Задача оптимального управления моноциклической агрегацией биологических клеток

Розглянуто модель оптимального керування моноциклічною агрегацією клітин на множині кусково-постійних функцій керування. Знайдено у явному аналітичному вигляді розв’язок задачі оптимального керування за критерієм досягнення щільності клітин заданого рівня. Проведено чисельні розрахунки динаміки моно...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Проблемы управления и информатики
Дата:	2010
Автори:	Акименко, В.В., Загородний, Ю.В., Романенко, В.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Теми:	Оптимальное управление и методы оптимизации
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210832
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Задача оптимального управления моноциклической агрегацией биологических клеток / В.В. Акименко, Ю.В. Загородний, В.В. Романенко // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 5. — С. 42-51. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859638970861748224
author	Акименко, В.В. Загородний, Ю.В. Романенко, В.В.
author_facet	Акименко, В.В. Загородний, Ю.В. Романенко, В.В.
citation_txt	Задача оптимального управления моноциклической агрегацией биологических клеток / В.В. Акименко, Ю.В. Загородний, В.В. Романенко // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 5. — С. 42-51. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто модель оптимального керування моноциклічною агрегацією клітин на множині кусково-постійних функцій керування. Знайдено у явному аналітичному вигляді розв’язок задачі оптимального керування за критерієм досягнення щільності клітин заданого рівня. Проведено чисельні розрахунки динаміки моноциклічної агрегації клітин для оптимальних значень функцій керування для трьох різних типів цільової функції розподілу біологічних клітин. The model of optimum control of monocycle cells aggregation on the set of piecewise constant control functions is considered. The analytic solution of the optimum control problem for criteria, when cells density reaches required level, is found. The numerical computation of dynamics of monocycle cells aggregation for control functions optimal values for three different kinds of objective function of biological cells distribution is performed.
first_indexed	2026-03-14T12:05:24Z
format	Article
fulltext	© В.В. АКИМЕНКО, Ю.В. ЗАГОРОДНИЙ, В.В. РОМАНЕНКО, 2010 42 ISSN 0572-2691 ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ УДК 532.516 В.В. Акименко, Ю.В. Загородний, В.В. Романенко ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МОНОЦИКЛИЧЕСКОЙ АГРЕГАЦИЕЙ БИОЛОГИЧЕСКИХ КЛЕТОК Задача оптимального управления жизненным циклом моноциклической агре- гации клеток как биологической системы основана на математической модели для начально-краевой задачи системы уравнений гиперболического типа, описываю- щих процессы переноса [1]. Данный тип моделей относится к задачам биокинети- ки и описывает процессы эволюции биологических клеток как процесс их перено- са по возрасту через стадии рождения, деления, старения и смерти [2, 3]. По- скольку рассмотренная система начально-краевых задач линейная, она допускает аналитическое решение в квадратурах [1]. На основе известных [4, 5] подходов к моделированию процессов оптимального управления динамическими системами с распределенными параметрами в данной работе рассмотрены задачи оптималь- ного управления на модельных параметрах моноциклической агрегации клеток. Аналитическое решение системы уравнений позволило получить в явном анали- тическом виде функции оптимального управления для целевого критерия, опреде- ляющего отклонение плотности данной агрегации клеток по всем возрастным катего- риям в интервале времени ],[ 21 ttt от заданной целевой функции. Данный крите- рий может использоваться в практических исследованиях для анализа возможных условий роста биологических систем, поскольку содержит элементы моделирова- ния одного из направлений теоретической биологии — «биологии механизмов» (процессов эволюции и оптимального управления). Описанный в статье подход к моделированию и решению задач управления может быть обобщен для полицик- лических агрегаций. Кроме того, он позволяет не только ставить и решать практи- ческие задачи управления агрегациями клеток, но и помогает в теоретическом ис- следовании основных закономерностей таких биологических систем. 1. Постановка задачи оптимального управления Введем функцию ),( th  плотности распределения клеток моноциклической агрегации по параметру биологического возраста ],0[ max во время ],,0[ Tt  с областью определения }.0;0),{( max Ttt  Пусть все клетки агрегации делятся на две группы. Первая представляет мо- ноциклическую агрегацию клеток возраста ],,0[ d где .0 max d В воз- расте d клетки первой группы могут делится на  дочерних клеток ),2,(  N которые имеют возраст .0 Вторая группа представляет собой моноциклическую агрегацию клеток возраста ],,[ max d которые теряют спо- собность к делению и «доживают» до максимального возраста агрегации Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 43 .max Представим плотность распределения по возрасту первой группы кле- ток функцией ),(0 th  с областью определения }.0;0),{(0 Ttt d  Плотность второй группы клеток, возраст которых старше ,d определяется функцией ),,(1 th  заданной в области },0;),{( max1 Ttt d  при этом .10  Для плотности распределения клеток моноциклической агрегации ),( th  рассмотрим начально-краевую задачу для системы уравнений переноса (гипербо- лического типа) [1, 2]: ,))(,,( 000 0 0 0 htuts h l t h       ),0,0(  td p (1) ),,())(,(),0( 0100 thtutth d (2) ),()0,( 00 h (3) 101 1 1 1 ))(,,( htuts h l t h       для ,0,max  td (4) ),,()))(,(1(),( 0101 thtutth dd  (5) ),()0,( 11 h (6)        .0,),,( ,0,0),,( ),( max1 0 tth tth th d d (7) Здесь ))(,( 10 tut — доля клеток, которые делятся в возрасте ;d )),(,,( 00 tuts  ))(,,( 01 tuts  — коэффициенты смертности репродукционных и вегетативных клеток соответственно; const,0 l const1 l — постоянные скорости «взросле- ния» клеток (движения по параметру ); const — коэффициент воспроизвод- ства потомства при делении клетки; ,11 Uu  00 Uu  — функции управления со- ответственно процессами деления клеточной популяции и смертности клеток, которые определены на интервале ];,0[ Tt  )(),( 10  — начальные распреде- ления по возрасту клеток первой и второй групп соответственно. Не нарушая общности постановки задачи, будем предполагать далее, что су- ществует целое число N, которое определяет конечное время моделирования про- цесса T, т.е. .0         d Tl N На параметры модели (1)–(7) накладываются следующие ограничения: ,/)1(),1,0( ,1 ~ ))(,( ~ 0,0),(, ~ 0 0 11000 lNTi tuttsll d ii   (8) где 0100 ~, ~ , ~ , ~ l — известные положительные константы, и условия ),()0()0( 000 d ),())0(1()( 001 dd  (9) , )( )0()0( )0( )0( 1 )0,0()0,( )0( 0 000 0 0 00 0 0                d d l dt d ss d d l d d 44 ISSN 0572-2691      )( )0()( 0 01 1 d d dt d d d l ).()0,( )( )()0,())0(1( 11 0 0000 dd d dd s d d ls          Введем интегральную функцию количества клеток агрегации в момент вре- мени :],0[ Tt ,),(),()( 10 0 max      dthdthtH d d (10) и интегральную функцию несоответствия плотности клеток первой группы моноциклической агрегации целевому (желательному) распределению за ин- тервал времени :],[ 21 ttt , )( ),( ln 1 ),,( 2 0 12 21 2 1 ds sh tt ttM s t t              (11) где ,012  tt ],,0[ d )(s — целевое (желательное) распределение плот- ности клеток первой группы в заданный период времени по возрастам. Введем це- левой критерий, который определяет необходимость минимизации абсолютного значения функции :),,( 21 ttM  )),(),(,,(minarg))(),(( 1021 ))(),(( 10 1010 tututtJtutu UUtutu    (12) .))(),(,,,( 1 ))(),(,,,( 1021 0 10210      dtututtMtututtJ d d Критерий (12) на практике может использоваться для обеспечения условий роста биологического объекта за счет достижения и сохранения целевой плотно- сти распределения клеток первой группы в заданный период времени ].,[ 21 tt 2. Решение задачи оптимального управления для модельных параметров системы Результаты моделирования динамики биологической системы (1)–(7) из ра- боты [1] позволяют получить в явном аналитическом виде функции управления для критерия (12). Рассмотрим модельные функции для доли делящихся клеток и функций смертности, которые не противоречат реальному поведению многих биологических объектов: ),)((exp))(,( 1010 ttuqtut  ),(),( 0100 tuddts  (13) ),(),( 0101 tuccts  где ,0,00 q ,00 d ,01 d ,00 c 01 c — заданные константы. Из (13) вытекают ограничения для функций управления: },],0[;0;)(},{min;)()({ 00000000 TtUUtucdRtutuU mm  .],0[; ~ ln)( ~ ln;)()( 0 1 1 0 0 111              Ttt q tut q RtutuU Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 45 Начальные условия и целевое распределение зададим в виде экспоненциаль- но распределенных функций: ),(exp)( 2 00  ppN ),exp()( 01  pM (14) ).exp()( 2  ssss N Тогда условия (9) запишем , 2 0 1 d d p l d    , 1 )(ln 1 0 vq d dp d p     , )exp(1 )exp(1 0100 0 0 1             pp lcdc vq vq l (15) ),)(exp())exp(1( 2 000 dppdpvqNM  решение задачи (1)–(8) из [1] принимает вид                ,,0для),( ,,0для),( ),( ,),(для),( ,),(для),( ),( 12 max11 1 01 1 0 020 0 tlttQ tlttQ th tth tth th dd d n n n n (16) где множества },0,)1(),{( 0001 ddd ntlntlnt n  },)1(),{( 0002 dddd ntlntlnt n  определены для каждого ),...,,2,1,0( Nn  ),( 0201 0 0 nn N n    },,0),{( 111 tlTtt dd  },,0),{( max112  tlTtt d ,12111                   td l k tuduqnNth d n k t n 0 0 1 1 0 0 000 )1( )(lnexp),(                                000 22 0 2 0 1 2 )1( 2 )( 2 l nn l tn l nn l n ntt tl d ddd d ,)()222( 0 22 0 22 00 2      tlntlntnltln dpdddp ,)()( 2 exp),( 0 0 110 2 11 01           dutclc tlc MtQ t pp 46 ISSN 0572-2691                                           1 0 1 1 1 002 expexp1),( l td l tu l tqNtQ ddd                        01 1 1 0 1 1 00 0 )(ln 2 )( )( l k l tuqn l c cdu dd n k dd t           )1(2)2( 2 0 222 0 0 1 ntlnntl l d ddp                          2 0 1 1 0 0 1 0 22 )( )1( )(2 dp d d d l nd l l tln l l . 2 )1()( )1( 01 0 0 0                         l nn l l tln l n dd dp Тогда функцию (9) запишем       ds sh tt ttM s t t )( ),( ln 1 ),,( 0 12 21 2 1 )1( )(ln 1 0 1 1 0 0 0 12 2 1                   l k suduqn tt d n k st t                                 000 22 0 2 0 10 2 )1( 2 )( 2 l nn l sn l nn l n nss sl dsd ddd d  )()222( 0 22 0 22 00 slnslnsnlsln dpdddp .lnln)()( 2 0 2 dsNN spsps      (17) Функция (17) может использоваться для постановки и решения задачи опти- мального управления моноциклической агрегацией клеток. 3. Исследование решения задачи оптимального управления на множестве постоянных функций Пусть допустимые управления определяются следующими множествами по- стоянных функций: ]},,0[;},min{;const)()({ 00000 TtUwcdwtutuU m w  ,],0[; ~ ln ~ ln;const)()( 0 1 0 0 11              Tt q vT q vtutuUv ,00 mU . ~~ ln 0 01 q T   Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 47 Тогда функции (16) запишем       tdnvwtqnNthn 0000 lnexp),(                                 000 22 0 2 0 1 2 )1( 2 )( 2 l nn l tn l nn l n ntt tl d ddd d ,)()222( 0 22 0 22 00 2      tlntlntnltln dpdddp (18) ,)( 2 exp),( 110 2 11 01          wttclc tlc MtQ pp                                   vnwt l tdv l tqNtQ dd 1 0 1 002 expexp1),(                           pdp dd l d l nd qn l c c 0 12 0 1 0 1 1 0 22 )ln( 2 )(                      1 0 0 1 0 0 222 0 2 )( )1( )(2 )1(2)2( l l tln l l ntlnntl d d d dd , 2 )1()( )1( 01 0 0 0                         l nn l l tln l n dd dp где . 1 0                     l t l n d d Функция (11) будет иметь вид )(ln 1 )( ),( ln 1 ),,,,( 00 12 2 0 12 21 2 1 2 1                    nvswdqn tt ds sh tt wvttM t ts t t                                 000 22 0 2 0 1 2 )1( 2 )( 2 l nn l sn l nn l n nss sl d ddd d  )()222( 0 22 0 22 00 slnslnsnlsln dpdddp       dsNN spsps 2 0 2 lnln)()( ,))()()( 1 2 0 2 210 12 2 1 dsws v slsGsGG tt d t t               (19) ,)( 2 2100  RRRG ,)( 431  RRG , 2 2 0 2    l G 48 ISSN 0572-2691 ,lnln 00 sNNR  , 2 )(ln 0 10 1 l dq R d d s      , 2 0 1 2 d d s l d R    , 2 )(ln 100 03      d d dql dR .4 d R    Для 1),(  t критерий (12) запишем ),,,,(minarg),( 21 , wvttJwv wv UwUv    (20) ),( )( 1 ),,,( 543 2 2 2 0 12 21 1 wCvCvwCwCvCC tt wvttJ d        d ddssaC t t0 2 0 ,),( 2 1       d ddsslC t td 0 2 021 ,)( 1 2 1     d ddssC t t0 2 2 , 2 1       d ddssslC t td 0 03 ,)( 2 2 1       d ddssaslC t t0 0 2 4 ,),()( 2 2 1     d ddsssaC t t0 1 ,),(2 2 1 .),( 2 243 2 210 sGsRsRRRRsa  Задача оптимального управления (20) принимает вид задачи квадратичного программирования и может быть решена аналитически. Рассмотрим три различ- ных варианта задачи. Вариант А. Целевая плотность распределения клеток первой группы по па- раметру возраста в период времени ],[ 21 tt совпадает с начальной плотностью в точке 0 и имеет точку максимума при , 4 d т.е. ,0NNs  ,5s .4s Вариант В. Цель развития агрегации клеток — поддержка плотности рас- пределения клеток первой группы постоянной величиной ),0(0 т.е. ,0NNs  ,0s ;0s Вариант С. Целевая плотность распределения — возрастающая функция, начиная со значения , 2 )0( )0( 0s где , 2 0N Ns  ,0s .1s Для численной реализации задачи оптимального управления моноцикличе- ской агрегацией клеток для вариантов А, В и С зададим следующие значения па- раметров: ,2,000  cd ,01,01 d ,02,01 c ,75,00 q ,005,0 ,10 N ,8,00 l ,8,01 l ,1d ,0 p ,2 ,001,0 p ,01,0 ~ 0  ,96,0 ~ 1  ,02,0 p ,151 t ,222 t ,25T .05,00 mU На рис. 1 представлены функции целевого распределения клеток возраста ],0[ d за интервал времени ],[ 21 ttt для вариантов А, В, С. Видно, что ва- риант А характеризуется убыванием плотности распределения по параметру воз- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 49 раста. Отличительной особенностью варианта В является постоянное распределе- ние плотности, а варианта С — постоянное увеличение плотности. В таблице представлены рассчитанные оптимальные значения параметров управления ,v w для вариантов А, В, С. Таблица Параметры управления Оптимальные значения параметров управления для различных вариантов задачи (22) А В С v 0,3948 0,12843 0,0416 w 0,05 – 0,14352 – 0,2 На рис. 2 показана зависимость значения функции критерия ),,,( 21 wvttJ из (12) от параметра управления v при  ww для вариантов А, В, С. Целевая функция ),,,( 21 wvttJ достигает минимальных значений, близких к фактическо- му нулю для всех трех вариантов А, В, С на рассмотренном множестве постоян- ных функций управления ,wU .vU Это говорит о возможности использования постоянных управляющих воздействий для решения практических задач данного типа (12) с большой точностью в биологических исследованиях. 0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 B C A Рис. 1 – 0,1 5 15 25 35 45 55 65 75 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 B C A Рис. 2 На рис. 3–5 представлены графики интегральной функции )(tH (10) для трех случаев А, В, С соответственно для значений параметра управления v из окрест- ности точки минимума:  vv 9,0 (кривая 1),  vv (кривая 2) и  vv 1,1 (кри- вая 3) при фиксированном . ww Эти графики демонстрируют чувствительность поведения совокупности биологических клеток всех возрастов для каждой моно- 50 ISSN 0572-2691 циклической агрегации (случаи А, В, С) к различным управляющим воздействиям из окрестности оптимального управления (отклонения в пределах 10 %). Наибо- лее чувствительное поведение обнаружено для моноциклической агрегации из случая А, который характеризуется достаточно большой амплитудой и большим градиентом (см. рис. 1) для целевой функции распределения плотности клеток первой группы в заданный период времени по возрастам ).(s В остальных слу- чаях чувствительность интегральной функции )(tH значительно меньше, чем в случае А. 0 12 16 20 24 28 32 36 40 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1 2 3 22 t H Рис. 3 0 30 34 38 42 46 50 54 58 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1 2 3 22 t H 62 66 70 74 Рис. 4 0 40 45 50 55 60 65 70 75 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1 2 3 22 t H 80 85 90 95 Рис. 5 Таким образом, в настоящей статье представлены результаты аналитического решения задачи оптимального управления поведением моноциклической агрега- ции клеток для модельных значений параметров и проанализировано поведение параметров системы при оптимальных значениях функций управления. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 51 В.В. Акіменко, Ю.В. Загородній, В.В. Романенко ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ МОНОЦИКЛІЧНОЮ АГРЕГАЦІЄЮ БІОЛОГІЧНИХ КЛІТИН Розглянуто модель оптимального керування моноциклічною агрегацією клітин на множині кусково-постійних функцій керування. Знайдено у явному аналі- тичному вигляді розв’язок задачі оптимального керування за критерієм досяг- нення щільності клітин заданого рівня. Проведено чисельні розрахунки динамі- ки моноциклічної агрегації клітин для оптимальних значень функцій керування для трьох різних типів цільової функції розподілу біологічних клітин. V.V. Akimenko, Yu.V. Zagorodniy, V.V. Romanenko THE OPTIMUM CONTROL PROBLEM OF MONOCYCLE BIOLOGICAL CELLS AGGREGATION The model of optimum control of monocycle cells aggregation on the set of piece- wise constant control functions is considered. The analytic solution of the optimum control problem for criteria, when cells density reaches required level, is found. The numerical computation of dynamics of monocycle cells aggregation for control func- tions optimal values for three different kinds of objective function of biological cells distribution is performed. 1. Zagorodniy Yu., Voytenko V. Calculation of functions for a monocyclic population dynamics model with continuous — time age // The 20th Proceedings of the IASTED Conf. on Modeling and Simulation. — 2009. — P. 112–116. 2. Торнли Дж. Математические модели физиологии растений. — Киев : Наук. думка, 1982. — 312 с. 3. Мусієнко М.М. Фізіологія рослин. — Київ : Фітосоціоцентр, 2001. — 392 с. 4. Клюшин Д.А., Ляшко Н.И., Онопчук Ю.М. Математическое моделирование и оптимизация внутриопухольного распределения лекарств // Кибернетика и системный анализ. — 2007. — № 6. — С. 147–154. 5. Акименко В.В., Наконечный А.Г. Модели оптимального управления процессами межрегио- нальной миграции в условиях рисков // Там же. — 2006. — № 3. — С. 107–122. Получено 25.03.2010 После доработки 16.04.2010
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210832
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2026-03-14T12:05:24Z
publishDate	2010
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Акименко, В.В. Загородний, Ю.В. Романенко, В.В. 2025-12-17T19:50:29Z 2010 Задача оптимального управления моноциклической агрегацией биологических клеток / В.В. Акименко, Ю.В. Загородний, В.В. Романенко // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 5. — С. 42-51. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210832 532.516 10.1615/JAutomatInfScien.v42.i9.50 Розглянуто модель оптимального керування моноциклічною агрегацією клітин на множині кусково-постійних функцій керування. Знайдено у явному аналітичному вигляді розв’язок задачі оптимального керування за критерієм досягнення щільності клітин заданого рівня. Проведено чисельні розрахунки динаміки моноциклічної агрегації клітин для оптимальних значень функцій керування для трьох різних типів цільової функції розподілу біологічних клітин. The model of optimum control of monocycle cells aggregation on the set of piecewise constant control functions is considered. The analytic solution of the optimum control problem for criteria, when cells density reaches required level, is found. The numerical computation of dynamics of monocycle cells aggregation for control functions optimal values for three different kinds of objective function of biological cells distribution is performed. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Оптимальное управление и методы оптимизации Задача оптимального управления моноциклической агрегацией биологических клеток Задача оптимального керування моноциклічною агрегацією біологічних клітин The optimum control problem of monocycle biological cells aggregation Article published earlier
spellingShingle	Задача оптимального управления моноциклической агрегацией биологических клеток Акименко, В.В. Загородний, Ю.В. Романенко, В.В. Оптимальное управление и методы оптимизации
title	Задача оптимального управления моноциклической агрегацией биологических клеток
title_alt	Задача оптимального керування моноциклічною агрегацією біологічних клітин The optimum control problem of monocycle biological cells aggregation
title_full	Задача оптимального управления моноциклической агрегацией биологических клеток
title_fullStr	Задача оптимального управления моноциклической агрегацией биологических клеток
title_full_unstemmed	Задача оптимального управления моноциклической агрегацией биологических клеток
title_short	Задача оптимального управления моноциклической агрегацией биологических клеток
title_sort	задача оптимального управления моноциклической агрегацией биологических клеток
topic	Оптимальное управление и методы оптимизации
topic_facet	Оптимальное управление и методы оптимизации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210832
work_keys_str_mv	AT akimenkovv zadačaoptimalʹnogoupravleniâmonocikličeskoiagregacieibiologičeskihkletok AT zagorodniiûv zadačaoptimalʹnogoupravleniâmonocikličeskoiagregacieibiologičeskihkletok AT romanenkovv zadačaoptimalʹnogoupravleniâmonocikličeskoiagregacieibiologičeskihkletok AT akimenkovv zadačaoptimalʹnogokeruvannâmonociklíčnoûagregacíêûbíologíčnihklítin AT zagorodniiûv zadačaoptimalʹnogokeruvannâmonociklíčnoûagregacíêûbíologíčnihklítin AT romanenkovv zadačaoptimalʹnogokeruvannâmonociklíčnoûagregacíêûbíologíčnihklítin AT akimenkovv theoptimumcontrolproblemofmonocyclebiologicalcellsaggregation AT zagorodniiûv theoptimumcontrolproblemofmonocyclebiologicalcellsaggregation AT romanenkovv theoptimumcontrolproblemofmonocyclebiologicalcellsaggregation

Задача оптимального управления моноциклической агрегацией биологических клеток

Репозитарії

Схожі ресурси