNiv
id
)}.,0(,,0),(:),({ 1
2 TtNiWvtrvV id
i
Выбирая в тождествах (34) вместо функции z разность ),()( 1 nn иyиy с уче-
том (32) получаем
dttduytduyftduyuJ
N
i
T
ininiinnun
1 0
1 )),;(),;()(),;((,
12 ISSN 0572-2691
dtuyuyadtuyuy
t
r
T
nn
T
nn
0
1
0
12
2
2 ))()(,()()(,
T
nn
T
nn
t
uyuy
ruyuy
t
r
0
12
0
1
2 ))()((
,)()(,
dtuyuyadtuyuy
t
r
T
nn
T
nn
0
1
0
12
2
2 )),()(()),()((
),0(),()0(, 2
2
1
2
nn uru
t
r
т.е.
).0(),()0(,, 2
2
1
2
nnnu uru
t
ruJ
n
(35)
Следовательно,
,~
nun
J
где .)~(,~,~,}~{~
2
1
22
0
22
0
212
1 drJr
r
r
i
i
пutn
t
ni
i
nп n
Замечание 3. Если
),()(),()( 2
1
2
22
1
1
1
11
21
rruurruu i
m
i
imi
m
i
im
то на основании (35) имеем ,~
nun
J где ,2,1,}~{~,}~{~
1
2
1 llm
i
l
ni
l
ni
i
nn
.)~(),0(),(~),0(,~
2
1 1
22222121
l
m
i
l
niuiniini
l
n
Jr
t
r
4. Идентификация начальных деформаций, напряжений. Следуя [11],
имеем
,)( 00 D (36)
где векторы элементов тензоров напряжений, деформаций; ,0 0
начальные напряжения, деформации; D матрица упругих постоянных.
С учетом (36), симметрии для сферы имеем
,))()(2())(())(()(
,)())()(2())(()(
,))(())(())()(2()(
0
000
0
000
0
000
yууу
ууу
уууу
rr
rr
rrrr
(37)
где ).,,(),,,(,)()(,)( 000
00000
rrr
r
y
yy
r
y
y
Векторы ,0 0 считаем неизвестными. Примем ),(1
10 rur ),(1
20 ru
)(1
30 ru , ),(2
1
0 rur ),(2
2
0 ru ).(2
3
0 ru
Уравнение равновесия имеет вид
.),(,
)()()(2)(
2
2
T
rr tr
r
yyy
r
y
t
у
(38)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 13
На внутренней и внешней поверхностях сферы заданы напряжения
).,0(,2,1),()( Ttitpу irrr
i
(39)
При t 0 имеем начальные условия
.,)()0,(),()0,( 10
rryr
t
у
ryry (40)
Предполагаем, что в N точках id известны смещения
.),0(,,1),(),( TtNitftdy ii (41)
Введем обозначения
.,, 000 rrr
Равенство (38), с учетом (37), преобразуем к виду
rrrr
r
t
у
r rr
0
2
2
2
2 )2(
rrrr rr
r
r 2)()2()2224( 2000
)(2)()(2)( 22 rr
r
rr
r
)))2((()( 020002
rrr r
r
rrr
r
).)2(())2(( 00
rr rr (42)
Пусть у у(u; r, t) — классическое решение начально-краевой задачи (38)–(40).
Тогда )()( 1
20 WVrzz справедливы тождества
),,0(),;(),(,
2
2
2 Ttzulzуaz
t
у
r
(43)
),,()0(,,),()0(),( 1
22
0
22 zуrz
t
у
rzуrzуr
(44)
где
,22)2(),(
2
1
2
r
r
dr
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
rzya
r
z
ии
r
z
и
r
z
и
r
z
ии
r
z
иrzиl
r
r
)()2(2)()2();( 1
3
1
2
1
1
2
1
1
3
1
2
1
1
2
2
1
.2,1,}{),,(,)()(
3
121
2
3
2
2
1
2
1
3
iuuuuudr
r
z
ии
r
z
ии j
i
ji
Для допустимого приращения и элемента Uu приращение y реше-
ния у(и) на основании (43), (44) можем определить как решение задачи: найти
функцию ),,0( ТW которая )(1
20 WVz удовлетворяет тождествам
14 ISSN 0572-2691
),,0(),;(),(,
2
2
2 Ttzulzaz
t
r
(45)
,0)0(,,0)0(),( 22
z
t
rzr (46)
где
2
1
1
2
1
1
2 )(22)2();(
r
r
и
r
z
r
z
и
r
z
r
z
rzиl
.)()(2 2
3
2
2
2
1
1
3 dr
r
z
ии
r
z
ии
r
z
r
z
Функционал-невязка имеет вид
.))(),;((
2
1
)(
1 0
2
N
i
T
ii dttftduyuJ (47)
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (43), (44), (47) сопря-
женная задача имеет вид (33) с соответствующей ей обобщенной задачей (34).
Выбирая в тождествах системы (34) вместо функции z разность ),()( 1 nn иyиy
с учетом (45), (46) получаем
dttduytduyftduyuJ
N
i
T
ininiinnun
1 0
1 )),;(),;()(),;((,
T r
r
nn и
rr
и
rr
r
0
1
2
1
1
2
2
1
)(22)2(
.)()(2 2
3
2
2
2
1
1
3 dtdr
r
ии
r
ии
rr
nnnn
(47)
Следовательно,
,~
nun
J
где ,}~{~ 2
1 i
i
nn ,}~{~ 3
1 j
i
nj
i
n ,2,1i ,2)2(~ 21
1
rr
rn 1
2
~
n
,)(22
rr
r ,~ 22
1
r
rn
,~ 2
2 rn ,)(2~ 21
3
rr
rn
,~ 2
3 rn .)~(
2
1
3
1 0
22
2
1
i j
T r
r
i
пju dtdrJ
n
Замечание 4. Если ,3,1,2,1),(
1
jlrи l
ji
m
i
l
ji
l
j
l
j
то на основании (47)
имеем
,2)2(~,}~{~ 1
1
0
21
11
2
1
dtdr
rr
r l
T r
r
l
n
m
l
il
nj
i
nj
i
j
,)(2~ 1
3
0
21
3
2
1
drdt
rr
r l
T r
r
l
n
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 15
,~,)(2~
0
2
1
22
1
1
2
0
21
2
2
1
2
1
dtdr
r
rdtdr
rr
r
T r
r
l
l
nl
T r
r
l
n
.)~(,~~,~
2
1
3
1 1
222
2
2
3
0
2
2
2
2
2
1
i j
m
l
il
пjun
l
n
T r
r
l
l
n
i
j
n
Jdtdrr
Замечание 5. Если u const, то на основании (47) имеем
,)(2~,2)2(~
0
21
2
0
21
1
2
1
2
1
dtdr
rr
rdtdr
rr
r
T r
r
n
T r
r
n
,~,)(2~
0
22
1
0
21
3
2
1
2
1
dtdr
r
rdtdr
rr
r
T r
r
n
T r
r
n
.)~(,~~
2
1
3
1
22
0
2
3
2
2
2
1
i j
i
пju
T r
r
nn n
Jdtdrr
5. Параметрическая идентификация начальных деформаций, напряже-
ний на основе дифференциальной задачи. Рассмотрим задачу (38)–(41). Пусть
.;2,1,3,1),(
1
Rljrи l
ji
l
ji
m
i
l
ji
l
j
l
j
(48)
Для допустимого приращения и элемента u приращение y решения у(и)
на основании (38)–(40) можем определить как решение начально-краевой задачи:
)()()2(
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2 r
r
r
r
r
rt
r
m
i
ii
m
i
ii
)()()(
1
1
2
1
1
3
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
3
1
3 r
r
rrr
r
m
i
ii
m
i
ii
m
i
ii
)()2()(
1
2
1
3
1
1
2
1
2
1
1
3
1
3 r
r
rr
r
r
m
i
ii
m
i
ii
),()()2(
)()()(
2
3
1
3
1
2
1
1
2
2
1
2
3
2
3
1
1
3
1
3
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
rrr
r
r
r
r
rr
r
rrr
m
i
ii
m
i
ii
m
i
ii
m
i
ii
m
i
ii
(48)
)()()2(2)2(
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1 rr
rr
m
i
ii
m
i
ii
),,0(,2,1,),()(
2
1
1
3
1
2
1
2
1
1
1
3
1
3 Ttlrrrr l
m
i
ii
m
i
ii
.,0,0
0
0
r
t t
t
16 ISSN 0572-2691
Определение 6. Обобщенным решением начально-краевой задачи (48) назы-
вается функция ),,0(),( ТWtr которая 0)( Vrz удовлетворяет тождествам
,0)0(,,0)0)(,(
),,0(),;(),(,
22
1
2
2
2
z
t
rzr
Ttzulzaz
t
r
(49)
где
)()()2(2))2(();( 11
1
1
2
1
1
1
1
1
1
21
1
1
1
1 2
1
rzrrdrzrr
r
zul i
m
i
r
r
iii
drzrr
r
rzrr
m
i
r
r
iiii
1
2 2
1
1
1
2
1
2
21
222
1
1
2
2 )(2)()()()2(
1
3 2
1
1
1
3
1
3
21
322
1
2
2
211
1
2
2
1 )(2)()()()()(
m
i
r
r
iiiii dzzrr
r
rzrrrzrr
)()()()( 2
1
2
1
3
2
21
1
1
1
3
2
1
1
3
1
3
rzrrrzrr
m
i
i
m
i
i
)()()()()( 22
2
1
2
211
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
rzrrrzrrdrzr
r
ii
r
r
i
m
i
i
.
2
1
2
3
2
2 2
1
2
3
1
2
3
1
2
2
2
2 zdrrzdrr
r
r
i
m
i
i
m
i
r
r
ii
Следовательно, ,~
пun
J где
,}~{~,}~{~,}~{~
1
3
1
2
1
l
jm
i
li
nj
l
njj
l
nj
l
nl
l
nп
dtdrrr
r
T r
r
ii
i
n
0
1
1
1
1
21
1
2
1
2))2((~
,)),()()2(),()()2(( 22
1
1
2
2
0
11
1
1
2
1 dttrrrtrrr i
T
i
dtdrrr
r
T r
r
ii
i
n
0
1
2
1
2
21
2
2
1
)(2)(~
,)),()(),()(( 22
1
2
2
2
0
11
1
2
2
1 dttrrrtrrr i
T
i
,),()(),()()(~
0
22
2
1
2
2
0
11
2
1
2
1
0
2
1
22
1
2
1
dttrrrdttrrrdtdrr
r
Т
i
T
i
T r
r
i
i
n
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 17
dtdrrr
r
T r
r
ii
i
n
0
1
3
1
3
21
3
2
1
)(2)(~
,)),()(),()(( 22
1
3
2
2
0
11
1
3
2
1 dttrrrtrrr i
T
i
.)~(,3,2,~
2
1
3
1 1
22
0
22
2
1
l j
m
i
li
пju
T r
r
ji
i
nj
l
j
n
Jjdtdrr
6. Идентификация начальных деформаций, напряжений в классе R6 на
основе дифференциальной задачи. Рассмотрим задачу (38)–(41). Пусть Uu
.33 RR Для допустимого приращения и элемента u приращение y на ос-
новании (38)–(40) можем определить как решение начально-краевой задачи:
2
1
1
3
1
2
1
1
2
2
2
2 )2( ии
r
и
r
и
r
r
rt
r
2
2
1
2
1
1
1
3 )2( иrи
r
rи
r
rи
r
r
,),(,)2( 2
3
1
3
1
2
1
1 Ttrиrи
r
rи
r
rи
r
r
(50)
),,0(,2,1,,)2(2)2( 2
1
1
3
1
2
1
1 Ttlrrииии
rr
l
.,0,0
0
0
r
t t
t
Определение 7. Обобщенным решением начально-краевой задачи (50)
называется функция ),,0(),( TWtr которая 0)( Vrz удовлетворяет систе-
ме тождеств
,0)0(,,0)0)(,(
),,0(),;(),(,
22
2
2
2
2
z
t
rzr
Ttzulzaz
t
r
(51)
где
2
1
)()2()()2()2)2(2();( 2
2
21
2
1
1
1
2
r
r
rzrrzrdrzrzruzul
)()())(22( 2
2
21
2
1
1
2
2
1
rzrrzrdrzrzru
r
r
),(),(2)(2( 2
2
21
2
1
1
3
2
1
trzrtrzrdrzrru
r
r
.)()(2
2
1
2
1
2
1
2
3
2
22
2
21
2
1
2
1
r
r
r
r
r
r
drzrudrzrurzrrzrdrzru
18 ISSN 0572-2691
Следовательно, ,~
пun
J где ,}~{~,}~{~ 3
1
2
1 j
i
nj
i
ni
i
nп
,),()2(),()2(4~
0
2
2
2
0
1
2
1
0
1
1
2
1
dttrrdttrrdtdrr
TTT r
r
n
,),(),(2~
0
2
2
2
0
1
2
1
0
1
2
2
1
dttrrdttrrdrdt
TTT r
r
n
,),(),(2~
0
2
2
2
0
1
2
1
0
1
3
2
1
dttrrdttrrdtdrr
TTT r
r
n
,),(),(2~
0
2
2
2
0
1
2
1
0
2
1
2
1
dttrrdttrrdrdtr
TTT r
r
n
.)~(,~~
2
1
3
1
22
0
2
3
2
2
2
1
i j
i
пju
T r
r
nn n
Jdtdrr
7. Восстановление плотности материала. Пусть на области T определено
уравнение равновесия
.2)2( 2
2
2
2
y
r
y
r
rt
у
иr (52)
На внутренней и внешней поверхностях цилиндра заданы напряжения
),,0(,2,1,)( Ttipу irrr
i
(53)
где величина )(yr определена соответствующим выражением (1).
При t 0 заданы начальные условия
.,, 10
rу
t
у
уу (54)
Считаем, что на внешней поверхности цилиндра известны смещения, задан-
ные равенством (5).
Определение 8. При каждом фиксированном ),0( Ru U обобщен-
ным решением начально-краевой задачи (52)–(54) называется функция )(uyy
),,0(),;( TWtruy которая 0)( Vrzz удовлетворяет равенствам
),,0(),(),(,
2
2
2 Ttzlzуaz
t
у
иr
(55)
,,, 1
0
00
ry
t
y
yy
t
t (56)
где множества W(0, T), 0V и билинейная форма ),( a определены в разд. 1,
).()()( 22
2
211
2
1 rzprrzprzl
Функционал-невязка имеет вид (8).
Приращение y решения у у(u), соответствующее приращению u
элемента Uu , пренебрегая членами второго порядка малости, на основании
(52)–(54) можем определить как решение следующей начально-краевой задачи:
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 19
,),(,
)(
2)2(
2
2
22
2
2
2
Ttr
t
uу
ur
r
r
rt
иr
),,0(,2,1,,02)2( Ttirr
rr
i
(57)
.,0,0
0
0
r
t t
t
Определение 9. Обобщенным решением начально-краевой задачи (57) назы-
вается функция ),,0(),( TWtr которая 0)( Vrz удовлетворяет равенствам
,,0
),,0(),;(),(,
0
0
2
2
2
r
t
Ttzulzaz
t
ur
t
t
(58)
где .),();(
2
2
2
zu
t
y
urzul
Для каждого приближения nu решения иU задачи (55), (56), (8) сопряжен-
ная задача имеет вид:
,),(,2)2( 2
2
2
2
Tп tr
r
r
rt
ur
),,0(),),;((
1
2)2(
),,0(,,02)2(
022
2
1
Ttftruy
rrr
Ttrr
rr
n
(59)
.,0
r
t Tt
Tt
Определение 10. Обобщенным решением начально-краевой задачи (59) назы-
вается функция ),,0(),( TWtr которая 0Vz удовлетворяет равенствам
,,0
),,0(),;)((),(,
2
2
2
r
t
Ttzuylzaz
t
ur
Tt
Tt
nп
(60)
где ).()),;(());(( 202 rzftruyzuyl nп
Введем обозначения
,))()(),(()(
,))()(),()((),(
2
2
Lпп
Lпп
иуvуиуfvL
иуvуиуuуvu
(61)
где .,),(),,;()( 0
0
2 2
ffdttrvyvy
T
L
С учетом (61) имеем
.))0(),0(()(2),()(2
2LуfуfvLvvvJ (62)
20 ISSN 0572-2691
Для каждого приближения 1nu решения Uu задачи (55), (56), (8) опреде-
лим функцию )(~~
1 пиуу как решение следующей начально-краевой задачи:
,),(,
)(~2
~
)2(
~
2
2
2
2
2
2
T
п
пп tr
t
uу
urу
r
у
r
rt
у
иr
),,0(,2,1,,
~
2
~
)2( Ttirrр
r
у
r
у
ii
(63)
.,
~
,~
1
0
00
ry
t
у
yу
t
t
Определение 11. Обобщенным решением начально-краевой задачи (63) назы-
вается функция ,),0(~ TWу которая 0Vz удовлетворяет равенствам
.,
~
,~
),,0(),;()(),~(,
~
1
0
00
2
2
2
ry
t
у
yу
Ttzulzlzуaz
t
у
ur
t
t
nп
(64)
С учетом (8), (61), (62) имеем
.))()(~,)((
)()(
lim,
21
0
Lппп
ппп
nu иуuуfuу
uJuuJ
uJ
n
(65)
На основании (60) с учетом (65), (58) получаем
T
nnпLпппnu dtuyuy
t
urиуuуfuуuJ
n
0
12
2
2
1 )()(~,))()(~,)((,
2
dtuldtuyuya
T
n
T
nn );())()(~,(
00
1
или
.,
)(
,
0
2
2
2
T
n
пnu dt
t
uy
ruuJ
n
(66)
Следовательно, ,~
nun
J где .~,
)(~
0
2
2
2
2
1
nu
T r
r
n
n n
Jdtdr
t
uy
r
Замечание 6. Если },0:)()({)( vCrvCU то на основании (66)
имеем ,~
nun
J где .~,
)(~ 2
0
2
2
2 drJdt
t
uy
r пu
T
n
n n
8. Параметрическая идентификация плотности материала. Пусть кроме
условия (5) имеем
.),0(,,1,),(),( TtNidtftdy iii (67)
Функционал-невязка имеет вид
.,)),;((
2
1
)( 20
0 0
2 rddtftduyuJ
N
i
T
ii
(68)
Справедливы выражения вида (61), (62), (64)–(66), где .)},;({)( 0
N
ii tdvyvy
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 21
На основании (66) можно получить явные выражения приближения градиента
,~
nun
J когда искомый параметр ищется в виде ),()(
1
rruu i
m
i
im
,0mu
где m
ii 1}{ система линейно независимых функций. Имеем ,~
nun
J где
.)~(,,
)(~,}~{~
1
22
2
2
2
0
1
m
i
i
nu
n
i
T
i
n
m
i
i
nn n
Jdt
t
uy
r
Замечание 7. При наличии условий (5), (67) для задачи (55), (56), (68) сопря-
женная задача имеет вид
,),(,2)2( 2
2
2
2
Tdп tr
r
r
rt
ur
),,0(),),;((
1
)(,0)(
),,0(,,1),),;((
1
)]([,0][
022
2
2
21
Ttftruy
r
TtNiftduy
d
nrrrrrr
iin
i
drrdr ii
(69)
.,0
r
t Tt
Tt
Определение 12. Обобщенным решением начально-краевой задачи (69) назы-
вается функция ),,0(),( TWtr d которая
0dVz удовлетворяет равенствам
),,0(),;)((),(,
2
2
2 Ttzuylzaz
t
ur nп
,,0
r
t Tt
Tt
где .)()),;(());((
0
N
i
iiinп dzftduyzuyl
9. Идентификация постоянной Ляме по известному смещению внешней
поверхности сферы. Пусть на области Т определено уравнение
.),(,2)2( 2
2
2
2
Ttry
r
y
r
r
и
t
у
r
(70)
На внешней и внутренней поверхностях сферы заданы напряжения (3), при
t 0 имеем начальные условия (4) и считаем, что на внешней поверхности извест-
ны ее смещения, заданные равенством (5).
Получена задача (70), (3)–(5), состоящая в определении положительного ве-
щественного числа , Ru U при котором решение ),;()( truyuyy задачи
(70), (3), (4) удовлетворяет равенству (5).
Вместо классического решения задачи (70), (3), (4) будем использовать ее
обобщенное решение.
Определение 13. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением
начально-краевой задачи (70), (3), (4) называется функция ),;()( truyuyy
),0( TW , которая Vz удовлетворяет системе тождеств
22 ISSN 0572-2691
,),()0(,,),()0(),(
),,0(),(),;(,
1
2
0
22
2
2
2
zуrz
t
у
rzуrzуr
Ttzlzуиaz
t
у
r
(71)
где множества W(0, T), 0V определены в разд. 1,
,2
2
)2(),;(
2
1
2 dr
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
и
r
z
r
y
r
z
r
y
иrzyиa
r
r
.)()()( 22
2
211
2
1 rzprrzprzl
Задачу (71), (8) будем решать с помощью градиентных методов (9). На осно-
вании (70), (3), (4) для приращения y решения у у(u), соответствующего
приращению u элемента Uu , пренебрегая членами второго порядка малости,
получаем начально-краевую задачу:
,),(,22)2( 22
2
2
2
Ttry
r
у
r
r
u
r
r
r
и
t
r
),,0(,2,1,
2
2)2( Tti
r
у
r
y
u
r
u
r
u
ii rrrr
(72)
.,0
0
0
r
t t
t
Определение 14. Обобщенным решением начально-краевой задачи (72) называ-
ется функция ),,0(),( TWtr которая 0Vz удовлетворяет системе тождеств
,0)0(,,0)0)(,(
),,0(),;(),;(,
22
2
2
2
z
t
rzr
Ttzulzuaz
t
r
(73)
где .)(
2
)1()(2
)(
);( 2
2
1
12
ii
rri
i rrz
r
y
r
y
udrzиy
r
иy
r
r
uzul
i
На каждом шаге итерационного процесса (9) определения )1( n -го приближе-
ния 1nu решения Uu задачи (71), (8) будем полагать ),(~~)( 11 пп иууиу
где у~ решение начально-краевой задачи:
,),(,)(2
)(~2
~
)2(
~
22
2
2
2
Tп
п
пп truу
r
uу
r
r
uу
r
у
r
r
u
t
у
r
),,0(,2,1,
)(
2
)(
~
2
~
)2(
Tti
r
uу
r
uу
uр
r
у
u
r
у
u
i
i
rr
пп
пi
rr
пп
(74)
.,
~
,~
1
0
00
ry
t
у
yу
t
t
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 23
Определение 15. Обобщенным решением начально-краевой задачи (74) назы-
вается функция ),,0(~ TWу которая 0Vz удовлетворяет системе тождеств
),,()0(,
~
,),()0(),~(
),,0(),;()(),~;(,
~
1
22
0
22
2
2
2
zуrz
t
у
rzуrzуr
Ttzulzlzуuaz
t
у
r nп
(75)
где
);( zul п
.)()(
)(
2
)(
)1()(2
)( 2
2
1
12
2
1
ii
nn
i
i
i
r
r
n
n
n rzr
r
иy
r
иy
rdrzиy
r
иy
r
r
u
Пусть .U пп uu Тогда .)1,0( U пп uu С учетом начально-
краевой задачи (74) или соответствующей ей обобщенной задачи (75) имеем
),()()(~)( 0 пппппп uуuуuuуuuу (76)
где )(0 пиу решение задачи (73) при .пuи Поскольку
)),( )(~()( 10 nnn uуuуuу
то )),()(~ ()()( 1 ппппп иуиуиуииу где ).,;(~)(~
211 trиyиу пп
Справедливы выражения вида (61), (62), (65).
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (71), (8) введем в рас-
смотрение следующую сопряженную задачу:
,),(,2)2( 2
2
2
2
Tп tr
r
r
r
u
t
r
),,0(),),;((
1
2)2(
),,0(,02)2(
022
22
1
Ttftruy
rr
u
r
u
Tt
r
u
r
u
n
rr
пп
rr
пп
(77)
.,0
r
t Tt
Tt
Определение 16. Обобщенным решением начально-краевой задачи (77) называ-
ется функция ),,0(),( TWtr которая 0Vz удовлетворяет системе тождеств
.0)(,,0))(,(
),,0(),);(();,(,
22
2
2
2
Tz
t
rTzr
Ttzuylzuaz
t
r nn
(78)
Выбирая в тождествах (78) вместо функции z разность ),()(~
1 nn иyиy с уче-
том (65) получаем
T
nnLпппnu dtuyuy
t
rиуuуfuуuJ
n
0
12
2
2
10 )()(~,))()(~,)((,
2
.);())()(~,;(
00
1 dtzuldtuyuyua
T
n
T
nnn (79)
24 ISSN 0572-2691
На основании (79) с учетом (73) имеем ,~
nun
J где
T
п
п
n dtdrиy
r
иy
r
r
0
2 )(2
)(~
.~,
)(2)(
)1(
0
2
2
1
1
nu
Т
rr
пп
i
i
i
n
i
Jdt
r
иy
r
иy
r
Наличие приближения n~ градиента
nuJ позволяет использовать градиент-
ные методы (9) для определения )1( n -го приближения 1nu решения Uu за-
дачи (71), (8).
10. Параметрическая идентификация постоянной Ляме . Пусть состоя-
ние системы описывается начально-краевой задачей (70), (3), (4), а в точках ,id
,,0 Ni известны смещения, заданные равенствами
),,0(,),( Ttftdy ii (80)
где .,1,,20 Nidrd i
Функционал-невязка имеет вид (68). Полученную задачу (71), (68) будем ре-
шать с помощью градиентных методов (9). Предполагаем, что
,0)()(),(
1
rttruu i
m
i
im (81)
где m
ii r 1)}({ система линейно независимых функций, ]),,0([)( TCti .,1 mi
На основании (79) с учетом (81) получаем
dtdrиy
r
иy
r
r
dtzuluJ ni
n
i
m
i
in
TТ
тnun
)(2
)(
);(, 2
1 00
.
2)(
)1(
2
1 1 0
21 dt
r
y
r
иy
r
lrr
n
l
i
m
i
in
T
l
l
(82)
Следовательно, ,~
nun
J где
,}~{~
1
m
i
i
nn
,
2)(
)1()(2
)(~
2
1
212
l rr
n
il
l
ni
n
i
i
n
l
r
y
r
иy
rdruy
r
uy
r
r
.)~(
0
22
dtJ
T
i
nun
Замечание 8. Если в представлении (81) const,i то на основании (82) по-
лучаем
T
пi
п
i
i
n dtdrиy
r
иy
r
r
0
2 )(2
)(~
,
)(2)(
)1(
0
2
2
1
1 dt
r
иy
r
иy
r
Т
rr
пп
il
l
l
l
.)~(
1
22
m
i
i
nun
J
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 25
11. Идентификация напряженно-деформированного состояния двухслой-
ной сферы по поверхностным перемещениям. Рассмотрим двухслойную полую
изотропную сферу. С учетом симметрии напряженно-деформированное состояние
внутренней и внешней составляющих сферы описывается уравнением равновесия
,),(,)2(2)2(2
2
2
2
Ttr
r
y
r
y
r
rt
y
r
(83)
где ),,0( TT ,21 ),,( 11 r ),,( 22 r ,0 21 rr
21, rr соответственно радиусы внутренней и внешней поверхностей составной
сферы, радиус сферической поверхности контакта этих составляющих.
На внешней поверхности сферы задано напряжение
).,0(,)( 2
2
Ttpу
rrr
(84)
На внутренней поверхности напряжение неизвестно
.),0(,)(
1
Ttиу
rrr
(85)
В точке r условия неидеального контакта расклинивающего давления
имеют вид
),,0(,}{,][ 0 Ttpny r
(86)
где ),,0(}{ t
,][ 0n нормаль к поверхности i со-
ставляющей ,i ,2,1i составной сферы , p величина расклинивающего
давления, ]),0([)( TСt известная непрерывная функция.
При t 0 имеем начальные условия
.,, 10
rу
t
у
уу (87)
Считаем, что на внешней поверхности сферы известны смещения
).,0(),(),( 02 Tttftry (88)
Получена задача (83)–(88), состоящая в определении непрерывной функции
]),,0([)( TCtuu U при которой решение ),;()( truyuyy начально-крае-
вой задачи (83)–(87) удовлетворяет равенству (88).
При каждом фиксированном Uu вместо классического решения начально-
краевой задачи (83)–(87) будем использовать ее обобщенное решение. Для этого
введем в рассмотрение пространство },0][;2,1),(:)({ 1
20
viWvrvV i
i
где
.][][
r
vv
Пусть у классическое решение начально-краевой задачи (83)–(87). После
домножения обеих частей равенства (83) на 0Vz и интегрирования результата
по , с учетом ограничений (84)–(86) имеем
l
rrr zуrzуrzуaz
t
у
r
0
202
2
2
2 )()(),(,
1
),,0(,)()(2)( 22
2
2
2
1
2
1 Ttrzprzpruzr
где .22)2(),(
2
1
2 dr
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
rzya
r
r
26 ISSN 0572-2691
Определение 17. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением
начально-краевой задачи (83)–(87) называется функция
),,0(),;()( ТWtruyuyу которая 0Vz удовлетворяет системе тождеств
),,()0(,,),()0)(,(
),,0(),;(),(,
1
22
0
22
2
2
2
zyrz
t
y
rzyrzyr
Ttzulzуaz
t
у
r
(89)
где
,))(;,0(,:);,0(),0( 2
2
2
2
2
LTL
t
v
t
v
VTLvTW
},),0(,][:),({ TtvVtrvV
r
]},,0[,2,1),(:),({ 1
2 TtiWvtrvV i
i
.)()(2)();( 22
2
2
2
1
2
1 zzprzprzurzul
Следуя [6, 7], легко установить справедливость утверждения.
Теорема 2. При каждом фиксированном Uu решение ),0()( ТWuy зада-
чи (89) существует и единственно.
Функционал-невязка имеет вид
.
2
1
)(
0
2
0 dtfAuuJ
T
(90)
Для приращения y решения у у(и) начально-краевой задачи (83)–(87),
соответствующего приращению u элемента Uu , на основании (83)–(87) полу-
чаем следующую начально-краевую задачу:
,),(,)2(2)2(2
2
2
2
Ttr
rr
r
rt
r
),,0(,,0)}({,0][
),,0(,0)(,)(
21
1
Ttr
Ttи
r
rrrrrr
(91)
,,0
0
0
r
t t
t
где .2)2()(
rr
r
Определение 18. Обобщенным решением начально-краевой задачи (91) называ-
ется функция ),,0(),( 0 TWtr которая 0)( Vrz удовлетворяет системе тождеств
,0)0(,,0)0)(,(
),,0(),;(),(,
22
2
2
2
z
t
rzr
Ttzulzaz
t
r
(92)
где
),();( 1
2
1 rzurzul ,))(;,0(,:);,0(),(),0( 2
2
2
2
02
0
LTL
t
v
t
v
VTLtrvTW
.)},0(,0][:{0 TtvVvV
r
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 27
Замечание 8. Задачу (92) также легко можем получить на основании задачи (89).
Пусть .U nn uu Тогда )1,0( .U nn uu С учетом (89), (92)
имеем
),()()( 0 nnnn uyuyuuy (93)
где )(0 nuy решение задачи (92) при .nuu
С учетом (93) имеем
,))()(,)((
)()(
lim,
210
0
Lnnn
nnn
nu uуuуfuу
uJuuJ
uJ
n
(94)
где ),;();,;()( 22 trvytrvyvy — решение задачи (89) при u v.
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (89), (90) введем в рас-
смотрение следующую сопряженную задачу:
,),(,)2(2)2(2
2
2
2
Ttr
rr
r
rt
r
),,0(,02)2(
1
Tt
rr rr
),,0(,0][,02)2( Ttr
rr
(95)
),,0(),),;((
1
2)2( 022
22
Ttftruy
rrr
п
rr
.,0
r
t Tt
Tt
Определение 19. Обобщенным решением начально-краевой задачи (95) называ-
ется функция ),,0(),( 0 TWtr которая 0Vz удовлетворяет системе тождеств
,0)(,,0))(,(
),,0(),;)((),(,
22
2
2
2
Tz
t
rTzr
Ttzuуlzaz
t
r n
(96)
где ).()),;(());(( 202 rzftruyzuyl nn
Выбирая в тождествах (96) вместо функции z разность ),()( 1 nn uyuy с уче-
том (92) имеем
.),())()(,)((, 1
0
110 2
dttruruyuyfuyuJ
T
Lnnnnun
Следовательно,
,~
nun
J
где .~),,(~
0
22
1
2
1 dtJtrr
T
пun n
Замечание 9. Если ,constu то ,),(~
0
1
2
1 dttrrJ
T
nun .~
nun
J
28 ISSN 0572-2691
Замечание 10. Если ),()(
1
ttuu i
m
i
im
где m
ii t 1)}({ система линейно
независимых функций, то ,~, nu
m
n
JR U где
.)~(,),(~,}~{~
1
22
1
0
2
11
m
i
i
nui
T
i
n
m
i
i
nn n
Jdttrr
12. Идентификация напряженно-деформированного состояния двухслой-
ной сферы при нескольких точках наблюдения. Пусть напряженно-деформи-
рованное состояние двухслойной сферы описывается начально-краевой задачей
(83)–(87). Считаем, что в )1( N -й точке id известны смещения
),,0(),(),( Tttftdy ii (97)
где .,1,,20 Nidrd i
Функционал-невязку запишем в виде
.)),;((
2
1
)(
0 0
2
N
i
T
ii dtftduyuJ (98)
Вместо задачи (83)–(87), (97) будем рассматривать задачу (89), (98), состоя-
щую в определении элемента u, минимизирующего на U функционал (98) при
ограничениях (89). Эту задачу будем решать с помощью градиентных методов (9).
Пусть .U nn uu Тогда )1,0( имеет место равенство вида (93).
С учетом (93) можем записать
,))()(,)((
)()(
lim,
21
0
Lnnn
nnn
nu uуuуfuу
uJuuJ
uJ
n
(99)
где
,)},;({)(,}{ 00
N
ii
N
ii tdvyvyff
.)}({,)}({,),( 00
0
2
N
ii
N
ii
T
iiL ttdt
Для каждого приближения nu решения Uu задачи (89), (98) введем в рас-
смотрение следующую сопряженную задачу:
,),(,)2(2)2(2
2
2
2
Ttr
rr
r
rt
r
),,0(,02)2(
1
Tt
rr rr
),,0(,,0][,02)2( Ttr
rr
,0][
idr
(100)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 4 29
),,0(,,1),),;((
1
2)2(
2
TtNiftduy
drr
iiп
idr i
),,0(),),;((
1
2)2( 022
22
Ttftruy
rrr
п
rr
,,0
r
t Tt
Tt
где .,\),,0(
1
i
N
i
ddddd dT
T
Определение 20. Обобщенным решением начально-краевой задачи (100)
называется функция ),,0(),( TWtr d которая
0dVz удовлетворяет системе
тождеств
,0)(,,0))(,(
),,0(),;)((),(,
22
2
2
2
Tz
t
rTzr
Ttzuуlzaz
t
r n
(101)
где
,))(;,0(,:);,0(),(),0( 2
2
2
2
2
LTL
t
v
t
v
VTLtrvTW dd
)},,0(,0][,,1,0][:),({ TtvNivVtrvV
rdrdd
i
},),0(,,1),(:),({ 1
2 TtNiWvtrvV id
i
области i составляющие ,\ d ).()),;(());((
0
iiin
N
i
п dzftduyzuyl
Выбирая в тождествах (101) вместо функции z разность ),()( 1 nn uyuy
с учетом (99) имеем ,~
nun
J где .~),,(~
0
22
1
2
1 dtJtrr
T
пun n
Замечание 11. Если наблюдения проведены лишь во внутренних точках
,id ,,1 Ni то
,)),;(()( 2
01
dtftduyuJ iin
TN
i
а в сопряженной задаче (100) в точке 2rr необходимо задать ограничение
.),0(,02)2(
2
Tt
rr rr
Тогда ),()),;(());((
1
iiin
N
i
п dzftduyzuyl
а ,~
nun
J где ).,(~
1
2
1 trrn
30 ISSN 0572-2691
І.В. Сергієнко, В.С. Дейнека
ІДЕНТИФІКАЦІЯ ПАРАМЕТРІВ
ДИНАМІЧНИХ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ
ДЛЯ СКЛАДЕНОЇ ПОРОЖНИСТОЇ СФЕРИ
Розглянуто питання побудови явних виразів градієнтів функціоналів-нев’язок
для ідентифікації градієнтними методами параметрів задач осесиметричного
динамічного деформування складеної порожнистої сфери.
I.V. Sergienko, V.S. Deineka
IDENTIFICATION OF PARAMETERS
OF DYNAMICAL ELASTIC PROBLEMS
FOR COMPOUND HOLLOW SPHERE
Questions of building of functionals-residuals gradients explicit expressions for iden-
tification of parameters of axisymmetrical dynamical deformation of compound
sphere problems by means of gradient methods are considered.
1. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Идентификация параметров составной тонкой пластины,
находящейся под динамическим воздействием // Проблемы управления и информатики.
2007. № 6. С. 33–56.
2. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Решение комплексных обратных задач для гиперболических
многокомпонентных распределенных систем // Кибернетика и системный анализ.
2008. № 2. С. 55–80.
3. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Идентификация параметров динамической задачи теории
упругости тела с включением // Там же. 2009. № 3. С. 75–97.
4. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Идентификация параметров динамических задач теории
упругости для составного цилиндра // Международный научно-технический журнал «Про-
блемы управления и информатики». 2010. № 1. С. 22–49.
5. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Системный анализ многокомпонентных распределенных сис-
тем. Киев : Наук. думка, 2009. 640 с.
6. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Оптимальное управление неоднородными распределенными
системами. Киев : Наук. думка, 2003. 506 с.
7. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal control of distributed systems with conjugation conditions.
New York : Kluwer Aсadem. Publ., 2005. 400 p.
8. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некоррект-
ных задач. М. : Наука, 1988. 288 с.
9. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев : Наук. думка, 1970. 308 с.
10. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 384 с.
11. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М. : Мир, 1975. — 541 с.
Получено 22.03.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210757 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-03-18T08:07:06Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. 2025-12-17T12:23:49Z 2010 Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составной полой сферы / И.В. Сергиенк, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 4. — С. 5-30. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210757 539.3:519.6 10.1615/JAutomatInfScien.v42.i7.10 Розглянуто питання побудови явних виразів градієнтів функціоналів-нев’язок для ідентифікації градієнтними методами параметрів задач осесиметричного динамічного деформування складеної порожнистої сфери. Questions of building of functionals-residuals gradients explicit expressions for identification of parameters of axisymmetrical dynamical deformation of compound sphere problems by means of gradient methods are considered. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы идентификации и адаптивного управления Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составной полой сферы Ідентифікація параметрів динамічних задач теорії пружності для складеної порожнистої сфери Identification of parameters of dynamical elastic problems for compound hollow sphere Article published earlier |
| spellingShingle | Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составной полой сферы Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Методы идентификации и адаптивного управления |
| title | Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составной полой сферы |
| title_alt | Ідентифікація параметрів динамічних задач теорії пружності для складеної порожнистої сфери Identification of parameters of dynamical elastic problems for compound hollow sphere |
| title_full | Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составной полой сферы |
| title_fullStr | Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составной полой сферы |
| title_full_unstemmed | Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составной полой сферы |
| title_short | Идентификация параметров динамических задач теории упругости для составной полой сферы |
| title_sort | идентификация параметров динамических задач теории упругости для составной полой сферы |
| topic | Методы идентификации и адаптивного управления |
| topic_facet | Методы идентификации и адаптивного управления |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210757 |
| work_keys_str_mv | AT sergienkoiv identifikaciâparametrovdinamičeskihzadačteoriiuprugostidlâsostavnoipoloisfery AT deinekavs identifikaciâparametrovdinamičeskihzadačteoriiuprugostidlâsostavnoipoloisfery AT sergienkoiv ídentifíkacíâparametrívdinamíčnihzadačteoríípružnostídlâskladenoíporožnistoísferi AT deinekavs ídentifíkacíâparametrívdinamíčnihzadačteoríípružnostídlâskladenoíporožnistoísferi AT sergienkoiv identificationofparametersofdynamicalelasticproblemsforcompoundhollowsphere AT deinekavs identificationofparametersofdynamicalelasticproblemsforcompoundhollowsphere |