Оптимизация характеристик переходных процессов стохастических систем «прямого» автоматического регулирования с пуассоновскими возмущениями
Одержано умови асимптотичної стійкості та побудовано якісні характеристики тривіального розв’язку системи нелінійних стохастичних диференціальних рівнянь з пуассонівськими збуреннями. Сформульовано критерій абсолютної стійкості в середньому квадратичному тривіального розв’язку систем «прямого» автом...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210828 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Оптимизация характеристик переходных процессов стохастических систем «прямого» автоматического регулирования с пуассоновскими возмущениями / А.Я. Довгунь, Е.В. Ясинский // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 5. — С. 5-17. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859684687159492608 |
|---|---|
| author | Довгунь, А.Я. Ясинский, Е.В. |
| author_facet | Довгунь, А.Я. Ясинский, Е.В. |
| citation_txt | Оптимизация характеристик переходных процессов стохастических систем «прямого» автоматического регулирования с пуассоновскими возмущениями / А.Я. Довгунь, Е.В. Ясинский // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 5. — С. 5-17. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Одержано умови асимптотичної стійкості та побудовано якісні характеристики тривіального розв’язку системи нелінійних стохастичних диференціальних рівнянь з пуассонівськими збуреннями. Сформульовано критерій абсолютної стійкості в середньому квадратичному тривіального розв’язку систем «прямого» автоматичного регулювання з пуассонівськими збуреннями.
The conditions of asymptotic stability are obtained and qualitative characteristics of trivial solution of the system of nonlinear stochastic differential equations with Poisson perturbations are built. The criterion of absolute stability in root-mean square of trivial solution of the systems of «direct» automatic regulation with Poisson perturbation is proved.
|
| first_indexed | 2026-03-15T00:12:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.Я. ДОВГУНЬ, Е.В. ЯСИНСКИЙ, 2010
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 5
ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 519.718:519.217
А.Я. Довгунь, Е.В. Ясинский
ОПТИМИЗАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ «ПРЯМОГО»
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
С ПУАССОНОВСКИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ
Введение
В большинстве случаев системы автоматического регулирования (САР) пред-
ставляют собой сложные устройства, которые состоят из объекта регулирования
и регуляторов [1]. Назначение последних заключается в том, чтобы непрерывно
поддерживать в объекте регулирования постоянный режим работы. Все отклоне-
ния от заданного режима со временем должны быть приведены к нулю. Иными
словами, САР должна быть асимптотически устойчивой [2].
Начиная с работ И.А. Вишнеградского [2], для исследования устойчивости
САР применяется метод линеаризации с последующим использованием крите-
риев (Гурвица, Гаусса, Найквиста, Михайлова [3] и др.). Обоснованием этого
метода являются теоремы Ляпунова об устойчивости траекторий динамических
систем по первому приближению.
В 1944 г. появилась работа А.И. Лурье и В.Н. Постникова [4], в которой для
исследования устойчивости движения конкретной САР был применен метод
А.М. Ляпунова [5]. Устойчивость рассматривалась в целом, т.е. при произволь-
ных начальных возмущениях и произвольной нелинейности сервомотора, что
удовлетворяют некоторым условиям. Такая устойчивость получила название аб-
солютной устойчивости [6].
В последующем А.И. Лурье развил эти идеи [1, 3], для общего случая по-
строил функцию Ляпунова и получил систему алгебраических уравнений, реше-
ния которых определяют достаточные условия абсолютной устойчивости. Он
применил прямой метода Ляпунова для исследования абсолютной устойчивости
САР в виде завершенного алгоритма [6]. Эти результаты Лурье стали базой для по-
следующих исследований абсолютной устойчивости САР. В исследованиях приня-
ли активное участие ученые разных стран, а именно, А.М. Летов [1], Е.А. Барба-
шин [7], М.А. Айзерман, Ф.Р. Гантмахер [8], В.А. Якубович [9, 10], Р.Э. Калман,
Ж. Ла-Салль, С. Лефшец, В.М. Попов [11], который ввел частотный метод для ис-
следования абсолютной устойчивости.
Стохастические системы автоматического регулирования диффузионного
типа продолжил изучать украинский математик Д.Г. Кореневский [12, 13].
В настоящей статье исследуются стохастические САР, которые описываются
стохастическими дифференциальными уравнениями с учетом пуассоновских пе-
реключений [14–16].
6 ISSN 0572-2691
1. САР со случайными возмущениями
САР называется такая автоматически действующая система, которая в тече-
ние достаточно большого промежутка времени поддерживает необходимое неиз-
менное значение некоторой физической величины некоторого процесса или изме-
няет это значение по заданной программе [12].
Во многих случаях САР состоит из объекта регулирования, чувствительных
элементов (измерителей), суммирующего устройства, сервомотора и механизма
обратной связи. Структурная схема такой системы изображена на рис. 1. Под регу-
лятором будем понимать совокупность измерителей и суммирующего устройства.
Объект
регулирования
Чувствительные
элементы
Суммирующее
устройство
Механизм
обратной связи
Сервомотор
Хn
ξ ξ
ξ
Х1
Рис. 1
Параметры, описывающие состояние объекта регулирования при нарушении
установленного режима работы, измеряются чувствительными элементами (изме-
рителями), показатели которых вместе с сигналом механизма обратной связи
подаются на суммирующее устройство. Это устройство посылает команду сер-
вомотору, который, в свою очередь, устанавливает в необходимое положение
управляющий орган объекта регулирования и влияет одновременно на механизм
обратной связи.
Пусть n
n Rxxxx T
21 ),...,,( — параметры, которые характеризуют состо-
яние объекта регулирования, т.е. координаты чувствительных элементов.
Будем считать, что изменение этих величин описывается линейными дифферен-
циальными уравнениями с постоянными коэффициентами ,xAx где ,}{ 1,
n
jiijaA
.1Raij
Когда сервомотор подключен, на изменение величины х влияет регулирую-
щий сигнал. Пусть ξ — параметр, характеризующий положение регулирующего
объекта.
Учитывая предыдущие предположения, получим дифференциальные уравне-
ния объекта регулирования и чувствительных элементов при подключенном сер-
вомоторе
, gAxx (1)
где ,),,,( T
21 ngggg .1Rg i
В конкретных случаях некоторые из коэффициентов ,ija ,ig ,,1, nji мо-
гут быть равными нулю.
Будем считать, что механизм обратной связи осуществляется с помощью
жесткого выключателя. В этом случае исходная величина ς механизма обратной
связи пропорциональна его входной величине
, k (2)
где .Rk
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 7
Суммирующее устройство, объединяющее показатели чувствительных эле-
ментов, подает на вход сервомотора сигнал
,T xl (3)
где ),,,,( 21 nllll ,1Rli ,,1 ni ,1R 0 — передаточные числа.
Передаточное число называется коэффициентом обратной связи. Если
в системе регулирования механизм обратной связи отсутствует, то ,0 ,0il
ni ,1 [18]. Если система описывает возмущенное движение системы непрямого
регулирования, то связь между входной величиной сервомотора и его исходной
величиной выражается зависимостью
),( (4)
где )( — характеристика сервомотора, как правило, нелинейная. На рис. 2 по-
казаны некоторые типичные примеры нелинейности функции :)( непрерыв-
ность (а) и (б); разрывность (в) и (г).
)(
0
)(
0 2
1
а б
0
)(
0 2
1
)(
в г
Рис. 2
В дальнейшем будем рассматривать функцию ),( которая удовлетворяет
следующим условиям:
(i) )( определена и непрерывна для ;
(ii) ;0)0(
(iii) ,0)( ;
(iv) интегралы
0
)( d и
0
)( d расходящиеся.
Функция ),( удовлетворяющая условиям (ii) и (iv), имеет зону нечувстви-
тельности (в промежутке ),( 21 значение функции ).0)( Анализ решений
и устойчивости САР, дифференциальные уравнения которых содержат функции с зо-
ной нечувствительности и с неразрывной нелинейностью, в рамки общей теории не
укладываются и требуют специальных исследований.
8 ISSN 0572-2691
Условия (ii) и (iii) очевидны. Заметим только, что условие (iii) не удовлетворя-
ет характеристике с зоной нечувствительности, так как произведение 0)( на
промежутке ),,( 21 где .0
Условие (iv) практически всегда выполняется. Действительно, геометрически
это условие означает, что площадь области под характеристикой )( неограни-
ченно растет, если . Так как участки функции, параллельные оси , для
реальных сервомоторов неограниченно продолжаются вправо и влево (эти участ-
ки образуются за счет того, что орган, который руководит сервомотором, поме-
щен на упорах), т.е. условие (iv) фактически всегда реализуется [1].
Определение 1. Функция ),( удовлетворяющая условиям (i)–(iv), называ-
ется допустимой характеристикой.
Уравнения (1), (3) и (4) определяют возмущенное движение системы непря-
мого регулирования с одним регулирующим органом и жесткой обратной связью.
Таким образом, детерминированная математическая модель системы «непря-
мого» регулирования будет иметь следующий вид:
, gAxx
,)( (5)
.T xl
При прямом регулировании связь между исходной и входной величинами
сервомотора осуществляется не через производную, а непосредственно:
),(
поэтому детерминированная математическая модель системы «прямого» регули-
рования рассматривается в виде [6]
.
),(
T xl
gAxx
(6)
Если на систему влияют случайные возмущения, то математические модели
соответствующих систем регулирования приобретут следующий вид [13]:
для систем «прямого» регулирования
),()()]()([)( tdWtBxdtgtAxtdx (7)
);(T txl (8)
для систем «непрямого» регулирования
),()()]()([)( tdWtBxdtgtAxtdx (9)
),()(T txl (10)
где ,)},()({ 1RtwtW ,0t — скалярный винеровский процесс; n
jiijbB 1,}{ —
матрица с действительными элементами.
Если на систему влияют постояннодействующие случайные возмущения им-
пульсного характера, то есть смысл рассматривать стохастические нелинейные
системы автоматического регулирования с пуассоновскими переключениями —
системы с нелинейной обратной связью (системы типа Лурье–Постникова) [4].
Математическими моделями систем автоматического регулирования такого типа
являются векторно-матричные системы стохастических нелинейных уравнений
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 9
с пуассоновскими переключениями (модель Ито–Скорохода) типа Лурье–Постни-
кова на вероятностном базисе )},0,{,,( Ptt FF [14, 15]:
,),(~)()()()()]()([)(
U
dtduvtxuCtdWtBxdtgtAxtdx (11)
),(T txl ,0t (12)
с начальным условием
.)( 00
xtx
t
(13)
Здесь nRTttxtx }],,0[),,()({ — случайный процесс из пространства
Скорохода непрерывных справа функций, которые имеют левосторонние пределы [14];
)( — нелинейная дифференцируемая функция, удовлетворяющая ограничени-
ям ,
)(
0 k
),,0( k ,0)0( ,0)( ;1R 1)},()({ RtWtW —
скалярный винеровский процесс; BA, — постоянные действительные матрицы
размерности ;nn ,),,,( T
21
n
n Rgggg
n
n Rllll T
21 ),,,( — постоян-
ные действительные вектор-столбцы; ,: nRUC nRU — матричная функция
размерности ;nn
nRx 0 — детерминированное начальное условие; ),(~ dtduv
}],,0[),(),({ nRUuTtdudtduv — центрированная пуассоновская мера,
причем )(du — параметр пуассоновской меры.
Задача Лурье–Постникова [4]. Независимо от начального состояния систе-
мы и конкретного выбора допустимой характеристики )( сервомотора нужно
найти необходимые и достаточные условия устойчивости системы (5) или стоха-
стической системы (9), или стохастической системы (11) в целом. Иначе говоря,
необходимо найти условия абсолютной устойчивости системы (5) или (9), или (11).
2. Построения качественных характеристик решений нелинейных систем
Рассмотрим на вероятностном базисе )},0,{,,( Ptt FF систему нелиней-
ных стохастических дифференциальных уравнений
U
dtduvtxutxtCtdWtxtBdttxtAtdx ),(~)()),(,()())(,())(,()( (14)
с начальным условием
,)( 00
nRxtx (14)
где ,0tt .nRx
Теорема 1 [17, 18]. Пусть:
1) коэффициенты А, В, С удовлетворяют условиям существования сильного
решения задачи (14), (14), а именно: условию Липшица по вторым аргументам и
равномерной ограниченности по первому аргументу [14];
2) существует ),( tx из )(DS — пространство Скорохода непрерывных
справа функций, имеющих левосторонние пределы [15], где монотонная функция
)),,0([)( Crwi ,0)0( iw ,)(lim
rwi
r
,3,1i удовлетворяют условиям
),(),()( 21 xwtxxw (15)
),(
),(
3 xw
dt
txd
(16)
10 ISSN 0572-2691
.0,||.,
1
0
n
i
i
n xttRxD
Тогда тривиальное решение системы (14) асимптотически устойчиво с вероятнос-
тью единица.
Доказательство. Поскольку функции ),(rwi ,3,1i монотонные, то суще-
ствуют обратные функции ),(
1
rwi
.3,1i Из (15) в силу существования )(1
2 rw
следует очевидное неравенство
)()( 1
2 wtx (mod P).
Тогда из отрицательности производной функции Ляпунова в силу СДУ (14)
(условие (16)) легко записать [18, 19]
)]([),( 1
23 wwtx (mod P).
Следовательно, последнее неравенство в дифференциалах примет вид
dt
ww
d
)]([ 1
23
(mod P).
Значит, после интегрирования получим
)(
)]([
),( 01
23
0
0
tt
ww
d
K
t
t
(mod P). (17)
Допустим, что ),( 0K решена относительно первого аргумента . Тогда из
монотонности функций ),(rwi ,3,1i неравенство (17) примет вид
))),((),((),( 000
1 ttxttKtx
(mod P).
Используя неравенство (15), легко получить оценку
))),((),((),()( 000
1
1 ttxttKtxxw
(mod P).
Следовательно, )),),((),(()( 000
1
1 ttxttKxw
а значит, окончательно 29]
))]),((),(([ 000
11
1 ttxttKwx
(mod P). (18)
Теорема 1 доказана.
Далее неравенство (18) будем использовать для определения качественных
характеристик сильных решений стохастической динамической системы (14) с со-
ответствующими неслучайными условиями ,)( 00 xtx применяя методику [20].
A. Величина перерегулирования. Величина )(/1 характеризует макси-
мально допустимое отклонение решения, т.е. величину перерегулирования. Ис-
пользовав неравенство (18), получим
.0)))]((),(([sup 20
11
1
0
wttKw
tt
(19)
Пусть
,3,1,)(lim,0)0()),,0([)()(),({][
irwwCrwDCtxG i
r
ii
.)}(),(),(),()( 321 xwtxxwtxxw
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 11
Наша цель — получить наиболее точную оценку переходного процесса, т.е.
найти функцию Ляпунова ],[),(0 Gtx которая удовлетворяет неравенству (19).
Определение 2. Функцию Ляпунова ][),(0 Gtx назовем оптимальной для
величины перерегулирования, если
,0)))]((),(([supinfarg 20
11
11
][
0
0
wttKw
ttG
(20)
где )(/1 .
Б. Интеграл от величины возмущения. Характеристика переходного процесса
может быть интегралом от величины возмущения, т.е.
.})({
0
2
t
dttxEI
Использовав (18), оценим интегральный критерий соотношением
0
))])((),(([ 020
11
12
t
dttxwttKw (mod P). (21)
Определение 3. Функцию Ляпунова ][),(0 Gtx назовем оптимальной для
оценки интегрального критерия качества, если
},{infarg 2
][
0
Gv
(22)
где 2 определяется (21).
В. Время переходного процесса. Устойчивость тривиального решения дина-
мической системы (14) асимптотическая, т.е. равновесие системы достигается при
.t Процесс стабилизируется при условии
,1}0)(:{ txP (23)
где ε — заранее известная величина.
Временем переходного процесса Ttt 0 называется время, за которое до-
стигается заданная точность (будем считать, что )( 0tx — не обязательно малая
величина).
Время T можно вычислить, решив неравенства
.))])((),(([ 020
11
1 txwttKw
Поскольку функции ),(rwi ,2,1i монотонны, получим )).)((),(( 021 txwwKT
Определение 4. Функцию Ляпунова ][),(0 Gtx назовем оптимальной для
оценок времени переходного процесса, если
},{infarg 3
][
0
G
(24)
где )).)((),(( 0213 txwwK
Заметим, что для исследования решений стохастических дифференциально-
функциональных систем вторым методом Ляпунова вводится понятие стохасти-
ческих функционалов Ляпунова–Красовского.
12 ISSN 0572-2691
3. Оптимизация характеристик переходных процессов
стохастических дифференциальных систем «прямого»
регулирования с пуассоновскими возмущениями
На вероятностном базисе )},0,{,,( Ptt FF задано сильное решение
,}],,0[),,()({ nRwTtwtxtx так называемой стохастической системой
«прямого» регулирования (11)–(13) (см. [14]), где
),(T txl ,0t (25)
)( — нелинейная дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям
,0)())(( k ,0k ,0)0( ,0)( (26)
т.е. )( находится между прямыми
,0)( .)( k
Пусть детерминированная система автоматического регулирования
dtgtAxtdx )]()([)( (27)
имеет единственное состояние равновесия, причем А и TlgkA — матрицы
Гурвица. Рассмотрим стохастический функционал Ляпунова–Красовского
,)()(
)(
0
T ydyHxxx
x
(28)
где симметричная положительно-определенная матрица H является решением мат-
ричного уравнения Сильвестра при любой положительно-определенной матрице G
.),(~)(),(TT GdtdutxutCBHBHAHA
U
(29)
Для функции )(x выполняется двойное неравенство
,)
~
()()
~
(
2
max
2
min xHxxH (30)
где собственные значения max и min определяются следующим образом [20]:
0; для)(
0, для
2
1
)
~
(
max
T
max
max
H
kllH
H (31)
0. для
2
1
0, для )(
)
~
( T
min
min
min kllH
H
H (32)
Используя замену Ито [19], вычислим стохастический дифференциал функ-
ционала (28) на решениях системы (23):
dttxduuHCuCBHBHAHAtxtxd
U
)()()()()())(( TTTT
dttxduuClAlHg
U
)()()(
2
1
2
1
)( TTT
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 13
dtgldtduluClAgHtx
U
)()()()(
2
1
2
1
)()( TTTT
)()()()()()()()(
2
1 TTTTT tdwtxBltHBxBtxdttdttBxllB
),,(~)()()]()()()([)(
)]()[(
)(
TTT
T
T
dtduydytxuHCHuCuCuCtx
uCEtxl
txlU
(33)
где
);()))](())()((([)()())(( TT
)]()[(
)(
T
T
dutxltxuCElduydytx
UU
uCEtxl
txl
(34)
;)(
d
d .
10
01
E
Учитывая определение стохастического дифференциала (33), имеем интег-
ральное уравнение для ))(( tx на решениях СДУ (11)–(13), к которому и приме-
ним операцию математического ожидания. Учитывая равенство нулю математи-
ческого ожидания от интеграла Винера–Ито и интеграла по пуассовновской мере,
получим математическое ожидание от полной производной функционала (28)
в силу СДУ (11):
)},()()(~{
))((
)23(
txHItxE
dt
txd
E
(35)
где );)(),(,),(()(~ ttxtxtx
;
000
0
2
1
00
00)(
00)()(
)(
TT
T
21
1211
E
BllB
glHI
HIHI
HI
nnnnnn
nnnnnn
nnnn
nnnn
(36)
;)()()()( TTT
11
U
duuHCuCBHBHAHAHI
;)()(
2
1
)( TT
12
U
duluClAHgHI
.)()(
2
1
)( TTT
21
U
duuClAlHgHI
Математическое ожидание 0
))((
)11(
dt
txd
E тогда и только тогда, когда
матрица )(11 HI отрицательно определена, а блочная матрица )(HI неположи-
тельно определена [21]. Матрица )(11 HI отрицательно определена тогда и только
тогда, когда положительно-определенная матрица nnHH 0T
является реше-
нием обобщенного уравнения Сильвестра [9]:
,)()()(TTT QduuHCuCHBBHAHA
U
(37)
где nnQQ 0T
— симметрическая положительно-определенная матрица. Ре-
шение nnH 0 уравнения Сильвестра всегда существует [9].
14 ISSN 0572-2691
Матрица )(HI неположительно определена лишь тогда, когда неположи-
тельно определены матрицы-блоки, которые стоят по главной диагонали.
Действительно, матрицы BllB TT
2
1
и E неположительно определены, если
.0 Но ,0T gl когда коэффициенты обратной связи удовлетворяют условию
.0T l (38)
Это требование означает, что матрица ThglA гурвицева [1], т.е. матрица А
должна быть экспоненциально устойчивой [2]. Наконец, если матрица 0)( HI
с условием 0 неположительно определена, то для того, чтобы выполнялось
неравенство (38) и существовало положительное решение nnH 0 уравнения
Сильвестра (37), требуется еще неположительная определенность матрицы
.0
)(
)(
T
21
12
glHI
HIQ
(39)
Найдем нижнюю границу для .0 Для этого рассмотрим значение функци-
онала Ляпунова (28) на линейной характеристике гурвицевого угла ,)( h
а именно,
hydytHxtxtxv
txl
h
)(
0
T
)(
T
)()())((
.)(
2
1
)()()(
2
1
)()( TTTTT txllhHtxtxllthxtHxtx
По определению функционал (28) положителен: 0))((
)(
tx для ,0
а это возможно, если матрица
nnhllH 0
2
1 T (40)
положительно определена.
После умножения матричного неравенства (40) на Tl слева и на l справа по-
лучим скалярное неравенство
,0)(
2
1 2TT llhlHl
откуда получим нижнюю границу для искомого числа ,0 а именно,
.0
)(
2
2T
T
llh
Hll
(41)
Заметим, что оценка нижней границы для допустимого значения числа 0
(41) не является достаточной для выполнения матричного неравенства (40),
а лишь необходимой оценкой. В монографии [12, с. 172, 173] доказано, что ниж-
няя граница числа 0 равняется
lHlh 1T
2
и улучшить ее невозможно.
Таким образом, искомое число 0 следует выбирать из интервала
.0
2
1T
lHlh
(42)
При этом неравенство (41) совпадает с (42) тогда, когда вектор параметров об-
ратной связи l является собственным вектором матрицы ,0 nnH как решение
обобщенного уравнения Сильвестра (37). Значит, получим следующее утверждение.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 15
Теорема 2. (Критерий абсолютной устойчивости решений системы (11)–(13).)
Достаточным условием абсолютной устойчивости в l.i.m. положения равновесия
0)( tx стохастической динамической системы (11)–(13) являются следующие
условия:
1) матрицы A и TkglA гурвицевы; ;0T gl
2) существует положительно-определенное решение nnHH 0T матрич-
ного уравнения Сильвестра (29);
3) выполняется матричное неравенство (39) с выбором 0 при условии (42),
причем выбирается как можно ближе к своей нижней границе
lHhlT 1
2
;
4) существует интеграл (34) .0))(( tx
Для решения nRtxtx ),()( системы (11)–(13) неравенство (18) запишем
.)(
)
~
(
)
~
(
)(
)(
)
~
(2
)
~
(
0
min
max
0
max
min tt
Hλ
Cλ
etx
Hλ
Hλ
tx
(43)
Пусть ][HQ — множество положительно-определенных матриц H и пара-
метров ,0 для которых выполняются условия теоремы 1.
Лемма. Множество ][HQ выпуклое.
Доказательство. Поскольку множество положительно-определенных
матриц выпуклое, то достаточно доказать, что любая матрица, которая входит
в множество ],[HQ положительно-определенная. Матрицы H, ,
2
1 TlklH
)()()(TTT duuHCuCHBBHAHA
U
положительно определены по
определению множества ].[HQ Покажем, что матрица C
~
также положительно
определена.
Допустим, что (0, 1) и для пары ( 11, H ) и ( 22 , H ) матрица C
~
по-
ложительно определена. Если удастся доказать, что C
~
положительно определе-
на и для пары ),)1(,)1(( 2121 HH то и множество ][HQ будет вы-
пуклым [21]. Действительно [22],
].,[
~
)1(],[
~
])1(,)1([
~
22112121 HCHCHHC
Тогда ])1(,)1([
~
2121 HHC также положительно определена, как
сумма положительно-определенных матриц [22]. Следовательно, множество
][HQ выпуклое по определению.
Лемма доказана.
Сформулировав теорему 1 об асимптотической устойчивости в среднем
квадратическом решений для системы (11)–(13), получим следующее утвержде-
ние [20].
Теорема 3. Для абсолютной устойчивости в среднем квадратическом реше-
ний системы (11)–(13) достаточно, чтобы множество ][HQ было непустым.
Доказательство. Пусть множество ][HQ непустое. Тогда, кроме установле-
ния факта абсолютной устойчивости в среднем квадратическом, надо вычислить
16 ISSN 0572-2691
характеристики (в том числе и оптимальные) решений системы (11)–(13). Для
функций ,3,2,1),,( iHi из разд. 2 имеем:
,
)
~
(
)
~
(
),(
min
max
1
H
H
H
(44)
,
)
~
(
)
~
(
)
~
(
)
~
(
)(2),(
min
max
min
max
02
H
H
C
H
txH
(45)
.
)
~
(
)()
~
(
ln
)
~
(
)
~
(
),(
2
min
2
0max
min
max
3
εH
txH
C
H
H (46)
Заметим, что величина перерегулирования ),,(1 H величина интегрально-
го критерия оценивания ),,(2 H величина оценки времени переходного про-
цесса ),(3 H представляют собой кусочно непрерывно-дифференцированные
функции, которые совпадают при .0
Теорема доказана.
Заключение
Отметим, что полученные теоретические результаты могут применяться к
конкретным реальным САР с учетом случайных возмущений, используя при этом
современные информационные технологии для нахождения матриц Н для пред-
ставления квадратической части функций Ляпунова и параметра , который ха-
рактеризирует нелинейную часть этой функции Ляпунова.
А.Я. Довгунь, Є.В. Ясинський
ОПТИМІЗАЦІЯ ХАРАКТЕРИСТИК ПЕРЕХІДНИХ
ПРОЦЕСІВ СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ «ПРЯМОГО»
АВТОМАТИЧНОГО РЕГУЛЮВАНИЯ
З ПУАССОНІВСЬКИМИ ЗБУРЕННЯМИ
Одержано умови асимптотичної стійкості та побудовано якісні характеристики
тривіального розв’язку системи нелінійних стохастичних диференціальних рів-
нянь з пуассонівськими збуреннями. Сформульовано критерій абсолютної стій-
кості в середньому квадратичному тривіального розв’язку систем «прямого»
автоматичного регулювання з пуассонівськими збуреннями.
A.Yа. Dovgun, E.V. Yasinskyy
OPTIMIZATION OF TRANSIENT
PROCESSES CHARACTERISTICS OF SYSTEMS
OF «DIRECT» AUTOMATIC REGULATION
WITH THE POISSON PERTURBATIONS
The conditions of asymptotic stability are obtained and qualitative characteristics of
trivial solution of the system of nonlinear stochastic differential equations with Pois-
son perturbations are built. The criterion of absolute stability in root-mean square of
trivial solution of the systems of «direct» automatic regulation with Poisson perturba-
tion is proved.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 17
1. Летов А.М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. — М. : Физматгиз, 1962. —
359 с.
2. Вышнеградский И.А., Масквелл Д.К., Стодола Д.И. Теория автоматического регулирова-
ния. — М. : Изд-во АН СССР, 1949. — 349 с.
3. Бейко И.В., Бублик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации. —
К. : Вища шк., 1983. —511 с.
4. Лурье А.И., Постников В.Н. К теории устойчивости регулируемых систем // ПММ. — 1944.
8, Вып. 3. — С. 1012–1085.
5. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости методом Ляпунова. — М. : Мир,
1964. — 398 с.
6. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи автоматического регулирования. — М. : Госте-
хиздат, 1951. — 289 с.
7. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости движения. — М. : Наука, 1967. — 233 с.
8. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. — М. :
Изд-во АН СССР, 1963. — 159 с.
9. Якубович В.А. О нелинейных дифференциальных уравнениях систем автоматического регу-
лирования с одним регулированным органом // Вест. ЛГУ. — 1962. — № 7. —
С. 183–198.
10. Якубович В.А. Решения матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического
регулирования // Докл. СССР. — 1950. — 143, № 6. — С. 153–161.
11. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем. — М. : Наука,1970. — 296 с.
12. Кореневский Д.Г. Устойчивость решения детерминированих и стохастических дифферен-
циально-разностных уравнений. Алгебраические критерии. — Киев : Наук. думка, 1992. —
208 с.
13. Кореневский Д.Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях пара-
метров. Алгебраические критерии. — Киев : Наук. думка, 1989. — 208 с.
14. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения и их примене-
ние. — Киев : Наук. думка, 1980. — 612 с.
15. Ясинський В.К., Ясинський Е.В. Задачі стійкості і стабілізації динамічних систем зі скінчен-
ною післядією. — Київ : ТВіМС, 2005. — 580 с.
16. Ясинський В.К., Юрченко І.В. Стійкість та оптимальне керування в лінійних стохастичних
динамічних системах з випадковими операторами. — Чернівці : Золоті литаври, 2009. —
237 с.
17. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых си-
стем с последействием. — М. : Наука, 1981. — 448 с.
18. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных воз-
мущениях их параметров. — М. : Наука, 1968. — 368 с.
19. Хусаинов Д.Я., Кансаметов Д.Г., Утебаев Д.Н. Оптимизация оценок характеристик реше-
ний в динамических системах. — Нукус : Изд-во МВ и ССО Узбекистана, 1992. —139 с.
20. Бычков А.С., Лобок А.П., Нечаева Н.Г., Хусаинов Д.Я. Оптимизация оценок устойчивости
систем стохастических дифференциально-разностных уравнений // Кибернетика и систем-
ный анализ. — 1992. — № 4. — С. 38–43.
21. Окуненко В.М., Ясинський В.К. Числові методи в інформатиці та моделюванні систем. —
Чернівці : Золоті литаври, 2004. — 592 с.
22. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М. : Наука, 1998. — 685 с.
Получено 13.05.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210828 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-03-15T00:12:02Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Довгунь, А.Я. Ясинский, Е.В. 2025-12-17T19:27:28Z 2010 Оптимизация характеристик переходных процессов стохастических систем «прямого» автоматического регулирования с пуассоновскими возмущениями / А.Я. Довгунь, Е.В. Ясинский // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 5. — С. 5-17. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210828 519.718:519.217 10.1615/JAutomatInfScien.v42.i9.10 Одержано умови асимптотичної стійкості та побудовано якісні характеристики тривіального розв’язку системи нелінійних стохастичних диференціальних рівнянь з пуассонівськими збуреннями. Сформульовано критерій абсолютної стійкості в середньому квадратичному тривіального розв’язку систем «прямого» автоматичного регулювання з пуассонівськими збуреннями. The conditions of asymptotic stability are obtained and qualitative characteristics of trivial solution of the system of nonlinear stochastic differential equations with Poisson perturbations are built. The criterion of absolute stability in root-mean square of trivial solution of the systems of «direct» automatic regulation with Poisson perturbation is proved. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем Оптимизация характеристик переходных процессов стохастических систем «прямого» автоматического регулирования с пуассоновскими возмущениями Оптимізація характеристик перехідних процесів стохастичних систем «прямого» автоматичного регулювания з пуассонівськими збуреннями Optimization of transient processes characteristics of systems of «direct» automatic regulation with the Poisson perturbations Article published earlier |
| spellingShingle | Оптимизация характеристик переходных процессов стохастических систем «прямого» автоматического регулирования с пуассоновскими возмущениями Довгунь, А.Я. Ясинский, Е.В. Проблемы динамики управляемых систем |
| title | Оптимизация характеристик переходных процессов стохастических систем «прямого» автоматического регулирования с пуассоновскими возмущениями |
| title_alt | Оптимізація характеристик перехідних процесів стохастичних систем «прямого» автоматичного регулювания з пуассонівськими збуреннями Optimization of transient processes characteristics of systems of «direct» automatic regulation with the Poisson perturbations |
| title_full | Оптимизация характеристик переходных процессов стохастических систем «прямого» автоматического регулирования с пуассоновскими возмущениями |
| title_fullStr | Оптимизация характеристик переходных процессов стохастических систем «прямого» автоматического регулирования с пуассоновскими возмущениями |
| title_full_unstemmed | Оптимизация характеристик переходных процессов стохастических систем «прямого» автоматического регулирования с пуассоновскими возмущениями |
| title_short | Оптимизация характеристик переходных процессов стохастических систем «прямого» автоматического регулирования с пуассоновскими возмущениями |
| title_sort | оптимизация характеристик переходных процессов стохастических систем «прямого» автоматического регулирования с пуассоновскими возмущениями |
| topic | Проблемы динамики управляемых систем |
| topic_facet | Проблемы динамики управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210828 |
| work_keys_str_mv | AT dovgunʹaâ optimizaciâharakteristikperehodnyhprocessovstohastičeskihsistemprâmogoavtomatičeskogoregulirovaniâspuassonovskimivozmuŝeniâmi AT âsinskiiev optimizaciâharakteristikperehodnyhprocessovstohastičeskihsistemprâmogoavtomatičeskogoregulirovaniâspuassonovskimivozmuŝeniâmi AT dovgunʹaâ optimízacíâharakteristikperehídnihprocesívstohastičnihsistemprâmogoavtomatičnogoregulûvaniâzpuassonívsʹkimizburennâmi AT âsinskiiev optimízacíâharakteristikperehídnihprocesívstohastičnihsistemprâmogoavtomatičnogoregulûvaniâzpuassonívsʹkimizburennâmi AT dovgunʹaâ optimizationoftransientprocessescharacteristicsofsystemsofdirectautomaticregulationwiththepoissonperturbations AT âsinskiiev optimizationoftransientprocessescharacteristicsofsystemsofdirectautomaticregulationwiththepoissonperturbations |